Побудова математичних доказів. Способи математичного доказу

1. Способи математичного доказу

2. Прямі та непрямі докази. Підтвердження шляхом протилежного.

3. Основні висновки

Способи математичного доказу

У повсякденного життячасто, коли говорять про доказ, мають на увазі просто перевірку висловленого затвердження. У математиці перевірка та доказ – це різні речі, хоч і пов'язані між собою. Нехай, наприклад, потрібно довести, що у чотирикутнику три кути прямі, він – прямокутник.

Якщо ми візьмемо якийсь чотирикутник, у якого три кути прямі, і, вимірявши четвертий, переконаємося в тому, що він справді прямий, то ця перевірка зробить дане твердження правдоподібнішим, але ще не доведеним.

Щоб довести це твердження, розглянемо довільний чотирикутник, у якому три кути прямі. Так як у будь-якому опуклому чотирикутнику сума кутів 360⁰, то і в цьому вона становить 360⁰. Сума трьох прямих кутів дорівнює 270⁰ (90⁰ 3 = 270⁰), і, отже, четвертий має величину 90⁰ (360⁰ - 270⁰). Якщо всі кути чотирикутника прямі, то він прямокутник Отже, даний чотирикутник буде прямокутником. Що й потрібно було довести.

Зауважимо, що сутність проведеного доказу полягає у побудові такої послідовності істинних тверджень (теорем, аксіом, визначень), з яких логічно слідує твердження, яке потрібно довести.

Взагалі довести якесь твердження – це означає показати, що це твердження логічно випливає із системи істинних та пов'язаних з ним тверджень.

У логіці вважають, що якщо твердження, що розглядається, логічно випливає з вже доведених тверджень, то воно обґрунтоване і так само істинно, як і останні.

Отже, основою математичного докази є дедуктивний висновок. А сам доказ – це ланцюжок висновків, причому висновок кожного з них (крім останнього) є посилкою в одному з наступних висновків.

Наприклад, у наведеному вище доказі можна виділити такі висновки:

1. У будь-якому опуклому чотирикутнику сума кутів дорівнює 360⁰; дана фігура – опуклий чотирикутник, отже сума кутів у ньому 360⁰.

2. Якщо відома сума всіх кутів чотирикутника та сума трьох з них, то відніманням можна знайти величину четвертого; сума всіх кутів даного чотирикутника дорівнює 360⁰, сума трьох 270⁰ (90⁰ 3 = 270⁰), то величина четвертого 360⁰ - 270⁰ = 90⁰.

3. Якщо чотирикутнику всі кути прямі, цей чотирикутник – прямокутник; у цьому чотирикутнику всі кути прямі, отже, він прямокутник.

Усі наведені висновки виконані за правилом ув'язнення і, отже, є дедуктивними.

Найпростіший доказ складається з одного висновку. Таким, наприклад, є доказ твердження про те, що 6< 8.

Отже, говорячи про структуру математичного доказу, ми повинні розуміти, що вона, перш за все, включає твердження, яке доводиться, і систему істинних тверджень, за допомогою яких ведуть доказ.

Слід зазначити, що математичне доказ – це просто набір висновків, це висновки, які у певному порядку.

За способом ведення (за формою) розрізняють прямі та непрямі докази. Розглянутий раніше доказ був прямим – у ньому, ґрунтуючись на певній справжній пропозиції та з урахуванням умови теореми, будувався ланцюжок дедуктивних висновків, що призводив до справжнього висновку.

Прикладом непрямого доказу є доказ методом від протилежного . Сутність його полягає у наступному. Нехай потрібно довести теорему

А ⇒ В. При доказі методом від протилежного припускають, що висновок теореми (В) хибний, а, отже, його заперечення є істинним. Приєднавши пропозицію «не В» до сукупності справжніх посилок, що використовуються в процесі доказу (серед яких знаходиться і умова А), будують ланцюжок дедуктивних висновків доти, доки не вийде твердження, що суперечить одній з посилок і, зокрема, умові А. Як тільки таку суперечність встановлюють, процес доказу закінчують і кажуть, що суперечність доводить істинність теореми

Завдання 1. Довести, що якщо а + 3 > 10, а ≠ 7. Метод від протилежного.

Завдання 2. Довести, що якщо х² - парне число, то х – парно. Метод від неприємного.

Завдання 3. Дано чотири послідовні натуральні числа. Чи вірно, що добуток середніх чисел цієї послідовності більше творукрайніх на 2? Метод неповної індукції.

Повна індукція– це такий метод доказу, у якому істинність твердження випливає з істинності його у всіх окремих випадках.

Завдання 4. Довести, що кожне складове натуральне число, більше 4, але менше 20, представимо у вигляді суми двох простих чисел.

Завдання 5. Чи правильно, якщо натуральне число n не кратно 3, то значення виразу n² + 2 кратно 3? Метод повної індукції.

Основні висновки

У цьому пункті познайомилися з поняттями: висновок, посилка і висновок, дедуктивні (правильні) висновки, неповна індукція, аналогія, доказ, непрямий доказ, повна індукція.

Ми з'ясували, що неповна індукція та аналогія тісно пов'язані з дедукцією: висновки, отримані за допомогою неповної індукції та аналогії, треба доводити або спростовувати. З іншого боку, дедукція немає на порожньому місці, а результат попереднього індуктивного вивчення матеріалу.

Дедуктивні висновки дозволяють з уже наявного знання отримувати нові істини, і до того ж з допомогою міркування, без звернення до досвіду, інтуїції тощо.

Ми з'ясували, що математичний доказ – це ланцюжок дедуктивних висновків, які виконуються за певними правилами. Познайомилися з найпростішими з них: правилом ув'язнення, правилом заперечення, правилом силогізму. Дізналися, що перевіряти правильність висновків можна за допомогою кіл Ейлера.

ТЕКСТОВЕ ЗАВДАННЯ І ПРОЦЕС ЇЇ РІШЕННЯ

Лекція 11. Текстове завдання та процес її вирішення

1. Структура текстового завдання

2. Методи та способи вирішення текстових завдань

3. Етапи вирішення задачі та прийоми їх виконання

Крім різних понять, пропозицій, доказів у будь-якому математичному курсіє завдання. У навчанні математики молодших школярівпереважають такі, що називають арифметичними, текстовими, сюжетними. Ці завдання сформульовані природною мовою (їх називають текстовими):у них зазвичай описується кількісна сторона якихось явищ, подій (тому їх часто називають арифметичнимиабо сюжетними);вони є завдання на розшук шуканого і зводяться до обчислення невідомого значеннядеякої величини (тому їх іноді називають обчислювальними).

У цьому посібнику ми будемо застосовувати термін «текстові завдання», оскільки він найчастіше використовується у методиці навчання математики молодших школярів.

Вирішенню текстових завдань при початковому навчанніприділяється велика увага. Пов'язано це з тим, що такі завдання часто є не лише засобом формування багатьох математичних понять, а й головне - засобом формування умінь будувати математичні моделіреальних явищ, і навіть засобом розвитку мислення дітей.

Існують різні методичні підходидо навчання дітей розв'язання текстових завдань. Але яку б методику навчання не ви брав вчитель, йому треба знати, як влаштовані такі завдання, і вміти їх вирішувати різними методамита способами.

Структура текстового завдання

Як було сказано вище, будь-яка текстове завданняє опис якого-небудь явища (ситуації, процесу). З цього погляду текстове завдання є словесна модель явища (ситуації, процесу). І, як у будь-якій моделі, у текстовій задачі описується не все явище в цілому, а лише деякі його сторони, головним чином, його кількісні характеристики. Розглянемо, наприклад, таке завдання: «Автомобіль виїхав із пункту А зі швидкістю 60 км/год. Через 2 години слідом за ним виїхав другий автомобіль зі швидкістю 90 км/год. На якій відстані від А другий автомобіль наздожене перший?

У задачі описується рух двох автомобілів. Як відомо, будь-який рух характеризується трьома величинами: пройденою відстанню, швидкістю та часом руху. У цьому завданні відомі швидкості першого і другого автомобілів (60 км/год і 90 км/год), відомо, що вони пройшли одну і ту ж відстань від пункту А до місця зустрічі, кількісну характеристикуякого треба знайти. Крім того, відомо, що перший автомобіль був у дорозі на 2 год більше, ніж другий.

Узагальнюючи, можна сказати, що текстове завдання є описом на природною мовоюдеякого явища (ситуації, процесу) з вимогою дати кількісну характеристику будь-якого компонента цього явища, встановити наявність чи відсутність деякого відношення між компонентами чи визначити вид цього відношення.

Розглянемо ще одне завдання з початкового курсуматематики: «Светр, шапку та шарф пов'язали з I кг 200 г вовни. На шарф знадобилося на 100 г вовни більше, ніж шапку, і 400 р менше, ніж светр. Скільки вовни витратили на кожну річ?

У завданні мова йдепро витрачання вовни на светр, шапку та шарф. Щодо цих об'єктів є певні затвердженняі вимоги.

Твердження:

1. Светр, шапка та шарф пов'язані з 1200 г вовни.

2. На шарф витратили на 100 г більше ніж на шапку.

3. На шарф витратили на 400 г менше, ніж на светр.

Вимоги:

1. Скільки вовни витратили на светр?

2. Скільки вовни витратили на шапку?

3. Скільки вовни витратили на шарф?

Затвердження завдання називають умовами(або умовою, як у початковій школі). У завданні зазвичай одна умова, а кілька елементарних умов. Вони є кількісними чи якісними характеристиками об'єктів завдання та відносин між ними. Вимог у задачі може бути кілька. Вони можуть бути сформульовані як у запитальній, так і ствердній формі. Умови та вимоги взаємопов'язані.

Систему взаємозалежних умов та вимог називають висловлювальною моделлю завдання.

Таким чином, щоб зрозуміти, яка структура завдання, треба виявити її умови та вимоги, відкинувши все зайве, другорядне, що не впливає на її структуру. Інакше кажучи, треба побудувати висловлювальну модель завдання.

Щоб одержати цю модель, треба текст завдання розгорнути (зробити це можна письмово чи усно), оскільки текст завдання, зазвичай, дається у скороченому, згорнутому вигляді. Для цього можна перефразувати завдання, збудувати його графічну модель, ввести будь-які позначення і т.д.

Крім того, розподіл умов завдання можна проводити з різною глибиною. Глибина аналізу умов та вимог завдання залежить головним чином від того, чи знайомі ми з видом завдань, до якого належить задана, і чи знаємо ми спосіб розв'язання таких завдань.

Приклад 1. Сформулюйте умови та вимоги завдання:

Дві дівчинки одночасно побігли назустріч одна одній спортивною доріжкою, довжина якої 420 м. Коли вони зустрілися, перша пробігла на 60 м більше, ніж друга. З якою швидкістю бігла кожна дівчинка, якщо вони зустрілися через 30 секунд?

У задачі йдеться про рух двох дівчаток назустріч один одному. Як відомо, рух характеризується трьома величинами: відстанню, швидкість і час.

Умови завдання:

1. Дві дівчинки біжать назустріч одна одній.

2. Рух вони розпочали одночасно.

3. Відстань, яку вони пробігли, – 420 м.

4. Одна дівчинка пробігла на 60 м більше, ніж інша.

5. Дівчатка зустрілися за 30 с.

6. Швидкість руху однієї дівчинки більша за швидкість руху
інший.

Вимоги завдання:

1. З якою швидкістю бігла перша дівчинка?

2. З якою швидкістю бігла друга дівчинка?

Стосовно умов і вимог розрізняють:

а) певні завдання -у них заданих умов стільки, скільки
необхідно та достатньо для виконання вимог;

б) недовизначені завдання -у них умов недостатньо для отримання відповіді;

в) перевизначені завдання -у них є зайві умови.

У початковій школінедовизначені завдання вважають завданнями з відсутніми даними, а перевизначені - завданнями з надмірними даними.

Наприклад, завдання «Біля будинку росло 5 яблунь, 2 вишні та 3 берези. Скільки фруктових дерев росло біля будинку? є перевизначеною, оскільки містить зайву умову.

Завдання «З зали винесли спочатку 12 стільців, потім ще 5. Скільки стільців залишилось у залі?» є недовизначеною - у ній умов недостатньо, щоб відповісти на поставлене запитання.

Уточнимо тепер сенс терміна «вирішення задачі». Так склалося, що цим терміном позначають різні поняття:

1) розв'язанням задачі називають результат, тобто. відповідь на вимогу
завдання;

2) розв'язанням задачі називають процес знаходження цього результату, причому цей процес розглядають подвійно: і як метод знаходження результату (наприклад, говорять про розв'язання задачі арифметичним способом) і як послідовність тих дій, які виконує вирішальний, застосовуючи той чи інший метод (тобто . даному випадкупід
вирішенням завдання розуміється вся діяльність людини, що вирішує задачу).

Вправи

1. У наступних завданнях виділіть умови та вимоги:

а) Два автобуси вирушили одночасно з міста до села, відстань до якого 72 км. Перший автобус прибув у село на 15 хв раніше, ніж другий. З якою швидкістю йшов кожен автобус, якщо швидкість одного з них на 4 км/год більша за швидкість іншого?

б) Сума двох чисел дорівнює 199. Знайдіть ці числа, якщо одне з них більше за інше на 61.

2. Завдання з вправи 1 сформулюйте таким чином, щоб пропозиція, що містить вимогу, не містила умов.

3. У завданнях із вправи 1 наказову формувимог замініть питання, запитальну - наказової.

4. Розв'яжіть завдання із вправи I.

5. Дано умови завдання: «Зібрали 42 кг огірків і 5/7 всіх огірків засолили».

З нижченаведеного списку виберіть вимоги до цієї умови та вирішіть отримане завдання:

а) Скільки кілограмів огірків залишилося незасоленим?

б) Скільки кілограмів помідорів залишилося незасоленими?

в) Що більше – маса огірків, які посолили чи маса огірків, що залишилися незасоленими?

6. Сформулюйте можливі вимоги до умови завдання:

а) Купили 12 м тканини і третину тканини витратили на сукню.

б) З села вийшов пішохід, а через 2 години слідом за ним виїхав велосипедист. Швидкість велосипедиста 10 км/год., а швидкість пішохода 5 км/год.

7. Які дані необхідні для відповіді на таку вимогу
завдання:

а) Яка частина уроку використана на розв'язання задачі?

б) Скільки суконь пошили з купленої тканини?

в) Знайдіть периметр прямокутника.

8. Учню було запропоновано завдання: «Велосипедист їхав 2 години з
деякою швидкістю. Після того як він проїде 60 км з такою самою
швидкістю, його шлях дорівнюватиме 48 км. З якою швидкістю їхав
велосипедист?» Він вирішив її так:

1) 60-48 = 12 (км)

2) 12:2 = 6 (км/год)

Відповідь: 6 км/год – швидкість велосипедиста.

Чи згодні ви з таким розв'язанням цієї задачі?

9. Чи можете ви дати відповідь на вимогу наступного завдання:

а) За 3 м тканини заплатили 60000 грн. Вдруге купили 6 м тканини. Скільки грошей заплатили за тканину, куплену вдруге?

б) Два мотоциклісти їдуть назустріч один одному. Швидкість одного з них 62 км/год, а швидкість іншого 54 км/год. За скільки годин мотоциклісти зустрінуться?

Якщо не можна відповісти на вимогу завдання, доповніть її умову та вирішіть задачу.

10. Чи є серед наведених нижче завдання з зайвими даними:

а) Об'єм кімнати дорівнює 72 м3. Висота кімнати 3 м. Знайдіть площу підлоги кімнати, якщо її довжина 6 м.

5) Для посадки лісу виділили ділянку, площу якої 300 га. Ду6и посадили на 7/10 дільниці, а сосни на 3/10 дільниці. Скільки гектарів зайнято дубами та соснами?

Якщо в задачі є зайві дані, то виключіть їх і вирішіть задачу.

Довести якесь твердження – це означає показати, що це твердження логічно випливає із системи істинних та пов'язаних тверджень.

Таким чином, основою математичного доказу є дедуктивний метод. Доказ – це сукупність логічних прийомів обгрунтування істинності будь-якого твердження з допомогою інших істинних пов'язаних із нею тверджень.

Математичний доказ - це не просто набір висновків, це висновки, розташовані в певному порядку.

Докази розрізняють прямі та непрямі.

Прямі докази.

1) Грунтуючись на деяких справжніх реченнях та умови теореми будується ланцюжок дедуктивних висновків, які призводять до справжнього висновку.

приклад. Доведемо, що вертикальні кутирівні. Кути 1 та 2 – суміжні, отже, 1 +2 = 180 о. Кути 2 і 3 - суміжні, отже, 2 + 3 = 180 о. Маємо:1 = 180 про –23 = 180 про –21 =2.

2) Метод математичної індукції. Твердження справедливе для кожного натурального числа пякщо: воно справедливе для п= 1 і з справедливості твердження для будь-якого довільного натурального п=kслідує його справедливість для п=k+ 1. (Докладніше буде розглянуто на старших курсах.)

3) Повна індукція (дивись раніше).

Непрямі докази.

1) Метод від протилежного. Нехай потрібно довести теорему АУ. Припускають, що її висновок є хибним, а значить, його заперечення істинно. Приєднавши пропозицію до сукупності справжніх посилок, які у процесі докази (серед яких є умова А), будують ланцюжок дедуктивних висновків до того часу, доки вийде твердження, суперечить однієї з посилок. Отримана суперечність доводить теорему.

приклад. Якщо дві прямі паралельні до однієї і тієї ж прямої, то вони паралельні між собою.

Дано: х з,у з. Довести, що х у.

Доведення. Нехай пряма хне паралельна прямий у, тобто. прямі перетинаються в деякій точці А. Отже, через точку Апроходять дві прямі, паралельні прямий зщо неможливо за аксіомою паралельності.

2) Доказ, заснований на законі контрапозиції: замість теореми АУдоводять рівносильну їй теорему
. Якщо вона істинна, то вихідна теорема теж є істинною.

приклад. Якщо х 2 – парне число, то х- парне число.

Доведення. Припустимо, що х– непарне число, тобто. х= 2k+ 1х 2 = (2k+ 1) 2 = = 4k 2 + 4k+ 1 = 2(2k 2 + 2k) + 1 - непарне.

Контрольні питання

Що називається висновок?

Який висновок називається дедуктивним?

Дайте визначення неповної та повної індукції.

Дайте визначення висновку за аналогією.

Запишіть схеми дедуктивних висновків та доведіть тотожну істинність формул, що лежать в основі цих правил.

Як перевірити правильність висновків за допомогою кіл Ейлера? Які ще відомі способи перевірки правильності висновків?

Який висновок називається софізмом?

Що означає довести твердження?

Які докази розрізняють за способом ведення?

Опишіть способи ведення міркування при різних формахпрямого та непрямого докази.

Основним методом у математичних дослідженняхє математичні докази – суворі логічні міркування. З огляду на об'єктивну необхідність, вказує член-кореспондент РАН Л.Д.Кудрявцев Кудрявцев Л.Д. - Сучасна математика та її викладання, Москва, Наука, 1985 рік, логічні міркування (які за своєю природою, якщо вони правильні, є і строгими) представляють метод математики, без них математика немислима. Слід зазначити, що математичне мислення не зводиться лише до логічних міркувань. Для правильної постановкиЗавдання, для оцінки її даних, для виділення істотних з них і для вибору способу її вирішення необхідна ще математична інтуїція, що дозволяє передбачити потрібний результат перш, ніж його буде отримано, намітити шлях дослідження за допомогою правдоподібних міркувань. Але справедливість даного факту доводиться не перевіркою її на ряді прикладів, не проведенням ряду експериментів (що саме по собі відіграє велику роль у математичних дослідженнях), а суто логічним шляхом, за законами формальної логіки.

Вважається, що математичний доказ є істиною в останній інстанції. Рішення, яке ґрунтується на чистій логіці просто не може бути неправильним. Але з розвитком науки і завдання перед математиками ставляться дедалі складніші.

“Ми увійшли в епоху, коли математичний апаратстав настільки складним і громіздким, що з першого погляду вже не можна сказати - правдиве чи ні зустрінуте завдання”, вважає Кейт Девлін зі Стенфордського Університету Каліфорнії, США. Він наводить як приклад “класифікацію простих кінцевих груп”, яку сформулювали ще 1980 року, а повного точного докази не прищепили досі. Швидше за все, теорема вірна, але точно про це говорити не можна.

Комп'ютерне рішення теж неможливо назвати точним, бо такі обчислення мають похибку. У 1998 році Хейлс запропонував рішення теореми Кеплера за допомогою комп'ютера, сформульованої ще 1611 року. Ця теорема описує найбільш щільну упаковку куль у просторі. Доказ був представлений на 300 сторінках і містив у собі 40000 рядків машинного коду. 12 рецензентів перевіряли рішення протягом року, але стовідсоткової впевненості у правильності доказу вони так і не досягли, та дослідження відправили на доопрацювання. В результаті воно було опубліковане лише через чотири роки та без повної сертифікації рецензентів.

Всі останні обчислення для прикладних завданьвиробляються комп'ютері, але вчені вважають, що з більшої достовірності математичні викладки мають бути представлені без похибок.

Теорія доказу розроблена в логіці та включає три структурних компонентів: теза (те, що передбачається довести), аргументи (сукупність фактів, загальноприйнятих понять, законів і т.п. відповідної науки) та демонстрація (сама процедура розгортання доказу; послідовний ланцюг висновків, коли n-ний висновок стає однією з посилок n+1-го висновку). Виділяються правила доказу, вказано можливі логічні помилки.

Математичне підтвердження має багато з тими принципами, які встановлюються формальної логікою. Більш того, математичні правиламіркувань та операцій, очевидно, послужили однією з основ у розробці процедури доказу у логіці. Зокрема, дослідники історії становлення формальної логіки вважають, що свого часу, коли Арістотель зробив перші кроки щодо створення законів та правил логіки, він звернувся до математичної та до практики юридичної діяльності. У цих джерелах він знаходив матеріал для логічних побудов задуманої теорії.

У XX століттях поняття доказу втратило суворий зміст, що сталося у зв'язку з виявленням логічних парадоксів, що таїлися в теорії множин і особливо у зв'язку з результатами, які принесли теореми К. Геделя про неповноту формалізації.

Насамперед це торкнулося самої математики, у зв'язку з чим було висловлено переконання, що термін "доказ" не має точного визначення. Але якщо вже подібна думка (має місце і донині) зачіпає саму математику, то приходять до висновку, згідно з яким доказ слід прийняти не в логіко-математичному, а в психологічному сенсі. При цьому подібний погляд виявляють і в самого Аристотеля, який вважав, що довести означає провести міркування, яке переконало б нас настільки, що, використовуючи його, переконуємо інших у правоті чогось. Певний відтінок психологічного підходузнаходимо у А.Е.Єсеніна-Вольпіна. Він різко виступає проти прийняття істини без доказу, пов'язуючи це з актом віри, і далі пише: "Доказом судження я називаю чесний прийом, який робить це судження незаперечним". Єсенін-Вольпін усвідомлює, що його визначення потребує ще уточнень. Водночас сама характеристика доказу як "чесного прийому" не видає чи апеляцію до морально-психологічної оцінки?

Водночас виявлення теоретико-множинних парадоксів та поява теорем Геделя якраз сприяли й розробці теорії математичного доказу, зробленої інтуїціоністами, особливо конструктивістського спрямування, та Д.Гільбертом.

Іноді вважають, що математичний доказ має загальний характер і представляє ідеальний варіант наукового доказу. Однак воно – не єдиний метод, є й інші способи доказових процедур та операцій. Правильно лише те, що в математичного доказу чимало схожого з формально-логічним, що реалізується в природознавстві, і що математичний доказ має певну специфіку, як і набір прийомів-операцій. На цьому ми і зупинимося, опускаючи те спільне, що ріднить його з іншими формами доказів, тобто, не розгортаючи у всіх кроках (навіть основних) алгоритм, правила, помилки тощо. процесу доказу.

Математичний доказ представляє міркування, що має завданням обґрунтувати істинність (звісно, в математичному, тобто як виведеність, сенсі) будь-якого твердження.

Звід правил, що застосовуються у доказі, сформувався разом із появою аксіоматичних побудов математичної теорії. Найбільш чітко і повно це було реалізовано у геометрії Евкліда. Його " Початки " стали свого роду модельним зразком аксіоматичної організації математичного знання, і тривалий час залишалися такими для математиків.

Висловлювання, подані у вигляді певної послідовності, повинні гарантувати висновок, який за дотримання правил логічного оперування вважається доведеним. Необхідно наголосити, що певна міркування є доказом лише щодо деякої аксіоматичної системи.

При характеристиці математичного підтвердження виділяють дві основні особливості. Насамперед те, що математичний доказ виключає будь-які посилання на емпірію. Вся процедура обґрунтування істинності виведення здійснюється в рамках аксіоматики, що приймається. Академік А.Д.Александров у зв'язку з цим підкреслює. Можна тисячі разів вимірювати кути трикутника і переконатися, що вони дорівнюють 2d. Але математику цим нічого не доведеш. Йому доведеш, якщо виведеш наведене твердження з аксіом. Повторимося. Тут математика і близька методам схоластики, яка також принципово відкидає аргументацію досвідчено цими фактами.

Наприклад, коли було виявлено несумірність відрізків, за підтвердження цієї теореми виключалося звернення до фізичного експерименту, оскільки, по-перше, саме поняття "незрівнянність" позбавлене фізичного сенсу, а, по-друге, математики і не могли, маючи справу з абстракцією, залучати на допомогу речовинно-конкретні протяжності, що вимірюються чуттєво-наочним прийомом. Несумірність, зокрема, сторони та діагоналі квадрата, доводиться, спираючись на властивість цілих чисел із залученням теореми Піфагора про рівність квадрата гіпотенузи (відповідно – діагоналі) сумі квадратів катетів (двох сторін) прямокутного трикутника). Або коли Лобачевський шукав для своєї геометрії підтвердження, звертаючись до результатів астрономічних спостережень, це підтвердження здійснювалося їм засобами суто умоглядного характеру. У інтерпретаціях неевклідової геометрії, проведених Келі - Клейном і Бельтрамі, також фігурували типово математичні, а чи не фізичні об'єкти.

Друга особливість математичного доказу - його найвища абстрактність, якою вона відрізняється від процедур доказу інших науках. І знову ж таки, як у випадку з поняттям математичного об'єкта, йдеться не просто про ступінь абстракції, а про її природу. Справа в тому що високого рівняАбстрагування доказ досягає і в низці інших наук, наприклад, у фізиці, космології і, звичайно, у філософії, оскільки предметом останньої стають граничні проблеми буття та мислення. Математику ж відрізняє те, що тут функціонують змінні, зміст яких - у відволіканні від будь-яких конкретних властивостей. Нагадаємо, що, за визначенням, змінні - знаки, які самі по собі не мають значень і знаходять останні лише при підстановці замість них імен певних предметів (індивідуальні змінні) або при вказівці конкретних властивостей та відносин (предикатні змінні), або, нарешті, випадках заміни змінної змістовним висловом (пропозиційна змінна).

Зазначеною особливістю і обумовлений характер крайньої абстрактності використовуваних у математичному доказі знаків, так само, як і тверджень, які завдяки включенню до своєї структури змінних перетворюються на функції висловлювання.

Сама процедура доказу, яка визначається в логіці як демонстрація, протікає на основі правил виведення, спираючись на які здійснюється перехід від одних доведених тверджень до інших, утворюючи послідовний ланцюг висновків. Найбільш поширені два правила (підстановки та висновку висновків) та теорема про дедукцію.

Правило підстановки. У математиці підстановка визначається як заміна кожного з елементів a даної множинибудь-яким іншим елементом F ( a) з тієї ж множини. У математичної логікиправило підстановки формулюється в такий спосіб. Якщо справжня формула Mу вирахуванні висловлювань містить букву, скажімо A, то, замінивши її всюди, де вона зустрічається, довільною літерою D, ми отримаємо формулу, як істинну, як і вихідна. Це можливо, і допустимо тому саме, що в обчисленні висловлювань відволікаються від змісту висловлювань (формул)... Враховуються лише значення "істина" чи "брехня". Наприклад, у формулі M: A-->(B U A) на місце Aпідставляємо вираз ( A U B), в результаті отримуємо нову формулу ( A U B) -->[(B U( A U B) ].

Правило виведення висновків відповідає структурі умовно-категоричного силогізму modus ponens (модус стверджує) в формальної логіки. Він має такий вигляд:

a--> b

a .

Дано висловлювання ( a-> b) і ще дано a. З цього випливає b.

Наприклад: Якщо йде дощ, то бруківка мокра, дощ йде ( a), отже, бруківка мокра ( b). У математичній логіці цей силогізм записується в такий спосіб ( a-> b) a-> b.

Висновок визначається, як правило, відділення для імплікації. Якщо дана імплікація ( a-> b) та її антецедент ( a), то ми маємо право приєднати до міркування (доказу) також і консеквент цієї імплікації ( b). Силлогізм має примусовий характер, складаючи арсенал дедуктивних засобів доказу, тобто, абсолютно відповідаючи вимогам математичних міркувань.

Велику роль у математичному доказі грає теорема про дедукцію. загальна назвадля ряду теорем, процедура яких забезпечує можливість встановити доказовість імплікації: A-> B, коли є логічний висновок формули Bіз формули A. У найпоширенішому варіанті обчислення висловлювань (у класичній, інтуїціоністській та інших. видах математики) теорема про дедукцію стверджує таке. Якщо дана система посилок G та посилка A, з яких, згідно з правилами, виведено BГ, A B(- знак виведення), то слід, що тільки з посилок G можна отримати пропозицію A--> B.

Ми розглянули тип, який є доказом. Разом з тим, у логіці використовуються і так звані непрямі, є не прямі докази, які розгортаються за наступною схемою. Не маючи в силу низки причин (недоступність об'єкта дослідження, втрата реальності його існування тощо) можливості провести прямий доказ істинності будь-якого твердження тези будують антитезу. Переконуються, що антитеза веде до протиріч, і, отже, є хибним. Тоді з факту хибності антитези роблять - на підставі закону виключеного третього ( a v ) - Висновок про істинність тези.

У математиці широко використовується одна з форм непрямого доказу - доказ протилежного. Воно особливо цінне і, по суті, незамінне у прийнятті фундаментальних понять та положень математики, наприклад, поняття актуальної нескінченності, яке ніяк інакше запровадити неможливо.

Операція докази від протилежного представлена в математичній логіці в такий спосіб. Дано послідовність формул G і заперечення A(G, A). Якщо з цього випливає Bта його заперечення (G , A B, не-B), можна зробити висновок, що з послідовності формул G випливає істинність A. Інакше висловлюючись, з хибності антитези випливає істинність тези.

Наведемо приклад використання неповної індукції у роботі з дошкільнятами: використовуючи гру « Чудовий мішечок» з об'ємними геометричними фігурами, гавкаємо завдання дитині: «Дістань фігуру і назви». Після кількох спроб дитина робить припущення:

Куля. Куля. Куля. Тут, мабуть, усі кулі.

Завдання 14

Запропонуйте подальші міркування для того, щоб переконатися в істинності (чи хибності) отриманого твердження.

Неможливо переоцінити значення доказів нашого життя і особливо у науці. До доказів вдаються всі, але не завжди замислюються, що означає «довести». Практичні навички докази та інтуїтивні уявлення про нього є достатніми для багатьох побутових цілей, але не для наукових.

Довести якесь твердження - це показати, що це логічне твердження логічно випливає із системи істинних та пов'язаних з ним тверджень.

Доказ є логічною операцієюобґрунтування істинності будь-якого твердження за допомогою інших істинних та пов'язаних з ним тверджень.

У доказі виділяють три структурні елементи:

1) твердження, що доводиться;

2) систему істинних тверджень, за допомогою яких обґрунтовується істинність того, що доводиться;

3) логічний зв'язок між пп. 1 та 2.

Основним способом математичного доказу є дедуктивний висновок.

За своєю формою Доведення- це дедуктивний висновок або ланцюжок дедуктивних висновків, що ведуть від справжніх посилок до твердження, що доводиться.

У математичному доказі важливий порядок розташування висновків. За способом ведення розрізняють прямі та непрямі докази.До прямих доказів відноситься повна індукція, про яку йшлося в п.1.6.

Повна індукція- спосіб доказу, у якому істинність твердження випливає з його істинності у всіх окремих випадках.

Повна індукціячасто застосовується в іграх з дошкільнятами на кшталт: «Назви одним словом».

приклад прямого доказувисловлювання «Сума кутів у будь-якому чотирикутнику дорівнює 360 °»:

«Розглянемо довільний чотирикутник. Провівши у ньому діагональ, отримаємо 2 трикутники. Сума кутів чотирикутника дорівнюватиме сумі кутів двох утворених трикутників. Так як сума кутів у будь-якому трикутнику 180 °, то, склавши 180 ° і 180 °, отримаємо суму кутів у двох трикутниках, вона становитиме 360 °. Отже, сума кутів у будь-якому чотирикутнику дорівнює 360", що й потрібно було довести».

У наведеному доказі можна виділити такі висновки:

1. Якщо фігура чотирикутник, то в ній можна накреслити діагональ, яка розіб'є чотирикутник на 2 трикутники. Ця фігура чотирикутник. Отже, його можна розбити на 2 трикутники, побудувавши діагональ.

2. У будь-якому трикутнику сума кутів дорівнює ISO". Дані фігури трикутники. Отже, сума кутів кожного з них дорівнює 180°.

3. Якщо чотирикутник складений із двох трикутників, то сума його кутів дорівнює сумі кутів цих трикутників. Цей чотирикутник складається з двох трикутників із сумою кутів по 180°. 180о +180о = 360 °. Отже, сума кутів у цьому чотирикутнику дорівнює 360°.

Всі наведені висновки виконані за правилом ув'язнення, отже, є дедуктивними.

Прикладом непрямого підтвердження є підтвердження шляхом протилежного. У цьому випадку допускають,що висновок хибно, отже, його заперечення є істинним. Приєднавши цю пропозицію до сукупності справжніх посилок, проводять міркування, доки не отримають протиріччя.

Наведемо приклад докази від протилежної теореми: «Якщо дві прямі а і Ь паралельні третьої прямої с, то вони паралельні між собою»:

«Припустимо, що прямі а і b не паралельні, тоді вони перетнуться в деякій точці А, яка не належить прямої с. Тоді отримаємо, що через точку А можна провести дві прямі а та Ь, паралельні с. Це суперечить аксіомі паралельності: «Через точ-

8. Сформулюйте правила явного визначення через рід та видову відмінність.

9. Яке визначення називається:

Контекстуальним;

Остенсивним?

10. Що таке висловлювання, а що таке форма висловлювання?

11. Коли пропозиції видів «А та В», «А чи В», «Не А» істинні, а коли хибні?

12. Перерахуйте квантори спільності та квантори існування. Як встановити значення істинності речень з різними кванторами?

13. Коли між пропозиціями є ставлення, а коли відношення рівносильності? Як вони позначаються?

14. Що таке висновок? Який висновок називається дедуктивним?

15. Запишіть за допомогою символів правила укладання, правило заперечення, правило силогізму.

16. Які висновки називаються неповною індукцією, а які висновки за аналогією?

17. Що означає довести якесь твердження?

18. Що таке математичний доказ?

19. Дайте визначення повної індукції.

20. Що таке софізму?

Отже, основою математичного підтвердження є дедуктивний метод. Доказ – це сукупність логічних прийомів обгрунтування істинності будь-якого твердження з допомогою інших істинних пов'язаних із нею тверджень.

Математичний доказ - це не просто набір висновків, це висновки, розташовані в певному порядку.

Докази розрізняють прямі та непрямі.

Прямі докази.

приклад. Доведемо, що вертикальні кути дорівнюють. Кути 1 і 2 - суміжні, отже,
Ð 1 + Ð 2 = 180 о. Кути 2 і 3 - суміжні, отже, Ð 2 + Ð 3 = 180 о. Маємо: Ð 1 = 180 про – Ð 2 Ð 3 = 180 про – Ð 2 Þ Ð 1 = Ð 2.

2) Метод математичної індукції. Твердження справедливе для будь-якого натурального числа пякщо: воно справедливе для п= 1 і з справедливості твердження для будь-якого довільного натурального п = kслідує його справедливість для п = k+ 1. (Докладніше буде розглянуто на старших курсах.)

3) Повна індукція (дивись раніше).

Непрямі докази.

1) Метод від протилежного. Нехай потрібно довести теорему А Þ У. Припускають, що її висновок є хибним, а значить, його заперечення є істинним. Приєднавши пропозицію до сукупності справжніх посилок, які у процесі докази (серед яких є умова А), будують ланцюжок дедуктивних висновків до того часу, доки вийде твердження, суперечить однієї з посилок. Отримана суперечність доводить теорему.

приклад. Якщо дві прямі паралельні до однієї і тієї ж прямої, то вони паралельні між собою.

Дано: хúú з, уúú з. Довести, що хúú у.

2) Доказ, заснований на законі контрапозиції: замість теореми А Þ Удоводять рівносильну їй теорему. Якщо вона істинна, то вихідна теорема теж є істинною.

приклад. Якщо х 2 – парне число, то х- парне число.

Доведення. Припустимо, що х– непарне число, тобто. х = 2k+ 1 Þ х 2 = (2k + 1) 2 =
= 4k 2 + 4k + 1 = 2(2k 2 + 2k) + 1 - непарне.

Що робитимемо з отриманим матеріалом:

Якщо цей матеріал виявився корисним для Вас, Ви можете зберегти його на свою сторінку в соціальних мережах:

Всі теми цього розділу:

Закони алгебри висловлювань
1. Комутативні закони А ? В ? В ? А А ?

Поняття множини. Елемент множини. Порожня безліч
Безліч – основне поняття математики і тому визначається через інші. Зазвичай під безліччю розуміють сукупність предметів, об'єднаних позагальною ознакою

. Так можна говорити
Відносини між множинами. Графічна ілюстрація множин

Визначення. Якщо множини А і мають загальні елементи, тобто. елементи, що належать одночасно множинам А і В, то кажуть, що ці множини
Закони операцій над множинами

1. Комутативні закони АС.
Число елементів об'єднання двох і трьох кінцевих множин

У математиці часто доводиться вирішувати завдання, у яких потрібно визначити кількість елементів у множині, або в поєднанні чи перетині множин.
Умовимося число елементів

Впорядкована пара. Декартове твір двох множин
Визначення. Відображенням f множини Х у множину Y називається така відповідність між множинами Х і Y, при якому кожному елемент

Рівнопотужні множини. Рахункові та незлічені множини
Визначення. Дві множини Х і Y рівносильні, якщо існує взаємно однозначне відображення множини Х на множину Y. (Позначають: Х ~ Y).

Види функцій
1. Постійна функція. Визначення. Постійною називається функція,задана формулою

у = b де b - деяке число.
Зворотня функція Нехай функція у = f(х) задає ін'єктивне відображеннячислової множини Х у безлічдійсних чисел

R (тобто різним значенням
Властивості відносин

Відношення, задане на безлічі, може мати ряд властивостей, а саме: 1. Рефлексивність Визначення. Відношення R на множині Х
Відношення порядку. Упорядковані множини

Визначення. Відношення R на множині Х називається ставленням порядку, якщо воно транзитивне і асиметричне або антисиметричне.
Визначення. Отн

Висловлювання з кванторами та їх заперечення
Якщо заданий предикат, те щоб перетворити їх у висловлювання, достатньо замість кожної зі змінних, які входять у предикат, підставити її значення.

Наприклад, якщо на безлічі натуральних ч
Відношення слідування та рівносильності між пропозиціями. Необхідна та достатня умова

Часто зустрічаються такі предикати, що з істинності одного з них випливає істинність іншого. Наприклад, можна сказати, що з предикату А(х): «число х кратне
Будова та види теорем

Теорема – це висловлювання, істинність якого встановлюється у вигляді міркування (докази).
З логічного погляду теорема є висловлюванням виду А &T

Визначення поняття. Вимоги до визначення поняття
Поява в математиці нових понять, отже, і нових термінів, що означають ці поняття, передбачає їх визначення.

Визначенням зазвичай називають пропозицію, яка роз'яснює суть нового
Висновки та їх види Висновок (міркування) - це спосіб отримання нового знання на основі деякого існуючого.перевірки правильності висновків.