Іванова Анастасія

Завдання № 15 профільного іспиту з математики - це завдання підвищеного рівня складності, що становить нерівність. При вирішенні цих нерівностей учні повинні показати знання теорем про рівносильність нерівностей певного виду, вміння використовувати стандартні та нестандартні методи розв'язання. Аналіз змісту шкільних підручників показує, що у більшості з них методам вирішення нерівностей з використанням властивостей функцій не приділяється належної уваги, а в завданнях ЄДІ майже щороку пропонуються нерівності, вирішення яких спрощується, якщо застосувати властивості функцій. За статистикою представленої на сайті Федерального інституту педагогічних вимірів у 2017 році ненульові бали за це завдання отримали близько 15% учасників іспиту; максимальний бал – близько 11%. Все зазначене вказує на те, що учні мають великі труднощі при вирішенні завдання № 15 ЄДІ. Ціль: вивчити різні способи розв'язання нерівностей.

:

1. Вивчити теоретичний матеріал з цієї теми.

2. Розглянути приклади, запропоновані банку завдань ЄДІ на сайті Федерального інституту педагогічних вимірів.

3. Вивчити функціонально-графічні методи розв'язання нерівностей.

4. Порівняти різні способи розв'язання нерівностей.

5. Перевірити експериментальним шляхом який спосіб розв'язання нерівностей є найбільш раціональним.

Методи дослідження:опитування, анкетування, аналіз, порівняння та узагальнення результатів.

У роботі ми вивчили функціонально-графічні методи розв'язання нерівностей. Порівняли різні методи розв'язання нерівностей. Перевірили експериментальним шляхом який спосіб розв'язання нерівностей є найбільш раціональним. І дійшли висновку, що учень повинен володіти кількома способами вирішення нерівностей, щоб заощадити час і знизити ризик логічних та обчислювальних помилок.

Завантажити:

Попередній перегляд:

Дослідження різних методів розв'язання нерівностей

Іванова Анастасія Євгенівна

Муніципальна бюджетна загальноосвітня установа
"Середня школа №30 з поглибленим вивченням окремих предметів"

11б клас

Наукова стаття (опис роботи)

1. Введення

Актуальність.

Завдання № 15 профільного іспиту з математики - це завдання підвищеного рівня складності, що становить нерівність (раціональну, ірраціональну, показову, логарифмічну). При вирішенні цих нерівностей учні повинні показати знання теорем про рівносильність нерівностей певного виду, вміння використовувати стандартні та нестандартні методи розв'язання.

Повне правильне рішення цього завдання оцінюється 2 балами. При розв'язанні задачі допустимі будь-які математичні методи - алгебраїчний, функціональний, графічний, геометричний та ін.

За статистикою представленої на сайті Федерального інституту педагогічних вимірів у 2017 році ненульові бали за це завдання отримали близько 15% учасників іспиту; максимальний бал – близько 11%. Типові помилки пов'язані з неуважним читанням математичного запису нерівності, нерозумінням алгоритму розв'язання сукупностей та систем логарифмічних нерівностей. Дуже багато помилок допущено учасниками іспиту при вирішенні дробової раціональної нерівності (забутий знаменник).

Результати виконання завдання № 15 учнями нашої школи на ЄДІ з математики представлені в таблиці 1 та на діаграмі (рис. 1).

Таблиця 1

Результати виконання завдання № 15 учнями нашої школи

Рис.1. Результати виконання завдання № 15 учнями нашої школи

Результати виконання завдання № 15 на пробному міському екзамені 11а,б класів у 2017-2018 навч. році представлені в таблиці 2 та на діаграмі (рис.2).

Таблиця 2

Результати виконання завдання № 15 на пробному міському екзамені

у 2017-2018 навч. році учнями нашої школи

Рис.2. Результати виконання завдання № 15 на пробному іспиті у 2017-2018 н. році учнями нашої школи

Ми провели опитування вчителів математики нашої школи та виявили основні проблеми, які виникають у учнів при вирішенні нерівностей: неправильне знаходження області допустимих значень нерівностей; розгляд не всіх випадків переходу від логарифмічної нерівності до раціональної; перетворення логарифмічних виразів; помилки у використанні методу інтервалів та ін.

Із застосуванням методу інтервалів та введенням допоміжної змінної пов'язаний ряд типових помилок. Так, наприклад, помилка при визначенні знаків на проміжках або неправильне розташування чисел на координатній прямій, згідно з критеріями, можуть трактуватися як обчислювальні помилки. Інші, пов'язані з пропуском кроків алгоритму або неправильним виконанням оцінюються 0 балом.

Все зазначене вказує на те, що учні мають великі труднощі при вирішенні завдання № 15 ЄДІ з математики. У зв'язку з цим нами було висунутогіпотеза : якщо учень володітиме декількома способами вирішення нерівностей, то він зможе вибрати найбільш раціональний.

Об'єкт дослідження: нерівності.

Предмет дослідження: Різні способи вирішення нерівностей.

Ціль : вивчити різні способи розв'язання нерівностей.

Досягнення поставленої мети вирішувалися такі завдання:

1. Вивчити теоретичний матеріал з цієї теми.
2. Розглянути приклади, запропоновані банку завдань ЄДІ на сайті Федерального інституту педагогічних вимірів.
3. Вивчити функціонально-графічні методи розв'язання нерівностей.
4. Порівняти різні методи розв'язання нерівностей.
5. Перевірити експериментальним шляхом який спосіб розв'язання нерівностей є найбільш раціональним.

2. Основна частина

2.1. Теоретична частина

1. Лінійні нерівності

Лінійні нерівності- це нерівності виду: ax + b 0; ax+b≥0; ax+b≤0, де a та b – будь-які числа, причому a≠0, x - Невідома змінна.

Правила перетворення нерівностей:

1. Будь-який член нерівності можна переносити з однієї частини нерівності до іншої, змінюючи при цьому знак на протилежний.

2. Обидві частини нерівності можна помножити/розділити на те саме позитивне число, при цьому вийде нерівність, рівносильна даному.

3. Обидві частини нерівності можна помножити/розділити на те саме негативне число, змінюючи знак нерівності на протилежний.

2. Квадратні нерівності

Нерівність виду

де x - змінна, a, b, c - числа, називається квадратним. При розв'язанні квадратної нерівності необхідно знайти коріння відповідногоквадратного рівняння . Для цього необхідно знайтидискримінант цього квадратного рівняння. Можна отримати 3 випадки: 1) D=0 квадратне рівняння має один корінь; 2) D>0 квадратне рівняння має два корені; 3)D квадратне рівняння немає коренів. Залежно від отриманого коріння та знака коефіцієнта a можливе одне з шести розташуваньграфіка функції (Додаток 1).

3. Раціональні нерівності

Раціональною нерівністюз однією змінною x називають нерівність виду f(x) вирази, тобто. алгебраїчні вирази, складені з чисел, змінної x і з допомогою математичних процесів, тобто. операцій складання, віднімання, множення, поділу та зведення в натуральний ступінь.Алгоритм розв'язання раціональних нерівностей методом інтервалів(Додаток 1).

4. Показові нерівності

Показова нерівність– це нерівність , у якому невідоме перебуває у показнику ступеня. Найпростішепоказова нерівністьмає вигляд: а х ‹ b або а х › b де а> 0, а ≠ 1, х – невідоме.

5. Логарифмічні нерівності

Логарифмічною нерівністюназивається нерівність, в якій невідома величина стоїть під знакомлогарифма .

1. Нерівність у разі, якщо зводиться до рівносильної нерівності. Якщо ж - то до нерівності.

Аналогічно нерівністьрівносильно нерівностям для:; для: .

Розв'язання отриманих нерівностей треба перетнути з ОДЗ:

2. Вирішення логарифмічної нерівності видурівносильне вирішенню наступних систем:

а) б)

Нерівність у кожному з двох випадків зводиться до однієї із систем:

а) б)

6. Ірраціональні нерівності

Якщо нерівність входять функції під знаком кореня, такі нерівності називають ірраціональними.

.

2.2. Практична частина

Дослідження №1

Ціль : вивчити метод обмеженості функцій

Хід роботи:

1. Вивчити метод обмеженості функций.

2. Вирішити нерівностіданим методом.

Для використання обмеженості функції необхідно вміти знаходити безліч значень функції та знати оцінки області значень стандартних функцій (наприклад,) .

Приклад №1 . Вирішити нерівність:

Рішення:

Область визначення:

Для всіх х з отриманої множини маємо:

Отже, вирішення нерівності

Відповідь:

Приклад №2. Вирішити нерівність:

Рішення:

Т.к.

Ця нерівність рівносильна

Перше рівняння системи має один корінь х = - 0,4, який задовольняє другого рівняння.

Відповідь: - 0,4

Висновок: цей метод найбільш ефективний, якщо в нерівності містяться такі функції, якта інші області значень яких обмежені зверху або знизу.

Дослідження №2

Ціль : вивчити метод раціоналізації розв'язання нерівностей

Хід роботи:

1. Вивчити метод раціоналізації.

2. Вирішити нерівностіданим методом.

Метод раціоналізації полягає у заміні складного виразу F(x) на більш простий вираз G(x), при якій нерівність G(x) v 0 рівносильна нерівності F(x) v 0 на області визначення виразу F(x) (символ "v" замінює один із знаків нерівностей: ≤, ≥, >,

Виділимо деякі типові вирази F і відповідні їм раціоналізують вирази G (таблиця 1), де f, g, h, p, q - вирази зі змінною х (h>0, h≠1,f>0,g>0), a -фіксоване число (а>0, a≠1). (Додаток 2).

Приклад №1. Вирішити нерівність:

О.Д.З:

Відповідь:

Приклад №2. Вирішити нерівність:

О.Д.З:

Враховуючи область визначення, отримаємо

Відповідь:

Висновок : нерівності з логарифмами по змінному підставі викликають найбільшу складність Метод раціоналізації дозволяє перейти від нерівності, що містить складні показові, логарифмічні і т.п. висловлювання, до рівносильного йому простішого раціонального нерівності. Метод раціоналізації дозволяє заощадити час, а й знизити ризик логічних і обчислювальних помилок.

Дослідження №3

Ціль : у процесі розв'язання нерівностей порівняти різні методи

Хід роботи:

1. Вирішити нерівністьрізними способами.

2. Порівняти результати та зробити висновок.

Приклад №1. Розв'язати нерівність

Рішення:

1 спосіб. Алгебраїчний метод

Рішення першої системи:

Вирішуємо другу нерівність другої системи:

2 спосіб . Використання області визначення функції

Область визначення:

Для цих значень х отримуємо:

Права частина нерівності негативна з його області определения. Отже, нерівність справедлива при

Відповідь:

3 спосіб. Графічний метод

Висновок : Розв'язуючи нерівність методом алгебри я прийшла до нерівності шостого ступеня, витратила багато часу на його рішення, але так і не змогла вирішити Раціональний метод, на мою думку, використання області визначення функції чи графічний.

Приклад №2. Вирішити нерівність:.

Відповідь:

Висновок: вирішити цю нерівність у мене вийшло лише завдяки методу раціоналізації.

Висновок

Аналіз змісту шкільних підручників показує, що у більшості з них методам вирішення нерівностей з використанням властивостей функцій не приділяється належної уваги, а в завданнях ЄДІ майже щороку пропонуються нерівності, вирішення яких спрощується, якщо застосувати властивості функцій.

Більшість учнів вирішують нерівності з використанням стандартних, алгоритмічних методів, що іноді призводить до громіздких обчислень. У зв'язку з цим відсоток виконання завдання №15 на ЄДІ невисокий.

Область застосування властивостей функцій під час вирішення нерівностей дуже широка. Використання властивостей (обмеженість, монотонність та ін) функцій, що входять у нерівності, дозволяє застосувати нестандартні методи розв'язання. На думку, вміння використовувати необхідні властивості функцій під час вирішення нерівностей можуть дозволити учням вибирати раціональніший спосіб решения.

У роботі ми вивчили функціонально-графічні методи розв'язання нерівностей. Порівняли різні методи розв'язання нерівностей. Перевірили експериментальним шляхом який спосіб розв'язання нерівностей є найбільш раціональним.

І дійшли висновку, що учень повинен володіти кількома способами вирішення нерівностей, щоб заощадити час і знизити ризик логічних та обчислювальних помилок.

Завдання нашої роботи виконані, мети досягнуто, гіпотеза підтвердилася.

Література:

1. Алимов Ш. А, Колягін Ю. М., Сидоров Ю. В. та ін. Алгебра та початку аналізу: Підручник для 10-11 кл. загальноосвіт. установ / Ш. А. Алімов, Ю. М. Колягін, Ю. В. Сидоров та ін - 15-е вид. - М.: Просвітництво, 2007. - 384 с.
2. Корянов А.Г., Прокоф'єв А.А. Матеріали курсу «Готуємо до ЄДІ хорошистів та відмінників»: лекції 1-4. – К.: Педагогічний університет «Перше вересня», 2012. – 104 с.
3. Сайт http://www.fipi.ru/.
4. Сайт https://ege.sdamgia.ru/.
5. Ященко І. В. ЄДІ. Математика. Профільний рівень: типові екзаменаційні варіанти: 36 варіантів/за ред. І. В. Ященко. – К.: Видавництво «Національна освіта», 2018. – 256 с.

Попередній перегляд:

Щоб скористатися попереднім переглядом презентацій, створіть собі обліковий запис Google і увійдіть до нього: https://accounts.google.com

Підписи до слайдів:

Дослідження різних методів розв'язання нерівностей Іванова Анастасія Євгенівна МБОУ «СШ № 30 із поглибленим вивченням окремих предметів»

Результати виконання завдання № 15 учнями нашої школи

Результати виконання завдання № 15 на пробному іспиті у 2017-2018 н. році учнями нашої школи

Гіпотеза: якщо учень володітиме декількома способами розв'язання нерівностей, то він зможе вибрати найбільш раціональний Об'єкт дослідження: нерівності Предмет дослідження: різні способи вирішення нерівностей

Мета: вивчити різні способи розв'язання нерівностей. Досягнення поставленої мети вирішувалися такі: Вивчити теоретичний матеріал з цієї теме. Розглянути приклади, запропоновані банку завдань ЄДІ на сайті Федерального інституту педагогічних вимірів. Вивчити функціонально-графічні методи розв'язання нерівностей. Порівняти різні методи розв'язання нерівностей. Перевірити експериментальним шляхом який спосіб розв'язання нерівностей є найбільш раціональним.

Дослідження №1 Мета: вивчити метод обмеженості функцій. 1. Вивчити метод обмеженості функцій. 2. Вирішити нерівності цим способом. Приклад №1. Вирішити нерівність: Рішення: Область визначення: Для всіх х з отриманої множини маємо: Отже, розв'язання нерівності Відповідь:

Приклад №2. Вирішити нерівність: Вирішення: Т.к. Ця нерівність рівносильна Перше рівняння системи має один корінь х = - 0,4, який задовольняє і другого рівняння. Відповідь: - 0,4 Висновок: даний метод є найбільш ефективним, якщо в нерівності містяться такі функції, як і інші, області значень яких обмежені зверху або знизу.

Дослідження №2 Мета: вивчити метод раціоналізації розв'язання нерівностей. 1. Вивчити метод раціоналізації. 2. Вирішити нерівності цим способом. Приклад № 1. Вирішити нерівність: О.Д.З: З огляду на область визначення отримаємо Відповідь:

Приклад № 2. Вирішити нерівність: О.Д.З: Враховуючи область визначення, отримаємо Відповідь: Висновок: нерівності з логарифмами по змінному підставі викликають найбільшу складність. Метод раціоналізації дозволяє перейти від нерівності, що містить складні показові, логарифмічні і т.п. висловлювання, до рівносильного йому простішого раціонального нерівності. Метод раціоналізації дозволяє заощадити час, а й знизити ризик логічних і обчислювальних помилок.

Дослідження № 3 Мета: у процесі розв'язання нерівностей порівняти різні методи. 1. Вирішити нерівність різними методами. 2. Порівняти результати та зробити висновок. Приклад № 1. Вирішити нерівність 1 метод. Алгебраїчний метод Вирішення першої системи: Розв'язуємо другу нерівність другої системи: 2 спосіб. Використання області визначення функції Область визначення: Для цих значень х отримуємо: Права частина нерівності негативна з його області определения. Отже, нерівність справедлива при

3 спосіб. Графічний метод Висновок: вирішуючи нерівність методом алгебри я прийшла до нерівності шостого ступеня, витратила багато часу на його рішення, але так і не змогла вирішити. Раціональний метод, на мою думку, використання області визначення функції чи графічний.

Приклад № 2. Вирішити нерівність: Відповідь: Висновок: вирішити цю нерівність у мене вийшло лише завдяки методу раціоналізації.

Область застосування властивостей функцій під час вирішення нерівностей дуже широка. Використання властивостей (обмеженість, монотонність та ін) функцій, що входять у нерівності, дозволяє застосувати нестандартні методи розв'язання. На думку, вміння використовувати необхідні властивості функцій під час вирішення нерівностей можуть дозволити учням вибирати раціональніший спосіб решения. У роботі ми вивчили функціонально-графічні методи розв'язання нерівностей. Порівняли різні методи розв'язання нерівностей. Перевірили експериментальним шляхом який спосіб розв'язання нерівностей є найбільш раціональним. І дійшли висновку, що учень повинен володіти кількома способами вирішення нерівностей, щоб заощадити час і знизити ризик логічних та обчислювальних помилок. Завдання нашої роботи виконані, мети досягнуто, гіпотеза підтвердилася.

Дякую за увагу!

Муніципальний загальноосвітній заклад

Юріївська основна загальноосвітня школа

Островський район

Муніципальний етап обласного методичного конкурсу

Номінація

Методичний посібник

Тема

Функціонально-графічний метод розв'язання рівнянь та нерівностей у шкільному курсі алгебри середньої школи.

Роботу підготувала:

вчитель математики

Вступ

Аналіз шкільних підручників

Аналіз ЄДІ

1. Загальна теоретична частина

1.1. Графічний метод

1.2. Функціональний метод

2. Вирішення рівнянь та нерівностей з використанням властивостей вхідних

у них функцій

2.1. Використання ОДЗ

2.2. Використання обмеженості функцій

2.3. Використання монотонності функції

2.4. Використання графіків функцій

2.5. Використання властивостей парності або непарності та періодичності функцій .

3. Розв'язання рівнянь та нерівностей

3.1. Розв'язання рівнянь

3.2. Розв'язання нерівностей

Практикум

Список літератури

додаток

Вступ

Тема моєї роботи «Функціонально-графічний метод розв'язання рівнянь та нерівностей у шкільному курсі алгебри середньої школи». Одна з основних тем курсу алгебри середньої школи. Рішення рівнянь та нерівностей відіграють важливу роль у курсі математики середньої школи. Школярі починають знайомитися з нерівностями та рівняннями ще у початковій школі.

Зміст тем «Рівняння» та «Нерівності» поступово поглиблюються та розширюються. Так, наприклад, відсотковий вміст нерівностей від усього матеріалу, що вивчається, у 7 класі становить 20%, у 8 класі – 25%, у 9 класі – 30%, у 10-11 класах – 35%.

Остаточне вивчення нерівностей та рівнянь відбувається в курсі алгебри та початку аналізу 10-11 класів. Деякі ВНЗ включають до екзаменаційних квитків рівняння та нерівності, які часто бувають дуже складними і потребують різних підходів до вирішення. У школі один із найважчих розділів шкільного курсу математики розглядається лише на нечисленних факультативних заняттях.

У центрі уваги цієї роботи лежить забезпечити повніше розкриття застосування функціонально – графічного методу до розв'язання рівнянь і нерівностей середній школі курсу алгебри.

Актуальність цієї роботи у цьому, що це тема входити до ЄДІ.

Готуючи цю роботу, ставила за мету, розглянути якнайбільше типів рівнянь і нерівностей, вирішуваних функціонально - графічним способом. Також глибше вивчити цю тему, виявлення найбільш раціонального рішення, що швидко призводить до відповіді.

Об'єкт дослідження – алгебра 10-11 класів під редакцією та варіанти ЄДІ.

У цій роботі розглянуті типи рівнянь і нерівностей, що часто зустрічаються, я сподіваюся, що знання, отримані мною в процесі роботи, допоможуть при здачі шкільних іспитів і при вступі до ВНЗ. А також може стати методичним посібником для підготовки школярів до здачі ЄДІ.

Аналіз шкільних підручників

У методичній літературі прийнято всі методи, на яких заснована шкільна лінія рівнянь та нерівностей з 7 по 11 класи, ділити на три групи:

üметод розкладання на множники;

üметод запровадження нових змінних;

üфункціонально-графічний метод.

Розглянемо третій метод, а саме, використання графіків функцій та різних властивостей функцій.

До застосування функціонально-графічного методу школярів необхідно привчати від початку вивчення теми «Рівняння».

Вирішення деяких завдань може бути засноване на властивостях монотонності, періодичності, парності або непарності тощо, що входять до них функцій.

Проаналізувавши підручники, можна дійти невтішного висновку, що ця тема розглядається лише у підручниках математики нового покоління , , , побудова курсу цих підручниках складає основі пріоритетності функціонально-графічної лінії. В інших підручниках функціонально-графічний спосіб розв'язання рівнянь і нерівностей в окрему тему не виділено. Використання властивостей функції на вирішення завдань згадується побіжно щодо інших тем. Нові підручники містять також достатню кількість завдань цього типу. У підручнику містяться завдання підвищеного рівня. Наведено найбільш повну систему завдань, систематизовану за кожною властивістю функції.

Підручник	«Алгебра та початки аналізу 10-11», підручник для загальноосвітніх установ,	, «Алгебра та початки аналізу 11», підручник для загальноосвітніх установ (профільний рівень)		та ін. «Алгебра та початки аналізу 11», підручник для загальноосвітніх установ	та ін. «Алгебра та початки аналізу 10-11», підручник для загальноосвітніх установ
Місце в курсі	Глава 8 «Рівняння та нерівності. Системи рівнянь та нерівностей» (остання тема курсу)	Глава 6 «Рівняння та нерівності. Системи рівнянь та нерівностей» (остання тема курсу)	Глава II «Рівняння, нерівності, системи»	Немає окремо виділеної теми. Але у темі «Розв'язання тригонометричних рівнянь і нерівностей» формулюється теорема про коріння, яка використовується в подальшому вивченні	Немає окремо виділеної теми
	§ §56 Загальні методи розв'язання рівнянь та нерівностей (, функціонально-графічний метод: теорема про коріння, обмеженість функції)	§ §27 Загальні методи розв'язання рівнянь та нерівностей (, функціонально-графічний метод: теорема про коріння, обмеженість функції)	§ Рівняння (нерівності) виду; § §12*Нестадартні методи розв'язання рівнянь та нерівностей (використання областей існування функцій, невід'ємності функцій, обмеженості, використання властивостей sin та cos, використання похідної)	Властивість монотонності функції, парності-непарності (при виведенні формул коренів тригонометричних рівнянь)	Згадується властивість монотонності при аналізі прикладу у темі «Показова функція»
Приклади розглянутих рівнянь та нерівностей	(;		Вирішити рівняння. Скільки коренів, що належать даному проміжку, має рівняння?	Вирішити рівняння

Аналіз ЄДІ (текстів та результатів)

Єдиний державний іспит як форма атестації, яка введена в практику російської освіти у 2002 році, з 2009 року переходить із експериментального до штатного режиму.

Аналіз текстів ЄДІ показав, що завдання, під час вирішення яких використовуються властивості функцій, зустрічаються щороку.

У 2003 році у завданнях А9 і С2 при вирішенні можна застосувати властивості функцій:

· А9. Вкажіть проміжок, якому належить коріння рівняння .

· С2. Знайдіть усі значення p, при яких рівняння не має коріння.

· У 2004 році - завдання В2. Скільки коренів має рівняння .

· У 2005 році завдання С2 (вирішіть рівняння ) Виконали 37% учнів.

У 2007 при виконанні завдання "Рішіть рівняння" в частині В випускники при вирішенні рівняння розглядали два випадки, звично розкриваючи знак модуля. приймає тільки позитивні значення.

Навіть добре підготовлені учні часто виконують завдання, використовуючи "шаблонні" методи рішення, які призводять до громіздких перетворень та обчислень.

Очевидно, що при виконанні наведених вище завдань добре підготовлений випускник повинен був показати не тільки знання відомих методів вирішення рівнянь або перетворення виразів, а й уміння проаналізувати умову, співвіднести дані та вимоги завдання, вивести з умови різні наслідки тощо, тобто показати певний рівень розвитку математичного мислення.

Таким чином, при навчанні учнів, що добре встигають, потрібно не тільки подбати про засвоєння базової складової курсу алгебри та почав аналізу, (засвоєння вивчених правил, формул, методів), а й про реалізацію однієї з головних цілей навчання математики – розвитку мислення учнів, зокрема, математичного мислення. Задля реалізації поставленої мети можуть бути елективні курси.

Дійсно, учні загальноосвітніх установ традиційно знайомляться щодо математики з графічним шляхом вирішення рівнянь, нерівностей та його систем. Проте в останні роки у змісті навчання математики з'являються нові класи рівнянь (нерівностей) та нові функціональні методи їх вирішення. Тим не менш, що містяться в контрольно-вимірювальних матеріалах єдиного державного іспиту (ЄДІ) завдання (звані комбіновані рівняння), рішення яких вимагають застосування тільки функціонально-графічного методу, викликають у учнів утруднення.

1. Загальна теоретична частина

Нехай X і Y - дві довільні чисельні множини. Елементи цих множин будемо позначати х і відповідно і називатимемо змінними.

Визначення.Числовою функцією, визначеною на множині Х і приймає значення в множині Y, називається відповідність (правило, закон), яке кожному х з множини Х зіставляє одне і тільки одне значення у множини Y.

Змінну х називають незалежною змінною або аргументом, А змінну у – залежною змінною. Кажуть також, що змінна у є функцієювід змінної х. Значення залежної змінної називають значеннями функції.

Введене поняття числової функції є окремим випадком загального поняття функції як відповідності між елементами двох або більше довільних множин.

Нехай Х і Y – дві довільні множини.

Визначення.Функцією, визначеної на множині Х і приймає значення у множині Y, називається відповідність, що співвідноситься з кожним елементом множини Х один і тільки один елемент із множини Y.

Визначення.Задати функцію – це означає вказати область її визначення та відповідність (правило), за допомогою якого за даним значенням незалежної змінної знаходяться відповідні значення функції.

З поняттям функції пов'язані два способи розв'язання рівнянь: графічнийі функціональний.Приватним випадком функціонального методу є метод функціональною, або універсальною підстановки.

Визначення.Вирішити дане рівняння - значить знайти безліч всіх його коренів (рішень). Безліч коренів (рішень) може бути порожнім, кінцевим або нескінченним. У наступних розділах теоретичного розділу ми розберемо вищеописані способи розв'язання рівнянь, а розділ «Практикум» покажемо їх застосування у різних ситуаціях.

1.1. графічний метод.

Насправді для побудови графіка деяких функцій становлять таблицю значень функції деяких значень аргументу, потім наносять відповідні точки на координатну площину і послідовно з'єднують їх лінією. У цьому передбачається, що точки досить точно показують хід зміни функції.

Визначення.Графіком функції y = f(x) називається безліч усіх точок

(x, f(x) | x width="616" height="403">

Точка перетину графіків має координати (0,5; 0). Отже, х = 0,5

Відповідь:х = 0,5

приклад 2.

10| sinx | ​​= 10 |cosx|-1

Це рівняння раціонально вирішувати графоаналітичним методом.

Т. к. 10>1, то дане рівняння рівносильне наступному:

Точки перетину графіків мають координати ();. Отже, х =.

Відповідь:х=

1.2. Функціональний метод

Не будь-яке рівняння виду f(x)=g(x) внаслідок перетворень може бути приведено до рівняння того чи іншого стандартного виду, для якого підходять звичайні методи розв'язання. У таких випадках має сенс використовувати такі властивості функцій f(x) і g(x) як монотонність, обмеженість, парність, періодичність та ін. Так, якщо одна з функцій зростає, а інша зменшується на певному проміжку, то рівняння f(x) = g(x) не може мати більше одного кореня, який, в принципі, можна знайти підбором. Далі, якщо функція f(x) обмежена зверху, а функція g(x) – знизу так, що f(x) мах= А g (x) мin=A, то рівняння f(x)=g(x) рівносильне системі рівнянь

Також під час використання функціонального методу раціонально використовувати деякі теореми, наведені нижче. Для їхнього доказу та використання необхідні наступні рівняння загального виду:

(2)

Теорема 1.Коріння рівняння (1) є корінням рівняння (2).

Теорема 2.Якщо f(x) – зростаюча функція на інтервалі a

З останньої теореми випливають слідство, що також використовується в рішеннях:

Наслідок 1. Якщо f(x) зростає по всій своїй області визначення, то цьому інтервалі рівняння (1) і (2) рівносильні. Якщо f(x) зменшується по всій своїй області визначення, n - непарне, то цьому інтервалі рівняння (1) і (2) рівносильні.

Теорема 3.Якщо в рівнянні f(x)=g(x) за будь-якого допустимого х виконуються умови f(x)≥a, g(x)≤a, де а – деяке дійсне число, то дано рівняння рівносильне системі

Наслідок 2. Якщо в рівнянні f(x)+g(x)=a+b при будь-якому допустимому х f(x)≤a, g(x)≤b, то дане рівняння рівносильне системі

Функціональний метод розв'язання рівнянь часто використовується в комбінації з графічним, тому що обидва ці методи ґрунтуються на одних властивостях функцій. Іноді комбінацію цих методів називають графоаналітичнимметодом.

приклад 1.

coshttps://pandia.ru/text/78/500/images/image033_3.gif" width="64" height="41 src=">≤1 x2+1≥1 =>

coshttps://pandia.ru/text/78/500/images/image035_3.gif" width="121" height="48">

=> x=π, при k=0

Відповідь: x=π

1.3. Метод функціональної підстановки

Приватним випадком функціонального методу є метод функціональної підстановки - найпоширеніший метод вирішення складних завдань математики. Суть методу полягає у введенні нової змінної y = f (x), застосування якої призводить до більш простого виразу. Окремим випадком функціональної підстановки є тригонометрична підстановка.

Тригонометричне рівняння виду

R(sin kx, cos nx, tg mx, ctg lx) = 0 (3)

де R - раціональна функція, k,n,m,lÎZ, за допомогою тригонометричних формул подвійного та потрійного аргументу, а також формул додавання можна звести до раціонального рівняння щодо аргументів sin x, cos x, tg x, ctg x, після чого рівняння (3) може бути зведене до раціонального рівняння щодо t=tg( x/2) за допомогою формул універсальної тригонометричної підстановки

2tg(x/2) 1-tg²(x/2)

Sin x= cos x=

1+tg²(x/2) 1+tg²(x/2)

2tg(x/2) 1-tg²(x/2)

Tg x= ctg x=

1-tg²(x/2) 2tg(x/2)

Слід зазначити, що застосування формул (4) може призводити до звуження ОДЗ вихідного рівняння, оскільки tg(x/2) не визначений у точках x=π+2πk, kÎZ, тому в таких випадках потрібно перевіряти, чи є кути x=π+ 2πk, kÎZ корінням вихідного рівняння.

приклад 1.

sin x+√2-sin² x+ sin x√2-sin² x = 3

Нехай тепер r = u+v і s = uv, тоді із системи рівнянь випливає

Оскільки u = sin xі u = 1, то sin x= 1 та x = π/2+2πk, kÎ Z

Відповідь: x = π/2+2πk, kÎZ

приклад 2.

5 sin x-5 tg x

+4(1- cos x)=0

sin x+ tg x

Дане рівняння оптимально вирішувати шляхом функціональної підстановки.

Так як tg xне визначено за x = π/2+πk, kÎ Z, а sin x+tg x=0 при x = πk, kÎ Z, то кути x = πk/2, kÎ Zне входять до ОДЗ рівняння.

Використовуємо формули половинного тангенса кута і позначимо t=tg( x/2), при цьому за умовою задачі t≠0;±1, тоді отримаємо

https://pandia.ru/text/78/500/images/image055_2.gif" width="165"> +4 1- =0

Так як t≠0;±1, то дане рівняння рівносильне рівнянню

5t² + = 0 ó-5-5t² + 8 = 0

звідки t = ± ..gif" width="27" height="47"> +2πk, kÎ Z

приклад 3.

tg x+ ctg x+ tg²x+ ctg²x+ tg³x+ ctg³x=6

Це рівняння оптимально вирішувати шляхом функціональної підстановки.

Нехай y=tg x+ctg xтоді tg² x+ctg² x=y²-2, tg³ x+ctg³ x=y³-3y

Так як tg x+ctg x=2, то tg x+1/tg x=2. Звідси випливає, що tg x=1 та x = π/4+πk, kÎ Z

Відповідь: x = π/2+2πk, kÎ Z

2. Вирішення рівнянь і нерівностей з використанням властивостей функцій, що входять до них

2. 1. Використання ОДЗ.

Іноді знання ОДЗ дозволяє довести, що рівняння (чи нерівність) немає рішень, інколи ж дозволяє знайти рішення рівняння (чи нерівності) безпосередньою підстановкою чисел з ОДЗ.

приклад 1. Вирішити рівняння

Рішення. ОДЗ цього рівняння складається з усіх х, що одночасно задовольняють умовам 3-х0 і х-3>0, тобто ОДЗ є порожня множина. Цим рішення рівняння і завершується, оскільки встановлено, що жодна кількість неспроможна бути рішенням, тобто, що рівняння немає коренів.

Відповідь: рішень немає.

приклад 2. Вирішити рівняння

(1)

Рішення. ОДЗ цього рівняння складається з усіх х, що одночасно задовольняють умовам тобто ОДЗ є Підставляючи ці значення х у рівняння (1), отримуємо, що його ліва та права частини дорівнюють 0, а це означає, що всі https://pandia.ru/ text/78/500/images/image065_2.gif" width="93 height=21" height="21">

приклад 3. Розв'язати нерівність

Рішення. ОДЗ нерівності (2) складається з усіх х, що одночасно задовольняють умовам тобто ОДЗ складається з двох чисел та . Підставляючи в нерівність (2) отримуємо, що його ліва частина дорівнює 0, права дорівнює https://pandia.ru/text/78/500/images/image070_1.gif" width="53" height="23">. gif" width="117 height=41" height="41">.

Відповідь: х = 1.

приклад 4. Розв'язати нерівність

(3)

Рішення. ОДЗ нерівності (3) є всі х, які задовольняють умові 0<х1. Ясно, что х=1 не является решением неравенства (3). Для х из промежутка 0

Відповідь: 0

Приклад 5. Розв'язати нерівність

Рішення..gif" width="73" height="19"> і .

Для їх з проміжку https://pandia.ru/text/78/500/images/image082_1.gif" width="72" height="24 src=">.gif" width="141 height=24" height= "24"> на цьому проміжку, тому нерівність (4) не має рішень на цьому проміжку.

Нехай х належить проміжку , тоді і для таких х, і, значить, на таких х, і, отже, на цьому проміжку нерівність (4) також немає рішень.

Отже, нерівність (4) рішень не має.

Відповідь: рішень немає.

Зауваження.

При розв'язанні рівнянь необов'язково знаходити ОДЗ. Іноді простіше перейти до слідства та перевірити знайдене коріння. При розв'язанні нерівностей іноді можна знаходити ОДЗ, а вирішувати нерівність переходом до рівносильної йому системі нерівностей, у якій або одне з нерівностей немає рішень, або знання його рішення допомагає вирішити систему нерівностей.

Приклад 6. Розв'язати нерівність

Рішення. Знаходження ОДЗ нерівності є непростим завданням, тому зробимо інакше. Нерівність (5) рівносильна системі нерівностей

(6)

Третя нерівність цієї системи рівносильна нерівності, що не має рішень. Отже, система нерівностей (6) немає рішень, отже, і нерівність(5) немає рішень.

Відповідь: рішень немає.

Приклад 7. Розв'язати нерівність

. (7)

Рішення. Знаходження ОДЗ нерівності (7) є важким завданням. Тому вчинимо інакше. Нерівність (7) рівносильна системі нерівностей

(8)

Третя нерівність цієї системи має рішеннями всіх з проміжку -1

2.2. Використання обмеженості функцій.

При розв'язанні рівнянь та нерівностей властивість обмеженості знизу або зверху функції на деякій множині часто грає визначальну роль.

Наприклад, якщо для всіх х з деякої множини М справедливі нерівності f(x)>A і g(x)

Зауважимо, що роль числа часто грає нуль, у разі говорять про збереження знака функцій f(x) і g(x) на безлічі М.

приклад 1. Вирішити рівняння

Рішення..gif" width="191" height="24 src="> Оскільки для будь-якого значення х ліва частина рівняння не перевищує одиниці, а права частина завжди не менше двох, то дане рівняння не має рішень.

Відповідь: немає рішень.

приклад 2. Вирішити рівняння

(9)

Рішення. Очевидно, що х = 0, х = 1, х = -1 є рішеннями рівняння (9). його рішенням.

Розіб'ємо множину х>0, , на два проміжки (0;1) і (1;+∞).

Перепишемо рівняння (9) у вигляді https://pandia.ru/text/78/500/images/image103_1.gif" width="104" 25 тільки позитивні. Отже, у цьому проміжку рівняння (9) немає рішень.

Нехай x належить проміжку (1;+∞). Для кожного з таких значень х функція приймає позитивні значення, функція непозитивна. Отже, на цьому проміжку рівняння (9) не має рішень.

Якщо ж х>2 , то це означає, що і на проміжку (2;+∞) рівняння (9) також не має рішень.

Отже, х=0,х=1 і х=-1 і вони є рішеннями вихідного рівняння.

Відповідь:

приклад 3. Розв'язати нерівність

Рішення. ОДЗ нерівності (10) є дійсними х, крім х=-1. Розіб'ємо ОДЗ на три множини: -∞<х<-1, -1

Нехай -∞<х<-1..gif" width="93" height="24 src=">. Отже, всі ці є рішеннями нерівності (10).

Нехай -1 , а . Отже, жодна з цих х не є розв'язком нерівності (10).

Нехай 0 , а . Отже, всі ці є рішеннями нерівності (10).

Відповідь: -∞<х<-1; 0

приклад 4. Вирішити рівняння

(11)

Рішення. Позначимо через f(x). З визначення абсолютної величини випливає, що f(x)= при https://pandia.ru/text/78/500/images/image120_1.gif" width="84" height="41 src=">.gif" width="43" height="41 src=">. Тому, якщо , то рівняння (11) можна переписати у вигляді , тобто у вигляді ..gif" width="53" . Якщо , то рівняння (11) можна переписати як https://pandia.ru/text/78/500/images/image128_0.gif" . З цих значень х умові задовольняють тільки .

Розглянемо х із проміжку. У цьому проміжку рівняння (11) можна переписати як , тобто у вигляді

Ясно, що х = 0 є рішення рівняння (12), а значить, і вихідного рівняння.

Для будь-якого значення , функція набуває тільки позитивних значень, тому рівняння (12) не має рішень на множині .

Відповідь: х = 0, ; https://pandia.ru/text/78/500/images/image139_0.gif" width="211" height="41">. (13)

Рішення. Нехай є рішення рівняння (13), тоді справедлива рівність (14)

і нерівності http://www.pandia.ru/text/78/500/images/image142_1.gif" width="68". а знак, що і , тобто той самий знак, що і , а права частина – той самий знак, що і .

Перепишемо рівність (14) у вигляді

https://pandia.ru/text/78/500/images/image147_0.gif" width="284" height="24">

Перепишемо рівність (15) у вигляді

Оскільки мають однакові знаки, то ..gif" width="95" height="24">. (17)

Вочевидь, будь-яке рішення рівняння (17) є рішення рівняння (13). Отже, рівняння (13) рівносильне рівнянню (17). Рішення рівняння (17) є , вони і тільки є рішення рівняння (13).

Відповідь:

Зауваження. Так само, як у прикладі 5, можна довести, що рівняння

де n, m – будь-які натуральні числа, рівнозначне рівнянню , а потім вирішувати це просте рівняння.

2. 3. Використання монотонності функції.

Розв'язання рівнянь та нерівностей з використанням властивості монотонності ґрунтується на наступних твердженнях.

Нехай f(x) – безперервна і строго монотонна функція на проміжку L, тоді рівняння f(x)=C, де С – дана константа, може мати не більше одного рішення на проміжку L. Нехай f(x) та g(x) – безперервні на проміжку L функції, f(x) строго зростає, а g(x) суворо зменшується у цьому проміжку, тоді рівняння f(x)=g(x) може мати трохи більше рішення на проміжку L.

Зазначимо, що як проміжок L можуть бути нескінченний проміжок (-∞; +∞), напівнескінченні проміжки (а; +∞), (-∞; а), [а; +∞), (-∞; а], відрізки, інтервали та напівінтервали.

приклад 1. Вирішити рівняння

(18)

Рішення. Очевидно, що х0 не може бути рішенням рівняння (18), тому що тоді . Для х>0 функція безперервна і строго зростає, як добуток двох безперервних позитивних строго зростаючих для цих х функцій f = x і https://pandia.ru/text/78/500/images/image157_0.gif" width="119" height="34" > приймає кожне своє значення рівно одній точці.Легко бачити, що х=1 є рішенням рівняння (18), отже, це його єдине рішення.

Відповідь: х = 1.

приклад 2. Розв'язати нерівність

. (19)

Рішення. Кожна з функцій , , Безперервна і строго зростає на всій осі. Отже, такою самою є і вихідна функція . Легко бачити, що за х = 0 функція приймає значення 3. У силу безперервності та суворої монотонності цієї функції при х>0 маємо , при х<0 имеем . Отже, рішеннями нерівності (19) є всі х<0.

Відповідь: -∞

приклад 3. Вирішити рівняння

(20)

Рішення. Область допустимих значень рівняння (20) є проміжок . На області допустимих значень функції і безперервні і суворо зменшуються, отже, безперервна і зменшується функція . Тому кожне значення функція h(x) приймає лише у одній точці. Оскільки h(2)=2, то х=2 є єдиним коренем вихідного рівняння.

Відповідь: х = 2.

приклад 4. Розв'язати нерівність

Вирішення. gif" width="95" height="25 src="> представлені на малюнку 7. З малюнка випливає, що для всіх х з ОДЗ нерівність (26) справедлива.

Доведемо це. Для кожного маємо, а для кожного такого маємо, що маємо, що маємо, маємо, маємо . Отже, розв'язками нерівності (26) будуть всі х із проміжку [-1;1].

приклад 2. Вирішити рівняння

. (27)

Рішення..gif" width="123" height="24"> та представлені малюнку 8. Проведемо пряму у=2. З малюнка випливає, що графік функції f(x) лежить не нижче цієї прямої, а графік функції g(x) не вищий. У цьому ці графіки стосуються прямої у=2 у різних точках. Отже, рівняння немає рішень. Доведемо це. Для кожного маємо, а. У цьому f(x)=2 лише х=-1, а g(x)=2 лише х=0. Це означає, що рівняння (27) немає рішень.

Відповідь: рішень немає.

приклад 3. Вирішити рівняння

. (28)

Рішення..gif" width="95" height="25 src="> представлені на малюнку 9. Легко перевіряється, що точка (-1; -2) є точкою перетину графіків функцій f(x) і g(x), тобто х = -1 є рішення рівняння 28. Проведемо пряму у = х - 1. З малюнка випливає, що вона розташована між графіками функцій у = f (x) і у = g (x) Це спостереження і допомагає довести , Що інших рішень рівняння (28) немає.

Для цього доведемо, що х із проміжку (-1; +∞) справедливі нерівності і , а для х із проміжку (-∞; -1) справедливі нерівності https://pandia.ru/text/78/500/images/image229_1 Очевидно, що нерівність справедлива для х>-1, а нерівність https://pandia.ru/text/78/500/images/image228_1.gif". width="89". width="93" height="24">..gif" width="145" height="25">. Розв'язаннями цієї нерівності є всі х<-1. Точно так же показывается, что решениями неравенства являются все х>-1.

Отже, необхідне твердження доведено, і рівняння має єдиний корінь х=-1.

Відповідь: х = -1.

приклад 4. Розв'язати нерівність

. (29)

Рішення..gif" width="39" height="19 src=">, тобто ОДЗ складається з трьох проміжків , , "52" height="41">, рівносильно нерівності

, (30)

а в області х>0 воно рівносильне нерівності

. (31)

Ескізи графіків функцій і наведені на малюнку 10.." width="56" і .

Тому нерівність (31) немає рішень, а нерівність (30) матиме рішеннями всіх із проміжку .

Доведемо це.

А) Нехай. Нерівність (29) рівносильна цьому проміжку нерівності (30). Легко бачити, що для кожного з цього інтервалу справедливі нерівності

,

.

Отже, нерівність (30), а разом із нею і вихідне нерівність (29) немає рішень на інтервалі .

Б) Нехай. Тоді нерівність (29) також рівнозначна нерівності (30). Для кожного х з цього інтервалу

,

Отже, будь-яке таке х є розв'язком нерівності (30), а тому й вихідної нерівності (29).

В) Нехай х>0. У цьому безлічі вихідне нерівність рівнозначно нерівності (31). Очевидно, що для будь-якої х з цієї множини справедливі нерівності

,

Звідси випливає:

1) нерівність (31) не має рішень на тій множині, де , тобто нерівність (31) немає рішень на безлічі ;

2) нерівність (31) не має розв'язків на тій множині, де залишається вирішення нерівності (31). ), що належать інтервалу 1