Властивості прямокутного трикутника

Дорогі семикласники, ви вже знаєте, які геометричні фігури називаються трикутниками, вмієте доводити ознаки їх рівності. Знаєте ви і про окремі випадки трикутників: рівнобедрених і прямокутних. Властивості рівнобедрених трикутників вам добре відомі.

Але й прямокутні трикутники мають чимало властивостей. Одне, очевидне, пов'язане з теоремою про суму внутрішніх кутівтрикутника: у прямокутному трикутнику сума гострих кутів дорівнює 90 °. Найдивовижніша властивість прямокутного трикутника ви дізнаєтесь у 8 класі, коли вивчите знамениту теорему Піфагора.

А зараз ми поговоримо ще про дві важливі властивості. Одне відноситься до прямокутних трикутників з кутом 30°, а інше до довільних прямокутних трикутників. Сформулюємо та доведемо ці властивості.

Вам добре відомо, що в геометрії прийнято формулювати твердження зворотні до доведених, коли умова та висновок у затвердженні змінюються місцями. Не завжди зворотні твердження виявляються вірними. У нашому випадку обидва зворотні твердження вірні.

Властивість 1.1 У прямокутному трикутнику катет, що лежить проти кута 30° дорівнює половині гіпотенузи.

Доказ: Розглянемо прямокутний ∆ АВС, в якому ÐА=90°, ÐВ=30°, тоді ÐС=60°.

Властивість 1.2 (зворотне до властивості 1.1) Якщо прямокутному трикутнику катет дорівнює половині гіпотенузи, то протилежний йому кут дорівнює 30°.

Властивість 2.1 У прямокутному трикутнику медіана, проведена до гіпотенузи, дорівнює половині гіпотенузи.

Розглянемо прямокутний АВС, в якому ÐВ=90°.

BD-медіана, тобто AD = DC. Доведемо, що .

Для доказу зробимо додаткову побудову: продовжимо BD за точку D так, що BD=DN і з'єднаємо N з A і C.gif" width="616"

Дано: ∆ABC, ÐC=90o, ÐA=30o, ÐBEC=60o, EC=7см

1. ÐEBC=30o, тому що в прямокутному ∆BCE сума гострих кутів 90о

2. BE=14см(властивість 1)

3. ÐABE=30o, оскільки ÐA+ÐABE=ÐBEC (властивість зовнішнього кута трикутника) тому ∆AEB- рівнобедрений AE=EB=14см.

3. (властивість 1).

BC=2AN=20 см (властивість 2).

Завдання 3. Довести, що висота і медіана прямокутного трикутника, проведені до гіпотенузи, утворюють кут, що дорівнює різниці гострих кутів трикутника.

Дано: ∆ АВС, ÐВАС = 90 °, АМ-медіана, АН-висота.

Довести: ÐМАН=ÐС-ÐВ.

Доведення:

1) ÐМАС=ÐС (за властивістю 2 ∆ АМС-рівностегновий, АМ=СМ)

2) ÐМАН=ÐМАС-ÐНАС=ÐС-ÐНАС.

Залишається довести, що ÐНАС=ÐВ. Це випливає з того, що ÐВ+ÐС=90°(в ∆ АВС) та ÐНАС+ÐС=90° (з ∆ АНС).

Отже, ÐМАН=ÐС-ÐВ, що і потрібно довести.

https://pandia.ru/text/80/358/images/image014_39.gif" Дано: ∆АВС, ÐВАС=90°, АН-висота, .

Знайти: ÐВ, ÐС.

Рішення: Проведемо медіану АМ. Нехай АН = х, тоді ВС = 4х і

ВМ = МС = АМ = 2х.

У прямокутному ∆АМН, гіпотенуза АМ у 2 рази більша за катет АН, тому ÐАМН=30°. Так як ВМ = АМ,

ÐВ=ÐВАМ100%">

Док-во: Нехай у ∆ABC ÐA=900 і AC=1/2BC

Продовжимо AC за точку А так, що AD = AC. Тоді ∆ABC=∆ABD(по 2-м катетам). BD=BC=2AC=CD, таким чином ∆DBC-рівносторонній, ÐС=60о і ÐАВС=30о.

Завдання 5

У рівнобедреному трикутнику один із кутів 120о, основа дорівнює 10 см. Знайти висоту, проведену до бічної сторони.

Рішення: для початку відзначимо, що кут 120о може бути тільки при вершині трикутника і що висота, проведена до бокової сторони, потрапить на її продовження.

https://pandia.ru/text/80/358/images/image019_27.gif" height="26">До вертикальної стіни притулили сходи. На середині сходів сидить кошеня. Раптом сходи почали ковзати вниз по стіні. Яку траєкторію буде описувати кошеня?

АВ – сходи, К – кошеня.

За будь-якого положення сходів, поки вони остаточно не впали на землю ∆АВС- прямокутний. СК - медіана ∆АВС.

За якістю 2 СК = 1/2АВ. Тобто будь-якої миті часу довжина відрізка СК постійна.

Відповідь: точка К рухатиметься дугою кола з центром З і радіусом СК=1/2АВ.

Завдання для самостійного вирішення.

Один із кутів прямокутного трикутника дорівнює 60о, а різниця гіпотенузи та меншого катета дорівнює 4см. знайти довжину гіпотенузи. У прямокутному ∆ АВС з гіпотенузою ВС і кутом, рівним 60о, проведена висота АD. Знайти DC, якщо DB = 2см. В ∆АВС ÐС=90о, СD - висот, ВС=2ВD. Доведіть, що АD = 3ВD. Висота прямокутного трикутника поділяє гіпотенузу на частини 3см та 9см. Знайти кути трикутника та відстань від середини гіпотенузи до більшого катета. Бісектриса розбиває трикутник на два рівнобедрених трикутники. Знайти кути вихідного трикутника. Медіана розбиває трикутник на два рівнобедрених. Чи можна знайти кути

Вихідного трикутника?

Рішення геометричних завданьвимагає величезної кількостізнань. Одним із основних визначень цієї науки є прямокутний трикутник.

Під цим поняттям мається на увазі що складається з трьох кутів і

сторін, причому величина одного з кутів складає 90 градусів. Сторони, що становлять прямий кут, носять назви катети, третя сторона, яка протилежить йому, носить назву гіпотенузи.

Якщо катети у такій фігурі рівні, вона називається рівнобедрений прямокутний трикутник. У цьому випадку має місце приналежність до двох, а отже, дотримуються властивості обох груп. Згадаймо, що кути біля основи рівнобедреного трикутникаабсолютно завжди рівні, отже гострі кути такої фігури включатимуть по 45 градусів.

Наявність одного з наступних властивостейдозволяє стверджувати, що один прямокутний трикутник дорівнює іншому:

1. катети двох трикутників рівні;
2. фігури мають однакові гіпотенузуі один із катетів;
3. рівні гіпотенуза та будь-який з гострих кутів;
4. дотримується умова рівності катета та гострого кута.

Площа прямокутного трикутника легко обчислюється як за допомогою стандартних формул, Так як величина, що дорівнює половині твору його катетів.

У прямокутному трикутнику дотримуються такі співвідношення:

1. катет не що інше, як середнє пропорційне гіпотенузи та її проекції неї;
2. якщо описати біля прямокутного трикутника коло, її центр перебуватиме у середині гіпотенузи;
3. висота, проведена з прямого кутаявляє собою середнє пропорційне з проекціями катетів трикутника на його гіпотенузу.

Цікавим є те, що яким би не був прямокутний трикутник, ці властивості завжди дотримуються.

теорема Піфагора

Крім вищезгаданих властивостей для прямокутних трикутників характерне дотримання наступної умови:

Теорема ця зветься на ім'я її засновника - теорема Піфагора. Він відкрив це співвідношення, коли займався вивченням властивостей квадратів, побудованих на

Для доказу теореми побудуємо трикутник АВС, катети якого позначимо a і b, а гіпотенузу с. Далі збудуємо два квадрати. В одного стороною буде гіпотенуза, в іншого сума двох катетів.

Тоді площу першого квадрата можна буде знайти двома способами: як суму площ чотирьох трикутників АВС і другого квадрата, або як квадрат сторони, природно, що ці співвідношення будуть рівні. Тобто:

з 2 + 4 (ab/2) = (a + b) 2 , перетворимо вираз, що вийшов:

з 2 +2 ab = a 2 + b 2 + 2 ab

У результаті отримуємо: з 2 = a 2 + b 2

Таким чином, геометрична фігурапрямокутний трикутник відповідає як усім властивостям, притаманним трикутників. Наявність прямого кута веде до того, що фігура має інші унікальні співвідношення. Їх вивчення стане в нагоді не тільки в науці, але і в повсякденному житті, Так як така фігура, як прямокутний трикутник, зустрічається повсюдно.

Трикутник у геометрії є однією з основних фігур. З попередніх уроків ви знаєте, що трикутник – це багатокутна фігура, яка має три кути та три сторони.

Трикутник називають прямокутнимякщо у нього є прямий кут, який дорівнює 90 градусів.
Прямокутний трикутникмає дві взаємно перпендикулярні сторони, звані катетами ; третя його сторона називається гіпотенузою . Гіпотенуза є найбільшою стороною цього трикутника.

• За властивостями перпендикуляра та похилих гіпотенуза довша за кожного з катетів (але менше їх суми).
• Сума двох гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює прямому куту.
• Дві висоти прямокутного трикутника збігаються з його катетами. Тому одна з чотирьох чудових точок потрапляє до вершин прямого кута трикутника.
• Центр описаного кола прямокутного трикутника лежить у середині гіпотенузи.
• Медіана прямокутного трикутника, проведена з вершини прямокутного кута на гіпотенузу, є радіусом описаного біля цього трикутника кола.

Властивості та особливості прямокутних трикутників

I - е властивість. У прямокутному трикутнику сума його гострих кутів дорівнює 90°. Проти більшої сторони трикутника лежить більший кут, а проти більшого кута лежить більша сторона. У прямокутному трикутнику найбільшим кутом є прямокутний кут. Якщо ж у трикутнику самий великий кутмає більше 90 °, то такий трикутник перестає бути прямокутним, оскільки сума всіх кутів перевищити 180 градусів. З усього цього випливає, що гіпотенуза є найбільшою стороною трикутника.

II - е властивість. Катет прямокутного трикутника, що лежить проти кута в 30 градусів, дорівнює половині гіпотенузи.

III - е властивість. Якщо ж у прямокутному трикутнику катет дорівнює половині гіпотенузи, то і кут, який лежить навпроти даного катета дорівнюватиме 30 градусам.

Середній рівень

Прямокутний трикутник. Повний ілюстрований гід (2019)

ПРЯМОКУТНИЙ ТРИКУТНИК. ПОЧАТКОВИЙ РІВЕНЬ.

У задачах прямий кут зовсім не обов'язково - лівий нижній, так що тобі потрібно навчитися впізнавати прямокутний трикутник і в такому вигляді,

і в такому,

і в такому

Що ж хорошого є у прямокутному трикутнику? Ну..., по-перше, є спеціальні красиві назвидля його сторін.

Увага на малюнок!

Запам'ятай і не плутай: катетів – два, а гіпотенуза – всього одна(Єдина, неповторна і найдовша)!

Ну ось назви обговорили, тепер найважливіше: Теорема Піфагора.

Теорема Піфагора.

Ця теорема - ключик до вирішення багатьох завдань за участю прямокутного трикутника. Її довів Піфагор у зовсім незапам'ятні часи, і з того часу вона принесла багато користі тим, хто її знає. А найкраще в ній те, що вона проста.

Отже, Теорема Піфагора:

Пам'ятаєш жарт: «Піфагорові штани на всі боки рівні!»?

Давай намалюємо ці піфагорові штани і подивимося на них.

Щоправда, схоже на якісь шорти? Ну і на які сторони, і де вона рівні? Чому і звідки виник жарт? А жарт цей пов'язаний саме з теоремою Піфагора, точніше з тим, як сам Піфагор формулював свою теорему. А формулював він її так:

«Сума площ квадратів, побудованих на катетах, дорівнює площі квадрата, побудованого на гіпотенузі»

Щоправда, трохи по-іншому звучить? І ось, коли Піфагор намалював твердження своєї теореми, якраз і вийшла така картинка.

На цьому малюнку сума площ маленьких квадратів дорівнює площі великого квадрата. А щоб діти краще запам'ятовували, що сума квадратів катетів дорівнює квадрату гіпотенузи, хтось дотепний і вигадав цей жарт про Піфагорові штани.

Чому ж ми зараз формулюємо теорему Піфагора

А Піфагор мучився і міркував про майдани?

Розумієш, у давнину не було… алгебри! Не було жодних позначень і таке інше. Не було написів. Уявляєш, як бідним древнім учням було жахливо запам'ятовувати все словами??! А ми можемо радіти, що ми маємо просте формулювання теореми Піфагора. Давай її ще раз повторимо, щоб краще запам'ятати:

Тепер уже має бути легко:

Квадрат гіпотенузи дорівнює суміквадратів катетів.

Ну ось, найголовнішу теорему про прямокутний трикутник обговорили. Якщо тобі цікаво, як вона доводиться, читай наступні рівнітеорії, а зараз підемо далі ... в темний ліс… тригонометрії! До жахливих слів синус, косинус, тангенс та котангенс.

Синус, косинус, тангенс, котангенс у прямокутному трикутнику.

Насправді все зовсім не таке страшно. Звичайно, «справжнє» визначення синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу потрібно дивитися у статті. Але дуже не хочеться, правда? Можемо порадувати: для вирішення задач прямокутного трикутника можна просто заповнити наступні прості речі:

А чому все тільки про кут? Де ж кут? Щоб у цьому розібратися, треба зазначити, як твердження 1 - 4 записуються словами. Дивись, розумій та запам'ятай!

1.
Взагалі звучить це так:

А що ж кут? Чи є катет, який знаходиться навпроти кута, тобто катет, що протилежить (для кута)? Звичайно є! Це катет!

А як же кут? Подивись уважно. Який катет прилягає до кутка? Звісно ж, катет. Значить, для кута катет – прилеглий, та

А тепер, увага! Подивися, що в нас вийшло:

Бачиш, як чудово:

Тепер перейдемо до тангенсу та котангенсу.

Як це тепер записати словами? Катет яким є по відношенню до кута? Протилежним, звісно – він «лежать» навпроти кута. А катет? Прилягає до кутку. Виходить, що в нас вийшло?

Бачиш, чисельник та знаменник помінялися місцями?

І тепер знову кути і здійснили обмін:

Резюме

Давайте коротко запишемо все, що ми дізналися.

Теорема Піфагора:

Головна теорема про прямокутний трикутник - теорема Піфагора.

теорема Піфагора

До речі, чи добре ти пам'ятаєш, що таке катети та гіпотенуза? Якщо не дуже, то дивись на малюнок – освіжай знання

Цілком можливо, що ти вже багато разів використовував теорему Піфагора, а ось чи ти замислювався, чому ж вірна така теорема. Як би її довести? А давай вчинимо, як давні греки. Намалюємо квадрат зі стороною.

Бачиш, як хитро ми поділили його сторони на відрізки довжин і!

А тепер з'єднаємо зазначені точки

Тут ми, щоправда, ще дещо відзначили, але ти сам подивися на малюнок і подумай, чому так.

Чому дорівнює площа більшого квадрата? Правильно, . А площа меншого? Звичайно, . Залишилася сумарна площа чотирьох куточків. Уяви, що ми взяли їх по два і притулили один до одного гіпотенузами. Що вийшло? Два прямокутники. Отже, площа «обрізків» дорівнює.

Давай тепер зберемо все разом.

Перетворюємо:

Ось і побували ми Піфагором – довели його теорему давнім способом.

Прямокутний трикутник та тригонометрія

Для прямокутного трикутника виконуються такі співвідношення:

Синус гострого кута дорівнює відношенню протилежного катета до гіпотенузи

Косинус гострого кута дорівнює відношенню прилеглого катета до гіпотенузи.

Тангенс гострого кута дорівнює відношенню протилежного катета до прилеглого катета.

Котангенс гострого кута дорівнює відношенню прилеглого катета до протилежного катета.

І ще раз все це у вигляді таблички:

Це дуже зручно!

Ознаки рівності прямокутних трикутників

I. За двома катетами

ІІ. По катету та гіпотенузі

ІІІ. По гіпотенузі та гострому куту

IV. По катету та гострому куту

a)

b)

Увага! Тут дуже важливо, щоб катети були «відповідні». Наприклад, якщо буде так:

То ТРИКУТНИКИ НЕ РІВНІ, незважаючи на те, що мають один однаковий гострий кут.

Потрібно, щоб в обох трикутниках катет був прилеглим, або в обох - протилежним.

Ти помітив чим відрізняються ознаки рівності прямокутних трикутників від звичайних ознак рівності трикутників? Заглянь у тему « і зверни увагу те що, що з рівності « рядових » трикутників потрібна рівність трьох їх елементів: дві сторони і кут з-поміж них, два кута і сторона з-поміж них чи три стороны. А ось для рівності прямокутних трикутників достатньо лише двох відповідних елементів. Здорово, правда?

Приблизно така сама ситуація і з ознаками подоби прямокутних трикутників.

Ознаки подоби прямокутних трикутників

I. По гострому кутку

ІІ. За двома катетами

ІІІ. По катету та гіпотенузі

Медіана у прямокутному трикутнику

Чому це так?

Розглянемо замість прямокутного трикутника цілий прямокутник.

Проведемо діагональ і розглянемо точку – точку перетину діагоналей. Що відомо про діагоналі прямокутника?

І що з цього випливає?

Ось і вийшло, що

1. - медіана:

Запам'ятай цей факт! Дуже допомагає!

А що ще дивовижніше, так це те, що вірне і зворотне твердження.

Що ж хорошого можна отримати з того, що медіана, проведена до гіпотенузи, дорівнює половині гіпотенузи? А давай подивимося на картинку

Подивись уважно. У нас є: тобто відстані від точки до всіх трьох вершин трикутника виявилися рівними. Але в трикутнику є всього одна точка, відстані від якої про всі три вершини трикутника рівні, і це - ЦЕНТР ОПИСАНОГО ОКРУЖЕННЯ. Виходить, що вийшло?

Ось давай ми почнемо з цього «крім того...».

Подивимося на в.

Але у подібних трикутниківвсі кути рівні!

Те саме можна сказати і про і

А тепер намалюємо це разом:

Яку ж користь можна отримати з цієї «троїстої» подоби.

Ну наприклад - дві формули для висоти прямокутного трикутника.

Запишемо відносини відповідних сторін:

Для знаходження висоти вирішуємо пропорцію та отримуємо першу формулу "Висота у прямокутному трикутнику":

Отже, застосуємо подібність: .

Що тепер вийде?

Знову вирішуємо пропорцію і отримуємо другу формулу:

Обидві ці формули потрібно дуже добре пам'ятати та застосовувати ту, яку зручніше. Запишемо їх ще раз

Теорема Піфагора:

У прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів: .

Ознаки рівності прямокутних трикутників:

• по двох катетах:
• по катету та гіпотенузі: або
• по катету та прилеглому гострому кутку: або
• по катету та протилежному гострому куту: або
• з гіпотенузи та гострого кута: або.

Ознаки подоби прямокутних трикутників:

• одному гострому кутку: або
• із пропорційності двох катетів:
• з пропорційності катета та гіпотенузи: або.

Синус, косинус, тангенс, котангенс у прямокутному трикутнику

• Синусом гострого кута прямокутного трикутника називається відношення протилежного катета до гіпотенузи:
• Косинусом гострого кута прямокутного трикутника називається відношення прилеглого катета до гіпотенузи:
• Тангенсом гострого кута прямокутного трикутника називається відношення протилежного катета до прилеглого:
• Котангенсом гострого кута прямокутного трикутника називається відношення прилеглого катета до протилежного: .

Висота прямокутного трикутника: або.

У прямокутному трикутнику медіана, проведена з вершини прямого кута, дорівнює половині гіпотенузи: .

Площа прямокутного трикутника:

• через катети:

Середній рівень

Прямокутний трикутник. Повний ілюстрований гід (2019)

ПРЯМОКУТНИЙ ТРИКУТНИК. ПОЧАТКОВИЙ РІВЕНЬ.

У задачах прямий кут зовсім не обов'язково - лівий нижній, так що тобі потрібно навчитися впізнавати прямокутний трикутник і в такому вигляді,

і в такому,

і в такому

Що ж хорошого є у прямокутному трикутнику? Ну, по-перше, є спеціальні красиві назви для його сторін.

Увага на малюнок!

Запам'ятай і не плутай: катетів – два, а гіпотенуза – всього одна(Єдина, неповторна і найдовша)!

Ну ось назви обговорили, тепер найважливіше: Теорема Піфагора.

Теорема Піфагора.

Ця теорема - ключик до вирішення багатьох завдань за участю прямокутного трикутника. Її довів Піфагор у зовсім незапам'ятні часи, і з того часу вона принесла багато користі тим, хто її знає. А найкраще в ній те, що вона проста.

Отже, Теорема Піфагора:

Пам'ятаєш жарт: «Піфагорові штани на всі боки рівні!»?

Давай намалюємо ці піфагорові штани і подивимося на них.

Щоправда, схоже на якісь шорти? Ну і на які сторони, і де вона рівні? Чому і звідки виник жарт? А жарт цей пов'язаний саме з теоремою Піфагора, точніше з тим, як сам Піфагор формулював свою теорему. А формулював він її так:

«Сума площ квадратів, побудованих на катетах, дорівнює площі квадрата, побудованого на гіпотенузі»

Щоправда, трохи по-іншому звучить? І ось, коли Піфагор намалював твердження своєї теореми, якраз і вийшла така картинка.

На цьому малюнку сума площ маленьких квадратів дорівнює площі великого квадрата. А щоб діти краще запам'ятовували, що сума квадратів катетів дорівнює квадрату гіпотенузи, хтось дотепний і вигадав цей жарт про Піфагорові штани.

Чому ж ми зараз формулюємо теорему Піфагора

А Піфагор мучився і міркував про майдани?

Розумієш, у давнину не було… алгебри! Не було жодних позначень і таке інше. Не було написів. Уявляєш, як бідним древнім учням було жахливо запам'ятовувати все словами??! А ми можемо радіти, що ми маємо просте формулювання теореми Піфагора. Давай її ще раз повторимо, щоб краще запам'ятати:

Тепер уже має бути легко:

Квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів.

Ну ось, найголовнішу теорему про прямокутний трикутник обговорили. Якщо тобі цікаво, як вона доводиться, читай такі рівні теорії, а зараз підемо далі… у темний ліс… тригонометрії! До жахливих слів синус, косинус, тангенс та котангенс.

Синус, косинус, тангенс, котангенс у прямокутному трикутнику.

Насправді все зовсім не таке страшно. Звичайно, «справжнє» визначення синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу потрібно дивитися у статті. Але дуже не хочеться, правда? Можемо порадувати: для вирішення задач прямокутного трикутника можна просто заповнити наступні прості речі:

А чому все тільки про кут? Де ж кут? Щоб у цьому розібратися, треба зазначити, як твердження 1 - 4 записуються словами. Дивись, розумій та запам'ятай!

1.
Взагалі звучить це так:

А що ж кут? Чи є катет, який знаходиться навпроти кута, тобто катет, що протилежить (для кута)? Звичайно є! Це катет!

А як же кут? Подивись уважно. Який катет прилягає до кутка? Звісно ж, катет. Значить, для кута катет – прилеглий, та

А тепер, увага! Подивися, що в нас вийшло:

Бачиш, як чудово:

Тепер перейдемо до тангенсу та котангенсу.

Як це тепер записати словами? Катет яким є по відношенню до кута? Протилежним, звісно – він «лежать» навпроти кута. А катет? Прилягає до кутку. Виходить, що в нас вийшло?

Бачиш, чисельник та знаменник помінялися місцями?

І тепер знову кути і здійснили обмін:

Резюме

Давайте коротко запишемо все, що ми дізналися.

Теорема Піфагора:

Головна теорема про прямокутний трикутник - теорема Піфагора.

теорема Піфагора

До речі, чи добре ти пам'ятаєш, що таке катети та гіпотенуза? Якщо не дуже, то дивись на малюнок – освіжай знання

Цілком можливо, що ти вже багато разів використовував теорему Піфагора, а ось чи ти замислювався, чому ж вірна така теорема. Як би її довести? А давай вчинимо, як давні греки. Намалюємо квадрат зі стороною.

Бачиш, як хитро ми поділили його сторони на відрізки довжин і!

А тепер з'єднаємо зазначені точки

Тут ми, щоправда, ще дещо відзначили, але ти сам подивися на малюнок і подумай, чому так.

Чому дорівнює площа більшого квадрата? Правильно, . А площа меншого? Звичайно, . Залишилася сумарна площа чотирьох куточків. Уяви, що ми взяли їх по два і притулили один до одного гіпотенузами. Що вийшло? Два прямокутники. Отже, площа «обрізків» дорівнює.

Давай тепер зберемо все разом.

Перетворюємо:

Ось і побували ми Піфагором – довели його теорему давнім способом.

Прямокутний трикутник та тригонометрія

Для прямокутного трикутника виконуються такі співвідношення:

Синус гострого кута дорівнює відношенню протилежного катета до гіпотенузи

Косинус гострого кута дорівнює відношенню прилеглого катета до гіпотенузи.

Тангенс гострого кута дорівнює відношенню протилежного катета до прилеглого катета.

Котангенс гострого кута дорівнює відношенню прилеглого катета до протилежного катета.

І ще раз все це у вигляді таблички:

Це дуже зручно!

Ознаки рівності прямокутних трикутників

I. За двома катетами

ІІ. По катету та гіпотенузі

ІІІ. По гіпотенузі та гострому куту

IV. По катету та гострому куту

a)

b)

Увага! Тут дуже важливо, щоб катети були «відповідні». Наприклад, якщо буде так:

То ТРИКУТНИКИ НЕ РІВНІ, незважаючи на те, що мають один однаковий гострий кут.

Потрібно, щоб в обох трикутниках катет був прилеглим, або в обох - протилежним.

Ти помітив чим відрізняються ознаки рівності прямокутних трикутників від звичайних ознак рівності трикутників? Заглянь у тему « і зверни увагу те що, що з рівності « рядових » трикутників потрібна рівність трьох їх елементів: дві сторони і кут з-поміж них, два кута і сторона з-поміж них чи три стороны. А ось для рівності прямокутних трикутників достатньо лише двох відповідних елементів. Здорово, правда?

Приблизно така сама ситуація і з ознаками подоби прямокутних трикутників.

Ознаки подоби прямокутних трикутників

I. По гострому кутку

ІІ. За двома катетами

ІІІ. По катету та гіпотенузі

Медіана у прямокутному трикутнику

Чому це так?

Розглянемо замість прямокутного трикутника цілий прямокутник.

Проведемо діагональ і розглянемо точку – точку перетину діагоналей. Що відомо про діагоналі прямокутника?

І що з цього випливає?

Ось і вийшло, що

1. - медіана:

Запам'ятай цей факт! Дуже допомагає!

А що ще дивовижніше, так це те, що вірне і зворотне твердження.

Що ж хорошого можна отримати з того, що медіана, проведена до гіпотенузи, дорівнює половині гіпотенузи? А давай подивимося на картинку

Подивись уважно. У нас є: тобто відстані від точки до всіх трьох вершин трикутника виявилися рівними. Але в трикутнику є всього одна точка, відстані від якої про всі три вершини трикутника рівні, і це - ЦЕНТР ОПИСАНОГО ОКРУЖЕННЯ. Виходить, що вийшло?

Ось давай ми почнемо з цього «крім того...».

Подивимося на в.

Але у подібних трикутників усі кути рівні!

Те саме можна сказати і про і

А тепер намалюємо це разом:

Яку ж користь можна отримати з цієї «троїстої» подоби.

Ну наприклад - дві формули для висоти прямокутного трикутника.

Запишемо відносини відповідних сторін:

Для знаходження висоти вирішуємо пропорцію та отримуємо першу формулу "Висота у прямокутному трикутнику":

Отже, застосуємо подібність: .

Що тепер вийде?

Знову вирішуємо пропорцію і отримуємо другу формулу:

Обидві ці формули потрібно дуже добре пам'ятати та застосовувати ту, яку зручніше. Запишемо їх ще раз

Теорема Піфагора:

У прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів: .

Ознаки рівності прямокутних трикутників:

• по двох катетах:
• по катету та гіпотенузі: або
• по катету та прилеглому гострому кутку: або
• по катету та протилежному гострому куту: або
• з гіпотенузи та гострого кута: або.

Ознаки подоби прямокутних трикутників:

• одному гострому кутку: або
• із пропорційності двох катетів:
• з пропорційності катета та гіпотенузи: або.

Синус, косинус, тангенс, котангенс у прямокутному трикутнику

• Синусом гострого кута прямокутного трикутника називається відношення протилежного катета до гіпотенузи:
• Косинусом гострого кута прямокутного трикутника називається відношення прилеглого катета до гіпотенузи:
• Тангенсом гострого кута прямокутного трикутника називається відношення протилежного катета до прилеглого:
• Котангенсом гострого кута прямокутного трикутника називається відношення прилеглого катета до протилежного: .

Висота прямокутного трикутника: або.

У прямокутному трикутнику медіана, проведена з вершини прямого кута, дорівнює половині гіпотенузи: .

Площа прямокутного трикутника:

• через катети: