Прямокутна система координат. Прямокутна система координат на площині

Прямокутна система координат на площині визначається двома взаємно перпендикулярними прямими. Прямі називають осями координат (або координатними осями). Точку перетину цих прямих називають початком відліку та позначають буквою O.

Зазвичай одна з прямих горизонтальна, інша вертикальна. Горизонтальну пряму позначають як вісь x (або Ox) і називають віссю абсцис, вертикальну - вісь y (Oy), називають віссю ординат. Всю систему координат позначають xOy.

Точка O розбиває кожну осі на дві півосі, одну з яких вважають позитивною (її позначають стрілкою), іншу — негативною.

Кожній точці F площині ставиться у відповідність пари чисел (x; y) - її координати.

Координата x називається абсцисою. Вона дорівнює Ox, взятому з відповідним знаком.

Координата y називається ординатою і дорівнює відстані від точки F до осі Oy (з відповідним знаком).

Відстань до осей зазвичай (але не завжди) вимірюють однією і тією самою одиницею довжини.

Крапки, розташовані праворуч від осі y, мають позитивні абсциси. У точок, які лежать ліворуч від осі ординат, абсциси негативні. Для будь-якої точки, що лежить на осі Oy, її координата дорівнює нулю.

Крапки з позитивною ординатою лежать вище від осі x, з негативною — нижче. Якщо точка лежить на осі Ox, то її координата y дорівнює нулю.

Координатні осі розбивають площину на чотири частини, які називають координатними чвертями (або координатними кутами чи квадрантами).

1 координатна чвертьрозташована у правому верхньому кутку координатної площини xOy. Обидві координати точок, розташованих у першій чверті, позитивні.

Перехід від однієї чверті в іншу ведеться проти годинникової стрілки.

2 координатна чвертьзнаходиться у лівому верхньому кутку. Крапки, що лежать у II чверті, мають негативну абсцис і позитивну ординату.

3 координатна чвертьлежить у лівому нижньому квадранті площини xOy. Обидві координати точок, що належать III координатному куту, негативні.

4 координатна чверть- Це правий нижній кут координатної площини. Будь-яка точка з IV чверті має позитивну першу координату та негативну другу.

Приклад розташування точок у прямокутній системі координат:

1. Прямокутна система координат на площині

Прямокутна система координат на площині утворюється двома взаємно перпендикулярними осями координат X"Xі Y"Y O, Яка називається початком координат, на кожній осі обрано позитивний напрямок. В правостороннійсистемі координат позитивний напрямок осей вибирають так, щоб при напрямку осі Y"Yвгору, вісь X"Xдивилася праворуч.

Чотири кути (I, II, III, IV), утворені осями координат X"Xі Y"Y, Називаються координатними кутами або квадрантами (див. рис. 1).

Положення точки Aна площині визначається двома координатами xі y. Координата xдорівнює довжині відрізка OB, координата y- Довжині відрізка OCу вибраних одиницях виміру. Відрізки OBі OCвизначаються лініями, проведеними з точки Aпаралельно осям Y"Yі X"Xвідповідно. Координата xназивається абсцисоюточки A, координата y - ординатоюточки A. Записують так: А ( x, y)

Якщо точка Aлежить у координатному кутку I, то точка Aмає позитивні абсцису та ординату. Якщо точка Aлежить у координатному кутку II, то точка Aмає негативну абсцису та позитивну ординату. Якщо точка Aлежить у координатному кутку III, то точка Aмає негативні абсцису та ординату. Якщо точка Aлежить в координатному кутку IV, то точка Aмає позитивну абсцису та негативну ординату.

2. Полярні координати.

Полярна сітка, на якій відкладено кілька кутів із позначками у градусах.

Полярна система координат- двомірна система координат, у якій кожна точка на площині визначається двома числами – кутом та відстанню. Полярна система координат особливо корисна у випадках, коли відносини між точками простіше зобразити у вигляді відстаней та кутів; у більш поширеній, декартовій або прямокутній системі координат такі відносини можна встановити тільки шляхом застосування тригонометричних рівнянь.

Полярна система координат визначається променем, який називають нульовим або полярною віссю. Точка, з якої виходить цей промінь, називається початком координат або полюсом. Будь-яка точка на площині визначається двома полярними координатами: радіальною та кутовою. Радіальна координата (зазвичай позначається r) відповідає відстані від точки до початку координат. Кутова координата, також називається полярним кутом або азимутом і позначається φ, дорівнює куту, який потрібно повернути проти годинникової стрілки полярну вісь для того, щоб потрапити в цю точку.

Визначена таким чином радіальна координата може набувати значення від нуля до нескінченності, а кутова координата змінюється в межах від 0° до 360°. Однак, для зручності область значень полярної координати можна розширити за межі повного кута, а також дозволити їй набувати негативних значень, що відповідає повороту полярної осі за годинниковою стрілкою.

3. Розподіл відрізків у цьому відношенні.

Потрібно розділити відрізок АВ, що з'єднує точки A(x1; y1) і В (х2; y2) в заданому відношенні λ > 0, тобто. 84">

Рішення: Введемо в розгляд вектори https://pandia.ru/text/78/214/images/image006_41.gif" width="18" height="13 src=">..gif" width="79" 15 src=">, тобто і т. е.

Рівняння (9.1) набуває вигляду

Враховуючи що рівні векторимають рівні координати, отримуємо:

https://pandia.ru/text/78/214/images/image014_27.gif" width="56 height=28" height="28"> (9.2) та

https://pandia.ru/text/78/214/images/image016_26.gif" width="60 height=29" height="29"> (9.3)

Формули (9.2) та (9.3) називаються формулами поділу відрізка у цьому відношенні. Зокрема, при λ = 1, т. е. gif width = "54" серединою відрізкаАВ.

Зауваження:

Якщо λ = 0, це означає, що точки A і Μ збігаються, якщо λ< 0, то точка Μ лежит вне отрезка АВ - говорят, что точка M делит отрезок АВ внешним образом , т. к. в противном случае , т. е. AM + MB = 0, т. е. АВ = 0).

4. Відстань між крапками.

Потрібно знайти відстань d між точками A(x1; y1) і В (х2; y2) площині.

Рішення: Шукана відстань d дорівнює довжині вектора, тобто

5. Рівняння прямої, що проходить через дві точки.

Якщо на прямій у просторі відзначити дві довільні точки M1(x1, y1, z1) та M2(x2, y2, z2), то координати цих точок повинні задовольняти отримане вище рівняння прямої:

Крім того, для точки М1 можна записати:

Вирішуючи спільно ці рівняння, отримаємо:

Це рівняння прямої, що проходить через дві точки у просторі.

6. Визначники 2-го порядку.

Значення визначника 2-го порядку легко обчислюється за визначенням, використовуючи формулу.

7. Визначники 3-го порядку.

https://pandia.ru/text/78/214/images/image030_15.gif" width="120" height="61 src="> схема обчислення визначника методом трикутника, т. о.:

https://pandia.ru/text/78/214/images/image034_15.gif" width="72" height="51 src=">DIV_ADBLOCK251">

9. Рішення СЛУ методом Крамера.

Теорема Крамера: Система N рівняння з N невідомими, Визначник яких відмінний від нуля, завжди має рішення, причому єдине. Воно знаходиться наступним чином: значення кожного з невідомих дорівнює дробу, знаменником якого є визначник системи, а чисельник виходить із визначника системи із заміною стовпця коефіцієнтів при шуканому невідомих на стовпець шуканих членів.

Ця система рівнянь мати єдине рішення лише тоді, коли визначник складений з коефіцієнтів при X1 - n нічого очікувати дорівнює нулю. Позначимо цей визначник знаком – Δ. Якщо цей визначник не дорівнює нулю, вирішуємо далі. Тоді кожен Xi = Δi / Δ, де Δi - це визначник складений з коефіцієнтів при X1 - n, тільки значення коефіцієнтів в i - му стовпчику замінені на значення за знаком рівності в системі рівнянь, а Δ - це головний визначник

Система N-го порядку https://pandia.ru/text/78/214/images/image037_14.gif" width="112" height="46"> .gif" width="79" height="46">.gif" width="264" height="48">.gif" width="120" height="29">DIV_ADBLOCK252">

10. Рішення СЛУ матричним способом.

Матриці дають змогу коротко записати систему лінійних рівнянь. Нехай дана система з 3-х рівнянь із трьома невідомими:

https://pandia.ru/text/78/214/images/image046_13.gif" width="75" height="41"> і матриці стовпці невідомих та вільних членів

Знайдемо твір

https://pandia.ru/text/78/214/images/image049_13.gif" width="108" height="41"> або коротше A∙X=B.

Тут матриці Aі Bвідомі, а матриця Xневідома. Її і необхідно визначити, тому що її елементи є рішенням цієї системи. Це рівняння називають матричним рівнянням.

Нехай визначник матриці відмінний від нуля A| ≠ 0. Тоді матричне рівняння вирішується в такий спосіб. Помножимо обидві частини рівняння зліва на матрицю A-1, зворотну матрицю A: https://pandia.ru/text/78/214/images/image051_13.gif" width="168" height="59">

Розв'язати матричним способом таку систему рівнянь:

Увага: Нулі з'являються, якщо немає однієї змінної, тобто, наприклад, якщо Х3 не дано в умові, він автоматично дорівнює нулю. Так само і з Х1 та Х2

https://pandia.ru/text/78/214/images/image057_9.gif" width="56 height=54" height="54">

https://pandia.ru/text/78/214/images/image065_8.gif" width="160 height=51" height="51">

Відповідь:

# а) Дано:

https://pandia.ru/text/78/214/images/image074_5.gif" width="59 height=16" height="16"> Відповідь:

https://pandia.ru/text/78/214/images/image081_5.gif" width="106" height="50 src=">

Знайдемо зворотну матрицю.

Віднімемо 1 - ий рядок з усіх рядків, що знаходяться нижче за нього. Ця дія не суперечить елементарним перетворенням матриці.

https://pandia.ru/text/78/214/images/image083_4.gif" width="172" height="52 src=">

Віднімемо 3-ий рядок з усіх рядків, які знаходяться вище за нього. Ця дія не суперечить елементарним перетворенням матриці.

https://pandia.ru/text/78/214/images/image085_5.gif" width="187" height="53 src=">

Наведемо всі коефіцієнти на головній діагоналі матриці до 1. Поділимо кожен рядок матриці на коефіцієнт цього рядка, що знаходиться на головній діагоналі, якщо він не дорівнює 1. Квадратна матриця, що вийшла правіше одиничною і є зворотною до головної.

https://pandia.ru/text/78/214/images/image087_4.gif" width="172" height="52 src=">

11. Вектор. Складання векторів.

http://www. bigpi. *****/encicl/articles/15/1001553/1001553A. htm

Вектор називають величину, що характеризується числовим значенням, напрямом у просторі і складається з іншого, собі подібною величиною геометрично.

Графічно вектори зображуються у вигляді спрямованих відрізків прямої певної довжини, як DIV_ADBLOCK254>>

Складання векторів:Сумою векторів a(a1; a2) та b(b1; b2) називається вектор c(a1+b1; a2+b2). Для будь-яких векторів a(a1; a2), b(b1; b2), c(с1; с2) справедливі рівність:

Теорема: Якими б не були три точки A, B і C, має місце векторна рівність.

При додаванні двохвекторів часто використовують так зване « правило паралелограма». При цьому будують паралелограм, використовуючи доданки вектори як його суміжні сторони. Діагональ паралелограма, проведена з точки, де з'єднуються початку векторів, і є сумою, що шукається (рис. 4, зліва).

Легко бачити (рис. 4, праворуч), що це правило призводить до того ж результату, що і вказаний вище спосіб. При додаванні більше двох векторів « правило паралелограма» практично не використовується через громіздкість побудов. Додавання векторів комутативно, тобто,
а + b = b + а.

І ще, сума певної кількості векторів залежить від порядку, де вони складаються, тобто, ( а + b) + d = a + (b + d). І тут кажуть, що додавання векторів асоціативно, тобто йому виконується сполучний закон.

12. Скалярні твори векторів.

http://www. dpva. info/Guide/GuideMathematics/linearAlgebra/ScalarVectorsMultiplication/

Скалярний добуток векторів – це операція над двома векторами, результатом якої є число (не вектор).

https://pandia.ru/text/78/214/images/image097_5.gif" width="86" height="23">

Іншими словами, скалярний добуток векторів дорівнює добутку довжин цих векторів на косинус кута між ними. Необхідно помітити, що кут між двома векторами - це кут, який вони утворюють, якщо відкласти їхню відмінність від однієї точки, тобто початку векторів повинні збігатися.

Безпосередньо з визначення слідують такі найпростіші властивості:

1. Скалярний твір довільного вектора, а на себе ж (скалярний квадрат вектора) завжди неотрицательно, і дорівнює квадрату довжини цього вектора. Причому скалярний квадрат вектора дорівнює нулю і тоді, коли цей вектор - нульовий.

2. Скалярний добуток будь-яких перпендикулярних векторів a і b дорівнює нулю.

3. Скалярний добуток двох векторів дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли вони перепендикулярні або хоча б один з них – нульовий.

4. Скалярний добуток двох векторів a і b позитивно тоді й лише тоді, коли між ними гострий кут.

5. Скалярний добуток двох векторів a і b негативний тоді і тільки тоді, коли між ними тупий кут.

Альтернативне визначення скалярного твору або обчислення скалярного твору двох векторів, заданих своїми координатами.

(Обчислити координати вектора, якщо задані координати його початку та його кінця дуже просто:

Нехай є вектор AB, А – початок вектора, В – кінець, та координати цих точок

А = (a1, a2, a3), В = (b1, b2, b3)

Тоді координати вектора АВ:

АВ=(b1-a1, b2-a2, b3-a3) .

Аналогічно у двомірному просторі - просто відсутні треті координати)

Отже, нехай дані два вектори, задані набором своїх координат:

а) У двомірному просторі (на площині)..gif" width="49" height="19 src=">

Тоді їх скалярний твір можна обчислити за такою формулою:

б) У тривимірному просторі: ;

Аналогічно двовимірному випадку, їх скалярне твір обчислюється за такою формулою:

DIV_ADBLOCK257">

Отже, нехай у нас є два вектори: http://www.pandia.ru/text/78/214/images/image104_4.gif"

І нам треба знайти кут між ними. З допомогою їх координат знайдемо їх довжини, та був просто прирівняємо дві формули для скалярного произведения. Таким чином, ми отримаємо косинус шуканого кута.

Довжина вектора аобчислюється як корінь із скалярного квадрата вектора а, який обчислимо за формулою для скалярного твору векторів, заданих координатами:

https://pandia.ru/text/78/214/images/image107_3.gif" width="365" height="23">

Значить, ,

Шуканий кут знайдено.

13. Векторний витвір.

http://www. dpva. info/Guide/GuideMathematics/linearAlgebra/vectorVectorsMultiplication/

Векторний добуток двох векторів а та b- це операція над ними, визначена лише у тривимірному просторі, результатом якої є векторз наступними властивостями:

https://pandia.ru/text/78/214/images/image111_3.gif" width="83" height="27">, де aі b.

3) Вектор спрямований таким чином, що якщо навести вектор https://pandia.ru/text/78/214/images/image117_3.gif" width="13" height="24 src=">.gif" width=" 13" height="24"> до вектора буде ПРОТИ годинникової стрілки.

Для більшої ясності наведемо приклад - малюнку справа вектор - векторне твір векторів і b. Як сказано у визначенні, ми привели всі три вектори до загального початку, і тоді, якщо дивитися на вектори a і b з кінця вектора, найкоротший поворот від вектора до вектора b буде проти годинникової стрілки.

https://pandia.ru/text/78/214/images/image119_3.gif" width="76" height="25">

Також, безпосередньо з визначення слід, що з будь-якого скалярного множника k (числа) вірно таке:

det A https://pandia.ru/text/78/214/images/image182_2.gif" width="56 height=32" height="32">

7.2 Знаходження Визначника Матриці 3-го порядку за правилом трикутника

DIV_ADBLOCK261">

Кожному елементу квадратної Матриці (порядок яких більше, або дорівнює трьом), можна поставити у відповідність два числа, які називають МІНОР або АЛГЕБРАЇЧНИМ ДОДАТКОМ. Мінором елемента Aij квадратної Матриці А (будь-якого порядку) називається ВИЗНАЧНИК МАТРИЦІ, що отримується з Матриці А методом викреслення рядка і стовпця, на перетині яких стоїть елемент Aij. Знак M – позначення Мінора.

https://pandia.ru/text/78/214/images/image034_15.gif" width="72" height="51 src=">.gif" width="35" height="19">

https://pandia.ru/text/78/214/images/image194_1.gif" width="96 height=82" height="82">

ЕЛЕМЕНТИ

Мінор

Алгебраїчне Доповнення

Нехай А = деяка Матриця ІІІ-го порядку, тоді визначник матриці А дорівнює:

Примітка: Визначник можна визначити за елементами будь-якийрядки або будь-якогостовпця цієї Матриці.

# Знайти визначник Матриці за елементами першого рядка та першого стовпця:

https://pandia.ru/text/78/214/images/image201_0.gif" width="58" height="56 src=">

https://pandia.ru/text/78/214/images/image203_0.gif" width="253" height="34 src=">

7.3 ВИЗНАЧНИК МАТРИЦІ n-го порядку

Нехай А – квадратна Матриця n-го порядку. Тоді, Визначник Матриці n-го порядку виглядатиме так:

Розклавши по елементам 1 рядки знайти елементи Матриці А

DIV_ADBLOCK262">

2) a12=0*(2*0*1+1*0*0+1*2*0)-0*(0*0*0+1*1*1+2*0*2)=0

3) a13=2*(2*2*1+1*1*0+0*0*2)-2*(0*2*0+1*0*1+2*2*1)=0

4) a14=-1*(2*2*0+1*1*1+0*0*0)-1*(1*2*0+1*0*0+2*1*0)=- 1

6. ОСНОВНІ ВЛАСТИВОСТІ ВИЗНАЧНИКА

1. Визначник не зміниться, якщо його рядки поміняти місцями з відповідними стовпцями (транспонувати)

2. При перестановці двох рядків або стовпців Визначення змінить свій знак на протилежний.

3. Загальний множник всіх елементів рядка (стовпця) можна винести за знак визначника

4. Визначник із двома однаковими рядками або стовпцями завжди дорівнює нулю.

5. Якщо елементи двох рядків (стовпців) визначника пропорційні, то визначник дорівнює нулю.

6. Якщо в якомусь рядку або стовпці визначника додати відповідно елементи іншого рядка або стовпця, помножені на те саме число, то визначник не змінить своєї величини.

https://pandia.ru/text/78/214/images/image208_0.gif" width="48" height="12"> і т. д.

Трикутний визначник- це той визначник, у якого всі елементи, що лежать вище (або нижче) головної діагоналі - нулі, дорівнює добутку елементів головної діагоналі.

https://pandia.ru/text/78/214/images/image210_0.gif" width="37" height="28 src=">DIV_ADBLOCK263">

Якщо зворотна Матриця А існує, то Матрицю називають Зворотним.Знаходження квадратної Матриці має велике значення під час вирішення системних лінійних рівнянь.

17. Зворотна матриця.

http://www. mathelp. *****/book1/omatrix. htm

1. Знайти Визначник матіриці А

2. Знайти алгібраїчне доповнення всіх елементів Матриці А (Aij) та записати нову Матрицю

3. Транспонувати нову Матрицю

4. Помножити транспоновану матрицю на число, зворотне визначнику. (Наприклад: до 6 зворотним визначником буде число)

Позначимо ∆ =det A. Для того щоб квадратна Матриця А мала зворотну, необхідно і достатньо, щоб Матриця була не виродженою (відмінною від нуля). Матриця, зворотна матриці А, позначається через А-1, так що В = А-1.gif width="12" height="19 -> нормуючий множник площини, знак якого вибирається протилежним знаку D, якщо довільно, якщо D = 0.

21. Криві 2-го (рівняння кола).

Визначення 11.1.Кривими другого порядкуна площині називаються лінії перетину кругового конуса з площинами, які проходять його вершину.

Якщо така площина перетинає всі утворюють одну порожнину конуса, то в перерізі виходить еліпс, при перетині утворюють обох порожнин – гіпербола, а якщо січна площина паралельна до будь-якої утворюючої, то перетином конуса є парабола.

Зауваження. Всі криві другого порядку задаються рівняннями другого ступеня двох змінних.

Класифікація кривих другого порядку

Невироджені криві

невиродженою, якщо можуть виникати наступні варіанти:

Невироджена кривадругого порядку називається центральною, якщо

· еліпс - за умови D> 0 та Δ I < 0;

окремий випадок еліпса - коло - за умови I 2 = 4Dабо a 11 = a 22,a 12 = 0;

уявний еліпс (жодної речової точки) - за умови Δ I > 0;

· гіпербола - за умови D < 0;

Невироджена крива другого порядку називається нецентральною, якщо Δ I = 0

· Парабола - за умови D = 0.

Вироджені криві:Крива другого порядку називається виродженою, якщо Δ = 0. Можуть виникати такі варіанти:

· речова точка на перетині двох уявних прямих (вироджений еліпс) - за умови D > 0;

· пара речових перетинаються прямих (вироджена гіпербола) – за умови D < 0;

· вироджена парабола – за умови D = 0:

· пара речових паралельних прямих - за умови B < 0;

· одна речова пряма (дві злиті паралельні прямі) - за умови B = 0;

· пара уявних паралельних прямих (жодної речовинної точки) - за умови B > 0.

22. Еліпс та його рівняння.

Визначення 11.2.Еліпсомназивається безліч точок площини, для яких сума відстаней до двох фіксованих точок F 1 та F 2 цієї площини, званих фокусами, Є величина постійна.

Зауваження. При збігу точок F 1 та F 2 еліпс перетворюється на коло.

Директрисою Diеліпса, що відповідає фокусу Fi, називається пряма, розташована в одній півплощині з Fiщодо осі Оуперпендикулярно до осі Охна відстані а/евід початку координат.

Зауваження. За іншого вибору системи координат еліпс може задаватися не канонічним рівнянням (11.1), а рівнянням другого ступеня іншого виду.

Властивості еліпса:

1) Еліпс має дві взаємно перпендикулярні осі симетрії (головні осі еліпса) та центр симетрії (центр еліпса). Якщо еліпс заданий канонічним рівнянням, його головними осями є осі координат, а центром – початок координат. Оскільки довжини відрізків, утворених перетином еліпса з головними осями, дорівнюють 2 аі 2 b (2a>2b), то головна вісь, що проходить через фокуси, називається великою віссю еліпса, а друга головна вісь – малою віссю.

Тоді https://pandia.ru/text/78/214/images/image264.gif" width="141" height="122 src=">

Виведемо канонічне рівняння гіперболи за аналогією з виведенням рівняння еліпса, користуючись тими самими позначеннями.

|r1 - r2 | = 2a, Звідки. Якщо позначити b² = c² - a², звідси можна отримати https://pandia.ru/text/78/214/images/image267.gif" width="38" width="87" height="44 src="> , (11.3`)

для якої змінюються місцями дійсна і уявна вісь із збереженням тих самих асимптот.

4) Ексцентриситет гіперболи e> 1.

5) Відношення відстані riвід точки гіперболи до фокусу Fiна відстань diвід цієї точки до директриси, що відповідає фокусу, дорівнює ексцентриситету гіперболи.

Доказ можна провести так само, як і для еліпса.

23. Парабола.

Визначення 11.8.Параболійназивається безліч точок площини, для яких відстань до деякої фіксованої точки Fцій площині дорівнює відстані до деякої фіксованої прямої. Крапка Fназивається фокусомпараболи, а пряма – її директрисою.

Для виведення рівняння параболи виберемо декартову систему координат так, щоб її початком була середина перпендикуляра FD, опущеного з фокусу на директрису, а координатні осі розташовувалися паралельно і перпендикулярно до директриси. Нехай довжина відрізка FD

D O F x дорівнює р. Тоді з рівності r = dслід, що https://pandia.ru/text/78/214/images/image271.gif" width="101

Алгебраїчними перетвореннями це рівняння можна привести до вигляду:

y² = 2 px, (11.4) званому канонічним рівнянням параболи.

Величина рназивається параметромпараболи.

Властивості параболи :

1) Парабола має вісь симетрії (вісь параболи). Точка перетину параболи з віссю називається вершиною параболи. Якщо парабола задана канонічним рівнянням, її віссю є вісь Ох,а вершиною – початок координат.

2) Вся парабола розташована у правій півплощині площині Оху.

Зауваження. Використовуючи властивості директрис еліпса та гіперболи та визначення параболи, можна довести таке твердження:

Безліч точок площини, для яких відношення евідстані до деякої фіксованої точки до відстані до деякої прямої є величина постійна, є еліпс (при e<1), гиперболу (при e>1) або параболу (при е=1).

Приведення рівняння другого порядку до канонічного виду.

Визначення 11.9.Лінія, що визначається загальним рівнянням другого порядку

https://pandia.ru/text/78/214/images/image274.gif" width="103 height=19" height="19"> можна задати матрицю

https://pandia.ru/text/78/214/images/image276.gif" width="204" height="24 src="> (у припущенні, що λ .

У разі коли одне з власних чисел матриці Адорівнює 0, рівняння (11.5) в результаті двох перетворень координат можна привести до вигляду: , (11.8) канонічним рівнянням параболи.

24. Прямокутні координати у просторі.

Прямокутна система координат у просторіутворюється трьома взаємно перпендикулярними осями координат OX, OYі OZ. Осі координат перетинаються у точці O, Яка називається початком координат, на кожній осі обрано позитивний напрямок, вказаний стрілками, і одиниця виміру відрізків на осях. Одиниці виміру зазвичай однакові всім осей (що є обов'язковим). OX- вісь абсцис, OY- вісь ординат, OZ- Вісь аплікат.

Якщо великий палець правої руки прийняти за напрямок X, вказівний за напрямок Y, а середній за напрямок Z, то утворюється правасистема координат. Аналогічними пальцями лівої руки утворюється ліва система координат. Інакше кажучи, позитивний напрямок осей вибирають так, щоб при повороті осі OXпроти годинникової стрілки на 90° її позитивний напрямок збігся з позитивним напрямком осі OYякщо цей поворот спостерігати з боку позитивного напрямку осі OZ. Праву та ліву системи координат неможливо поєднати так, щоб збіглися відповідні осі (див. рис. 2).

Положення точки Aу просторі визначається трьома координатами x, yі z. Координата xдорівнює довжині відрізка OB, координата y- Довжині відрізка OC, координата z- Довжині відрізка ODу вибраних одиницях виміру. Відрізки OB, OCі ODвизначаються площинами, проведеними з точки Aпаралельно площинам YOZ, XOZі XOYвідповідно. Координата xназивається абсцисою точки A, координата y- ординатою точки A, координата z- аплікатої точки A. Записують так: .

Якщо через точку Про в просторі ми проведемо три перпендикулярні пряні, назвемо їх, виберемо направлі ня, по-зна-чим поодинокі від-різ-ки, то ми по-лучимо пря-мо-вугіль-ну си-сте-му ко-ор-ді-нат у просторі. Осі ко-ор-ді-нат на-зи-ва-ють-ся так: Ох - вісь абс-цис, Оy - вісь ор-ді-нат і Оz - вісь ап-плі-кат. Вся система ко-ор-ді-нат об-зна-ча-ет-ся - Oxyz. Таким чином, по-яв-ля-ють-ся три ко-ор-ді-нат-ні плос-ко-сті: Оxy, Оxz, Оyz.

При-ведемо приклад побудови точки В (4; 3; 5) в прямокутній системі коор-дінат (див. Рис. 1 ).

Рис. 1. Побудова точки B в просторі

Перша ко-ор-ді-на-та точки B - 4, по-это-му від-кла-ди-ва-єм на Ox 4, про-во-дим пряму па-рал-лель-но осі Oy до пе-ре-се-че-ня з пря-мою, про-хо-дя-щої через у=3. Таким чином, ми по-лучаємо точку K. Ця точка лежить в площині Oxy і має коор-ді-на-ти K (4; 3; 0). Тепер потрібно провести пряму паралельно осі Oz. І пряму, ко-то-рая про- ходить через точку з ап-плі-ка-тою 5 і пара-лель-на діа-го-на-лі пара-ра-ле-ло-грам -ма в плос-ко-сті Oxy. На їх пере-сі-че-ні ми по-лучимо іс-ко-му точку B.

Рас-смот-рим роз-по-ло-же-ня точок, у ко-то-рих одна або дві ко-ор-ді-на-ти рівні 0 (див. мал. 2).

Наприклад, точка A(3;-1;0). Потрібно про-дов-жити вісь Oy вліво до зна-чення-1, знайти точку 3 на осі Ox, і на пе-ре-сі-че-ні ліній, про-хо-дя-щих через ці зна-че -ня, по-лу-ча-ю точку А. Ця точка має ап-плі-ка-ту 0, а значить, вона лежить у плос-ко-сті Oxy.

Точка C(0;2;0) має абс-цис-су та ап-плі-ка-ту 0 - не від-ме-ча-ю. Ор-ді-на-та дорівнює 2, зна-чит точка C лежить тільки на осі Oy, ко-то-рая яв-ля-є-ся пе-ре-се-че-ні-єм плос-ко- стей Oxy та Oyz.

Щоб від-ло-жити точку D(-4;0;3) про-дов-жа-ть вісь Ox назад за на-ча-ло ко-ор-ді-нат до точки -4. Те-пер вос-ста-нав-ли-ва-ем з цієї точки пер-пен-ді-ку-ляр - пряму, паралельну осі Oz до пе-ре-се-че-ня з прямий, паралельної осі Ox і проходить через зна-чення 3 на осі Oz. По-лу-ча-ю струму D(-4;0;3). Так як ор-ді-на-та точки дорівнює 0, зна-чить точка D лежить у плос-ко-сті Oxz.

Слі-ду-ю-ю точка E (0; 5; -3). Ор-ді-на-та точки 5, ап-плі-ка-та-3, про-во-дим пря-мі про-хо-дя-щі через ці зна-чення на со-відповіді -ю-щих осях, і їх пере-се-че-нии по-лу-ча-ему точку E(0;5;-3). Ця точка має першу ко-ор-ді-на-ту 0, зна-чит вона лежить у плос-ко-сті Oyz.

2. Координати вектора

На-чер-тим прямо-вугіль-ну систему ко-ор-ді-нат в просторі Oxyz. За-да-дим у просторі-пря-мо-вугіль-ну си-сте-му ко-ор-ді-нат Oxyz. На кожний з по-ло-жи-тель-них по-лу-осей від-ло-жим від на-ча-ла ко-ор-ді-нат оди-ний вік-тор, тобто. вік-тор, довжина ко-то-ро-го дорівнює одиниці. Озна-чим еди-нич-ний вік-тор осі абс-цис, еди-ніч-ний вік-тор осі ор-ди-нат, і оди-нич-ний вік-тор осі ап-плі-кат (см .рис.1). Ці вік-то-ри со-на-прав-ле-ни з на-прав-ле-ні-я-ми осей, мають оди-ну довжину і ор-то-го-наль-ни - по-пар -але пер-пен-ді-ку-ляр-ни. Такі вік-то-ра на-зи-ва-ють ко-ор-ді-нат-ми-ві-то-ра-миабо ба-зі-сом.

Рис. 1. Раз-ло-же-ня вік-то-ра за трьом ко-ор-ді-нат-ним вік-то-рам

Візь-мемо вік-тор, по-мі-стимо його на почат-ко-ор-ді-нат, і роз-кладемо цей вік-тор за трьом неком-пла-нар-ним - ле-жа -щим в різних площинах - вік-то-рам. Для цього опустимо про-ек-цію точки M на площину Oxy, і знайдемо ко-ор-ді-на-ти вік-то-рів, і . По-лу-ча-єм: . Розглянемо по окремому кожний з цих віків. Век-тор лежить на осі Ox, значить, відповідно до свого розуму розуму віку на кількість, його можна представити як якесь число x розумно. жен-не на ко-ор-ді-нат-ний вік-тор. , А довжина вік-то-ра рівно в x разів більше довжини. Так само по-сту-пим і з вік-то-ра-ми і , і по-лу-ча-ем раз-ло-же-ня вік-то-ра за трьом ко-ор-ді-нат-ним вік -то-рам:

Ко-еф-фі-ці-ен-ти цього раз-ло-же-ня x, y і z на-зи-ва-ють-ся ко-ор-ді-на-та-ми вік-то-ра в просторі.

Роз-смот-рим пра-ві-ла, ко-то-рие поз-во-ля-ють по ко-ор-ді-на-там дан-них вік-то-рів знайти ко-ор-ді-на- ти їх суми і різниці, а також ко-ор-ді-на-ти про-з-ве-дення дан-ного вік-то-ра на дане число.

1) Сло-же-ня:

2) Ви-чи-та-ня:

3) Розумно-же-ня на число: ,

Век-тор, на-чо-ло ко-то-ро-го сов-па-да-є з початком ко-ор-ді-нат, на-зи-ва-є-ся ра-ді-ус-вік-то-ром.(Мал. 2). Век-тор - ра-ді-ус-век-тор, де x, y і z - це ко-еф-фі-ці-ен-ти раз-ло-же-ня цього вік-то-ра по ко-ор -ді-нат-ним вік-то-рам , , . У даному випадку x - це перша ко-ор-ді-на-та точки A на осі Ox, y - ко-ор-ді-на-та точки B на осі Oy, z - ко-ор -ді-на-та точки C на осі Oz. По малюнку видно, що ко-ор-ді-на-ти ра-ді-ус-вік-то-ра од-но-вре-мен-но яв-ля-ють-ся ко-ор-ді -на-та-ми точки М.

Візьмемо точку A(x1;y1;z1) і точку B(x2;y2;z2) (див. рис. 3). Пред-став-вим вік-тор як раз-ність вік-то-рів і по-своєму вік-то-рів. Причому, і - ра-ді-ус-вік-то-ри, та їх ко-ор-ді-на-ти сов-па-да-ють з ко-ор-ді-на-та-ми кон- ців цих вік-то-рів. Тоді ми можемо пред-ставити ко-ор-ді-на-ти вік-то-ра як раз-ність со-від-віт-ству-ю-щих ко-ор-ди-нат вік-то-рів і : . Таким чином, ко-ор-ді-на-ти вік-то-ра ми можемо ви-разити через ко-ор-ді-на-ти кінця і на-ча-ла вік-то-ра .

Роз-глядає-рим приклади, іл-лю-стри-ру-ю-щі-своє-ства вік-то-рів та їх ви-ра-же-ня через ко-ор-ді-на-ти. Візьмемо вік-то-ри , , . Нас спра-ши-ва-ють век-тор. У даному випадку знайти це означає знайти ко-ор-ді-на-ти вік-то-ра, ко-то-рі повністю його визна-де-ля-ють. Під-став-ля-ємо у ви-ра-же-ня вме-сто вік-то-рів зі-від-віт-но їх ко-ор-ді-на-ти. По-лу-ча-єм:

Тепер розумно-жа-мо число 3 на кож-ну ко-ор-ді-на-ту в скоб-ках, і те ж саме роби-мо з 2:

У нас по-лу-чи-лась сума трьох вік-то-рів, склав-ди-ва-єм їх по вивче-ному вище сво-му:

Відповідь:

Приклад №2.

Дано: Трикутна пі-ра-мі-да AOBC (див. рис. 4). Площини AOB, AOC і OCB - по-пар-но пер-пен-ді-ку-ляр-ни. OA = 3, OB = 7, OC = 4; M – сер.AC; N – сер.OC; P – сірий. CB.

Знайти: ,,,,,,,,.

Розв'язання: Введемо прямо-вугільну систему ко-ор-ді-нат Oxyz з початком відліку в точці O. За умовою об- зна-ча-єм точки A, B і C на осях і се-ре-ді-ни ребер пі-ра-мі-ди - M, P і N. По ри-сун-ку на-хо-дим ко-ор -ді-на-ти вершин пі-ра-мі-ди: A(3;0;0), B(0;7;0), C(0;0;4).

При введенні системи координат на площині або тривимірному просторі з'являється унікальна можливість опису геометричних фігур і їх властивостей за допомогою рівнянь і нерівностей. Це має іншу назву – методи алгебри.

Ця стаття допоможе розібратися із завданням прямокутної декартової системою координат та визначенням координат точок. Більш наочне та детальне зображення є на графічних ілюстраціях.

Щоб ввести систему координат на площині, необхідно провести дві перпендикулярні прямі. Вибираємо позитивний напрямок, позначаючи стрілкою. Необхідно вибрати масштаб.Точку перетину прямих назвемо літерою O . Вона вважається початком відліку. Це і називається прямокутною системою координатна площині.

Прямі з початком O мають напрям і масштаб, називають координатної прямоїабо координатною віссю.

Прямокутна система координат позначається O x y. Координатними осями називають О х і О у, звані відповідно вісь абсцисі вісь ординат.

Зображення прямокутної системи координат на площині.

Осі абсцис та ординат мають однакову одиницю зміни та масштаб, що показано у вигляді штриху на початку координатних осей. Стандартний напрямок О х ліворуч, а O y – знизу вгору. Іноді використовується альтернативний поворот під необхідним кутом.

Прямокутна система координат дістала назву декартової на честь її першовідкривача Рене Декарта. Часто можна зустріти назву як прямокутна декартова система координат.

Тривимірне евклідове простір має аналогічну систему, тільки воно складається не з двох, а з трьох О х, О у, О z осей. Це три взаємно перпендикулярні прямі, де Про z має назву вісь аплікат.

У напрямку координатних осей ділять на праву та ліву прямокутні системи координат тривимірного простору.

Осі координат перетинаються в точці O, званої початком. Кожна вісь має позитивний напрямок, який вказується за допомогою стрілок на осях. Якщо при повороті О х проти годинникової стрілки на 90 ° її позитивний напрямок збігається з позитивним О у тоді це застосовно для позитивного напрямку Про z . Таку систему вважають правої.Інакше кажучи, якщо порівняти напрямок Х з великим пальцем руки, то вказівний відповідає за Y , а середній за Z .

Аналогічно утворюється ліва система координат. Обидві системи поєднати неможливо, оскільки відповідні осі не співпадуть.

Для початку відкладемо точку М на координатній осі Ох. Будь-яке дійсне число x M дорівнює єдиній точці М, розташованої на цій прямій. Якщо точка розташована на координатній прямій на відстані 2 від початку відліку по позитивному напрямку, вона дорівнює 2 якщо - 3 то відповідна відстань 3 . Нуль – це початок відліку координатних прямих.

Інакше кажучи, кожна точка М, розташована на O x дорівнює дійсному числу x M . Цим дійсним числом є нуль, якщо точка M розташована на початку координат, тобто на перетині O x і О у. Число довжини відрізка завжди позитивне, якщо точка видалена у позитивному напрямку та навпаки.

Існуюче число x M називають координатоюточки М на заданій координатній прямій.

Візьмемо точку як проекцію точки M x на Ох, а як проекцію точки M y на О у. Отже, через точку М можна провести перпендикулярні до осей О x і О у прямі, де отримаємо відповідні точки перетину M x і M y .

Тоді точка M x на осі О х має відповідне число x M , а M y на У - y M . На координатних осях це виглядає так:

Кожна точка M на заданій площині у прямокутній декартовій системі координат має одну відповідну пару чисел (x M , y M) координатами. Абсцисса M- це x M, ордината M- Це y M.

Зворотне твердження також вважається правильним: кожна впорядкована пара (x M , y M) має відповідну задану в площині точку.

Визначення точки М у тривимірному просторі. Нехай є M x , M y , M z , що є проекціями точки М на відповідні осі О х, О у, О z . Тоді значення цих точок на осях Про х, Про у, Про z приймуть значення x M , y M , z M . Зобразимо це на координатних прямих.

Щоб отримати проекції точки M необхідно додати перпендикулярні прямі О х, О у, О z продовжити і зобразить у вигляді площин, які проходять через M . Таким чином, площини перетнуться в M x , M y , M z

Кожна точка тривимірного простору має свої дані (x M , y M , z M) , які мають назву координати точки M, x M, y M, z M -це числа, звані абсцисою, ординатоюі аплікатизаданої точки M. Для цього судження правильне і зворотне твердження: кожна впорядкована трійка дійсних чисел (x M , y M , z M) у заданій прямокутній системі координат має одну відповідну точку M тривимірного простору.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Метод координат – це, звичайно, дуже добре, але в справжніх завданнях C2 жодних координат та векторів немає. Тому їх доведеться запроваджувати. Так-так, ось так взяти і ввести: вказати початок відліку, одиничний відрізок та напрямок осей x, y та z.

Найпрекрасніша властивість цього методу полягає в тому, що не має жодного значення, як саме вводити систему координат. Якщо всі обчислення будуть правильними, то й відповідь буде правильною.

Координати куба

Якщо завдання C2 буде куб - вважайте, що вам пощастило. Це найпростіший багатогранник, усі двогранні кути якого дорівнюють 90°.

Система координат також вводиться дуже просто:

Початок координат – у точці A;
Найчастіше ребро куба не зазначено, тому приймаємо його за одиничний відрізок;
Вісь x направляємо по ребру AB, y - по ребру AD, а вісь z - по ребру AA 1 .

Зверніть увагу: вісь z прямує вгору! Після двовимірної системи координат це дещо незвично, але насправді дуже логічно.

Отже, тепер кожна вершина куба має координати. Зберемо їх у таблицю - окремо для нижньої площини куба:

Неважко помітити, що точки верхньої площини відрізняються відповідних точок нижньою координатою тільки z. Наприклад, B = (1; 0; 0), B 1 = (1; 0; 1). Головне – не заплутатися!

Призма – це вже набагато веселіше. При правильному підході достатньо знати координати лише нижньої основи – верхнє буде вважатися автоматично.

У задачах C2 зустрічаються виключно правильні тригранні призми (прямі призми, на основі яких лежить правильний трикутник). Їх система координат вводиться майже як і, як й у куба. До речі, якщо хтось не в курсі, куб - це теж призма, лише чотиригранна.

Тож поїхали! Вводимо систему координат:

Початок координат – у точці A;
Сторону призми приймаємо за одиничний відрізок, якщо інше не зазначено за умови завдання;
Вісь x направляємо по ребру AB, z - по ребру AA 1 , а ось y розташуємо так, щоб площина OXY збігалася з площиною основи ABC.

Тут потрібні деякі пояснення. Справа в тому, що вісь НЕ збігається з ребром AC, як багато хто вважає. А чому не збігається? Подумайте самі: трикутник ABC – рівносторонній, у ньому всі кути по 60 °. А кути між осями координат повинні бути по 90 °, тому зверху картинка виглядатиме так:

Сподіваюся, тепер зрозуміло, чому вісь y не піде вздовж AC. Проведемо у цьому трикутнику висоту CH. Трикутник ACH - прямокутний, причому AC = 1, тому AH = 1 · cos A = cos 60 °; CH = 1 · sin A = sin 60 °. Ці факти необхідні обчислення координат точки C.

Тепер поглянемо на всю призму разом із побудованою системою координат:

Отримуємо наступні координати точок:

Як бачимо, точки верхньої основи призми знову відрізняються від відповідних точок нижньої лише координатою z. Основна проблема - це точки C і C1. Вони мають ірраціональні координати, які треба просто запам'ятати. Ну, чи збагнути, звідки вони виникають.

Координати шестигранної призми

Шестигранна призма – це «клонована» тригранна. Можна зрозуміти, як це відбувається, якщо поглянути на нижню основу – позначимо його ABCDEF. Проведемо додаткові побудови: відрізки AD, BE та CF. Вийшло шість трикутників, кожен з яких (наприклад, трикутник ABO) є основою тригранної призми.

Тепер введемо власне систему координат. Початок координат – точку O – помістимо в центр симетрії шестикутника ABCDEF. Ось x піде вздовж FC, а вісь y – через середини відрізків AB та DE. Отримаємо таку картинку:

Зверніть увагу: початок координат НЕ співпадає з вершиною багатогранника! Насправді, під час вирішення справжніх завдань ви виявите, що це дуже зручно, оскільки дозволяє значно зменшити обсяг обчислень.

Залишилося додати вісь z. За традицією, проводимо її перпендикулярно до площини OXY і направляємо вертикально вгору. Отримаємо підсумкову картинку:

Запишемо тепер координати точок. Припустимо, що всі ребра нашої правильної шестигранної призми дорівнюють 1. Отже, координати нижньої основи:

Координати верхньої основи зсунуті на одиницю по осі z:

Піраміда – це взагалі дуже суворо. Ми розберемо лише найпростіший випадок – правильну чотирикутну піраміду, всі ребра якої рівні одиниці. Однак у цих задачах C2 довжини ребер можуть відрізнятися, тому наведена нижче і загальна схема обчислення координат.

Отже, правильна чотирикутна піраміда. Це така сама, як у Хеопса, тільки трохи менше. Позначимо її SABCD, де S – вершина. Введемо систему координат: початок у точці A, одиничний відрізок AB = 1, вісь x направимо вздовж AB, вісь y – вздовж AD, а вісь z – вгору, перпендикулярно площині OXY. Для подальших обчислень нам знадобиться висота SH - і побудуємо її. Отримаємо наступну картинку:

Тепер знайдемо координати точок. Спочатку розглянемо площину OXY. Тут усе просто: в основі лежить квадрат, його координати відомі. Проблеми виникають з точкою S. Оскільки SH – висота до площини OXY, точки S та H відрізняються лише координатою z. Власне, довжина відрізка SH - це координата z для точки S, оскільки H = (0,5; 0,5; 0).

Зауважимо, що трикутники ABC і ASC рівні за трьома сторонами (AS = CS = AB = CB = 1, а сторона AC - загальна). Отже, SH = BH. Але BH – половина діагоналі квадрата ABCD, тобто. BH = AB · sin 45 °. Отримуємо координати всіх точок:

Ось і все із координатами піраміди. Але не з координатами взагалі. Ми розглянули лише найпоширеніші багатогранники, проте цих прикладів достатньо, щоб самостійно обчислити координати будь-яких інших фігур. Тому можна розпочинати, власне, методи вирішення конкретних завдань C2.