Гіпотеза: Якщо вивчити рух графіка при освіті рівняння функцій, то можна помітити, що всі графіки підпорядковуються загальним закономірностям, тому можна сформулювати загальні закони незалежно від функцій, що дозволить не тільки полегшити побудову графіків різних функцій, але й використовувати їх при вирішенні завдань.

Мета: Вивчити рух графіків функцій:

1) Завдання вивчення літератури

2) Навчиться будувати графіки різних функцій

3) Навчиться перетворювати графіки лінійних функцій

4) Розглянути питання застосування графіків під час вирішення завдань

Об'єкт дослідження: Графіки функцій

Предмет дослідження: Руху графіків функцій

Актуальність: Побудова графіків функцій, як правило, займає дуже багато часу і вимагає уважності з боку учня, але знаючи правила перетворення графіків функцій і графіки основних функцій можна досить швидко і легко побудувати графіки функцій, що дозволить не тільки виконувати завдання на побудови графіків функцій, але і вирішувати пов'язані з ним завдання (на знаходження максимально (мінімально висоти часу та точки зустрічі))

Цей проект корисний усім учням школи.

Огляд літератури:

У літературі розглядаються способи побудови графіка різних функцій, а також наведені приклади перетворення графіків цих функцій. Графіки практично всіх основних функцій використовуються в різних технічних процесах, що дозволяє наочно уявити перебіг процесу і спрограмувати результат

Постійна функція. Ця функція задана формулою у = b де b – деяке число. Графіком постійної функції є пряма, паралельна осі абсцис і проходить через точку (0; b) осі ординат. Графіком функції у = 0 є вісь абсцис.

Види функції 1 Пряма пропорційність. Ця функція задана формулою у = kx де коефіцієнт пропорційності k ≠ 0. Графіком прямої пропорційності є пряма, що проходить через початок координат.

Лінійна функція. Така функція задана формулою у = kx + b, де k та b – дійсні числа. Графік лінійної функції є пряма.

Графіки лінійних функцій можуть перетинатися чи бути паралельними.

Так, прямі графіки лінійних функцій у = k 1 x + b 1 і у = k 2 x + b 2 перетинаються, якщо k 1 ≠ k 2 ; якщо ж k 1 = k 2 то прямі паралельні.

2Зворотна пропорційність – це функція, задана формулою у = k/x, де k ≠ 0. K називається коефіцієнтом зворотної пропорційності. Графіком зворотної пропорційності є гіпербола.

Функція у = х 2 представлена ​​графіком, який отримав назву парабола: на проміжку [-~; 0] функція зменшується, на проміжку функція зростає.

Функція у = х 3 зростає на всій числовій прямій та графічно представлена ​​кубічною параболою.

Ступінна функція з натуральним показником. Ця функція задана формулою у = х n, де n - натуральне число. Графіки статечної функції з натуральним показником залежить від n. Наприклад, якщо n = 1, графіком буде пряма (у = х), якщо n = 2, то графіком буде парабола і т.д.

Ступенева функція з негативним показником представлена ​​формулою у = х -n , де n – натуральне число. Ця функція визначена за всіх х ≠ 0. Графік функції також залежить від показника ступеня n.

Ступінна функція з позитивним дрібним показником. Ця функція представлена ​​формулою у = х r , де r - Позитивний нескоротний дріб. Ця функція також не є ні парною, ні непарною.

Графік-лінія яка відображає взаємозв'язок залежної та незалежної змінних на координатній площині. Графік служить для наочного відображення цих елементів

Незалежна змінна це змінна яка може приймати будь-які значення в області визначення функцій (де ця функція має сенс (не можна ділити на нуль))

Щоб побудувати графік функцій, необхідно

1) Знайти ОДЗ (область допустимих значень)

2) взяти кілька довільних значень для незалежної змінної

3) Знайти значення залежної змінної

4) Побудувати координатну площину відзначити на ній дані точки

5) З'єднати їх лінії за потреби дослідити отриманий графік Перетворення графіків елементарних функцій.

Перетворення графіків

У чистому вигляді основні елементарні функції трапляються, на жаль, не так часто. Набагато частіше доводиться мати справу з елементарними функціями, отриманими з основних елементарних за допомогою додавання констант та коефіцієнтів. Графіки таких функцій можна будувати, застосовуючи геометричні перетворення графіків відповідних основних елементарних функцій (чи переходити до нової системи координат). Наприклад, квадратична функція формула є квадратичну параболу формула, стиснуту втричі щодо осі ординат, симетрично відображену щодо осі абсцис, зсунуту проти напрямку цієї осі на 2/3 одиниці і зсунуту в напрямку осі ординат на 2 одиниці.

Давайте розберемося у цих геометричних перетвореннях графіка функції покроково на конкретних прикладах.

За допомогою геометричних перетворень графіка функції f(x) може бути побудований графік будь-якої функції виду формула, де формула - коефіцієнти стиснення або розтягування вздовж осей oy та ox відповідно, знаки «мінус» перед коефіцієнтами формула та формула вказують на симетричне відображення графіка щодо координатних осей , а і b визначають зсув щодо осей абсцис та ординат відповідно.

Таким чином, розрізняють три види геометричних перетворень графіка функції:

Перший вид - масштабування (стиснення або розтягнення) вздовж осей абсцис та ординат.

На необхідність масштабування вказують коефіцієнти формули відмінні від одиниці, якщо число менше 1, то відбувається стиснення графіка щодо oy і розтягнення щодо ox, якщо число більше 1, то робимо розтягнення вздовж осі ординат і стиск уздовж осі абсцис.

Другий вид – симетричне (дзеркальне) відображення щодо координатних осей.

На необхідність цього перетворення вказують знаки мінус перед коефіцієнтами формули (у цьому випадку симетрично відображаємо графік щодо осі ox) і формула (у цьому випадку симетрично відображаємо графік щодо осі oy). Якщо знаків «мінус» немає, цей крок пропускається.

Залежно від умов перебігу фізичних процесів одні величини набувають постійних значень і називаються константами, інші - змінюються у певних умовах і називаються змінними.

Уважне вивчення довкілля показує, що фізичні величини залежні друг від друга, т. е. зміна одних величин тягне у себе зміна інших.

Математичний аналіз займається вивченням кількісних співвідношень взаємно змінюються величин, відволікаючись від конкретного фізичного сенсу. Одним із основних понять математичного аналізу є поняття функції.

Розглянемо елементи множини та елементи множини
(Рис. 3.1).

Якщо встановлюється деяка відповідність між елементами множин
і у вигляді правила тим самим зазначають, що визначається функція
.

Визначення 3.1. Відповідність , що пов'язує з кожним елементом не порожньої множини
деякий, цілком певний елемент не порожньої множини ,називається функцією або відображенням
в .

Символічно відображення
в записується наступним чином:

.

При цьому безліч
називається областю визначення функції та позначається
.

У свою чергу, безліч називається областю значень функції та позначається
.

Крім того, необхідно відзначити, що елементи множини
називають незалежними змінними, елементи множини називають залежними змінними.

Способи завдання функції

Функція може задаватися такими основними способами: табличним, графічним, аналітичним.

Якщо виходячи з експериментальних даних становлять таблиці, у яких містяться значення функції і відповідні їм значення аргументу, такий спосіб завдання функції називають табличним.

У той самий час, якщо деякі дослідження результату експерименту виводять на реєстратор (осцилограф, самописець тощо. буд.), відзначають, що функція задається графічно.

Найпоширенішим є аналітичний метод завдання функції, тобто. спосіб, при якому за допомогою формули пов'язують незалежну та залежну змінні. При цьому істотну роль відіграє область визначення функції:

різні, хоча вони й задаються однаковими аналітичними співвідношеннями.

Якщо задають лише формулу функції
, то вважають, що область визначення цієї функції збігається з безліччю тих значень змінної , для яких вираз
має сенс. У цьому особливу роль грає проблема знаходження області визначення функції.

Завдання 3.1. Знайти область визначення функції

Рішення

Перший доданок набуває дійсних значень при
а друге при. Таким чином, для знаходження області визначення заданої функції необхідно вирішити систему нерівностей:

В результаті рішення такої системи одержують. Отже, область визначення функції є відрізок
.

Найпростіші перетворення графіків функцій

Побудова графіків функцій можна значно спростити, якщо користуватися відомими графіками основних елементарних функцій. Основними елементарними функціями називаються такі функції:

1) ступенева функція
де
;

2) показова функція
де
і
;

3) логарифмічна функція
, де -будь-яке позитивне число, відмінне від одиниці:
і
;

4) тригонометричні функції




;
.

5) зворотні тригонометричні функції
;
;
;
.

Елементарними функціями називаються функції, що виходять з основних елементарних функцій за допомогою чотирьох арифметичних дій та суперпозицій, застосованих кінцеве число разів.

Прості геометричні перетворення дозволяють спростити процес побудови графіка функцій. Ці перетворення ґрунтуються на таких твердженнях:

Графік функції y=f(x+a) є графікy=f(x), зрушений (при a >0 вліво, при a< 0 вправо) на |a| единиц параллельно осиOx.

Графік функції y=f(x) +bесть графікy=f(x), зрушений (приb>0 вгору, приb< 0 вниз) на |b| единиц параллельно осиOy.

Графік функції y = mf(x) (m0) є графік y = f(x), розтягнутий (приm>1) відразу або стислий (при 0

Графік функції y = f(kx) є графік y = f(x), стислий (при k >1) у k разів або розтягнутий (при 0< k < 1) вдоль оси Ox. При –< k < 0 график функции y = f(kx) есть зеркальное отображение графика y = f(–kx) от оси Oy.

Які з цих функцій мають зворотний? Для таких функцій знайти зворотні функції:

4.12. а)	y = x;					б) y = 6 −3 x;
г) y =						д) y = 2 x 3 +5;
4.13. а)	y = 4 x − 5;						y = 9 − 2 x − x 2;
	y = sign x;						y = 1 + lg (x + 2);

	y = 2 x 2 +1;
			x − 2
						при x< 0
в) y =		−x
						при x ≥ 0

З'ясувати, які з цих функцій монотонні, які – строго монотонні, а які – обмежені:

4.14. а)

f(x) = c, c R;

б) f(x) = cos 2 x;

в) f(x) = arctg x;

г) f(x) = e 2 x;

д) f(x) = −x 2 + 2 x;

е) f(x) =

2x + 5

y = ctg7 x.

4.15. а)

f (x) = 3− x

б) f(x) =

f(x) =

x + 3

x + 6

x< 0,

3x + 5

г) f(x) = 3 x 3 − x;

− 10 при

f(x) =

д) f (x) =

x 2 при

x ≥ 0;

x + 1

f(x) = tg(sin x).

4.2. Елементарні функції. Перетворення графіків функцій

Нагадаємо, що графіком функції f (x) у декартовій прямокутній системі координат Oxy називається безліч усіх точок площини з координатами (x, f (x)).

Часто графік функції y = f (x) можна побудувати за допомогою перетворень (зсув, розтяг) графіка деякої вже відомої функції.

Зокрема, з графіка функції y = f (x) виходить графік функції:

1) y = f (x ) + a – зрушенням уздовж осі Oy на a одиниць (вгору, якщо a > 0 і вниз, якщо a< 0 ;

2) y = f (x −b ) – зрушенням уздовж осі Ox на b одиниць (праворуч, якщо b > 0 ,

і вліво, якщо b< 0 ;

3) y = kf (x) - розтягненням вздовж осі Oy в k разів;

4) y = f (mx) - стиском по осі Ox в m разів;

5) y = − f (x) – симетричним відображенням щодо осі Ox;

6) y = f (−x) – симетричним відображенням щодо осі Oy;

7) y = f (x ) наступним чином: частина графіка, розташована не

нижче осі Ox залишається без змін, а «нижня» частина графіка симетрично відображається щодо осі Ox ;

8) y = f (x ) наступним чином: права частина графіка (при x ≥ 0 )

залишається без змін, а замість "лівої" будується симетричне відображення "правої" щодо осі Oy.

Основними елементарними функціями називаються:

1) постійна функція y = c;

2) статечна функція y = x α, α R;

3) показова функція y = a x, a ≠ 0, a ≠1;

4) логарифмічнафункція y = log a x , a > 0, a ≠ 1;

5) тригонометричніфункції y = sin x , y = cos x , y = tg x ,

y = ctg x , y = sec x (де sec x = cos 1 x), y = cosec x (де cosec x = sin 1 x);

6) зворотні тригонометричні функції y = arcsin x, y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x.

Елементарними функціяминазиваються функції, одержані з основних елементарних функцій за допомогою кінцевого числа арифметичних операцій (+, − , ÷) та композицій (тобто утворення складних функцій f g ).

Приклад 4.6. Побудувати графік функції

1) y = x 2 + 6 x + 7; 2) y = −2sin 4 x .

Рішення: 1) шляхом виділення повного квадрата функція перетворюється на вид y = (x +3) 2 − 2 , тому графік цієї функції можна отримати з графіка функції y = x 2 . Достатньо спочатку змістити параболу y = x 2 на три одиниці вліво (отримаємо графік функції y = (x +3) 2 ), а потім на дві одиниці вниз (рис. 4.1);

	стандартну	синусоїду						y = sin x	вчетверо по осі		Ox,
отримаємо графік функції y = sin 4 x (рис. 4.2).
										y= sin4x
										y=sin x

Розтягнувши отриманий графік вдвічі вздовж осі Oy, отримаємо графік функції y = 2sin 4 x (рис. 4.3). Залишилося відобразити останній графік щодо осі Ox. Результатом буде шуканий графік (див. рис. 4.3).

						y= 2sin4x

y=– 2sin4 x

Завдання для самостійного вирішення

Побудувати графіки наступних функцій, виходячи з графіків основних елементарних функцій:

4.16. а) y = x 2 -6 x +11;

4.17. а) y = −2sin(x −π );

4.18. а) y = − 4 x −1;

4.19. а) y = log 2 (-x);

4.20. a) y = x +5;

4.21. а) y = tg x;

4.22. а) y = sign x;

4.23. а) y = x x + + 4 2;

y = 3 − 2 x − x 2 .

y = 2cos 2 x.

, Конкурс «Презентація до уроку»

Презентація до уроку

Назад вперед

Увага! Попередній перегляд слайдів використовується виключно для ознайомлення та може не давати уявлення про всі можливості презентації. Якщо вас зацікавила ця робота, будь ласка, завантажте повну версію.

Мета уроку:Визначити закономірності перетворення графіків функций.

Завдання:

Освітня:

• Навчити учнів будувати графіки функцій шляхом перетворення графіка цієї функції, застосовуючи паралельне перенесення, стиск (розтяг), різні види симетрії.

Виховна:

• Виховувати особисті якості учнів (уміння слухати), доброзичливість до оточуючих, уважність, акуратність, дисциплінованість, вміння працювати у групі.
• Виховувати інтерес до предмета та потреби у придбанні знань.

Розвиваюча:

• Розвивати просторову уяву та логічне мислення учнів, уміння швидко орієнтуватися в обстановці; розвивати кмітливість, винахідливість, тренувати пам'ять.

Обладнання:

• Мультимедійне встановлення: комп'ютер, проектор.

Література:

1. Башмаков, М. І. Математика [Текст]: підручник для установ на поч. та середовищ. проф. освіти / М. І. Башмаков. - 5-е вид., Випр. - М.: Видавничий центр "Академія", 2012. - 256 с.
2. Башмаков, М. І. Математика. Задачник [Текст]: навч. посібник для утвор. установ поч. та середовищ. проф. освіти / М. І. Башмаков. - М.: Видавничий центр "Академія", 2012. - 416 с.

План уроку:

1. Організаційний момент (3 хв).
2. Актуалізація знань (7 хв).
3. Пояснення нового матеріалу (20 хв.).
4. Закріплення нового матеріалу (10 хв).
5. Підсумок уроку (3 хв).
6. Домашнє завдання (2 хв).

Хід уроку

1. Орг. момент (3 хв).

Перевірка присутніх.

Повідомлення мети уроку.

Основні властивості функцій як залежностей між змінними величинами не повинні суттєво змінюватися при зміні способу вимірювання цих величин, тобто при зміні масштабу вимірювання та початку відліку. Однак за рахунок раціональнішого вибору способу вимірювання змінних величин зазвичай вдається спростити запис залежності між ними, привести цей запис до деякого стандартного вигляду. Геометричною мовою зміна способу вимірювання величин означає деякі прості перетворення графіків, до вивчення яких ми сьогодні і перейдемо.

2. Актуалізація знань (7 хв).

Перш ніж говоритимемо про перетворення графіків, повторимо пройдений матеріал.

Усна робота. (Слайд 2).

Дано функції:

3. Охарактеризуйте графіки функцій: , , , .

3. Пояснення нового матеріалу (20 хв).

Найпростіші перетворення графіків – це їх паралельне перенесення, стиск (розтяг) і деякі види симетрії. Деякі перетворення представлені у таблиці (Додаток 1), (Слайд 3).

Робота у групах.

p align="justify"> Кожна група будує графіки заданих функцій і представляє результат для обговорення.

Функція	Перетворення графіка функції	Приклади функцій	Слайд
	Оуна Аодиниць вгору, якщо A>0, і |A| одиниць вниз, якщо А<0.	,	(Слайд 4)
	Паралельне перенесення його вздовж осі Охна аодиниць праворуч, якщо а>0, і на - аодиниць вліво, якщо а<0.	,	(Слайд 5)
,

Показова функція- це узагальнення добутку n чисел, рівних a :
y (n) = a n = a·a·a···a,
на безліч дійсних чисел x :
y (x) = a x.
Тут a – фіксоване дійсне число, яке називають основою показової функції.
Показову функцію з основою a також називають експонентою на підставі a.

Узагальнення виконується в такий спосіб.
При натуральному x = 1, 2, 3,... , показова функція є твором x множників:
.
При цьому вона має властивості (1.5-8) (), які випливають із правил множення чисел. При нульовому та негативних значеннях цілих чисел , показову функцію визначають за формулами (1.9-10). При дробових значеннях x = m/n раціональних чисел, її визначають за формулою (1.11). Для дійсних , показову функцію визначають як межу послідовності:
,
де - довільна послідовність раціональних чисел, що сходить до x: .
При такому визначенні, показова функція визначена всім , і задовольняє властивостям (1.5-8), як й у натуральних x .

Суворе математичне формулювання визначення показової функції та доказ її властивостей наводиться на сторінці «Визначення та доказ властивостей показової функції».

Властивості показової функції

Показова функція y = a x має наступні властивості на безлічі дійсних чисел () :
(1.1) визначена і безперервна, при , всім ;
(1.2) при a ≠ 1 має безліч значень;
(1.3) строго зростає при , суворо зменшується при ,
є постійною при ;
(1.4) при;
при;
(1.5) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.8) ;
(1.9) ;
(1.10) ;
(1.11) , .

Інші корисні формули.
.
Формула перетворення до показової функції з іншою основою ступеня:

При b = e отримуємо вираз показової функції через експоненту:

Приватні значення

, , , , .

На малюнку представлені графіки показової функції
y (x) = a x
для чотирьох значень підстави ступеня: a = 2 , a = 8 , a = 1/2 та a = 1/8 . Видно, що за a > 1 Показова функція монотонно зростає. Чим більша підстава ступеня a, тим сильніше зростання. При 0 < a < 1 показова функція монотонно зменшується. Чим менший показник ступеня a тим більше сильне спадання.

Зростання, спадання

Показова функція, є суворо монотонною, тому екстремумів не має. Основні її властивості представлені у таблиці.

	y = a x , a > 1	y = a x , 0 < a < 1
Область визначення	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Область значень	0 < y < + ∞	0 < y < + ∞
Монотонність	монотонно зростає	монотонно зменшується
Нулі, y = 0	ні	ні
Точки перетину з віссю ординат, x = 0	y = 1	y = 1
	+ ∞	0
	0	+ ∞

Зворотня функція

Зворотною для показової функції з основою ступеня a є логарифм з основи a .

Якщо то
.
Якщо то
.

Диференціювання показової функції

Для диференціювання показової функції, її основу потрібно привести до e , застосувати таблицю похідних і правило диференціювання складної функції.

Для цього потрібно використовувати властивість логарифмів
і формулу з таблиці похідних:
.

Нехай задана показова функція:
.
Приводимо її до основи e:

Застосуємо правило диференціювання складної функції. Для цього вводимо змінну

Тоді

З таблиці похідних маємо (замінимо змінну x на z):
.
Оскільки - це постійна, то похідна z x дорівнює
.
За правилом диференціювання складної функції:
.

Похідна показової функції

.
Похідна n-го порядку:
.
Висновок формул > > >

Приклад диференціювання показової функції

Знайти похідну функції
y = 3 5 x

Рішення

Виразимо основу показової функції через число e.
3 = e ln 3
Тоді
.
Вводимо змінну
.
Тоді

З таблиці похідних знаходимо:
.
Оскільки 5ln 3- це постійна, то похідна z x дорівнює:
.
За правилом диференціювання складної функції маємо:
.

Відповідь

Інтеграл

Вирази через комплексні числа

Розглянемо функцію комплексного числа z:
f (z) = a z
де z = x + iy; i 2 = - 1 .
Виразимо комплексну постійну через модуль r і аргумент φ :
a = r e i φ
Тоді


.
Аргумент φ визначено неоднозначно. Загалом
φ = φ 0 + 2 πn,
де n – ціле. Тому функція f (z)також не однозначна. Часто розглядають її головне значення
.

Розкладання в ряд

.

Використана література:
І.М. Бронштейн, К.А. Семендяєв, Довідник з математики для інженерів та учнів втузів, «Лань», 2009.