Приклади задач на геометричні місця точок.

Геометрія (грец. geometria, від ge – Земля і metreo – мірю)

розділ математики, що вивчає просторові відносини та форми, а також інші відносини та форми, подібні до просторових за своєю структурою.

Походження терміна «Г.», що буквально означає «землемірство», можна пояснити такими словами, що приписуються давньогрецькому вченому Євдему Родоському (4 в. До н. Е..): «Геометрія була відкрита єгиптянами і виникла при вимірі Землі. Цей вимір був ним. необхідно внаслідок розлиття р. Ніл, який постійно змивав межі.» Вже у стародавніх греків Р. означала математичну науку, тоді як для науки про вимір Землі було введено термін Геодезія. Судячи з уривків давньоєгипетських творів, що збереглися, Р. розвинулася не тільки з вимірювань Землі, але також з вимірювань об'ємів і поверхонь при земляних і будівельних роботах і т.п.

Початкові поняття Р. виникли внаслідок відволікання від будь-яких властивостей та відносин тіл, крім взаємного розташування та величини. Перші виражаються у дотику або приляганні тіл один до одного, у тому, що одне тіло є частиною іншого, у розташуванні «між», «всередині» тощо. Другі виражаються у поняттях «більше», «менше», у понятті про рівність тіл.

Шляхом того ж відволікання виникає поняття геометричного тіла. Геометричне тіло є абстракція, в якій зберігаються лише форма і розміри в повному відверненні від інших властивостей. При цьому Г., як властиво математиці взагалі, абсолютно відволікається від невизначеності та рухливості реальних форм і розмірів і вважає всі досліджувані нею відносини та форми абсолютно точними та певними. Відволікання від протяження тіл призводить до понять поверхні, лінії та точки. Це явно виражено, наприклад, у визначеннях, даних Евклідом: лінія є довжина без ширини, поверхня є те, що має довжину і ширину. Крапка без будь-якого протягу є абстракція, що відображає можливість необмеженого зменшення всіх розмірів тіла, уявна межа його нескінченного поділу. Далі виникає загальне поняття про геометричну фігуру, під якою розуміють не тільки тіло, поверхню, лінію або точку, а й будь-яку їхню сукупність.

Р. у первісному значенні є наука про фігури, взаємне розташування та розміри їх частин, а також про перетворення фігур. Це визначення цілком узгоджується з визначенням Р. як науки про просторові форми та відносини. Справді, постать, як у Г., і є просторова форма; тому в Р. кажуть, наприклад, «куля», а не «тіло кулястої форми»; розташування та розміри визначаються просторовими відносинами; нарешті, перетворення, як його розуміють у Р., також є деяке відношення між двома фігурами - даною і тією, в яку вона перетворюється.

У сучасному, більш загальному сенсі, Р. обіймає різноманітні математичні теорії, приналежність яких до Р. визначається не тільки подібністю (хоча часом і дуже віддаленим) їх предмета зі звичайними просторовими формами та відносинами, але також тим, що вони історично склалися і складаються на На основі Р. у початковому її значенні та у своїх побудовах виходять з аналізу, узагальнення та видозміни її понять. Г. у цьому загальному сенсі тісно переплітається з іншими розділами математики та її межі не є точними. розділ Узагальнення предмета геометрії та Сучасна геометрія.

Розвиток геометрії. У розвитку Р. можна вказати чотири основні періоди, переходи між якими позначали якісну зміну Р.

Перший - період зародження Р. як математичної науки - протікав у Стародавньому Єгипті, Вавилоні та Греції приблизно до 5 ст. до зв. е. Первинні геометричні відомості з'являються на ранніх щаблях розвитку суспільства. Зачатками науки слід вважати встановлення перших загальних закономірностей, у разі - залежностей між геометричними величинами. Цей момент може бути датований. Найраніший твір, що містить зачатки Г., дійшов до нас із Стародавнього Єгипту і відноситься приблизно до 17 ст. до зв. е., але й воно, безперечно, не перше. Геометричні відомості того періоду були нечисленні і зводилися насамперед до обчислення деяких площ та обсягів. Вони викладалися як правил, очевидно, великою мірою емпіричного походження, логічні ж докази були, мабуть, ще дуже примітивними. Г., за свідченням грецьких істориків, було перенесено до Греції з Єгипту в 7 ст. до зв. е. Тут упродовж кількох поколінь вона складалася у струнку систему. Процес цей відбувався шляхом накопичення нових геометричних знань, з'ясування зв'язків між різними геометричними фактами, вироблення прийомів доказів і, нарешті, формування понять про фігуру, про геометричну пропозицію та про доказ.

Цей процес привів, нарешті, до якісного стрибка. Г. перетворилася на самостійну математичну науку: з'явилися систематичні виклади, де її пропозиції послідовно доводилися. З цього часу починається другий період розвитку Р. Відомі згадки про систематичні виклади Р., серед яких це в 5 ст. до зв. е. Гіппократом Хіоським. Збереглися ж і зіграли надалі вирішальну роль близько 300 до н. е. «Початки» Евкліда. Тут Р. представлена ​​так, як її в основному розуміють і тепер, якщо обмежуватися елементарною геометрією; це наука про найпростіші просторові форми і відносини, що розвивається в логічній послідовності, виходячи з явно формулованих основних положень - аксіом та основних просторових уявлень. Р., що розвивається на тих же підставах (аксіомах), навіть уточнену і збагачену як у предметі, так і в методах дослідження, називається евклідовою геометрією. Ще в Греції до неї додаються нові результати, виникають нові методи визначення площ та обсягів (Архімед, 3 ст. до н. е.), вчення про конічні перерізи (Аполлоній Пергський, 3 ст. до н. е.), приєднуються початки тригонометрії (Гіппарх , 2 в. до зв. е.) та Р. на сфері (Менелай, 1 ст. н. е.). Занепад античного суспільства призвів до порівняльного застою у розвитку Р., проте вона продовжувала розвиватися в Індії, Середній Азії, в країнах арабського Сходу.

Відродження наук та мистецтв у Європі спричинило подальший розквіт Г. Принципово новий крок було зроблено в 1-ій половині 17 ст. Р. Декартом, який ввів у Г. метод координат. Метод координат дозволив пов'язати Р. з алгеброю, що тоді розвивалася, і аналізом, що зароджується. Застосування методів цих наук у Р. породило аналітичну Р., а потім і диференціальну. Р. перейшла на якісно новий щабель у порівнянні з Р. давніх: у ній розглядаються вже набагато загальніші фігури та використовуються суттєво нові методи. З цього часу починається третій період розвитку Г. Аналітична геометрія вивчає фігури та перетворення, що задаються рівняннями алгебри в прямокутних координатах, використовуючи при цьому методи алгебри. Диференціальна геометрія, що виникла у 18 ст. в результаті робіт Л. Ейлера, Г. Монжа та ін, досліджує вже будь-які досить гладкі криві лінії та поверхні, їх сімейства (тобто їх безперервні сукупності) і перетворення (поняття «диференціальна Р.» надається тепер часто більш загальний зміст, про що див. у розділі Сучасна геометрія). Її назва пов'язана переважно з її способом, що виходить з диференціального обчислення. До 1-ї половини 17 ст. відноситься зародження проективної геометрії в роботах Ж. Дезарга і Б. Паскаля. Вона виникла із завдань зображення тіл на площині; її перший предмет становлять ті властивості плоских фігур, які зберігаються при проектуванні з однієї площини в іншу з будь-якої точки. Остаточне оформлення та систематичне викладення цих нових напрямків Р. були дані у 18 – початку 19 ст. Ейлером для аналітичної Р. (1748), Монжем для диференціальної Р. (1795), Ж. Понселе для проектної Р. (1822), причому саме вчення про геометричне зображення (у прямому зв'язку з завданнями креслення) було ще раніше (1799) розвинене і приведено в систему Монжем у вигляді накреслювальної геометрії. У всіх цих нових дисциплінах основи (аксіоми, вихідні поняття) Р. залишалися незмінними, коло ж досліджуваних постатей та їх властивостей, а також застосовуваних методів розширювалося.

Четвертий період у розвитку Р. відкривається побудовою Н. І. Лобачевським (Див. Лобачевський) в 1826 новою, неевклідовою Р., званою тепер Лобачевською геометрією. Незалежно від Лобачевського в 1832 ту ж Г. побудував Я. Больяй (ті ж ідеї розвивав К. Гаус, але він не опублікував їх). Джерело, сутність та значення ідей Лобачевського зводяться до наступного. У геометрії Евкліда є аксіома про паралельні, яка стверджує: «через точку, яка не лежить на даній прямій, можна провести не більше ніж одну пряму, паралельну даній». Багато геометрів намагалися довести цю аксіому, виходячи з інших основних посилок геометрії Евкліда, але безуспішно. Лобачевський прийшов до думки, що такий доказ неможливий. Твердження, протилежне аксіомі Евкліда, говорить: «через точку, що не лежить на даній прямій, можна провести не одну, а принаймні дві паралельні їй прямі». Це і є аксіомою Лобачевського. На думку Лобачевського, приєднання цього становища до інших основних положень Р. призводить до логічно бездоганних висновків. Система цих висновків і утворює нову, неевклідову Р. Заслуга Лобачевського у тому, що не лише висловив цю ідею, але справді побудував і всебічно розвинув нову Р., логічно настільки ж досконалу і багату висновками, як евклідова, попри її невідповідність звичайним наочним уявленням. Лобачевський розглядав свою Р. як можливу теорію просторових відносин; проте вона залишалася гіпотетичною, доки був з'ясований (в 1868) її реальний сенс і цим було дано її повне обгрунтування (див. розділ Тлумачення геометрії).

Переворот у Р., зроблений Лобачевським, за своїм значенням не поступається жодному з переворотів у природознавстві, і недарма Лобачевський назвали «Коперником геометрії». У його ідеях було намічено три принципи, що визначили новий розвиток Р. Перший принцип полягає в тому, що логічно мислима не одна евклідова Р., але й інші «геометрії». Другий принцип - це принцип самої побудови нових геометричних теорій шляхом видозміни та узагальнення основних положень евклідової Г. Третій принцип полягає в тому, що істинність геометричної теорії, у сенсі відповідності реальним властивостям простору, може бути перевірена лише фізичним дослідженням і не виключено, що такі дослідження встановлять у цьому сенсі неточність евклідової Г. Сучасна фізика підтвердила це. Проте від цього не втрачається математична точність евклідової Р., т.к. вона визначається логічною спроможністю (несуперечливістю) цієї Г. Так само щодо будь-якої геометричної теорії потрібно розрізняти їх фізичну і математичну істинність; перша полягає у перевіреному досвідом відповідності дійсності, друга - у логічній несуперечності. Лобачевський дав, тобто, матеріалістичну установку філософії математики. Перелічені загальні принципи зіграли значної ролі у Г., а й у математиці взагалі, у розвитку її аксіоматичного методу, у розумінні її ставлення до дійсності.

Головна особливість нового періоду в історії Р., започаткованого Лобачевським, полягає у розвитку нових геометричних теорій – нових «геометрій» та у відповідному узагальненні предмета Р.; виникає уявлення про різного роду «просторах» (термін «простір» має у науці два сенси: з одного боку, це звичайне реальне простір, з іншого - абстрактне «математичне простір»). У цьому одні теорії складалися всередині евклидовой Р. як її особливих глав і лише потім набували самостійного значення. Так складалися проективна, афінна, конформна Р. та ін., предметом яких служать властивості фігур, що зберігаються при відповідних (проективних, афінних, конформних та ін.) Перетвореннях. Виникло поняття проективного, афінного та конформного просторів; сама евклідова Р. стала розглядатися у сенсі як голова проектної Р. Др. теорії, подібно до геометрії Лобачевського, з самого початку будувалися на основі зміни та узагальнення понять евклідової Р. Так, створювалася, наприклад, багатовимірна Р.; перші відносяться до неї роботи (Г. Грасман та А. Келі, 1844) представляли формальне узагальнення звичайної аналітичної Р. з трьох координат на n. Деякий результат розвитку всіх цих нових «геометрій» підвів у 1872 Ф. Клейн, вказавши загальний принцип їх побудови.

Принциповий крок був зроблений Б. Ріманом (лекція 1854, опублікована 1867). По-перше, він ясно формулював узагальнене поняття простору як безперервної сукупності будь-яких однорідних об'єктів чи явищ (див. узагальнення предмета геометрії). По-друге, він увів поняття простору з будь-яким законом виміру відстаней нескінченно малими кроками (подібно до виміру довжини лінії дуже малим масштабом). Звідси розвинулася велика область Р., т. зв. Риманова геометрія та її узагальнення, яка знайшла важливі додатки у теорії відносності, в механіці та інших.

Інший приклад. Стан газу, що знаходиться в циліндрі під поршнем, визначається тиском та температурою. Сукупність всіх можливих станів газу можна представляти як двовимірний простір. «Точками» цього «простору» є стан газу; «точки» розрізняються двома «координатами» - тиском і температурою, як точки на площині розрізняються значеннями їх координат. Безперервна зміна стану зображається лінією у цьому просторі.

Далі, можна уявити будь-яку матеріальну систему – механічну чи фізико-хімічну. Сукупність всіх можливих станів цієї системи називають "фазовим простором". «Точками» цього простору є самі статки. Якщо стан системи визначається nвеличинами, то кажуть, що система має nстепенів свободи. Ці величини грають роль координат точки стану, як у прикладі з газом роль координат грали тиск і температура. Відповідно до цього такий фазовий простір системи називають n-мірним. Зміна стану зображається лінією у цьому просторі; окремі області станів, що виділяються за тими або іншими ознаками, будуть областями фазового простору, а межі областей будуть поверхнями в цьому просторі. Якщо система має лише два ступені свободи, то її стан можна зображати точками на площині. Так, стан газу з тиском рта температурою Тзобразиться точкою з координатами рі Т,а процеси, що відбуваються із газом, зобразяться лініями на площині. Цей метод графічного зображення є загальновідомим і постійно використовується у фізиці та техніці для наочного уявлення процесів та їх закономірностей. Але якщо кількість ступенів свободи більша за 3, то просте графічне зображення (навіть у просторі) стає неможливим. Тоді, щоб зберегти корисні геометричні аналогії, вдаються до уявлення про абстрактний фазовий простір. Так, наочні графічні методи переростають у це абстрактне уявлення. Метод фазових просторів широко застосовується у механіці, теоретичній фізиці та фізичній хімії. У механіці рух механічної системи є рухом точки в її фазовому просторі. У фізичній хімії особливо важливо розглядати форму та взаємне прилягання тих областей фазового простору системи з кількох речовин, які відповідають якісно різним станам. Поверхні, що розділяють ці області, суть поверхні переходів від однієї якості до іншої (плавлення, кристалізація тощо). У самій Р. також розглядають абстрактні простори, «точками» яких є фігури; так визначають «простору» кіл, сфер, прямих тощо. У механіці та теорії відносності вводять також абстрактне чотиривимірне простір, приєднуючи до трьох просторових координат час як четвертої координати. Це означає, що події треба розрізняти не лише за становищем у просторі, а й у часі.

Т. о., стає зрозумілим, як безперервні сукупності тих чи інших об'єктів, явищ, станів можуть підбиватися під узагальнене поняття простору. У такому просторі можна проводити «лінії», що зображують безперервні послідовності явищ (станів), проводити «поверхні» і визначати відповідним чином «відстань» між «точками», даючи тим самим кількісне вираження фізичного поняття про ступінь відмінності відповідних явищ (станів), та т.п. Так, за аналогією зі звичайною Р. виникає «геометрія» абстрактного простору; останнє може навіть мало бути схожим на звичайний простір, будучи, наприклад, неоднорідним за своїми геометричними властивостями і кінцевими, подібно до нерівномірно викривленої замкнутої поверхні.

Предметом Р. в узагальненому сенсі виявляються не тільки просторові форми та відносини, але будь-які форми та відносини, які, будучи взяті у відволіканні від свого змісту, виявляються подібними до звичайних просторових форм і відносин. Ці просторово-подібні форми дійсності називають «просторами» та «фігурами». Простір у цьому сенсі є безперервна сукупність однорідних об'єктів, явищ, станів, які грають роль точок простору, причому у цій сукупності є відносини, подібні до звичайних просторових відносин, як, наприклад, відстань між точками, рівність фігур тощо. (Фігура - взагалі частина простору). Р. розглядає ці форми дійсності у відволіканні від конкретного змісту, вивчення ж конкретних форм і відносин у зв'язку зі своїми якісно своєрідним змістом становить предмет інших наук, а Р. служить їм методом. Прикладом може бути будь-який додаток абстрактної Р., хоча б зазначене вище застосування n-мірного простору у фізичній хімії Для Р. характерний такий підхід до об'єкта, який полягає у узагальненні та перенесенні на нові об'єкти звичайних геометричних понять та наочних уявлень. Саме це й робиться у наведених вище прикладах простору кольорів та ін. Цей геометричний підхід зовсім не є чистою умовністю, а відповідає самій природі явищ. Але часто одні й самі реальні факти можна зображати аналітично чи геометрично, як і ту ж залежність можна задавати рівнянням чи лінією на графіці.

Не слід, однак, представляти розвиток Р. так, що вона лише реєструє і описує геометричною мовою вже зустрілися на практиці форми та відносини, подібні до просторових. Насправді Р. визначає широкі класи нових просторів і фігур у них, виходячи з аналізу та узагальнення даних наочної Р. та вже сформованих геометричних теорій. При абстрактному визначенні ці простору та постаті виступають як можливі форми дійсності. Вони, отже, є чисто умоглядними конструкціями, а повинні служити, зрештою, засобом дослідження та описи реальних фактів. Лобачевський, створюючи свою Р., вважав її можливим теорією просторових відносин. І так само як його Г. отримала обґрунтування в сенсі її логічної спроможності та застосування до явищ природи, так і будь-яка абстрактна геометрична теорія проходить таку ж подвійну перевірку. Для перевірки логічної спроможності істотне значення має спосіб побудови математичних моделей нових просторів. Однак остаточно укорінюються в науці тільки абстрактні поняття, які виправдані і побудовою штучної моделі, і застосуваннями, якщо не прямо в природознавстві і техніці, то хоча б в ін. математичних теоріях, через які ці поняття так чи інакше пов'язуються з дійсністю. Легкість, з якою математики і фізики оперують тепер різними «просторами», досягнуто внаслідок тривалого розвитку Р. у зв'язку з розвитком математики загалом та інших точних наук. Саме внаслідок цього розвитку склалася і набула великого значення друга сторона Р., зазначена у загальному визначенні, даному на початку статті: включення до Р. дослідження форм і відносин, подібних до форм і відносин у звичайному просторі.

Як приклад абстрактної геометричної теорії можна розглянути Р. n-мірного евклідового простору. Вона будується шляхом простого узагальнення основних положень звичайної Р., причому для цього є кілька можливостей: можна, наприклад, узагальнювати аксіоми звичайної Р., але можна виходити із завдання точок координатами. При другому підході n-мірний простір визначають як безліч будь-яких елементів-точок, що задаються (кожна) nчислами x 1, x 2,…, xn, розташованими у певному порядку, - координатами точок. Далі, відстань між точками Х = (x 1, x 2, ..., xn)і X"= (x’ 1 , x’ 2 ,…, х’ n)визначається формулою:

що є прямим узагальненням відомої формули для відстані тривимірному просторі. Рух визначають як перетворення фігури, яке змінює відстаней між її точками. Тоді предмет n-мірної Р. визначається як дослідження тих властивостей фігур, які не змінюються під час рухів. На цій основі легко вводяться поняття про пряму, про площини різного числа вимірів від двох до n-1, про кулю і т.д. Т. о. складається багата змістом теорія, багато в чому аналогічна звичайної евклідової Р., але багато в чому відмінна від неї. Нерідко буває, що результати, отримані для тривимірного простору легко переносяться з відповідними змінами на простір будь-якого числа вимірювань. Наприклад, теорема про те, що серед усіх тіл однакового об'єму найменшу площу поверхні має куля, читається буквально так само в просторі будь-якої кількості вимірювань. n-мірний обсяг, ( n-1)-мірну площу та n-мірний шар, які визначаються цілком аналогічно відповідним поняттям звичайної Г.]. Далі, у n-мірному просторі обсяг призми дорівнює добутку площі підстави на висоту, а обсяг піраміди - такому твору, поділеному на n. Такі приклади можна продовжити. З іншого боку, у багатовимірних просторах виявляються також якісно нові факти.

Тлумачення геометрії. Одна й та сама геометрична теорія допускає різні додатки, різні тлумачення (здійснення, моделі, чи інтерпретації). Будь-який додаток теорії і не що інше, як здійснення деяких її висновків у відповідній галузі явищ.

Можливість різних здійснень є загальною властивістю будь-якої математичної теорії. Так, арифметичні співвідношення реалізуються на різних наборах предметів; одне й те саме рівняння визначає часто дуже різні явища. Математика розглядає лише форму явища, відволікаючись від змісту, а з погляду форми багато якісно різні явища виявляються часто подібними. Різноманітність додатків математики та, зокрема, Р. забезпечується саме її абстрактним характером. Вважають, що деяка система об'єктів (область явищ) дає здійснення теорії, якщо відносини в цій галузі об'єктів можуть бути описані мовою теорії так, що кожне твердження теорії виражає той чи інший факт, що має місце в області, що розглядається. Зокрема, якщо теорія будується з урахуванням деякої системи аксіом, то тлумачення цієї теорії полягає у такому зіставленні її понять із деякими об'єктами та його відносинами, у якому аксіоми виявляються виконаними цих об'єктів.

Евклідова Г. виникла як відображення фактів дійсності. Її проста інтерпретація, в якій прямими вважаються натягнуті нитки, рухом - механічне переміщення і т.д., передує Р. як математичної теорії. Питання інших інтерпретаціях не ставився і було поставлено, доки виявилося абстрактніше розуміння геометрії. Лобачевський створив неевклідову Г. як можливу геометрію, і тоді виникло питання про її реальне тлумачення. Це завдання було вирішено в 1868 Е. Бельтрамі, який помітив, що геометрія Лобачевського збігається з внутрішньою Г. поверхонь постійної негативної кривизни, тобто теореми геометрії Лобачевського описують геометричні факти на таких поверхнях (при цьому роль прямих виконують геодезичні лінії, а роль рухів - згинання поверхні він). Оскільки водночас така поверхня є об'єктом евклідової Г., виявилося, що геометрія Лобачевського тлумачиться у поняттях геометрії Евкліда. Тим самим було доведено несуперечність геометрії Лобачевського, т.к. суперечність у ній у силу зазначеного тлумачення тягло б суперечність у геометрії Евкліда.

Т. о., з'ясовується двояке значення тлумачення геометричної теорії – фізичне та математичне. Якщо йдеться про тлумачення на конкретних об'єктах, то виходить досвідчений доказ істинності теорії (звісно, ​​з відповідною точністю); якщо ж самі об'єкти мають абстрактний характер (як геометрична поверхня в рамках геометрії Евкліда), то теорія пов'язується з іншою математичною теорією, в даному випадку з евклідовою Р., а через неї із підсумовованими в ній досвідченими даними. Таке тлумачення однієї математичної теорії за допомогою іншої стало математичним методом обґрунтування нових теорій, прийомом доказу їх несуперечності, оскільки протиріччя нової теорії породжувало б протиріччя у тій теорії, де вона інтерпретується. Але теорія, з якої виробляється тлумачення, своєю чергою, потребує обгрунтуванні. Тому зазначений математичний метод не знімає те, що остаточним критерієм істини для математичних теорій залишається практика. Нині геометричні теорії найчастіше тлумачать аналітично; наприклад, точки на площині Лобачевського можна пов'язувати з парами чисел хі у, Прямі - визначати рівняннями і т.п. Цей прийом дає обгрунтування теорії оскільки сам математичний аналіз обгрунтований, зрештою, величезної практикою його застосування.

Сучасна геометрія. Прийняте в сучасній математиці формально-математичне визначення понять простору та фігури виходить з поняття множини (див. Множин теорія). Простір визначається як безліч будь-яких елементів («точок») з умовою, що в цій множині встановлені деякі відносини, подібні до звичайних просторових відносин. Багато кольорів, безліч станів фізичної системи, безліч безперервних функцій, заданих на відрізку, і т.п. утворюють простори, де крапками будуть кольори, стани, функції. Точніше, ці множини розуміються як простори, якщо в них фіксуються тільки відповідні відносини, наприклад, відстань між точками, і ті властивості та відносини, які через них визначаються. Так, відстань між функціями можна визначити як максимум абсолютної величини їхньої різниці: max| f(x)-g(x)| . Фігура визначається як довільне безліч точок у цьому просторі. (Іноді простір - це система з безлічі елементів. Наприклад, у проективній Р. прийнято розглядати точки, прямі та площини як рівноправні вихідні геометричні об'єкти, пов'язані відносинами «з'єднання».)

Основні типи відносин, які у різних комбінаціях призводять до всієї різноманітності «просторів» сучасної Р., такі:

1) Загальними відносинами, що є у будь-якій безлічі, є відносини приналежності та включення: точка належить безлічі, і одне безліч є частина іншого. Якщо прийняті до уваги лише ці відносини, то в величезній кількості не визначається ще ніякої «геометрії», воно не стає простором. Проте, якщо виділено деякі спеціальні фігури (множини точок), то «геометрія» простору може визначатися законами зв'язку точок із цими фігурами. Таку роль відіграють аксіоми поєднання в елементарній, афінній, проектній Р.; тут спеціальними множинами служать прямі та площини.

Той же принцип виділення деяких спеціальних множин дозволяє визначити поняття топологічного простору - простору, в якому як спеціальні множини виділені «околиці» точок (з умовою, що точка належить своєму околиці і кожна точка має хоча б одну околицю; накладення на околиці подальших вимог визначає той чи інший тип топологічних просторів). Якщо будь-яка околиця заданої точки має спільні точки з деякою множиною, то така точка називається точкою дотику цієї множини. Дві множини можна назвати дотичними, якщо хоча б одне з них містить точки дотику іншого; простір або фігура буде безперервною, або, як кажуть, зв'язною, якщо її не можна розбити на дві частини, що не торкаються; перетворення безперервно, якщо воно не порушує зіткнень. Т. о., поняття топологічного простору служить для математичного вираження поняття безперервності. [Топологічний простір можна визначити також іншими спеціальними множинами (замкнутими, відкритими) або безпосередньо ставленням дотику, при якому будь-якій точці ставляться у відповідність його точки дотику.] Топологічні простори як такі, множини в них та їх перетворення служать предметом топології. Предмет власне Р. (у значної частини) становить дослідження топологічних просторів і постатей у яких, наділених ще додатковими властивостями.

2) Другий найважливіший принцип визначення тих чи інших просторів та його дослідження представляє запровадження координат. Розмаїттям називається таке (зв'язне) топологічний простір, в околиці кожної точки якого можна ввести координати, поставивши точки околиці у взаємно однозначну і взаємно безперервну відповідність із системами з nдійсних чисел x 1 , x 2 ,(, xn. Число nє число вимірів різноманіття. Простори, вивчені переважно геометричних теорій, є різноманіттями; найпростіші геометричні фігури (відрізки, частини поверхонь, обмежені кривими тощо) зазвичай - шматки різноманіття. Якщо серед усіх систем координат, які можна ввести в шматках різноманіття, виділяються системи координат такого роду, що одні координати виражаються через інші диференційованими (то чи інше число разів) або аналітичними функціями, то отримують т.з. гладке (аналітичне) різноманіття. Це поняття узагальнює наочне уявлення про гладку поверхню. Гладкі різноманітності як такі становлять предмет т. зв. диференціальної топології. Власне Р. вони наділяються додатковими властивостями. Координати з прийнятою умовою диференційності їх перетворень дають ґрунт для широкого застосування аналітичних методів - диференціального та інтегрального обчислення, а також векторного та тензорного аналізу (див. Векторне обчислення, Тензорне обчислення). Сукупність теорій Р., що розвиваються цими способами, утворює загальну диференціальну Р.; Найпростішим випадком її служить класична теорія гладких кривих і поверхонь, які є нічим іншим, як одно- і двовимірні диференційовані різноманіття.

3) Узагальнення поняття руху як перетворення однієї постаті на іншу призводить до загального принципу визначення різних просторів, коли простором вважається безліч елементів (точок), у якому задана група взаємно однозначних перетворень цієї множини він. "Геометрія" такого простору полягає у вивченні тих властивостей фігур, які зберігаються при перетвореннях із цієї групи. Тому з погляду такої Р. постаті вважатимуться «рівними», якщо одна перетворюється на іншу у вигляді перетворення з цієї групи. Наприклад, евклідова Р. вивчає властивості фігур, що зберігаються при рухах, афінна Р. - властивості фігур, що зберігаються при афінних перетвореннях, топологія - властивості фігур, що зберігаються при будь-яких однозначних і безперервних перетвореннях. У цю схему включаються геометрія Лобачевського, проективна Р. та інших. Фактично цей принцип поєднується із запровадженням координат. Простір визначається як гладке різноманіття, в якому перетворення задаються функціями, що зв'язують координати кожної даної точки та тієї, в яку вона переходить (координати образу точки задаються як функції координат самої точки та параметрів, від яких залежить перетворення; наприклад, афінні перетворення визначаються як лінійні: x" i = a i1 x 1 + a i2 x 2 +…+ a in x n , i = 1, …, n). Тому загальним апаратом розробки таких «геометрій» є теорія безперервних груп перетворень. Можлива інша, сутнісно еквівалентна, точка зору, за якою задаються не перетворення простору, а перетворення координат у ньому, причому вивчаються ті властивості фігур, які однаково виражаються у різних системах координат. Ця думка знайшла застосування теоретично відносності, що вимагає однакового висловлювання фізичних законів у різних системах координат, званих у фізиці системами відліку.

4) Інший загальний принцип визначення просторів, зазначений у 1854 р. Ріманом, виходить з узагальнення поняття про відстань. По Ріману, простір - це гладке різноманіття, у якому заданий закон виміру відстаней, точніше довжин, нескінченно малими кроками, т. е. задається диференціал довжини дуги кривої як функція координат точки кривої та його диференціалів. Це узагальнення внутрішньої Р. поверхонь, визначеної Гауссом як вчення про властивості поверхонь, які можуть бути встановлені вимірюванням довжин кривих на ній. Найпростіший випадок є т.з. риманові простори, в яких в нескінченно малому має місце теорема Піфагора (тобто в околиці кожної точки можна ввести координати так, що в цій точці квадрат диференціала довжини дуги дорівнюватиме сумі квадратів диференціалів координат; у довільних же координатах він виражається загальною позитивною квадратичною формою, див. Риманові геометрії. Такий простір, отже, евклідово в нескінченно малому, але в цілому воно може не бути евклідовим, подібно до того, як крива поверхня лише в нескінченно малому може бути зведена до площини з відповідною точністю. Геометрії Евкліда і Лобачевського виявляються окремим випадком цієї ріманової Г. Найбільш широке узагальнення поняття відстані призвело до поняття загального метричного простору як такої множини елементів, в якому задана «метрика», тобто кожній парі елементів віднесено число - відстань між ними, підпорядковане тільки дуже загальним умовам. Ця ідея відіграє важливу роль у функціональному аналізі і лежить в основі деяких новітніх геометричних теорій, таких, як внутрішня Г. негладких поверхонь і відповідні узагальнення ріманової Р.

5) Сполука ідеї Рімана про визначення «геометрії» в нескінченно малих областях різноманіття з визначенням «геометрії» за допомогою групи перетворень призвело (Е. Картан, 1922-25) до поняття про такий простір, в якому перетворення задаються лише в нескінченно малих областях; Іншими словами, тут перетворення встановлюють зв'язок тільки нескінченно близьких шматків різноманіття: один шматок перетворюється на інший, нескінченно близький. Тому говорять про простори зі «зв'язністю» того чи іншого типу. Зокрема, простори з «евклідовою зв'язністю» суть риманові. Подальші узагальнення сягають поняття про простір як про гладкому різноманітті, у якому задано взагалі «поле» будь-якого «об'єкта», яким може бути квадратична форма, як і риманової Р., сукупність величин, визначальних зв'язність, той чи інший тензор та інших. Сюди ж можна віднести введені в недавні часи т.з. розшаровані простору. Ці концепції включають, зокрема, пов'язане з теорією відносності узагальнення ріманової Р., коли розглядаються простори, де метрика задається вже не позитивною, а знакозмінною квадратичною формою (такі простори також називають римановими, або псевдорімановими, якщо хочуть відрізнити їх від риманових ). Ці простори є просторами зі зв'язністю, певною відповідною групою, відмінною від групи евклідових рухів.

На ґрунті теорії відносності виникла теорія просторів, у яких визначено поняття проходження точок, так що кожній точці Хвідповідає безліч V(X)наступних за нею точок. (Це є природним математичним узагальненням слідування подій, визначеного тим, що подія Yслідує за подією X,якщо Хвпливає на Y,і тоді Yслідує за Хв часі в будь-якій системі відліку.) Т. до. саме завдання множин Vвизначає точки, що йдуть за X,як належать безлічі V(X), визначення цього типу просторів виявляється застосуванням першого з перерахованих вище принципів, коли «геометрія» простору визначається виділенням спеціальних множин. Звичайно, при цьому безлічі Vмають бути підпорядковані відповідним умовам; у найпростішому випадку – це опуклі конуси. Ця теорія включає теорію відповідних псевдоріманових просторів.

6) Аксіоматичний метод у його чистому вигляді служить тепер або оформлення вже готових теорій, або визначення загальних типів просторів з виділеними спеціальними множинами. Якщо ж той чи інший тип більш конкретних просторів визначають, формулюючи їх властивості як аксіоми, то використовують або координати, або метрику та ін. Лобачевського. Сама модель будується з абстрактних математичних об'єктів, тому «остаточне обґрунтування» будь-якої геометричної теорії сягає області підстав математики взагалі, які можуть бути остаточними у сенсі, але потребують поглиблення (див. Математика , Аксіоматичний метод).

Перелічені принципи у різних поєднаннях і варіаціях породжують велику різноманітність геометричних теорій. Значення кожної з них і ступінь уваги до її завдань визначаються змістовністю цих завдань і результатів, її зв'язками з ін. теоріями Р., з ін. областями математики, з точним природознавством і завданнями техніки. Кожна дана геометрична теорія визначається серед інших геометричних теорій, по-перше, тим, який простір чи типу простору в ній розглядаються. По-друге, визначення теорії входить вказівку на досліджувані фігури. Так розрізняють теорії багатогранників, кривих, поверхонь, опуклих тіл тощо. Кожна з цих теорій може розвиватися у тому чи іншому просторі. Наприклад, можна розглядати теорію багатогранників у звичайному евклідовому просторі, n-мірному евклідовому просторі, у просторі Лобачевського та інших. Можна розвивати традиційну теорію поверхонь, проективну, у просторі Лобачевського тощо. По-третє, має значення характер властивостей фігур, що розглядаються. Так, можна вивчати властивості поверхонь, що зберігаються при тих чи інших перетвореннях; можна розрізняти вчення про кривизну поверхонь, вчення про згинання (тобто про деформації, що не змінюють довжин кривих на поверхні), внутрішню Г. Нарешті, визначення теорії можна включати її основний метод і характер постановки завдань. Так розрізняють Р: елементарну, аналітичну, диференціальну; наприклад, можна говорити про елементарну чи аналітичну Г. простору Лобачевського. Розрізняють Р. «у малому», що розглядає лише властивості як завгодно малих шматків геометричного образу (кривий, поверхні, різноманіття), від Р. «в цілому», що вивчає, як ясно з її назви, геометричні образи в цілому на всьому їхньому протязі. Дуже загальним є розрізнення аналітичних методів та методів синтетичної Р. (або власне геометричних методів); перші використовують засоби відповідних обчислень: диференціального, тензорного та ін, другі оперують безпосередньо геометричними образами.

З усієї різноманітності геометричних теорій фактично найбільше розвиваються n-мірна евклідова Р. і риманова (включаючи псевдориманову) Р. У першій розробляється, особливо, теорія кривих і поверхонь (і гіперповерхностей різної кількості вимірів), причому особливий розвиток отримує дослідження поверхонь «загалом» і поверхонь, значно загальніших, ніж гладкі, що вивчалися в класичній диференціальній Р.; сюди включаються багатогранники (багатогранні поверхні). Потім слід назвати теорію опуклих тіл, яка, втім, у великій частині можна віднести до теорії поверхонь загалом, т.к. тіло визначається своєю поверхнею. Далі - теорія правильних систем фігур, тобто допускають руху, що переводять всю систему саму в себе і якусь її фігуру в будь-яку іншу (див. Федоровські групи). Можна відзначити, що значна кількість найважливіших результатів у цих областях належать сов. геометрам: дуже повна розробка теорії опуклих поверхонь і суттєвий розвиток теорії загальних невипуклих поверхонь, різноманітні теореми про поверхні в цілому (існування та єдиності опуклих поверхонь із заданою внутрішньою метрикою або із заданою тією іншою «функцією кривизни», теорема про неможливість існування повної поверхні з кривизною, всюди меншою якогось негативного числа, та інших.), вивчення правильного розподілу простору та інших.

Теоретично риманових просторів досліджуються питання, що стосуються зв'язку їх метричних властивостей з топологічною будовою, поведінка геодезичних (найкоротших на малих ділянках) ліній загалом, як, наприклад, питання існування замкнутих геодезичних, питання «занурення», т. е. реалізації даного n-мірного ріманова простору у вигляді n-мірної поверхні в евклідовому просторі якого-небудь числа вимірювань, питання псевдоріманової Р., пов'язані із загальною теорією відносності, та ін. р.

На додаток слід згадати алгебраїчну геометрію (Див. алгебраїчну геометрію), що розвинулася з аналітичної Р. і досліджує перш за все геометричні образи, що задаються алгебраїчними рівняннями; вона посідає особливе місце, т.к. включає не лише геометричні, але також алгебраїчні та арифметичні проблеми. Існує також велика і важлива сфера дослідження нескінченномірних просторів, яка, проте, не зараховується до Р., а входить у функціональний аналіз, т.к. нескінченномірні простори конкретно визначаються як простори, точками яких служать ті чи інші функції. Проте у цій галузі є багато результатів і проблем, які мають справді геометричний характер і тому слід відносити до Р.

Значення геометрії.Застосування евклідової Г. представляє звичайнісіньке явище всюди, де визначаються площі, обсяги і т.п. Вся техніка, оскільки в ній відіграють роль форми та розміри тіл, користується евклідовою Г. Картографія, геодезія, астрономія, всі графічні методи, механіка немислимі без Г. Яскравим прикладом є відкриття І. Кеплером факту обертання планет за еліпсами; він міг користуватися тим, що еліпс був вивчений ще давніми геометрами. Глибоке застосування Р. представляє геометрична кристалографія, що послужила джерелом і областю застосування теорії правильних систем фігур (див. Кристалографія).

Більш абстрактні геометричні теорії знаходять широке застосування в механіці та фізиці, коли сукупність станів будь-якої системи розглядається як деякий простір (див. розділ Узагальнення предмета геометрії). Так, всі можливі конфігурації (взаємне розташування елементів) механічної системи утворюють "конфігураційний простір"; рух системи зображається рухом точки у цьому просторі. Сукупність всіх станів фізичної системи (у найпростішому випадку - положення та швидкості утворюють систему матеріальних точок, наприклад молекул газу) сприймається як «фазовий простір» системи. Ця думка знаходить, зокрема, застосування у статистичній фізиці та інших.

Вперше поняття про багатовимірному просторі зародилося у зв'язку з механікою ще у Ж. Лагранжа, коли до трьох просторів. координатам х, у, zяк четверта формально приєднується час t. Так з'являється чотиривимірний «простір – час», де точка визначається чотирма координатами х, у, z, t. Кожна подія характеризується цими чотирма координатами і абстрактно, безліч всіх подій у світі виявляється чотиривимірним простором. Цей погляд отримав розвиток у геометричному трактуванні теорії відносності, даної Г. Мінковським, а потім у побудові А. Ейнштейном загальної теорії відносності. У ній він скористався чотиривимірною рімановою (псевдорімановою) Г. Так геометричні теорії, що розвинулися з узагальнення даних просторового досвіду, виявилися математичним методом побудови більш глибокої теорії простору та часу. У свою чергу, теорія відносності дала потужний поштовх розвитку загальних геометричних теорій. Виникнувши з елементарної практики, Р. через ряд абстракцій та узагальнень повертається до природознавства та практики на більш високому ступені як метод.

З геометричної точки зору різноманіття простору - часу зазвичай трактується в загальній теорії відносності як неоднорідне риманівського типу, але з метрикою, що визначається знакозмінною формою, що наводиться в нескінченно малій області до виду

dx 2 + dy 2 + dz 2 - c 2 dt 2

(з -швидкість світла у вакуумі). Сам простір, оскільки його можна відокремити від часу, виявляється також неоднорідним рімановим. З сучасної геометричної погляду краще дивитися теорію відносності в такий спосіб. Спеціальна теорія відносності стверджує, що різноманіття простору - часу є псевдоевклідовим простір, тобто таке, в якому роль «рухів» відіграють перетворення, що зберігають квадратичну форму

x 2 + y 2 + z 2 - c 2 t 2

точніше, це простір із групою перетворень, що зберігають зазначену квадратичну форму. Від будь-якої формули, що виражає фізичний закон, потрібно, щоб вона не змінювалася при перетвореннях групи цього простору, які є так званими перетвореннями Лоренца. Згідно з загальною теорією відносності, різноманіття простору - часу неоднорідне і лише в кожній «нескінченно малій» області зводиться до псевдоевклідова, тобто воно є простір картанівського типу (див. розділ Сучасна геометрія). Однак таке розуміння стало можливим лише пізніше, т.к. саме поняття про простори такого типу з'явилося після теорії відносності і розвинуто під її прямим впливом.

У самій математиці становище та роль Р. визначаються насамперед тим, що через неї математику вводилася безперервність. Математика як наука про форми дійсності стикається насамперед із двома загальними формами: дискретністю та безперервністю. рахунок окремих (дискретних) предметів дає арифметику, просторів. безперервність вивчає Г. Однією з основних протиріч, що рушать розвиток математики, є зіткнення дискретного та безперервного. Вже розподіл безперервних величин на частини і вимір представляють зіставлення дискретного і безперервного: наприклад, масштаб відкладається вздовж вимірюваного відрізка окремими кроками. Протиріччя виявилося с. особливою ясністю, як у Стародавню Грецію (ймовірно, в 5 в. е.) була відкрита несумірність боку і діагоналі квадрата: довжина діагоналі квадрата зі стороною 1 не виражалася жодним числом, т.к. поняття ірраціонального числа не існувало. Знадобилося узагальнення поняття числа - створення поняття ірраціонального числа (що було зроблено лише набагато пізніше в Індії). Загальна ж теорія ірраціональних чисел була створена лише у 70-х роках. 19 ст. Пряма (а разом з нею і всяка постать) стала розглядатися як безліч точок. Тепер ця думка є панівною. Проте труднощі теорії множин показали її обмеженість. Суперечність дискретного і безперервного може бути повністю знято.

Загальна роль Р. в математиці полягає також у тому, що з нею пов'язане точне синтетичне мислення, що йде від просторових уявлень, часто дозволяє охопити в цілому те, що досягається аналізом і викладками лише через довгий ланцюг кроків. Так, Р. характеризується не тільки своїм предметом, а й методом, що йде від наочних уявлень і плідним у вирішенні багатьох проблем ін. областей математики. У свою чергу, Р. широко використовує їх методи. Т. о., одна й та сама математична проблема може часто-густо трактуватися або аналітично, або геометрично, або в поєднанні обох методів.

У певному сенсі, майже всю математику можна розглядати як алгебри, що розвиваються з взаємодії (спочатку арифметики) і Р., а в сенсі методу - з поєднання викладок і геометричних уявлень. Це вже в понятті сукупності всіх речових чисел як числової прямої, що сполучає арифметичні властивості чисел з безперервністю. Ось деякі основні моменти впливу Р. на математику.

1) У виникненні та розвитку аналізу Р. поряд з механікою мала вирішальне значення. Інтегрування походить від знаходження площ та обсягів, розпочатого ще давніми вченими, причому площа та обсяг як величини вважалися певними; ніяке аналітичне визначення інтеграла не давалося до 1-ї половини 19 ст. Проведення дотичних було одним із завдань, що породили диференціювання. Графічне уявлення функцій зіграло значної ролі у виробленні понять аналізу та зберігає своє значення. У самій термінології аналізу видно геометричне джерело його понять, як, наприклад, термінах: «точка розриву», «область зміни змінної» тощо. Перший курс аналізу, написаний в 1696 р. Лопіталь (Див. Лопіталь), називався: «Аналіз нескінченно малих для розуміння кривих ліній». Теорія диференціальних рівнянь переважно трактується геометрично (інтегральні криві тощо.). Варіаційне літочислення виникло і розвивається великою мірою завдання Г., та її поняття грають у ньому значної ролі.

2) Комплексні числа остаточно утвердилися в математиці межі 18-19 ст. лише внаслідок зіставлення їх із точками площини, т. е. шляхом побудови «комплексної площини». Теоретично функцій комплексного змінного геометричними методами відводиться істотна роль. Саме поняття аналітичної функції w = f(z) комплексного змінного може бути визначено чисто геометрично: така функція є Конформне відображення площини z(або області площини z) у площину w. Поняття та методи ріманової Р. знаходять застосування в теорії функцій кількох комплексних змінних.

3) Основна ідея функціонального аналізу полягає в тому, що функції даного класу (наприклад, всі безперервні функції, задані на відрізку) розглядаються як точки «функціонального простору», причому відносини між функціями тлумачаться як геометричні відносини між відповідними точками (наприклад, збіжність функцій тлумачиться як збіжність точок, максимум абсолютної величини різниці функцій - як відстань і т.п.). Тоді багато питань аналізу отримують геометричне освітлення, що у багатьох випадках дуже плідним. Взагалі, уявлення тих чи інших математичних об'єктів (функцій, постатей та інших.) як точок деякого простору з відповідним геометричним тлумаченням відносин цих об'єктів є однією з найбільш загальних та плідних ідей сучасної математики, що проникла майже у всі її розділи.

4) Р. впливає на алгебру і навіть на арифметику – теорію чисел. В алгебрі використовують, наприклад, поняття векторного простору. У теорії чисел створено геометричний напрямок, що дозволяє вирішувати багато завдань, що ледь піддаються обчислювальному методу. Своєю чергою слід зазначити також графічні методи розрахунків (див. Номографія) та геометричні методи сучасної теорії обчислень та обчислювальних машин.

5) Логічне вдосконалення та аналіз аксіоматики Г. грали визначальну роль у виробленні абстрактної форми аксіоматичного методу з його повним відволіканням від природи об'єктів і відносин, що фігурують в теорії, що аксіоматизується. На тому ж матеріалі вироблялися поняття несуперечності, повноти та незалежності аксіом.

Загалом взаємопроникнення Р. та ін. областей математики настільки тісно, ​​що часто межі виявляються умовними та пов'язаними лише з традицією. Майже або зовсім не пов'язаними з Р. залишаються лише такі розділи, як абстрактна алгебра, математична логіка та ін.

Літ.: Основні класичні роботи.Евклід, Початки, пров. з грец., кн. 1-15, М. - Л., 1948-50; Декарт Р., Геометрія, пров. з латин., М. - Л., 1938; Монж Р., Додатки аналізу до геометрії, пров. з франц., М. – Л., 1936; Ponselet JV, Traite des proprietes projectives des figures, Metz - Р., 1822; Гаус К. Ф., Загальні дослідження про криві поверхні, пров. з нім., у збірнику: Про основи геометрії, М., 1956; Лобачевський Н. І., Полн. зібр. тв., т. 1-3, М. - Л., 1946-51; Больая Я., Appendix. Додаток,..., пров. з латин., М. - Л., 1950; Ріман Б., Про гіпотези, що лежать в підставах геометрії, пров. з нім., у збірнику: Про основи геометрії, М., 1956; Клейн Ф., Порівняльний огляд нових геометричних досліджень («Ерлангенська програма»), там-таки; Картан Е., Групи голономії узагальнених просторів, пров. з франц., у кн.: VIII-й Міжнародний конкурс на здобуття премії імені Миколи Івановича Лобачевського (1937), Казань, 1940; Гільберт Д., Підстави геометрії, пров. з ньому., М. – Л., 1948.

Історія.Кольман Еге., Історія математики в давнину, М., 1961; Юшкевич А. П., Історія математики в середні віки, М., 1961; Вілейтнер Г. Історія математики від Декарта до середини 19 століття, пров. з ньому., 2 видавництва, М., 1966; Cantor М., Vorlesungen über die Geschichte der Mathematik, Bd 1-4, Lpz., 1907-08.

б) Елементарна геометрія.Адамар Же., Елементарна геометрія, пров. з франц., ч. 1, 3 видавництва, М., 1948, ч. 2, М., 1938; Погорєлов А. Ст, Елементарна геометрія, М., 1969.

в) Аналітична геометрія.Александров П. С., Лекції з аналітичної геометрії ..., М., 1968; Погорєлов А. Ст, Аналітична геометрія, 3 видавництва, М., 1968.

д) Накреслювальна та проективна геометрія.Глаголєв Н. А., Нарисна геометрія, 3 видавництва, М. - Л., 1953; Єфімов Н. Ст, Вища геометрія, 4 видавництва, М., 1961.

е) Риманова геометрія та її узагальнення.Рашевський П. К., Риманова геометрія та тензорний аналіз, 2 видавництва, М. - Л., 1964; Норден А. П., Простору афінної зв'язності, М. - Л., 1950; Картан Еге., Геометрія ріманових просторів, пров. з франц., М. – Л., 1936; Ейзенхарт Л. П. Ріманова геометрія, пров. з англ., М., 1948.

Деякі монографії з геометрії. Федоров Є. С., Симетрія та структура кристалів. Основні роботи, М., 1949; Александров А. Д., Випуклі багатогранники, М. – Л., 1950; його ж, Внутрішня геометрія опуклих поверхонь, М. – Л., 1948; Погорєлов А. Ст, Зовнішня геометрія опуклих поверхонь, М., 1969; Буземан Р., Геометрія геодезичних, пров. з англ., М., 1962; його ж, опуклі поверхні, пров. з англ., М., 1964; Картан Е., Метод рухомого репера, теорія безперервних груп та узагальнені простори, пров. з франц., М. – Л., 1936; Фініков С. П., Метод зовнішніх форм Картана в диференціальній геометрії, М. - Л., 1948; його ж, Проективно-диференціальна геометрія, М. – Л., 1937; його ж, Теорія конгруенцій, М. – Л., 1950; Схоутен І. А., Стройк Д. Дж., Введення у нові методи диференціальної геометрії, пров. з англ., т. 1-2, М. – Л., 1939-48; Номідзу К., Групи Лі та диференціальна геометрія, пров. з англ., М., 1960; Мілнор Дж., Теорія Морса, пров. з англ., М., 1965.

Словник іноземних слів російської мови

4. Приклади задач на геометричні місця точок

1. Два колеса радіусів r 1 та r 2 катаються по прямій l. Знайдіть безліч точок перетину M їх загальних внутрішніх дотичних.

Рішення: Нехай O 1 і O 2 - центри коліс радіусів r 1 і r 2 відповідно. Якщо M – точка перетину внутрішніх дотичних, то O 1 M: O 2 M = r 1: r 2 . З цієї умови легко отримати, що відстань від точки M до прямої l дорівнює 2r 1 r 2 /(r 1 + r 2). Тому всі точки перетину загальних внутрішніх дотичних лежать на прямій, паралельній прямій l і віддаленій від неї на відстань 2r 1 r 2 /(r 1 + r 2).

2. Знайдіть геометричне місце центрів кіл, що проходять через дві дані точки.

Рішення: Нехай коло з центром O проходить через дані точки A та B. Оскільки OA = OB (як радіуси одного кола), точка O лежить на серединному перпендикулярі до відрізка AB. Назад, кожна точка O, що лежить на серединному перпендикулярі до AB, рівновіддалена від точок A і B. Отже, точка O - центр кола, що проходить через точки A і B.

3. Сторони AB та CD чотирикутника ABCD площі S не паралельні. Знайдіть ГМТ X, що лежать усередині чотирикутника, для яких SABX + SCDX = S/2.

Рішення: Нехай O - точка перетину прямих AB та CD. Відкладемо на променях OA та OD відрізки OK та OL, рівні AB та CD відповідно. Тоді SABX+SCDX=SKOX+SLOX±SKXL. Отже, площа трикутника KXL стала, т. е. точка X лежить на прямій, паралельній KL.

4. На площині дано точки A та B. Знайдіть ГМТ M, для яких різниця квадратів довжин відрізків AM та BM постійна.

Рішення: Введемо систему координат, обравши точку A як початок координат і направивши вісь Ox з променю AB. Нехай точка M має координати (x, y). Тоді AM 2 = x 2 + y 2 і BM 2 = (x - a) 2 + y 2 де a = AB. Тому AM 2 – BM 2 = 2ax – a 2 . Ця величина дорівнює k точок M з координатами ((a 2 + k)/2a, y); всі такі точки лежать на прямій, перпендикулярній до AB.

5. Даний прямокутник ABCD. Знайдіть ГМТ X, для яких AX + BX = CX + DX.

Рішення: Нехай l – пряма, що проходить через середини сторін BC та AD. Припустимо, що точка X не лежить на прямій l, наприклад, що точки A і X лежать по одну сторону від прямої l. Тоді AX< DX и BX < CX, а значит, AX + BX < CX + DX. Поэтому прямая l - искомое ГМТ.

6. Дано дві прямі, що перетинаються в точці O. Знайдіть ГМТ X, для яких сума довжин проекцій відрізків OX на ці прямі постійна.

Рішення: Нехай a та b - поодинокі вектори, паралельні даним прямим; x дорівнює вектору ох. Сума довжин проекцій вектора x дані прямі дорівнює |(a,x)| + | (b, x) | = |(a±b,x)|, причому зміна знака відбувається на перпендикулярах, відновлених із точки O до даних прямим. Тому шукане ГМТ - прямокутник, сторони якого паралельні бісектрисам кутів між даними прямими, а вершини лежать на зазначених перпендикулярах.

7. Дано коло S і точка M поза нею. Через точку M проводяться всілякі кола S 1 перетинають коло S; X - точка перетину дотичної в точці M до кола S 1 з продовженням загальної хорди кіл S і S 1 . Знайдіть ГМТ X.

Рішення: Нехай A і B - точки перетину кіл S і S 1 . Тоді XM 2 = XA. XB = XO 2 - R 2 де O і R - центр і радіус кола S. Тому XO 2 - XM 2 = R 2 , а значить, точки X лежать на перпендикулярі до прямої OM.

8. Дані два кола, що не перетинаються. Знайдіть геометричне місце точок центрів кіл, що ділять навпіл дані кола (тобто перетинають їх у діаметрально протилежних точках).

Рішення: Нехай O 1 і O 2 - центри даних кіл, R 1 і R 2 - їх радіуси. Окружність радіуса r з центром X перетинає перше коло в діаметрально протилежних точках тоді і тільки тоді, коли r 2 = XO 1 2 + R 1 2 тому шукане ГМТ складається з таких точок X, що XO 1 2 + R 1 2 = XO 2 2 + R 2 2 всі такі точки X лежать на прямій, перпендикулярній O 1 O 2 .

9. Всередині кола взято точку A. Знайдіть геометричне місце точок перетину дотичних до кола, проведених через кінці всіляких хорд, що містять точку A.

Рішення: Нехай O – центр кола, R – її радіус, M – точка перетину дотичних, проведених через кінці хорди, що містить точку A, P – середина цієї хорди. Тоді OP * OM = R 2 та OP = OA cos f, де f = AOP. Тому AM 2 = OM 2 + OA 2 - 2OM * OA cos f = OM 2 + OA 2 - 2R 2, отже, величина OM 2 - AM 2 = 2R 2 - OA 2 постійна. Отже, усі точки M лежать на прямій, перпендикулярній до OA.

10. Знайдіть геометричне місце точок M, що лежать усередині ромба ABCD і мають ту властивість, що AMD + BMC = 180 o .

Рішення: Нехай N - така точка, що вектор MN = DA. Тоді NAM = DMA та NBM = BMC, тому чотирикутник AMBN вписаний. Діагоналі вписаного чотирикутника AMBN дорівнюють, тому AM| BN чи BM| AN. У першому випадку AMD = MAN = AMB, а у другому випадку BMC = MBN = BMA. Якщо AMB = AMD, то AMB + BMC = 180 o точка M лежить на діагоналі AC, і якщо BMA = BMC, то точка M лежить на діагоналі BD. Зрозуміло також, якщо точка M лежить на одній з діагоналей, то AMD + BMC = 180 o .

11. а) Даний паралелограм ABCD. Доведіть, що величина AX 2 + CX 2 – BX 2 – DX 2 не залежить від вибору точки X.

б) Чотирьохкутник ABCD не є паралелограмом. Доведіть, що всі точки X, що задовольняють співвідношенню AX 2 + CX 2 = BX 2 + DX 2 , лежать на одному прямому, перпендикулярному відрізку, що з'єднує середини діагоналей.

Рішення: Нехай P і Q – середини діагоналей AC та BD. Тоді AX 2 + CX 2 = 2PX 2 + AC 2 /2 і BX 2 + DX 2 = 2QX 2 + BD 2 /2, тому в задачі б) шукане ГМТ складається з таких точок X, що PX 2 - QX 2 = ( BD 2 - AC 2)/4, а задачі a) P = Q, тому аналізована величина дорівнює (BD 2 - AC 2)/2.

Література

1. Погорєлов А.В. Геометрія: Підручник для 7-9 класів загальноосвітніх закладів. - М: Просвітництво, 2000, с. 61.

2. Савін А.П. Метод геометричних місць / Факультативний курс математики: Навчальний посібник для 7-9 класів середньої школи. Упоряд. І.Л. Микільська. - М.: Просвітництво, 1991, с. 74.

3. Смирнова І.М., Смірнов В.А. Геометрія: Підручник для 7-9 класів загальноосвітніх закладів. - М.: Мнемозіна, 2005, с. 84.

4. Шаригін І.Ф. Геометрія. 7-9 класи: Підручник для загальноосвітніх навчальних закладів. - М.: Дрофа, 1997, с. 76.

5. Інтернет ресурс: http://matschool2005.narod.ru/Lessons/Lesson8.htm

p align="justify"> Інформаційної причинності взаємодій (нейтралізація ентропії), пов'язаної з процесами відображення ступенів упорядкованості (збуджень), володіння універсальною системою просторово-часових відносин, виділяють "абсолютний квант" у феноменальне явище фізичної природи. Він може бути несподіваним матеріальним втіленням тієї початкової активної субстанції, яку об'єктивний ідеалізм...

Q(у) такого перерізу дорівнює, де при інтегруванні вважається величиною постійної. Інтегруючи потім Q(у) у межах зміни у, тобто від c до d, ми прийдемо до другого виразу для подвійного інтеграла (Б) Тут інтегрування відбувається спочатку за х, а потім за у. .Формули (А) і (Б) показують, що обчислення подвійного інтеграла зводиться до послідовного обчислення двох звичайних...

Геометрія- це наука, що вивчає просторові відносини та форми предметів.

Евклідова геометрія- це геометрична теорія, заснована на системі аксіом, вперше викладеної в "Початках" Евкліда.

Геометрія Лобачевського (гіперболічна геометрія)- одна з неевклідових геометрій, геометрична теорія, заснована на тих же основних посилах, що і звичайна евклідова геометрія, за винятком аксіоми про паралельні прямі, яка замінюється на аксіому про паралельні Лобачевського.

Пряма лінія, обмежена з одного кінця та необмежена з іншого, називається променем.

Частина пряма, обмежена з двох сторін, називається відрізком.

Кут- це геометрична фігура, утворена двома променями (сторони кута), що виходять із однієї точки (вершина кута). Застосовуються дві одиниці виміру кутів: радіан та градус. Кут 90° називається прямим; кут, менший ніж 90°, називається гострим; кут, більший ніж 90°, називається тупим.

Сумежні кути- це кути, що мають спільну вершину та спільну сторону; дві інші сторони є продовженнями одна одної. Сума суміжних кутів дорівнює 180 °. Вертикальні кути – це два кути із загальною вершиною, у яких сторони одного є продовженнями сторін іншого.

Бісектрисою кутаназивається промінь, що ділить кут навпіл.

Дві прямі називаються паралельними, якщо вони лежать в одній площині і не перетинаються, хоч би скільки їх продовжувати. Усі прямі, паралельні одній прямій, паралельні між собою. Всі перпендикуляри до однієї і тієї ж прямої паралельні між собою, і назад, пряма, перпендикулярна до однієї з паралельних прямих, перпендикулярна до інших. Довжина відрізка перпендикуляра, укладеного між двома паралельними прямими є відстань між ними. При перетині двох паралельних прямих третьої прямої утворюються вісім кутів, які попарно називаються: відповідні кути (ці кути попарно рівні); внутрішні навхрест лежачі кути (вони попарно рівні); зовнішні навхрест лежачі кути (вони попарно рівні); внутрішні односторонні кути (їх сума дорівнює 180 °); зовнішні односторонні кути (їх сума дорівнює 180 °).

Теорема Фалеса. При перетині сторін кута паралельними прямими сторони кута поділяються на пропорційні відрізки.

Аксіоми геометрії. Аксіома приналежності: через будь-які дві точки на площині можна провести пряму і лише одну. Аксіома порядку: серед будь-яких трьох точок, що лежать на прямій, є не більше однієї точки, що лежить між двома іншими.

Аксіома конгруентності (рівності)відрізків і кутів: якщо два відрізки (кута) конгруентні третьому, всі вони конгруентні між собою. Аксіома паралельних прямих: через будь-яку точку, що лежить поза прямою, можна провести іншу пряму, паралельну даній, і до того ж лише одну.

Аксіома безперервності (аксіома Архімеда): для будь-яких двох відрізків AB і CD існує кінцевий набір точок A1, A2, …, An, що лежать на прямій AB, таких що відрізки AA1, A1A2, …, An-1An конгруентні відрізки CD, a точка B лежить між A та An.

Плоска фігура, утворена замкненим ланцюжком відрізків, називається багатокутником.
Залежно кількості кутів багатокутник може бути трикутником, чотирикутником, п'ятикутником, шестикутником тощо. буд. Сума довжин називається периметром і позначається p.
Якщо всі діагоналі лежать усередині багатокутника, він називається опуклим. Сума внутрішніх кутів опуклого багатокутника дорівнює 180 ° * (n-2), де n - число кутів (або сторін) багатокутника.

Трикутник- це багатокутник із трьома сторонами (або трьома кутами). Якщо всі три кути гострі, це гострокутний трикутник. Якщо один із кутів прямий, то це прямокутний трикутник; сторони, що утворюють прямий кут, називаються катетами; сторона, протилежна прямому куту, називається гіпотенузою. Якщо один із кутів тупий, то це тупокутний трикутник. Трикутник рівнобедрений, якщо дві його сторони рівні. Трикутник рівносторонній, якщо його сторони рівні.

У прямокутному трикутнику справедливі такі співвідношення:

Площа прямокутного трикутника:

Радіус вписаного кола:

У довільному трикутнику:

У будь-який правильний багатокутник можна вписати коло і біля нього можна описати коло:

де а – сторона, n – число сторін багатокутника, R – радіус описаного кола, r – радіус вписаного кола (апофема правильного багатокутника).

Площа правильного багатокутника:

Довжини сторін та діагоналей пов'язані формулою:

Основні властивості трикутників:

• проти більшої сторони лежить більший кут і навпаки;
• проти рівних сторін лежать рівні кути та навпаки;
• сума кутів трикутника дорівнює 180 °;
• продовжуючи одну із сторін трикутника, отримуємо зовнішній кут. Зовнішній кут трикутника дорівнює сумі внутрішніх кутів, не суміжних із ним;
• будь-яка сторона трикутника менша від суми двох інших сторін і більша за їх різницю.

Ознаки рівності трикутників: трикутники рівні, якщо рівні:

• дві сторони та кут між ними;
• два кути та прилегла до них сторона;
• три сторони.

Ознаки рівності прямокутних трикутників: два прямокутні трикутники рівні, якщо виконується одна з наступних умов:

• рівні їх катети;
• катет та гіпотенуза одного трикутника рівні катету та гіпотенузі іншого;
• гіпотенуза та гострий кут одного трикутника рівні гіпотенузі та гострому куту іншого;
• катет і прилеглий гострий кут одного трикутника дорівнюють катету і прилеглого гострого кута іншого;
• катет і протилежний гострий кут одного трикутника дорівнюють катету та протилежному гострому куту іншого.

Висота трикутника – це перпендикуляр, опущений з будь-якої вершини на протилежну сторону (або її продовження). Ця сторона називається основою трикутника. Три висоти трикутника завжди перетинаються в одній точці, яка називається ортоцентром трикутника. Ортоцентр гострокутного трикутника розташований усередині трикутника, а ортоцентр тупокутного трикутника – зовні; Ортоцентр прямокутного трикутника збігається з вершиною прямого кута.

Формула для висоти трикутника:

Медіана- це відрізок, що з'єднує будь-яку вершину трикутника із серединою протилежної сторони. Три медіани трикутника перетинаються в одній точці, що завжди лежить усередині трикутника і є центром тяжкості. Ця точка ділить кожну медіану щодо 2:1, рахуючи від вершини.

Бісектриса- це відрізок бісектриси кута від вершини до точки перетину з протилежною стороною. Три бісектриси трикутника перетинаються в одній точці, що завжди лежить усередині трикутника і є центром вписаного кола. Бісектриса ділить протилежну сторону на частини, пропорційні прилеглим сторонам.
Формула для бісектриси трикутника:

Серединний перпендикуляр- Це перпендикуляр, проведений із середньої точки відрізка (сторони). Три серединні перпендикуляри трикутника перетинаються в одній точці, що є центром описаного кола. У гострокутному трикутнику ця точка лежить усередині трикутника; у тупокутному – зовні; у прямокутному – у середині гіпотенузи. Ортоцентр, центр тяжкості, центр описаного та центр вписаного кола збігаються лише у рівносторонньому трикутнику.

теорема Піфагора. У прямокутному трикутнику квадрат довжини гіпотенузи дорівнює сумі квадратів довжин катетів: c2 = a2 + b2.

У загальному випадку (для довільного трикутника) маємо: c2=a2+b2–2?a?b?cosC, де C – кут між сторонами a та b.

Чотирьохкутник- фігура, утворена чотирма точками (вершинами), жодні три з яких не лежать на одній прямій, і чотирма відрізками, що послідовно з'єднують (сторонами), які не повинні перетинатися.

Паралелограм- це чотирикутник, протилежні сторони якого попарно паралельні. Будь-які дві протилежні сторони паралелограма називаються його основами, а відстань між ними – висотою.

Властивості паралелограма:

• протилежні сторони паралелограма рівні;
• протилежні кути паралелограма рівні;
• діагоналі паралелограма діляться у точці їх перетину навпіл;
• сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює сумі квадратів його чотирьох сторін.

Площа паралелограма:

Радіус вписаного в паралелограм кола:

Прямокутник- це паралелограм, усі кути якого дорівнюють 90°.

Основні властивості прямокутника.
Сторони прямокутника є його висотами.
Діагоналі прямокутника дорівнюють: AC = BD.

Квадрат діагоналі прямокутника дорівнює сумі квадратів його сторін (за теоремою Піфагора).

Площа прямокутника: S = ab.

Діаметр прямокутника:

Радіус описаного біля прямокутника кола:

Ромб називається паралелограм, у якого всі сторони рівні. Діагоналі ромба взаємно перпендикулярні і поділяють їх кути навпіл.

Площа ромба виражається через діагоналі:

Квадрат - це паралелограм з прямими кутами та рівними сторонами. Квадрат є окремим випадком прямокутника і ромба одночасно, отже, він має всі їх перераховані вище властивості.

Площа квадрата:

Радіус описаного біля квадрата кола:

Радіус вписаний у квадрат кола:

Діагональ квадрата:

Трапеція- це чотирикутник, у якого дві протилежні сторони паралельні. Паралельні сторони називаюсь основами трапеції, а дві інші – бічними сторонами. Відстань між основами є висота. Відрізок, що сполучає середні точки бічних сторін, називається середньою лінією трапеції. Середня лінія трапеції дорівнює напівсумі основ і паралельна їм. Трапеція з рівними бічними сторонами називається рівнобічною трапецією. У рівнобічній трапеції кути при кожній підставі рівні.

Площа трапеції: , де a та b - основи, h - висота.

Середня лінія трикутника- Це відрізок, що сполучає середні точки бічних сторін трикутника. Середня лінія трикутника дорівнює половині його основи та паралельна йому. Ця властивість випливає з властивості трапеції, тому що трикутник може розглядатися як випадок виродження трапеції, коли одна з її основ перетворюється на точку.

Подібність плоских фігур. Якщо змінити всі розміри плоскої фігури те саме число разів (відношення подоби), то стара і нова фігури називаються подібними. Два багатокутники подібні, якщо їх кути дорівнюють, а сторони пропорційні.

Ознаки подібності до трикутників. Два трикутники подібні, якщо:

• всі їхні відповідні кути рівні (досить двох кутів);
• всі їхні сторони пропорційні;
• дві сторони одного трикутника пропорційні двом сторонам іншого, а кути, укладені між цими сторонами, рівні.

Площі подібних постатей пропорційні квадратам їх подібних ліній (наприклад, сторін, діаметрів).

Геометричне місце точок- це безліч усіх точок, які відповідають певним заданим умовам.

Окружність- це геометричне місце точок на площині, рівновіддалених від однієї точки, що називається центром кола. Відрізок, що з'єднує центр кола з якоюсь її точкою, називається радіусом і позначається - r. Частина площини, обмежена коло, називається колом. Частина кола називається дугою. Пряма, що проходить через дві точки кола, називається січною, а її відрізок, що лежить усередині кола - хордою. Хорда, що проходить через центр кола, називається діаметром та позначається d. Діаметр - це найбільша хорда, що за величиною дорівнює двом радіусам: d = 2r.

Де а – дійсна, b – уявна піввісь.

Рівняння площини у просторі:
Ax + By + Cz + D = 0,
де x, y, z – прямокутні координати змінної точки площини, A, B, C – постійні числа.
Пряма, що проходить через точку кола перпендикулярно радіусу, проведеному в цю точку, називається дотичною. При цьому ця точка називається точкою торкання.

Властивості щодо:

• дотична до кола перпендикулярна до радіусу, проведеного в точку торкання;
• з точки, що лежить поза колом, можна провести дві дотичні до одного і того ж кола; їх відрізки рівні.

Сегмент- це частина кола, обмежена дугою та відповідною хордою. Довжина перпендикуляра, проведеного із середини хорди до перетину з дугою, називається висотою сегмента.

Сектор- це частина кола, обмежена дугою та двома радіусами, проведеними до кінців цієї дуги.

Кути в колі. Центральний кут – кут, утворений двома радіусами. Вписаний кут - це кут, утворений двома хордами, проведеними з однієї загальної точки. Описаний кут - кут, утворений двома дотичними, проведеними з однієї точки.

Ця формула є основою визначення радіанного вимірювання кутів. Радіанний захід будь-якого кута - це відношення довжини дуги, проведеної довільним радіусом і укладеної між сторонами цього кута, до її радіусу.

Співвідношення між елементами кола.

Вписаний кут дорівнює половині центрального кута, що спирається на ту саму дугу. Отже, всі вписані кути, що спираються на ту саму дугу, рівні. Оскільки центральний кут містить таку кількість градусів, як і його дуга, будь-який вписаний кут вимірюється половиною дуги, яку він спирається.

Всі вписані кути, що спираються на півколо, прямі.

Кут, утворений двома хордами, вимірюється напівсумою дуг, укладених між його сторонами.

Кут, утворений двома січними, вимірюється напіврізністю дуг, укладених між його сторонами.

Кут, утворений дотичною та хордою, вимірюється половиною дуги, укладеної всередині нього.

Кут, утворений дотичною та січною, вимірюється напіврізністю дуг, укладених між його сторонами.

Описаний кут, утворений двома дотичними, вимірюється напіврізністю дуг, укладених між його сторонами.

Твори відрізків хорд, куди вони діляться точкою перетину, рівні.

Квадрат дотичної дорівнює добутку січе на її зовнішню частину.

Хорда, перпендикулярна діаметру, ділиться у тому точці перетину навпіл.

Вписаним у коло називається багатокутник, вершини якого розташовані на колі. Описаним біля кола називається багатокутник, сторони якого стосуються кола. Відповідно, коло, що проходить через вершини багатокутника, називається описаним біля багатокутника; коло, для якого сторони багатокутника є дотичні, називається вписаною в багатокутник. Для довільного багатокутника неможливо вписати до нього та описати біля нього коло. Для трикутника ця можливість існує завжди.

У чотирикутник можна вписати коло, якщо суми його протилежних сторін дорівнюють. Для паралелограм це можливо тільки для ромба (квадрата). Центр вписаного кола розташований у точці перетину діагоналей. Біля чотирикутника можна описати коло, якщо сума його протилежних кутів дорівнює 180°. Для паралелограм це можливо тільки для прямокутника (квадрата). Центр описаного кола лежить у точці перетину діагоналей. Навколо трапеції можна описати коло, якщо вона рівнобічна. Правильний багатокутник – це багатокутник з рівними сторонами та кутами.

Правильний чотирикутник – це квадрат; правильний трикутник – рівносторонній трикутник. Кожен кут правильного багатокутника дорівнює 180 ° (n - 2) / n, де n - число його кутів. Усередині правильного багатокутника існує точка O, рівновіддалена від усіх його вершин, яка називається центром правильного багатокутника. Центр правильного багатокутника також рівновіддалений від усіх сторін. У правильний багатокутник можна вписати коло і біля нього можна описати коло. Центри вписаного та описаного кіл збігаються з центром правильного багатокутника. Радіус описаного кола – це радіус правильного багатокутника, а радіус вписаного кола – його апофема.

Основні аксіоми стереометрії.

Якою б не була площина, існують точки, що належать до цієї площини, і точки, що не належать їй.

Якщо дві різні площини мають загальну точку, всі вони перетинаються по прямій, що проходить через цю точку.

Якщо дві різні прямі мають спільну точку, то через них можна провести одну і лише одну площину.

Через три точки, що лежать на одній прямій, можна провести безліч площин, що утворюють в цьому випадку пучок площин. Пряма, через яку проходять усі площини пучка, називається віссю пучка. Через будь-яку пряму і точку, що лежить поза цією прямою, можна провести одну і одну площину. Через дві прямі не завжди можна провести площину, тоді ці прямі називаються такими, що схрещуються.

Схрещувальні прямі не перетинаються, скільки б їх не продовжувати, але вони не є паралельними прямими, тому що не лежать в одній площині. Тільки паралельні прямі є лініями, що не перетинаються, через які можна провести площину. Різниця між схрещуються і паралельними прямими полягає в тому, що паралельні прямі мають однаковий напрямок, а схрещуються – ні. Через дві прямі, що перетинаються, завжди можна провести одну і тільки одну площину. Відстань між двома схрещуються прямими є довжина відрізка, що з'єднує найближчі точки, розташовані на прямих, що схрещуються. Непересічні площини називаються паралельними площинами. Площина та пряма або перетинаються (в одній точці), або ні. В останньому випадку кажуть, що пряма та площина паралельні один одному.

Перпендикуляр, опущений з точки на площину, називається відрізок, що з'єднує цю точку з точкою площини і їсть на прямій, перпендикулярній площині.

Проекцією точки на площину називається основа перпендикуляра, опущеного з точки на площину. Проекцією відрізка на площину є відрізок, кінці якого є проекціями точок даного відрізка.

Двогранним кутом називається фігура, утворена двома напівплощинами із загальною прямою, що обмежує їх. Напівплощини називаються гранями, а пряма, що обмежує їх, - рубом двогранного кута. Площина, перпендикулярна до ребра, дає в її перетині з напівплощинами кут, що називається лінійним кутом двогранного кута. Двогранний кут вимірюється своїм лінійним кутом.

Багатогранний кут. Якщо через точку провести безліч площин, які послідовно перетинаються одна з одною по прямих, то отримаємо фігуру, яка називається багатогранним кутом. Площини, що утворюють багатогранний кут, називаються його гранями; прямі, якими послідовно перетинаються грані називаються ребрами багатогранного кута. Мінімальна кількість граней багатогранного кута дорівнює трьом.

Паралельні площини вирізують на ребрах багатогранного кута, пропорційні відрізки та утворюють подібні багатокутники.

Ознаки паралельності прямої та площини.

Якщо пряма, що лежить поза площиною, паралельна будь-якій прямій, що лежить у цій площині, вона паралельна цій площині.

Якщо пряма і площина перпендикулярні до однієї і тієї ж прямої, то вони паралельні.

Ознаки паралельності площин:

• Якщо дві прямі, що перетинаються, однієї площини відповідно паралельні двом перетинаються прямим інший площині, то ці площини паралельні.
• Якщо дві площини перпендикулярні до однієї і тієї ж прямої, то вони паралельні.
• Ознаки перпендикулярності прямої та площини.
• Якщо пряма перпендикулярна двом прямим, що перетинаються, лежать у площині, то вона перпендикулярна цій площині.
• Якщо площина перпендикулярна до однієї з паралельних прямих, то вона перпендикулярна до іншої.

Пряма, що перетинає площину і не перпендикулярна до неї, називається похилою до площини.

Теорема про три перпендикуляри

Пряма, що лежить у площині і перпендикулярна до проекції похилої до цієї площини, перпендикулярна і найпохилішій.

Ознаки паралельності прямих у просторі:

• Якщо дві прямі перпендикулярні до однієї і тієї ж площини, то вони паралельні.
• Якщо в одній із площин, що перетинаються, лежить пряма, паралельна іншій площині, то вона паралельна лінії перетину площин.

Рівняння прямої на площині прямокутної системи координат xy:
ax + bx + c = 0, де a, b, c - постійні числа, x та y -координати змінної точки M(x, y) на прямій.

Ознаки паралельності прямих:

Ознака перпендикулярності площин: якщо площина проходить через пряму, перпендикулярну до іншої площини, то ці площини перпендикулярні.

Теорема про загальний перпендикуляр до двох схрещуються прямим.Для будь-яких двох прямих, що схрещуються, існує єдиний загальний перпендикуляр.

Багатогранник- це тіло, межа якого складається з шматків площин (багатокутників). Ці багатокутники називаються гранями, їхні сторони – ребрами, їхні вершини – вершинами багатогранника. Відрізки, що з'єднують дві вершини і не лежать однією грані, називаються діагоналями багатогранника. Багатогранник – опуклий, якщо всі його діагоналі розташовані всередині нього.

Куб- об'ємна фігура із шістьма рівними гранями.

Об'єм та площа поверхні куба:

Призмою називається багатогранник, дві грані якого (основи призми) - рівні багатокутники з паралельними сторонами, а інші грані - паралелограми.

Відрізки, що з'єднують відповідні вершини, називаються бічними ребрами. Висота призми - це будь-який перпендикуляр, опущений із будь-якої точки основи на площину іншої основи. Залежно від форми багатокутника, що лежить в основі, призма може бути відповідно трикутною, чотирикутною, п'ятикутною, шестикутною і т. д. Якщо бічні ребра призми перпендикулярні до площини основи, то така призма називається прямою; інакше це похила призма. Якщо підставі прямої призми лежить правильний багатокутник, то така призма також називається правильною. Діагоналлю призми називається відрізок, що з'єднує дві вершини призми, що не належать до однієї грані.

Площа бічної поверхні прямої призми:
S бік = P*H, де P – периметр основи, а H – висота.

Паралелепіпед- це призма, основи якої є паралелограми. Таким чином, паралелепіпед має шість граней, і всі вони – паралелограми. Протилежні грані попарно рівні та паралельні. У паралелепіпеда чотири діагоналі; вони всі перетинаються в одній точці і діляться в ній навпіл.

Якщо чотири бічні грані паралелепіпеда - прямокутники, він називається прямим. Прямий паралелепіпед, у якого всі шість граней – прямокутники, називається прямокутним. Діагональ прямокутного паралелепіпеда d та його ребра a, b, c пов'язані співвідношенням d2 = a2 + b2 + c2. Прямокутний паралелепіпед, усі грані якого квадрати, називається кубом. Усі ребра куба рівні.

Об'єм та площа поверхні прямокутного паралелепіпеда:
V = a * b * c, S повний = 2 (ab + ac + bc).

Піраміда- це багатогранник, у якого одна грань (основа піраміди) є довільним багатокутником, а інші грані (бічні грані) – трикутники із загальною вершиною, званою вершиною піраміди. Перпендикуляр, опущений із вершини піраміди на її основу, називається висотою піраміди. Залежно від форми багатокутника, що лежить у підставі, піраміда може бути, відповідно, трикутною, чотирикутною, п'ятикутною, шестикутною і т. д. Трикутна піраміда є тетраедром, чотирикутна – п'ятигранником тощо. багатокутник, а її висота падає у центр основи. Усі бічні ребра правильної піраміди рівні; всі бічні грані – рівнобедрені трикутники. Висота бічної грані називається апофемою правильної піраміди.

Якщо провести переріз, паралельне основи піраміди, тіло, укладене між цими площинами і бічною поверхнею, називається усіченою пірамідою. Паралельні грані називаються основами; відстань між ними – висотою. Усічена піраміда називається правильною, якщо піраміда, з якої вона була отримана, - правильна. Усі бічні грані правильної усіченої піраміди – рівні рівнобічні трапеції.

Площа бічної поверхні правильної піраміди:
де P - периметр основи; h – висота бічної грані (апофема правильної піраміди).

Об'єм усіченої піраміди:

Площа бічної поверхні правильної усіченої піраміди:
,
де P і P - периметри основ; h – висота бічної грані (апофема правильної усіченої піраміди).

Циліндрична поверхня утворюється при русі прямої, що зберігає свій напрямок і перетинається із заданою лінією (кривою). Ця лінія називається напрямною. Прямі, відповідні різним положенням прямий за її русі, називаються утворюючими циліндричної поверхні.

Циліндром називається тіло, обмежене циліндричною поверхнею із замкненою напрямною та двома паралельними площинами. Частини цих площин називаються основами циліндра. Відстань між основами – висота циліндра. Циліндр прямий, якщо його утворюють перпендикулярні до основи; інакше циліндр похилий. Циліндр називається круговим, якщо його основа - коло. Якщо циліндр є і прямим, і круговим, він називається круглим. Призма є окремим випадком циліндра.

Об'єм, площі бічної та повної поверхонь циліндра:
,
де R - радіус основ; H – висота циліндра.

Циліндричні перерізи бічної поверхні кругового циліндра.

Перерізи, паралельні підставі, - кола того ж радіусу.

Перерізи, паралельні утворюючим циліндрам, - пари паралельних прямих.

Перерізи, які не паралельні ні підставі, ні утворюючим, – еліпси.

Конічна поверхня утворюється при русі прямий, що проходить весь час через нерухому точку, і перетинає за цю лінію, яка називається напрямною. Прямі, відповідні різним положенням прямий за її русі, називаються утворюючими конічної поверхні; точка – її вершиною. Конічна поверхня і двох частин: одна описується променем, інша - його продовженням.

Зазвичай як конічної поверхні розглядають одну з її частин.

Конус- це тіло, обмежене однією з частин конічної поверхні із замкнутою направляючою та перетинає конічну поверхню площиною, що не проходить через вершину.

Частина цієї площини, розташованої всередині конічної поверхні, називається основою конуса. Перпендикуляр, опущений з вершини основи, називається висотою конуса.

Піраміда є окремим випадком конуса. Конус називається круговим, якщо його основою є коло. Пряма, що з'єднує вершину конуса із центром основи, називається віссю конуса. Якщо висота кругового конуса збігається з його віссю, такий конус називається круглим.

Об'єм, площі бічної та повної поверхонь конуса:
,
де r – радіус; Sосн – площа; P – довжина кола основи; L - довжина твірної; H – висота конуса.

Об'єм та площа бічної поверхні усіченого конуса:

Конічні перерізи.

Перерізи кругового конуса, паралельні його основи, - кола.

Перетин, що перетинає лише одну частину кругового конуса і не паралельний жодній його утворюючій, - еліпс.

Перетин, що перетинає лише одну частину кругового конуса і паралельне до однієї з його утворюючих, - парабола.

Перетин, що перетинає обидві частини кругового конуса, є гіперболою, що складається з двох гілок. Зокрема, якщо цей переріз проходить через вісь конуса, то отримуємо пару прямих, що перетинаються (утворюють конус).

Сферична поверхня- це геометричне місце точок у просторі, рівновіддалених від однієї точки, що називається центром сферичної поверхні.

Куля (сфера)- Це тіло, обмежене сферичною поверхнею. Можна отримати шар, обертаючи півколо (або коло) навколо діаметра. Усі плоскі перерізи кулі – кола. Найбільше коло лежить у перетині, що проходить через центр кулі, і називається великим колом. Його радіус дорівнює радіусу кулі. Будь-які два великі кола перетинаються по діаметру кулі. Цей діаметр є і діаметром великих кіл, що перетинаються. Через дві точки сферичної поверхні, розташовані на кінцях одного діаметра, можна провести безліч великих кругів.

Об'єм кулі в півтора рази менший за об'єм описаного навколо нього циліндра, а поверхня кулі в півтора рази менша за повну поверхню того ж циліндра.

Рівняння сфери у прямокутній системі координат:
(x-x0)+(y-y)2+ (z-z0)= R2,
тут x, y, z – координати змінної точки на сфері;
x0, y0, z0 – координати центру;
R – радіус сфери.

Об'єм кулі та площа сфери:

Об'єм кульового сегмента та площа сегментної поверхні:
,
де h – висота кульового сегмента.

Об'єм та площа повної поверхні кульового сектора:
,
де R – радіус кулі; h – висота кульового сегмента.

Об'єм та площа повної поверхні шарового шару:
,
де h – висота; r1 і r2 - радіуси основ шарового шару.

Об'єм та площа поверхні тора:
,
де r – радіус кола; R – відстань від центру кола до осі обертання.

Середня кривизна поверхні S у точці A0:

Частини кулі. Частина кулі (сфери), що відсікається від нього якоюсь площиною, називається кульовим (сферичним) сегментом. Коло називається основою шарового сегмента. Відрізок перпендикуляра, проведеного із центру кола до перетину зі сферичною поверхнею, називається висотою шарового сегмента. Частина сфери, укладена між двома паралельними площинами, що перетинають сферичну поверхню, називається шаровим шаром; крива поверхня шарового шару називається шаровим поясом (зоною). Відстань між основами кульового пояса – його висота. Частина кулі, обмежена кривою поверхнею сферичного сегмента та конічною поверхнею, основою якої служить основа сегмента, а вершиною – центр кулі, називається кульовим сектором.

симетрія.

Дзеркальна симетрія. Геометрична фігура називається симетричною щодо площини S, якщо для кожної точки E цієї фігури може бути знайдена точка E' цієї ж фігури, так що відрізок EE перпендикулярний площині S і ділиться цією площиною навпіл. Площина S називається площиною симетрії. Симетричні фігури, предмети та тіла не рівні один одному у вузькому значенні слова, вони називаються дзеркально рівними.

Центральна симетрія. Геометрична фігура називається симетричною щодо центру C, якщо для кожної точки A цієї фігури може бути знайдена точка E цієї фігури, так що відрізок AE проходить через центр C і ділиться в цій точці навпіл. Крапка C у разі називається центром симетрії.

Симетрія обертання. Тіло має симетрію обертання, якщо при повороті на кут 360°/n (n - ціле число) навколо деякої прямої AB (осі симетрії) воно повністю співпадає зі своїм початковим становищем. При n=2 маємо осьову симетрію.

Приклади видів симетрії.Куля (сфера) має і центральну, і дзеркальну і симетрію обертання. Центром симетрії є центр кулі; площиною симетрії є площина будь-якого кола; віссю симетрії – діаметр кулі.

Круглий конус має осьову симетрію; вісь симетрії – вісь конуса.

Пряма призма має дзеркальну симетрію. Площина симетрії паралельна її основам і розташована на однаковій відстані між ними.

Симетрія плоских фігур.

Дзеркальноосьова симетрія. Якщо плоска фігура симетрична щодо площини (що можливо, якщо тільки плоска фігура перпендикулярна цій площині), то пряма, якою ці площини перетинаються, є віссю симетрії другого порядку даної фігури. В цьому випадку фігура називається дзеркально-симетричною.

Центральна симетрія. Якщо плоска фігура має вісь симетрії другого порядку, перпендикулярну до площини фігури, то точка, в якій перетинаються пряма і площина фігури, є центром симетрії.

Приклади симетрії плоских фігур.

Паралелограм має лише центральну симетрію. Його центр симетрії – точка перетину діагоналей.
Рівнобічна трапеція має лише осьову симетрію. Її вісь симетрії – перпендикуляр, проведений через середини основ трапеції.

Ромб має і центральну, і осьову симетрію. Його вісь симетрії - кожна з його діагоналей; центр симетрії – точка їх перетину.

Геометричним місцем точок (надалі ГМТ), називається фігура площини, що складається з точок, які мають деяку властивість, і не містить жодної точки, що не володіє цією властивістю.

Ми розглядатимемо лише ті ГМТ, які можна побудувати за допомогою циркуля та лінійки.

Розглянемо ГМТ на площині, що володіють найпростішими властивостями, що найчастіше виражаються:

1) ГМТ, що віддалені на даній відстані r від даної точки, є коло з центром в точці Про радіуса r.

2) ГМТ рівновіддалених від двох даних точок А і В є пряма, перпендикулярна до відрізка АВ і проходить через його середину.

3) ГМТ рівновіддалених від двох даних прямих, що перетинаються, є пара взаємно перпендикулярних прямих, що проходять через точку перетину і ділять кути між даними прямими навпіл.

4) ГМТ, що знаходяться на однаковій відстані h від прямої, є дві прямі, паралельні цій прямій і що знаходяться по різні боки від неї на даній відстані h.

5) Геометричне місце центрів кіл, що стосуються даної прямої m у цій ній точці М, є перпендикуляр до АВ у точці М (крім точки М).

6) Геометричне місце центрів кіл, що стосуються даного кола в даній на ній окулярі М, є пряма, що проходить через точку М і центр даного кола (крім точок М і О).

7) ГМТ, з яких даний відрізок видно під даним кутом, становить дві дуги кіл, описаних на даному відрізку і вміщують цей кут.

8) ГМТ, відстані від яких до двох даних точок А і В знаходяться у відношенні m: n, є коло (назване коло Аполлонія).

9) Геометричне місце середин хорд, проведених з однієї точки кола, є коло, побудована на відрізку, що з'єднує цю точку з центром даного кола, як на діаметрі.

10) Геометричне місце вершин трикутників рівновеликих даному і мають загальну основу, становить дві прямі, паралельні основи і проходять через вершину даного трикутника і йому симетричного щодо прямої, що містить основу.

Наведемо приклади пошуку ГМТ.

ПРИКЛАД 2.Знайти ГМТ, що є серединами хорд,проведених з однієї точки даного кола(ГМТ №9).

Рішення . Нехай дане коло з центром О і на цьому колі обрано точку А з якої проводяться хорди. Покажемо, що шукане ГМТ є коло, побудоване на АТ як діаметрі (крім точки А) (рис. 3).

Нехай АВ – деяка хорда та М – її середина. З'єднаємо М і О. Тоді МО^АВ (радіус, що ділить хорду навпіл, перпендикулярний цій хорді). Але тоді ÐАМО = 90 0 . Значить М належить колу з діаметром АТ (ГМТ № 7). Т.к. це коло проходить через точку О, то належить нашому ГМТ.

Назад, нехай М належить нашому ГМТ. Тоді, провівши через М хорду АВ і з'єднавши М і О, отримаємо, що ÐАМО = 900, тобто. МО ^ АВ, отже, М - середина хорди АВ. Якщо ж М збігається з О, то - середина АС.

Часто метод координат дозволяє шукати ГМТ.

ПРИКЛАД 3.Знайти ГМТ, відстань від яких до двох даних точок А і знаходяться в даному відношенні m: n (m ≠ n).

Рішення . Виберемо прямокутну систему координат так, щоб точки А та В розташовувалися на осі Ох симетрично щодо початку координат, а вісь Оу проходила через середину АВ (рис.4). Покладемо АВ = 2а. Тоді точка А має координати А (a, 0), точка - координати В (-a, 0). Нехай З належить нашому ГМТ, координати С(х, у) та CB/CA = m/n.Але Значить

(*)

Перетворимо нашу рівність. Маємо

Тіла відрізняються один від одного вагою, кольором, щільністю, твердістю, місцем, яке вони займають, і т.д.

Ці ознаки називаються властивостями тіл.

Тіла, що мають ці властивості, називаються фізичними тілами.

Між цими властивостями особливої ​​уваги заслуговує властивість тіла, що називається протяжністю.

Протяжністьє властивість тіла займати у просторі певне місце.

Його називають геометричною властивістю тіла. Цією властивістю визначається форма та величина тіла.

Тіло, що має тільки одну властивість протяжності, називається геометричним тілом. Розглядаючи геометричне тіло, звертають увагу лише на його форму та величину.

Інші властивості тіла називаються фізичними.

Геометричне тілоє місце, яке займає фізичне тіло.

Геометричне тіло обмежене з усіх боків. Воно відокремлюється від решти простору поверхнею тіла. Щоб висловити це, кажуть, що

Поверхняє межа тіла.

Одна поверхня відокремлюється від іншої лінією. Лінія обмежує поверхню, тому лінію називають межею поверхні.

Лініяє межа поверхні.

Кінець лінії називається точкою. Точка обмежує та відокремлює одну лінію від іншої, тому точку називають межею лінії.

Крапкає межа лінії.

На кресленні 1 зображено тіло, що має форму закритого з усіх боків ящика. Воно обмежено шістьма сторонами, що утворюють поверхню ящика. На кожну сторону ящика можна дивитися як на окрему поверхню. Ці сторони відокремлюються одна від одної 12 лініями, що утворюють ребра ящика. Лінії ж відокремлюються одна від одної 8 точками, що становлять кути ящика.

Тіла, поверхні та лінії бувають неоднакової величини. Це означає, що вони займають неоднаковий простір, або неоднаковий протяг.

Об'єм тіла. Розмір геометричного тіла називається обсягом чи місткістю тіла.

Площа поверхні. Величина поверхні називається площею.

Довжина лінії. Розмір лінії називається довжиною.

Довжина, площа та обсяг є різнорідними величинами. Вони вимірюються різними одиницями і використовуються для різних цілей. Щоб знайти відстань двох предметів, ширину руки, глибину колодязя, висоту вежі визначають довжину лінії. Для цього роблять тільки один вимір, тобто вимірюють в одному напрямку. При вимірі вдаються до одиниць довжини. Ці одиниці довжини називаються верстами, сажнями, аршинами, футами, метрами і т. д. Одиниця довжини має один вимір, тому й кажуть, що

Лінії мають один вимір. Лінії немає ні ширини, ні товщини. Вони мають одну довжину.

Щоб мати уявлення про розміри картини, потрібно знати її довжину та ширину. Довжина та ширина дають поняття про площу картини. Для визначення площі необхідно зробити два виміри, або виміряти картину у двох напрямках. Для визначення величини площі вдаються до одиниць площ. За одиницю площ беруть квадрат, сторони якого мають певну одиницю довжини. Одиниці площ називаються квадратними милями, квадратними верстами, квадратними футами і т. д. Квадратна верста є площа квадрата, у якого кожна сторона дорівнює версте, і т. д. Одиниця площ має два виміри: довжину та ширину. Оскільки поверхні вимірюються одиницями площ, то цьому сенсі кажуть, що

Поверхні мають два виміри. Поверхні немає товщини. Вони можуть мати лише довжину та ширину.

Щоб мати уявлення про місткість кімнати чи скриньки, потрібно знати їх обсяги. Для цього потрібно знати довжину, ширину та висоту кімнати, тобто зробити три виміри або виміряти її у трьох напрямках. Обсяги вимірюються одиницями обсягу. За одиницю обсягу приймають куб, кожна сторона якого дорівнює одиниці. Одиниці об'єму мають три виміри: довжину, ширину та висоту. Оскільки обсяги вимірюються одиницями обсягів, то й кажуть, що

Тіла мають три виміри.

Одиниці обсягів називаються кубічними верстами, кубічними футами тощо. буд. Дивлячись по довжині боку куба.

Крапка не має ні довжини, ні ширини, ні висоти, або точка не має виміру.

Геометричні протяги. Лінії, поверхні та тіла називаються геометричними протяженнями.

Геометрія є наука про властивості та вимірювання геометричних протяжень.

Геометрія - наука про простір. У ньому викладається сукупність необхідних відносин, що з природою простору.

Утворення геометричних перебігів рухом

На лінію можна дивитися так само, як на слід, що залишається рухом точки, на поверхню як на слід, що залишається рухом лінії і на тіло як на слід, що залишається рухом поверхні. На цих міркуваннях засновані інші визначення лінії, поверхні та тіла.

Лінія є геометричне місце точки, що рухається.

Поверхня є геометричне місце лінії, що рухається.

Тіло є геометричне місце поверхні, що рухається.

Всі предмети, що розглядаються в природі, мають три виміри. У ній немає ні точок, ні ліній, ні поверхонь, а є лише тіла. Однак у геометрії розглядають точки, лінії та поверхні окремо від тіл. При цьому деяке наближене уявлення про поверхню дає нам дуже тонка оболонка тіла, наочне уявлення про лінію дає дуже тонка нитка або волосок і про точку кінець нитки.

Лінії

Лінії поділяються на прямі, ламані та криві.

є найкоротша відстань між двома точками.

Сильно натягнута тонка нитка дає деяке наочне уявлення про пряму лінію.

Будь-яку лінію позначають буквами, поставленими за її точках. Креслення 2 зображує пряму лінію AB. У будь-якій прямій лінії звертають увагу на її напрямокі величину.

Напрямок прямої лінії визначається її положенням.

є послідовне і безперервне з'єднання кількох прямих, що мають неоднаковий напрямок.

Ламана лінія ABCD (чорт. 3) складена з прямих AB, BC, CD, що мають різний напрямок.

є така, яка не може бути складена з прямих.

Лінія, зображена на рис. 4 буде кривою лінією.

Лінія, складена з прямих та кривих, називається іноді складовою лінією.

Креслення (4, а) представляє таку складову лінію.

Поверхні

Поверхні поділяються на прямі або плоскі та криві. Плоска поверхня називається площиною.

Площина. Поверхня називається площиною у разі, коли будь-яка пряма лінія, проведена через кожні дві точки поверхні, лежить у ньому усіма своїми точками.

Крива поверхня є така, яка не може бути складена з площин.

Пряма лінія, проведена між будь-якими двома точками кривої поверхні, не міститься на ній усіма своїми проміжними точками.

Деяке наочне уявлення про площину дає поверхню полірованого дзеркала або поверхню стоячої води. Прикладом кривих поверхонь може бути поверхня більярдної кулі.

Розділи геометрії

Геометрія ділиться на планиметрію та стереометрію.

Планіметрія вивчає властивість геометричних протяжень, що розглядаються на площині.

Стереометрія вивчає властивості таких геометричних протяжень, які можуть бути представлені в одній площині.

Планіметрія називається геометрією на площині, стереометрія – геометрією у просторі.

Геометрія поділяється ще на початкову та вищу.У цьому творі пропонується виклад лише початкової геометрії.

Різні форми вираження геометричних істин

Геометричні істини виражаються у формі аксіом, теорем, лем та проблем або завдань.

Аксіома є істина, але своєї очевидності не потребує доказів.

Прикладами істин, які вимагають докази, можуть бути такі аксіоми:

Ціле одно сумі своїх частин.

Ціле більше за свою частину. Частини менше за ціле.

Дві величини, рівні однієї і тієї ж третьої, рівні між собою.

Додавши або віднімаючи з рівних величин порівну, отримаємо рівні рівні.

Додавши або віднімаючи з рівних величин не порівну, отримаємо величини нерівні.

Додавши або віднімаючи з нерівних величин порівну, отримаємо величини нерівні.

Сума більша за суму менших величин.

Однорідна величина, яка не більша і не менша за іншу, дорівнює їй і т.д.

Теорема. Теоремою або припущенням називається істина, яка потребує доказів.

Доведення є сукупність міркувань, які роблять теорему очевидною.

Теорема доводиться з допомогою аксіом.

Склад теореми. Будь-яка теорема складається з умови та укладання.

Умова називається іноді припущенням, припущенням, а висновок називають іноді наслідком. Умова дана і тому отримує іноді назву даного.

Теорема називається зворотною, якщо висновок робиться умовою, а умова чи припущення укладанням. У разі дана теорема називається прямою. Не всяка теорема має свою зворотну.

Проблема чи завдання є питання, яке дозволяється за допомогою теорем.

Лемма є допоміжна істина, що полегшує доказ теореми.