Матриці як вирішувати приклади. Хосін Канрі

1-й курс, вища математика, вивчаємо матриціта основні дії над ними. Тут ми систематизуємо основні операції, які можна проводити із матрицями. З чого почати знайомство із матрицями? Звичайно, з найпростішого – визначень, основних понять та найпростіших операцій. Запевняємо, матриці зрозуміють усі, хто приділить їм хоч трохи часу!

Визначення матриці

Матриця- Це прямокутна таблиця елементів. Ну а якщо простою мовою- Таблиця чисел.

Зазвичай матриці позначаються великими латинськими літерами. Наприклад, матриця A , матриця B і так далі. Матриці можуть бути різного розміру: прямокутні, квадратні, також є матриці-рядки та матриці-стовпці, які називають векторами. Розмір матриці визначається кількістю рядків та стовпців. Наприклад, запишемо прямокутну матрицюрозміру m на n , де m – кількість рядків, а n - Кількість стовпців.

Елементи, для яких i=j (a11, a22, .. ) утворюють головну діагональ матриці, і називаються діагональними.

Що можна робити із матрицями? Складати/віднімати, множити на число, множити між собою, транспонувати. Тепер про всі ці основні операції над матрицями по порядку.

Операції складання та віднімання матриць

Відразу попередимо, що можна складати лише матриці однакового розміру. В результаті вийде матриця того ж розміру. Складати (або віднімати) матриці просто – достатньо лише скласти їх відповідні елементи . Наведемо приклад. Виконаємо складання двох матриць A і розміром два на два.

Віднімання виконується за аналогією, тільки з протилежним знаком.

На довільне число можна помножити будь-яку матрицю. Щоб зробити це, потрібно помножити на це число кожен її елемент. Наприклад, помножимо матрицю A з першого прикладу на число 5:

Операція множення матриць

Перемножити між собою вдасться в повному обсязі матриці. Наприклад, у нас є дві матриці - A і B. Їх можна помножити одна на одну тільки в тому випадку, якщо число стовпців матриці А дорівнює кількості рядків матриці В. При цьому кожний елемент матриці, що стоїть в i-му рядку і j-му стовпці, буде дорівнює сумітворів відповідних елементів у i-му рядкупершого множника та j-му стовпчику другого. Щоб зрозуміти цей алгоритм, запишемо, як множаться дві квадратні матриці:

І приклад із реальними числами. Помножимо матриці:

Операція транспонування матриці

Транспонування матриці – це операція, коли відповідні рядки та стовпці змінюються місцями. Наприклад, транспонуємо матрицю A з першого прикладу:

Визначник матриці

Визначник, про детермінант – одне з основних понять лінійної алгебри. Колись люди вигадали лінійні рівняння, а за ними довелося вигадати і визначник. У результаті, розбиратися з усім цим доведеться вам, так що останній ривок!

Визначник – це чисельна характеристикаквадратної матриці, яка потрібна на вирішення багатьох завдань.
Щоб порахувати визначник найпростішої квадратної матриці, потрібно обчислити різницю творів елементів головної та побічної діагоналей.

Визначник матриці першого порядку, тобто що складається з одного елемента, дорівнює цьому елементу.

А якщо матриця три на три? Тут уже складніше, але можна впоратися.

Для такої матриці значення визначника дорівнює сумі творів елементів головної діагоналі і творів елементів, що лежать на трикутниках з гранню паралельної головної діагоналі, від якої віднімається добуток елементів побічної діагоналі і добуток елементів, що лежать на трикутниках з гранню паралельної побічної діагоналі.

На щастя, обчислювати визначники матриць великих розмірів практично доводиться рідко.

Тут ми розглянули основні операції з матрицями. Звичайно, в реального життяможна жодного разу так і не зустріти навіть натяку на матричну системурівнянь або ж навпаки - зіткнутися з набагато більше складними випадкамиколи доведеться дійсно поламати голову. Саме для таких випадків і існує професійний студентський сервіс. Звертайтесь за допомогою, отримуйте якісне та докладне рішення, насолоджуйтесь успіхами у навчанні та вільним часом.

Матричним рівнянням називається рівняння виду

A ⋅ X = B

X ⋅ A = B ,

де Aі B- відомі матриці, X - невідома матриця, яку потрібно знайти.

Як вирішити матричне рівняння у першому випадку? Для того щоб вирішити матричне рівняння виду A ⋅ X = B , обидві його частини слід помножити на зворотну до Aматрицю зліва:

За визначенням зворотної матриці, добуток зворотної матриці на дану вихідну матрицю дорівнює одиничній матриці: тому

.

Так як E - одинична матриця, то E ⋅ X = X . В результаті отримаємо, що невідома матриця Xдорівнює добутку матриці, зворотної до матриці A, ліворуч, на матрицю B :

Як розв'язати матричне рівняння у другому випадку? Якщо дано рівняння

X ⋅ A = B ,

тобто таке, у якому у творі невідомої матриці Xта відомої матриці Aматриця Aзнаходиться справа, то потрібно діяти аналогічно, але змінюючи напрямок множення на матрицю, зворотну матриці A, і множити матрицю Bна неї праворуч:

,

Як бачимо, дуже важливо, з якого боку множити на зворотну матрицю, оскільки . Зворотній до Aматриця множиться на матрицю Bз того боку, з якого матриця Aмножиться на невідому матрицю X. Тобто з того боку, де у творі з невідомою матрицею знаходиться матриця A .

Як розв'язати матричне рівняння у третьому випадку? Трапляються випадки, коли в лівій частині рівняння невідома матриця Xзнаходиться в середині добутку трьох матриць. Тоді відому матрицю з правої частини рівняння слід помножити зліва на матрицю, обернену до тієї, яка у згаданому вище творі трьохматриць була ліворуч, і праворуч на матрицю, зворотну тій матриці, яка була праворуч. Таким чином, рішенням матричного рівняння

A ⋅ X ⋅ B = C ,

є

.

Розв'язання матричних рівнянь: приклади

приклад 1.Розв'язати матричне рівняння

.

A ⋅ X = B Aта невідомої матриці Xматриця A B AA .

A :

.

A :

.

A :

Тепер у нас є все, щоб знайти матрицю, зворотну матриці A :

.

Зрештою, знаходимо невідому матрицю:

Вирішити матричне рівняння самостійно, а потім переглянути рішення

приклад 3.Розв'язати матричне рівняння

.

Рішення. Це рівняннямає вигляд X ⋅ A = B , тобто у творі матриці Aта невідомої матриці Xматриця A Bна матрицю, зворотну матриці AA .

Спочатку знайдемо визначник матриці A :

.

Знайдемо алгебраїчні доповнення матриці A :

Складемо матрицю алгебраїчних доповнень:

.

Транспонуючи матрицю додатків алгебри, знаходимо матрицю, союзну з матрицею A :

A :

.

Знаходимо невідому матрицю:

До цього часу ми вирішували рівняння з матрицями другого порядку, тепер настала черга матриць третього порядку.

приклад 4.Розв'язати матричне рівняння

.

Рішення. Це рівняння першого виду: A ⋅ X = B , тобто у творі матриці Aта невідомої матриці Xматриця Aзнаходиться ліворуч. Тому рішення слід шукати у вигляді , тобто невідома матриця дорівнює добутку матриці Bна матрицю, зворотну матриці Aзліва. Знайдемо матрицю, зворотну матриці A .

Спочатку знайдемо визначник матриці A :

Знайдемо алгебраїчні доповнення матриці A :

Складемо матрицю додатків алгебри:

Транспонуючи матрицю додатків алгебри, знаходимо матрицю, союзну з матрицею A :

.

Знаходимо матрицю, зворотну матриці A, і робимо це легко, тому що визначник матриці Aдорівнює одиниці:

.

Знаходимо невідому матрицю:

Приклад 5.Розв'язати матричне рівняння

.

Рішення. Дане рівняння має вигляд X ⋅ A = B , тобто у творі матриці Aта невідомої матриці Xматриця Aзнаходиться праворуч. Тому рішення слід шукати у вигляді , тобто невідома матриця дорівнює добутку матриці Bна матрицю, зворотну матриці Aправоруч. Знайдемо матрицю, зворотну матриці A .

Спочатку знайдемо визначник матриці A :

Знайдемо алгебраїчні доповнення матриці A :

Складемо матрицю додатків алгебри:

.

Транспонуючи матрицю додатків алгебри, знаходимо матрицю, союзну з матрицею A .

ВИЗНАЧЕННЯ МАТРИЦІ. ВИДИ МАТРИЦЬ

Матрицею розміром m× nназивається сукупність m·nчисел, розташованих у вигляді прямокутної таблиці з mрядків та nстовпців. Цю таблицю зазвичай укладають у круглі дужки. Наприклад, матриця може мати вигляд:

Для стислості матрицю можна позначати однією великою літероюнаприклад, Аабо У.

У загальному виглядіматрицю розміром m× nзаписують так

.

Числа, що становлять матрицю, називаються елементами матриці. Елементи матриці зручно постачати двома індексами a ij: перший вказує номер рядка, а другий номер стовпця. Наприклад, a 23– елемент стоїть у другому рядку, третьому стовпці.

Якщо в матриці число рядків дорівнює числу стовпців, то матриця називається квадратний, причому число її рядків або стовпців називається порядкомматриці. У наведених прикладах квадратними є друга матриця – її порядок дорівнює 3, і четверта матриця – її порядок 1.

Матриця, в якій число рядків не дорівнює числу стовпців, називається прямокутної. У прикладах це перша матриця та третя.

Розрізняються також матриці, що мають лише один рядок або один стовпець.

Матриця, яка має лише один рядок , називається матрицею – рядком(або рядковий), а матриця, у якої всього один стовпець, матрицею – стовпцем.

Матриця, всі елементи якої дорівнюють нулю, називається нульовийі позначається (0), або просто 0. Наприклад,

.

Головною діагоналлюквадратної матриці назвемо діагональ, що йде з лівого верхнього в нижній правий кут.

Квадратна матриця, у якої всі елементи, що лежать нижче за головну діагональ, рівні нулю, називається трикутноїматрицею.

.

Квадратна матриця, у якої всі елементи, крім, можливо, стоять на головній діагоналі, дорівнюють нулю, називається діагональноїматрицею. Наприклад, або .

Діагональна матриця, у якої всі діагональні елементи дорівнюють одиниці, називається одиничноюматрицею та позначається буквою E. Наприклад, одинична матриця 3-го порядку має вигляд .

ДІЇ НАД МАТРИЦЯМИ

Рівність матриць. Дві матриці Aі Bназиваються рівними, якщо вони мають однакову кількість рядків та стовпців та їх відповідні елементи рівні a ij = b ij. Так якщо і , то A=B, якщо a 11 = b 11 , a 12 = b 12 , a 21 = b 21і a 22 = b 22.

Транспонування. Розглянемо довільну матрицю Aз mрядків та nстовпців. Їй можна порівняти таку матрицю Bз nрядків та mстовпців, у яких кожен рядок є стовпцем матриці Aз тим же номером (отже, кожен стовпець є рядком матриці Aз тим самим номером). Отже, якщо , то .

Цю матрицю Bназивають транспонованоїматрицею A, а перехід від Aдо B транспонуванням.

Таким чином, транспонування – це зміна ролями рядків та стовпців матриці. Матрицю, транспоновану до матриці Aзазвичай позначають A T.

Зв'язок між матрицею Aта її транспонованої можна записати у вигляді .

Наприклад.Знайти матрицю транспоновану даною.

Додавання матриць.Нехай матриці Aі Bскладаються з однакового числа рядків та однакового числастовпців, тобто. мають однакові розміри. Тоді для того, щоб скласти матриці Aі Bпотрібно до елементів матриці Aдодати елементи матриці B, що стоять на тих же місцях. Таким чином, сумою двох матриць Aі Bназивається матриця Cяка визначається за правилом, наприклад,

приклади.Знайти суму матриць:

Легко перевірити, що додавання матриць підпорядковується наступним законам: комутативному A+B=B+Aта асоціативному ( A+B)+C=A+(B+C).

Множення матриці на число.Для того, щоб помножити матрицю Aна число kпотрібно кожен елемент матриці Aпомножити цього числа. Таким чином, добуток матриці Aна число kє нова матриця, яка визначається за правилом або .

Для будь-яких чисел aі bта матриць Aі Bвиконуються рівності:

приклади.

Розмноження матриць.Ця операція здійснюється за своєрідним законом. Насамперед, зауважимо, що розміри матриць-співмножників повинні бути узгоджені. Перемножувати можна лише ті матриці, у яких число стовпців першої матриці збігається з числом рядків другої матриці (тобто довжина рядка першого дорівнює висоті стовпця другого). Творомматриці Aне матрицю Bназивається нова матриця C=AB, елементи якої складаються наступним чином:

Таким чином, наприклад, щоб отримати у твору (тобто в матриці C) елемент, що стоїть у 1-му рядку та 3-му стовпці з 13, Необхідно в першій матриці взяти перший рядок, у другому – третій стовпець, а потім елементи рядка помножити на відповідні елементи стовпця і отримані твори скласти. Інші елементи матриці-твору виходять за допомогою аналогічного добутку рядків першої матриці на стовпці другої матриці.

У випадку, якщо ми множимо матрицю A = (a ij)розміру m× nна матрицю B = (b ij)розміру n× p, то отримаємо матрицю Cрозміру m× pелементи якої обчислюються наступним чином: елемент c ijвиходить у результаті добутку елементів i-ого рядка матриці Aна відповідні елементи j-го стовпця матриці Bта їх складання.

З цього правила випливає, що завжди можна перемножувати дві квадратні матриці одного порядку, в результаті отримаємо квадратну матрицю того самого порядку. Зокрема, квадратну матрицю можна помножити саму себе, тобто. звести у квадрат.

Іншим важливим випадком є ​​множення матриці-рядки на матрицю-стовпець, причому ширина першої повинна дорівнювати висоті другий, в результаті отримаємо матрицю першого порядку (тобто один елемент). Справді,

.

приклади.

Таким чином, ці прості прикладипоказують, що матриці, власне кажучи, не перестановочні друг з одним, тобто. A∙B ≠ B∙A . Тому при множенні матриць потрібно ретельно стежити за порядком множників.

Можна перевірити, що множення матриць підпорядковується асоціативному та дистрибутивному законам, тобто. (AB)C=A(BC)і (A+B)C=AC+BC.

Легко також перевірити, що при множенні квадратної матриці Aна одиничну матрицю Eтого ж порядку знову отримаємо матрицю A, причому AE=EA=A.

Можна відзначити такий цікавий факт. Як відомо твір 2-х відмінних від нуля чисел не дорівнює 0. Для матриць це може мати місця, тобто. добуток 2-х не нульових матриць може виявитися рівним нульовій матриці.

Наприклад, якщо , то

.

ПОНЯТТЯ ВИЗНАЧНИКІВ

Нехай дана матриця другого порядку – квадратна матриця, що складається з двох рядків та двох стовпців .

Визначником другого порядку, Що відповідає даній матриці, називається число, одержуване наступним чином: a 11 a 22 – a 12 a 21.

Визначник позначається символом .

Отже, щоб знайти визначник другого порядку, потрібно від твору елементів головної діагоналі відняти твір елементів по другій діагоналі.

приклади.Обчислити визначники другого порядку.

Аналогічно можна розглянути матрицю третього порядку та відповідний їй визначник.

Визначником третього порядку, відповідним даної квадратної матриці третього порядку, називається число, що позначається та одержується наступним чином:

.

Таким чином, ця формула дає розкладання визначника третього порядку за елементами першого рядка a 11 , a 12 , a 13та зводить обчислення визначника третього порядку до обчислення визначників другого порядку.

приклади.Обчислити визначник третього порядку.

Аналогічно можна запровадити поняття визначників четвертого, п'ятого тощо. систем, знижуючи їх порядок розкладанням по елементам 1-го рядка, причому символи "+" і "–" у доданків чергуються.

Отже, на відміну від матриці, яка є таблицею чисел, визначник це число, яке певним чином ставиться у відповідність матриці.

, 2008.

Це перше в Росії практичний посібникз впровадження Хосін канрі - однієї з найбільш ефективних системрозробки стратегії та розгортання планів усередині компанії. Розробити стратегію компанії непросто. Але ще важче її реалізувати. Адже для цього необхідно трансформувати її у конкретні оперативні плани окремих працівників. Як це зробити? Toyota, Bridgestone та Komatsu використовують техніку Хосін канрі. А ця книга – перший у нашій країні практичний посібник із впровадження цієї концепції. Книга супроводжується додатковими матеріаламив електронному вигляді. Матеріали містять порожні таблиці, документи та інструкції до їх заповнення, які потрібні хосін-командам під час роботи. Усі матеріали розміщені на сайтіwww.icss.ac.ru/books на сторінці книги "Хосін канрі: як змусити стратегію працювати".

Що таке хосін канрі

Хосін канрі для організації може означати багато. Це і метод стратегічного планування, і інструмент управління комплексними проектами, та система управління якістю, що дозволяє враховувати вимоги та побажання споживача при розробці нових продуктів, та операційна системапідприємства, що забезпечує надійне зростання прибутку. Це також метод управління на міжфункціональному рівні та інтеграції ланцюга поставок у процесі ощадливого виробництва. Але перш за все хосін канрі – це метод організаційного навчанняі система створення конкурентоспроможних ресурсів.

на японською мовоюієрогліфи в слові «канрі» означають управління, контроль. Ієрогліфи в слові «хосін» можна перекласти як напрямокі сяюча голка, а всі разом – як компас. Як правило, ці ієрогліфи перекладаються як політикатому ви часто можете зустріти такий переклад хосін канрі: управління політикою або розгортання політики. У більшості англомовних читачів слово політиканегайно викликає асоціацію з бюрократичним світом, який не має нічого спільного з організаційним навчанням. Тому в рамках цього посібника ми будемо використовувати оригінальний японський термін – хосін канрі.

Основи хосін канрі - вбудовані експерименти, Х-матриця та формування команд

У цьому розділі ми досліджуємо основи хосін канрі. У таблиці 1-1 (частина 1, частина 2)наведено «дорожню карту» - поетапну схему хосін канрі ( Досліджуй - Плануй - Роби - Перевіряй - Вплинув), якою дотримуватимуться різні робочі групи (або команди), виконуючи практичні завданнящодо впровадження хосін канрі. Як говорилося у вступі, цей посібник побудовано відповідно до циклу PDCA ( Плануй - Роби - Перевіряй - Вплинув) та логікою поетапного процесу хосін канрі. На етапі «Досліджуй» команда виконує певну роботу, перш ніж приступати до реалізації циклу PDCAв рамках хосін канрі. На етапі «Плануй»розробляється стратегія або послідовність експерименту, підбираються та формуються команди, а також розподіляються обов'язки між чотирма командами, які здійснюють планування та впровадження. На етапі «Роби»у процесі управління проектами та організації тренінгів для персоналу відбуваються підготовка лідерів та впровадження розробленого плану. Етап «Перевіряй»передбачає організацію регулярного контролю та оцінки. А етап «Впливай»спрямований на те, щоб зробити хосін канрі частиною корпоративної культури за допомогою стандартизації та безперервного вдосконалення.

Поетапна схема хосін канрі також вказує на необхідність сформувати команди спеціалістів, кожна з яких має відповідати за певні експерименти. Таких команд чи робочих груп знадобиться кілька. Перша команда, яку вам необхідно створити – це хосін-команда. Як правило, хосін-команда – це управлінська команда, яка відповідає за певну бізнес-одиницю (цілу компанію або один підрозділ, філію, бренд, товарну лінію, департамент, робочу ділянку або потік цінності). Для зручності викладу ми вважатимемо управлінську команду командою з управління хосін, чи хосін-командою. Далі у цьому розділі ви дізнаєтесь, як провести відбір учасників до хосін-команди.

Слідом за компанією Cybernautx, чий приклад ми використовуємо для ілюстрації процесу хосін, вважатимемо, що управлінська команда відповідає за потік цінності загалом. Насправді ви можете вибрати будь-яку точку відліку, яка відповідає вашим умовам. Наприклад, командою хосін можуть бути партнери приватної акціонерної компанії, які формують стратегію збільшення вартості її холдингів. Або командою хосін можуть бути, як описано в книзі «Впровадження системи ощадливого менеджменту», директор заводу та його безпосередні підлеглі, які розробляють програму впровадження TPM (загального догляду за обладнанням). Або це може бути керівник відділу з його безпосередніми підлеглими, які формують стратегію удосконалення відділу. З чого б ви не вирішили розпочати процес хосін, у керуючій хосін-команді повинна бути присутня основна зацікавлена ​​сторона - представники того бізнес-підрозділу, в якому розгортатиметься хосін або реалізовуватиметься стратегія, що формується. Це означає, що команда повинна бути багатофункціональною (тобто включати представників різних функціональних підрозділів) або - як у прикладі потоку цінності, показаному нами в кейс-дослідженні компанії Cybernautx, - міжорганізаційної (тобто включати представників різних компаній).

Перш ніж формувати команду, компанії потрібно дослідити свою бізнес-

середовище, щоб визначити проблему чи завдання, на вирішення якої має бути спрямована стратегія. Провести необхідне дослідження може хосін-команда або, на ваш вибір, ця функція може бути делегована фахівцям-експертам. (У нашій книзі дослідженнями займається хосін-команда.) Після проведеного аналізу хосін-команда розробляє стратегію та створює Х-матрицю, щоб компанія могла представити свою бізнес-стратегію в експериментальному форматі, включаючи всі сім експериментів хосін, для вирішення встановленої проблеми чи завдання. Розробляючи стратегію, хосін-команда визначає все стратегічно важливі елементи, у тому числі - перший із семи нижчеописаних експериментів хосін.

Сім експериментів хосін канрі

Кінцевий результат застосування стратегії наперед нікому не відомий (і цим стратегія схожа на наукову гіпотезу ), особливо така динамічна стратегія, яка передбачає вдосконалення ваших методів ведення бізнесу. Щоб дізнатися, що вийде, вам доведеться впровадити її. У цьому науково-дослідному контексті ваші плани стають "експериментами". Дані «експерименти», які проводяться в контрольованих умовах стандартизованих робочих процесів, дозволяють залучити до процесу хосин канрі кожного менеджера та кожного працівника для перевірки гіпотези, тобто. доцільність обраної вашою компанією стратегії.

Експерименти хосін канрі проводяться мережею робочих груп, до складу яких входять топ-менеджери, менеджери середньої ланки та – обов'язково на етапі «Роби» – весь робочий персонал. У кожного експерименту циклу PDCA в системі хосін канрі - своє завдання, яке залежить від тривалості даного експерименту і того, як він пов'язаний з загальними цілямиорганізації. Загалом що довше цикл, то вище рівень відповідальності в управлінській ієрархії. Більше того, процес хосін канрі нескінченний. Цикли стратегічних поліпшень повторюються з періодичністю щорічно. У компаній на початковій стадіїперетворень, які тільки розпочали впровадження ощадливого виробництва або шести сигм, виконання першого циклу може тривати до 18 місяців. А компанії, що рухаються цим шляхом з вищою швидкістю, можуть встигнути повторити цикл двічі на рік, щоб прискорити процес організаційного навчання.

Як говорилося вище, хосін-команда відповідає за реалізацію перших трьох експериментів у системі хосін. На етапі «Плануй»хосін-команда допоможе сформувати та розподілити обов'язки за останніми чотирма експериментами між командами трьох інших типів, кожна з яких матиме власний набір завдань по кожному циклу. «Плануй – Роби – Перевіряй – Впливай». Буде створено кілька тактичних команд – приблизно по одній на кожного члена хосін-команди, багато команд оперативних та ще більше команд виконавців. У фіналі етапу «Плануй»ви зможете залучити до процесу хосін кожного менеджера. Зрештою на етапі «Роби»за рахунок формування команд виконавців ви досягнете участі в процесі хосін всього робочого колективу на всіх організаційних рівнях, що існують у вашій компанії.

Нехай є квадратна матриця n-го порядку

Матриця А-1 називається зворотною матрицеюстосовно матриці А, якщо А*А -1 = Е, де Е — одинична матриця n-го порядку.

Одинична матриця- Така квадратна матриця, у якої всі елементи по головній діагоналі, що проходить від лівого верхнього кутадо правого нижнього кута — одиниці, а решта — нулі, наприклад:

зворотна матрицяможе існувати тільки для квадратних матриць тобто. для тих матриць, у яких число рядків та стовпців збігаються.

Теорема умови існування зворотної матриці

Для того, щоб матриця мала зворотну матрицю, необхідно і достатньо, щоб вона була невиродженою.

Матриця А = (А1, А2, ... Аn) називається невиродженоюякщо вектори-стовпці є лінійно незалежними. Число лінійно незалежних векторів-стовпців матриці називається рангом матриці. Тому можна сказати, що для того, щоб існувала зворотна матрицянеобхідно, і достатньо, щоб ранг матриці дорівнював її розмірності, тобто. r = n.

Алгоритм знаходження зворотної матриці

1. Записати до таблиці на вирішення систем рівнянь методом Гаусса матрицю А і праворуч (на місце правих частин рівнянь) приписати до неї матрицю Е.
2. Використовуючи перетворення Жордана, привести матрицю до матриці, що складається з одиничних стовпців; при цьому необхідно одночасно перетворити матрицю Е.
3. Якщо необхідно, то переставити рядки (рівняння) останньої таблиці так, щоб під матрицею вихідної таблиці А вийшла одинична матриця Е.
4. Записати зворотну матрицю А-1, яка знаходиться в останньої таблиціпід матрицею Е вихідної таблиці.

Приклад 1

Для матриці А знайти зворотну матрицю А-1

Рішення: Записуємо матрицю А і праворуч приписуємо одиничну матрицю Е. Використовуючи перетворення Жордана, наводимо матрицю А до одиничної матриці Е. Обчислення наведено у таблиці 31.1.

Перевіримо правильність обчислень множенням вихідної матриці А та зворотної матриці А-1.

В результаті множення матриць вийшла поодинока матриця. Отже, обчислення зроблено правильно.

Відповідь:

Розв'язання матричних рівнянь

Матричні рівняння можуть мати вигляд:

АХ = В, ХА = В, АХВ = С,

де А, В, С - матриці, що задаються, Х - шукана матриця.

Матричні рівняння вирішуються з допомогою множення рівняння зворотні матриці.

Наприклад, щоб знайти матрицю з рівняння необхідно помножити це рівняння на ліворуч.

Отже, щоб знайти рішення рівняння потрібно знайти зворотну матрицю і помножити її на матрицю , що стоять у правій частині рівняння.

Аналогічно вирішуються інші рівняння.

Приклад 2

Розв'язати рівняння АХ = В, якщо

Рішення: Оскільки зворотна матриця дорівнює (див. приклад 1)

Матричний метод в економічному аналізі

Поряд з іншими знаходять застосування також матричні методи . Ці методи базуються на лінійній та векторно-матричній алгебрі. Такі методи застосовуються для цілей аналізу складних та багатовимірних економічних явищ. Найчастіше ці методи використовуються за необхідності порівняльної оцінки функціонування організацій та його структурних підрозділів.

У процесі застосування матричних методів аналізу можна виділити кілька етапів.

На першому етапіздійснюється формування системи економічних показниківі на її основі складається матриця вихідних даних , яка є таблицею, в якій за її окремими рядками показуються номери систем (i = 1,2,...,,n), а за вертикальними графами - номери показників (j = 1,2,....,m).

На другому етапіпо кожній вертикальній графі виявляється найбільше з існуючих значень показників, яке приймається за одиницю.

Після цього всі суми, відображені в даній графі поділяють на найбільше значеннята формується матриця стандартизованих коефіцієнтів.

На третьому етапівсі складові матриці зводять у квадрат. Якщо вони мають різну значимість, то кожному показнику матриці надається певний ваговий коефіцієнт k. Розмір останнього визначається експертним шляхом.

На останньому, четвертому етапізнайдені величини рейтингових оцінок R jгрупуються у порядку їх збільшення чи зменшення.

Викладені матричні методи слід використовувати, наприклад, при порівняльному аналізірізних інвестиційних проектів, і навіть в оцінці інших економічних показників діяльності організацій.