Формула другого закону Ньютону для поступального руху. Другий закон Ньютона для обертального руху

Динаміка матеріальної точки та поступального руху твердого тіла

Перший закон Ньютона. Маса. Сила

Перший закон Ньютона: будь-яка матеріальна точка (тіло) зберігає стан спокою або рівномірного прямолінійного руху доти, доки вплив з боку інших тіл не змусить її змінити цей стан. Прагнення тіла зберігати стан спокою або рівномірного прямолінійного руху називається інертністю. Тому перший закон Ньютона називають також законом інерції.

Перший закон Ньютона виконується не у будь-якій системі відліку, а ті системи, стосовно яких він виконується, називаються інерційними системами відліку.

Масатіла - фізична величина, що є однією з основних характеристик матерії, що визначає її інерційні ( інертна маса) та гравітаційні ( гравітаційна маса) властивості. В даний час можна вважати доведеним, що інертна та гравітаційна маси рівні одна одній (з точністю, не меншою за 10 –12 їх значення).

Отже, сила- це векторна величина, що є мірою механічного впливу на тіло з боку інших тіл або полів, в результаті якого тіло набуває прискорення або змінює свою форму та розміри.

Другий закон Ньютона

Другий закон Ньютона - основний закон динаміки поступального руху -відповідає питанням, як змінюється механічне рух матеріальної точки (тіла) під впливом прикладених до неї сил.

а ~ F (Т = const) . (6.1)

а ~ 1 /т (F = const). (6.2)

а =kF/ m. (6.3)

У СІ коефіцієнт пропорційності k= 1. Тоді

(6.4)

(6.5)

Векторна величина

(6.6)

чисельно рівна добутку маси матеріальної точки на її швидкість і має напрямок швидкості, називається імпульсом (кількістю руху)цієї матеріальної точки.

Підставляючи (6.6) у (6.5), отримаємо

(6.7)

Вираз (6.7) називається рівнянням руху матеріальної точки.

Одиниця сили у СІ - Ньютон(Н): 1 Н - сила, яка масі 1 кг повідомляє прискорення 1 м/с 2 у напрямку дії сили:

1 Н = 1 кг м/с 2 .

Другий закон Ньютона справедливий лише в інерційних системах відліку. Перший закон Ньютона можна одержати з другого.

У механіці велике значення має принцип незалежності дії сил: якщо на матеріальну точку діє одночасно кілька сил, то кожна з цих сил повідомляє матеріальну точку прискорення згідно з другим законом Ньютона, ніби інших сил не було.

Третій закон Ньютона

Взаємодія між матеріальними точками (тілами) визначається третім законом Ньютона.

F 12 = – F 21 , (7.1)

Третій закон Ньютона дозволяє здійснити перехід від динаміки окремоюматеріальної точки до динаміки системиматеріальних точок.

Сили тертя

У механіці ми розглядатимемо різні сили: тертя, пружності, тяжіння.

Сили тертя, які перешкоджають ковзанню дотичних тіл один щодо одного.

Зовнішнім тертямназивається тертя, що виникає в площині торкання двох дотичних тіл при їх відносному переміщенні.

Залежно від характеру їхнього відносного руху говорять про терті ковзання, коченняабо обертання.

Внутрішнім тертямназивається тертя між частинами одного і того ж тіла, наприклад, між різними шарами рідини або газу. Якщо тіла ковзають відносно одне одного і розділені прошарком в'язкої рідини (мастила), то тертя відбувається у шарі мастила. У такому разі говорять про гідродинамічному терті(шар мастила досить товстий) та граничному терті (товщина мастильного прошарку 0,1 мкм і менше).

Сила тертя ковзання Fтр пропорційна силі Nнормального тиску, з якою одне тіло діє інше:

F тр = f N ,

де f - Коефіцієнт тертя ковзання, що залежить від властивостей дотичних поверхонь.

У граничному випадку (початок ковзання тіла) F=Fтр. або P sin  0 = f N = f P cos  0 , звідки

f = tg 0 .

Для гладких поверхонь певну роль починає грати міжмолекулярне тяжіння. Для них застосовується закон тертя ковзання

F тр = f іст (N + Sp 0 ) ,

де р 0 - додатковий тиск, зумовлений силами міжмолекулярного тяжіння, що швидко зменшуються зі збільшенням відстані між частинками; S - площу контакту між тілами; fіст – справжній коефіцієнт тертя ковзання.

Радикальним способом зменшення сили тертя є заміна тертя ковзання тертям кочення (кулькові та роликові підшипники тощо). Сила тертя кочення визначається за законом, встановленим Кулоном:

F тр = f до N / r , (8.1)

де r- радіус тіла, що котиться; fдо - коефіцієнт тертя кочення, що має розмірність dim fдо = L. З (8.1) випливає, що сила тертя кочення назад пропорційна радіусу тіла, що котиться.

Закон збереження імпульсу. Центр мас

Сукупність матеріальних точок (тіл), що розглядаються як єдине ціле, називається механічною системою. Сили взаємодії між матеріальними точками механічної системи внутрішніми. Сили, із якими на матеріальні точки системи діють зовнішні тіла, називаються зовнішніми. Механічна система тіл, яку не діють зовнішні сили, називається замкненою(або ізольовані). Якщо ми маємо механічну систему, що складається з багатьох тіл, то, згідно з третім законом Ньютона, сили, що діють між цими тілами, будуть рівні та протилежно спрямовані, тобто геометрична сума внутрішніх сил дорівнює нулю.

Запишемо другий закон Ньютона для кожного з nтіл механічної системи:

Складаючи почленно ці рівняння, отримуємо

Але оскільки геометрична сума внутрішніх сил механічної системи за третім законом Ньютона дорівнює нулю, то

(9.1)

де - Імпульс системи. Таким чином, похідна часу від імпульсу механічної системи дорівнює геометричній сумі зовнішніх сил, що діють на систему.

У разі відсутності зовнішніх сил (розглядаємо замкнуту систему)

Останній вираз і є законом збереження імпульсу: імпульс замкнутої системи зберігається, тобто не змінюється з часом.

Експерименти доводять, що він виконується і для замкнених систем мікрочастинок (вони підпорядковуються законам квантової механіки). Цей закон носить універсальний характер, тобто закон збереження імпульсу фундаментальний закон природи

Закон збереження імпульсу є наслідком певної якості симетрії простору - його однорідності. Однорідність просторуполягає в тому, що при паралельному перенесенні у просторі замкнутої системи тіл як цілого її фізичні властивості та закони руху не змінюються, іншими словами, не залежать від вибору положення початку координат інерційної системи відліку.

Центром мас(або центром інерції) системи матеріальних точок називається уявна точка З, становище якої характеризує розподіл маси цієї системи. Її радіус-вектор дорівнює

де m iі r i- відповідно маса та радіус-вектор i-й матеріальної точки; n- Число матеріальних точок у системі; - Маса системи. Швидкість центру мас

Враховуючи що pi = m i v i, a є імпульс рсистеми, можна написати

(9.2)

т. е. імпульс системи дорівнює добутку маси системи на швидкість її центру мас.

Підставивши вираз (9.2) до рівняння (9.1), отримаємо

(9.3)

т. е. центр мас системи рухається як матеріальна точка, в якій зосереджена маса всієї системи і на яку діє сила, що дорівнює геометричній сумі всіх зовнішніх сил, прикладених до системи. Вираз (9.3) є закон руху центру мас.

1. Похідна але часу від кількості руху До матеріальної точки або системи матеріальних точок щодо нерухомої (інерціальної) системи відліку дорівнює головному вектору F всіх зовнішніх сил, що додаються до системи:
dK/dt = F або mac = F

де ac – прискорення центру інерції системи, а т – її маса.
У разі поступального руху твердого тіла з абсолютною швидкістю v швидкість центру інерції vc = v. Тому при розгляді поступального руху твердого тіла це тіло можна подумки замінити матеріальною точкою, що збігається з центром інерції тіла, що має всю його масу і рухається під дією головного ієхтора зовнішніх сил, прикладених до тіла.
У проекціях на осі нерухомої прямокутної декартової системи координат рівняння основного закону динаміки поступального руху системи мають вигляд:
Fx = dK/dt, Fy = dK/dt, Fz = dK/dt

або
macx = Fx, macy = Fy, macz = Fz

2. Найпростіші випадки поступального руху твердого тіла.
а) Рух з інерції (F = 0):
mv=const, a=0.

б) Рух під впливом постійної сили:
d/dt (mv) = F = const, mv = Ft + mv0,

де mv0 – кількість руху тіла у початковий момент часу t = 0.
в) Рух під впливом змінної сили. Зміна кількості руху тіла за проміжок часу від t1 до t2 дорівнює
mv2 – mv1 = Fcp (t2 – t1)

де Fcp – середнє значення вектора сили в інтервалі часу часу від t1 до t2.

Інші записи

10.06.2016. Перший закон Ньютона

1. Перший закон Ньютона: будь-яка матеріальна точка зберігає стан спокою або рівномірного і прямолінійного руху доти, доки вплив з боку інших тіл не виведе її з цього стану.

10.06.2016. Сила

1. Сила - векторна величина, що є мірою механічного на матеріальну точку чи тіло з боку інших тіл чи полів. Сила повністю задана, якщо вказано її чисельне значення, напрямок…

10.06.2016. Третій закон Ньютона

1. Дії двох матеріальних точок один на одного чисельно рівні і спрямовані в протилежні сторони: Fij = - Fji, де i не дорівнює j. Ці сили прикладені до різних точок і можуть взаємно врівноважуватися.

Глава 2. ЕЛЕМЕНТИ ДИНАМІКИ

Динаміка вивчає рух тіл з урахуванням причин (взаємодій між тілами), які зумовлюють той чи інший характер руху. В основі класичної (ньютонівської) механіки лежать три закони динаміки, сформульовані І. Ньютоном у XVII ст. Закони Ньютона виникли внаслідок узагальнення великої кількості досвідчених фактів. Правильність їх підтверджується збігом з досвідом тих наслідків, що їх випливають.

Перший закон Ньютона формулюється так: всяке тіло перебуває у стані спокою чи рівномірного і прямолінійного руху, поки вплив із боку інших тіл не змусить його змінити цей стан.Обидва названі стани об'єднуються тим, що прискорення тіла дорівнює нулю.

Враховуючи, що характер руху залежить від вибору системи відліку, слід зробити висновок, що перший закон Ньютона виконується не у будь-якій системі відліку. Система відліку, в якій виконується перший закон Ньютона, прийнято називати інерціальною. Сам закон називають законом інєрції. Система відліку, в якій перший закон Ньютона не виконується, прийнято називати неінерційною. Будь-яка система відліку, що рухається рівномірно і прямолінійно щодо інерціальної системи, також є системою інерціальної. З цієї причини ієрціальних систем існує безліч.

Властивість тіл зберігати стан спокою або рівномірного і прямолінійного руху прийнято називати інєртністю(Інерцією). Мірою інерності тіла є його маса m. Вона залежить від швидкості руху тіла. За одиницю маси прийнято кілограм(кг) – маса еталонного тіла.

Якщо стан руху тіла або його форма та розміри змінюються, то кажуть, що на тіло діють інші тіла. Мірою взаємодії тіл служить сила. Будь-яка сила проявляється як результат дії одного тіла на інше, що зводиться до появи у тіла прискорення чи його деформації.

Другий закон Ньютона: результуюча сила, що діє на тіло, дорівнює добутку маси цього тіла на його прискорення:

Оскільки маса є скаляром, то з формули (6.1) випливає, що .

На підставі цього закону вводиться одиниця сили Ньютон(Н): .

Другий закон Ньютона справедливий лише в ієрціальних системах відліку.

Замінимо прискорення у рівнянні (6.1) похідної швидкості за часом:

Векторна величина

прийнято називати імпульсом тіла.

З формули (6.3) випливає, що напрямок вектора імпульсу збігається з напрямком швидкості. Одиниця імпульсу - кілограм-метр на секунду(кг×м/с).

Об'єднуючи вирази (6.2) та (6.3), отримуємо

Отримане вираз дозволяє запропонувати загальне формулювання другого закону Ньютона: чинна на тіло сила дорівнює похідній імпульсу за часом.

Будь-яка дія тіл один на одного має характер взаємодії (рис. 6.1). Якщо тіло діє на тіло з деякою силою, то і тіло в свою чергу діє на тіло з силою.

Третій закон Ньютона формулюється так: ті тіла, що взаємодіють, діють один на одного з силами, рівними за модулем і протилежними у напрямку.

Ці сили, прикладені до різних тіл, діють однією прямою і є силами однієї природи. Математичний вираз третього закону Ньютона має вигляд

Знак "-" у формулі (6.5) означає, що вектори сил протилежні у напрямку.

У формулюванні самого Ньютона третій закон свідчить: "Дію завжди є рівна і протилежна протидія, інакше - дії двох тіл один на одного між собою рівні і спрямовані в протилежні сторони".

Поворот тіла на деякий кут можна задати як відрізка, довжина якого дорівнює j, а напрямок збігається з віссю, навколо якої проводиться поворот. Напрямок повороту і його відрізка пов'язане правилом правого гвинта.

У математиці вказується, що дуже малі повороти можна як вектори, що позначаються символами або . Напрямок вектора повороту зв'язується із напрямком обертання тіла; - Вектор елементарного повороту тіла - є псевдовектором, так як не має точки додатка.

При обертальному русі твердого тіла кожна точка рухається по колу, центр якого лежить на загальній осі обертання (рис. 6). При цьому радіус-вектор R, Спрямований від осі обертання до точки, повертається за час Dtна деякий кут Dj. Для характеристики обертального руху вводиться кутова швидкість та кутове прискорення.

Кутовою швидкістюназивається векторна величина, що дорівнює першій похідній кута повороту тіла за часом:

Кут в один радіан – це центральний кут, довжина дуги якого дорівнює радіусу кола; 360 про = 2p рад.

Напрямок кутової швидкості задається правилом правого гвинта: вектор кутової швидкості сонаправлен з вектором , тобто з поступальним рухом гвинта, головка якого обертається напрямку руху точки по колу.

Лінійна швидкість точки пов'язана з кутовою швидкістю:

У векторній формі.

Якщо у процесі обертання кутова швидкість змінюється, виникає кутове прискорення.

Кутове прискорення- Векторна величина, рівна першої похідної кутової швидкості за часом. Вектор кутової швидкості сонаправлен з вектором елементарної зміни кутової швидкості, що відбувся за час dt:

При прискореному русі вектор паралельний (рис. 7), при уповільненому – протиспрямований (рис. 8).

Кутове прискорення виникає у системі лише тоді, коли відбувається зміна кутової швидкості, тобто коли лінійна швидкість руху змінюється за величиною. Зміна швидкості за величиною характеризує тангенціальне прискорення.

Знайдемо зв'язок між кутовим та тангенціальним прискореннями:

Зміна напрямку швидкості при криволінійному русі характеризується нормальним прискоренням:

Таким чином, зв'язок між лінійними та кутовими величинами виражається такими формулами:

Типи обертального руху:

а) змінне- Рух, при якому змінюються і:

б) рівнозмінне– обертальний рух із постійним кутовим прискоренням:

в) рівномірне– обертальний рух із постійною кутовою швидкістю:

Рівномірний обертальний рух можна характеризувати періодом та частотою обертання.

Період– це час, протягом якого тіло робить один повний оборот.

Частота обертів- Це число оборотів, що здійснюються за одиницю часу.

За один оборот: ,

, .

Закони Ньютона. Основне рівняння динаміки поступального руху.

Динаміка вивчає рух тіл з урахуванням причин, що викликають рух.

Основу динаміки становлять закони Ньютона.

І закон.Існують інерційні системи відліку (ІСО), у яких матеріальна точка (тіло) зберігає стан спокою або рівномірного прямолінійного руху, доки вплив з боку інших тіл не виведе її з цього стану.

Властивість тіла зберігати стан спокою або рівномірного прямолінійного руху за відсутності впливу на нього інших тіл називається інертністю.

ІСО називають систему відліку, в якій тіло, вільне від зовнішніх впливів, спочиває або рухається рівномірно прямолінійно.

Інерційною є система відліку, яка спочиває або рухається рівномірно прямолінійно щодо будь-якої ІСО.

Система відліку, що рухається із прискоренням щодо ІСО, є неінерційною.

I закон Ньютона, званий також законом інерції, був уперше сформульований Галілеєм. Його зміст зводиться до 2-х тверджень:

1) всі тіла мають властивість інертності;

2) існують ІСО.

Принцип відносності Галілея: все механічні явища переважають у всіх ІСО відбуваються однаково, тобто. ніякими механічними дослідами всередині ІСО неможливо встановити, спочиває ця ІСО або рухається рівномірно прямолінійно.

У більшості практичних завдань систему відліку, жорстко пов'язану із Землею, можна вважати ІСО.

З досвіду відомо, що з однакових впливах різні тіла неоднаково змінюють свою швидкість, тобто. набувають різних прискорень, прискорення тіл залежить від їхньої маси.

Маса- міра інерційних та гравітаційних властивостей тіла. За допомогою точних експериментів встановлено, що інертна та гравітаційна маси є пропорційними один одному. Вибираючи одиниці таким чином, щоб коефіцієнт пропорційності став рівним одиниці, отримаємо, що , тому просто говорять про масу тіла.

[m]=1кг - маса платино-іридієвого циліндра, діаметр і висота якого дорівнюють h=d=39мм.

Щоб характеризувати дію одного тіла інше, вводять поняття сили.

Сила- міра взаємодії тіл, внаслідок якого тіла змінюють свою швидкість або деформуються.

Сила характеризується чисельним значенням, напрямом, точкою програми. Пряма, вздовж якої діє сила, називається лінією дії сили.

Одночасна дія на тіло кількох сил еквівалентна дії однієї сили, яка називається рівнодіючоїабо результуючою силою та рівною їх геометричній сумі:

Другий закон Ньютона - основний закон динаміки поступального руху - відповідає питанням, як змінюється рух тіла під дією прикладених до нього сил.

Дата: __________ Зам.директора з УВР:___________

Тема; Другий закон Ньютона для обертального руху

Ціль:

Освітня: вливати і записати в математичній формі другий закон Ньютона; пояснити залежність між величинами, що входять до формул цього закону;

Розвиваюча: розвивати логічне мислення, уміння пояснювати прояви другого закону Ньютона у природі;

Виховна : формувати інтерес до вивчення фізики, виховувати працьовитість, відповідальність.

Тип уроку: Вивчення нового матеріалу.

Демонстрації: залежність прискорення тіла від сили, чинної нею.

Обладнання: візок з легкими колесами, диск, що обертається, набір грузиків, пружина, блок, брусок.

ХІД УРОКУ

Організаційний момент

Актуалізація опорних знань учнів

Ланцюжок формул (відтворити формули):

ІІ. Мотивація навчальної діяльності учнів

Вчитель. За допомогою законів Ньютона можна не тільки пояснювати механічні явища, що спостерігаються, але і передбачати їх хід. Нагадаємо, що пряме основне завдання механіки полягає у знаходженні положення та швидкості тіла у будь-який момент часу, якщо відомі його положення та швидкість у початковий момент часу та сили, що діють на нього. Це завдання вирішується за допомогою другого закону Ньютона, який сьогодні ми вивчатимемо.

ІІІ. Вивчення нового матеріалу

1. Залежність прискорення тіла від сили, що діє на нього

Більш інертне тіло має більшу масу, менш інертно меншу:

2. Другий закон Ньютона

Другий закон динаміки Ньютона встановлює зв'язок між кінематичними та динамічними величинами. Найчастіше він формулюється так: прискорення, який отримує тіло, прямо пропорційно масі тіла і має той самий напрям, що й сила:

де - прискорення, - рівнодіюча сил, що діють на тіло, Н; m – маса тіла, кг.

Якщо з цього виразу визначити силу, то отримаємо другий закон динаміки у такому формулюванні: сила, що діє на тіло, дорівнює добутку маси тіла на прискорення, якого надає ця сила.

Ньютон сформулював другий закон динаміки дещо інакше, використавши поняття кількості руху (імпульсу тіла). Імпульс - добуток маси тіла на його швидкість (те, що кількість руху) - один із заходів механічного руху: Імпульс (кількість руху) є величиною векторної. Оскільки прискорення, то

Ньютон сформулював свій закон так: зміна кількості руху тіла пропорційна діючій силі і відбувається за напрямком тієї прямої, вздовж якої ця сила діє.

Варто розглянути ще одне із формулювань другого закону динаміки. У фізиці широко використовується векторна величина, яка називається імпульсом сили - це витвір сили на час її дії: Використовуючи це, отримаємо . Зміна імпульсу тіла дорівнює імпульсу сили, що на нього діє.

Другий закон динаміки Ньютона узагальнив винятково важливий факт: дія сил не викликає власне руху, а лише змінює його; Сила викликає зміна швидкості, тобто. прискорення, а не саму швидкість. Напрямок сили збігається з напрямком швидкості лише у частковому випадку прямолінійного рівноприскореного (Δ0) руху. Наприклад, під час руху тіла, кинутого горизонтально, сила тяжіння спрямована вниз, а швидкість утворює із силою певний кут, що під час польоту тіла змінюється. А у разі рівномірного руху тіла по колу сила постійно спрямована перпендикулярно швидкості руху тіла.

Одиниця виміру сили в СІ визначають на основі другого закону Ньютона. Одиниця виміру сили називається [H] і визначається так: сила 1 ньютон надає тілу масою 1 кг прискорення 1 м/с2. Таким чином,

Приклади застосування другого закону Ньютона

Як приклад застосування другого закону Ньютона можна розглянути, зокрема, вимір маси тіла за допомогою зважування. Прикладом прояву другого закону Ньютона у природі то, можливо сила, що діє нашу планету із боку Сонця, та інших.

Кордони застосування другого закону Ньютона:

1) система відліку має бути інерційною;

2) швидкість тіла має бути набагато меншою, ніж швидкість світла (для швидкостей, близьких до швидкості світла, другий закон Ньютона використовується в імпульсному вигляді: ).

IV. Закріплення матеріалу

Розв'язання задач

1. На тіло масою 500 г одночасно діють дві сили 12 Н і 4 Н, спрямовані у протилежному напрямку вздовж однієї прямої. Визначити модуль та напрямок прискорення.