Кут між двома прямими онлайн. Кут між прямими на площині

Цей матеріалприсвячений такому поняттю, як кут між двома прямими, що перетинаються. У першому пункті ми пояснимо, що він являє собою, і покажемо його на ілюстраціях. Потім розберемо, як можна знайти синус, косинус цього кута і сам кут (окремо розглянемо випадки з площиною і тривимірним простором), наведемо потрібні формулиі покажемо з прикладів, як вони застосовуються практично.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Щоб зрозуміти, що таке кут, що утворюється при перетині двох прямих, нам потрібно згадати саме визначення кута, перпендикулярності і точки перетину.

Визначення 1

Ми називаємо дві прямі, що перетинаються, якщо у них є одна спільна точка. Ця точка називається точкою перетину двох прямих.

Кожна пряма поділяється точкою перетину на промені. Обидві прямі при цьому утворюють 4 кути, з яких два вертикальні, а два суміжні. Якщо ми знаємо міру одного з них, то можемо визначити й інші.

Допустимо, нам відомо, що один із кутів дорівнює α . У такому разі кут, який є вертикальним по відношенню до нього, теж дорівнюватиме α . Щоб знайти кути, що залишилися, нам треба обчислити різницю 180° - α . Якщо α дорівнюватиме 90 градусам, то всі кути будуть прямими. Лінії, що перетинаються під прямим кутом, називаються перпендикулярними (поняттю перпендикулярності присвячена окрема стаття).

Погляньте на малюнок:

Перейдемо до формулювання основного визначення.

Визначення 2

Кут, утворений двома прямими, що перетинаються, - це міра меншого з 4-х кутів, які утворюють дві ці прямі.

З визначення потрібно зробити важливий висновок: розмір кута в цьому випадку буде виражено будь-яким дійсним числомв інтервалі (0 , 90 ) Якщо прямі є перпендикулярними, то кут між ними в будь-якому випадку дорівнюватиме 90 градусам.

Уміння знаходити міру кута між двома прямими, що перетинаються, корисно для вирішення багатьох практичних завдань. Метод вирішення можна вибрати із кількох варіантів.

Спочатку ми можемо взяти геометричні методи. Якщо нам відомо щось про додаткові кути, то можна пов'язати їх з потрібним нам кутом, використовуючи властивості рівних або подібних фігур. Наприклад, якщо ми знаємо сторони трикутника і потрібно вирахувати кут між прямими, на яких ці сторони розташовані, то для вирішення нам підійде теорема косінусів. Якщо у нас є умова прямокутний трикутник, то для підрахунків нам знадобиться знання синуса, косинуса і тангенса кута.

Координатний метод теж дуже зручний вирішення завдань такого типу. Пояснимо, як правильно його використати.

У нас є прямокутна (декартова) система координат O x y, в якій задані дві прямі. Позначимо їх літерами a та b . Прямі у своїй можна описати з допомогою будь-яких рівнянь. Вихідні прямі мають точку перетину M . Як визначити кут (позначимо його α) між цими прямими?

Почнемо з формулювання основного принципу знаходження кута у заданих умовах.

Нам відомо, що з поняттям прямої лінії тісно пов'язані такі поняття, як напрямний та нормальний вектор. Якщо ми маємо рівняння деякої прямої, з нього можна взяти координати цих векторів. Ми можемо зробити це відразу для двох прямих, що перетинаються.

Кут, утворений двома прямими, що перетинаються, можна знайти за допомогою:

• кута між напрямними векторами;
• кута між нормальними векторами;
• кута між нормальним вектором однієї прямої та напрямним вектором інший.

Тепер розглянемо кожний спосіб окремо.

1. Припустимо, що у нас є пряма a з напрямним вектором a → = (a x , a y) і пряма b з напрямним вектором b → (b x , b y) . Тепер відкладемо два вектори a → та b → від точки перетину. Після цього ми побачимо, що вони розташовуватимуться кожен на своїй прямій. Тоді у нас є чотири варіанти їх взаємного розташування. ілюстрацію:

Якщо кут між двома векторами не є тупим, то він і буде потрібним нам кутом між прямими a і b , що перетинаються. Якщо ж він тупий, то шуканий кут буде дорівнює куту, суміжному з кутом a → , b → ^. Отже, α = a → , b → ^ у разі, якщо a → , b → ^ ≤ 90 ° , і α = 180 ° - a → , b → ^ , якщо a → , b → ^ > 90 ° .

Виходячи з того, що косинуси рівних кутів рівні, ми можемо переписати рівністі, що вийшли так: cos α = cos a → , b → ^ , якщо a → , b → ^ ≤ 90 ° ; cos α = cos 180 ° - a → , b → ^ = - cos a → , b → ^ , якщо a → , b → ^ > 90 ° .

У другому випадку було використано формули приведення. Таким чином,

cos α cos a →, b → ^, cos a →, b → ^ 0 - cos a →, b → ^, cos a →, b → ^< 0 ⇔ cos α = cos a → , b → ^

Запишемо останню формулу словами:

Визначення 3

Косинус кута, утвореного двома прямими, що перетинаються, буде дорівнює модулюкосинуса кута між його напрямними векторами.

Загальний вигляд формули косинуса кута між двома векторами a → = (a x , a y) та b → = (b x , b y) виглядає так:

cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → · b → = a x · b x + a y + b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2

З неї ми можемо вивести формулу косинуса кута між двома заданими прямими:

cos α = a x · b x + a y + b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2 = a x · b x + a y + b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2

Тоді сам кут можна знайти за такою формулою:

α = a r c cos a x · b x + a y + b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2

Тут a → = (a x , a y) та b → = (b x , b y) – це напрямні вектори заданих прямих.

Наведемо приклад розв'язання задачі.

Приклад 1

У прямокутній системі координат на площині задані дві прямі, що перетинаються, a і b . Їх можна описати параметричними рівняннями x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ ∈ R та x 5 = y - 6 - 3 . Обчисліть кут між цими прямими.

Рішення

У нас є умова параметричне рівнянняОтже, для цієї прямої ми одразу можемо записати координати її напрямного вектора. І тому потрібно взяти значення коефіцієнтів при параметрі, тобто. пряма x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ ∈ R матиме напрямний вектор a → = (4 , 1) .

Друга пряма описана за допомогою канонічного рівняння x 5 = y-6-3. Тут координати ми можемо взяти із знаменників. Таким чином, у цій прямій є напрямний вектор b → = (5 - 3) .

Далі переходимо безпосередньо до знаходження кута. Для цього просто підставляємо наявні координати двох векторів у наведену вище формулу α = a r c cos a x · b x + a y + b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2 . Отримуємо таке:

?

Відповідь: дані прямі утворюють кут 45 градусів.

Ми можемо вирішити подібну задачу за допомогою знаходження кута між нормальними векторами. Якщо у нас є пряма a з нормальним вектором n a → = (n a x , n a y) і пряма b з нормальним вектором n b → = (n b x , n b y) , то кут між ними буде дорівнює куту між n a → і n b → або куту, який буде суміжним з n a →, n b → ^. Цей спосіб показаний на малюнку:

Формули для обчислення косинуса кута між прямими, що перетинаються, і самого цього кута за допомогою координат нормальних векторів виглядають так:

cos α = cos n a → , n b → ^ = n a x · n b x + n a y + n b y n a x 2

Тут n a → n b → позначають нормальні вектори двох заданих прямих.

Приклад 2

У прямокутній системі координат задані дві прямі за допомогою рівнянь 3 x + 5 y – 30 = 0 та x + 4 y – 17 = 0 . Знайдіть синус, косинус кута між ними та величину самого цього кута.

Рішення

Вихідні прямі задані за допомогою нормальних рівняньпрямий виду A x + B y + C = 0. Нормальний вектор позначимо n → = (A, B). Знайдемо координати першого нормального векторадля однієї прямої та запишемо їх: n a → = (3 , 5) . Для другої прямої x + 4 y - 17 = 0 нормальний вектор матиме координати n b → = (1, 4). Тепер додамо отримані значення формулу і підрахуємо результат:

cos α = cos n a → , n b → ^ = 3 · 1 + 5 · 4 3 2 + 5 2 · 1 2 + 4 2 = 23 34 · 17 = 23 2 34

Якщо нам відомий косинус кута, ми можемо обчислити його синус, використовуючи основне тригонометрична тотожність. Оскільки кут α, утворений прямими, не тупий, то sin α = 1 - cos 2 α = 1 - 23 2 34 2 = 7 2 34 .

У такому разі α = r c cos 23 2 34 = r c sin 7 2 34 .

Відповідь: cos α = 23 2 34 , sin α = 7 2 34 , α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34

Розберемо останній випадок– знаходження кута між прямими, якщо нам відомі координати напрямного вектора однієї прямої та нормального вектора іншої.

Припустимо, що пряма a має напрямний вектор a → = (a x , a y) , а пряма b – нормальний вектор n b → = (n b x , n b y) . Нам треба відкласти ці вектори від точки перетину та розглянути всі варіанти їхнього взаємного розташування. на картинці:

Якщо величина кута між заданими векторамине більше 90 градусів, виходить, що він доповнюватиме кут між a і b до прямого кута.

a → , n b → ^ = 90 ° - α у разі, якщо a → , n b → ^ ≤ 90 ° .

Якщо він менший за 90 градусів, то ми отримаємо наступне:

a → , n b → ^ > 90 ° , тоді a → , n b → ^ = 90 ° + α

Використовуючи правило рівності косінусів рівних кутів, запишемо:

cos a → , n b → ^ = cos (90 ° - α) = sin α при a → , n b → ^ ≤ 90 °.

cos a → , n b → ^ = cos 90 ° + α = - sin α при a → , n b → ^ > 90 ° .

Таким чином,

sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ ≤ 90 ° -- cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 90 ° ⇔ sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 0 - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n b → ^

Сформулюємо висновок.

Визначення 4

Щоб знайти синус кута між двома прямими, що перетинаються на площині, потрібно обчислити модуль косинуса кута між напрямним вектором першої прямої та нормальним вектором другої.

Запишемо необхідні формули. Знаходження синуса кута:

sin α = cos a → , n b → ^ = a x · n b x + a y · n b y a x 2 + a y 2 · n b x 2 + n b y 2

Знаходження самого кута:

α = a r c sin = a x · n b x + a y · n b y a x 2 + a y 2 · n b x 2 + n b y 2

Тут a → є напрямним вектором першої прямої, а n b → нормальним вектором другої.

Приклад 3

Дві прямі, що перетинаються, задані рівняннями x - 5 = y - 6 3 і x + 4 y - 17 = 0 . Знайдіть кут перетину.

Рішення

Беремо координати напрямного та нормального вектора із заданих рівнянь. Виходить a → = (- 5, 3) і n → b = (1, 4). Беремо формулу α = a r c sin = a x · n b x + a y · n b y a x 2 + a y 2 · n b x 2 + n b y 2 і вважаємо:

α = a r c sin = - 5 · 1 + 3 · 4 (- 5) 2 + 3 2 · 1 2 + 4 2 = a r c sin 7 2 34

Зверніть увагу, що ми взяли рівняння з попереднього завдання і отримали такий самий результат, але іншим способом.

Відповідь:α = a r c sin 7 2 34

Наведемо ще один спосіб знаходження потрібного кутаза допомогою кутових коефіцієнтів заданих прямих.

У нас є пряма a , яка задана в прямокутній системі координат за допомогою рівняння y = k 1 · x + b 1 і пряма b , задана як y = k 2 · x + b 2 . Це рівняння прямих із кутовим коефіцієнтом. Щоб знайти кут перетину, використовуємо формулу:

α = a r c cos k 1 · k 2 + 1 k 1 2 + 1 · k 2 2 + 1 де k 1 і k 2 є кутовими коефіцієнтами заданих прямих. Для отримання цього запису було використано формули визначення кута через координати нормальних векторів.

Приклад 4

Є дві прямі, що перетинаються на площині, задані рівняннями y = - 3 5 x + 6 та y = - 1 4 x + 17 4 . Обчисліть величину кута перетину.

Рішення

Кутові коефіцієнти наших прямих дорівнюють k 1 = - 3 5 і k 2 = - 1 4 . Додамо їх у формулу α = a r c cos k 1 · k 2 + 1 k 1 2 + 1 · k 2 2 + 1 та підрахуємо:

α = a r c cos - 3 5 · - 1 4 + 1 - 3 5 2 + 1 · - 1 4 2 + 1 = a r c cos 23 20 34 24 · 17 16 = a r c cos 23 2 34

Відповідь:α = a r c cos 23 2 34

У висновках цього пункту слід зазначити, що наведені тут формули знаходження кута не обов'язково вивчати напам'ять. Для цього достатньо знати координати напрямних та/або нормальних векторів заданих прямих та вміти визначати їх за різним типамрівнянь. А ось формули для обчислення косинуса кута краще запам'ятати або записати.

Як обчислити кут між прямими, що перетинаються, в просторі

Обчислення такого кута можна звести до обчислення координат напрямних векторів та визначення величини кута, утвореного цими векторами. Для таких прикладів використовуються такі самі міркування, які ми наводили до цього.

Допустимо, що у нас є прямокутна системакоординат, розташована в тривимірному просторі. У ній задані дві прямі a та b з точкою перетину M . Щоб визначити координати напрямних векторів, нам потрібно знати рівняння цих прямих. Позначимо напрямні вектори a → = (a x, a y, a z) і b → = (b x, b y, b z). Для обчислення косинуса кута між ними скористаємося формулою:

cos α = cos a → , b → ^ = a → , b → a → · b →

Для знаходження самого кута нам знадобиться ця формула:

α = a r c cos a x · b x + a y · b y + a z · b z a x 2 + a y 2 + a z 2 · b x 2 + b y 2 + b z 2

Приклад 5

Ми маємо пряму, задану в тривимірному просторі за допомогою рівняння x 1 = y - 3 = z + 3 - 2 . Відомо, що вона перетинається із віссю O z . Обчисліть кут перетину та косинус цього кута.

Рішення

Позначимо кут, який треба вирахувати, літерою α . Запишемо координати напрямного вектора для першої прямої - a → = (1, -3, -2). Для осі аплікат ми можемо взяти координатний вектор k → = (0, 0, 1) як напрямний. Ми отримали необхідні дані та можемо додати їх у потрібну формулу:

cos α = cos a → , k → ^ = a → , k → a → · k → = 1 · 0 - 3 · 0 - 2 · 1 1 2 + (-3) 2 + (-2) 2 · 0 2 + 0 2 + 1 2 = 2 8 = 1 2

У результаті ми отримали, що потрібний нам кут дорівнюватиме a r c cos 1 2 = 45 ° .

Відповідь: cos α = 12, α = 45°.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Кожному школяру, який готується до ЄДІ з математики, буде корисно повторити тему «Знаходження кута між прямими». Як показує статистика, при здачі атестаційного випробування задачі даному розділустереометрії викликають труднощі у великої кількостіучнів. При цьому завдання, що вимагають знайти кут між прямими, зустрічаються в ЄДІ як базового, так і профільного рівня. Це означає, що вміти їх вирішувати мають усі.

Основні моменти

У просторі існує 4 типи взаємного розташування прямих. Вони можуть збігатися, перетинатися, бути паралельними або такими, що схрещуються. Кут між ними може бути гострим або прямим.

Для знаходження кута між прямими в ЄДІ або, наприклад, у рішенні школярі Москви та інших міст можуть використовувати кілька способів розв'язання задач по даному розділу стереометрії. Виконати завдання можна шляхом класичних побудов. Для цього варто вивчити основні аксіоми та теореми стереометрії. Школяреві потрібно вміти логічно вибудовувати міркування і створювати креслення, щоб привести завдання до планиметричного завдання.

Також можна використовувати векторно-координатний метод, застосовуючи прості формули, правила та алгоритми Головне в цьому випадку – правильно виконати усі обчислення. Відточити свої навички вирішення завдань із стереометрії та інших розділів шкільного курсувам допоможе освітній проект"Школкове".

Інструкція

Зверніть увагу

Період тригонометричної функціїтангенс дорівнює 180 градусам, отже кути нахили прямих що неспроможні, по модулю, перевищувати цього значення.

Корисна порада

Якщо кутові коефіцієнтирівні між собою, то кут між такими прямими дорівнює 0, оскільки такі прямі або збігаються або паралельні.

Щоб визначити величину кута між схрещуються прямими, необхідно обидві прямі (або одну з них) перенести в нове положення методом паралельного перенесення до перетину. Після цього слід знайти величину кута між отриманими прямими, що перетинаються.

Вам знадобиться

• Лінійка, прямокутний трикутник, олівець, транспортир.

Інструкція

Отже, нехай заданий вектор V = (а, b, с) і площину А x + В y + C z = 0, де А, В і C – координати нормалі N. Тоді косинус кута між векторами V і N дорівнює:сos α = (а А + b + З C)/(√(а² + b² + с²) √(А² + В² + C²)).

Щоб обчислити величину кута в градусах або радіанах, потрібно від виразу розрахувати функцію, зворотну до косинусу, тобто. арккосинус:α = аrссos ((а А + b В + с C)/(√(а² + b² + с²) √(А² + В² + C²))).

Приклад: знайдіть кутміж вектором(5, -3, 8) та площиною, заданою загальним рівнянням 2 x – 5 y + 3 z = 0. Рішення: випишіть координати нормального вектора площини N = (2, -5, 3). Підставте все відомі значенняу наведену формулу: сos α = (10 + 15 + 24)/√3724 ≈ 0,8 → α = 36,87 °.

Відео на тему

Пряма лінія, що має з колом одну загальну точку, є дотичною до кола. Інша особливість дотичної – вона завжди перпендикулярна радіусу, проведеному в точку дотику, тобто дотична і радіус утворюють прямий кут. Якщо з однієї точки А проведено дві дотичні до кола АВ та АС, то вони завжди рівні між собою. Визначення кута між дотичними ( кутАВС) виробляється з допомогою теореми Піфагора.

Інструкція

Для визначення кута необхідно знати радіус кола ОВ і ОС і відстань точки початку дотичної від центру кола - О. Отже, кути АВО і АСО рівні , радіус ОВ, наприклад 10 см, а відстань до центру кола АТ дорівнює 15 см. Визначте довжину дотичної формулою відповідно до теорії Піфагора: АВ = квадратний коріньз АО2 - ОВ2 або 152 - 102 = 225 - 100 = 125;

Буду коротким. Кут між двома прямими дорівнює куту між їх напрямними векторами. Таким чином, якщо вам вдасться знайти координати напрямних векторів a = (x 1 ; y 1 ; z 1) і b = (x 2 ; y 2 ​​; z 2), то зможете знайти кут. Точніше, косинус кута за формулою:

Подивимося, як ця формула працює на конкретних прикладах:

Завдання. У кубі ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 відзначені точки E і F - середини ребер A 1 B 1 і B 1 C 1 відповідно. Знайдіть кут між прямими AE та BF.

Оскільки ребро куба не зазначено, покладемо AB = 1. Введемо стандартну систему координат: початок у точці A, осі x, y, z направимо вздовж AB, AD та AA1 відповідно. Одиничний відрізок дорівнює AB = 1. Тепер знайдемо координати напрямних векторів наших прямих.

Знайдемо координати вектора AE. Для цього нам потрібні точки A = (0; 0; 0) та E = (0,5; 0; 1). Оскільки точка E - середина відрізка A 1 B 1 її координати рівні середньому арифметичному координат кінців. Зауважимо, що початок вектора AE збігається з початком координат, тому AE = (0,5; 0; 1).

Тепер розберемося із вектором BF. Аналогічно, розбираємо точки B = (1; 0; 0) та F = (1; 0,5; 1), т.к. F – середина відрізка B 1 C 1 . Маємо:
BF = (1 − 1; 0,5 − 0; 1 − 0) = (0; 0,5; 1).

Отже, напрямні вектори готові. Косинус кута між прямими - це косинус кута між напрямними векторами, тому маємо:

Завдання. У правильній тригранній призмі ABCA 1 B 1 C 1 всі ребра якої рівні 1 відзначені точки D і E - середини ребер A 1 B 1 і B 1 C 1 відповідно. Знайдіть кут між прямими AD та BE.

Введемо стандартну систему координат: початок координат у точці A, вісь x направимо вздовж AB, z – вздовж AA 1 . Ось y направимо так, щоб площина OXY збігалася з площиною ABC. Одиничний відрізок дорівнює AB = 1. Знайдемо координати напрямних векторів для прямих.

Спочатку знайдемо координати вектора AD. Розглянемо точки: A = (0; 0; 0) та D = (0,5; 0; 1), т.к. D – середина відрізка A 1 B 1 . Оскільки початок вектора AD збігається з початком координат, отримуємо AD = (0,5; 0; 1).

Знайдемо координати вектора BE. Крапка B = (1; 0; 0) вважається легко. З точкою E – серединою відрізка C 1 B 1 – трохи складніше. Маємо:

Залишилося знайти косинус кута:

Завдання. У правильній шестигранній призмі ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 всі ребра якої рівні 1 відзначені точки K і L - середини ребер A 1 B 1 і B 1 C 1 відповідно. Знайдіть кут між прямими AK та BL.

Введемо стандартну для призми систему координат: початок координат помістимо в центр нижньої основи, вісь x направимо вздовж FC, вісь y – через середини відрізків AB та DE, а вісь z – вертикально вгору. Одиничний відрізок знову дорівнює AB = 1. Випишемо координати точок, що цікавлять нас:

Крапки K і L - середини відрізків A 1 B 1 і B 1 C 1 відповідно тому їх координати знаходяться через середнє арифметичне. Знаючи точки, знайдемо координати напрямних векторів AK та BL:

Тепер знайдемо косинус кута:

Завдання. У правильній чотирикутної піраміди SABCD, всі ребра якої дорівнюють 1, відзначені точки E і F - середини сторін SB і SC відповідно. Знайдіть кут між прямими AE та BF.

Введемо стандартну систему координат: початок у точці A, осі x та y направимо вздовж AB і AD відповідно, а ось z направимо вертикально вгору. Поодинокий відрізок дорівнює AB = 1.

Точки E і F - середини відрізків SB і SC відповідно, тому їх координати перебувають як середнє арифметичне кінці. Випишемо координати цікавих для нас точок:
A = (0; 0; 0); B = (1; 0; 0)

Знаючи точки, знайдемо координати напрямних векторів AE та BF:

Координати вектора AE збігаються з координатами точки E, оскільки точка A – початок координат. Залишилося знайти косинус кута: