Алгоритм знаходження диференціалу функції. Основні теореми про диференціали

Диференціал ... Для одних це прекрасне далеке, а для інших - незрозуміле слово, пов'язане з математикою. Але якщо це ваше суворе справжнє, наша стаття допоможе дізнатися, як правильно приготувати диференціал і з чим його подавати.

Під диференціалом у математиці розуміють лінійну частинузбільшення функції. Поняття диференціала нерозривно пов'язане із записом похідною згідно з Лейбницею f′(x 0) = df/dx·x 0 . Виходячи з цього, диференціал першого порядку для функції f, заданої на множині X має такий вигляд: d x0 f = f′(x 0)·d x0 x. Як бачите, для отримання диференціалу потрібно вміти вільно знаходити похідні. Тому не зайвим буде повторити правила обчислення похідних, щоб розуміти, що відбуватиметься надалі. Отже, розглянемо диференціювання на прикладах. Потрібно визначити диференціал функції, заданої у такому вигляді: y = x 3 -x 4 . Спочатку знайдемо похідну від функції: y = (x 3 -x 4) = (x 3) - (x 4) = 3x 2 -4x 3 . Ну, а тепер отримати диференціал простіше простого: df = (3x3-4x3) dx. Нині ми отримали диференціал як формули, практично часто також цікавить цифрове значення диференціала при заданих конкретних параметрах x і ∆х. Трапляється, коли функція виражена неявно через х. Наприклад, y = x²-y x. Похідна функції має такий вигляд: 2x-(y x)′. Але як отримати (y x)? Така функція називається складною та диференціюється відповідно до відповідного правила: df/dx = df/dy·dy/dx. В даному випадку: df/dy = x·y x-1, а dy/dx = y′. Тепер збираємо все докупи: y′ = 2x-(x·y x-1·y′). Групуємо всі ігреки з одного боку: (1+x·y x-1)·y′ = 2x, й у результаті отримуємо: y′ = 2x/(1+x·y x-1) = dy/dx. Виходячи з цього, dy = 2x · dx / (1 + x · y x-1). Звичайно, добре, що такі завдання трапляються нечасто. Але тепер ви готові до них. Крім розглянутих диференціалів першого ладу, ще існують диференціали вищого ладу. Спробуємо знайти диференціал для функції d /d(x 3 )· (x 3 – 2 x 6 – x 9 ), який буде диференціалом другого порядку для f(x). З формули f′(u) = d/du·f(u), де u = f(x), приймемо u = x 3 . Отримуємо: d/d(u)·(u-2u 2 -u 3) = (u-2u 2 -u 3)′ = 1-4u-3u 2 . Повертаємо заміну та отримуємо відповідь – 1 – x 3 – x 6, x ≠0. Помічником у знаходженні диференціала також може стати онлайн-сервіс. Природно, що на контрольній чи іспиті ним не скористаєшся. Але за самостійної перевірки правильності рішення його роль складно переоцінити. Крім самого результату, він також показує проміжні рішення, графіки та невизначений інтеграл диференціальної функції, і навіть коріння диференціального рівняння. Єдиний недолік – це запис в один рядок функції під час введення, але з часом можна звикнути і до цього. Ну, і звичайно, такий сервіс не справляється зі складними функціями, але все, що простіше, йому по зубах. Практичне застосуваннядиференціал знаходить насамперед у фізиці та економіці. Так, у фізиці часто диференціюванням вирішуються завдання, пов'язані з визначенням швидкості та її похідної – прискорення. А в економіці диференціал є невід'ємною частиною розрахунку ефективності діяльності підприємства та фіскальної політики держави, наприклад ефекту фінансового важеля.

У цій статті розглянуто типові завданнядиференціювання. Курс вищої математикиучнів ВНЗ часто містить ще завдання використання диференціала в наближених обчисленнях, і навіть пошук рішень диференціальних рівнянь. Але головне - при чіткому розумінні азів ви з легкістю розправитеся з усіма новими завданнями.

ЛЕКЦІЯ 10. ДИФЕРЕНЦІАЛ ФУНКЦІЇ. ТЕОРЕМИ ФЕРМА, РОЛЬ, ЛАГРАНЖУ І КІШІ.

1. Диференціал функції

1.1. Визначення диференціалу функції

З поняттям похідної тісно пов'язане інше фундаментальне поняття математичного аналізу- Диференціал функції.

Визначення 1. Функція y = f (x), визначена в деякій околиці точки x називається диференційованою в точці x якщо її прирощення в цій точці

y = f(x + x) − f(x)

має вид

y = A · x + α(Δx) · x,

де A – постійна, а функція α(Δx) → 0 за x → 0.

Нехай y = f (x) - функція, що диференціюється, тоді дамо наступне визначення.

Визначення 2. Головна лінійна	частина A · x	прирощення	функції f(x)
називається диференціалом функції у точці x і позначається dy.
Таким чином,
y = dy + α(Δx) · x.
Примітка 1. Розмір dy =	x називається	головною лінійною частиною
прирощення y у зв'язку з тим, що інша частина прирощення α(Δx) ·			x при малих
x стає набагато менше A ·

Твердження 1. Для того щоб функція y = f (x) була диференційованою в точці x необхідно і достатньо, щоб вона мала в цій точці похідну.

Доведення. Необхідність. Нехай функція f (x) диференційована у точці

x + α(Δx) · x, при

x → 0. Тоді

A + lim α(Δx) = A.

Тому похідна f′(x) існує і дорівнює A.

Достатність. Нехай існує

f ′ (x), тобто існує межа lim

F′ (x).

F ′ (x) + α(Δx),

y = f′(x)Δx + α(Δx) · x.

Остання рівність означає диференційованість функції y = f(x).

1.2. Геометричний сенсдиференціала

Нехай l дотична до графіка функції y = f(x) у точці M(x, f(x)) (рис. 1). Покажемо, що dy величина відрізка P Q. Дійсно,

dy = f '(x)Δx = tg α x =

" "l

"" " "

" α

Отже, диференціал dy функції f (x) у точці x дорівнює приросту ординати дотичної l у цій точці.

1.3. Інваріантність форми диференціалу

Якщо x незалежна змінна, то

dy = f′(x)dx.

Допустимо, що x = ϕ(t), де t незалежна змінна, y = f (ϕ(t)). Тоді

dy = (f(ϕ(t))′ dt = f′ (x)ϕ′ (t)dt = f′ (x)dx (ϕ′(t)dt = dx).

Отже, форма диференціала не змінилася, незважаючи на те, що x не є незалежною змінною. Ця властивість називається інваріантністю форми диференціала.

1.4. Застосування диференціала у наближених обчисленнях

З формули y = dy + α(Δx) · x, відкидаючи α(Δx) · x, видно, що за малих

y ≈ dy = f′(x)Δx.

Звідси отримаємо

f(x + x) − f(x) ≈ f′(x)Δx,

f(x + x) ≈ f(x) + f′(x)Δx. (1) Формула (1) і використовується у наближених обчисленнях.

1.5. Диференціали вищих порядків

За визначенням, другим диференціалом від функції y = f(x) у точці x називається диференціал від першого диференціалу у цій точці, який позначається

d2 y = d(dy).

Обчислимо другий диференціал:

d2 y = d(dy) = d(f′ (x)dx) = (f′ (x)dx)′ dx = (f′′ (x)dx)dx = f′′ (x)dx2

(при обчисленні похідної (f′(x)dx)′ враховано, що величина dx не залежить від x і, отже, при диференціюванні є постійною).

Взагалі, диференціалом порядку n функції y = f(x) називається перший

диференціал

від диференціалу

цієї функції, який

позначається через

dn y = d(dn−1 y)

dn y = f(n) (x) dxn.

Знайти диференціал функції y = arctg x.

Рішення. dy = (arctg x)′ · dx =

1+x2

Знайти диференціали першого та другого порядків функції v = e2t.

Рішення. dv = 2e2t dt, d2 v = 4e2t dt2.

Порівняти збільшення і диференціал функції y = 2x3 + 5x2.

Рішення. Знаходимо

5x2 =

10x)Δx + (6x + 5)Δx

dy = (6x2 + 10x)dx.

Різниця між збільшенням

y і диференціалом dy є нескінченно мала вищого

порядку в порівнянні з

x, рівна (6x + 5) Δx2 + 2Δx3.

Приклад 4. Обчислити наближене значення площі кола, радіус якого дорівнює 302 м.

Рішення. Скористаємося формулою S = πr2. Вважаючи r = 3 , r = 0, 02 маємо

S ≈ dS = 2πr · r = 2π · 3 · 0, 02 = 0, 12π.

Отже, наближене значення площі кола становить 9π + 0, 12π = 9, 12π ≈

28, 66 (м2).

Приклад 5. Обчислити наближене значення arcsin 0,51 з точністю до 0,001. Рішення. Розглянемо функцію y = arcsin x. Вважаючи x = 0, 5 , x = 0, 01

застосовуючи формулу (1)

x) ≈ arcsin x + (arcsin x)′ ·

(arcsin x)′

≈ arcsin 0, 5 +

0, 011 = 0, 513.

1 − (0, 5)2

Приклад 6. Обчислити приблизно √ 3

c точністю до 0,0001.

Рішення. Розглянемо функцію y = √3

і покладемо x = 8,

x = 0,01. Аналогічно

за формулою (1)

(√ 3 x)′ =

√3

√ x + x ≈√ 3 x + (√ 3 x)′ · x,

3√ 3 64

· 0, 01 = 2 + 3 · 4 · 0, 01 ≈ 2, 0008.

p 8, 01 ≈ 8 +

2. Теореми Ферма, Роля, Лагранжа та Коші

Визначення 3. Кажуть, що функція y = f(x) має (або досягає) у точці α локальний максимум(мінімум), якщо знайдеться така околиця U (α) точки α, що для всіх x U (α) :

f (α) ≥ f (x) (f (α) ≤ f (x)).

Локальний максимум і локальний мінімум поєднуються загальною назвою

локальний екстремум.

Функція, графік якої зображено на рис. 4, має локальний максимум у точках β, β1 і локальний мінімум у точках α, α1 .

Твердження 2. (Ферма) Нехай функція y = f (x) диференційована у точці α і має у цій точці локальний екстремум. Тоді f′(α) = 0.

Ідея доказу теореми Ферма наступна. Нехай для визначення f (x) має в точці α локальний мінімум. За визначенням f ′ (α) є межа при x → 0 відношення

	f (α + x) - f (α)

Але при досить малих (по абсолютної величини) x
	f (α + x) - f (α) ≥ 0.
Отже, за таких	x отримуємо


Звідси й випливає, що
	f′ (α) = lim g(Δx) = 0.

Проведіть повний доказ самостійно.
Твердження 3. (Роль)	Якщо y = f(x) безперервна на	Диференційована на
(a, b) і f(a) = f(b), то існує така точка α(a, b),		що f′(α) = 0.

Доведення. За якістю функцій, безперервних на відрізку, знайдуться такі точки x1, x2, що

екстремум. За умовою теореми f(x) диференційована у точці α. По теоремі Ферма f′ (α) = 0. Теорема доведена.

Теорема Роля має простий геометричний сенс (рис. 5): якщо крайні ординати кривої y = f(x) рівні, то на кривій y = f(x) знайдеться точка, в якій дотична до кривої паралельна осі Ox.

Доведення. Зауважимо, що g(a) = 6 g(b). Справді, інакше для функції g(x) було б виконано умови теореми Ролля. Отже, знайшлася б така точка β(a, b), що g′(β) = 0. Але це суперечить умові теореми.

Розглянемо таку допоміжну функцію:

F (x) = f (x) - f (a) - f (b) - f (a) (g(x) - g(a)). g(b) − g(a)

Функція F (x) безперервна на ,			диференційована на (a, b). Крім того, очевидно,
що′	F(a) = F(b) = 0. Тому за теоремою Ролля знайдеться така точка α(a, b), що
F(α) = 0, тобто.
	f ′ (α)				g′(α) = 0.
		− g(b)
звідси випливає

				f ′ (α)

				g′ (α)

Теорему доведено.

Твердження 5. (Лагранжа) Якщо y = f (x) безперервна на , що диференціюється на (a, b), то знайдеться таке α (a, b), що

F′ (α).

Доведення. Теорема Лагранжа прямо випливає з теореми Коші при g(x) =

Геометрично теорема Лагранжа означає, що на кривій y = f(x) між точками

A і B знайдеться така точка C, що стосується якої паралельна хорді AB. y

теорема Ролля на цьому відрізку

виконується. Значення c

визначаємо

рівняння

f ′ (x) = 2x − 6 = 0, тобто c = 3.

знайти точку

M, в якій

Приклад 8. На дузі

AB кривою y = 2x − x

дотична паралельна хорді

Рішення. Функція y = 2x −x

безперервна і диференційована при всіх значеннях

x. По теоремі Лагранжа між двома значеннями a = 1,

b = 3 існує значення

x = c, що відповідає рівності y(b) − y(a) = (b − a) ·y′ (c), де y′ = 2 − 2x. Підставивши відповідні значення, отримаємо

y(3) − y(1) = (3 − 1) · y′ (c),

(2 · 3 − 32 ) − (2 · 1 − 12 ) = (3 − 1) · (2 − 2c),

звідси c = 2, y (2) = 0.

Таким чином, точка M має координати (2; 0).

Приклад 9. На дузі AB кривою, заданою параметричними рівняннями

x = t2 , y = t3 , знайти точку

M, у якій дотична паралельна хорді AB, якщо

точкам A та B відповідають значення t = 1 та t = 3.

Рішення. Кутовий коефіцієнтхорди AB дорівнює

А кутовий коефіцієнт

дотичної в точці M (при

t = c) дорівнює

y′

(c)/x′

x′ = 2t,

y′ = 3t2. Для

визначення з теореми Коші отримуємо рівняння

yt ′ (c)

xt ′ (c)

тобто c = 13/6.

Знайдене значення c задовольняє нерівності 1< c < 3. Подставив значение t = c в параметричні рівняннякривою, отримуємо x = 169/36, y = 2197/216. Отже шукана точка M (169/36; 2197/216).

ЛОГАРИФМІЧНЕ ДИФЕРЕНЦІЮВАННЯ

Диференціювання багатьох функцій спрощується, якщо їх попередньо прологарифмувати. Для цього надходять у такий спосіб. Якщо потрібно знайти yз рівняння y=f(x), то можна:

приклади.

ПОКАЗНО-СТІПОВА ФУНКЦІЯ ТА ЇЇ ДИФЕРЕНЦІЮВАННЯ

Показово-статечноюфункцією називається функція виду y = u v, де u=u(x), v=v(x).

Логарифмічне диференціювання застосовується для знаходження похідної від показово-ступеневої функції.

приклади.

ТАБЛИЦЯ ВИРОБНИХ

Об'єднаємо в одну таблицю всі основні формули та правили диференціювання, виведені раніше. Всюди будемо думати u=u(x), v=v(x), З = const. Для похідних основних елементарних функційкористуватимемося теоремою про похідну складної функції.

приклади.

ПОНЯТТЯ ДИФЕРЕНЦІАЛУ ФУНКЦІЇ. ЗВ'ЯЗОК МІЖ ДИФЕРЕНЦІАЛОМ І ВИРОБНИЧИЙ

Нехай функція y=f(x)диференційована на відрізку [ a; b]. Похідна цієї функції у певній точці х 0 Î [ a; b] визначається рівністю

Отже, за якістю межі

Помножуючи всі члени здобутої рівності на Δ x, отримаємо:

Δ y = f "(x 0)·Δ x+ a·Δ x.

Отже, нескінченно мале приріст Δ yдиференційованої функції y=f(x)може бути представлено у вигляді суми двох доданків, з яких перше є (при f "(х 0) ≠ 0) головна частина збільшення, лінійна щодо Δ x, а друге – нескінченно мала величина вищого порядку, ніж Δ x. Головну частинузбільшення функції, тобто. f "(х 0)·Δ xназивають диференціалом функції у точці х 0 і позначають через dy.

Таким чином, якщо функція y=f(x)має похідну f "(x) у точці x, то твір похідної f "(x) на збільшення Δ xаргументу називають диференціалом функціїі позначають:

Знайдемо диференціал функції y= x. В цьому випадку y" = (x)" = 1 і, отже, dy=dx=Δ x. Таким чином, диференціал dxнезалежної змінної xзбігається з її збільшенням Δ x. Тому формулу (1) ми можемо записати так:

dy = f "(x)dx

Але з цього співвідношення випливає, що . Отже, похідну f "(x) можна як ставлення диференціала функції до диференціалу незалежної змінної.

Раніше ми показали, що з диференційованості функції у точці випливає існування диференціала у цій точці.

Справедливе та зворотне твердження.

Якщо для цього значення xзбільшення функції Δ y = f(x+Δ x) – f(x)можна подати у вигляді Δ y = A·Δ x+ α, де α – нескінченно мала величина, яка задовольняє умові , тобто. якщо для функції y=f(x)існує диференціал dy=A·dxу певній точці x, то ця функція має похідну в точці xі f "(x)=А.

Дійсно, маємо , і тому що при Δ x→0, то .

Таким чином, між диференційованістю функції та існуванням диференціала є дуже тісний зв'язок, обидва поняття рівносильні.

приклади.Знайти диференціали функцій:

ГЕОМЕТРИЧНИЙ ЗМІС ДИФЕРЕНЦІАЛУ

Розглянемо функцію y=f(x)і відповідну їй криву. Візьмемо на кривій довільну точку M(x; y),проведемо дотичну до кривої в цій точці і позначимо через кут, який дотична утворює з позитивним напрямком осі Ox. Дамо незалежну змінну xприріст Δ x, тоді функція отримає приріст Δ y = NM 1 . значенням x+Δ xі y+Δ yна кривій y = f(x)буде відповідати точка

M 1 (x+Δ x; y+Δ y).

З Δ MNTзнаходимо NT=MN· tg α. Т.к. tg α = f "(x), а MN = Δ x, то NT = f "(x)·Δ x. Але за визначенням диференціалу dy=f "(x)·Δ xтому dy = NT.

Таким чином, диференціал функції f(x), що відповідає даним значенням x і Δx, дорівнює приросту ординати дотичної до кривої y=f(x) у цій точці х.

ТЕОРЕМА ПРО ІНВАРІАНТНІСТЬ ДИФЕРЕНЦІАЛУ

Раніше ми бачили, що якщо uє незалежною змінною, то диференціал функції y=f "(u) має вид dy = f "(u)du.

Покажемо, що ця форма зберігається у тому випадку, коли uне незалежної змінної, а функцією, тобто. Знайдемо вираз для диференціалу складної функції. Нехай y=f(u), u=g(x)або y = f(g(x)). Тоді за правилом диференціювання складної функції:

Отже, за визначенням

Але g"(x)dx= duтому dy=f"(u)du.

Ми довели наступну теорему.

Теорема.Диференціал складної функції y=f(u), для котрої u=g(x), має той самий вигляд dy=f"(u)duякий він мав би, якби проміжний аргумент uбув незалежною змінною.

Інакше висловлюючись, форма диференціала залежить від цього, є аргумент функції незалежної змінної чи функцією іншого аргументу. Ця властивість диференціала називається інваріантністю форми диференціалу.

приклад.. Знайти dy.

Враховуючи властивість інваріантності диференціалу, знаходимо

ЗАСТОСУВАННЯ ДИФЕРЕНЦІАЛУ ДО НАБЛИЖЕНИХ ВИЧИСЛЕНЬ

Нехай нам відоме значення функції y 0 =f(x 0 ) та її похідною y 0 " = f "(x 0) у точці x 0. Покажемо, як знайти значення функції в деякій близькій точці x.

Як ми вже з'ясували збільшення функції Δ yможна подати у вигляді суми Δ y=dy+α·Δ x, тобто. збільшення функції відрізняється від диференціала на величину нескінченно малу. Тому, нехтуючи при малих Δ xдругим доданком у наближених обчисленнях, іноді користуються наближеною рівністю Δ y≈dyабо Δ y» f"(x 0)·Δ x.

Т.к., за визначенням, Δ y = f(x) – f(x 0), то f(x) – f(x 0)≈f"(x 0)·Δ x.

приклади.

ВИРОБНИЧІ ВИЩИХ ПОРЯДКІВ

Нехай функція y=f(x)диференційована на деякому відрізку [ a; b]. Значення похідної f"(x), взагалі кажучи, залежить від x, тобто. похідна f"(x) є також функцією змінної x. Нехай ця функція має похідну. Диференціюючи її, отримаємо так звану другу похідну від функції f(x).

Похідна від першої похідної називається похідної другого порядкуабо другий похіднийвід цієї функції y=f(x)і позначається y"або" f""(x). Отже, y"" = (y")".

Наприклад, якщо у = х 5 , то y"= 5x 4 , а y""= 20x 4 .

Аналогічно, у свою чергу, похідну другого порядку також можна диференціювати. Похідна від другої похідної називається похідної третього порядкуабо третьої похідноїта позначається y"""або f"""( x).

Взагалі, похідної n-го порядкувід функції f(x)називається похідна (перша) від похідної ( n– 1)-го порядку та позначається символом y(n) або f(n) ( x): y(n) = ( y(n-1))".

Отже, перебування похідної вищого порядку від цієї функції послідовно знаходять її похідні нижчих порядків.

Будучи нерозривно пов'язаними між собою, вони вже кілька століть активно використовуються при вирішенні практично всіх завдань, які виникали в процесі науково-технічної діяльності людини.

Виникнення поняття про диференціал

Вперше пояснив, що таке диференціал, один із творців (поряд із Ісааком Ньютоном) диференціального обчисленнязнаменитий німецький математик Готфрід Вільгельм Лейбніц. До цього математиками 17 ст. використовувалося дуже нечітке і розпливчасте уявлення про деяку нескінченно малу «неподільну» частину будь-якої відомої функції, Яка представляла дуже малу постійну величину, але не рівну нулю, менше якої значення функції бути просто не можуть. Звідси був лише один крок до введення уявлення про нескінченно малих приріст аргументів функцій і відповідних їм приріст самих функцій, що виражаються через похідні останніх. І цей крок було зроблено практично одночасно двома вищезгаданими великими вченими.

Виходячи з необхідності вирішення нагальних практичних завдань механіки, які ставила перед наукою бурхливо розвивається промисловість і техніка, Ньютон і Лейбніц створили загальні способизнаходження швидкості зміни функцій (насамперед стосовно механічної швидкості руху тіла за відомою траєкторією), що призвело до введення таких понять, як похідна та диференціал функції, а також знайшли алгоритм вирішення зворотного завданняЯк за відомою (змінною) швидкістю знайти пройдений шлях, що призвело до появи поняття інтеграла.

У працях Лейбніца і Ньютона вперше з'явилося уявлення у тому, що диференціали - це пропорційні приростам аргументів Δх основні частини прирощень функцій Δу, які можуть бути успішно застосовані для обчислення значень останніх. Інакше кажучи, ними було відкрито, що збільшення функції може бути в будь-якій точці (всередині області її визначення) виражено через її похідну як Δу = y"(x) Δх + αΔх, де α Δх - залишковий член, що прагне до нуля при Δх→ 0, набагато швидше, ніж саме Δх.

Згідно з основоположниками матаналізу, диференціали - це якраз і є перші члени у виразах приросту будь-яких функцій. Ще не володіючи чітко сформульованим поняттям межі послідовностей, вони інтуїтивно зрозуміли, що величина диференціала прагне похідної функції при Δх→0 - Δу/Δх→ y"(x).

На відміну від Ньютона, який був насамперед фізиком, та розглядав математичний апаратяк допоміжний інструмент дослідження фізичних завдань, Лейбніц приділяв більшу увагу самому цьому інструментарію, включаючи і систему наочних та зрозумілих позначень математичних величин. Саме він запропонував загальноприйняті позначення диференціалів функції dy=y"(x)dx, аргументу dx та похідної функції у вигляді їх відношення y"(x)=dy/dx.

Сучасне визначення

Що таке диференціал із погляду сучасної математики? Він тісно пов'язаний з поняттям збільшення змінної величини. Якщо змінна y приймає спочатку значення y = y 1 , а потім y = y 2 то різниця y 2 ─ y 1 називається приростом величини y.

Приріст може бути позитивним. негативним та рівним нулю. Слово «прирощення» позначається Δ, запис Δу (читається «дельта ігрок») позначає збільшення величини y. отже Δу = y 2 ─ y 1 .

Якщо величину Δу довільної функції y = f (x) можна представити у вигляді Δу = A Δх + α, де у A немає залежності від Δх, тобто A = const при даному х, а доданок α при Δх→0 прагне до нього ж швидше, чим саме Δх, тоді перший («головний») член, пропорційний Δх, і є для y = f(x) диференціалом, що позначається dy або df(x) (читається «де гравець», «де еф від ікс»). Тому диференціали – це «головні» лінійні щодо Δх складові прирощень функцій.

Механічне тлумачення

Нехай s = f (t) - відстань прямолінійно рухається від початкового положення (t - час перебування у дорозі). Приріст Δs - це шлях точки за інтервал часу Δt, а диференціал ds = f" (t) Δt - це шлях, який точка пройшла б за той же час Δt, якби вона зберегла швидкість f"(t), досягнуту на момент t . При нескінченно малому Δt уявний шлях ds відрізняється від істинного Δs на нескінченно малу величину, що має вищий порядокщодо Δt. Якщо швидкість момент t не дорівнює нулю, то ds дає наближену величину малого зміщення точки.

Геометрична інтерпретація

Нехай лінія L є графіком y = f(x). Тоді Δ х= MQ, Δу = QM" (див. малюнок нижче). Дотична MN розбиває відрізок Δу на дві частини, QN та NM". Перша пропорційна Δх і дорівнює QN = MQ∙tg (кута QMN) = Δх f "(x), тобто QN є диференціал dy.

Друга частина NM" дає різницю Δу ─ dy, при Δх→0 довжина NM" зменшується ще швидше, ніж збільшення аргументу, тобто у неї порядок дещиці вище, ніж у Δх. У даному випадку, при f "(x) ≠ 0 (дотична не паралельна ОХ), відрізки QM" і QN еквівалентні; інакше кажучи NM" зменшується швидше (порядок трохи її вище), ніж повне збільшення Δу = QM". Це видно на малюнку (з наближенням M" до М відрізок NM" становить все менший відсоток відрізка QM").

Отже, графічно диференціал довільної функції дорівнює величинізбільшення ординати її дотичної.

Похідна та диференціал

Коефіцієнт A у першому доданку виразу прирощення функції дорівнює величині її похідної f "(x). Таким чином, має місце наступне співвідношення - dy = f "(x)Δх, або df (x) = f "(x)Δх.

Відомо, що збільшення незалежного аргументу дорівнює його диференціалу х = dx. Відповідно, можна написати: f"(x) dx = dy.

Знаходження (іноді кажуть, «рішення») диференціалів виконується за тими самими правилами, що й для похідних. Перелік їх наведено нижче.

Що більш універсально: збільшення аргументу або його диференціал

Тут потрібно зробити деякі пояснення. Подання величиною f"(x)Δх диференціала можливе при розгляді х як аргумент. Але функція може бути складною, в якій х може бути функцією деякого аргументу t. крім випадку лінійної залежностіх = at + b.

Що ж до формули f "(x)dx= dy, то й у разі незалежного аргументу х (тоді dx = Δх), і у разі параметричної залежності х від t, вона є диференціалом.

Наприклад, вираз 2 x Δх є для y = x 2 її диференціал, коли х є аргумент. Покладемо тепер х = t 2 і вважатимемо t аргументом. Тоді y = x2 = t4.

Це вираз не пропорційно Δt і тому тепер 2xΔх не є диференціалом. Його можна знайти з рівняння y = x2 = t4. Він виявляється дорівнює dy=4t 3 Δt.

Якщо ж взяти вираз 2xdx, воно представляє диференціал y = x 2 при будь-якому аргументі t. Дійсно, при х = t2 отримаємо dx = 2tΔt.

Значить 2xdx = 2t 2 2tΔt = 4t 3 Δt, тобто вирази диференціалів, записані через дві різні змінні, збіглися.

Заміна прирощень диференціалами

Якщо f "(x) ≠ 0, то Δу та dy еквівалентні (при Δх→0); при f "(x) = 0 (що означає і dy = 0), вони не еквівалентні.

Наприклад, якщо y = x 2 , то Δу = (x + Δх) 2 ─ x 2 = 2xΔх + Δх 2, а dy = 2xΔх. Якщо х=3, то маємо Δу = 6Δх + Δх 2 та dy = 6Δх, які еквівалентні внаслідок Δх 2 →0, при х=0 величини Δу = Δх 2 та dy=0 не еквівалентні.

Цей факт, разом із простою структурою диференціала (тобто лінійності по відношенню до Δх), часто використовується в наближених обчисленнях, припущення, що Δу ≈ dy для малих Δх. Знайти диференціал функції, як правило, легше, ніж обчислити точне значення збільшення.

Наприклад, маємо металевий куб із ребром х=10,00 см. При нагріванні ребро подовжилося на Δх = 0,001 см. Наскільки збільшився об'єм V куба? Маємо V = х 2 так що dV = 3x 2 Δх = 3∙10 2 ∙0/01 = 3 (см 3). Збільшення обсягу ΔV еквівалентне диференціалу dV, так що ΔV = 3 см 3 . Повне обчислення дало б V =10,01 3 ─ 10 3 = 3,003001. Але в цьому результаті всі цифри, крім першої, ненадійні; отже, все одно, потрібно округлити його до 3 см3.

Очевидно, що такий підхід є корисним, тільки якщо можливо оцінити величину помилки, що привноситься при цьому.

Диференціал функції: приклади

Спробуємо знайти диференціал функції y = x 3 не знаходячи похідної. Дамо аргументу збільшення і визначимо Δу.

Δу = (Δх + x) 3 ─ x 3 = 3x 2 Δх + (3xΔх 2 + Δх 3).

Тут коефіцієнт A= 3x 2 не залежить від Δх, так що перший член пропорційний Δх, інший член 3xΔх 2 + Δх 3 при Δх→0 зменшується швидше, ніж прирощення аргументу. Отже, член 3x 2 Δх є диференціалом y = x 3:

dy=3x 2 Δх=3x 2 dx або d(x 3) = 3x 2 dx.

У цьому d(x 3) / dx = 3x 2 .

Знайдемо тепер dy функцію y = 1/x через її похідну. Тоді d(1/x)/dx = ─1/х 2 . Тому dy = ─ Δх/х2.

Диференціали основних функцій алгебри наведені нижче.

Наближені обчислення із застосуванням диференціалу

Обчислити функцію f(x), а також її похідну f"(x) при x=a часто неважко, а ось зробити те ж саме на околиці точки x=a буває нелегко. Тоді на допомогу приходить наближений вираз

f(a + Δх) ≈ f "(a)Δх + f(a).

Воно дає наближене значення функції при малих приростах Δх через її диференціал f"(a)Δх.

Отже, дана формуладає наближений вираз для функції кінцевої точки деякої ділянки довжиною Δх у вигляді суми її значення в початковій точці цієї ділянки (x=a) і диференціала в тій же початковій точці. Похибка такого способу визначення значення функції ілюструє рисунок нижче.

Однак відоме і точне вираз значення функції для x = a + Δх, що дається формулою кінцевих прирощень (або інакше формулою Лагранжа)

f(a+ Δх) ≈ f "(ξ) Δх + f(a),

де точка x = a+ ξ знаходиться на відрізку від x = a до x = a + Δх, хоча точне положення її невідоме. Точна формула дозволяє оцінювати похибку наближеної формули. Якщо ж у формулі Лагранжа покласти ξ = Δх /2, хоча вона і перестає бути точною, але дає, як правило, набагато краще наближення, ніж вихідне вираз через диференціал.

Оцінка похибки формул за допомогою диференціалу

У принципі неточні, і привносять дані вимірювань, відповідні помилки. Їх характеризують граничною або, коротше, граничною похибкою. позитивним числом, що явно перевищує цю помилку за абсолютною величиною (або в крайньому випадку рівним їй). Граничною називають приватну від її поділу на абсолютне значеннявиміряної величини.

Нехай точна формула y = f (x) використана для обчислення функції y, але значення x є результатом вимірювання і тому привносить у y помилку. Тоді, щоб знайти граничну абсолютну похибку│‌‌Δу│функції y, використовують формулу

│‌‌Δу│≈│‌‌dy│=│ f "(x)││Δх│,

де │Δх│ є граничною похибкою аргументу. Величину │‌‌Δу│ слід округлити у бік збільшення, т.к. неточною є сама заміна обчислення збільшення обчислення диференціала.

Якщо функція диференційована в точці , то її прирощення можна у вигляді суми двох доданків

. Ці доданки є нескінченно малими функціями при
.Перше доданок лінійно щодо
,друге є нескінченно малою вищого порядку, ніж
.Справді,

Таким чином друге доданок при
швидше прагне до нуля і при знаходженні збільшення функції
головну роль відіграє перший доданок
або (оскільки
)
.

Визначення . Головна частина збільшення функції
у точці , лінійна щодо
,називається диференціалом функції у цій точці і позначаєтьсяdyабоdf(x)

. (2)

Таким чином, можна зробити висновок: диференціал незалежної змінної збігається з її збільшенням, тобто
.

Співвідношення (2) тепер набуває вигляду

(3)

Зауваження . Формулу (3) для стислості часто записують у вигляді

(4)

Геометричний сенс диференціалу

Розглянемо графік диференційованої функції
. Крапки
іналежать графіку функції. У точці Мпроведена дотична Додо графіка функції, кут якої з позитивним напрямом осі
позначимо через
. Проведемо прямі MN паралельно осі Ox і
паралельно осі Ой. Приріст функції дорівнює довжині відрізка
. З прямокутного трикутника
, в котрому
, отримаємо

Викладені вище міркування дозволяють зробити висновок:

Диференціал функції
у точці зображується прирощенням ординати, що стосується графіка цієї функції у відповідній її точці.
.

Зв'язок диференціалу з похідним

Розглянемо формулу (4)

Розділимо обидві частини цієї рівності на dxтоді

Таким чином, похідна функції дорівнює відношенню її диференціала до диференціалу незалежної змінної.

Часто це ставлення розглядається просто як символ, що позначає похідну функції уза аргументом х.

Зручними позначеннями похідної є:

,
і так далі.

Використовуються також записи

,
,

особливо зручні, коли похідна береться від складного висловлювання.

2. Диференціал суми, твору та приватного.

Так як диференціал виходить з похідною множенням її на диференціал незалежної змінної, то, знаючи похідні основних елементарних функцій, а також правила для відшукання похідних, можна дійти аналогічних правил для відшукання диференціалів.

1 0 . Диференціал постійної дорівнює нулю

2 0 . Диференціал суми алгебри кінцевого числа диференційованих функцій дорівнює сумі алгебри диференціалів цих функцій

3 0 . Диференціал твору двох функцій, що диференціюються дорівнює сумітворів першої функції на диференціал другої та другої функції на диференціал першої

Слідство. Постійний множник можна виносити за знак диференціалу

Приклад. Знайти диференціал функції.

Рішення. Запишемо цю функцію у вигляді

тоді отримаємо

4. Функції, задані параметрично, їхнє диференціювання.

Визначення . Функція
називається заданою параметрично, якщо обидві змінні х і у визначаються кожна окремо як однозначні функції від однієї і тієї ж допоміжної змінної – параметраt:

деtзмінюється в межах
.

Зауваження . Параметричне завдання функцій широко застосовується у теоретичній механіці, де параметр t позначає час, а рівняння
являють собою закони зміни проекцій точки, що рухається
на осі
і
.