Y 2 x 1 знайти площу. Обчислити площу фігури, обмеженою лініями

Завдання 1(Про обчислення площі криволінійної трапеції).

У декартовій прямокутній системі координат xOy дана фігура (див. малюнок), обмежена віссю х, прямими х = a, х = b (a криволінійною трапецією. Потрібно обчислити площу криволінійної трапеції.
Рішення.Геометрія дає нам рецепти для обчислення площ багатокутників та деяких частин кола (сектора, сегмента). Використовуючи геометричні міркування, ми зможемо визначити лише наближене значення шуканої площі, розмірковуючи так.

Розіб'ємо відрізок [а; b] (підстава криволінійної трапеції) на n рівних частин; це розбиття здійснимо за допомогою точок x 1 x 2 ... x k ... x n-1 . Проведемо через ці точки прямі, паралельні осі у. Тоді задана криволінійна трапеція розіб'ється на n елементів, на n вузьких стовпчиків. Площа всієї трапеції дорівнює сумі площ стовпчиків.

Розглянемо окремо k-ий стовпчик, тобто. криволінійну трапецію, основою якої є відрізок . Замінимо його прямокутником з тією самою основою і висотою, що дорівнює f(x k) (див. рисунок). Площа прямокутника дорівнює $f(x_k) \cdot \Delta x_k$, де $\Delta x_k$ - Довжина відрізка; Звичайно вважати складене твір наближеним значенням площі k-го стовпчика.

Якщо тепер зробити те саме з усіма іншими стовпчиками, то прийдемо до наступного результату: площа S заданої криволінійної трапеції приблизно дорівнює площі S n ступінчастої фігури, складеної з n прямокутників (див. рисунок):
$S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \dots + f(x_k)\Delta x_k + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $
Тут заради одноманітності позначень ми вважаємо, що a = х 0 b = x n ; $\Delta x_0 $ - Довжина відрізка , $\Delta x_1 $ - Довжина відрізка, і т.д; при цьому, як ми домовилися вище, $\Delta x_0 = \dots = \Delta x_(n-1) $

Отже, $S \approx S_n $, причому ця наближена рівність тим точніша, чим більше n.
За визначенням вважають, що шукана площа криволінійної трапеції дорівнює межі послідовності (S n):
$$ S = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Завдання 2(Про переміщення точки)
По прямій рухається матеріальна точка. Залежність швидкості від часу виражається формулою v = v(t). Знайти переміщення крапки за проміжок часу [а; b].
Рішення.Якби рух був рівномірним, то завдання вирішувалося дуже просто: s = vt, тобто. s = v(b-а). Для нерівномірного руху доводиться використовувати самі ідеї, у яких було засновано рішення попередньої задачи.
1) Розділимо проміжок часу [а; b] на n рівних частин.
2) Розглянемо проміжок часу і вважатимемо, що у цей проміжок часу швидкість була постійною, такою, як у момент часу t k . Отже, ми вважаємо, що v = v (t k).
3) Знайдемо наближене значення переміщення точки за проміжок часу, це наближене значення позначимо s k
$s_k = v(t_k) \Delta t_k $
4) Знайдемо наближене значення переміщення s:
$s \approx S_n$ де
$S_n = s_0 + \dots + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \dots + v(t_(n-1)) \Delta t_(n-1) $
5) Переміщення, що шукається, дорівнює межі послідовності (S n):
$$ s = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Підведемо підсумки. Вирішення різних завдань звелися до однієї і тієї ж математичної моделі. Багато завдань з різних галузей науки і техніки приводять у процесі вирішення такої ж моделі. Отже, цю математичну модель треба спеціально вивчити.

Поняття певного інтегралу

Дамо математичний опис тієї моделі, яка була побудована у трьох розглянутих задачах для функції y = f(x), безперервної (але необов'язково невід'ємної, як це передбачалося у розглянутих задачах) на відрізку [а; b]:
1) розбиваємо відрізок [а; b] на n рівних частин;
2) складаємо суму $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
3) обчислюємо $$ \lim_(n \to \infty) S_n $$

У курсі математичного аналізу доведено, що ця межа у разі безперервної (або шматково-безперервної) функції існує. Його називають певним інтегралом від функції y = f(x) за відрізком [а; b]і позначають так:
$\int\limits_a^b f(x) dx $
Числа a та b називають межами інтегрування (відповідно нижнім та верхнім).

Повернемося до розглянутих вище завдань. Визначення площі, дане в задачі 1, тепер можна переписати так:
$S = \int\limits_a^b f(x) dx $
тут S - площа криволінійної трапеції, зображеної на малюнку вище. У цьому полягає геометричний сенс певного інтегралу.

Визначення переміщення точки, що рухається по прямій зі швидкістю v = v(t), за проміжок часу від t = a до t = b, дане в задачі 2, можна переписати так:

Формула Ньютона - Лейбніца

Спочатку відповімо питанням: який зв'язок між певним інтегралом і первообразной?

Відповідь можна знайти в задачі 2. З одного боку, переміщення точки s, що рухається по прямій зі швидкістю v = v(t), за проміжок часу від t = а до t = b і обчислюється за формулою
$S = \int\limits_a^b v(t) dt $

З іншого боку, координата точки, що рухається, є первісна для швидкості - позначимо її s(t); отже, переміщення s виражається формулою s = s(b) - s(a). У результаті отримуємо:
$S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) $
де s(t) - первісна для v(t).

У курсі математичного аналізу підтверджено наступну теорему.
Теорема. Якщо функція y = f(x) безперервна на відрізку [а; b], то справедлива формула
$S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) $
де F(x) - первісна для f(x).

Наведену формулу зазвичай називають формулою Ньютона - Лейбніцана честь англійського фізика Ісаака Ньютона (1643-1727) та німецького філософа Готфріда Лейбніца (1646-1716), які отримали її незалежно один від одного і практично одночасно.

Насправді замість запису F(b) - F(a) використовують запис $\left. F(x)\right|_a^b $ (її називають іноді подвійною підстановкою) і, відповідно, переписують формулу Ньютона - Лейбніца у такому вигляді:
$S = \int\limits_a^b f(x) dx = \left. F(x)\right|_a^b $

Обчислюючи певний інтеграл, спочатку знаходять первісну, а потім здійснюють подвійну підстановку.

Спираючись на формулу Ньютона – Лейбніца, можна отримати дві властивості певного інтегралу.

Властивість 1.Інтеграл від суми функцій дорівнює сумі інтегралів:
$\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx $

Властивість 2.Постійний множник можна винести за знак інтеграла:
$\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx $

Обчислення площ плоских фігур за допомогою певного інтегралу

З допомогою інтеграла можна обчислювати площі як криволінійних трапецій, а й плоских постатей складнішого виду, наприклад такого, який представлений малюнку. Фігура Р обмежена прямими х = а, х = b та графіками безперервних функцій y = f(x), y = g(x), причому на відрізку [а; b] виконується нерівність $g(x) \leq f(x) $. Щоб обчислити площу S такої фігури, будемо діяти так:
$S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = $
$= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx $

Отже, площа фігури S, обмеженої прямими х = а, х = b і графіками функцій y = f(x), y = g(x), безперервних на відрізку і таких, що для будь-якого x з відрізка [а; b] виконується нерівність $g(x) \leq f(x) $, обчислюється за формулою
$S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx $

Таблиця невизначених інтегралів (первоподібних) деяких функцій

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) + C \; \; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch) ) x + C $$

У попередньому розділі, присвяченому розбору геометричного сенсу певного інтеграла, ми отримали ряд формул для обчислення площі криволінійної трапеції:

Yandex.RTB R-A-339285-1

S (G) = ∫ a b f (x) d x для безперервної та невід'ємної функції y = f (x) на відрізку [a; b ] ,

S (G) = - ∫ a b f (x) d x для безперервної та непозитивної функції y = f (x) на відрізку [a; b].

Ці формули застосовні для вирішення простих завдань. Насправді ж нам частіше доведеться працювати з складнішими фігурами. У зв'язку з цим, цей розділ ми присвятимо розбору алгоритмів обчислення площі фігур, які обмежені функціями явно, тобто. як y = f(x) або x = g(y) .

Теорема

Нехай функції y = f 1 (x) та y = f 2 (x) визначені і безперервні на відрізку [a; b ] , причому f 1 (x) ≤ f 2 (x) для будь-якого значення x [a ; b]. Тоді формула для обчислення площі фігури G обмеженою лініями x = a , x = b , y = f 1 (x) і y = f 2 (x) матиме вигляд S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x .

Схожа формула буде застосовна для площі фігури, обмеженої лініями y = c , y = d , x = g 1 (y) та x = g 2 (y) : S (G) = ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y) d y .

Доведення

Розберемо три випадки, для яких формула буде справедливою.

У першому випадку, враховуючи властивість адитивності площі, сума площ вихідної фігури G та криволінійної трапеції G 1 дорівнює площі фігури G 2 . Це означає що

Тому S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) d x.

Виконати останній перехід ми можемо з використанням третьої якості певного інтеграла.

У другому випадку справедлива рівність: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) d x

Графічна ілюстрація матиме вигляд:

Якщо обидві функції непозитивні, отримуємо: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) d x. Графічна ілюстрація матиме вигляд:

Перейдемо до розгляду загального випадку, коли y = f 1 (x) та y = f 2 (x) перетинають вісь O x .

Точки перетину ми позначимо як x i, i = 1, 2,. . . , n-1. Ці точки розбивають відрізок [a; b] на n частин x i-1; x i, i = 1, 2,. . . , n де α = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n

Отже,

S (G) = ∑ i = 1 n S (G i) = ∑ i = 1 n ∫ x i x i f 2 (x) - f 1 (x)) d x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) - f ( x)) d x = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x

Останній перехід ми можемо здійснити з використанням п'ятої якості певного інтеграла.

Проілюструємо на графіку загальний випадок.

Формулу S(G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x можна вважати доведеною.

А тепер перейдемо до розбору прикладів обчислення площі фігур, які обмежені лініями y = f(x) та x = g(y) .

Розгляд будь-якого з прикладів ми починатимемо з побудови графіка. Зображення дозволить нам представляти складні фігури як поєднання більш простих фігур. Якщо побудова графіків та фігур на них викликає у вас труднощі, можете вивчити розділ про основні елементарні функції, геометричне перетворення графіків функцій, а також побудову графіків під час дослідження функції.

Приклад 1

Необхідно визначити площу фігури, яка обмежена параболою y = - x 2 + 6 x - 5 і прямими лініями y = - 1 3 x - 1 2 x = 1 x = 4 .

Рішення

Зобразимо лінії на графіці декартової системі координат.

На відрізку [1; 4 ] графік параболи y = - x 2 + 6 x - 5 розташований вище за пряму y = - 1 3 x - 1 2 . У зв'язку з цим для отримання відповіді використовуємо формулу, отриману раніше, а також спосіб обчислення певного інтеграла за формулою Ньютона-Лейбніца:

S(G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 d x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 · 4 3 + 19 6 · 4 2 - 9 2 · 4 - - 1 3 · 1 3 + 19 6 · 1 2 - 9 2 · 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13

Відповідь: S(G) = 13

Розглянемо складніший приклад.

Приклад 2

Необхідно обчислити площу фігури, яка обмежена лініями y = x + 2, y = x, x = 7.

Рішення

В даному випадку ми маємо тільки одну пряму лінію, розташовану паралельно осі абсцис. Це x = 7. Це вимагає від нас знайти другу межу інтегрування самостійно.

Побудуємо графік та нанесемо на нього лінії, дані за умови завдання.

Маючи графік перед очима, ми легко можемо визначити, що нижньою межею інтегрування буде абсцис точки перетину графіка прямої y = x і напівпараболи y = x + 2 . Для знаходження абсциси використовуємо рівність:

y = x + 2 О Д З: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (-1) 2 - 4 · 1 · (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ О Д З x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ О Д З З

Виходить, що абсцис точки перетину є x = 2 .

Звертаємо вашу увагу те що, що у загальному прикладі на кресленні лінії y = x + 2 , y = x перетинаються у точці (2 ; 2) , тому такі докладні обчислення можуть здатися зайвими. Ми привели тут таке докладне рішення лише тому, що у складніших випадках рішення може бути не таким очевидним. Це означає, що координати перетину ліній краще завжди обчислювати аналітично.

На інтервалі [2; 7] графік функції y = x розташований вище за графік функції y = x + 2 . Застосуємо формулу для обчислення площі:

S(G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) d x = x 2 2 - 2 3 · (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 · (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 · 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6

Відповідь: S(G) = 59 6

Приклад 3

Необхідно обчислити площу фігури, яка обмежена графіками функцій y = 1 x та y = - x 2 + 4 x - 2 .

Рішення

Нанесемо лінії на графік.

Визначимося з межами інтегрування. Для цього визначимо координати точок перетину ліній, прирівнявши вирази 1 х і - х 2 + 4 х - 2 . За умови, що x не дорівнює нулю, рівність 1 x = – x 2 + 4 x – 2 стає еквівалентним рівнянню третього ступеня – x 3 + 4 x 2 – 2 x – 1 = 0 з цілими коефіцієнтами. Освіжити в пам'яті алгоритм вирішення таких рівнянь ми можете, звернувшись до розділу «Рішення кубічних рівнянь».

Коренем цього рівняння є х = 1: - 1 3 + 4 · 1 2 - 2 · 1 - 1 = 0.

Розділивши вираз - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 на двочлен x - 1, отримуємо: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x - 1) = 0

Коріння, що залишилося, ми можемо знайти з рівняння x 2 - 3 x - 1 = 0:

x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (-3) 2 - 4 · 1 · (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 . 3; x 2 = 3 - 13 2 ≈ - 0 . 3

Ми знайшли інтервал x ∈ 1; 3 + 13 2 , на якому фігура G укладена вище за синю і нижче за червону лінію. Це допомагає нам визначити площу фігури:

S(G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x d x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 · 3 + 13 2 2 - 2 · 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 · 1 2 - 2 · 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Відповідь: S(G) = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Приклад 4

Необхідно обчислити площу фігури, яка обмежена кривими y = x 3 , y = - log 2 x + 1 та віссю абсцис.

Рішення

Нанесемо усі лінії на графік. Ми можемо отримати графік функції y = - log 2 x + 1 з графіка y = log 2 x якщо розташуємо його симетрично щодо осі абсцис і піднімемо на одну одиницю вгору. Рівняння осі абсцис у = 0.

Позначимо точки перетину ліній.

Як очевидно з малюнка, графіки функцій y = x 3 і y = 0 перетинаються у точці (0 ; 0) . Так виходить тому, що х = 0 є єдиним дійсним коренем рівняння х 3 = 0 .

x = 2 є єдиним коренем рівняння - log 2 x + 1 = 0 тому графіки функцій y = - log 2 x + 1 і y = 0 перетинаються в точці (2 ; 0) .

x = 1 є єдиним коренем рівняння x 3 = - log 2 x + 1. У зв'язку з цим графіки функцій y = x 3 і y = - log 2 x + 1 перетинаються в точці (1; 1). Останнє твердження може бути неочевидним, але рівняння x 3 = - log 2 x + 1 не може мати більше одного кореня, так як функція y = x 3 є строго зростаючою, а функція y = - log 2 x + 1 строго спадаючою.

Подальше рішення передбачає кілька варіантів.

Варіант №1

Фігуру G ми можемо представити як суму двох криволінійних трапецій, розташованих вище осі абсцис, перша з яких розташовується нижче за середню лінію на відрізку x ∈ 0 ; 1 , а друга нижче за червону лінію на відрізку x ∈ 1 ; 2 . Це означає, що площа дорівнює S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x .

Варіант №2

Фігуру G можна представити як різницю двох фігур, перша з яких розташована вище осі абсцис і нижче за синю лінію на відрізку x ∈ 0 ; 2 , а друга між червоною та синьою лініями на відрізку x ∈ 1 ; 2 . Це дозволяє нам знайти площу наступним чином:

S(G) = ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x

В цьому випадку для знаходження площі доведеться використовувати формулу виду S (G) = ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y . Фактично, лінії, які обмежують фігуру, можна як функцій від аргументу y .

Дозволимо рівняння y = x 3 і - log 2 x + 1 щодо x:

y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y

Отримаємо потрібну площу:

S(G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) d y = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4

Відповідь: S(G) = 1 ln 2 - 1 4

Приклад 5

Необхідно обчислити площу фігури, яка обмежена лініями y = x, y = 2 3 x - 3, y = - 1 2 x + 4 .

Рішення

Червоною лінією нанесемо на графік лінію, задану функцією y = x. Синім кольором нанесемо лінію y = -1 2 x + 4, чорним кольором позначимо лінію y = 2 3 x - 3.

Зазначимо точки перетину.

Знайдемо точки перетину графіків функцій y = x та y = - 1 2 x + 4:

x = - 1 2 x + 4 О Д З З: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20) 2 - 4 · 1 · 64 = 144 x 1 = 20 + 144 2 = 16; x 2 = 20 - 144 2 = 4 П о верка: x 1 = 16 = 4 , - 1 2 x 1 + 4 = - 1 2 · 16 + 4 = - 4 ⇒ x 1 = 16 н е я в л я т с я р е ш е н н е е м у р а в н е н і я x 2 = 4 = 2 , - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 · 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 я в л я т с я р е ш е н н е е м у р а в і н і я ⇒ (4 ; 2) т о ч к а п е р е с е н і я y = x та y = - 1 2 x + 4

Знайдемо точку перетину графіків функцій y = x та y = 2 3 x - 3:

x = 2 3 x - 3 О Д З З: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45 ) 2 - 4 · 4 · 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9 , x 2 45 - 729 8 = 9 4 П о верка: x 1 = 9 = 3 , 2 3 x 1 - 3 = 2 3 · 9 - 3 = 3 ⇒ x 1 = 9 я л я е т с я ш е н е н е м у рав н е н ня ⇒ (9 ; 3) т о ч к а перес е ч а н я y = x і y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2 , 2 3 x 1 - 3 = 2 3 · 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 н е я в л я т с я р е ш е н н е м у р я н н я

Знайдемо точку перетину ліній y = - 1 2 x + 4 та y = 2 3 x - 3:

1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 · 6 + 4 = 2 3 · 6 - 3 = 1 ⇒ (6 1) т о ч к а перес е ч е н я y = - 1 2 x + 4 і y = 2 3 x - 3

Спосіб №1

Представимо площу шуканої фігури як суму площ окремих фігур.

Тоді площа фігури дорівнює:

S(G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 · 6 3 2 + 6 2 4 - 4 · 6 - 2 3 · 4 3 2 + 4 2 4 - 4 · 4 + + 2 3 · 9 3 2 - 9 2 3 + 3 · 9 - 2 3 · 6 3 2 - 6 2 3 + 3 · 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3

Спосіб №2

Площа вихідної фігури можна як суму двох інших фігур.

Тоді розв'яжемо рівняння лінії щодо x , а тільки після цього застосуємо формулу обчислення площі фігури.

y = x ⇒ x = y 2 к р а с н а я л і н і я y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 ч е р н а я л і н і я y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 с і н я л і н і я

Таким чином, площа дорівнює:

S(G) = ∫ 1 2 3 2 y + 9 2 - - 2 y + 8 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = 7 4 y 2 - 7 4 y 1 2 + - y 3 3 + 3 y 2 4 + 9 2 y 2 3 = 7 4 · 2 2 - 7 4 · 2 - 7 4 · 1 2 - 7 4 · 1 + + - 3 3 3 + 3 · 3 2 4 + 9 2 · 3 - - 2 3 3 + 3 · 2 2 4 + 9 2 · 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3

Як бачите, значення збігаються.

Відповідь: S(G) = 11 3

Підсумки

Для знаходження площі фігури, яка обмежена заданими лініями, нам необхідно побудувати лінії на площині, знайти точки їх перетину, застосувати формулу для знаходження площі. У цьому розділі ми розглянули варіанти завдань, що найчастіше зустрічаються.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

З цієї статті ви дізнаєтесь, як знайти площу фігури, обмеженою лініями, використовуючи обчислення за допомогою інтегралів. Вперше з постановкою такого завдання ми стикаємося у старших класах, коли тільки-но пройдено вивчення певних інтегралів і настав час приступити до геометричної інтерпретації отриманих знань на практиці.

Отже, що буде потрібно для успішного вирішення задачі з пошуку площі фігури за допомогою інтегралів:

Вміння грамотно будувати креслення;
Вміння вирішувати певний інтеграл за допомогою відомої формули Ньютон-Лейбніца;
Уміння «побачити» вигідніший варіант рішення - тобто. зрозуміти, як у тому чи іншому випадку буде зручніше проводити інтегрування? Вздовж осі ікс (OX) чи осі ігорок (OY)?
Ну і куди без коректних обчислень? Сюди входить розуміння як вирішувати той інший тип інтегралів і правильні чисельні обчислення.

Алгоритм розв'язання задачі з обчислення площі фігури, обмеженої лініями:

1. Будуємо креслення. Бажано це робити на листку в клітку з великим масштабом. Підписуємо олівцем над кожним графіком назву цієї функції. Підпис графіків робиться виключно задля зручності подальших обчислень. Отримавши графік шуканої постаті, найчастіше буде видно відразу, які межі інтегрування буде використано. Таким чином, ми вирішуємо завдання графічним методом. Однак буває так, що значення меж дробові або ірраціональні. Тому, можна зробити додаткові розрахунки, переходимо за крок два.

2. Якщо явно не задані межі інтегрування, то знаходимо точки перетину графіків один з одним і дивимося, чи збігається наше графічне рішення з аналітичним.

3. Далі необхідно проаналізувати креслення. Залежно від цього, як розташовуються графіки функцій, існують різні підходи до знаходження площі фігури. Розглянемо різні приклади перебування площі фігури з допомогою інтегралів.

3.1. Найкласичніший і найпростіший варіант завдання, це коли потрібно знайти площу криволінійної трапеції. Що таке криволінійна трапеція? Це плоска фігура, обмежена віссю ікс (у = 0), Прямими х = а, х = bі будь-який кривий, безперервний на проміжку від aдо b. При цьому дана фігура невід'ємна і розташовується не нижче осі абсцис. У цьому випадку площа криволінійної трапеції чисельно дорівнює певному інтегралу, що обчислюється за формулою Ньютона-Лейбніца:

Приклад 1 y = x2 - 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

Якими лініями обмежена фігура? Маємо параболу y = x2 - 3x + 3, яка розташовується над віссю ОХ, Вона негативна, т.к. всі точки цієї параболи мають позитивні значення. Далі, задані прямі х = 1і х = 3, які пролягають паралельно до осі ОУ, є обмежувальними лініями фігури зліва та справа. Ну і у = 0, вона ж вісь ікс, яка обмежує фігуру знизу. Отримана фігура заштрихована, як видно із малюнка зліва. В даному випадку можна відразу приступати до вирішення задачі. Перед нами простий приклад криволінійної трапеції, яку вирішуємо за допомогою формули Ньютона-Лейбніца.

3.2. У попередньому пункті 3.1 розібрано випадок, коли криволінійна трапеція розташована над віссю ікс. Тепер розглянемо випадок, коли умови завдання такі самі, крім того, що функція пролягає під віссю ікс. До стандартної формули Ньютона-Лейбніца додається мінус. Як розв'язувати таку задачу розглянемо далі.

Приклад 2 . Обчислити площу фігури, обмеженою лініями y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.

У цьому прикладі маємо параболу y = x2 + 6x + 2, яка бере свій початок з-під осі ОХпрямі х = -4, х = -1, у = 0. Тут у = 0обмежує шукану фігуру зверху. Прямі х = -4і х = -1це межі, у межах яких обчислюватиметься певний інтеграл. Принцип вирішення задачі на пошук площі фігури практично повністю збігається з прикладом номер 1. Єдина відмінність у тому, що задана функція не позитивна, і все також безперервна на проміжку [-4; -1] . Що означає не позитивна? Як видно з малюнка, фігура, яка полягає в рамках заданих іксів має виключно «негативні» координати, що нам і потрібно побачити та пам'ятати при вирішенні задачі. Площа постаті шукаємо за формулою Ньютона-Лейбніца, тільки зі знаком мінус на початку.

Статтю не завершено.

Насправді, для того щоб знаходити площу фігури не треба так багато знань з невизначеного і певного інтегралу. Завдання «обчислити площу за допомогою певного інтеграла» завжди передбачає побудову кресленняТому набагато актуальнішим питанням будуть ваші знання та навички побудови креслень. У цьому корисно освіжити у пам'яті графіки основних елементарних функцій, а, як мінімум, вміти будувати пряму, і гіперболу.

Криволинійною трапецією називається плоска фігура, обмежена віссю , прямими , і безперервною графіком на відрізку функції , яка не змінює знак на цьому проміжку. Нехай ця фігура розташована не нижчеосі абсцис:

Тоді площа криволінійної трапеції чисельно дорівнює певному інтегралу. Будь-який певний інтеграл (який існує) має дуже хороший геометричний сенс.

З погляду геометрії певний інтеграл – це ПЛОЩА.

Тобто,певному інтегралу (якщо він існує) геометрично відповідає площа певної постаті. Наприклад, розглянемо певний інтеграл. Підінтегральна функція задає на площині криву, що знаходиться вище за осі (бажаючі можуть виконати креслення), а сам певний інтеграл чисельно дорівнює площі відповідної криволінійної трапеції.

Приклад 1

Це типове формулювання завдання. Перший та найважливіший момент вирішення – побудова креслення. Причому креслення необхідно побудувати ПРАВИЛЬНО.

При побудові креслення я рекомендую наступний порядок: спочаткукраще побудувати всі прямі (якщо вони є) і тільки потім- параболи, гіперболи, графіки інших функцій. Графіки функцій вигідніше будувати крапково.

У цій задачі рішення може виглядати так.
Виконаємо креслення (зверніть увагу, що рівняння задає вісь):

На відрізку графік функції розташований над віссютому:

Відповідь:

Після того, як завдання виконано, завжди корисно поглянути на креслення і прикинути, чи реальна вийшла відповідь. В даному випадку «на око» підраховуємо кількість клітинок у кресленні - ну, приблизно 9 набереться, схоже на правду. Цілком зрозуміло, що якби в нас вийшов, скажімо, відповідь: 20 квадратних одиниць, то, очевидно, що десь припущена помилка - у розглянуту фігуру 20 клітинок явно не вміщається, від сили десяток. Якщо відповідь вийшла негативною, то завдання теж вирішено некоректно.

Приклад 3

Обчислити площу фігури, обмеженою лініями та координатними осями.

Рішення: Виконаємо креслення:

Якщо криволінійна трапеція розташована під віссю(або, принаймні, Не вищецієї осі), то її площа можна знайти за формулою:

В даному випадку:

Увага! Не слід плутати два типи завдань:

1) Якщо Вам запропоновано вирішити просто певний інтеграл без жодного геометричного сенсу, він може бути негативним.

2) Якщо Вам запропоновано знайти площу фігури за допомогою певного інтеграла, то площа завжди позитивна! Саме тому у щойно розглянутій формулі фігурує мінус.

На практиці найчастіше фігура розташована і у верхній і нижній півплощині, а тому, від найпростіших шкільних завдань переходимо до більш змістовних прикладів.

Приклад 4

Знайти площу плоскої фігури, обмеженою лініями , .

Рішення: Спочатку потрібно виконати креслення Загалом кажучи, при побудові креслення в завданнях на площу нас найбільше цікавлять точки перетину ліній. Знайдемо точки перетину параболи та прямої. Це можна зробити двома способами. Перший спосіб – аналітичний. Вирішуємо рівняння:

Значить, нижня межа інтегрування, верхня межа інтегрування.

Цим способом краще, наскільки можна, не користуватися.

Набагато вигідніше і швидше побудувати лінії поточечно, у своїй межі інтегрування з'ясовуються хіба що «самі собою». Тим не менш, аналітичний спосіб знаходження меж все-таки доводиться іноді застосовувати, якщо, наприклад, графік досить великий, або поточена побудова не виявила меж інтегрування (вони можуть бути дрібними або ірраціональними). І такий приклад ми теж розглянемо.

Повертаємося до нашого завдання: раціональніше спочатку побудувати пряму і лише потім параболу. Виконаємо креслення:

А тепер робоча формула: Якщо на відрізку деяка безперервна функція більше або дорівнюєдеякої безперервної функції , то площа фігури, обмеженої графіками даних функцій і прямими , можна знайти за формулою:

Тут уже не треба думати, де розташована постать - над віссю або під віссю, і, грубо кажучи, важливо, який графік Вище(щодо іншого графіка), а який - НИЖЧЕ.

У розглянутому прикладі очевидно, що на відрізку парабола розташовується вище прямої, а тому необхідно відняти

Завершення рішення може мати такий вигляд:

Шукана фігура обмежена параболою зверху та прямою знизу.
На відрізку , за відповідною формулою:

Відповідь:

Приклад 4

Обчислити площу фігури, обмеженою лініями , , , .

Рішення: Спочатку виконаємо креслення:

Фігура, площу якої нам потрібно знайти, заштрихована синім кольором(уважно дивіться на умову – чим обмежена фігура!). Але на практиці через неуважність нерідко виникає «глюк», що потрібно знайти площу фігури, яка заштрихована зеленим кольором!

Цей приклад корисний і тим, що в ньому площа фігури вважається за допомогою двох певних інтегралів.

Дійсно:

1) На відрізку над віссю розташований графік прямої;

2) На відрізку над віссю розташований графік гіперболи.

Цілком очевидно, що площі можна (і потрібно) приплюсувати, тому:

Визначений інтеграл. Як вирахувати площу фігури

Переходимо до розгляду додатків інтегрального обчислення. На цьому уроці ми розберемо типове та найбільш поширене завдання – як за допомогою певного інтеграла обчислити площу плоскої фігури. Нарешті ті, хто шукає значення у вищій математиці - і знайдуть його. Мало чи. Доведеться ось у житті наближати дачну ділянку елементарними функціями та знаходити її площу за допомогою певного інтеграла.

Для успішного освоєння матеріалу необхідно:

1) Розбиратися у невизначеному інтегралі хоча б на середньому рівні. Таким чином, чайникам для початку слід ознайомитись із уроком Не.

2) Вміти застосовувати формулу Ньютона-Лейбніца та обчислювати певний інтеграл. Налагодити теплі дружні стосунки із певними інтегралами можна на сторінці Визначений інтеграл. Приклади рішень.

Власне, із завданням знаходження площі за допомогою певного інтеграла всі знайомі ще зі школи, і ми мало втечемо вперед від шкільної програми. Цієї статті взагалі могло б і не бути, але справа в тому, що завдання зустрічається в 99 випадків зі 100, коли студент страждає від ненависної вежі із захопленням освоює курс вищої математики.

Матеріали даного практикуму викладені легко, докладно і з мінімумом теорії.

Почнемо з криволінійної трапеції.

Криволінійною трапецієюназивається плоска фігура, обмежена віссю , прямими і графіком безперервної на відрізку функції , яка не змінює знак на цьому проміжку. Нехай ця фігура розташована не нижчеосі абсцис:

Тоді площа криволінійної трапеції чисельно дорівнює певному інтегралу. Будь-який певний інтеграл (який існує) має дуже хороший геометричний сенс. На уроці Визначений інтеграл. Приклади рішенья говорив, що певний інтеграл це число. А зараз настав час констатувати ще один корисний факт. З погляду геометрії певний інтеграл – це ПЛОЩА.

Тобто, певному інтегралу (якщо він існує) геометрично відповідає площа деякої фігури. Наприклад, розглянемо певний інтеграл. Підінтегральна функція задає на площині криву, що знаходиться вище за осі (бажаючі можуть виконати креслення), а сам певний інтеграл чисельно дорівнює площі відповідної криволінійної трапеції.

Приклад 1

При побудові креслення я рекомендую наступний порядок: спочаткукраще побудувати всі прямі (якщо вони є) і тільки потім– параболи, гіперболи, графіки інших функцій. Графіки функцій вигідніше будувати крапково, з технікою поточкової побудови можна ознайомитись у довідковому матеріалі Графіки та властивості елементарних функцій. Там же можна знайти дуже корисний стосовно нашого уроку матеріал – як швидко побудувати параболу.

У цій задачі рішення може виглядати так.
Виконаємо креслення (зверніть увагу, що рівняння задає вісь):

Штрихувати криволінійну трапецію я не буду, тут очевидно, про яку площу йдеться. Рішення продовжується так:

На відрізку графік функції розташований над віссютому:

Відповідь:

У кого виникли труднощі з обчисленням певного інтеграла та застосуванням формули Ньютона-Лейбніца , зверніться до лекції Визначений інтеграл. Приклади рішень.

Після того, як завдання виконано, завжди корисно подивитись на креслення та прикинути, чи реальна вийшла відповідь. У цьому випадку «на око» підраховуємо кількість клітинок у кресленні – ну, приблизно 9 набереться, схоже на правду. Цілком зрозуміло, що якби в нас вийшов, скажімо, відповідь: 20 квадратних одиниць, то, зрозуміло, що десь припущена помилка - у розглянуту фігуру 20 клітинок вочевидь не вміщається, від сили десяток. Якщо відповідь вийшла негативною, то завдання теж вирішено некоректно.

Приклад 2

Обчислити площу фігури, обмеженою лініями , , та віссю

Це приклад самостійного рішення. Повне рішення та відповідь наприкінці уроку.

Що робити, якщо криволінійна трапеція розташована під віссю?

Приклад 3

Обчислити площу фігури, обмеженою лініями та координатними осями.

Рішення: Виконаємо креслення:

Якщо криволінійна трапеція розташована під віссю(або, принаймні, Не вищецієї осі), то її площа можна знайти за формулою:
В даному випадку:

Увага! Не слід плутати два типи завдань:

Приклад 4

Знайти площу плоскої фігури, обмеженою лініями , .

Рішення: Спочатку потрібно виконати креслення Загалом кажучи, при побудові креслення у завданнях на площу нас найбільше цікавлять точки перетину ліній. Знайдемо точки перетину параболи та прямої. Це можна зробити двома способами. Перший спосіб – аналітичний. Вирішуємо рівняння:

Значить, нижня межа інтегрування, верхня межа інтегрування.
Цим способом краще, наскільки можна, не користуватися.

Набагато вигідніше і швидше побудувати лінії поточечно, у своїй межі інтегрування з'ясовуються хіба що «самі собою». Техніка поточкового побудови для різних графіків докладно розглянуто у довідці Графіки та властивості елементарних функцій. Тим не менш, аналітичний спосіб знаходження меж все-таки доводиться іноді застосовувати, якщо, наприклад, графік досить великий, або поточена побудова не виявила меж інтегрування (вони можуть бути дрібними або ірраціональними). І такий приклад ми теж розглянемо.

Повертаємося до нашого завдання: раціональніше спочатку побудувати пряму і лише потім параболу. Виконаємо креслення:

Повторюся, що при поточковому побудові межі інтегрування найчастіше з'ясовуються "автоматом".

Тут уже не треба думати, де розташована постать - над віссю або під віссю, і, грубо кажучи, важливо, який графік Вище(щодо іншого графіка), а який – НИЖЧЕ.

Завершення рішення може мати такий вигляд:

Шукана фігура обмежена параболою зверху та прямою знизу.
На відрізку , за відповідною формулою:

Відповідь:

Насправді шкільна формула для площі криволінійної трапеції у нижній півплощині (див. простенький приклад №3) – окремий випадок формули . Оскільки вісь задається рівнянням, а графік функції розташований Не вищеосі , то

А зараз пара прикладів для самостійного вирішення

Приклад 5

Приклад 6

Знайти площу фігури, обмеженою лініями , .

У результаті вирішення завдань на обчислення площі з допомогою певного інтеграла іноді трапляється кумедний казус. Креслення виконано правильно, розрахунки – правильно, але за неуважністю… знайдено площу не тієї фігури, саме так кілька разів лажався ваш покірний слуга. Ось реальний випадок із життя:

Приклад 7

Обчислити площу фігури, обмеженою лініями , , , .

Рішення: Спочатку виконаємо креслення:

…Ех, креслення хрінонький вийшов, але ніби все розбірливо.

Фігура, площу якої нам потрібно знайти, заштрихована синім кольором(Уважно дивіться на умову – чим обмежена фігура!). Але на практиці через неуважність нерідко виникає «глюк», що потрібно знайти площу фігури, яка заштрихована зеленим кольором!

Цей приклад корисний і тим, що в ньому площа фігури вважається за допомогою двох певних інтегралів. Дійсно:

1) На відрізку над віссю розташований графік прямої;

2) На відрізку над віссю розташований графік гіперболи.

Цілком очевидно, що площі можна (і потрібно) приплюсувати, тому:

Відповідь:

Переходимо ще до одного змістовного завдання.

Приклад 8

Обчислити площу фігури, обмеженою лініями ,
Уявімо рівняння в «шкільному» вигляді, і виконаємо поточковий креслення:

З креслення видно, що верхня межа в нас «хороша»: .
Але чому дорівнює нижня межа?! Зрозуміло, що це ціле число, але яке? Може бути ? Але де гарантія, що креслення виконано з ідеальною точністю, цілком може виявитися . Або коріння. А якщо ми взагалі неправильно збудували графік?

У таких випадках доводиться витрачати додатковий час та уточнювати межі інтегрування аналітично.

Знайдемо точки перетину прямої та параболи.
Для цього розв'язуємо рівняння:

,

Справді, .

Подальше рішення тривіально, головне, не заплутатися у підстановках та знаках, обчислення тут не найпростіші.

На відрізку , за відповідною формулою:

Відповідь:

Ну, і на закінчення уроку, розглянемо два завдання складніше.

Приклад 9

Обчислити площу фігури, обмеженою лініями , ,

Рішення: Зобразимо цю фігуру на кресленні

Блін, забув графік підписати, а переробляти картинку, вибачте, не хотця. Не креслярський, коротше сьогодні день =)

Для поточкового побудови необхідно знати зовнішній вигляд синусоїди (і взагалі корисно знати графіки всіх елементарних функцій), а також деякі значення синуса, їх можна знайти в тригонометричної таблиці. У ряді випадків (як у цьому) допускається побудова схематичного креслення, на якому принципово правильно повинні бути відображені графіки та межі інтегрування.

З межами інтегрування тут проблем немає, вони випливають з умови: – «ікс» змінюється від нуля до «пі». Оформляємо подальше рішення:

На відрізку графік функції розташований над віссю, тому: