Як розв'язати рівняння b. Як вирішувати рівняння з дробами

Інструкція

Примітка:π записується як pi; квадратний корінь як sqrt().

Крок 1.Введіть заданий приклад, що складається із дробів.

Крок 2Натисніть кнопку "Вирішити".

Крок 3Отримайте детальний результат.

Щоб калькулятор правильно порахував дроби, введіть дріб через знак: “/”. Наприклад: . Калькулятор визнає рівняння і навіть покаже на графіку, чому вийшов такий результат.

Що таке рівняння з дробами

Рівняння з дробами – це рівняння, у якому коефіцієнти є дробовими числами. Лінійні рівняння з дробами вирішується за стандартною схемою: невідомі переносяться в один бік, а відомі – в інший.

Розглянемо з прикладу:

Дроби з невідомими переносяться ліворуч, інші дроби – вправо. Коли переносяться числа за знак рівності, тоді у чисел знак змінюється на протилежний:

Тепер потрібно виконати лише дії обох частин рівності:

Вийшло звичайне лінійне рівняння. Тепер потрібно поділити ліву та праву частини на коефіцієнт при змінній.

Вирішити рівняння з дробами онлайноновлено: Жовтень 7, 2018 автором: Статті.Ру

Розберемо два види розв'язання систем рівняння:

1. Рішення системи шляхом підстановки.
2. Рішення системи методом почленного складання (віднімання) рівнянь системи.

Для того, щоб вирішити систему рівнянь методом підстановкипотрібно слідувати простому алгоритму:
1. Висловлюємо. З будь-якого рівняння виражаємо одну змінну.
2. Підставляємо. Підставляємо в інше рівняння замість вираженої змінної отримане значення.
3. Вирішуємо отримане рівняння з однією змінною. Знаходимо рішення системи.

Для того щоб вирішити систему методом почленного складання (віднімання)потрібно:
1.Вибрати змінну у якої робитимемо однакові коефіцієнти.
2.Складаємо або віднімаємо рівняння, в результаті отримуємо рівняння з однією змінною.
3. Вирішуємо отримане лінійне рівняння. Знаходимо рішення системи.

Рішенням системи є точки перетину графіків функції.

Розглянемо докладно з прикладів рішення систем.

Приклад №1:

Вирішимо методом підстановки

Вирішення системи рівнянь методом підстановки

2x+5y=1 (1 рівняння)
x-10y=3 (2 рівняння)

1. Висловлюємо
Видно що у другому рівнянні є змінна x з коефіцієнтом 1, звідси виходить що найлегше висловити змінну x з другого рівняння.
x=3+10y

2.Після того, як висловили підставляємо в перше рівняння 3+10y замість змінної x.
2(3+10y)+5y=1

3. Вирішуємо отримане рівняння з однією змінною.
2(3+10y)+5y=1 (розкриваємо дужки)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2

Рішенням системи рівняння є точки перетинів графіків, отже нам потрібно знайти x і у, тому що точка перетину складається з x і y.Знайдемо x, в першому пункті де ми виражали туди підставляємо y.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1

Точки прийнято записувати першому місці пишемо змінну x, але в другому змінну y.
Відповідь: (1; -0,2)

Приклад №2:

Вирішимо методом почленного складання (віднімання).

Рішення системи рівнянь шляхом складання

3x-2y=1 (1 рівняння)
2x-3y=-10 (2 рівняння)

1.Вибираємо змінну, припустимо, вибираємо x. У першому рівнянні у змінної x коефіцієнт 3, у другому 2. Потрібно зробити коефіцієнти однаковими, при цьому маємо право домножити рівняння чи розділити будь-яке число. Перше рівняння примножуємо на 2, а друге на 3 і отримаємо загальний коефіцієнт 6.

3x-2y = 1 | * 2
6x-4y = 2

2x-3y = -10 | * 3
6x-9y=-30

2.З першого рівняння віднімемо друге, щоб позбавитися від змінної x.Вирішуємо лінійне рівняння.
__6x-4y=2

5y = 32 | :5
y=6,4

3. Знаходимо x. Підставляємо у будь-яке з рівнянь знайдений y, допустимо у перше рівняння.
3x-2y=1
3x-2 * 6,4 = 1
3x-12,8 = 1
3x = 1 +12,8
3x = 13,8 |: 3
x = 4,6

Точкою перетину буде x = 4,6; y=6,4
Відповідь: (4,6; 6,4)

Хочеш готуватися до іспитів безкоштовно? Репетитор онлайн безкоштовно. Без жартів.

Призначення сервісу. Матричний калькулятор призначений для вирішення систем лінійних рівнянь матричним способом (див. приклад розв'язання таких завдань).

Інструкція. Для онлайн рішення необхідно вибрати вид рівняння та задати розмірність відповідних матриць. де А, В, С - матриці, що задаються, Х - шукана матриця. Матричні рівняння виду (1), (2) та (3) вирішуються через зворотну матрицю A-1. Якщо задано вираз AX - B = C , то необхідно спочатку скласти матриці C + B і знаходити рішення для вираження A X = D , де D = C + B . Якщо вираз A*X = B 2 , то попередньо матрицю B треба звести у квадрат .

Рекомендується також ознайомитись з основними діями над матрицями.

Приклад №1. Завдання. Знайти рішення матричного рівняння
Рішення. Позначимо:
Тоді матричне рівняння запишеться як: A·X·B = C.
Визначник матриці А дорівнює detA=-1
Оскільки A невироджена матриця, існує зворотна матриця A -1 . Помножимо зліва обидві частини рівняння на A -1: Помножуємо обидві частини цієї рівності зліва на A -1 і праворуч на B -1: A -1 · A · X · B · B -1 = A -1 · C · B -1 . Оскільки A·A -1 = B·B -1 = E і E·X = X·E = X, то X = A -1 ·C·B -1

Зворотна матриця A-1:
Знайдемо зворотну матрицю B-1.
Транспонована матриця B T:
Зворотна матриця B-1:
Матрицю X шукаємо за формулою: X = A -1 · C · B -1

Відповідь:

Приклад №2. Завдання.Розв'язати матричне рівняння
Рішення. Позначимо:
Тоді матричне рівняння запишеться як: A·X = B.
Визначник матриці А дорівнює detA=0
Оскільки A вироджена матриця (визначник дорівнює 0), отже рівняння рішення немає.

Приклад №3. Завдання. Знайти рішення матричного рівняння
Рішення. Позначимо:
Тоді матричне рівняння запишеться як: X·A = B.
Визначник матриці А дорівнює detA=-60
Оскільки A невироджена матриця, існує зворотна матриця A -1 . Помножимо праворуч обидві частини рівняння на A -1: X·A·A -1 = B·A -1 , звідки знаходимо, що X = B·A -1
Знайдемо зворотну матрицю A-1.
Транспонована матриця A T:
Зворотна матриця A-1:
Матрицю X шукаємо за формулою: X = B · A -1


Відповідь: >

У цьому відео ми розберемо цілий комплект лінійних рівнянь, які вирішуються по тому самому алгоритму — тому й вони і називаються найпростішими.

Спочатку визначимося: що таке лінійне рівняння і яке з них називати найпростішим?

Лінійне рівняння - таке, в якому є лише одна змінна, причому виключно в першому ступені.

Під найпростішим рівнянням мається на увазі конструкція:

Всі інші лінійні рівняння зводяться до найпростіших за допомогою алгоритму:

1. Розкрити дужки, якщо вони є;
2. Перенести доданки, що містять змінну, в один бік від знаку рівності, а доданки без змінної - в іншу;
3. Навести подібні доданки ліворуч і праворуч від знаку рівності;
4. Розділити отримане рівняння на коефіцієнт при змінній $x$.

Зрозуміло, цей алгоритм допомагає який завжди. Справа в тому, що іноді після всіх цих махінацій коефіцієнт при змінній $x$ виявляється нульовим. У цьому випадку можливі два варіанти:

1. Рівняння взагалі немає рішень. Наприклад, коли виходить щось на кшталт $0\cdot x=8$, тобто. ліворуч стоїть нуль, а праворуч — число, відмінне від нуля. У відео нижче ми розглянемо відразу кілька причин, через які можлива така ситуація.
2. Рішення – усі числа. Єдиний випадок, коли таке можливе – рівняння звелося до конструкції $0\cdot x=0$. Цілком логічно, що який би $x$ ми підставили, однаково вийде «нуль дорівнює нулю», тобто. правильне числове рівність.

А тепер подивимося, як все це працює на прикладі реальних завдань.

Приклади розв'язування рівнянь

Сьогодні ми займаємось лінійними рівняннями, причому лише найпростішими. Взагалі, під лінійним рівнянням мається на увазі всяка рівність, що містить у собі рівно одну змінну, і вона йде лише в першому ступені.

Вирішуються такі конструкції приблизно однаково:

1. Насамперед необхідно розкрити дужки, якщо вони є (як у нашому останньому прикладі);
2. Потім звести такі
3. Нарешті, усамітнити змінну, тобто. все, що пов'язано зі змінною - доданки, в яких вона міститься - перенести в один бік, а все, що залишиться без неї, перенести в інший бік.

Потім, як правило, потрібно навести подібні з кожної сторони отриманої рівності, а після цього залишиться лише розділити на коефіцієнт при «ікс», і ми отримаємо остаточну відповідь.

Теоретично це виглядає красиво і просто, проте на практиці навіть досвідчені учні старших класів можуть припускатися образливих помилок у досить простих лінійних рівняннях. Зазвичай помилки допускаються або під час розкриття дужок, або за підрахунком «плюсів» і «мінусів».

Крім того, буває так, що лінійне рівняння взагалі не має рішень, або так, що рішенням є вся числова пряма, тобто. будь-яке число. Ці тонкощі ми й розберемо на сьогоднішньому уроці. Але почнемо ми, як ви вже зрозуміли, із найпростіших завдань.

Схема вирішення найпростіших лінійних рівнянь

Для початку давайте ще раз напишу всю схему вирішення найпростіших лінійних рівнянь:

1. Розкриваємо дужки, якщо вони є.
2. Усамітнюємо змінні, тобто. все, що містить «ікси», переносимо в один бік, а без «іксів» — в інший.
3. Наводимо подібні доданки.
4. Поділяємо все на коефіцієнт при «ікс».

Зрозуміло, ця схема працює не завжди, у ній є певні тонкощі та хитрощі, і зараз ми з ними й познайомимося.

Вирішуємо реальні приклади простих лінійних рівнянь

Завдання №1

На першому кроці від нас потрібно розкрити дужки. Але їх у цьому прикладі немає, тому пропускаємо цей етап. На другому кроці нам потрібно усамітнити змінні. Зверніть увагу: йдеться лише про окремі доданки. Давайте запишемо:

Наводимо подібні доданки ліворуч і праворуч, але тут це вже зроблено. Тому переходимо до четвертого кроку: розділити на коефіцієнт:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Ось ми й отримали відповідь.

Завдання №2

У цьому завдання ми можемо спостерігати дужки, тому давайте розкриємо їх:

І ліворуч і праворуч ми бачимо приблизно ту саму конструкцію, але давайте діяти за алгоритмом, тобто. усамітнюємо змінні:

Наведемо такі:

При якому корінні це виконується. Відповідь: за будь-яких. Отже, можна записати, що $x$ - будь-яке число.

Завдання №3

Третє лінійне рівняння вже цікавіше:

\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]

Тут є кілька дужок, проте вони ні на що не множаться, просто перед ними стоять різні знаки. Давайте розкриємо їх:

Виконуємо другий уже відомий нам крок:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Порахуємо:

Виконуємо останній крок - ділимо все на коефіцієнт при "ікс":

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Що необхідно пам'ятати при вирішенні лінійних рівнянь

Якщо відволіктися від надто простих завдань, то я хотів би сказати таке:

• Як я говорив вище, далеко не кожне лінійне рівняння має рішення - іноді коріння просто немає;
• Навіть якщо коріння є, серед них може затесатися нуль — нічого страшного в цьому немає.

Нуль - таке ж число, як і інші, не варто його дискримінувати або вважати, що якщо у вас вийшов нуль, то ви щось зробили неправильно.

Ще одна особливість пов'язана з розкриттям дужок. Зверніть увагу: коли перед ними стоїть мінус, то ми його прибираємо, однак у дужках знаки міняємо на протилежні. А далі ми можемо розкривати її за стандартними алгоритмами: ми отримаємо те, що бачили у викладках вище.

Розуміння цього простого факту дозволить вам не допускати дурних і образливих помилок у старших класах, коли виконання подібних дій вважається самим собою зрозумілим.

Розв'язання складних лінійних рівнянь

Перейдемо до складніших рівнянь. Тепер конструкції стануть складнішими і при виконанні різних перетворень виникне квадратична функція. Однак не варто цього боятися, тому що якщо за задумом автора ми вирішуємо лінійне рівняння, то в процесі перетворення всі одночлени, які містять квадратичну функцію, обов'язково скоротяться.

Приклад №1

Очевидно, що насамперед потрібно розкрити дужки. Давайте це зробимо дуже обережно:

Тепер займемося самотою:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Наводимо такі:

Очевидно, що дане рівняння рішень немає, тому у відповіді так і запишемо:

\[\varnothing\]

або коріння немає.

Приклад №2

Виконуємо самі дії. Перший крок:

Перенесемо все, що зі змінною, вліво, а без неї вправо:

Наводимо такі:

Очевидно, що дане лінійне рівняння не має рішення, тому так і запишемо:

\[\varnothing\],

або коріння немає.

Нюанси рішення

Обидва рівняння повністю розв'язані. На прикладі цих двох виразів ми ще раз переконалися, що навіть у найпростіших лінійних рівняннях все може бути не так просто: коріння може бути або одне, або жодне, або нескінченно багато. У нашому випадку ми розглянули два рівняння, в обох коренів просто немає.

Але я хотів би звернути вашу увагу на інший факт: як працювати з дужками і як їх розкривати, якщо перед ними стоїть знак мінус. Розглянемо цей вираз:

Перш ніж розкривати, потрібно перемножити все на ікс. Зверніть увагу: множиться кожне окреме доданок. Усередині стоїть два доданки - відповідно, два доданки і множиться.

І тільки після того, коли ці, начебто, елементарні, але дуже важливі та небезпечні перетворення виконані, можна розкривати дужку з погляду того, що після неї стоїть знак «мінус». Так, так: тільки зараз, коли перетворення виконані, ми згадуємо, що перед дужками стоїть знак мінус, а це означає, що все, що вниз, просто змінює знаки. При цьому самі дужки зникають і, що найголовніше, передній мінус теж зникає.

Так само ми чинимо і з другим рівнянням:

Я не випадково звертаю увагу на ці дрібні, начебто, незначні факти. Тому що рішення рівнянь - це завжди послідовність елементарних перетворень, де невміння чітко і грамотно виконувати прості дії призводить до того, що учні старших класів приходять до мене і знову вчаться вирішувати такі прості рівняння.

Зрозуміло, настане день, і ви відточите ці навички до автоматизму. Вам вже не доведеться щоразу виконувати стільки перетворень, ви все писатимете в один рядок. Але поки ви тільки вчитеся, потрібно писати кожну дію окремо.

Вирішення ще більш складних лінійних рівнянь

Те, що ми зараз вирішуватимемо, вже складно назвати найпростішими завдання, проте сенс залишається тим самим.

Завдання №1

\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]

Давайте перемножимо всі елементи у першій частині:

Давайте виконаємо усамітнення:

Наводимо такі:

Виконуємо останній крок:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Ось наша остаточна відповідь. І, незважаючи на те, що у нас у процесі вирішення виникали коефіцієнти з квадратичною функцією, проте вони взаємно знищилися, що робить рівняння саме лінійним, а не квадратним.

Завдання №2

\[\left(1-4x \right)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \right)\]

Давайте акуратно виконаємо перший крок: множимо кожен елемент із першої дужки на кожен елемент із другої. Усього має вийти чотири нових доданків після перетворень:

А тепер акуратно виконаємо множення в кожному доданку:

Перенесемо доданки з «іксом» вліво, а без вправо:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Наводимо такі складові:

Ми знову отримали остаточну відповідь.

Нюанси рішення

Найважливіше зауваження щодо цих двох рівнянь полягає в наступному: як тільки ми починаємо множити дужки, в яких знаходиться більш ніж воно доданок, то виконується це за таким правилом: ми беремо перший доданок з першої і перемножуємо з кожним елементом з другого; потім беремо другий елемент з першої та аналогічно перемножуємо з кожним елементом з другої. У результаті в нас вийде чотири доданки.

Про алгебраїчну суму

На останньому прикладі я хотів би нагадати учням, що таке сума алгебри. У класичній математиці під $1-7$ ми маємо на увазі просту конструкцію: з одиниці віднімаємо сім. В алгебрі ж ми маємо на увазі під цим наступне: до «одиниця» ми додаємо інше число, а саме «мінус сім». Цим сума алгебри відрізняється від звичайної арифметичної.

Як тільки при виконанні всіх перетворень, кожного додавання та множення ви почнете бачити конструкції, аналогічні вищеописаним, ніяких проблем в алгебрі при роботі з багаточленами та рівняннями у вас просто не буде.

Насамкінець давайте розглянемо ще пару прикладів, які будуть ще складнішими, ніж ті, які ми щойно розглянули, і для їх вирішення нам доведеться дещо розширити наш стандартний алгоритм.

Розв'язання рівнянь із дробом

Для вирішення подібних завдань до нашого алгоритму доведеться додати ще один крок. Але для початку я нагадаю наш алгоритм:

1. Розкрити дужки.
2. Усамітнити змінні.
3. Навести такі.
4. Розділити на коефіцієнт.

На жаль, цей прекрасний алгоритм при всій його ефективності виявляється не цілком доречним, коли маємо дроби. А в тому, що ми побачимо нижче, у нас і ліворуч, і праворуч в обох рівняннях є дріб.

Як працювати у цьому випадку? Та все дуже просто! Для цього в алгоритм потрібно додати ще один крок, який можна зробити як перед першою дією, так і після нього, а саме позбутися дробів. Таким чином, алгоритм буде наступним:

1. Позбутися дробів.
2. Розкрити дужки.
3. Усамітнити змінні.
4. Навести такі.
5. Розділити на коефіцієнт.

Що означає «позбутися дробів»? І чому це можна виконувати як після, так і перед першим стандартним кроком? Насправді у разі всі дроби є числовими за знаменником, тобто. скрізь у знаменнику стоїть просто число. Отже, якщо ми обидві частини рівняння домножимо на це число, ми позбудемося дробів.

Приклад №1

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

Давайте позбудемося дробів у цьому рівнянні:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Зверніть увагу: на «чотири» множиться один раз, тобто. якщо у вас дві дужки, це не означає, що кожну з них потрібно множити на чотири. Запишемо:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Тепер розкриємо:

Виконуємо усамітнення змінної:

Виконуємо приведення подібних доданків:

\ -4x = -1 \ left | :\left(-4 \right) \right.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Ми одержали остаточне рішення, переходимо до другого рівняння.

Приклад №2

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]

Тут виконуємо ті самі дії:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Завдання вирішено.

Ось, власне, і все, що я сьогодні хотів розповісти.

Ключові моменти

Ключові висновки такі:

• Знати алгоритм розв'язання лінійних рівнянь.
• Вміння розкривати дужки.
• Не варто переживати, якщо десь у вас з'являються квадратичні функції, швидше за все, у процесі подальших перетворень вони скоротяться.
• Коріння в лінійних рівняннях, навіть найпростіших, буває трьох типів: один єдиний корінь, вся числова пряма є коренем, коріння немає взагалі.

Сподіваюся, цей урок допоможе вам освоїти нескладну, але дуже важливу для подальшого розуміння математики тему. Якщо щось незрозуміло, заходьте на сайт, вирішуйте приклади, представлені там. Залишайтеся з нами, на вас чекає ще багато цікавого!

Квадратні рівняння вивчають у 8 класі, тож нічого складного тут немає. Вміння вирішувати їх необхідно.

Квадратне рівняння - це рівняння виду ax 2 + bx + c = 0, де коефіцієнти a, b і c - довільні числа, причому a ≠ 0.

Перш ніж вивчати конкретні методи розв'язання, зауважимо, що всі квадратні рівняння можна умовно поділити на три класи:

1. Не мають коріння;
2. Мають рівно один корінь;
3. Мають два різні корені.

У цьому полягає важлива відмінність квадратних рівнянь від лінійних, де корінь завжди існує і єдний. Як визначити, скільки коренів має рівняння? Для цього існує чудова річ. дискримінант.

Дискримінант

Нехай дано квадратне рівняння ax 2 + bx + c = 0. Тоді дискримінант це просто число D = b 2 − 4ac .

Цю формулу треба знати напам'ять. Звідки вона береться - зараз не має значення. Важливо інше: за знаком дискримінанта можна визначити, скільки коренів має квадратне рівняння. А саме:

1. Якщо D< 0, корней нет;
2. Якщо D = 0, є рівно один корінь;
3. Якщо D > 0, коріння буде два.

Зверніть увагу: дискримінант вказує на кількість коренів, а зовсім не на їхні знаки, як чомусь багато хто вважає. Погляньте на приклади - і самі все зрозумієте:

Завдання. Скільки коренів мають квадратні рівняння:

1. x 2 − 8x + 12 = 0;
2. 5x2+3x+7=0;
3. x 2 - 6x + 9 = 0.

Випишемо коефіцієнти для першого рівняння та знайдемо дискримінант:
a = 1, b = -8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 · 1 · 12 = 64 − 48 = 16

Отже, дискримінант позитивний, тому рівняння має два різні корені. Аналогічно розбираємо друге рівняння:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 · 5 · 7 = 9 − 140 = −131.

Дискримінант негативний, коріння немає. Залишилося останнє рівняння:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 · 1 · 9 = 36 − 36 = 0.

Дискримінант дорівнює нулю – корінь буде один.

Зверніть увагу, що для кожного рівняння було виписано коефіцієнти. Так, це довго, так, це нудно — зате ви не переплутаєте коефіцієнти і не припуститеся дурних помилок. Вибирайте самі: швидкість чи якість.

До речі, якщо «набити руку», через деякий час вже не потрібно виписувати всі коефіцієнти. Такі операції ви виконуватимете в голові. Більшість людей починають робити десь після 50-70 вирішених рівнянь — загалом, не так і багато.

Коріння квадратного рівняння

Тепер перейдемо власне до рішення. Якщо дискримінант D > 0, коріння можна знайти за формулами:

Основна формула коренів квадратного рівняння

Коли D = 0, можна використовувати будь-яку з цих формул — вийде те саме число, яке і буде відповіддю. Нарешті, якщо D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 − 2x − 3 = 0;
2. 15 − 2x − x 2 = 0;
3. x2+12x+36=0.

Перше рівняння:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = -2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 · 1 · (−3) = 16.

D > 0 ⇒ рівняння має два корені. Знайдемо їх:

Друге рівняння:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = -2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ рівняння знову має два корені. Знайдемо їх

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(align)\]

Нарешті, третє рівняння:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 · 1 · 36 = 0.

D = 0 ⇒ рівняння має один корінь. Можна використати будь-яку формулу. Наприклад, першу:

Як бачимо з прикладів, все дуже просто. Якщо знати формули та вміти рахувати, проблем не буде. Найчастіше помилки виникають при підстановці формулу негативних коефіцієнтів. Тут знову ж таки допоможе прийом, описаний вище: дивіться на формулу буквально, розписуйте кожен крок — і дуже скоро позбавтеся помилок.

Неповні квадратні рівняння

Буває, що квадратне рівняння дещо відрізняється від того, що дано у визначенні. Наприклад:

1. x 2 + 9x = 0;
2. x 2 - 16 = 0.

Неважко помітити, що у цих рівняннях відсутнє одне із доданків. Такі квадратні рівняння вирішуються навіть легше, ніж стандартні: у них навіть не потрібно вважати дискримінант. Отже, введемо нове поняття:

Рівняння ax 2 + bx + c = 0 називається неповним квадратним рівнянням, якщо b = 0 чи c = 0, тобто. коефіцієнт при змінній x чи вільний елемент дорівнює нулю.

Вочевидь, можливий дуже важкий випадок, коли обидва цих коефіцієнта дорівнюють нулю: b = c = 0. І тут рівняння набуває вигляду ax 2 = 0. Вочевидь, таке рівняння має єдиний корінь: x = 0.

Розглянемо решту випадків. Нехай b = 0, тоді отримаємо неповне квадратне рівняння виду ax 2 + c = 0. Дещо перетворимо його:

Оскільки арифметичний квадратний корінь існує тільки з невід'ємного числа, остання рівність має сенс виключно за (−c /a ) ≥ 0. Висновок:

1. Якщо у неповному квадратному рівнянні виду ax 2 + c = 0 виконано нерівність (−c /a ) ≥ 0, коріння буде два. Формула дана вище;
2. Якщо ж (−c /a)< 0, корней нет.

Як бачите, дискримінант не був потрібний — у неповних квадратних рівняннях взагалі немає складних обчислень. Насправді навіть необов'язково пам'ятати нерівність (−c /a ) ≥ 0. Достатньо виразити величину x 2 і подивитися, що стоїть з іншого боку знаку рівності. Якщо там позитивне число — коріння буде два. Якщо негативне — коріння взагалі не буде.

Тепер розберемося з рівняннями виду ax 2 + bx = 0, у яких вільний елемент дорівнює нулю. Тут усе просто: коріння завжди буде два. Достатньо розкласти багаточлен на множники:

Винесення загального множника за дужку

Добуток дорівнює нулю, коли хоча б один із множників дорівнює нулю. Звідси є коріння. На закінчення розберемо кілька таких рівнянь:

Завдання. Розв'язати квадратні рівняння:

1. x 2 − 7x = 0;
2. 5x 2 + 30 = 0;
3. 4x 2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Коріння немає, т.к. квадрат не може дорівнювати негативному числу.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = -1,5.