Рівна постійна е. Математика, яка мені подобається

Всі знають геометричний змістчисла π - це довжина кола з одиничним діаметром:

А ось сенс іншої важливої константи, eмає властивість швидко забуватися. Тобто, не знаю, як вам, а мені щоразу варто зусиль згадати, чим так чудово це число, що дорівнює 2,7182818284590... (значення я, однак, по пам'яті записав). Тому я вирішив написати нотатку, щоб більше з пам'яті не вилітало.

Число eза визначенням - межа функції y = (1 + 1 / x) xпри x → ∞:

x	y
1	(1 + 1 / 1) 1	= 2
2	(1 + 1 / 2) 2	= 2,25
3	(1 + 1 / 3) 3	= 2,3703703702...
10	(1 + 1 / 10) 10	= 2,5937424601...
100	(1 + 1 / 100) 100	= 2,7048138294...
1000	(1 + 1 / 1000) 1000	= 2,7169239322...
∞	lim × → ∞	= 2,7182818284590...

Це визначення, на жаль, не наочно. Незрозуміло, чим чудова ця межа (попри те, що вона називається «другою чудовою»). Подумаєш, взяли якусь незграбну функцію, порахували межу. В іншій функції інший буде.

Але число eчомусь спливає в цілій купі самих різних ситуаційу математиці.

Для мене головний сенсчисла eрозкривається в поведінці іншої, куди цікавішої функції, y = k x. Ця функція має унікальною властивістюпри k = e, Яке можна показати графічно так:

У точці 0 функція набуває значення e 0 = 1. Якщо провести дотичну точку x= 0, вона пройде до осі абсцис під кутом з тангенсом 1 (в жовтому трикутникувідношення протилежного катета 1 до прилеглого 1 дорівнює 1). У точці 1 функція набуває значення e 1 = e. Якщо провести дотичну в точці x= 1, то вона пройде під кутом із тангенсом e(у зеленому трикутникувідношення протилежного катета eдо прилеглого 1 одно e). У точці 2 значення e 2 функції знову збігаються з тангенсом кута нахилу дотичної до неї. Через це, заодно, самі дотичні перетинають вісь абсцис у точках −1, 0, 1, 2 тощо.

Серед усіх функцій y = k x(наприклад, 2 x , 10 x , π xі т. д.), функція e x- єдина має таку красу, що тангенс кута її нахилу у кожній її точці збігається зі значенням самої функції. Значить за визначенням значення цієї функції у кожній точці збігається зі значенням її похідної у цій точці: ( e x)´ = e x. Чомусь саме число e= 2,7182818284590... потрібно зводити до різні ступені, щоб вийшла така картинка

Саме в цьому, на мій смак, полягає його зміст.

Числа π і eвходять до моєї улюбленої формули - формули Ейлера, яка пов'язує 5 найголовніших констант - нуль, одиницю, уявну одиницю iі, власне, числа π і е:

e iπ + 1 = 0

Чому число 2,7182818284590... комплексного ступеня 3,1415926535...iраптом одно мінус одиниці? Відповідь на це питання виходить за рамки нотатки і могла б скласти зміст невеликої книги, яка вимагатиме деякого початкового розуміння тригонометрії, меж і рядів.

Мене завжди вражала краса цієї формули. Можливо, в математиці є і більше дивовижні факти, але для мого рівня (трійка у фізико-математичному ліцеї та п'ятірка за комплексний аналізв універі) це найголовніше диво.

ЧИСЛО e
Число, приблизно дорівнює 2,718, яке часто зустрічається в математиці та природничих науках. Наприклад, при розпаді радіоактивної речовинипісля закінчення часу t від вихідної кількості речовини залишається частка, що дорівнює e-kt, де k - число, що характеризує швидкість розпаду даної речовини. Зворотна величина 1/k називається середнім часом життя атома даної речовини, оскільки в середньому атом перш ніж розпастися існує протягом часу 1/k. Розмір 0,693/k називається періодом напіврозпаду радіоактивної речовини, тобто. часом, за який розпадається половина вихідної кількості речовини; число 0,693 приблизно одно loge 2, тобто. логарифму числа 2 на підставі e. Аналогічно, якщо бактерії в живильному середовищі розмножуються зі швидкістю, пропорційною їх числу в теперішній момент, то після закінчення часу t початкова кількістьбактерій N перетворюється на Nekt. Згасання електричного струму I у простому контурі з послідовним з'єднанням, опором R та індуктивністю L відбувається за законом I = I0e-kt, де k = R/L, I0 - сила струму в момент часу t = 0. Аналогічні формули описують релаксацію напруг у в'язкій рідині та згасання магнітного поля. Число 1/k часто називають часом релаксації. У статистиці величина e-kt зустрічається як ймовірність того, що за час t не відбулося подій, що настають випадково із середньою частотою k подій в одиницю часу. Якщо S - сума грошей, вкладених під r відсотків із безперервним нарахуванням замість нарахування через дискретні проміжки часу, то на момент часу t початкова сума зросте до Setr/100. Причина "усюдисущості" числа e полягає в тому, що формули математичного аналізу, що містять експоненційні функції або логарифми, записуються простіше, якщо логарифми брати на підставі e, а не 10 або будь-якій іншій підставі. Наприклад, похідна від log10 x дорівнює (1/x)log10 e, тоді як похідна від loge x дорівнює просто 1/x. Аналогічно, похідна від 2x дорівнює 2xloge 2, тоді як похідна від них дорівнює просто ex. Це означає, що число e можна визначити як основу b, при якому графік функції y = logb x має в точці x = 1 дотичну кутовим коефіцієнтом, рівним 1, або при якому крива y = bx має x = 0 дотичну з кутовим коефіцієнтом, рівним 1. Логарифми на підставі e називаються "натуральними" і позначаються ln x. Іноді їх також називають "неперовими", що неправильно, тому що насправді Дж. Непер (1550-1617) винайшов логарифми з іншою основою: неперів логарифм числа x дорівнює 107 log1/e (x/107) (див. також ЛОГАРИФМ). Різні комбінації ступенів e зустрічаються в математиці настільки часто, що мають спеціальні назви. Такі, наприклад, гіперболічні функції

Графік функції y = ch x називається ланцюговою лінією; таку форму має підвішена за кінці важка нерозтяжна нитка або ланцюг. Формули Ейлера

де i2 = -1 зв'язують число e з тригонометрією. Окремий випадок x = p призводить до знаменитого співвідношення eip + 1 = 0, що зв'язує 5 найбільш відомих у математиці чисел. При обчисленні значення e можуть бути використані деякі інші формули (найчастіше користуються першою з них):

Значення e з 15 десятковими знаками дорівнює 2,718281828459045. У 1953 було обчислено значення e із 3333 десятковими знаками. Символ e для позначення цього числа було введено в 1731 Л. Ейлером (1707-1783). Десятичне розкладання числа e неперіодично (e – ірраціональне число). Крім того, e, як і p - трансцендентне число (воно не є коренем ніякого алгебраїчного рівнянняіз раціональними коефіцієнтами). Це довів у 1873 р. Ш. Ерміт. Вперше було показано, що таке природне число, що виникає в математиці, є трансцендентним.
Див. також
МАТЕМАТИЧНИЙ АНАЛІЗ ;
НЕПРЕРИВНІ ДРОБИ;
ЧИСЕЛ ТЕОРІЯ;
ЧИСЛО p;
РЯДИ.

Енциклопедія Кольєра. - Відкрите суспільство. 2000 .

Дивитись що таке "ЧИСЛО e" в інших словниках:

число- Прийомкове Джерело: ГОСТ 111 90: Скло листове. Технічні умови оригінал документа Дивись також споріднені терміни: 109. Число бетатронних коливань … Словник-довідник термінів нормативно-технічної документації

Сущ., с., упот. дуже часто Морфологія: (ні) чого? числа, чому? числу, (бачу) що? Число, чим? числом, про що? про кількість; мн. що? числа, (ні) чого? чисел, чому? числам, (бачу) що? числа, чим? числами, про що? про числа математика 1. Числом ... ... Тлумачний словникДмитрієва

ЧИСЛО, числа, мн. числа, чисел, числам, порівн. 1. Поняття, службовець виразомкількості, те, з допомогою чого виробляється рахунок предметів і явищ (мат.). Ціле число. Дробове число. Іменоване число. Просте число. (див. простий1 в 1 знач.). Тлумачний словник Ушакова

Абстрактне, позбавлене особливого змісту позначення якогось члена деякого ряду, в якому цьому члену передує або слідує за ним якийсь ін. певний член; абстрактна індивідуальна ознака, що відрізняє одну множину від… … Філософська енциклопедія

Число- Число граматична категорія, що виражає кількісні характеристикипредметів думки. Граматичне числоодин із проявів більш загальний мовної категоріїкількості (див. Категорія мовна) поряд з лексичним проявом(«лексичне… … Лінгвістичний енциклопедичний словник

А; мн. числа, сіл, слам; пор. 1. Одиниця рахунку, що виражає ту чи іншу кількість. Дробне, ціле, просте ч. Натуральне ч. (ціле позитивне … Енциклопедичний словник

Порівн. кількість, рахунком, питанням: скільки? і знак, що виражає кількість, цифра. Без числа; немає числа, без рахунку, багато. Постав прилади за кількістю гостей. Числа римські, арабські чи церковні. Ціле число, протип. дріб. Тлумачний словник Даля

ЧИСЛО, а, мн. числа, сіл, слам, порівн. 1. Основне поняття математики величина, за допомогою якої виробляється рахунок. Ціле ч. Дробне ч. Дійсно ч. Комплексне ч. Натуральне ч. (ціле додатне число). Просте ч. ( натуральне число, не… … Тлумачний словник Ожегова

ЧИСЛО «Е» (ЄХР), ірраціональне число, що є основою натуральних ЛОГАРИФМІВ. Це дійсне десяткове число, нескінченна дріб, що дорівнює 2,7182818284590...., є межею виразу (1/) при п, що прагне до нескінченності. По суті,… … Науково-технічний енциклопедичний словник

Кількість, готівка, склад, чисельність, контингент, сума, цифра; день. . день, кількість. не велике число, немає числа, зростати числом ... Словник російських синонімів і подібних за змістом висловів. під. ред. Н. Абрамова, М.: Росіяни… Словник синонімів

Книги

Число імені. Таємниці нумерології. Вихід із тіла для лінивих. Підручник з екстрасенсорики (кількість томів: 3)
Число імені. Новий погляд на цифри. Нумерологія - шлях пізнання (кількість томів: 3), Лоуренс Ширлі. Число імені. Таємниці нумерології.

Книга Ширлі Б. Лоуренс є всебічним дослідженням давньої езотеричної системи – нумерології. Щоб навчитися використовувати вібрації чисел для… Описувати її як «константу, приблизно рівну 2,71828…» - це все одно, що називати число пі «ірраціональним числом

, Приблизно рівним 3,1415 ... ». Безперечно, так і є, але суть, як і раніше, вислизає від нас.Число пі - це співвідношення довжини кола до діаметра, однакове для всіх кіл . Це фундаментальна пропорція, властива всім колам, а отже, вона бере участь у обчисленні довжини кола, площі, об'єму та площі поверхні для кіл, сфер, циліндрів тощо. Пі показує, що всі кола пов'язані, не кажучи вже протригонометричних функціях

, що виводяться з кіл (синус, косинус, тангенс).Число е є базовим співвідношенням зростання всім безперервно зростаючих процесів.

Число е дозволяє взяти простий темп приросту (де різниця видно тільки в кінці року) і обчислити складові цього показника, нормальне зростання, при якому з кожною наносекундою (або навіть швидше) все зростає ще трохи. Число е бере участь як у системах з експоненційним, так і постійним зростанням: населення,радіоактивний розпад

, Підрахунок відсотків, і багато інших. Навіть ступінчасті системи, які не ростуть рівномірно, можна апроксимувати за допомогою числа е. Також, як будь-яке число можна розглядати у вигляді «масштабованої» версії 1 (базової одиниці), будь-яке коло можна розглядати у вигляді «масштабованої» версіїодиничного кола

(З радіусом 1). І будь-який коефіцієнт зростання може бути розглянутий у вигляді «масштабованої» версії е («одиничного» коефіцієнта зростання).

Отже число е – це випадкове, взяте навмання число. Число е втілює в собі ідею, що всі безперервно зростаючі системи є масштабованими версіями одного й того самого показника.

Поняття експоненційного зростання Почнемо з розгляду базової системи, якаподвоюється запевний період

часу. Наприклад:
Бактерії діляться і подвоюються в кількості кожні 24 години.
Ми отримуємо вдвічі більше локшин, якщо розламуємо їх навпіл

Ваші гроші щороку збільшуються вдвічі, якщо ви отримуєте 100% прибутку (щасливчик!)

Розподіл на два чи подвоювання – це дуже проста прогресія. Звичайно, ми можемо потроїти або вчетверіть, але подвоювання зручніше для пояснення.

Математично, якщо у нас є їх поділів, ми отримуємо в 2^x разів більше добра, ніж було спочатку. Якщо зроблено лише 1 розбиття, отримуємо в 21 рази більше. Якщо розбиття 4, у нас вийде 2^4=16 частин. Загальна формулавиглядає так:

зріст= 2 x

Інакше кажучи, подвоєння – це 100% зростання. Ми можемо переписати цю формулу так:

зріст= (1+100%) x

Це та ж рівність, ми лише розділили «2» на складові, якими по суті і є це число: початкове значення(1) Плюс 100%. Розумно, так?

Звичайно, ми можемо підставити будь-яке інше число (50%, 25%, 200%) замість 100% і отримати формулу зростання для цього нового коефіцієнта. Загальна формула для х періодів тимчасового ряду матиме вигляд:

зріст = (1+приріст) x

Це просто означає, що ми використовуємо норму повернення (1 + приріст), «х» разів поспіль.

Придивимося ближче

Наша формула передбачає, що приріст відбувається дискретними кроками. Наші бактерії чекають, чекають, а потім бац!, і в останню хвилинувони подвоюються у кількості. Наш прибуток за відсотками депозиту магічним чином з'являється рівно через 1 рік. На основі формули, написаної вище, прибуток зростає східчасто. Зелені крапки з'являються раптово.

Але світ не завжди такий. Якщо ми збільшимо картинку, побачимо, що наші друзі-бактерії діляться постійно:

Зелений малий не виникає з нічого: він повільно виростає із синього батька. Після 1 періоду часу (24 години в нашому випадку), зелений друг повністю дозрів. Подорослішавши, він стає повноцінним синім членом стада і може створювати нові зелені клітини сам.

Ця інформація якось змінить наше рівняння?

Не-а. У випадку з бактеріями, напівсформовані зелені клітини все ж таки не можуть нічого робити, поки не виростуть і зовсім не відокремляться від своїх синіх батьків. Отже, рівняння справедливе.

ЧИСЛО e. Число, приблизно дорівнює 2,718, яке часто зустрічається в математиці та природничих науках. Наприклад, при розпаді радіоактивної речовини після закінчення часу tвід вихідної кількості речовини залишається частка, що дорівнює e-kt, де k- Число, що характеризує швидкість розпаду даної речовини. Зворотний розмір 1/ kназивається середнім часом життя атома даної речовини, так як в середньому атом перш ніж розпастися існує протягом часу 1/ k. Розмір 0,693/ kназивається періодом напіврозпаду радіоактивної речовини, тобто. часом, за який розпадається половина вихідної кількості речовини; число 0,693 приблизно дорівнює log e 2, тобто. логарифму числа 2 на підставі e. Аналогічно, якщо бактерії в живильному середовищі розмножуються зі швидкістю, пропорційною їх числу зараз, то після закінчення часу tпочаткова кількість бактерій Nперетворюється в Ne kt. Згасання електричного струму Iу простому контурі з послідовним з'єднанням, опором Rта індуктивністю Lвідбувається за законом I = I 0 e-kt, де k = R/L, I 0 - сила струму в момент часу t= 0. Аналогічні формули описують релаксацію напруг у в'язкій рідині та згасання магнітного поля. Число 1/ kчасто називають часом релаксації. У статистиці величина e-ktзустрічається як ймовірність того, що за час tне сталося подій, що настають випадково із середньою частотою kподій за одиницю часу. Якщо S- Сума грошей, вкладених під rвідсотків з безперервним нарахуванням замість нарахування через дискретні проміжки часу, то на момент часу tпервісна сума зросте до Se tr/100.

Причина «усюдисущості» числа eполягає в тому, що формули математичного аналізу, що містять експоненційні функції або логарифми, записуються простіше, якщо логарифми брати в основі e, а не 10 або будь-якій іншій підставі. Наприклад, похідна від log 10 xдорівнює (1/ x)log 10 e, тоді як похідна від log e xдорівнює просто 1/ x. Аналогічно, похідна від 2 xдорівнює 2 x log e 2, тоді як похідна від e хдорівнює просто e x. Це означає, що число eможна визначити як основу b, при якому графік функції y = log b xмає в точці x= 1 дотичну з кутовим коефіцієнтом, рівним 1, або при якому крива y = b xмає в x= 0 дотичну з кутовим коефіцієнтом, рівним 1. Логарифми з основи eназиваються «натуральними» і позначаються ln x. Іноді їх також називають «неперовими», що неправильно, оскільки насправді Дж.Непер (1550–1617) винайшов логарифми з іншою основою: неперів логарифм числа xдорівнює 10 7 log 1/ e (x/10 7) .

Різні комбінації ступенів eтрапляються в математиці так часто, що мають спеціальні назви. Такі, наприклад, гіперболічні функції

Графік функції y= ch xназивається ланцюговою лінією; таку форму має підвішена за кінці важка нерозтяжна нитка або ланцюг. Формули Ейлера

де i 2 = -1, пов'язують число eіз тригонометрією. Окремий випадок x = pпризводить до знаменитого співвідношення e ip+ 1 = 0, що зв'язує 5 найбільш відомих у математиці чисел.

| Число Ейлера (Е)

e - основа натурального логарифму, математична константа, ірраціональне та трансцендентне число. Приблизно дорівнює 2,71828. Іноді число називають числом Ейлераабо числом Непера. Позначається малою латинською літерою « e».

Історія

Число e вперше з'явилося у математиці як щось незначне. Це сталося в 1618 р. У додатку до роботи Джона Непера (Napier) з логарифмів було дано таблицю натуральних логарифмів різних чисел. Однак ніхто не зрозумів, що це логарифми на підставі e , оскільки до поняття логарифму на той час така річ як основа не входила. Це зараз ми називаємо логарифмом ступінь, в який потрібно звести основу, щоб отримати потрібне число. Ми ще повернемося до цього пізніше. Таблиця в додатку швидше за все була зроблена Відред (Ougthred), хоча автор її не був вказаний. Через кілька років, у 1624 р., у математичній літературі знову з'являється e але знову-таки завуальовано. Цього року Бріггс (Briggs) дав чисельне наближення десяткового логарифму. e , але саме число e у його роботі не згадується.

Наступна поява числа e знову сумнівно. У 1647 р. Сен-Вінсент (Saint-Vincent) обчислив площу сектора гіперболи. Чи розумів він зв'язок з логарифмами, залишається тільки здогадуватися, але навіть якщо розумів, то навряд чи він міг дійти до числа. e . Тільки до 1661 р. Гюйгенс (Huygens) зрозумів зв'язок між рівнобічною гіперболою та логарифмами. Він довів, що площа під графіком рівнобічної гіперболи xy = 1 рівнобічної гіперболи на проміжку від 1 до e дорівнює 1. Ця властивість робить e основою натуральних логарифмів, але це розуміли математики на той час, проте вони повільно наближалися до цього розуміння.

Гюйгенс зробив наступний крок у 1661 р. Він визначив криву, яку назвав логарифмічною (у нашій термінології ми називатимемо її експоненційною). Це крива виду y = ka x . І знову з'являється десятковий логарифм e , що Гюйгенс знаходить з точністю до 17 десяткових цифр . Однак він виник у Гюйгенса як якась константа і не був пов'язаний з логарифмом числа (отже, знову підійшли впритул до e , але саме число e залишається невпізнаним).

У подальших роботах з логарифмів знову-таки число e не з'являється у явному вигляді. Проте вивчення логарифмів продовжується. У 1668 р. Нікола Меркатор (Nicolaus Mercator) опублікував роботу Logarithmotechniaяка містить розкладання в ряд log(1 + x) . У цій роботі Меркатор вперше використовує назву “ натуральний логарифм” для логарифму на підставі e . Число e явно знову не з'являється, а залишається невловимим десь осторонь.

Дивно, що число e у явному вигляді вперше виникає не у зв'язку з логарифмами, а у зв'язку з нескінченними творами. У 1683 р. Якоб Бернуллі намагається знайти

Він використовує біномну теорему для доказу того, що ця межа знаходиться між 2 і 3, і це ми можемо розглядати як перше наближення числа e . Хоча ми приймаємо це за визначення e Це перший випадок, коли число визначається як межа. Бернуллі, звичайно, не зрозумів зв'язку між своєю роботою та роботами з логарифмів.

Раніше згадувалося, що логарифми на початку вивчення ніяк не пов'язувалися з експонентами. Звичайно, з рівняння x = a t ми знаходимо, що t = log a x але це набагато пізніший спосіб сприйняття. Тут ми насправді маємо на увазі під логарифмом функцію, тоді як спочатку логарифм розглядався лише як число, яке допомагало в обчисленнях. Можливо, Якоб Бернуллі першим зрозумів, що логарифмічна функціяє зворотною показовою. З іншого боку, першим, хто пов'язав логарифми та ступеня, міг бути Джеймс Грегорі (Games Gregory). У 1684 р. він безперечно усвідомив зв'язок між логарифмами і ступенями, але, можливо, він був не першим.

Ми знаємо, що число e виникло у вигляді, як нині, в 1690 р. Лейбніц у листі до Гюйгенсу використовував йому позначення b . Нарешті у e з'явилося позначення (хоча воно не збігалося із сучасним), і це позначення було визнано.

У 1697 р. Йоганн Бернуллі починає вивчення показової функції та публікує Principia calculi exponentialum seu percurrentium. У цій роботі обчислюються суми різних експоненційних рядів і отримані деякі результати їх почленним інтегруванням.

Леонард Ейлер (Euler) увів так багато математичних позначень, що не дивно, що позначення e також належить йому. Здається смішним твердження, що він використав букву e через те, що це перша літера його імені. Ймовірно, це навіть не тому, що e взято від слова “exponential”, а це наступна голосна за “a”, а Ейлер вже використовував позначення “a” у роботі. Незалежно від причини, позначення вперше з'являється у листі Ейлера Гольдбаху (Goldbach) у 1731 р. Він зробив багато відкриттів, вивчаючи e надалі, але лише 1748 р. в Introductio in Analysin infinitorumвін дав повне обґрунтування всім ідеям, пов'язаним з e . Він показав, що

Ейлер також знайшов перші 18 десяткових знаків числа e :

Щоправда, не пояснюючи, як він їх одержав. Схоже, що він вирахував це значення сам. Насправді якщо взяти близько 20 членів ряду (1), то вийде точність, яку отримав Ейлер. Серед інших цікавих результатіву його роботі наведено зв'язок між функціями синус та косинус та комплексною показовою функцією, яку Ейлер вивів із формули Муавра.

Цікаво, що Ейлер знайшов навіть розкладання числа e у безперервні дроби і навів зразки такого розкладання. Зокрема, він отримав

Ейлер не навів докази, що ці дроби так само продовжуються, проте він знав, що якби такий доказ був, то він доводив би ірраціональність. e . Справді, якби безперервний дріб для (e - 1) / 2 , Тривала так само, як у наведеному зразку, 6,10,14,18,22,26, (щоразу додаємо по 4), то вона ніколи б не перервалася, і (e-1) / 2 (а отже, і e ) не могло б бути раціональним. Очевидно, це перша спроба довести ірраціональність e .

Першим, хто вирахував досить велику кількість десяткових знаків числа e , був Шенкс (Shanks) у 1854 р. Глейшер (Glaisher) показав, що перші 137 знаків, обчислені Шенксом, були вірними, проте далі знайшов помилку. Шенкс її виправив і було отримано 205 десяткових знаків числа e . Насправді потрібно близько 120 членів розкладання (1), щоб отримати 200 вірних знаків числа e .

У 1864 р. Бенджамен Пірс (Peirce) стояв біля дошки, де було написано

У своїх лекціях він міг би сказати своїм студентам: “Джентльмени, ми не маємо жодного уявлення, що б це означало, але ми можемо бути впевнені, що це означає щось дуже важливе”.

Більшість вважає, що Ейлер довів ірраціональність числа e . Однак це зробив Ерміт (Hermite) у 1873 р. Досі залишається відкритим питання, чи є число e e алгебраїчним. Останній результат у цьому напрямі - це те, що принаймні одне із чисел e e і e e 2 є трансцендентним.

Далі обчислювали такі десяткові знаки числа e . У 1884 р. Бурман (Boorman) обчислив 346 символів числа e , У тому числі перші 187 збіглися зі знаками Шенкса, але наступні розрізнялися. У 1887 р. Адамс (Adams) обчислив 272 цифри десяткового логарифму e .

J.J.Connor, E.F.Robertson. The number e.