Параметричне рівняння прямої онлайн. Рівняння прямої на площині

Урок із серії «Геометричні алгоритми»

Здрастуйте, дорогий читачу!

Сьогодні ми почнемо вивчати алгоритми, пов'язані із геометрією. Справа в тому, що олімпіадних завдань з інформатики, пов'язаних з обчислювальною геометрією, досить багато і вирішення таких завдань часто спричиняє труднощі.

За кілька уроків ми розглянемо ряд елементарних підзавдань, куди спирається вирішення більшості завдань обчислювальної геометрії.

На цьому уроці ми складемо програму для знаходження рівняння прямої, що проходить через задані дві точки. Для вирішення геометричних завдань нам знадобляться деякі знання з обчислювальної геометрії. Частину уроку ми присвятимо знайомству з ними.

Відомості з обчислювальної геометрії

Обчислювальна геометрія – це розділ інформатики, вивчає алгоритми розв'язання геометричних завдань.

Вихідними даними для таких завдань можуть бути безліч точок на площині, набір відрізків, багатокутник (заданий, наприклад, списком своїх вершин у порядку руху за годинниковою стрілкою) і т.п.

Результатом може бути або відповідь на якесь питання (типу належить точка відрізка, чи перетинаються два відрізки, …), або якийсь геометричний об'єкт (наприклад, найменший опуклий багатокутник, що з'єднує задані точки, площа багатокутника, тощо) .

Ми розглядатимемо завдання обчислювальної геометрії тільки на площині і тільки в декартовій системі координат.

Вектори та координати

Щоб застосовувати методи обчислювальної геометрії, необхідно геометричні образи перекласти мову чисел. Вважатимемо, що у площині задана декартова система координат, у якій напрямок повороту проти годинникової стрілки називається позитивним.

Тепер геометричні об'єкти набувають аналітичного виразу. Так, щоб задати точку, достатньо вказати її координати: кілька чисел (x; y). Відрізок можна задати, вказавши координати його кінців, можна задати пряму, вказавши координати пари її точок.

Але основним інструментом під час вирішення завдань у нас будуть вектори. Нагадаю тому деякі відомості про них.

Відрізок АВ, у якого точку Авважають початком (точкою програми), а точку В– кінцем, називають вектором АВі позначають або , або жирною малою літерою, наприклад а .

Для позначення довжини вектора (тобто довжини відповідного відрізка) користуватимемося символом модуля (наприклад, ).

Довільний вектор матиме координати, рівні різниці відповідних координат його кінця та початку:

,

тут крапки Aі B мають координати відповідно.

Для обчислень ми будемо використовувати поняття орієнтованого кута, тобто кута, що враховує взаємне розташування векторів.

Орієнтований кут між векторами a і b позитивний, якщо поворот від вектора a до вектору b відбувається в позитивному напрямку (проти годинникової стрілки) і негативний - в іншому випадку. Див рис.1а, рис.1б. Говорять також, що пара векторів a і b позитивно (негативно) орієнтована.

Отже, величина орієнтованого кута залежить від порядку перерахування векторів може приймати значення інтервалі .

Багато завдань обчислювальної геометрії використовують поняття векторного (косого чи псевдоскалярного) творів векторів.

Векторним твором векторів a і b називатимемо добуток довжин цих векторів на синус кута між ними:

.

Векторний твір векторів у координатах:

Вираз праворуч – визначник другого порядку:

На відміну від визначення, яке дається у аналітичній геометрії, це скаляр.

Знак векторного твору визначає положення векторів один щодо одного:

a і b позитивно орієнтована.

Якщо величина , то пара векторів a і b негативно орієнтована.

Векторний твір ненульових векторів дорівнює нулю і тоді, коли вони колінеарні ( ). Це означає, що вони лежать на одній прямій або паралельних прямих.

Розглянемо кілька найпростіших завдань, необхідних під час вирішення складніших.

Визначимо рівняння прямої за координатами двох точок.

Рівняння прямої, що проходить через дві різні точки, задані своїми координатами.

Нехай на прямій задані дві точки, що не збігаються: з координатами (x1; y1) і з координатами (x2; y2). Відповідно вектор з початком у точці та кінцем у точці має координати (x2-x1, y2-y1). Якщо P(x, y) – довільна точка нашої прямої, то координати вектора рівні (x-x1, y – y1).

За допомогою векторного твору умову колінеарності векторів можна записати так:

Тобто. (x-x1)(y2-y1)-(y-y1)(x2-x1)=0

(y2-y1)x + (x1-x2)y + x1(y1-y2) + y1(x2-x1) = 0

Останнє рівняння перепишемо так:

ax + by + c = 0, (1)

c = x1(y1-y2) + y1(x2-x1)

Отже, пряму можна встановити рівнянням виду (1).

Завдання 1. Задано координати двох точок. Знайти її уявлення як ax + by + c = 0.

На цьому уроці ми познайомилися із деякими відомостями з обчислювальної геометрії. Вирішили задачу знаходження рівняння лінії за координатами двох точок.

На наступному уроці складемо програму знаходження точки перетину двох ліній, заданих своїми рівняннями.

Лінії рівняння на площині.

Як відомо, будь-яка точка на площині визначається двома координатами в будь-якій системі координат. Системи координат можуть бути різними залежно від вибору базису та початку координат.

Визначення. Рівнянням лініїназивається співвідношення y = f(x) між координатами точок, що становлять цю лінію.

Зазначимо, що рівняння лінії може бути виражене параметричним способом, тобто кожна координата кожної точки виражається через певний незалежний параметр t.

Характерний приклад - траєкторія точки, що рухається. І тут роль параметра грає час.

Рівняння прямої на площині.

Визначення. Будь-яка пряма на площині може бути задана рівнянням першого порядку

Ах + Ву + З = 0,

причому постійні А, не рівні нулю одночасно, тобто. А 2 + В 2  0. Це рівняння першого порядку називають загальним рівнянням прямої.

Залежно від значень постійних А, В і С можливі такі окремі випадки:

C = 0, А  0, В  0 – пряма проходить через початок координат

А = 0, В  0, С  0 ( By + C = 0) - пряма паралельна осі Ох

В = 0, А  0, С  0 ( Ax + C = 0) – пряма паралельна осі Оу

В = С = 0, А  0 – пряма збігається з віссю Оу

А = С = 0, В  0 – пряма збігається з віссю Ох

Рівняння прямий може бути представлене в різному вигляді залежно від будь-яких заданих початкових умов.

Рівняння прямої за точкою та вектором нормалі.

Визначення. У декартовій прямокутній системі координат вектор з компонентами (А, В) перпендикулярний до прямої, заданої рівнянням Ах + Ву + С = 0.

приклад.Знайти рівняння прямої, що проходить через точку А(1, 2) перпендикулярно вектору (3, -1).

Складемо при А = 3 і В = -1 рівняння прямої: 3х - у + С = 0. Для знаходження коефіцієнта С підставимо в отриманий вираз координати заданої точки А.

Отримуємо: 3 - 2 + C = 0, отже С = -1.

Разом: шукане рівняння: 3х - у - 1 = 0.

Рівняння прямої, що проходить через дві точки.

Нехай у просторі задані дві точки M 1 (x 1 , y 1 , z 1) і M 2 (x 2, y 2 , z 2), тоді рівняння прямої, що проходить через ці точки:

Якщо якийсь із знаменників дорівнює нулю, слід прирівняти нулю відповідний чисельник.

На площині записане вище рівняння прямої спрощується:

якщо х 1  х 2 і х = х 1, якщо 1 = х 2 .

Дроби
=k називається кутовим коефіцієнтомпрямий.

приклад.Знайти рівняння прямої, що проходить через точки А(1, 2) та В(3, 4).

Застосовуючи записану вище формулу, отримуємо:

Рівняння прямої за точкою та кутовим коефіцієнтом.

Якщо загальне рівняння прямої Ах + Ву + С = 0 привести до вигляду:

та позначити
, то отримане рівняння називається рівнянням прямої з кутовим коефіцієнтомk.

Рівняння прямої по точці та напрямному вектору.

За аналогією з пунктом, що розглядає рівняння прямої через вектор нормалі, можна ввести завдання прямої через точку і напрямний вектор прямої.

Визначення. Кожен ненульовий вектор ( 1 ,  2), компоненти якого задовольняють умові А 1 + В 2 = 0 називається напрямним вектором прямої

Ах+Ву+С=0.

приклад.Знайти рівняння прямої з напрямним вектором (1, -1) і проходить через точку А(1, 2).

Рівняння шуканої прямої шукатимемо у вигляді: Ax + By + C = 0. Відповідно до визначення, коефіцієнти повинні задовольняти умови:

1A + (-1)B = 0, тобто. А = В.

Тоді рівняння прямої має вигляд: Ax + Ay + C = 0, або x + y + C/A = 0.

при х = 1, у = 2 отримуємо З/A = -3, тобто. шукане рівняння:

Рівняння прямої у відрізках.

Якщо у загальному рівнянні прямий Ах + Ву + С = 0 С 0, то розділивши на –С, отримаємо:
або

, де

Геометричний сенс коефіцієнтів у тому, що коефіцієнт ає координатою точки перетину прямої з віссю Ох, а b- Координацією точки перетину прямої з віссю Оу.

приклад.Задано загальне рівняння прямої х – у + 1 = 0. Знайти рівняння цієї прямої у відрізках.

З = 1,
, а = -1, b = 1

Нормальне рівняння прямої.

Якщо обидві частини рівняння Ах + Ву + С = 0 розділити на число
, Яке називається нормуючим множником, то отримаємо

xcos + ysin - p = 0 –

нормальне рівняння прямої.

Знак  нормуючого множника треба вибирати так, щоб С< 0.

р - Довжина перпендикуляра, опущеного з початку координат на пряму, а  - Кут, утворений цим перпендикуляром з позитивним напрямом осі Ох.

приклад.Дано загальне рівняння прямої 12х - 5у - 65 = 0. Потрібно написати різні типи рівнянь цієї прямої.

рівняння цієї прямої у відрізках:

рівняння цієї прямої з кутовим коефіцієнтом: (ділимо на 5)

нормальне рівняння прямої:

; cos = 12/13; sin = -5/13; p=5.

Слід зазначити, що не кожну пряму можна уявити рівнянням у відрізках, наприклад, прямі, паралельні осям або проходять через початок координат.

приклад.Пряма відсікає на координатних осях рівні позитивні відрізки. Скласти рівняння прямої, якщо площа трикутника, утвореного цими відрізками, дорівнює 8 см 2 .

Рівняння прямої має вигляд:
, a = b = 1; ab/2 = 8; a = 4; -4.

a = -4 не підходить за умовою завдання.

Разом:
або х + у - 4 = 0.

приклад.Скласти рівняння прямої, що проходить через точку А(-2, -3) та початок координат.

Рівняння прямої має вигляд:
де х 1 = у 1 = 0; x 2 = -2; y 2 = -3.

Кут між прямими на площині.

Визначення. Якщо задані дві прямі y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 то гострий кут між цими прямими буде визначатися як

.

Дві прямі паралельні, якщо k1 = k2.

Дві прямі перпендикулярні, якщо k1 = -1/k2.

Теорема. Прямі Ах + Ву + С = 0 та А 1 х + В 1 у + З 1 = 0 паралельні, коли пропорційні коефіцієнти А 1 =  А, В 1 =  Якщо ще й С 1 =  З, то прямі збігаються.

Координати точки перетину двох прямих перебувають як розв'язання системи рівнянь цих прямих.

Рівняння прямої, що проходить через цю точку

перпендикулярно даній прямій.

Визначення. Пряма, що проходить через точку М 1 (х 1 у 1) і перпендикулярна до прямої у = kx + b представляється рівнянням:

Відстань від точки до прямої.

Теорема. Якщо задана точка М(х 0 , у 0 ), то відстань до прямої Ах + Ву + С = 0 визначається як

.

Доведення. Нехай точка М 1 (х 1, у 1) - основа перпендикуляра, опущеного з точки М на задану пряму. Тоді відстань між точками М та М 1:

Координати x 1 і 1 можуть бути знайдені як розв'язання системи рівнянь:

Друге рівняння системи - це рівняння прямої, що проходить через задану точку М0 перпендикулярно заданої прямої.

Якщо перетворити перше рівняння системи до виду:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

то, вирішуючи, отримаємо:

Підставляючи ці вирази рівняння (1), знаходимо:

.

Теорему доведено.

приклад.Визначити кут між прямими: y = -3x + 7; y = 2x+1.

k 1 = -3; k 2 = 2 tg =
;  = /4.

приклад.Показати, що прямі 3х – 5у + 7 = 0 та 10х + 6у – 3 = 0 перпендикулярні.

Знаходимо: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 k 2 = -1, отже, прямі перпендикулярні.

приклад.Дано вершини трикутника А(0; 1), B(6; 5), C(12; -1). Знайти рівняння висоти, проведеної з вершини З.

Знаходимо рівняння сторони АВ:
; 4x = 6y - 6;

2x - 3y + 3 = 0;

Шукане рівняння висоти має вигляд: Ax + By + C = 0 або y = kx + b.

k = . Тоді y =
. Т.к. висота проходить через точку С, її координати задовольняють даному рівнянню:
звідки b = 17. Разом:
.

Відповідь: 3x + 2y - 34 = 0.

Аналітична геометрія у просторі.

Рівняння лінії у просторі.

Рівняння прямої в просторі за точкою та

напрямний вектор.

Візьмемо довільну пряму та вектор (m, n, p), паралельний даній прямій. Вектор називається напрямним векторомпрямий.

На прямій візьмемо дві довільні точки М 0 (x 0, y 0, z 0) і M (x, y, z).

z

M 1

Позначимо радіус- вектори цих точок як і , очевидно, що - =
.

Т.к. вектори
і колінеарні, то вірне співвідношення
= t де t – деякий параметр.

Отже, можна записати: = + t.

Т.к. цього рівняння задовольняють координати будь-якої точки прямої, отримане рівняння – параметричне рівняння прямої.

Це векторне рівняння може бути представлене у координатній формі:

Перетворивши цю систему і прирівнявши значення параметра t, отримуємо канонічні рівняння прямої в просторі:

.

Визначення. Напрямними косинусамипрямий називаються напрямні косинуси вектора , які можуть бути обчислені за формулами:

;

.

Звідси отримаємо: m: n: p = cos : cos : cos.

Числа m, n, p називаються кутовими коефіцієнтамипрямий. Т.к. - ненульовий вектор, тоm, n і p не можуть дорівнювати нулю одночасно, але одне або два з цих чисел можуть дорівнювати нулю. І тут у рівнянні прямої слід прирівняти нулю відповідні чисельники.

Рівняння прямої в просторі, що проходить

через дві точки.

Якщо на прямій у просторі відзначити дві довільні точки M 1 (x 1 , y 1 , z 1) і M 2 (x 2 , y 2 , z 2), то координати цих точок повинні задовольняти отримане вище рівняння прямої:

.

Крім того, для точки М1 можна записати:

.

Вирішуючи спільно ці рівняння, отримаємо:

.

Це рівняння прямої, що проходить через дві точки у просторі.

Загальні рівняння прямої в просторі.

Рівняння прямої можна розглядати як рівняння лінії перетину двох площин.

Як було розглянуто вище, площина у векторній формі може бути задана рівнянням:

+ D = 0, де

- Нормаль площини; - радіус- вектор довільної точки площини.

Ця стаття розкриває отримання рівняння прямої, що проходить через дві задані точки прямокутної системі координат, розташованої на площині. Виведемо рівняння прямої, що проходить через дві задані точки у прямокутній системі координат. Наочно покажемо і розв'яжемо кілька прикладів, що стосуються пройденого матеріалу.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Перед отриманням рівняння прямої, що проходить через дві задані точки, необхідно звернути увагу на деякі факти. Існує аксіома, яка говорить про те, що через дві точки, що не збігаються, на площині можливо провести пряму і тільки одну. Інакше висловлюючись, дві задані точки площини визначаються прямою лінією, що проходить через ці точки.

Якщо площина задана прямокутною системою координат Оху, то будь-яка зображена в ньому пряма відповідатиме рівнянню прямої на площині. Також є зв'язок з напрямним вектором прямої. Цих даних достатньо для того, щоб зробити складання рівняння прямої, що проходить через дві задані точки.

Розглянемо на прикладі розв'язання такого завдання. Необхідно скласти рівняння прямої a , що проходить через дві точки, що не збігаються M 1 (x 1 , y 1) і M 2 (x 2 , y 2) , що знаходяться в декартовій системі координат.

У канонічному рівнянні прямої на площині, що має вигляд x - x 1 a x = y - y 1 a y , визначається прямокутна система координат О х у з прямою, яка перетинається з нею в точці з координатами M 1 (x 1 , y 1) з напрямним вектором a → = (a x , a y).

Необхідно скласти канонічне рівняння прямої a, яка пройде через дві точки з координатами M 1 (x 1 , y 1) та M 2 (x 2 , y 2) .

Пряма а має напрямний вектор M 1 M 2 → з координатами (x 2 - x 1 , y 2 - y 1), оскільки перетинає точки М 1 і М 2 . Ми отримали необхідні дані для того, щоб перетворити канонічне рівняння з координатами напрямного вектора M 1 M 2 → = (x 2 - x 1 , y 2 - y 1) і координатами точках, що лежать на них, M 1 (x 1 , y 1) і M 2 (x 2 , y 2). Отримаємо рівняння виду x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 або x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 .

Розглянемо малюнок, наведений нижче.

Наслідуючи обчислення, запишемо параметричні рівняння прямої на площині, яке проходить через дві точки з координатами M 1 (x 1 , y 1) і M 2 (x 2 , y 2) . Отримаємо рівняння виду x = x 1 + (x 2 - x 1) · λ y = y 1 + (y 2 - y 1) · λ або x = x 2 + (x 2 - x 1) · λ y = y 2 + (y 2 - y 1) · λ.

Розглянемо докладніше на вирішенні кількох прикладів.

Приклад 1

Записати рівняння прямої, що проходить через 2 задані точки з координатами M 1 - 5 2 3 M 2 1 - 1 6 .

Рішення

Канонічним рівнянням для прямої, що перетинається у двох точках з координатами x 1 , y 1 і x 2 , y 2 набуває вигляду x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 . За умовою завдання маємо, що x 1 = - 5 , y 1 = 2 3 x 2 = 1 , y 2 = - 1 6 . Необхідно підставити числові значення рівняння x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 . Звідси отримаємо, що канонічне рівняння набуде вигляду x - (- 5) 1 - (- 5) = y - 2 3 - 1 6 - 2 3 ⇔ x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 .

Відповідь: x + 5 6 = y – 2 3 – 5 6 .

При необхідності розв'язання задачі з іншим видом рівняння, то для початку можна перейти до канонічного, тому що з нього простіше дійти будь-якого іншого.

Приклад 2

Скласти загальне рівняння прямої, що проходить через точки з координатами M 1 (1 , 1) та M 2 (4 , 2) у системі координат О х у.

Рішення

Для початку необхідно записати канонічне рівняння заданої прямої, яка проходить через дві точки. Отримаємо рівняння виду x - 1 4 - 1 = y - 1 2 - 1 ⇔ x - 1 3 = y - 1 1 .

Наведемо канонічне рівняння до виду, тоді отримаємо:

x - 1 3 = y - 1 1 ⇔ 1 · x - 1 = 3 · y - 1 ⇔ x - 3 y + 2 = 0

Відповідь: x - 3 y + 2 = 0.

Приклади таких завдань було розглянуто у шкільних підручниках під час уроків алгебри. Шкільні завдання відрізнялися тим, що відомим було рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом, що має вигляд y = k x + b. Якщо необхідно знайти значення кутового коефіцієнта k та числа b, при яких рівняння y = k x + b визначає лінію в системі О х у, яка проходить через точки M 1 (x 1 , y 1) та M 2 (x 2 , y 2) де x 1 ≠ x 2 . Коли x1 = x2 тоді кутовий коефіцієнт набуває значення нескінченності, а пряма М 1 М 2 визначена загальним неповним рівнянням виду x - x 1 = 0 .

Тому що точки М 1і М 2знаходяться на прямій, тоді їх координати задовольняють рівняння y 1 = k x 1 + b і y 2 = k x 2 + b. Слід вирішити систему рівнянь y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b щодо k і b.

Для цього знайдемо k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 · x 1 або k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 · x 2 .

З такими значеннями k і b рівняння прямої, що проходить через задані дві точки, набуває наступного вигляду y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 · x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 · x 1 або y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 · x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 · x 2 .

Запам'ятати відразу таку величезну кількість формул не вдасться. Для цього необхідно частішати кількість повторень у розв'язках задач.

Приклад 3

Записати рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом, що проходить через точки з координатами M 2 (2 1) і y = k x + b .

Рішення

Для вирішення задачі застосовуємо формулу з кутовим коефіцієнтом, що має вигляд y = k x + b. Коефіцієнти k і b повинні набувати таке значення, щоб дане рівняння відповідало прямий, що проходить через дві точки з координатами M 1 (- 7 , - 5) та M 2 (2 , 1) .

Крапки М 1і М 2розташовуються на прямій, тоді їх координати повинні звертати рівняння y = k x + b правильну рівність. Звідси отримуємо, що - 5 = k · (- 7) + b та 1 = k · 2 + b . Об'єднаємо рівняння в систему - 5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b і розв'яжемо.

При підстановці отримуємо, що

5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k + b = 1 ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k - 5 + 7 k = 1 ⇔ ⇔ b = - 5 + 7 k k = 2 3 ⇔ b = - 5 + 7 · 2 3 k = 2 3 ⇔ b = - 1 3 k = 2 3

Тепер значення k = 2 3 і b = - 1 3 піддаються підстановці рівняння y = k x + b. Отримуємо, що шуканим рівнянням, яке проходить через задані точки, буде рівняння, що має вигляд y = 2 3 x - 1 3 .

Такий спосіб вирішення визначає витрати великої кількості часу. Існує спосіб, у якому завдання вирішується буквально на дві дії.

Запишемо канонічне рівняння прямої, що проходить через M 2 (2 , 1) і M 1 (- 7 , - 5) , що має вигляд x - (- 7) 2 - (- 7) = y - (- 5) 1 - (- 5) ⇔ x + 7 9 = y + 5 6 .

Тепер переходимо до рівняння у кутовому коефіцієнті. Отримуємо, що: x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 · (x + 7) = 9 · (y + 5) ⇔ y = 2 3 x - 1 3 .

Відповідь: y = 2 3 x – 1 3 .

Якщо в тривимірному просторі є прямокутна система координат О х у z з двома заданими несхожими точками з координатами M 1 (x 1 , y 1 , z 1) і M 2 (x 2 , y 2 , z 2) , що проходить через них пряма M 1 M 2 необхідно отримати рівняння цієї прямої.

Маємо, що канонічні рівняння виду x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z та параметричні види x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ здатні задати лінію в системі координат О х у z , що проходить через точки, що мають координати (x 1 , y 1 , z 1) з напрямним вектором a → = (a x , a y , a z) .

Пряма M 1 M 2 має напрямний вектор виду M 1 M 2 → = (x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1) , де пряма проходить через точку M 1 (x 1 , y 1 , z 1) та M 2 (x 2 , y 2 , z 2) , звідси канонічне рівняння може бути виду x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 або x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 = z - z 2 z 2 - z 1 , у свою чергу параметричні x = x 1 + (x 2 - x 1) · λ y = y 1 + (y 2 - y 1) · λ z = z 1 + (z 2 - z 1) · λ або x = x 2 + (x 2 - x 1) · λ y = y 2 + (y 2 - y 1) · λ z = z 2 + (z 2 - z 1) · λ .

Розглянемо малюнок, на якому зображені 2 задані точки у просторі та рівняння прямої.

Приклад 4

Написати рівняння прямої, визначеної у прямокутній системі координат О х у z тривимірного простору, що проходить через задані дві точки з координатами M 1 (2 , - 3 , 0) та M 2 (1 , - 3 , - 5) .

Рішення

Потрібно знайти канонічне рівняння. Оскільки йдеться про тривимірний простір, значить при проходженні прямої через задані точки, шукане канонічне рівняння набуде вигляду x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 .

За умовою маємо, що x 1 = 2, y 1 = - 3, z 1 = 0, x 2 = 1, y 2 = - 3, z 2 = - 5. Звідси випливає, що необхідні рівняння запишуться таким чином:

x - 2 1 - 2 = y - (- 3) - 3 - (- 3) = z - 0 - 5 - 0 ⇔ x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5

Відповідь: x – 2 – 1 = y + 3 0 = z – 5 .

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Пряма, що проходить через точку K(x 0 ; y 0) і паралельна прямий y = kx + a знаходиться за формулою:

y - y 0 = k(x - x 0) (1)

Де k – кутовий коефіцієнт прямий.

Альтернативна формула:
Пряма, що проходить через точку M 1 (x 1 ; y 1) і паралельна прямий Ax+By+C=0 представляється рівнянням

A(x-x 1)+B(y-y 1)=0 . (2)

Скласти рівняння прямої, що проходить через точку K( ;) паралельно прямий y = x + .

Приклад №1. Скласти рівняння прямої, що проходить через точку M 0 (-2,1) і при цьому:
а) паралельно прямий 2x+3y -7 = 0;
б) перпендикулярно до прямої 2x+3y -7 = 0.
Рішення . Подамо рівняння з кутовим коефіцієнтом у вигляді y = kx + a. Для цього перенесемо всі значення, окрім y у праву частину: 3y = -2x + 7 . Потім розділимо праву частину коефіцієнт 3 . Отримаємо: y = -2/3x + 7/3
Знайдемо рівняння NK, що проходить через точку K(-2;1), паралельно прямий y = -2/3 x + 7/3
Підставляючи x 0 = -2, k = -2 / 3, y 0 = 1 отримаємо:
y-1 = -2/3 (x-(-2))
або
y = -2/3 x - 1/3 або 3y + 2x +1 = 0

Приклад №2. Написати рівняння прямої, паралельної прямої 2x + 5y = 0 і твірної разом з осями координат трикутник, площа якого дорівнює 5.
Рішення . Так як прямі паралельні, то рівняння прямої прямої 2x + 5y + C = 0. Площа прямокутного трикутника , де a і b його катети. Знайдемо точки перетину шуканої прямої з осями координат:
;
.
Отже, A(-C/2,0), B(0,-C/5). Підставимо у формулу для площі: . Отримуємо два рішення: 2x + 5y + 10 = 0 та 2x + 5y – 10 = 0 .

Приклад №3. Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку (-2; 5) і паралельна пряма 5x-7y-4=0 .
Рішення. Цю пряму можна уявити рівнянням y = 5 / 7 x - 4 / 7 (тут a = 5 / 7). Рівняння шуканої прямої є y – 5 = 5/7 (x – (-2)), тобто. 7(y-5)=5(x+2) або 5x-7y+45=0.

Приклад №4. Розв'язавши приклад 3 (A=5, B=-7) за формулою (2), знайдемо 5(x+2)-7(y-5)=0.

Приклад №5. Скласти рівняння прямої, що проходить через точку (-2; 5) та паралельної прямої 7x+10=0.
Рішення. Тут A = 7, B = 0. Формула (2) дає 7(x+2)=0, тобто. x+2=0. Формула (1) не застосовна, оскільки дане рівняння не можна розв'язати щодо y (дана пряма паралельна осі ординат).

Рівняння прямої, що проходить через дві точки. у статті" " я обіцяв вам розібрати другий спосіб розв'язання представлених задач на знаходження похідної, при даному графіку функції та дотичної до цього графіка. Цей спосіб ми розберемо в , НЕ пропустіть! Чомуу наступній?

Справа в тому, що там використовуватиметься формула рівняння прямої. Звичайно, можна було б просто показати цю формулу та порадити вам її вивчити. Але краще пояснити – від куди вона виходить (як виводиться). Це необхідно! Якщо ви забудете її, то швидко відновити їїне уявить праці. Нижче докладно все викладено. Отже, у нас на координатній площині є дві точки А(х 1 ;у 1) і В(х 2 ;у 2) через зазначені точки проведена пряма:

Ось сама формула прямої:

*Тобто при підстановці конкретних координат точок ми отримаємо рівняння виду y=kx+b.

**Якщо цю формулу просто «зазубрити», то є велика можливість заплутатися з індексами при х. Крім того, індекси можуть позначатися по-різному, наприклад:

Тому й важливо розуміти сенс.

Тепер виведення цієї формули. Все дуже просто!

Трикутники АВЕ і ACF подібні до гострого кута (перша ознака подібності прямокутних трикутників). З цього випливає, що відносини відповідних елементів рівні, тобто:

Тепер просто виражаємо дані відрізки через різницю координат точок:

Звичайно, не буде жодної помилки якщо ви запишите відносини елементів в іншому порядку (головне дотримуватися відповідності):

В результаті вийде одне й теж рівняння прямої. Це все!

Тобто, як би не були позначені самі точки (та їх координати), розуміючи цю формулу, ви завжди знайдете рівняння прямої.

Формулу можна вивести використовуючи властивості векторів, але принцип виведення буде той самий, тому що йтиметься про пропорційність їх координат. В цьому випадку працює все те ж подібність прямокутних трикутників. На мій погляд описаний вище висновок більш зрозумілий)).

Подивитися висновок через координати векторів >>>

Нехай на координатній площині побудована пряма, що проходить через дві задані точки А(х 1 ;у 1) і В(х 2 ;у 2). Зазначимо на прямій довільну точку З координатами ( x; y). Також позначимо два вектори:

Відомо, що у векторів, що лежать на паралельних прямих (або на одній прямій), їх відповідні координати пропорційні, тобто:

- Записуємо рівність відносин відповідних координат:

Розглянемо приклад:

Знайти рівняння прямої, що проходить через дві точки з координатами (2; 5) та (7: 3).

Можна навіть не будувати саму пряму. Застосовуємо формулу:

Важливо, щоб ви вловили відповідність при складанні співвідношення. Ви не помилитеся, якщо запишіть:

Відповідь: у=-2/5x+29/5 йди у=-0,4x+5,8

Щоб переконатися, що отримане рівняння знайдено правильно, обов'язково робіть перевірку — підставте у нього координати даних за умови точок. Повинні вийде вірні рівність.

На цьому все. Сподіваюся, що матеріал був вам корисний.

З повагою, Олександр.

PS: Буду вдячний Вам, якщо розповісте про сайт у соціальних мережах.