Розробте блок схему знаходження алгоритму евкліда. Алгоритм евкліда

Алгоритм Евкліда- Це алгоритм знаходження найбільшого загального дільника (НДД) пари цілих чисел.

Найбільший спільний дільник (НДД)- Це число, яке ділить без залишку два числа і ділиться саме без залишку на будь-який інший дільник цих двох чисел. Простіше кажучи, це найбільше число, на яке можна без залишку розділити два числа, для яких шукається НОД.

Алгоритм знаходження НОД поділом

1. Більше ділимо на менше.
2. Якщо ділиться без залишку, то менше і є НОД (слід вийти з циклу).
3. Якщо є залишок, то більше замінюємо на залишок від поділу.
4. Переходимо до пункту 1.

Приклад:
Знайти НОД для 30 та 18.
30/18 = 1 (залишок 12)
18/12 = 1 (залишок 6)
12/6 = 2 (залишок 0)
Кінець: НОД – це дільник 6.
НОД (30, 18) = 6

a = 50 b = 130 while a != 0 and b != 0 : if a > b: a = a % b else : b = b % a print (a + b)

У циклі змінну a або b записується залишок від поділу. Цикл завершується, коли хоча б одна із змінних дорівнює нулю. Це означає, що інша містить НОД. Проте яка саме ми не знаємо. Тому для НОД знаходимо суму цих змінних. Оскільки в одній із змінних нуль, він не впливає на результат.

Алгоритм знаходження НІД відніманням

1. З більшого числа віднімаємо менше.
2. Якщо виходить 0, то означає, що числа дорівнюють один одному і є НОД (слід вийти з циклу).
3. Якщо результат віднімання не дорівнює 0, то більшу кількість замінюємо на результат віднімання.
4. Переходимо до пункту 1.

Приклад:
Знайти НОД для 30 та 18.
30 - 18 = 12
18 - 12 = 6
12 - 6 = 6
6 - 6 = 0
Кінець: НОД - це зменшується або віднімається.
НОД (30, 18) = 6

a = 50 b = 130 while a != b: if a > b: a = a - b else : b = b - a print (a)

Алгоритм Евкліда

Найбільший спільний дільник

Розглянемо таке завдання: потрібно скласти програму визначення найбільшого загального дільника (НДД) двох натуральних чисел.

Згадаймо математику. Найбільший спільний дільник двох натуральних чисел - це найбільше натуральне число, яке вони діляться націло. Наприклад, у чисел 12 і 18 є спільні дільники: 2, 3, 6. Найбільшим спільним дільником є ​​число 6. Це записується так:

НОД(12, 18) = 6.

Позначимо вихідні дані як М u N. Постановка задачі виглядає так:
Дано:М, N
Знайти:НОД(М, N).

В даному випадку якоїсь додаткової математичної формалізації не потрібно. Сама постановка завдання має формальний математичний характер. Не існує формули для обчислення НОД(М, N) за значеннями М і N. Але досить давно, задовго до появи ЕОМ, був відомий алгоритмічний спосіб вирішення цього завдання. Називається він алгоритмом Евкліда .

Ідея алгоритму Евкліда

Ідея цього алгоритму полягає в тому властивості, що й M>N, то

НОД(М, N) = НОД(М - N, N).

Інакше кажучи, НОД двох натуральних чисел дорівнює НОД їх позитивної різниці (модуля їх різниці) та меншого числа.

Легко довести цю властивість. Нехай До - загальний дільник М u N (M> N). Це означає, що М = mК, N = nК, де m, n – натуральні числа, причому m > n. Тоді М - N = К(m - n), звідки випливає, що К - дільник числа М - N. Отже, всі спільні дільники чисел М і N є дільниками їх різниці М - N, у тому числі найбільший спільний дільник.

Друга очевидна властивість:

НОД(М, М) = М.

Для "ручного" рахунку алгоритм Евкліда виглядає так:

1) якщо числа рівні, то взяти будь-яке з них як відповідь, інакше продовжити виконання алгоритму;

2) замінити більшу кількість різницею більшого та меншого з чисел;

3) повернутись до виконання п. 1.

Розглянемо цей алгоритм з прикладу М=32, N=24:

Структура алгоритму - цикл поки з вкладеним розгалуженням. Цикл повторюється, поки значення М та N не рівні один одному. У розгалуженні більше двох значень замінюється з їхньої різницю.

А тепер подивіться на таблицю трасування алгоритму для вихідних значень М = 32, N = 24.

Крок	Операція	M	N	Умова
1	введення М	32
2	введення N		24
3	M ¹ N			32 ¹ 24, так
4	M>N			32>24, так
5	M:=M-N	8
6	M ¹ N			8 ¹ 24, так
7	M>N			8>24, ні
8	N:=N-M		16
9	M ¹ N			8 ¹ 16, так
10	M>N			8>16, ні
11	N:=N-M		8
12	M ¹ N			8 ¹ 8, ні
13	висновок M	8
14	кінець

У результаті вийшов правильний результат.

Програма на АЯ та на Паскалі

Запишемо алгоритм на АЯ та програму на Паскалі.

Запитання та завдання

1. Виконайте на комп'ютері програму Evklid. Протестуйте її на значеннях М = 32, N = 24; М = 696, N = 234.

2. Складіть програму знаходження найбільшого загального дільника трьох чисел, використовуючи таку формулу:

НОД(А, B, С) = НОД(НОД(А, В), С).

3. Складіть програму знаходження найменшого загального кратного (НОК) двох чисел, використовуючи формулу:

А × В = НОД (А, В) × НОК (А, В).

У передмові до свого першого видання "У царстві кмітливості" (1908 рік) Є. І. Ігнатьєв пише: "... розумову самодіяльність, кмітливість і "сміливість" не можна ні "вдовбати", ні "вкласти" ні в чию голову. Результати надійні лише тоді, коли введення в область математичних знань відбувається у легкій і приємній формі, на предметах та прикладах повсякденної та повсякденної обстановки, підібраних з належним дотепністю та цікавістю”.

У передмові до видання 1911 "Роль пам'яті в математиці" Є.І. Ігнатьєв пише "... у математиці слід пам'ятати не формули, а процес мислення".

Для отримання квадратного кореня існують таблиці квадратів для двозначних чисел, можна розкласти число на прості множники і витягти квадратний корінь із твору. Таблиці квадратів буває недостатньо, вилучення кореня розкладанням на множники - трудомістка задача, яка теж не завжди призводить до бажаного результату. Спробуйте витягти квадратний корінь із числа 209764? Розкладання на прості множники дає твір 2*2*52441. Методом спроб і помилок, підбором - це, звичайно, можна зробити, якщо бути впевненим у тому, що це ціле число. Спосіб, який я хочу запропонувати, дозволяє отримати квадратний корінь у будь-якому випадку.

Колись в інституті (Пермський державний педагогічний інститут) нас познайомили із цим способом, про який зараз хочу розповісти. Ніколи не замислювалася, чи має цей спосіб доказ, тому зараз довелося деякі докази виводити самій.

Основою цього способу є склад числа =.

=&, тобто. & 2 = 596334.

1. Розбиваємо число (5963364) на пари праворуч наліво (5`96`33`64)

2. Виймаємо квадратний корінь із першої зліва групи ( - число 2). Так ми отримуємо першу цифру числа.

3. Знаходимо квадрат першої цифри (2 2 = 4).

4. Знаходимо різницю першої групи та квадрата першої цифри (5-4=1).

5. Зносимо наступні дві цифри (отримали число 196).

6. Подвоюємо першу, знайдену нами цифру, записуємо зліва за межею (2*2=4).

7. Тепер необхідно знайти другу цифру числа &: подвоєна перша цифра, знайдена нами, стає цифрою десятків числа, при множенні якого на число одиниць необхідно отримати число менше 196 (це цифра 4, 44*4=176). 4 – друга цифра числа &.

8. Знаходимо різницю (196-176=20).

9. Зносимо наступну групу (отримуємо число 2033).

10. Подвоює число 24, отримуємо 48.

11.48 десятків у числі, при множенні якого на число одиниць, ми маємо отримати число менше 2033 (484*4=1936). Знайдена нами цифра одиниць (4) і є третьою цифрою числа &.

Доказ наведено мною для випадків:

1. Вилучення квадратного кореня з тризначного числа;

2. Вилучення квадратного кореня з чотиризначного числа.

Наближені методи вилучення квадратного кореня (без використання калькулятора).

1.Древні вавілоняни користувалися наступним способом знаходження наближеного значення квадратного кореня їх числа х. Число х вони представляли у вигляді суми а 2 +b, де а 2 найближчий до х точний квадрат натурального числа а (а 2 ?х), і користувалися формулою . (1)

Витягнемо за допомогою формули (1) корінь квадратний, наприклад з числа 28:

Результат вилучення кореня з 28 з допомогою МК 5,2915026.

Як бачимо спосіб вавилонян дає гарне наближення до точного значення кореня.

2. Ісаак Ньютон розробив метод вилучення квадратного кореня, який сягав ще Герона Олександрійського (близько 100 р. н.е.). Метод цей (відомий як метод Ньютона) ось у чому.

Нехай а 1- перше наближення числа (як а 1 можна брати значення квадратного кореня з натурального числа - точного квадрата, що не перевищує х).

Наступне, більш точне наближення а 2числа знайдеться за формулою .

На кухлі показала, як у стовпчик можна витягувати квадратне коріння. Обчислити корінь можна з довільною точністю, знайти скільки завгодно цифр у його десятковому записі, навіть якщо він виходить ірраціональним. Алгоритм запам'ятався, а питання лишилися. Незрозуміло було, звідки взявся метод і чому він дає правильний результат. У книжках цього не було, а може просто не в тих книжках шукала. У результаті, як і багато з того, що на сьогоднішній день знаю та вмію, вивела сама. Ділюсь своїм знанням тут. До речі, досі не знаю, де наведено обґрунтування алгоритму)))

Отже, спочатку на прикладі розповідаю, як працює система, а потім пояснюю, чому вона насправді працює.

Візьмемо число (число взяте "зі стелі", щойно на думку спало).

1. Розбиваємо його цифри на пари: ті, що стоять зліва від десяткової коми, групуємо по дві праворуч наліво, а ті, що правіше – по дві зліва направо. Отримуємо.

2. Витягуємо квадратний корінь з першої групи цифр зліва — у нашому випадку це (зрозуміло, що точно корінь може не витягуватися, беремо число, квадрат якого максимально близький до нашого числа, утвореного першою групою цифр, але не перевищує його). У нашому випадку це буде число. Записуємо у відповідь – це старша цифра кореня.

3. Зводимо число, яке стоїть у відповіді — це — квадрат і віднімаємо з першої зліва групи цифр — з числа . У нашому випадку залишається.

4. Приписуємо праворуч наступну групу із двох цифр: . Число , яке стоїть у відповіді, множимо на , отримуємо .

5. Тепер слідкуйте уважно. Нам потрібно до числа праворуч приписати одну цифру , і число помножити на , тобто на ту саму приписану цифру. Результат повинен бути якомога ближче до , але знову ж таки не більше цього числа. У нашому випадку це буде цифра, її записуємо у відповідь поряд з праворуч. Це наступна цифра в десятковому записі нашого квадратного кореня.

6. З віднімаємо твір, отримуємо.

7. Далі повторюємо знайомі операції: приписуємо до праворуч наступну групу цифр , множимо на , до отриманого числа > приписуємо праворуч одну цифру, таку, щоб при множенні на неї вийшло число, менше , але найближче до нього - це цифра - наступна цифра в десятковий запис кореня.

Обчислення запишуться наступним чином:

А тепер обіцяне пояснення. Алгоритм заснований на формулі

Коментарів: 51

1. 2 Антон:

   Занадто сумбурно та заплутано. Розкладіть все за пунктами та пронумеруйте їх. Плюс: поясніть, звідки в кожній дії ми підставляємо потрібні значення. Ніколи раніше не вираховував корінь у стовпчик – розібрався насилу.

2. 5 Юлія:

3. 6 :

   Юлія, 23 на даний момент записано праворуч, це дві перші (ліворуч) вже отримані цифри кореня, що відповідають. Помножуємо на 2 згідно з алгоритмом. Повторюємо дії, описані у пункті 4.

4. 7 zzz:

   помилка у “6. З 167 віднімаємо твір 43 * 3 = 123 (129 нада), отримуємо 38.
   незрозуміло як після коми вийшло 08…

5. 9 Федотов Олександр:

   А ще в докалькуляторну епоху нас у школі вчили не лише квадратне, а й кубічне коріння в стовпчик витягувати, але це нудніша і кропітка робота. Найпростіше було таблицями Брадіса скористатися чи логарифмічною лінійкою, яку ми вже у старших класах вивчали.

6. 10 :

   Олександре, Ви маєте рацію, можна витягувати в стовпчик і коріння великих ступенів. Я збираюся написати якраз про те, як знаходити кубічний корінь.

7. 12 Сергій Валентинович:

   Шановна Єлизавета Олександрівно! Мною наприкінці 70-х розроблено схему автоматичного (тобто не підбором) обчислення квадр. кореня на арифмометрі "Фелікс". Якщо ви зацікавитеся, можу надіслати опис.

8. 14 Vlad aus Engelsstadt:

   (((Вилучення квадратного кореня в стовпчик)))
   Алгоритм спрощується, якщо використовувати другу систему числення, яку вивчають в інформатиці, але корисно і в математиці. О.М. Колмогоров у популярних лекціях для школярів наводив цей алгоритм. Його статтю можна знайти у “Чебишевській збірці” (Математичний журнал, шукайте посилання на нього в інтернеті)
   Нагоди сказати:
   Г.Лейбніц свого часу носився з ідеєю про перехід від 10-ї системи числення до двійкової через її простоту та доступність для початківців (молодших школярів). Але усталені традиції ламати це все одно що лобом ламати фортечні ворота: можна, але марно. Ось і виходить як за найбільш цитованим у минулі часи бородатим філософом: традиції всіх мертвих поколінь пригнічують свідомість живих.

   До наступних зустрічей.

9. 15 Vlad aus Engelsstadt:

   )) Сергій Валентинович, так, мені цікаво ... ((

   Б'юся об заклад, що це варіація під "Фелікс" Вавилонського методу вилучення коня квадратного методом послідовних наближень. Цей алгоритм було перекрито методом Ньютона (метод дотичних)

   Цікаво, чи я не помилився в прогнозі?

10. 18 :

    2Vlad aus Engelsstadt

    Так, алгоритм у двійковій системі має бути простішим, це досить очевидно.

    Про метод Ньютона. Може, воно і так, але все одно цікаво

11. 20 Кирило:

    Велике спасибі. А алгоритму так і нема, невідомо звідки він узявся, але результат правильний виходить. ВЕЛИКЕ СПАСИБІ! Довго шукав це)

12. 21 Олександр:

    А яким чином піде витяг кореня з числа, де друга зліва-направо група дуже мала? Наприклад, улюблене всіма число 4398046511104 . після першого віднімання не вдається продовжити все за алгоритмом. Поясніть будь ласка.

13. 22 Олексій:

    Так, знаю цей спосіб. Я, пам'ятаю, вичитав його у книзі “Алгебра” якогось старого видання. Тоді ще за аналогією сам вивів, як у стовпчик витягувати кубічний корінь. Але там вже складніше: кожна цифра визначається вже не в одне (як для квадратного), а в два віднімання, та ще там щоразу треба перемножувати довгі числа.

14. 23 Артем:

    У прикладі вилучення квадратного кореня в стовпчик з 56789321 є помилки. Група цифр 32 приписана двічі до числа 145 і 243, серед 2388025 другу 8 необхідно замінити на 3. Тоді останнє віднімання слід записати так: 2431000 – 2383025 = 47975.
    Додатково, при розподілі залишку на збільшене вдвічі значення відповіді (без урахування коми), отримаємо додаткову кількість значущих цифр (47975/(2*238305) = 0.100658819…), які слід дописати до відповіді (√56789,321 = 238,30 238,305100659).

15. 24 Сергій:

    Ймовірно, алгоритм прийшов з книги Ісаака Ньютона “Загальна арифметика або книга про арифметичний синтез та аналіз”. Ось витяг з неї:

    ПРО ВИМЕЩЕННЯ КОРНІВ

    Щоб витягти з-поміж квадратний корінь, перш за все слід поставити над його цифрами через одну, починаючи з одиниць, точки. Потім слід у приватному або корені написати цифру, квадрат якої дорівнює або найближчий за браком цифр або цифри, що передують першій точці. Після віднімання цього квадрата інші цифри кореня будуть послідовно знайдені за допомогою розподілу залишку на подвоєну величину вже вилученої частини кореня і віднімання щоразу з залишку квадрата останньої знайденої цифри та її удесятеренного добутку на названий дільник.

16. 25 Сергій:

    Поправте ще назву книги “Загальна арифметика або книга про арифметичний синтез та аналіз”

17. 26 Олександр:

    Дякую за цікавий матеріал. Але мені цей метод видається дещо складнішим, ніж потрібно, наприклад, школяру. Я застосовую більш просто метод, що базується на розкладанні квадратичної функції за допомогою перших двох похідних. Формула його така:
    sqrt(x)= A1+A2-A3, де
    А1 – ціле число, квадрат якого найближче до х;
    А2 – дріб, у чисельнику х-А1, у знаменнику 2*А1.
    Для більшості чисел, що зустрічаються у шкільному курсі, цього достатньо, щоб отримати результат із точністю до сотих.
    Якщо потрібен точніший результат, беремо
    А3 – дріб, у чисельнику А2 у квадраті, у знаменнику 2*А1+1.
    Звичайно, для застосування потрібна таблиця квадратів цілих чисел, але це у школі не проблема. Запам'ятати цю формулу досить легко.
    Мене, щоправда, бентежить, що А3 я отримав досвідченим шляхом в результаті експериментів з електронною таблицею і не зовсім розумію, чому цей член має такий вигляд. Може, підкажете?

18. 27 Олександр:

    Так, я теж розглядав ці міркування, але він криється в деталях. Ви пишете:
    "оскільки a2 і b відрізняються вже досить мало". Питання саме стоїть, наскільки мало.
    Ця формула добре працює на числах другого десятка і набагато гірше (не до сотих, тільки до десятих) на числах першого десятка. Чому так відбувається вже важко зрозуміти без залучення похідних.

19. 28 Олександр:

    Я уточню, у чому бачу перевагу запропонованої мною формули. Вона не вимагає не цілком природного розбиття чисел на кілька цифр, яке, як показує досвід, часто виконується з помилками. Сенс її очевидний, а для людини, знайомої з аналізом, тривіальний. Добре працює на числах від 100 до 1000, що найчастіше зустрічаються в школі.

20. 29 Олександр:

    До речі, я трохи покопався і знайшов точний вираз для А3 у моїй формулі:
    А3 = А22 / 2 (A1 + A2)

21. 30 vasil stryzhak:

    В наш час, повсюдного використання обчислювальної техніки, питання вилучення квадратного коня з числа з практичного погляду не стоїть. Але для любителів математики, безсумнівно, цікаві різні варіанти вирішення цього завдання. У шкільній програмі спосіб даного обчислення без залучення додаткових коштів повинен мати місце нарівні з множенням та розподілом у стовпчик. Алгоритм обчислення має бути не тільки незабутнім, а й зрозумілим. Класичний метод, наданий у даному матеріалі для обговорення з розкриттям сутності, повною мірою відповідає вищезгаданим критеріям.
    Істотним недоліком запропонованого Олександром способу є використання таблиці квадратів цілих чисел. Якою більшістю чисел, що зустрічаються у шкільному курсі, вона обмежена, автор замовчує. Щодо формули, то загалом вона мені імпонує на увазі відносно високою точністю обчислення.

22. 31 Олександр:

    для 30 vasil stryzhak
    Я ні про що не промовчав. Таблиця квадратів передбачається до 1000. У мій час у школі її просто заучували напам'ять, і вона була у всіх підручниках математики. Я явно назвав цей інтервал.
    Щодо обчислювальної техніки, то вона не застосовується, в основному, на уроках математики, якщо не йде спеціально тема застосування калькулятора. Калькулятори зараз убудовані у пристрої, заборонені до застосування на ЄДІ.

23. 32 vasil stryzhak:

    Олександр, спасибі за роз'яснення! Я вважав, що для запропонованого методу теоретично необхідно пам'ятати або користуватися таблицею квадратів всіх двоцифрових чисел.

24. 33 vasil stryzhak:

25. 39 ОЛЕКСАНДР:

    МОЯ ПЕРША ПРОГРАМА НА МОВІ “ЯМБ” НА РАДІЙСЬКОЇ МАШИНІ “ІСКРА 555″ БУЛА НАПИСАНА ДЛЯ ВИМЕЩЕННЯ КВАДРАТНОГО КОРНЯ З ЧИСЛА ПО АЛГОРИТМУ ВИСТАВАННЯ В СТІЛКУ! а зараз забув як витягувати вручну!