Найбільш поширеною формою статистичних показників, що використовуються в соціально-економічних дослідженнях, є середня величина, що є узагальненою кількісною характеристикою ознаки статистичної сукупності. Середні величини є хіба що «представниками» низки спостережень. Визначити середню можна у багатьох випадках через вихідне співвідношення середньої (ІДС) або її логічну формулу: . Так, наприклад, для розрахунку середньої заробітної платипрацівників підприємства необхідно загальний фонд заробітної плати розділити на число працівників: Чисельник вихідного співвідношення середньої є її визначальним показником. Для середньої зарплати таким визначальним показником є ​​фонд зарплати. Для кожного показника, що використовується в соціально- економічному аналізі, Можна скласти тільки одне справжнє вихідне співвідношення для середньої розрахунку. Слід додати, що для того, щоб більш точно оцінити стандартне відхиленнядля малих вибірок (з числом елементів менше 30), у знаменнику виразу під коренем треба використовувати не n, а n- 1.

Поняття та види середніх величин

Середня величина- це узагальнюючий показник статистичної сукупності, що погашає індивідуальні відмінності значень статистичних величиндозволяючи порівнювати різні сукупності між собою. Існує 2 класисередніх величин: статечні та структурні. До структурних середніх відносяться мода і медіана , але найчастіше застосовуються статечні середнірізних видів.

Ступінні середні величини

Ступінні середні можуть бути простимиі зваженими.

Проста середня величина розраховується за наявності двох і більше несгрупованих статистичних величин, розташованих у довільному порядку за наступною загальною формулою середньої статечної (за різної величини k(m)):

Зважена середня величина розраховується за згрупованими статистичними величинами з використанням наступної загальної формули:

Де x - Середня величина досліджуваного явища; x i - i -й варіант усредняемого ознаки;

f i - Вага i-го варіанту.

Де X – значення окремих статистичних величин чи середин групувальних інтервалів;
m - показник ступеня, від значення якого залежать такі види статечних середніх величин:
при m = -1 середня гармонійна;
при m = 0 середня геометрична;
при m = 1 середня арифметична;
при m = 2 середня квадратична;
при m = 3 середня кубічна.

Використовуючи загальні формули простої та виваженої середніх за різних показників ступеня m, отримуємо приватні формули кожного виду, які будуть далі докладно розглянуті.

Середня арифметична

Середня арифметична – початковий момент першого порядку, математичне очікуваннязначень випадкової величині при великій кількості випробувань;

Середня арифметична - це часто використовувана середня величина, яка виходить, якщо підставити в загальну формулу m=1. Середня арифметична простамає наступний вигляд:

або

Де X - значення величин, котрим необхідно розрахувати середнє значення; N - Загальна кількістьзначень X (кількість одиниць у досліджуваній сукупності).

Наприклад, студент склав 4 іспити та отримав наступні оцінки: 3, 4, 4 та 5. Розрахуємо середній балза формулою середньої арифметичної простий: (3+4+4+5)/4 = 16/4 = 4.Середня арифметична зваженамає такий вигляд:

Де f – кількість величин з однаковим значенням X (частота). >Наприклад, студент склав 4 іспити і отримав такі оцінки: 3, 4, 4 і 5. Розрахуємо середній бал за формулою середньої арифметичної зваженої: (3*1 + 4*2 + 5*1)/4 = 16/4 = 4 .Якщо значення X задані у вигляді інтервалів, то для розрахунків використовують середини інтервалів X, які визначаються як напівсума верхньої та нижньої меж інтервалу. А якщо у інтервалу X відсутня нижня або верхня межа (відкритий інтервал), то для її знаходження застосовують розмах (різницю між верхньою та нижньою межею) сусіднього інтервалу X. Наприклад, на підприємстві 10 працівників зі стажем роботи до 3 років, 20 – зі стажем від 3 до 5 років, 5 працівників – зі стажем понад 5 років. Тоді розрахуємо середній стаж працівників за формулою середньої арифметичної зваженої, прийнявши як X середину інтервалів стажу (2, 4 та 6 років): (2 * 10 +4 * 20 +6 * 5) / (10 +20 +5) = 3,71 року.

Функція СРЗНАЧ

Ця функція обчислює середнє (арифметичне) своїх аргументів.

СРЗНАЧ(число1; число2; ...)

Число1, число2, ... - це від 1 до 30 аргументів, котрим обчислюється середнє.

Аргументи мають бути числами чи іменами, масивами чи посиланнями, що містять числа. Якщо аргумент, який є масивом чи посиланням, містить тексти, логічні значення чи порожні комірки, такі значення ігноруються; однак, комірки, які містять нульові значення, враховуються.

Функція РОЗДІЛ

Обчислює середнє арифметичне значень, заданих у списку аргументів. Крім чисел у розрахунку можуть брати участь текст та логічні значення, такі як ІСТИНА та БРЕХНЯ.

СРЗНАЧА (значення1, значення2, ...)

Значение1, значение2,... - це від 1 до 30 осередків, інтервалів осередків чи значень, котрим обчислюється середнє.

Аргументи мають бути числами, іменами, масивами чи посиланнями. Масиви та посилання, що містять текст, інтерпретуються як 0 (нуль).

Порожній текст ("") інтерпретується як 0 (нуль). Аргументи, що містять значення ІСТИНА, інтерпретуються як 1, Аргументи, що містять значення брехня, інтерпретуються як 0 (нуль).

Середня арифметична застосовується найчастіше, але трапляються випадки, коли необхідно застосування інших видів середніх величин. Розглянемо такі випадки.

Середня гармонійна Середня гармонійна для визначеннясередньої суми

обернених величин;Середня гармонійна

застосовується, коли вихідні дані не містять частот f за окремими значеннями X, а представлені як їхній твір Xf. Позначивши Xf=w, виразимо f=w/X, і, підставивши ці позначення формулу середньої арифметичної зваженої, отримаємо формулу середньої гармонійної зваженої: Таким чином, середня зважена гармонійна застосовується тоді, коли невідомі частоти f, а відомо w=Xf. У тих випадках, коли всі w=1, тобто індивідуальні значення X зустрічаються по 1 разу, застосовується формула середньої гармонійної простий: або Наприклад, автомобіль їхав із пункту А до пункту Б зі швидкістю 90 км/год, а назад - зі швидкістю 110 км/год. Для визначення середньої швидкості застосуємо формулу середньої гармонійної простий, так як у прикладі дано відстань w 1 = w 2 (відстань з пункту А в пункт Б така, як і з Б в А), яка дорівнює добутку швидкості (X) на час ( f).Середня швидкість

= (1+1)/(1/90+1/110) = 99 км/год.

Функція СРГАРМ

Повертає середню гармонійну множину даних.

Число1, число2, ... - це від 1 до 30 аргументів, котрим обчислюється середнє. Можна використовувати масив або посилання на масив замість аргументів, що розділяються крапкою з комою.

Середнє гармонійне завжди менше середнього геометричного, що завжди менше середнього арифметичного.

Середня геометрична

Середня геометрична для оцінки середніх темпів зростання випадкової величини, знаходження значення ознаки, рівновіддаленого від мінімального та максимального значення;

Середня геометричназастосовується щодо середніх відносних змін. Геометрична середня величина дає найбільш точний результат опосередкування, якщо завдання стоїть у знаходженні такого значення X, який би рівновіддалений як від максимального, так і від мінімального значення X. Наприклад, у період з 2005 по 2008 рокиіндекс інфляції у Росії становив: у 2005 році - 1,109; у 2006 – 1,090; у 2007 – 1,119; у 2008 – 1,133. Так як індекс інфляції - це відносна зміна (індекс динаміки), то розраховувати середнє значення потрібно за середньою геометричною: (1,109 * 1,090 * 1,119 * 1,133) ^ (1/4) = 1,1126, тобто за період з 2005 по 2008 щорічно ціни зростали у середньому на 11,26%. Помилковий розрахунок за середньою арифметичною дало б невірний результат 11,28%.

Функція СРГЕОМ

Повертає середнє геометричних значеньмасиву чи інтервалу позитивних чисел. Наприклад, функцію СРГЕОМ можна використовуватиме обчислення середніх темпів зростання, якщо заданий складовий дохід зі змінними ставками.

СРГЕОМ (число1; число2; ...)

Число 1, число 2, ... - Це від 1 до 30 аргументів, для яких обчислюється середнє геометричне.

Можна використовувати масив або посилання на масив замість аргументів, що розділяються крапкою з комою.

Середня квадратична

Середня квадратична – початковий момент другого порядку.Середня квадратична застосовується у тих випадках, коли вихідні значення X можуть бути як позитивними, так і негативними, наприклад, при розрахунку середніх відхилень.

Головною сферою застосування квадратичної середньої є вимірювання варіації значень X.

Середня кубічна

Головною сферою застосування квадратичної середньої є вимірювання варіації значень X.Середня кубічна – початковий момент третього порядку. застосовується вкрай рідко, наприклад, при розрахунку індексів злиднів населення длякраїн, що розвиваються

(ІПН-1) і для розвинених (ІПН-2), запропонованих і розрахованих ООН.

Найбільше в ек. практиці доводиться вживати середню арифметичну, яка може бути обчислена як середня арифметична проста та зважена.Середня арифметична (СА)Найбільш поширений вид середніх. Вона застосовується в тих випадках, коли обсяг ознаки, що варіює, для всієї сукупності є сумою значень ознак окремих її одиниць. Для суспільних явищ характерна адитивність (сумарність) обсягів варіюючої ознаки, цим визначається сфера застосування СА і пояснюється її поширеність як узагальнюючого показника, напр: загальний фонд зарплатню – це сума зарплатню всіх працівників.

Щоб обчислити СА, необхідно суму всіх значень ознак розділити з їхньої число.СА примен-ся у 2 формах.

Розглянемо спочатку просту арифметичну середню.

1-СА проста (вихідна, визначальна форма) дорівнює простій сумі окремих значень середньої ознаки, поділеної на загальне число цих значень (застосовується коли є несгруповані інд. значення ознаки):

Зроблені обчислення можуть бути узагальнені в наступну формулу:

(1)

де - Середнє значення варіює ознаки, тобто середня арифметична проста;

означає підсумовування, тобто додавання окремих ознак;

x- окремі значення варіюючої ознаки, які називаються варіантами;

n - Число одиниць сукупності

Приклад1,потрібно знайти середнє вироблення одного робітника (слюсаря), якщо відомо, скільки деталей виготовив кожен із 15 робочих, тобто. дано ряд інд. значень ознаки, прим.: 21; 20; 20; 19; 21; 19; 18; 22; 19; 20; 21; 20; 18; 19; 20.

СА проста розраховується за формулою (1), шт.:

Приклад2. Розрахуємо СА на підставі умовних даних по 20 магазинах, що входять до торгової фірми (табл. 1). Таблиця 1

Розподіл магазинів торгової фірми "Весна" за площею, кв. М

№ магазину		№ магазину

Для обчислення середньої площі магазину ( ) необхідно скласти площі всіх магазинів та отриманий результат розділити на число магазинів:

Т.ч., середня площа магазину за цією групою торгових підприємств складає 71 кв.

Отже, щоб визначити СА просту, потрібно суму всіх значень даної ознаки розділити на число одиниць, що мають цю ознаку.

2

де f 1 , f 2 , … ,f n – ваги (частоти повторення однакових ознак);

– сума творів величини ознак їх частоти;

- Загальна чисельність одиниць сукупності.

- СА зважена - зсередня з варіантів, які повторюються різне число разів, або, як кажуть, мають різну вагу. Як ваги виступають чисельності одиниць у різних групах сукупності (у групу поєднують однакові варіанти). СА зважена – середня згрупованих величин x 1 , x 2 , .., x n, – обчислюється: (2)

Де х- Варіанти;

f- Частота (вага).

СА зважена є окреме від поділу суми творів варіантів і відповідних їм частот у сумі всіх частот. Частоти ( f) що фігурують у формулі СА, прийнято називати вагами, внаслідок чого СА, обчислена з урахуванням ваг, і отримала назву виваженою.

Техніку обчислення зваженої СА проілюструємо на розглянутому вище прикладі 1. Для цього згрупуємо вихідні дані і помістимо їх в табл.

Середня із згрупованих даних визначається наступним чином: спочатку перемножують варіанти на частоти, потім складають твори та отриману суму ділять на суму частот.

За формулою (2) СА зважена дорівнює, шт.:

Розподіл робітників з вироблення деталей

П

ведені в попередньому прикладі 2 дані можна об'єднати в однорідні групи, які представлені в табл. Таблиця

Розподіл магазинів фірми "Весна" за торговельною площею, кв. м

Т.ч., результат вийшов той самий. Однак це вже буде середня величина арифметична зважена.

У попередньому прикладі ми обчислювали арифметичну середню за умови, що відомі абсолютні частоти (чисельність магазинів). Однак у ряді випадків абсолютні частоти відсутні, а відомі відносні частоти, або, як прийнято їх називати, частості, які показують частку абопитома вага частот у всій сукупності.

При розрахунках СА виваженим використання частотдозволяє спрощувати розрахунки, коли частота виражена великими, багатозначними числами. Розрахунок проводиться тим самим способом, однак, оскільки середня величина виявляється збільшеною в 100 разів, отриманий результат слід розділити на 100.

Тоді формула середньої арифметичної зваженої матиме вигляд:

де d- Частість, тобто. частка кожної частоти в загальну сумувсіх частот.

(3)

У прикладі 2 спочатку визначають питома вагамагазинів за групами в загальної чисельностімагазинів фірми "Весна". Так, для першої групи питома вага відповідає 10%
. Отримуємо такі дані Таблиця3

З метою аналізу та отримання статистичних висновків за результатом зведення та угруповання обчислюють узагальнюючі показники – середні та відносні величини.

Завдання середніх величин - Охарактеризувати всі одиниці статистичної сукупності одним значенням ознаки.

Середні величини характеризуються якісні показники. підприємницької діяльності: Витрати звернення, прибуток, рентабельність та ін.

Середня величина- Це узагальнююча характеристика одиниць сукупності за якою-небудь ознакою, що варіює.

Середні величини дозволяють порівнювати рівні однієї й тієї ознаки у різних сукупностях і знаходити причини цих розбіжностей.

У аналізі досліджуваних явищ роль середніх величин величезна. Англійський економістУ. Петті (1623-1687 рр.) широко використовував середні величини. В. Петті хотів використати середні величини як міру вартості витрат на середню денну їжу одного працівника. Стійкість середньої величини- Це відображення закономірності досліджуваних процесів. Він вважав, що інформацію можна перетворити, навіть якщо немає достатнього обсягу вихідних даних.

Застосовував середні та відносні величини англійський вчений Г. Кінг (1648–1712) при аналізі даних про населення Англії.

Теоретичні розробки бельгійського статистика А. Кетле (1796-1874 рр.) засновані на суперечливості природи соціальних явищ- Високостійких у масі, але суто індивідуальних.

Згідно з А. Кетле постійні причинидіють однаково на кожне явище, що вивчається, і роблять ці явища схожими другна друга, створюють загальні всім них закономірності.

Наслідком вчення А. Кетле стало виділення середніх величин як основний прийом статистичного аналізу. Він говорив, що статистичні середні величини є не категорією об'єктивної дійсності.

А. Кетле висловив погляди на середню величину у своїй теорії середньої людини. Середня людина – це людина, яка володіє всіма якостями в середньому розмірі (середня смертність або народжуваність, середнє зростання і вага, середня швидкість бігу, середня схильність до шлюбу та самогубства, до добрим справамі т.д.). Для А. Кетлі середня людина- Це ідеал людини. Неспроможність теорії середньої людини А. Кетле була доведена в російській статистичній літературі кінці XIX-XXст.

Відомий російський статистик Ю. Е. Янсон (1835-1893 рр.) писав, що А. Кетле передбачає існування в природі типу середньої людини як чогось даного, від якого життя відхилило середніх людей даного суспільства і даного часу, а це наводить його до абсолютно механічного погляду та на закони руху соціального життя: Рух - це поступове зростання середніх властивостей людини, поступове відновлення типу; отже, таке нівелювання всіх проявів життя соціального тіла, за яким всяке поступальний рухприпиняється.

Сутність цієї теорії знайшла своє подальший розвитоку роботах низки теоретиків статистики як теорія дійсних величин. У А. Кетле були послідовники – німецький економіст і статистик У. Лексис (1837-1914 рр.), який переніс теорію справжніх величин економічні явища суспільного життя. Його теорія відома під назвою теорія стійкості. Інший різновид ідеалістичної теорії середніх величин заснований на філософії

Її засновник – англійська статистикаА. Боулі (1869– 1957гг.) – одне із найпомітніших теоретиків нового часу у сфері теорії середніх величин. Його концепцію середніх величин викладено у книзі «Елементи статистики».

А. Боулі розглядає середні величини лише з кількісного боку, цим відриває кількість від якості. Визначаючи значення середніх величин (або «їхню функцію»), А. Боулі висуває махістський принцип мислення. А. Боулі писав, що функція середніх величин має висловлювати складну групу

за допомогою небагатьох простих чисел. Статистичні дані повинні бути спрощені, згруповані та приведені до середніх.

У 30-ті роки. XX ст. та наступні роки середня величина сприймається як соціально значуща характеристика, інформативність якої залежить від однорідності даних.

Найвизначніші представники італійської школи Р. Беніні (1862-1956 рр.) та К. Джині (1884-1965 рр.), вважаючи статистику галуззю логіки, розширили сферу застосування статистичної індукції, але пізнавальні принципилогіки та статистики вони пов'язували з природою досліджуваних явищ, дотримуючись традицій соціологічного трактування статистики.

У роботах К. Маркса та В. І. Леніна середнім величинам відводиться особлива роль.

Маркс стверджував, що в середній величині погашаються індивідуальні відхилення від загального рівняі середній рівеньстає узагальнюючою характеристикою масового явища Такою характеристикою масового явища середня величина стає лише за умови, якщо взято значну кількість одиниць і ці одиниці якісно однорідні. Маркс писав, щоб середня величина була середньою «…багатьох різних індивідуальних величин одного й того ж виду».

Середня величина набуває особливої ​​значущості за умов ринкової економіки. Вона допомагає визначити необхідне та загальне, тенденцію закономірності економічного розвиткубезпосередньо через одиничне та випадкове.

Середні величиниє узагальнюючими показниками, у яких виражають дію загальних умов, закономірність досліджуваного явища.

Статистичні середні величини розраховуються з урахуванням масових даних статистично правильно організованого масового спостереження. Якщо статистична середня розраховується за масовими даними для якісно однорідної сукупності ( масових явищ), то вона буде об'єктивною.

Середня величина абстрактна, оскільки характеризує значення абстрактної одиниці.

Від різноманітності ознаки в окремих об'єктів абстрагується середня. Абстракція – ступінь наукового дослідження. У середній величині здійснюється діалектична єдність окремого та загального.

Середні величини повинні застосовуватися виходячи з діалектичного розуміння категорій індивідуального та загального, одиничного та масового.

Середня відображає щось спільне, що складається у певному одиничному об'єкті.

Для виявлення закономірностей у масових суспільних процесах середня величина має значення.

Відхилення індивідуального від загального – прояв розвитку.

У середній величині відбивається характерний, типовий, реальний рівень явищ, що вивчаються. Завданням середніх величин є характеристика цих рівнів та їх змін у часі та просторі.

Середній показник – це звичайне значення, тому що формується у нормальних, природних, загальних умовахіснування конкретного масового явища, що розглядається загалом.

Об'єктивна властивість статистичного процесучи явища відбиває середня величина.

Індивідуальні значення досліджуваного статистичного ознаки кожної одиниці сукупності різні. Середня величина індивідуальних значеньодного виду - продукт необхідності, який є результатом сукупної дії всіх одиниць сукупності, що проявляється в масі випадковостей, що повторюються.

Одні індивідуальні явища мають ознаки, які існують у всіх явищах, але в різних кількостях– це зростання чи вік людини. Інші ознаки індивідуального явища, якісно різні в різних явищах, тобто є в одних і не спостерігаються в інших (чоловік не стане жінкою). Середня величина обчислюється для ознак якісно однорідних та різних лише кількісно, ​​які притаманні всім явищам у даній сукупності.

Середня величина є відображенням значень досліджуваної ознаки і вимірюється в тій же розмірності, що і ця ознака.

Теорія діалектичного матеріалізму вчить, що у світі змінюється, розвивається. А також змінюються ознаки, що характеризуються середніми величинами, а відповідно – і середні.

У житті відбувається безперервний процесстворення чогось нового. Носієм нової якості є одиничні об'єкти, далі кількість цих об'єктів зростає, і нове стає масовим, типовим.

Середня величина характеризує досліджувану сукупність лише за однією ознакою. Для повного і всебічного представлення досліджуваної сукупності за низкою певних ознак необхідно мати систему середніх величин, які можуть описати явище з різних сторін.

2. Види середніх величин

У статистичної обробкиматеріалу виникають різноманітні завдання, які необхідно вирішувати, і тому у статистичній практиці використовуються різноманітні середні величини. Математична статистика використовує різні середні, такі як: арифметична середня; середня геометрична; середня гармонійна; середня квадратична.

Для того щоб застосувати одну з вищеперелічених видів середньої, необхідно проаналізувати сукупність, що вивчається, визначити матеріальний зміст досліджуваного явища, все це робиться на основі висновків, отриманих з принципу свідомості результатів при зважуванні або підсумовуванні.

У вивченні середніх величин застосовуються такі показники та позначення.

Ознака, за якою знаходиться середня, називається середньою ознакою і позначається x; величина середньої ознаки у будь-якої одиниці статистичної сукупності називають індивідуальним його значенням,або варіантами,і позначають як x 1 х 2 , x 3 ,… х п ; частота – це повторюваність індивідуальних значень ознаки, що позначається буквою f.

Середня арифметична

Один із найпоширеніших видів середньої – середня арифметична, яка обчислюється тоді, коли обсяг осредняемого ознаки утворюється як сума його значень в окремих одиниць статистичної сукупності, що вивчається.

Для обчислення середньої арифметичної величини суму всіх рівнів ознаки ділять з їхньої число.

Якщо деякі варіанти зустрічаються кілька разів, то суму рівнів ознаки можна отримати множенням кожного рівня на відповідне число одиниць сукупності з наступним складанням отриманих творів, обчислена таким чином середня арифметична називається зваженою середньою арифметичною.

Формула середньої арифметичної зваженої виглядає так:

дех i - варіанти,

f i – частоти чи ваги.

Зважена середня величина повинна використовуватися у всіх випадках, коли варіанти мають різну чисельність.

Арифметична середня ніби розподіляє порівну між окремими об'єктами. загальну величинуознаки, що насправді варіюється у кожного з них.

Обчислення середніх величин проводять за даними, згрупованими у вигляді інтервальних рядів розподілу, коли варіанти ознаки, з яких обчислюється середня, представлені у вигляді інтервалів (від – до).

Властивості середньої арифметичної:

1) середня арифметична сумаваріюючих величин дорівнює сумі середніх арифметичних величин: Якщо х i = y i +z i , то

Ця властивість показує у випадках можна підсумовувати середні величини.

2) алгебраїчна сума відхилень індивідуальних значень варіює ознаки від середньої дорівнює нулю, так як сума відхилень в один бік погашається сумою відхилень в іншу сторону:

Це правило демонструє, що середня є рівнодією.

3) якщо всі варіанти ряду збільшити або зменшити на те саме число?, то середня збільшиться або зменшиться на це ж число?:

4) якщо всі варіанти ряду збільшити або зменшити в раз, то середня також збільшиться або зменшиться в раз:

5) п'ята властивість середньої показує нам, що вона не залежить від розмірів ваги, але залежить від співвідношення між ними. Як ваги можуть бути взяті не тільки відносні, але і абсолютні величини.

Якщо всі частоти ряду розділити або помножити на одне і те ж число d, то середня не зміниться.

Середня гармонійна.Для того щоб визначити середню арифметичну, необхідно мати низку варіантів і частот, тобто значення хі f.

Припустимо, відомі індивідуальні значення ознаки хта твори х/,а частоти fневідомі, тоді, щоб розрахувати середню, позначимо твір = х/;звідки:

Середня у цій формі називається середньою гармонійною зваженою та позначається х гарм. взв.

Відповідно, середня гармонійна тотожна середній арифметичній. Вона застосовна, коли невідомі дійсні ваги f, а відомий твір fх = z

Коли твори fходнакові або рівні одиниці (m = 1) застосовується середня гармонійна проста, яка обчислюється за формулою:

де х- Окремі варіанти;

n- Число.

Середня геометрична

Якщо є n коефіцієнтів зростання, то формула середнього коефіцієнта:

Це формула середньої геометричної.

Середня геометрична дорівнює кореню ступеня nз праці коефіцієнтів зростання, що характеризують відношення величини кожного наступного періоду до величини попереднього.

Якщо середовищу підлягають величини, виражені у вигляді квадратних функцій, Застосовується середня квадратична. Наприклад, за допомогою середньої квадратичної можна визначити діаметри труб, коліс тощо.

Середня квадратична проста визначається шляхом вилучення квадратного кореня з частки від поділу суми квадратів окремих значень ознаки з їхньої число.

Середня квадратична зважена дорівнює:

3. Структурні середні величини. Мода та медіана

Для характеристики структури статистичної сукупності застосовують показники, які називають структурними середніми.До них відносяться мода та медіана.

Мода (М о ) - Найчастіше зустрічається варіант. Модоюназивається значення ознаки, що відповідає максимальній точці теоретичної кривої розподілів.

Мода представляє найбільш поширене або типове значення.

Мода застосовується в комерційній практиці для вивчення купівельного попиту та реєстрації цін.

У дискретному рядумода - це варіанти з найбільшою частотою. В інтервальному варіаційному рядумодою вважають центральний варіант інтервалу, який має найбільшу частоту(Винятість).

У межах інтервалу треба знайти значення ознаки, яке є модою.

де х о- нижня межа модального інтервалу;

h- Величина модального інтервалу;

f m- Частота модального інтервалу;

f т-1 – частота інтервалу, що передує модальному;

f m+1 – частота інтервалу, наступного за модальним.

Мода залежить від величини груп, від точного становища меж груп.

Мода- Число, яке насправді зустрічається найчастіше (є величиною певної), в практиці має найширше застосування (найчастіше зустрічається тип покупця).

Медіана (M e– це величина, яка ділить чисельність упорядкованого варіаційного ряду на дві рівні частини: одна частина має значення ознаки, що варіює, менші, ніж середній варіант, а інша – великі.

Медіана- Це елемент, який більший або дорівнює і одночасно менше або дорівнює половині інших елементів ряду розподілу.

Властивість медіани полягає в тому, що сума абсолютних відхилень значень ознаки від медіани менша, ніж від будь-якої іншої величини.

Застосування медіани дозволяє отримати більше точні результати, ніж при використанні інших середніх форм.

Порядок знаходження медіани в інтервальному варіаційному ряду наступний: маємо індивідуальні значення ознаки по ранжиру; визначаємо для даного ранжованого ряду накопичені частоти; за даними про накопичені частоти знаходимо медіанний інтервал:

де х ме– нижня межа медіанного інтервалу;

i Me- Величина медіанного інтервалу;

f/2- Напівсума частот ряду;

S Me-1 – сума накопичених частот, що передують медіанному інтервалу;

f Me- Частота медіанного інтервалу.

Медіана ділить чисельність низки навпіл, отже, вона там, де накопичена частота становить половину чи більше половини всієї суми частот, а попередня (накопичена) частота менше половини чисельності сукупності.

В математиці та статистиці середняарифметичне (або легко середня) Комплекту чисел - це сума всіх чисел у цьому комплекті, поділена на їх число. Середнє арифметичне є особливо загальним та найпоширенішим уявленням середньої величини.

Вам знадобиться

• Знання з математики.

Інструкція

1. Нехай дано комплект із чотирьох чисел. Потрібно знайти середня значенняцього комплекту. Для цього спочатку виявимо суму всіх цих чисел. Можливі ці числа 1, 3, 8, 7. Їх сума дорівнює S = 1 + 3 + 8 + 7 = 19. Комплект чисел повинен складатися з чисел одного знака, інакше толк у обчисленні середнього значення втрачається.

2. Середнє значеннякомплекту чисел дорівнює сумі чисел S, поділеної число цих чисел. Тобто виходить, що середня значенняодно: 19/4 = 4.75.

3. Для комплекту числа також можна знайти не тільки середняарифметичне, а й середнягеометричне. Середнім геометричним кількох правильних дійсних чиселназивається таке число, яким можна замінити будь-яке з цих чисел так, щоб їх твір не змінилося. Середнє геометричне G шукається за формулою: корінь N-го ступеня з добутку комплекту чисел, де N – число в комплекті. Розглянемо той самий комплект чисел: 1, 3, 8, 7. Виявимо їх середнягеометричне. Для цього порахуємо твір: 1 * 3 * 8 * 7 = 168. Тепер з числа 168 необхідно отримати корінь четвертого ступеня: G = (168) ^ 1/4 = 3.61. Таким чином середнягеометричний комплект чисел дорівнює 3.61.

Середнєгеометричне в сукупності застосовується рідше, ніж арифметичне середнє, проте воно може бути придатним при обчисленні середнього значення показників, що змінюються з часом (заробітна плата окремого працівника, динаміка показників успішності тощо).

Вам знадобиться

• Інженерний калькулятор

Інструкція

1. Для того щоб виявити середнє геометричне ряду чисел, спочатку потрібно перемножити всі ці числа. Скажімо, вам дано комплект із п'яти показників: 12, 3, 6, 9 та 4. Перемножимо всі ці числа: 12х3х6х9х4=7776.

2. Тепер з отриманого числа необхідно отримати корінь ступеня, рівною числуелементів ряду. У нашому випадку з числа 7776 необхідно буде витягти корінь п'ятого ступеня за допомогою інженерного калькулятора. Отримане пізніше цієї операції число - в даному випадкучисло 6 – буде середнім геометричним для початкової групичисел.

3. Якщо у вас під рукою немає інженерного калькулятора, то обчислити середнє геометричне ряду чисел можна за допомогою функції СРГЕОМ в програмі Excelабо за допомогою одного з онлайн-калькуляторів, навмисно призначених для обчислення середніх геометричних значень.

Зверніть увагу!
Якщо знадобиться виявити середнє геометричне кожного для 2-х чисел, то інженерний калькулятор вам не знадобиться: витягти корінь 2-го ступеня ( квадратний корінь) з усякого числа можна за допомогою звичайного калькулятора.

Корисна порада
На відміну від середнього арифметичного, на геометричне середнє не так сильно впливають великі відхилення та коливання між окремими значеннямиу досліджуваному комплекті показників.

СереднєЗначення – це одна з коляцій комплекту чисел. Є числом, яке не може виходити за межі діапазону, що визначається найбільшим і найменшим значеннямиу цьому комплекті чисел. Середнєарифметичне значення - особливо часто застосовується різновид середніх.

Інструкція

1. Складіть усі числа множини і поділіть їх на кількість доданків, щоб отримати середнє арифметичне значення. Залежно від певних умов обчислення зрідка буває простіше розділяти будь-яке з чисел число значень множини і підсумовувати результат.

2. Використовуйте, скажімо, калькулятор, що входить до складу Windows, якщо обчислити середнє арифметичне значення в розумі не представляється допустимим. Відкрити його можна за допомогою діалогу запуску програм. Для цього натисніть "палячі клавіші" WIN + R або клацніть кнопку "Пуск" і виберіть в основному меню команду "Виконати". Після цього надрукуйте в полі введення calc та натисніть на клавіатурі Enter або натисніть кнопку «OK». Це ж можна зробити через головне меню - розкрийте його, перейдіть в розділ "Всі програми" і в сегменти "Типові" і виберіть рядок "Калькулятор".

3. Введіть ступінчасто всі числа множини, натискаючи на клавіатурі найчастіше з них (крім останнього) клавішу «Плюс» або клацаючи відповідну кнопку в інтерфейсі калькулятора. Вводити числа теж можна як з клавіатури, так і клацаючи відповідні кнопки інтерфейсу.

4. Натисніть клавішу з косою межею (слеш) або клацніть цей значок в інтерфейсі калькулятора пізніше введення останнього значеннямножини і надрукуйте число чисел у послідовності. Після цього натисніть знак рівності, і калькулятор розрахує та покаже середнє арифметичне значення.

5. Дозволено для цієї ж мети застосовувати табличний редактор Microsoft Excel. У цьому випадку запустіть редактор і введіть у сусідні осередки всі значення послідовності чисел. Якщо після введення всього числа ви натискатимете Enter або клавішу зі стрілкою вниз або вправо, то редактор сам переміщатиме фокус введення в сусідню комірку.

6. Виділіть усі введені значення та у лівому нижньому куті вікна редактора (у рядку стану) побачите середньоарифметичне значення для виділених осередків.

7. Клацніть наступну за останнім введеним числом комірку, якщо вам не достатньо лише побачити середнє арифметичне значення. Розкрийте випадаючий список із зображенням грецької літерисигма (Σ) у групі команд «Редагування» на вкладці «Основна». Виберіть у ньому рядок « Середнє» і редактор вставить необхідну формулудля обчислення середньо арифметичного значенняу виділений осередок. Натисніть клавішу Enter, і значення буде розраховано.

Середнє арифметичне – одне із заходів центральної схильності, широко застосовується у математиці і статистичних розрахунках. Виявити середнє арифметичне число для кількох значень дуже легко, але у будь-якої задачі є свої нюанси, знати які для виконання правильних розрахунків примітивно потрібно.

Що таке середнє арифметичне число

Середнє арифметичне число визначає усереднене значення кожного початкового масиву чисел. Інакше кажучи, з деякої множини чисел вибирається загальне всім елементів значення, математичне зіставлення якого з усіма елементами носить приблизно рівний характер. Середнє арифметичне число застосовується, переважно, під час складання фінансових і статистичних звітів чи розрахунків кількісних результатів проведених подібних навичок.

Як виявити середнє арифметичне число

Пошук середнього арифметичного числа для масиву чисел слід починати з визначення суми алгебри цих значень. Наприклад, якщо в масиві присутні числа 23, 43, 10, 74 і 34, то їх алгебраїчна сума дорівнюватиме 184. При записі середнє арифметичне позначається буквою? (Мю) чи x (ікс із характеристикою). Далі алгебраїчну сумуслід поділити на число чисел у масиві. У аналізованому прикладі чисел було п'ять, тому середнє арифметичне дорівнюватиме 184/5 і становитиме 36,8.

Особливості роботи з негативними числами

Якщо в масиві присутні негативні числа, то знаходження середнього арифметичного значення відбувається за аналогічним алгоритмом. Різниця є лише за розрахунках серед програмування, або якщо завдання є додаткові дані. У цих випадках знаходження середнього арифметичного чисел з різними знакамизводиться до трьох дій:1. Знаходження загального середнього арифметичного числа стандартним способом; Знаходження середнього арифметичного негативного чисел.3. Обчислення середнього арифметичного позитивних чисел. Результати будь-якої з дій записуються через кому.

Натуральні та десяткові дроби

Якщо масив чисел представлений десятковими дробами, Рішення відбувається за способом обчислення середнього арифметичного цілих чисел, але скорочення результату проводиться за вимогами завдання до точності результату. При роботі з природними дробами їх слід привести до загального знаменника, який множиться на число чисел в масиві. У чисельнику результату буде сума наведених чисельників початкових дробових елементів.

Середнє геометричних чиселзалежить тільки від безумовної величини самих чисел, а й від їх числа. Неможливо плутати середнє геометричне та середнє арифметичне чисел, оскільки вони перебувають у різних методологіям. У цьому середнє геометричне постійно менше чи дорівнює середньому арифметичному.

Вам знадобиться

• Інженерний калькулятор.

Інструкція

1. Розглядайте, що в загальному випадку середнє геометричне чисел знаходиться шляхом перемноження цих чисел та вилучення з них кореня ступеня, що відповідає числу чисел. Скажімо, якщо потрібно виявити середнє геометричне п'яти чисел, то з добутку потрібно буде витягувати корінь п'ятого ступеня.

2. Для знаходження середнього геометричного 2-х чисел використовуйте основне правило. Виявіть їх добуток, після чого витягніть з нього квадратний корінь, тому що числа два, що відповідає ступеню кореня. Скажімо, щоб виявити середнє геометричне чисел 16 і 4, виявіть їх добуток 16 4=64. З числа, що вийшло, витягніть квадратний корінь?64=8. Це буде бажана величина. Середнє арифметичне цих двох чисел більше і одно 10. Якщо корінь не витягується націло, зробіть округлення результату до необхідного порядку.

3. Щоб виявити середнє геометричне більше ніж 2-х чисел, також використовуйте основне правило. Для цього виявіть добуток всіх чисел, для яких потрібно виявити середнє геометричне. З отриманого твору витягніть корінь ступеня, що дорівнює числу чисел. Скажімо, щоб виявити середнє геометричне чисел 2, 4 і 64, виявіть їх добуток. 2 4 64 = 512. Від того що потрібно виявити результат середнього геометричного 3 чисел, що з твору вийміть корінь третього ступеня. Зробити це усно важко, тому скористайтеся інженерним калькулятором. Для цього в ньому є кнопка x^y. Наберіть число 512, натисніть кнопку “x^y”, потім наберіть число 3 і натисніть кнопку “1/х”, щоб знайти значення 1/3, натисніть кнопку “=”. Отримаємо результат зведення 512 у ступінь 1/3, що відповідає кореню третього ступеня. Отримайте 512^1/3=8. Це і є середнє геометричне чисел 2,4 та 64.

4. За допомогою інженерного калькулятора можна виявити середнє геометричне іншим способом. Виявіть кнопку log на клавіатурі. Після цього візьміть логарифм для всього з чисел, виявіть їх суму та поділіть її на число чисел. З отриманої кількості візьміть антилогарифм. Це і буде середнє геометричне чисел. Скажімо, щоб виявити середнє геометричне тих же чисел 2, 4 і 64, зробіть на калькуляторі комплект операцій. Наберіть число 2, потім натисніть кнопку log, натисніть кнопку “+”, наберіть число 4 і знову натисніть log і “+”, наберіть 64, натисніть log і “=”. Підсумком буде число, рівну сумі десяткових логарифмівчисел 2, 4 і 64. Отримане число поділіть на 3, оскільки це число чисел, якими шукається середнє геометричне. З підсумку візьміть антилогарифм, перемкнувши кнопку регістру, та використовуйте ту ж клавішу log. У результаті вийде число 8, і є бажане середнє геометричне.

Зверніть увагу!
Середнє значення не може бути більшим за самого великої кількостіу комплекті і поменше найменшого.

Корисна порада
У математичної статистикиСереднє значення величини називається математичним очікуванням.

За дисципліною: Статистика

Варіант №2

Середні величини, що застосовуються у статистиці

Введение………………………………………………………………………….3

Теоретичне завдання

Середня величина у статистиці, її сутність та умови застосування.

1.1. Сутність середньої величини та умови застосування………….4

1.2. Види середніх величин……………………………………………8

Практичне завдання

Завдання 1,2,3………………………………………………………………………14

Заключение……………………………………………………………………….21

Список використаної літератури……………………………………………...23

Вступ

Дана контрольна роботаскладається з двох частин – теоретичної та практичної. У теоретичній частині буде докладно розглянута така важлива статистична категоріяяк середня величина з метою виявлення її сутності та умов застосування, а також виділення видів середніх та способів їх розрахунку.

Статистика, як відомо, вивчає масові соціально-економічні явища. Кожне з цих явищ може мати різне кількісне вираження однієї й тієї ж ознаки. Наприклад, заробітна плата однієї і тієї ж професії робітників або ціни на ринку на той самий товар і т.д. Середні величини характеризують якісні показники комерційної діяльності: Витрати звернення, прибуток, рентабельність та ін.

Для вивчення будь-якої сукупності за ознаками, що варіюють (кількісно змінюються) статистика використовує середні величини.

Сутність середньої величини

Середня величина – це узагальнююча кількісна характеристикасукупності однотипних явищ за однією ознакою, що варіює. У економічній практиці використовують широке коло показників, обчислених як середніх величин.

Найважливіша властивість середньої величини полягає в тому, що вона представляє значення певної ознаки у всій сукупності одним числом, незважаючи на кількісні відмінності його в окремих одиниць сукупності, і виражає загальне, що притаманне всім одиницям сукупності, що вивчається. Отже, через характеристику одиниці сукупності вона характеризує всю сукупність загалом.

Середні величини пов'язані із законом великих чисел. Суть зв'язку у тому, що з опосередковані випадкові відхиленняіндивідуальних величин через дію закону великих чисел взаємопогашуються й у середньої виявляється основна тенденція розвитку, необхідність, закономірність. Середні величини дозволяють порівнювати показники, які стосуються сукупностей з різною чисельністю одиниць.

У сучасних умовахрозвитку ринкових відносин економіки середні служать інструментом вивчення об'єктивних закономірностей соціально-економічних явищ. Однак у економічному аналізі не можна обмежуватися лише середніми показниками, оскільки за загальними сприятливими середніми можуть ховатися і серйозні недоліки у діяльності окремих суб'єктів господарювання, і паростки нового, прогресивного. Наприклад, розподіл населення за доходом дозволяє виявляти формування нових соціальних груп. Тому поряд із середніми статистичними даними необхідно враховувати особливості окремих одиниць сукупності.

Середня величина є рівнодією всіх факторів, що впливають на досліджуване явище. Тобто при розрахунку середніх величин взаємопогашуються вплив випадкових (пертурбаційних, індивідуальних) факторів і, таким чином, можливе визначення закономірності, властивої досліджуваному явищу. Адольф Кетле підкреслював, що значення методу середніх величин полягає у можливості переходу від одиничного до загального, від випадкового до закономірного, існування середніх величин є категорією об'єктивної дійсності.

Статистика вивчає масові явища та процеси. Кожне з таких явищ має як спільні для всієї сукупності, так і особливі, індивідуальними властивостями. Відмінність між індивідуальними явищами називаються варіацією. Інша властивість масових явищ - властива їм близькість характеристик окремих явищ. Отже, взаємодія елементів сукупності призводить до обмеження варіації хоча б частини властивостей. Ця тенденція існує об'єктивно. Саме в її об'єктивності полягає причина найширшого застосування середніх величин на практиці та теорії.

Середньою величиною у статистиці називається узагальнюючий показник, що характеризує типовий рівеньявища в конкретних умовах місця і часу, що відображає величину ознаки, що варіює, в розрахунку на одиницю якісно однорідної сукупності.

У економічній практиці використовується широке коло показників, обчислений як середніх величин.

За допомогою методу середніх величин статистика вирішує багато завдань.

Головне значення середніх полягає у їх узагальнюючої функції, тобто заміні безлічі різних індивідуальних значень ознаки середньою величиною, що характеризує всю сукупність явищ.

Якщо середня величина узагальнює якісно однорідні значення ознаки, вона є типовою характеристикою ознаки у цій сукупності.

Однак неправильно зводити роль середніх величин лише до характеристики типових значень ознак у однорідних за даною ознакою сукупності. Насправді значно частіше сучасна статистика використовує середні величини, узагальнюючі явно однорідні явища.

Середня величина національного доходу душу населення, середня врожайність зернових по всій країні, середнє споживання різних продуктів – це показники держави як єдиної народногосподарської системи, це звані системні середні.

Системні середні можуть характеризувати як просторові чи об'єктні системи, існуючі одномоментно (держава, галузь, регіон, планета Земля тощо.), і динамічні системи, протяжні у часі (рік, десятиліття, сезон тощо).

Найважливіше властивість середньої величини у тому, що вона відбиває те загальне, властиво всім одиницям досліджуваної сукупності. Значення ознаки окремих одиниць сукупності коливаються у той чи інший бік під впливом безлічі чинників, серед яких може бути як основні, і випадкові. Наприклад, курс акцій корпорації загалом визначається її фінансовим становищем. Водночас, в окремі дні та на окремих біржах ці акції через обставини, що склалися, можуть продаватися за вищим або заниженим курсом. Сутність середньої в тому і полягає, що в ній взаємопогашуються відхилення значень ознаки окремих одиниць сукупності, зумовлені дією випадкових факторів, та враховуються зміни, спричинені дією основних факторів. Це дозволяє середньої відображати типовий рівень ознаки та абстрагуватися від індивідуальних особливостей, властивих окремим одиницям

Обчислення середнього - одне із поширених прийомів узагальнення; середній показниквідображає те загальне, що характерно (типово) для всіх одиниць сукупності, що вивчається, в той же час він ігнорує відмінності окремих одиниць. У кожному явищі та його розвитку має місце поєднання випадковості та необхідності.

Середня – це зведена характеристика закономірностей процесу у умовах, у яких протікає.

Кожна середня характеризує досліджувану сукупність за якоюсь однією ознакою, але характеристики будь-якої сукупності, описи її типових рис і якісних особливостей потрібна система середніх показників. Тому у практиці вітчизняної статистикививчення соціально-економічних явищ, зазвичай, обчислюється система середніх показників. Так, наприклад, показник середньої заробітної плати оцінюються спільно з показниками середнього виробітку, фондовозброєності та енергоозброєності праці, ступенем механізації та автоматизації робіт та ін.

Середня має обчислюватися з урахуванням економічного змісту досліджуваного показника. Тому для конкретного показника, що використовується в соціально-економічному аналізі, можна обчислити тільки одне справжнє значеннясередньої з урахуванням наукового методу расчета.

Середня величина це один із найважливіших узагальнюючих статистичних показників, Що характеризує сукупність однотипних явищ за якою-небудь кількісно варіює ознакою Середні у статистиці це узагальнюючі показники, числа, що виражають типові характерні розміри суспільних явищ за однією кількісно варіюючою ознакою.

Види середніх величин

Види середніх величин відрізняються передусім тим, яка властивість, який параметр вихідної варіює маси індивідуальних значень ознаки може бути збережений незмінним.

Середня арифметична

Середньою арифметичною величиною називається таке середнє значення ознаки, при обчисленні якої загальний об'ємознаки разом залишається незмінним. Інакше можна сказати, що середня арифметична величина- Середнє доданок. За її обчисленні загальний обсяг ознаки подумки розподіляється порівну між усіма одиницями сукупності.

Середня арифметична застосовується, якщо відомі значення ознаки (х) і кількість одиниць сукупності з певним значенням ознаки (f).

Середня арифметична буває простою та зваженою.

Середня арифметична проста

Проста використовується, якщо кожне значення ознаки зустрічається один раз, тобто. для кожного х значення ознаки f = 1, або якщо вихідні дані не впорядковані і невідомо скільки одиниць мають певні значенняознаки.

Формула середньої арифметичної простий має вигляд.

,