Що таке подібні доданки. Приведення подібних доданків (Вольфсон Г.І.)

Кратне число – це число, яке поділяється на це числобез залишку. Найменша загальна кратна (НОК) групи чисел – це найменше число, яке ділиться без залишку на кожне число групи. Щоб знайти найменше загальне кратне, потрібно знайти прості множники цих чисел. Також НОК можна обчислити за допомогою інших методів, які застосовуються до груп з двох і більше чисел.

Кроки

Ряд кратних чисел

Подивіться на ці цифри.Описаний метод краще застосовувати, коли дано два числа, кожне з яких менше 10. Якщо дані великі числа, скористайтеся іншим способом.

• Наприклад, знайдіть найменше загальне кратне чисел 5 та 8. Це невеликі числа, тому можна використати даний метод.

1. Кратне число - це число, яке ділиться на це число без залишку. Кратні числа можна подивитися в таблиці множення.

   • Наприклад, числами, які кратні 5 є: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.

2. Запишіть ряд чисел, які кратні першому числу.Зробіть це під кратними числами першого числа, щоби порівняти два ряди чисел.

   • Наприклад, числами, які кратні 8, є: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56 та 64.

3. Знайдіть найменше число, яке є в обох рядах кратних чисел.Можливо, вам доведеться написати довгі ряди кратних чисел, щоб знайти загальне число. Найменше число, яке є в обох рядах кратних чисел, є найменшим загальним кратним.

   • Наприклад, найменшим числом, що є у рядах кратних чисел 5 і 8, є число 40. Тому 40 – це найменше загальне кратне чисел 5 і 8.

   Розкладання на прості множники

   1. Подивіться на ці цифри.Описаний метод краще застосовувати, коли дано два числа, кожне з яких більше 10. Якщо дані менші числа, скористайтеся іншим способом.

      • Наприклад, знайдіть найменше загальне кратне чисел 20 та 84. Кожне з чисел більше 10, тому можна використовувати цей метод.

   2. Розкладіть на прості множники перше число.Тобто потрібно знайти такі прості числа, при перемноженні яких вийде це число. Знайшовши прості множники, запишіть у вигляді рівності.

      • Наприклад, 2 × 10 = 20 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 10=20)і 2 × 5 = 10 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times (\mathbf (5) )=10). Таким чином, простими множниками числа 20 є числа 2, 2 та 5. Запишіть їх у вигляді виразу: .

   3. Розкладіть на прості множники друге число.Зробіть це так, як ви розкладали на множники перше число, тобто знайдіть такі прості числа, при перемноженні яких вийде дане число.

      • Наприклад, 2 × 42 = 84 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 42=84), 7 × 6 = 42 (\displaystyle (\mathbf (7) )\times 6=42)і 3 × 2 = 6 (\displaystyle (\mathbf (3) )\times (\mathbf (2) )=6). Таким чином, простими множниками числа 84 є числа 2, 7, 3 та 2. Запишіть їх у вигляді виразу: .

   4. Запишіть множники, спільні для обох чисел.Запишіть такі множники як операції множення. У міру запису кожного множника закреслюйте його в обох виразах (вирази, що описують розкладання чисел на прості множники).

      • Наприклад, загальним для обох чисел є множник 2, тому напишіть 2 × (\displaystyle 2\times )і закресліть 2 в обох виразах.
      • Спільним для обох чисел є ще один множник 2, тому напишіть 2 × 2 (\displaystyle 2\times 2)і закресліть другу 2 в обох виразах.

   5. До операції множення додайте множники, що залишилися.Це множники, які не закреслені в обох виразах, тобто множники, які не є спільними для обох чисел.

      • Наприклад, у виразі 20 = 2×2×5 (\displaystyle 20=2\times 2\times 5)закреслені обидві двійки (2), тому що вони є загальними множниками. Не закреслено множник 5, тому операцію множення запишіть так: 2 × 2 × 5 (\displaystyle 2\times 2\times 5)
      • У виразі 84 = 2×7×3×2 (\displaystyle 84=2\times 7\times 3\times 2)також закреслено обидві двійки (2). Чи не закреслені множники 7 і 3, тому операцію множення запишіть так: 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\displaystyle 2\times 2\times 5\times 7\times 3).

   6. Обчисліть найменшу загальну кратну.Для цього перемножте числа записаної операції множення.

      • Наприклад, 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 (\displaystyle 2\times 2\times 5\times 7\times 3=420). Таким чином, найменше загальне кратне 20 та 84 дорівнює 420.

   Знаходження спільних дільників

   1. Намалюйте сітку як для гри в хрестики-нуліки.Така сітка є дві паралельні прямі, які перетинаються (під прямим кутом) з іншими двома паралельними прямими. Таким чином, вийдуть три рядки та три стовпці (сітка дуже схожа на значок #). Перше число напишіть у першому рядку та другому стовпці. Друге число напишіть у першому рядку та третьому стовпці.

      • Наприклад, знайдіть найменше загальне кратне чисел 18 та 30. Число 18 напишіть у першому рядку та другому стовпці, а число 30 напишіть у першому рядку та третьому стовпці.

   2. Знайдіть дільник, загальний обох чисел.Запишіть його у першому рядку та першому стовпці. Краще шукати прості дільники, але це не є обов'язковою умовою.

      • Наприклад, 18 та 30 – це парні числа, тому їх спільним дільникомбуде число 2. Таким чином, напишіть 2 у першому рядку та першому стовпці.

   3. Розділіть кожну кількість на перший дільник.Кожне окреме запишіть під відповідним числом. Частка – це результат розподілу двох чисел.

      • Наприклад, 18 ÷ 2 = 9 (\displaystyle 18\div 2=9)тому запишіть 9 під 18.
      • 30 ÷ 2 = 15 (\displaystyle 30\div 2=15)тому запишіть 15 під 30.

   4. Знайдіть дільник, загальний обох приватних.Якщо такого дільника немає, пропустіть наступні два кроки. В іншому випадку дільник запишіть у другому рядку та першому стовпці.

      • Наприклад, 9 і 15 діляться на 3, тому запишіть 3 у другому рядку та першому стовпці.

   5. Розділіть кожну приватну на другий дільник.Кожен результат поділу запишіть під відповідним приватним.

      • Наприклад, 9 ÷ 3 = 3 (\displaystyle 9\div 3=3)тому запишіть 3 під 9.
      • 15 ÷ 3 = 5 (\displaystyle 15\div 3=5)тому запишіть 5 під 15.

   6. Якщо потрібно, доповніть сітку додатковими осередками.Повторюйте описані дії, доки приватні не мають спільного дільника.

   7. Обведіть кружками числа в першому стовпці та останньому рядку сітки.Потім виділені числа запишіть як операції множення.

      • Наприклад, числа 2 і 3 перебувають у першому стовпці, а числа 3 і 5 перебувають у останньому рядку, тому операцію множення запишіть так: 2 × 3 × 3 × 5 (\displaystyle 2\times 3\times 3\times 5).

   8. Знайдіть результат множення чисел.Так ви обчислите найменше загальне кратне двох даних чисел.

      • Наприклад, 2 × 3 × 3 × 5 = 90 (\displaystyle 2\times 3\times 3\times 5=90). Таким чином, найменше загальне кратне 18 та 30 дорівнює 90.

   Алгоритм Евкліда

   1. Запам'ятайте термінологію, пов'язану з операцією поділу.Ділене - це число, яке ділять. Дільник – це число, яким ділять. Частка – це результат розподілу двох чисел. Залишок – це число, що залишилося при розподілі двох чисел.

      • Наприклад, у виразі 15 ÷ 6 = 2 (\displaystyle 15\div 6=2)зуп. 3:
        15 – це ділене
        6 – це дільник
        2 – це приватне
        3 – це залишок.

Продовжимо розмову про найменше спільне кратне, яке ми розпочали у розділі «НОК – найменше загальне кратне, визначення, приклади». У цій темі ми розглянемо способи знаходження НОК для трьох чисел і більше, розберемо питання, як знайти НОК негативного числа.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Обчислення найменшого загального кратного (НОК) через НОД

Ми вже встановили зв'язок найменшого загального кратного із найбільшим спільним дільником. Тепер навчимося визначати НОК через НОД. Спочатку розберемося, як робити це для позитивних чисел.

Визначення 1

Знайти найменше загальне кратне через найбільший спільний дільник можна за формулою НОК (a, b) = a · b: НОД (a, b).

Приклад 1

Необхідно знайти НОК чисел 126 та 70 .

Рішення

Приймемо a = 126, b = 70. Підставимо значення у формулу обчислення найменшого загального кратного через найбільший спільний дільник НОК (a, b) = a · b: НОД (a, b).

Знайде НОД чисел 70 та 126 . Для цього нам знадобиться алгоритм Евкліда: 126 = 70 · 1 + 56, 70 = 56 · 1 + 14, 56 = 14 · 4, отже, НОД (126 , 70) = 14 .

Обчислимо НОК: НОК (126, 70) = 126 · 70: НОД (126, 70) = 126 · 70: 14 = 630.

Відповідь:НОК (126, 70) = 630 .

Приклад 2

Знайдіть число 68 і 34 .

Рішення

НІД в даному випадкуйти нескладно, тому що 68 ділиться на 34 . Обчислимо найменше загальне кратне за формулою: НОК (68, 34) = 68 · 34: НОД (68, 34) = 68 · 34: 34 = 68.

Відповідь:НОК (68, 34) = 68 .

У цьому прикладі ми використовували правило знаходження найменшого загального кратного для цілих позитивних чисел a і b: якщо перше число ділиться на друге, що НОК цих чисел дорівнюватиме першому числу.

Знаходження НОК за допомогою розкладання чисел на прості множники

Тепер давайте розглянемо спосіб знаходження НОК, який ґрунтується на розкладанні чисел на прості множники.

Визначення 2

Для знаходження найменшого загального кратного нам знадобиться виконати низку нескладних дій:

• складаємо твір усіх простих множниківчисел, котрим нам потрібно знайти НОК;
• виключаємо їх отриманих творів усі прості множники;
• отриманий після виключення загальних простих множників твір дорівнюватиме НОК даних чисел.

Цей спосіб знаходження найменшого загального кратного заснований на рівні НОК (a, b) = a · b: НОД (a, b). Якщо подивитися на формулу, то стане зрозуміло: добуток чисел a та b дорівнює добутку всіх множників, які беруть участь у розкладанні цих двох чисел. При цьому НОД двох чисел дорівнює творувсіх простих множників, які одночасно присутні у розкладах на множники даних двох чисел.

Приклад 3

У нас є два числа 75 та 210 . Ми можемо розкласти їх на множники так: 75 = 3 · 5 · 5і 210 = 2 · 3 · 5 · 7. Якщо скласти добуток всіх множників двох вихідних чисел, то вийде: 2 · 3 · 3 · 5 · 5 · 5 · 7.

Якщо виключити загальні для обох чисел множники 3 і 5 ми отримаємо твір наступного виду: 2 · 3 · 5 · 5 · 7 = 1050. Цей твір буде нашим НОК для чисел 75 і 210 .

Приклад 4

Знайдіть НОК чисел 441 і 700 , розклавши обидва числа на прості множники

Рішення

Знайдемо всі прості множники чисел, даних за умови:

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

Отримуємо два ланцюжки чисел: 441 = 3 · 3 · 7 · 7 і 700 = 2 · 2 · 5 · 5 · 7 .

Добуток усіх множників, які брали участь у розкладанні даних чисел, матиме вигляд: 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 5 · 7 · 7 · 7. Знайдемо спільні множники. Це число 7. Виключимо його з загального твору: 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 5 · 7 · 7. Виходить, що НОК (441, 700) = 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 5 · 7 · 7 = 44 100.

Відповідь:НОК (441, 700) = 44 100 .

Дамо ще одне формулювання методу знаходження НОК шляхом розкладання чисел на прості множники.

Визначення 3

Раніше ми виключали з усієї кількості множників спільні для обох чисел. Тепер ми зробимо інакше:

• розкладемо обидва числа на прості множники:
• додамо до твору простих множників першого числа відсутні множники другого числа;
• отримаємо твір, який і буде шуканий НОК двох чисел.

Приклад 5

Повернемося до числа 75 і 210, для яких ми вже шукали НОК в одному з попередніх прикладів. Розкладемо їх на прості множники: 75 = 3 · 5 · 5і 210 = 2 · 3 · 5 · 7. До твору множників 3 , 5 5 числа 75 додамо відсутні множники 2 і 7 числа 210 . Отримуємо: 2 · 3 · 5 · 5 · 7 .Це і є НОК чисел 75 та 210 .

Приклад 6

Необхідно обчислити НОК чисел 84 та 648 .

Рішення

Розкладемо числа із умови на прості множники: 84 = 2 · 2 · 3 · 7і 648 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 3. Додамо до твору множників 2 , 2 , 3 7 числа 84 множники 2 , 3 , 3 і
3 числа 648 . Отримуємо твір 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 3 · 7 = 4536 .Це і є найменше загальне кратне чисел 84 і 648.

Відповідь:НОК (84, 648) = 4536.

Знаходження НОК трьох та більшої кількості чисел

Незалежно від того, з якою кількістю чисел ми маємо справу, алгоритм наших дій завжди буде однаковим: ми будемо послідовно знаходити НОК двох чисел. На цей випадок є теорема.

Теорема 1

Припустимо, що ми маємо цілі числа a 1 , a 2 , … , a k. НОК m kцих чисел перебуває при послідовному обчисленні m 2 = НОК (a 1 , a 2) , m 3 = НОК (m 2 , a 3) , … , m k = НОК (m k − 1 , a k) .

Тепер розглянемо, як можна застосовувати теорему на вирішення конкретних завдань.

Приклад 7

Необхідно обчислити найменше загальне кратне чотирьох чисел 140, 9, 54 та 250 .

Рішення

Введемо позначення: a 1 = 140 , a 2 = 9 , a 3 = 54 , a 4 = 250 .

Почнемо з того, що обчислимо m 2 = НОК (a 1, a 2) = НОК (140, 9). Застосуємо алгоритм Евкліда для обчислення НОД чисел 140 і 9: 140 = 9 · 15 + 5, 9 = 5 · 1 + 4, 5 = 4 · 1 + 1, 4 = 1 · 4. Отримуємо: НОД (140, 9) = 1, НОК (140, 9) = 140 · 9: НОД (140, 9) = 140 · 9: 1 = 1260. Отже, m 2 = 1260 .

Тепер обчислимо за тим алгоритмом m 3 = НОК (m 2 , a 3) = НОК (1 260 , 54) . У результаті обчислень отримуємо m 3 = 3 780 .

Нам залишилося обчислити m4 = НОК (m3, a4) = НОК (3780, 250). Діємо за тим самим алгоритмом. Отримуємо m 4 = 94500 .

НОК чотирьох чисел із умови прикладу дорівнює 94500 .

Відповідь:НОК (140, 9, 54, 250) = 94500.

Як бачите, обчислення виходять нескладними, але досить трудомісткими. Щоб заощадити час, можна йти іншим шляхом.

Визначення 4

Пропонуємо вам наступний алгоритм дій:

• розкладаємо всі числа на прості множники;
• до твору множників першого числа додаємо множники, що відсутні, з твору другого числа;
• до отриманого на попередньому етапі твору додаємо множники третього числа, що бракують, і т.д.;
• отриманий твір буде найменшим загальним кратним усіх чисел з умови.

Приклад 8

Необхідно знайти НОК п'яти чисел 84, 6, 48, 7, 143.

Рішення

Розкладемо всі п'ять чисел на прості множники: 84 = 2 · 2 · 3 · 7, 6 = 2 · 3, 48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3, 7, 143 = 11 · 13 . Прості числа, яким є число 7 на прості множники не розкладаються. Такі числа збігаються зі своїми розкладанням на прості множники.

Тепер візьмемо добуток простих множників 2 , 2 , 3 і 7 числа 84 і додамо до них множники другого числа. Ми розклали число 6 на 2 та 3 . Ці множники вже є у творі першого числа. Отже, їх опускаємо.

Продовжуємо додавати відсутні множники. Переходимо до 48 , з добутку простих множників якого беремо 2 і 2 . Потім додаємо простий множник 7 від четвертого числа та множники 11 і 13 п'ятого. Отримуємо: 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 7 · 11 · 13 = 48 048 . Це і є найменша загальна кратність п'яти вихідних чисел.

Відповідь:НОК (84, 6, 48, 7, 143) = 48 048.

Знаходження найменшого загального кратного негативних чисел

Для того, щоб знайти найменше спільне кратне негативних чисел, ці числа необхідно спочатку замінити на числа з протилежним знаком, а потім провести обчислення за наведеними вище алгоритмами.

Приклад 9

НОК (54, -34) = НОК (54, 34), а НОК (-622, -46, -54, -888) = НОК (622, 46, 54, 888).

Такі дії допустимі у зв'язку з тим, що якщо прийняти, що aі − a- Протилежні числа,
то безліч кратних числа aзбігається з безліччю кратних числа − a.

Приклад 10

Необхідно обчислити НОК негативних чисел − 145 і − 45 .

Рішення

Зробимо заміну чисел − 145 і − 45 на протилежні їм числа 145 і 45 . Тепер за алгоритмом обчислимо НОК (145, 45) = 145 · 45: НОД (145, 45) = 145 · 45: 5 = 1305, попередньо визначивши НОД за алгоритмом Евкліда.

Отримаємо, що НОК чисел – 145 та − 45 одно 1 305 .

Відповідь:НОК (− 145 , − 45) = 1 305 .

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Визначення.Найбільше натуральне число, яке діляться без залишку числа а і b, називають найбільшим спільним дільником (НДД)цих чисел.

Знайдемо найбільший спільний дільник чисел 24 та 35.
Дільниками 24 будуть числа 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, а дільниками 35 будуть числа 1, 5, 7, 35.
Бачимо, що числа 24 і 35 мають лише один спільний дільник – число 1. Такі числа називають взаємно простими.

Визначення.Натуральні числа називають взаємно простимиякщо їх найбільший спільний дільник (НОД) дорівнює 1.

Найбільший спільний дільник (НДД)можна знайти, не виписуючи всіх дільників цих чисел.

Розкладемо на множники числа 48 і 36, отримаємо:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
З множників, що входять до розкладання першого з цих чисел, викреслимо ті, які не входять до розкладання другого числа (тобто дві двійки).
Залишаються множники 2 * 2 * 3. Їх добуток дорівнює 12. Це число і є найбільшим спільним дільником чисел 48 і 36. Також знаходять найбільший спільний дільник трьох і більше чисел.

Щоб знайти найбільший спільний дільник

2) з множників, що входять до розкладання одного з цих чисел, викреслити ті, які не входять до розкладання інших чисел;
3) знайти виробництво множників, що залишилися.

Якщо всі дані числа діляться одне з них, це число і є найбільшим спільним дільникомданих чисел.
Наприклад, найбільшим загальним дільником чисел 15, 45, 75 і 180 буде число 15, тому що на нього діляться всі інші числа: 45, 75 та 180.

Найменше загальне кратне (НОК)

Визначення. Найменшим загальним кратним (НОК) натуральних чисела і Ь називають найменше натуральне число, яке кратне і a, і b. Найменше загальне кратне (НОК) чисел 75 і 60 можна знайти і не виписуючи кратні поспіль цих чисел. Для цього розкладемо 75 і 60 на прості множники: 75 = 3*5*5, а 60 = 2*2*3*5.
Випишемо множники, що входять у розкладання першого з цих чисел, і додамо до них множники 2 і 2, що відсутні, з розкладання другого числа (тобто об'єднуємо множники).
Отримуємо п'ять множників 2*2*3*5*5, добуток яких дорівнює 300. Це число є найменшим загальним кратним чисел 75 та 60.

Також знаходять найменше загальне кратне для трьох і більше чисел.

Щоб знайти найменше загальне кратнекількох натуральних чисел, треба:
1) розкласти їх у прості множники;
2) виписати множники, що входять до розкладання одного з чисел;
3) додати до них множники, що відсутні, з розкладів інших чисел;
4) знайти добуток множників, що вийшли.

Зауважимо, що й одне з даних чисел ділиться попри всі інші числа, це число і є найменшим загальним кратним даних чисел.
Наприклад, найменшим загальним кратним чисел 12, 15, 20 і 60 буде число 60, оскільки воно поділяється на всі ці числа.

Піфагор (VI ст. до н. е.) та його учні вивчали питання про подільність чисел. Число, рівну сумівсіх його дільників (без числа), вони називали досконалим числом. Наприклад, числа 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) вчинені. Наступні досконалі числа - 496, 8128, 33550336. Піфагорійці знали тільки перші три досконалих числа. Четверте – 8128 – стало відомо в I ст. н. е. П'яте - 33550336 - було знайдено в XV ст. До 1983 було відомо вже 27 досконалих чисел. Але досі вчені не знають, чи є непарні досконалі числа, чи є найбільше досконале число.
Інтерес древніх математиків до простим числам пов'язані з тим, що будь-яке число або просте, чи то, можливо представлено як твори простих чисел, т. е. прості числа - це хіба що цеглинки, у тому числі будуються інші натуральні числа.
Ви, напевно, звернули увагу, що прості числа у ряді натуральних чисел зустрічаються нерівномірно – в одних частинах ряду їх більше, в інших – менше. Але чим далі ми просуваємося числовому ряду, Тим рідше зустрічаються прості числа. Виникає питання: чи існує останнє (найбільше) просте число? Давньогрецький математик Евклід (III ст. до н. е.) у своїй книзі «початку», яка була протягом двох тисяч років основним підручником математики, довів, що простих чисел нескінченно багато, тобто за кожним простим числом є ще більше просте число.
Для віднайдення простих чисел інший грецький математик того ж часу Ератосфен придумав такий спосіб. Він записував усі числа від 1 до якогось числа, а потім викреслював одиницю, яка не є ні простим, ні складовим числом, потім викреслював через одне усі числа, що йдуть після 2 (числа, кратні 2, тобто 4, 6 , 8 і т. д.). Першим числом, що залишилося після 2 було 3. Далі викреслювалися через два всі числа, що йдуть після 3 (числа, кратні 3, тобто 6, 9, 12 і т. д.). зрештою залишалися невикресленими лише прості числа.