мала. Оскільки при font-size:14.0pt">~ (див. ), то ~ .

Враховуючи це, отримаємо:

отже, ряд розходиться.

Г) font-size:14.0pt">,

отже, ряд розходиться.

Умова є необхідним,але не достатнімумовою збіжності ряду: існує безліч рядів, для якихале які розходяться.

Приклад 3.Дослідити збіжність ряду font-size:14.0pt"> Рішення.Зауважимо, що https://pandia.ru/text/79/302/images/image066_20.gif" width="119" height="59 src="> , Т. е. необхідну умову збіжності виконано. Часткова сума

left">

– раз

тому font-size:14.0pt">, а це означає, що ряд розходиться за визначенням.

Достатні ознаки збіжності знакопозитивних рядів

Нехай. Тоді рядfont-size:14.0pt"> Ознака порівняння

Нехай та – знакопозитивні ряди. Якщо всім виконується нерівність , то зі збіжності ряду слід збіжність ряду , та якщо з розбіжності низки .

Ця ознака залишається в силі, якщо нерівність, а лише починаючи з деякого номера . Його можна проінтерпретувати так: якщо більший ряд сходиться, то менший тим більше сходиться, якщо розходиться менший ряд, то більший також розходиться.

Приклад 4.Дослідити збіжність низки 0 " style="margin-left:50.4pt;border-collapse:collapse">

;

Рішення.

А) Зауважимо, що для всіх . Ряд із спільним членом

Б) Порівняємо ряд з рядом ..gif" width="91" розходиться, отже, цей ряд також розходиться.

Незважаючи на простоту формулювання ознаки порівняння, на практиці зручніша наступна теорема, що є його наслідком.

Гранична ознака порівняння

Нехай https://pandia.ru/text/79/302/images/image071_17.gif" width="53" height="60 src="> - знакопозитивні ряди. Якщо існує кінцевийі не рівний нулюмежа , то обидва ряди і

одночасно сходяться або одночасно розходяться.

Як ряд, який використовується для порівняння з даними, часто вибирають ряд виду . Такий ряд називається поряд Діріхле. У прикладах 3 і 4 було показано, що ряд Діріхле з і розходиться. Можна поки-

зати, що ряд font-size:14.0pt"> .

Якщо , то ряд називається гармонійним. Гармонічний ряд розходиться.

Приклад 5.Дослідити на збіжність рядза допомогою граничної ознаки порівняння, якщо

Рішення.а) Так як при досить великих http://www.pandia.ru/text/79/302/images/image101_9.gif"

~ , то ~ font-size:14.0pt">порівняння з цим гармонійний ряд font-size:14.0pt">, тобто .

Оскільки межа кінцева і відмінна від нуля і гармонійний ряд розходиться, то розходиться і даний ряд.

Б) При досить великих https://pandia.ru/text/79/302/images/image109_10.gif" width="111" src=">.gif" width="132" height="64 src="> – спільний член ряду, з яким порівнюватимемо цей:

Ряд сходиться ( ряд Діріхле з font-size:16.0pt">)тому цей ряд також сходиться.

В) тому нескінченно малу font-size:14.0pt">можна

замінити на еквівалентну їй за величину(https://pandia.ru/text/79/302/images/image058_20.gif" width="13" height="21 src="> при font-size: 20.0pt">). ;

;

;

г)

;

.

Такі суми називаються нескінченними рядами, які складові – членами низки. (Многоточие означає, що кількість доданків нескінченно.) Рішення складних математичних завдань рідко вдається у вигляді у вигляді формул. Однак у більшості випадків ці рішення можна записати у вигляді рядів. Після того, як таке рішення знайдено, методи теорії рядів дозволяють оцінити скільки членів ряду необхідно взяти для конкретних обчислень або як записати відповідь у найбільш зручному вигляді. Поряд із числовими рядами ми можемо розглядати т.зв. функціональні ряди, доданками яких є функції . Багато функцій можна уявити за допомогою функціональних рядів. Вивчення числових та функціональних рядів є важливою частиною математичного аналізу.

У прикладах (1) і (2) порівняно легко здогадатися, яким законом утворюються послідовні члени. Закон освіти членів низки може бути набагато менш очевидним. Наприклад, для ряду (3) він стане зрозумілим, якщо цей ряд записати в наступному вигляді:

Сходові ряди.

Оскільки додавання нескінченного числа членів ряду фізично неможливе, необхідно визначити, що саме слід розуміти під сумою нескінченного ряду. Можна уявити, що зазначені операції додавання та віднімання виконуються послідовно, одна за одною, наприклад, на комп'ютері. Якщо які виникають у своїй суми (часткові суми) дедалі ближче і ближче підходять до деякому числу, це число розумно назвати сумою нескінченного ряду. Таким чином, суму нескінченного ряду можна визначити як межу послідовності часткових сум. При цьому такий ряд називається схожим.

Знайти суму ряду (3) неважко, якщо помітити, що перетворений ряд (4) можна записати як

Послідовні часткові суми ряду (5) дорівнюють

і т.д.; можна помітити, що часткові суми прагнуть 1. Таким чином, цей ряд сходиться і його сума дорівнює 1.

Як приклад нескінченних рядів можна розглядати нескінченні десяткові дроби. Так, 0,353535... – це нескінченний періодичний десятковий дріб, що є компактним способом запису ряду

Закон освіти послідовних членів тут зрозумілий. Аналогічно, 3,14159265... означає

Проте закон освіти наступних членів низки тут неочевидний: цифри утворюють десяткове розкладання числа p, і важко відразу сказати, якою, наприклад, є 100 000-а цифра, хоча теоретично цю цифру можна обчислити.

Розбіжні ряди.

Про нескінченний ряд, який не сходиться, кажуть, що він розходиться (такий ряд називають розбіжним). Наприклад, ряд

розходиться, оскільки його часткові суми дорівнюють 1/2, 1, 1 1 / 2 , 2,.... Ці суми не прагнуть до якого числа як до межі, оскільки, взявши досить багато членів ряду, ми можемо зробити часткову суму скільки завгодно великий. Ряд

також розходиться, але з іншої причини: часткові суми цього ряду по черзі звертаються то в 1, то в 0 і не прагнуть межі.

Підсумовування.

Знайти суму схожого ряду (із заданою точністю), послідовно підсумовуючи його члени, хоча теоретично і можливо, але важко здійснимо. Наприклад, ряд

сходиться, і сума його з точністю до десяти знаків після коми дорівнює 1,6449340668, але для того, щоб обчислити її з цією точністю, потрібно взяти бл. 20 млрд. Членів. Такі ряди зазвичай підсумовують, спочатку перетворюючи їх за допомогою різних прийомів. При цьому використовують методи алгебри або обчислювальні; наприклад, можна показати, що сума ряду (8) дорівнює p 2 /6.

Позначення.

Працюючи з нескінченними рядами, корисно мати зручні позначення. Наприклад, кінцеву суму ряду (8) можна записати як

Такий запис вказує на те, що nпослідовно належить рівним 1, 2, 3, 4 і 5, а результати складаються:

Аналогічно, ряд (4) можна записати у вигляді

де символ Ґ вказує на те, що ми маємо справу з нескінченним рядом, а не з кінцевою його частиною. Символ S (сигма) називають знаком підсумовування.

Нескінченна геометрична прогресія.

Ми змогли підсумувати ряд (4), оскільки була проста формула для його часткових сум. Аналогічно, можна знайти суму ряду (2), або у загальному вигляді,

якщо rприймає значення між –1 та 1. У цьому випадку сума ряду (9) дорівнює 1/(1 – r); при інших значеннях rРяд (9) розходиться.

Можна розглядати періодичні десяткові дроби на кшталт 0,353535... як інший спосіб запису нескінченної геометричної прогресії

Цей вираз можна записати також у вигляді

де в дужках стоїть ряд (9) з r= 0,01; отже, сума ряду (10) дорівнює

У такий же спосіб можна представити у вигляді звичайного дробу будь-який періодичний десятковий дріб.

Ознаки збіжності.

У випадку простої формули для часткових сум нескінченного низки немає, отже задля встановлення збіжності чи розбіжності низки вдаються до спеціальним методам. Наприклад, якщо всі члени ряду позитивні, то можна показати, що ряд сходиться, якщо кожен його член не перевищує відповідного члена іншого ряду, про який відомо, що він сходиться. У прийнятих позначеннях це можна записати так: якщо a nі 0 і сходиться, то сходиться, якщо 0 Ј b n Ј a n. Наприклад, оскільки ряд (4) сходиться і

можна зробити висновок, що ряд (8) теж сходиться. Порівняння являє собою основний метод, що дозволяє встановлювати збіжність багатьох рядів, зіставляючи їх з найпростішими рядами, що сходяться. Іноді використовують більш спеціальні ознаки збіжності (їх можна знайти в літературі з теорії рядів.) Наведемо ще кілька прикладів рядів, що сходяться з позитивними членами:

Порівняння можна використовувати для встановлення розбіжності ряду. Якщо ряд розходиться, то ряд також розходиться, якщо 0 Ј b n Ј a n.

Прикладами рядів, що розходяться, можуть служити ряди

і, зокрема, т.к. гармонійний ряд

У розбіжності цього ряду можна переконатися, порахувавши такі часткові суми:

і т.д. Таким чином, часткові суми, які закінчуються членами 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, ј , перевищують часткові суми ряду, що розходиться (6), і тому ряд (14) повинен розходитися.

Абсолютна та умовна збіжності.

До таких лав, як

Метод порівняння не застосовується, оскільки члени цього ряду мають різні знаки. Якби всі члени ряду (15) були позитивними, ми отримали б ряд (3), про який відомо, що він сходиться. Можна показати, що звідси слід також збіжність низки (15). Коли зміною знаків негативних членів ряду на протилежні його можна перетворити на схожий, кажуть, що вихідний ряд сходиться абсолютно.

Знакозмінний гармонійний ряд (1) перестав бути абсолютно схожим, т.к. ряд (14), що складається з тих самих, але тільки позитивних членів, не сходиться. Однак за допомогою спеціальних ознак збіжності для знакозмінних рядів можна показати, що ряд (1) насправді сходиться. Схожий ряд, який не сходиться абсолютно, називається умовно схожим.

Операції із рядами.

Виходячи з визначення ряду, що сходить, легко показати, що його збіжність не порушиться від викреслення або приписування до нього кінцевого числа членів, а також від множення або поділу всіх членів ряду на те саме число (зрозуміло, розподіл на 0 виключається). При будь-якій перестановці членів ряду, що абсолютно сходить, його збіжність не порушується, а сума не змінюється. Наприклад, оскільки сума ряду (2) дорівнює 1, сума ряду

також дорівнює 1, оскільки цей ряд виходить із ряду (2) перестановкою сусідніх членів (1-го члена з 2-м тощо). Можна як завгодно змінювати порядок слідування членів абсолютно схожого ряду, аби в новому ряду були присутні всі члени вихідного. З іншого боку, перестановка членів ряду, що умовно сходить, може змінити його суму і навіть зробити його розбіжним. Більше того, члени ряду, що умовно сходить, завжди можна переставити так, що він буде сходитися до будь-якої заздалегідь заданої суми.

Два схожі ряди S a nта S b nможна почленно складати (або віднімати), так що сума нового ряду (який також сходиться) складається із сум вихідних рядів, у наших позначеннях

При додаткових умовах, наприклад, якщо обидва ряди абсолютно сходяться, їх можна множити один на одного, як це робиться для кінцевих сум, причому подвійний ряд ( див. нижче) буде сходитися до праці сум вихідних рядів.

Підсумовуваність.

Незважаючи на те, що прийняте нами визначення збіжності нескінченного ряду здається природним, воно не є можливим. Суму нескінченного ряду можна визначити й іншими способами. Розглянемо, наприклад, ряд (7), який може бути записано компактно у вигляді

Як ми вже говорили, його часткові суми поперемінно набувають значення 1 і 0, і тому ряд не сходиться. Але якщо утворюємо послідовно попарні середні його часткових сум (поточне середнє), тобто. обчислимо спочатку середнє значення першої та другої часткових сум, потім середнє другої та третьої, третьої та четвертої і т.д., то кожне таке середнє буде дорівнює 1/2, і тому межа попарних середніх також виявиться рівним 1/2. У цьому випадку кажуть, що ряд сумуємо зазначеним методом та його сума дорівнює 1/2. Було запропоновано багато способів підсумовування, що дозволяють приписувати суми досить широким класам розбіжних рядів і цим використовувати деякі розбіжності ряди в обчисленнях. Для більшості цілей спосіб підсумовування корисний, однак, тільки в тому випадку, якщо стосовно ряду, що сходить, він дає його кінцеву суму.

Ряди із комплексними членами.

Досі ми мовчазно припускали, що маємо справу лише з дійсними числами, але всі визначення та теореми застосовні і до рядів з комплексними числами (за винятком того, що суми, які можуть бути отримані при перестановці членів умовно схожих рядів, не можуть приймати довільні значення).

Функціональні лави.

Як ми вже зазначали, членами нескінченного ряду можуть бути не лише числа, а й функції, наприклад,

Сумою такого ряду також є функція, значення якої у кожній точці виходить як межа обчислених у цій точці часткових сум. На рис. 1 показані графіки декількох часткових сум та суми ряду (при x, Що змінюється від 0 до 1); s n(x) означає суму перших nчленів. Сума ряду є функцією, що дорівнює 1 при 0 Ј x x = 1. Функціональний ряд може сходитися за одних значень xі розходитися за інших; у розглянутому нами прикладі ряд сходиться при -1Ј x x.

Суму функціонального ряду можна розуміти по-різному. У деяких випадках важливіше знати, що часткові суми близькі (у тому чи іншому сенсі) до певної функції на всьому інтервалі. a, b), чим доводити збіжність чи розбіжність низки окремих точках. Наприклад, позначивши часткову суму n-го порядку через s n(x), ми говоримо, що ряд сходиться в середньому квадратичному до суми s(x), якщо

Ряд може сходитися в середньому квадратичному, навіть якщо він не сходиться в жодній окремій точці. Існують також інші визначення збіжності функціонального ряду.

Деякі функціональні ряди отримали назву за тими функціями, які входять до них. Як приклад можна навести статечні ряди та їх суми:

Перший із цих рядів сходиться при всіх x. Другий ряд сходиться за | x| r x r x| 1, якщо r> 0 (за винятком тих випадків, коли r- Негативне ціле число; у разі ряд обривається після кінцевого числа членів). Формула (17) називається біноміальним розкладанням довільного ступеня.

Ряди Діріхле.

Рядами Діріхле називаються функціональні ряди виду S (1/ a n x), де числа a nнеобмежено зростають; прикладом ряду Діріхле може бути дзета-функція Рімана

Ряди Діріхле часто використовуються в теорії чисел.

Тригонометричні ряди.

Так називаються функціональні ряди, що містять тригонометричні функції; Тригонометричні ряди спеціального виду, що використовуються в гармонійному аналізі, називаються рядами Фур'є. Прикладом ряду Фур'є може бути ряд

F ( x), що має таку властивість: якщо ми візьмемо конкретну часткову суму ряду (18), наприклад суму перших трьох його членів, то різниця між f(x) та цією частковою сумою, обчисленою при деякому значенні x, буде мала при всіх значеннях xпоблизу 0. Інакше кажучи, хоча ми не може досягти хорошої апроксимації функції f(x) в будь-якій конкретній точці x, Далека від нуля, взявши навіть дуже багато членів ряду, але при x, близькому до 0, лише кілька його членів дають дуже хороше її наближення. Такі ряди називаються асимптотичними. У чисельних розрахунках асимптотичні ряди зазвичай корисніші, ніж ті, що сходяться, оскільки вони за допомогою невеликої кількості членів забезпечують досить гарне наближення. Асимптотичні ряди широко використовуються в теорії ймовірностей та математичної фізики.

Подвійні лави.

Іноді доводиться підсумовувати двовимірні масиви чисел

Ми можемо підсумувати рядки, а потім скласти рядкові суми. Взагалі кажучи, ми не маємо особливих підстав віддавати перевагу рядкам перед стовпцями, але якщо підсумовування спочатку проводити по стовпцях, то результат може виявитися іншим. Наприклад, розглянемо подвійний ряд

Тут кожен рядок сходить до суми, що дорівнює 0, і сума рядкових сум тому також дорівнює нулю. З іншого боку, сума членів першого стовпця дорівнює 1, а всіх інших стовпців дорівнює 0, тому сума сум по стовпцях дорівнює 1. Єдиними «зручними» подвійними рядами, що сходяться, є абсолютно схожі подвійні ряди: їх можна підсумовувати по рядках або стовпцях, так само як і будь-яким іншим способом, і сума завжди виходить однією і тією ж. Якогось природного визначення умовної збіжності подвійних рядів немає.

Основні визначення.

Визначення. Сума членів нескінченної числової послідовності називається числовим рядом.

При цьому числа
називатимемо членами ряду, а u n- Спільним членом ряду.

Визначення. Суми
,n = 1, 2, … називаються приватними (частковими) сумамиряду.

Таким чином, можна розглядати послідовності часткових сум ряду S 1 , S 2 , …, S n , …

Визначення. Ряд
називається схожимякщо сходиться послідовність його приватних сум. Сума схожого ряду- Межа послідовності його приватних сум.

Визначення. Якщо послідовність приватних сум низки розходиться, тобто. не має межі, або має нескінченну межу, то ряд називається розбіжнимі йому не ставлять у відповідність жодної суми.

Властивості лав.

1) Збіжність чи розбіжність ряду не порушиться якщо змінити, відкинути чи додати кінцеве число членів ряду.

2) Розглянемо два ряди
і
, де З - постійне число.

Теорема. Якщо ряд
сходиться і його сума дорівнюєS, то ряд
теж сходиться, і його сума дорівнює СS. (C  0)

3) Розглянемо два ряди
і
.Сумоюабо різницеюцих рядів буде називатися ряд
, Де елементи отримані в результаті складання (віднімання) вихідних елементів з однаковими номерами.

Теорема. Якщо ряди
і
сходяться та їх суми рівні відповідноSі , то ряд
теж сходиться і його сума дорівнюєS +  .

Різниця двох рядів, що сходяться, також буде схожим рядом.

Сума схожого і розбіжного рядів буде рядом, що розходиться.

Про суму двох рядів загального затвердження, що розходяться, зробити не можна.

При вивченні рядів вирішують переважно дві задачі: дослідження на збіжність і перебування суми ряду.

Критерій Коші.

(Необхідні та достатні умови збіжності ряду)

Для того, щоб послідовність
була схожою, необхідно і достатньо, щоб для будь-кого
існував такий номерN, що заn > Nі будь-комуp> 0, де р - ціле число, виконувалася б нерівність:

.

Доведення. (Необхідність)

Нехай
тоді для будь-якого числа
знайдеться номер N такий, що нерівність

виконується за n>N. При n>N та будь-якому цілому p>0 виконується також нерівність
. Враховуючи обидві нерівності, отримуємо:

Необхідність доведена. Доказ достатності не розглядатимемо.

Сформулюємо критерій Коші для низки.

Для того, щоб ряд
був схожим необхідно і достатньо, щоб для будь-кого
існував номерNтакий, що приn> Nі будь-комуp>0 виконувалася б нерівність

.

Проте, практично використовувати безпосередньо критерій Коші не дуже зручно. Тому зазвичай використовуються прості ознаки збіжності:

1) Якщо ряд
сходиться, то необхідно, щоб спільний член u nпрагнув до нуля. Однак, ця умова не є достатньою. Можна говорити тільки про те, що якщо загальний член не прагне нуля, то ряд точно розходиться. Наприклад, так званий гармонійний ряд є розбіжним, хоча його спільний член і прагне нуля.

приклад.Дослідити збіжність ряду

Знайдемо
- необхідна ознака збіжності не виконується, отже ряд розходиться.

2) Якщо ряд сходиться, то послідовність його приватних сум обмежена.

Однак, ця ознака також не є достатньою.

Наприклад, ряд 1-1+1-1+1-1+ … +(-1) n +1 +… розходиться, т.к. розходиться послідовність його приватних сум через те, що

Проте, у своїй послідовність приватних сум обмежена, т.к.
за будь-якого n.

Ряди з невід'ємними членами.

Під час вивчення знакопостійних рядів обмежимося розглядом рядів із неотрицательными членами, т.к. при простому множенні на -1 із цих рядів можна отримати ряди з негативними членами.

Теорема. Для збіжності ряду
з невід'ємними членами необхідно та достатньо, щоб приватні суми ряду були обмежені.

Ознака порівняння рядів із неотрицательными членами.

Нехай дані два ряди
і
при u n , v n  0 .

Теорема. Якщо u n  v nза будь-якого n, то зі збіжності ряду
слід збіжність ряду
, а з розбіжності ряду
слід розбіжність ряду
.

Доведення. Позначимо через S n і  nприватні суми рядів
і
. Т.к. за умовою теореми ряд
сходиться, його приватні суми обмежені, тобто. при всіх n n  M, де М – кілька. Але т.к. u n  v n, то S n   nто приватні суми ряду
теж обмежені, а цього достатньо для збіжності.

приклад.Дослідити на збіжність ряд

Т.к.
, а гармонійний ряд розходиться, то розходиться і ряд
.

приклад.

Т.к.
, а ряд
сходиться (як спадна геометрична прогресія), то ряд
теж сходиться.

Також використовується така ознака збіжності:

Теорема. Якщо
і існує межа
, деh- Число, відмінне від нуля, то ряди
і
ведуть однаково у сенсі збіжності.

Ознака Даламбера.

(Жан Лерон Даламбер (1717 – 1783) – французький математик)

Якщо для ряду
з позитивними членами існує така кількістьq<1, что для всех достаточно больших nвиконується нерівність

то ряд
сходиться, якщо для всіх досить великихnвиконується умова

то ряд
розходиться.

Гранична ознака Даламбер.

Гранична ознака Даламбер є наслідком з наведеної вище ознаки Даламбера.

Якщо існує межа
, то при < 1 ряд сходится, а при  > 1 – розходиться. Якщо = 1, то питання про збіжності відповісти не можна.

приклад.Визначити збіжність ряду .

Висновок: ряд сходиться.

приклад.Визначити збіжність ряду

Висновок: ряд сходиться.

Ознака Коші. (радикальна ознака)

Якщо для ряду
з невід'ємними членами існує така кількістьq<1, что для всех достаточно больших nвиконується нерівність

,

то ряд
сходиться, якщо для всіх досить великихnвиконується нерівність

то ряд
розходиться.

Наслідок. Якщо існує межа
, то при<1 ряд сходится, а при >1 ряд розходиться.

приклад.Визначити збіжність ряду
.

Висновок: ряд сходиться.

приклад.Визначити збіжність ряду
.

Тобто. ознака Коші не дає відповіді на питання про збіжність низки. Перевіримо виконання необхідних умов збіжності. Як було сказано вище, якщо ряд сходиться, то загальний член ряду прагне нуля.

,

таким чином, необхідна умова збіжності не виконується, отже, ряд розходиться.

Інтегральна ознака Коші.

Якщо (х) - безперервна позитивна функція, що зменшується на проміжкуі
то інтеграли
і
поводяться однаково у сенсі збіжності.

Знакозмінні ряди.

Знакочередні ряди.

Знак чередующийся ряд можна записати у вигляді:

де

Ознака Лейбниця.

Якщо у ряду знак черги абсолютні величиниu i спадають
і загальний член прагне нуля
, то ряд сходиться.

Абсолютна та умовна збіжність рядів.

Розглянемо деякий знакозмінний ряд (з членами довільних знаків).

(1)

та ряд, складений з абсолютних величин членів ряду (1):

(2)

Теорема. Зі збіжності ряду (2) випливає збіжність ряду (1).

Доведення. Ряд (2) поруч із неотрицательными членами. Якщо ряд (2) сходиться, то за критерієм Коші для будь-якого >0 існує число N, таке, що при n>N і будь-якому цілому p>0 вірна нерівність:

За якістю абсолютних величин:

Тобто за критерієм Коші зі збіжності ряду (2) слід збіжність ряду (1).

Визначення. Ряд
називається абсолютно схожимякщо сходиться ряд
.

Вочевидь, що з знакопостійних рядів поняття збіжності та абсолютної збіжності збігаються.

Визначення. Ряд
називається умовно схожимякщо він сходиться, а ряд
розходиться.

Ознаки Даламбера та Коші для знакозмінних рядів.

Нехай
- Знакоперемінний ряд.

Ознака Даламбера. Якщо існує межа
, то при<1 ряд
буде абсолютно схожим, а при>

Ознака Коші. Якщо існує межа
, то при<1 ряд
буде абсолютно схожим, а при 1 ряд буде розбіжним. При =1 ознака не дає відповіді на збіжність ряду.

Властивості рядів, що абсолютно сходяться.

1) Теорема. Для абсолютної збіжності ряду
необхідно і достатньо, щоб його можна було представити у вигляді різниці двох рядів, що сходяться, з неотрицательными членами.

Наслідок. Умовно схожий ряд є різницею двох розбіжних рядів з невід'ємними членами, що прагнуть до нуля.

2) У ряді, що сходить, будь-яке угруповання членів ряду, що не змінює їх порядку, зберігає збіжність і величину ряду.

3) Якщо ряд сходить абсолютно, то ряд, отриманий з нього будь-якою перестановкою членів, також абсолютно сходяться і має ту ж суму.

Перестановкою членів ряду, що умовно сходиться, можна отримати умовно сходящийся ряд, що має будь-яку наперед задану суму, і навіть розбіжний ряд.

4) Теорема. При будь-якому угрупованні членів абсолютно схожого ряду (при цьому число груп може бути як кінцевим, так і нескінченним і число членів у групі може бути як кінцевим, так і нескінченним) виходить ряд, що сходиться, сума якого дорівнює сумі вихідного ряду.

5) Якщо ряди і сходяться абсолютно та їх суми рівні відповідно S і , то ряд, складений із усіх творів виду
взятих в будь-якому порядку, також сходиться абсолютно і його сума дорівнює S - Добутку сум перемножуваних рядів.

Якщо ж робити перемноження рядів, що умовно сходяться, то в результаті можна отримати розбіжний ряд.

Функціональні послідовності.

Визначення. Якщо членами ряду будуть не числа, а функції від х, то ряд називається функціональним.

Дослідження на збіжність функціональних рядів складніше за дослідження числових рядів. Один і той же функціональний ряд може при одних значеннях змінної хсходитися, а за інших – розходитися. Тому питання збіжності функціональних рядів зводиться до визначення тих значень змінної х, у яких ряд сходиться.

Сукупність таких значень називається областю збіжності.

Оскільки межею кожної функції, що входить в область збіжності ряду, є деяке число, межею функціональної послідовності буде деяка функція:

Визначення. Послідовність ( f n (x) } сходитьсядо функції f(x) на відрізку , якщо для будь-якого числа >0 та будь-якої точки хз аналізованого відрізка існує номер N = N(, x), такий, що нерівність

виконується за n>N.

При вибраному значенні >0 кожній точці відрізка відповідає свій номер і, отже, номерів, що відповідають усім точкам відрізка , буде безліч. Якщо вибрати з усіх цих номерів найбільший, цей номер годиться всім точок відрізка , тобто. буде спільним для всіх точок.

Визначення. Послідовність ( f n (x) } поступово сходитьсядо функції f(x) на відрізку , якщо для будь-якого числа >0 існує номер N = N(), такий, що нерівність

виконується при n>N для всіх точок відрізка.

приклад.Розглянемо послідовність

Ця послідовність сходиться на всій числовій осі до функції f(x)=0 , т.к.

Побудуємо графіки цієї послідовності:

sinx

Як видно, зі збільшенням числа nграфік послідовності наближається до осі х.

Функціональні лави.

Визначення. Приватними (частковими) сумамифункціонального ряду
називаються функції

Визначення. Функціональний ряд
називається схожиму точці ( х=х 0 ), якщо у цій точці сходиться послідовність його приватних сум. Межа послідовності
називається сумоюряду
у точці х 0 .

Визначення. Сукупність усіх значень х, для яких сходиться ряд
називається областю збіжностіряду.

Визначення. Ряд
називається рівномірно схожимна відрізку , якщо рівномірно сходиться у цьому відрізку послідовність приватних сум цього ряду.

Теорема. (Критерій Коші рівномірної збіжності ряду)

Для рівномірної збіжності ряду
необхідно та достатньо, щоб для будь-якого числа >0 існував такий номерN( ), що приn> Nта будь-якому ціломуp>0 нерівність

виконувалося б для всіх на відрізку [a, b].

Теорема. (Ознака рівномірної збіжності Вейєрштрасса)

(Карл Теодор Вільгельм Вейєрштрасс (1815 – 1897) – німецький математик)

Ряд
сходить рівномірно і до того ж абсолютно на відрізку [a, b], якщо модулі його членів на тому ж відрізку не перевищують відповідних членів схожого числового ряду з позитивними членами:

тобто. має місце нерівність:

.

Ще кажуть, що у цьому випадку функціональний ряд
мажоруєтьсячисловим рядом
.

приклад.Дослідити на збіжність ряд
.

Так як
завжди, то очевидно, що
.

При цьому відомо, що загальногармонійний ряд при=3>1 сходиться, то відповідно до ознак Вейерштрасса досліджуваний ряд рівномірно сходиться і до того ж у будь-якому інтервалі.

приклад.Дослідити на збіжність ряд .

На відрізку [-1,1] виконується нерівність
тобто. за ознакою Вейєрштрасса на цьому відрізку досліджуваний ряд сходиться, а на інтервалах (-, -1)  (1, ) розходиться.

Властивості рівномірно схожих рядів.

1) Теорема про безперервність суми низки.

Якщо члени ряду
- безперервні на відрізку [a, b] функції та ряд сходиться рівномірно, то і його сумаS(x) є безперервна функція на відрізку [a, b].

2) Теорема про почленное інтегрування низки.

Поступово схожий на відрізку [a, b] ряд із безперервними членами можна почленно інтегрувати у цьому відрізку, тобто. ряд, складений з інтегралів від його членів по відрізку [a, b] , сходиться до інтегралу від суми ряду з цього відрізку.

3) Теорема про почленное диференціювання низки.

Якщо члени ряду
схожого на відрізку [a, b] є безперервними функціями, що мають безперервні похідні, і ряд, складений з цих похідних
сходить у цьому відрізку поступово, те й цей ряд сходиться поступово і його можна диференціювати почленно.

На основі того, що сума ряду є деякою функцією від змінної х, можна робити операцію уявлення який – або функції як низки (розкладання функції до ряду), що має широке застосування при інтегруванні, диференціюванні та інших діях з функціями.

На практиці часто застосовується розкладання функцій у статечний ряд.

Ступінні ряди.

Визначення. Ступіньним рядомназивається ряд виду

.

Для дослідження на збіжність статечних рядів зручно використовувати ознаку Даламбер.

приклад.Дослідити на збіжність ряд

Застосовуємо ознаку Даламбер:

.

Отримуємо, що цей ряд сходиться за
і розходиться при
.

Тепер визначимо збіжність у граничних точках 1 та –1.

При х = 1:
ряд сходить за ознакою Лейбніца (див. Ознака Лейбниця.).

При х = -1:
ряд розходиться (гармонійний ряд).

Теореми Абеля.

(Нільс Хенрік Абель (1802 – 1829) – норвезький математик)

Теорема. Якщо статечний ряд
сходиться заx = x 1 , то він сходиться і до того ж абсолютно для всіх
.

Доведення. За умовою теореми, оскільки члени низки обмежені, то

де k- Деяке постійне число. Справедлива наступна нерівність:

З цієї нерівності видно, що за x< x 1 чисельні величини членів нашого ряду будуть меншими (принаймні не більшими) відповідних членів ряду правої частини записаної вище нерівності, які утворюють геометричну прогресію. Знаменник цієї прогресії за умовою теореми менше одиниці, отже, ця прогресія є схожим рядом.

Тому на підставі ознаки порівняння робимо висновок, що ряд
сходиться, а значить ряд
сходиться абсолютно.

Таким чином, якщо статечний ряд
сходиться у точці х 1 , то він абсолютно сходиться в будь-якій точці інтервалу довжини. з центром у точці х = 0.

Наслідок. Якщо при х = х 1 ряд розходиться, він розходиться всім
.

Таким чином, для кожного статечного ряду існує таке позитивне число R, що при всіх хтаких, що
ряд абсолютно сходиться, а за всіх
ряд розходиться. При цьому число R називається радіусом збіжності. Інтервал (-R, R) називається інтервалом збіжності.

Зазначимо, що цей інтервал може бути замкнутим з однієї або двох сторін, так і не замкнутим.

Радіус збіжності може бути знайдений за такою формулою:

приклад.Знайти область збіжності ряду

Знаходимо радіус збіжності
.

Отже, цей ряд сходиться при будь-якому значенні х. Загальний член цього ряду прагне нуля.

Теорема. Якщо статечний ряд
сходиться для позитивного значення х=х 1 , то він сходиться рівномірно у будь-якому проміжку всередині
.

Події зі статечними рядами.

Ряди для чайників. Приклади рішень

Всіх, хто вижив, вітаю на другому курсі! На цьому уроці, а точніше на серії уроків, ми навчимося справлятися з рядами. Тема не дуже складна, але для її освоєння знадобляться знання з першого курсу, зокрема, необхідно розуміти, що таке межа, і вміти знаходити найпростіші межі. Втім, нічого страшного, під час пояснень я даватиму відповідні посилання на потрібні уроки. Деяким читачам тема математичних рядів, прийоми рішення, ознаки, теореми можуть здатися своєрідними, і навіть химерними, безглуздими. В цьому випадку не потрібно сильно «завантажуватися», приймаємо факти такими, якими вони є, і просто вчимося вирішувати типові, поширені завдання.

1) Ряди для чайників, і для самоварів відразу зміст:)

Для надшвидкої підготовки на темує експрес-курс у форматі pdf, за допомогою якого реально «підняти» практику буквально за день.

Поняття числового ряду

У загальному вигляді числовий рядможна записати так: .
Тут:
- Математичний значок суми;
– загальний член ряду(запам'ятайте цей простий термін);
- Змінна-«лічильник». Запис позначає, що проводиться підсумовування від 1 до «плюс нескінченності», тобто спочатку у нас, потім, потім, і так далі – до нескінченності. Замість змінної іноді використовується змінна або . Підсумовування не обов'язково починається з одиниці, часом воно може починатися з нуля , з двійки або з будь-якого натурального числа.

Відповідно до змінної-«лічильника» будь-який ряд можна розписати розгорнуто:
- І так далі, до нескінченності.

Доданки – це ЧИСЛА, які називаються членамиряду. Якщо всі вони негативні (Більше або рівні нулю), то такий ряд називають позитивним числовим рядом.

Приклад 1

Це вже, до речі, «бойове» завдання – на практиці часто потрібно записати кілька членів ряду.

Спочатку , тоді:
Потім тоді:
Потім, тоді:

Процес можна продовжити до нескінченності, але за умовою потрібно написати перші три члени ряду, тому записуємо відповідь:

Зверніть увагу на принципову відмінність від числової послідовності,
у якій члени не підсумовуються, а розглядаються як такі.

Приклад 2

Записати перші три члени ряду

Це приклад для самостійного вирішення, відповідь наприкінці уроку

Навіть для складного на перший погляд ряду не складно розписати його в розгорнутому вигляді:

Приклад 3

Записати перші три члени ряду

Насправді завдання виконується усно: подумки підставляємо у спільний член рядуспочатку, потім і. В підсумку:

Відповідь залишаємо у такому вигляді, отримані члени ряду краще не спрощувати, тобто не виконуватидії: , , . Чому? Відповідь у вигляді набагато простіше та зручніше перевіряти викладачеві.

Іноді зустрічається зворотне завдання

Приклад 4

Тут немає якогось чіткого алгоритму рішення, закономірність потрібно просто побачити.
В даному випадку:

Для перевірки отриманий ряд можна розписати назад в розгорнутому вигляді.

А ось приклад трохи складніший для самостійного вирішення:

Приклад 5

Записати суму у згорнутому вигляді із загальним членом ряду

Виконати перевірку, знову записавши ряд у розгорнутому вигляді

Збіжність числових рядів

Одним із ключових завдань теми є дослідження низки на збіжність. При цьому можливі два випадки:

1) Рядрозходиться. Це означає, що нескінченна сума дорівнює нескінченності: або суми взагалі не існує, як, наприклад, у ряду
(От, до речі, і приклад ряду з негативними членами). Хороший зразок числового ряду, що розходиться, зустрівся на початку уроку: . Тут цілком очевидно, що кожен наступний член ряду більший, ніж попередній, тому і, отже, ряд розходиться. Ще більш тривіальний приклад: .

2) Рядсходиться. Це означає, що нескінченна сума дорівнює деякому кінцевого числа: . Будь ласка: – цей ряд сходиться та його сума дорівнює нулю. Як більш змістовний приклад можна навести нескінченно спадаючугеометричну прогресію, відому нам ще зі школи: . Сума членів нескінченно спадної геометричної прогресії розраховується за такою формулою: , де – перший член прогресії, а – її основу, яке, зазвичай, записують як правильноюдроби. В даному випадку: , . Таким чином: Отримано кінцеве число, отже, ряд сходиться, що потрібно було довести.

Однак у переважній більшості випадків знайти суму рядуне так просто, і тому на практиці для дослідження збіжності низки використовують спеціальні ознаки, які доведені теоретично.

Існує кілька ознак збіжності низки: необхідна ознака збіжності ряду, ознаки порівняння, ознака Даламбера, ознаки Коші, ознака Лейбницята деякі інші ознаки. Коли яку ознаку застосовувати?Це від загального члена низки , образно кажучи – від «начинки» ряду. І дуже скоро ми все розкладемо по поличках.

! Для подальшого засвоєння уроку необхідно добре розумітищо таке межа і добре вміти розкривати невизначеність виду. Для повторення або вивчення матеріалу зверніться до статті Межі. Приклади рішень.

Необхідна ознака збіжності ряду

Якщо ряд сходиться, його спільний член прагне нулю: .

Зворотне у випадку невірно, тобто, якщо , то ряд може як сходитися, і розходитися. І тому цю ознаку використовують для обґрунтування розбіжностіряду:

Якщо загальний член ряду не прагне нуля, то ряд розходиться

Або коротше: якщо, то ряд розходиться. Зокрема, можлива ситуація, коли межі немає взагалі, як, наприклад, межі. Ось відразу й обґрунтували розбіжність одного ряду:)

Але набагато частіше межа ряду, що розходиться, дорівнює нескінченності, при цьому в якості «динамічної» змінної замість «ікса» виступає . Освіжаємо наші знання: межі з «іксом» називають межами функцій, а межі зі змінною «ен» – межами числових послідовностей. Очевидна відмінність у тому, що змінна «ен» приймає дискретні (перервні) натуральні значення: 1, 2, 3 тощо. Але цей факт мало позначається на методах розв'язання меж та способи розкриття невизначеностей.

Доведемо, що ряд із першого прикладу розходиться.
Загальний член ряду:

Висновок: ряд розходиться

Необхідна ознака часто застосовується у реальних практичних завданнях:

Приклад 6

У чисельнику та знаменнику у нас знаходяться багаточлени. Той, хто уважно прочитав та осмислив метод розкриття невизначеності у статті Межі. Приклади рішень, напевно вловив, що коли старші ступеня чисельника та знаменника рівнітоді межа дорівнює кінцевого числа .

Ділимо чисельник і знаменник на

Досліджуваний ряд розходиться, тому що не виконано необхідну ознаку збіжності ряду.

Приклад 7

Дослідити ряд на збіжність

Це приклад самостійного рішення. Повне рішення та відповідь наприкінці уроку

Отже, коли нам дано БУДЬ-ЯКИЙ числовий ряд, в першу чергуперевіряємо (подумки чи чернетці): а чи прагне його спільний член до нуля? Якщо не прагне - оформляємо рішення за зразком прикладів № 6, 7 і даємо відповідь про те, що ряд розходиться.

Які типи рядів, що очевидно розходяться, ми розглянули? Відразу зрозуміло, що розходяться ряди на кшталт або . Також розходяться ряд з прикладів № 6, 7: коли в чисельнику і знаменнику знаходяться багаточлени, і старший ступінь чисельника більший або дорівнює старшому ступені знаменника. У всіх цих випадках при вирішенні та оформленні прикладів ми використовуємо необхідну ознаку збіжності низки.

Чому ознака називається необхідним? Розумійте найприродніше: для того, щоб ряд сходився, необхіднощоб його спільний член прагнув до нуля. І все було б чудово, але цього ще мало. Іншими словами, якщо загальний член ряду прагне нуля, ТО ЦЕ ЩЕ НЕ ЗНАЧИТЬ, що ряд сходиться- Він може, як сходитися, так і розходитися!

Знайомтесь:

Цей ряд називається гармонійним поряд. Будь ласка, запам'ятайте! Серед числових рядів він є прима-балериною. Точніше, балеруном =)

Легко помітити, що , АЛЕ. Теоретично математичного аналізу доведено, що гармонійний ряд розходиться.

Також слід запам'ятати поняття узагальненого гармонійного ряду:

1) Цей ряд розходитьсяпри . Наприклад, розходяться ряди , , .
2) Цей ряд сходитьсяпри . Наприклад, сходяться ряди , , . Ще раз наголошую, що майже у всіх практичних завданнях нам зовсім не важливо, чому дорівнює сума, наприклад, ряду, важливий сам факт його збіжності.

Це елементарні факти з теорії рядів, які вже доведені, і при вирішенні якогось практичного прикладу можна сміливо посилатися, наприклад, на розбіжність ряду або збіжність ряду.

Взагалі, аналізований матеріал дуже схожий дослідження невласних інтеграліві тому, хто вивчав цю тему, буде легше. Ну а тому, хто не вивчав – легше подвійно:)

Отже, що робити, якщо загальний член ряду прагне до нуля?У таких випадках для вирішення прикладів слід використовувати інші, достатні ознаки збіжності / розбіжності:

Ознаки порівняння для позитивних числових рядів

Загострюю вашу увагу, що тут йдеться тільки про позитивні числові ряди (З невід'ємними членами).

Існують дві ознаки порівняння, одну з них я називатиму просто ознакою порівняння, інший – граничною ознакою порівняння.

Спочатку розглянемо ознака порівняння, А точніше, першу його частину:

Розглянемо два позитивні числові ряди і . Якщо відомо, що ряд – сходиться, і, починаючи з деякого номера, виконано нерівність, то ряд теж сходиться.

Іншими словами: Зі збіжності ряду з більшими членами випливає збіжність ряду з меншими членами. Насправді нерівність часто виконано взагалі всім значень :

Приклад 8

Дослідити ряд на збіжність

По-перше, перевіряємо(Подумки або на чернетці) виконання :
, А значить, «відбутися малою кров'ю» не вдалося.

Заглядаємо в «пачку» узагальненого гармонійного ряду і, орієнтуючись на старший ступінь, знаходимо схожий ряд: З теорії відомо, що він сходиться.

Для всіх натуральних номерів справедлива очевидна нерівність:

а більшим знаменникам відповідають найменші дроби:
, отже, за ознакою порівняння досліджуваний ряд сходитьсяразом із поруч.

Якщо у вас є якісь сумніви, то нерівність завжди можна докладно розписати!Розпишемо побудовану нерівність для кількох номерів «ен»:
Якщо то
Якщо то
Якщо то
Якщо то
….
і тепер уже цілком зрозуміло, що нерівність виконаний для всіх натуральних номерів «ен».

Проаналізуємо ознаку порівняння та вирішений приклад із неформальної точки зору. Все-таки чому ряд сходиться? А ось чому. Якщо ряд сходиться, він має деяку кінцевусуму: . І оскільки всі члени ряду меншевідповідних членів ряду , то ясний пень, що сума ряду не може бути більшою за число , і тим більше, не може дорівнювати нескінченності!

Аналогічно можна довести збіжність «схожих» рядів: , , і т.д.

! Зверніть увагущо у всіх випадках у знаменниках у нас знаходяться «плюси». Наявність хоча б одного мінусу може серйозно ускладнити використання аналізованого ознаки порівняння. Наприклад, якщо ряд таким же чином порівняти з рядом, що сходить (випишіть кілька нерівностей для перших членів), то умова не буде виконуватися взагалі! Тут можна викрутитися і підібрати для порівняння інший ряд, що сходить, наприклад, але це спричинить зайві застереження та інші непотрібні труднощі. Тому для доказу збіжності ряду набагато простіше використовувати гранична ознака порівняння(Див. наступний параграф).

Приклад 9

Дослідити ряд на збіжність

І в цьому прикладі я пропоную вам самостійно розглянути другу частину ознаки порівняння:

Якщо відомо, що ряд – розходиться, і, починаючи з деякого номера (часто з першого),виконано нерівність , то ряд теж розходиться.

Іншими словами: З розбіжності ряду з меншими членами випливає розбіжність ряду з більшими членами.

Що потрібно зробити?
Потрібно порівняти досліджуваний ряд з гармонійним рядом , що розходиться . Для кращого розуміння побудуйте кілька конкретних нерівностей і переконайтеся в справедливості нерівності.

Рішення та зразок оформлення наприкінці уроку.

Як зазначалося, практично щойно розглянутий ознака порівняння застосовують рідко. Справжньою «робочою конячкою» числових рядів є гранична ознака порівняння, і за частотою використання з ним може конкурувати хіба що ознака Даламбера.

Гранична ознака порівняння числових позитивних рядів

Розглянемо два позитивні числові ряди і . Якщо межа відношення спільних членів цих рядів дорівнює кінцевому, відмінному від нуля числу: , то обидва ряди сходяться або розходяться одночасно.

Коли застосовується гранична ознака порівняння?Гранична ознака порівняння застосовується тоді, коли начинкою ряду у нас є багаточлени. Або один многочлен у знаменнику, або многочлени й у чисельнику й у знаменнику. Опціонально багаточлени можуть бути під корінням.

Розробимося з рядом, для якого забуксувала попередня ознака порівняння.

Приклад 10

Дослідити ряд на збіжність

Порівняємо даний ряд з рядом, що збігається. Використовуємо граничну ознаку порівняння. Відомо, що ряд – сходиться. Якщо нам вдасться показати, що дорівнює кінцевому, відмінному від нулячислу, то буде доведено, що ряд теж сходиться.

Отримано кінцеве, відмінне від нуля число, отже, досліджуваний ряд сходитьсяразом із поруч.

Чому для порівняння було обрано саме ряд? Якби ми вибрали будь-який інший ряд із «обойми» узагальненого гармонійного ряду, то у нас не вийшло б у межі кінцевого, відмінного від нулячисла (можете поекспериментувати).

Примітка: коли ми використовуємо граничну ознаку порівняння, не має значення, у порядку складати ставлення спільних членів, у розглянутому прикладі ставлення можна було скласти навпаки: – це змінило б суті справи.