Tổng của hai vectơ là gì. Cách trừ và cộng các vectơ

Vectơ là một đối tượng toán học được đặc trưng bởi độ lớn và hướng (ví dụ: gia tốc, độ dịch chuyển), khác với các đại lượng vô hướng không có hướng (ví dụ: khoảng cách, năng lượng). Có thể thêm vô hướng bằng cách cộng các giá trị của chúng (ví dụ: 5 kJ công cộng 6 kJ công bằng 11 kJ công), nhưng việc cộng và trừ các vectơ không dễ dàng như vậy.

bước

Cộng và trừ các vectơ với các thành phần đã biết

Vì các vectơ có độ lớn và hướng nên chúng có thể được phân tách thành các thành phần dựa trên các chiều x, y và/hoặc z. Chúng thường được biểu thị giống như các điểm trong một hệ tọa độ (ví dụ:<х,у,z>). Nếu các thành phần đã biết, thì việc cộng/trừ các vectơ cũng dễ dàng như việc cộng/trừ các tọa độ x, y, z.

Lưu ý rằng vectơ có thể là một chiều, hai chiều hoặc ba chiều. Do đó, vectơ có thể có thành phần "x", "x" và "y" hoặc thành phần "x", "y", "z". Các vectơ 3D được thảo luận bên dưới, nhưng quá trình này tương tự đối với các vectơ 1D và 2D.
Giả sử bạn được cung cấp hai vectơ ba chiều - vectơ A và vectơ B. Viết các vectơ này dưới dạng vectơ: A = và B= , trong đó a1 và a2 là các thành phần "x", b1 và b2 là các thành phần "y", c1 và c2 là các thành phần "z".

Để thêm hai vectơ, hãy thêm các thành phần tương ứng của chúng. Nói cách khác, thêm thành phần "x" của vectơ đầu tiên vào thành phần "x" của vectơ thứ hai (v.v.). Kết quả là bạn sẽ nhận được các thành phần x, y, z của vectơ kết quả.
- A+B = .
- Cộng các vectơ A và B. A =<5, 9, -10>và B=<17, -3, -2>. A+B=<5+17, 9+-3, -10+-2>, hoặc <22, 6, -12> .
Để trừ một vectơ từ một vectơ khác, bạn phải trừ các thành phần tương ứng. Như sẽ được chỉ ra bên dưới, phép trừ có thể được thay thế bằng phép cộng một vectơ và nghịch đảo của một vectơ khác. Nếu biết các thành phần của hai vectơ, hãy trừ các thành phần tương ứng của một vectơ khỏi các thành phần của vectơ kia.
- A-B =
- Trừ các vectơ A và B. A =<18, 5, 3>và B=<-10, 9, -10>. A-B=<18--10, 5-9, 3--10>, hoặc <28, -4, 13> .
Cộng và trừ đồ họa
1. Vì vectơ có độ lớn và hướng, nên chúng có điểm đầu và điểm cuối (điểm đầu và điểm cuối, khoảng cách giữa chúng bằng giá trị của vectơ). Khi một vectơ được hiển thị bằng đồ thị, nó được vẽ dưới dạng một mũi tên, trong đó đỉnh là điểm cuối của vectơ và điểm đối diện là điểm bắt đầu của vectơ.
  - Khi vẽ đồ thị vectơ, xây dựng tất cả các góc rất chính xác; nếu không bạn sẽ nhận được câu trả lời sai.
2. Để thêm các vectơ, hãy vẽ chúng sao cho phần cuối của mỗi vectơ trước nối với phần đầu của vectơ tiếp theo. Nếu bạn chỉ thêm hai vectơ, thì đó là tất cả những gì bạn cần làm trước khi tìm thấy vectơ kết quả.
  - Lưu ý rằng thứ tự kết nối các vectơ không quan trọng, tức là vectơ A + vectơ B = vectơ B + vectơ A.
3. Để trừ một vectơ, chỉ cần thêm vectơ nghịch đảo, nghĩa là thay đổi hướng của vectơ bị trừ, sau đó nối điểm đầu của nó với điểm cuối của một vectơ khác. Nói cách khác, để trừ một vectơ, hãy xoay nó 180o (quanh gốc tọa độ) và thêm nó vào một vectơ khác.
  
  Nếu bạn đang cộng hoặc trừ bao nhiêu (nhiều hơn hai) vectơ, thì hãy nối tiếp đầu và cuối của chúng theo trình tự. Thứ tự mà bạn kết nối các vectơ không thành vấn đề. Phương pháp này có thể được sử dụng cho bất kỳ số lượng vectơ nào.
4. Vẽ một vectơ mới bắt đầu từ điểm bắt đầu của vectơ đầu tiên và kết thúc ở cuối vectơ cuối cùng (bất kể bạn thêm bao nhiêu vectơ). Bạn sẽ nhận được một vectơ kết quả bằng tổng của tất cả các vectơ được thêm vào. Lưu ý rằng vectơ này giống với vectơ thu được bằng cách cộng các thành phần x, y, z của tất cả các vectơ.
  - Nếu bạn đã vẽ rất chính xác độ dài của các vectơ và các góc giữa chúng, thì bạn có thể tìm thấy giá trị của vectơ kết quả bằng cách đo độ dài của nó. Ngoài ra, bạn có thể đo góc (giữa véc-tơ kết quả và véc-tơ xác định khác hoặc các đường ngang/dọc) để tìm hướng của véc-tơ kết quả.
  - Nếu bạn đã vẽ rất chính xác độ dài của các vectơ và các góc giữa chúng, thì bạn có thể tìm giá trị của vectơ kết quả bằng cách sử dụng lượng giác, cụ thể là định lý sin hoặc định lý cosin. Nếu bạn đang thêm nhiều vectơ (nhiều hơn hai), trước tiên hãy thêm hai vectơ, sau đó thêm vectơ kết quả và vectơ thứ ba, v.v. Xem phần tiếp theo để biết thêm thông tin.
5. Biểu diễn vectơ kết quả, biểu thị giá trị và hướng của nó. Như đã lưu ý ở trên, nếu bạn vẽ rất chính xác độ dài của các vectơ cần thêm và các góc giữa chúng, thì giá trị của vectơ kết quả bằng độ dài của nó và hướng là góc giữa nó và đường thẳng đứng hoặc đường nằm ngang . Đừng quên gán cho giá trị của vectơ các đơn vị đo trong đó các vectơ được cộng/trừ.
  - Ví dụ: nếu bạn thêm các vectơ vận tốc được đo bằng m/s, thì hãy thêm “m/s” vào giá trị của vectơ kết quả, đồng thời cho biết góc của vectơ kết quả ở định dạng “o so với đường nằm ngang”.
Cộng và trừ các vectơ bằng cách tìm các giá trị của các thành phần của chúng
1. Để tìm giá trị của các thành phần vectơ, bạn cần biết giá trị của chính vectơ và hướng của chúng (góc so với đường ngang hoặc đường thẳng đứng). Xét một vectơ hai chiều. Biến nó thành cạnh huyền của một tam giác vuông, khi đó các chân (song song với các trục X và Y) của tam giác này sẽ là các thành phần của vectơ. Các thành phần này có thể được coi là hai vectơ được kết nối với nhau, khi được cộng lại với nhau sẽ cho vectơ ban đầu.
  - Độ dài (giá trị) của hai thành phần (thành phần "x" và "y") của vectơ ban đầu có thể được tính bằng lượng giác. Nếu "x" là giá trị (mô đun) của vectơ gốc, thì thành phần vectơ liền kề với góc của vectơ gốc là xcosθ và thành phần vectơ đối diện với góc của vectơ gốc là xsinθ.
  - Điều quan trọng cần lưu ý là hướng của các thành phần. Nếu thành phần hướng ngược lại với hướng của một trong các trục, thì giá trị của nó sẽ âm, ví dụ: nếu thành phần hướng sang trái hoặc xuống trên mặt phẳng tọa độ hai chiều.
  - Ví dụ, cho trước một vectơ có mô đun (giá trị) là 3 và hướng là 135 o (so với phương ngang). Khi đó thành phần x là 3cos 135 = -2,12 và thành phần y là 3sin135 = 2,12.
2. Khi bạn đã tìm thấy các thành phần của tất cả các vectơ bạn đang thêm, chỉ cần thêm các giá trị của chúng và bạn sẽ tìm thấy các giá trị thành phần của vectơ kết quả. Đầu tiên, cộng các giá trị của tất cả các thành phần nằm ngang (tức là các thành phần song song với trục x). Sau đó cộng các giá trị của tất cả các thành phần thẳng đứng (tức là các thành phần song song với trục y). Nếu giá trị của một thành phần là âm, thì nó bị trừ đi, không được thêm vào.
  - Ví dụ: hãy thêm vectơ<-2,12, 2,12>và véc tơ<5,78, -9>. Vectơ kết quả sẽ như thế này<-2,12 + 5,78, 2,12-9>hoặc<3,66, -6,88>.
3. Tính độ dài (giá trị) của vectơ kết quả bằng cách sử dụng định lý Pythagore: c 2 \u003d a 2 + b 2 (vì tam giác được tạo bởi vectơ ban đầu và các thành phần của nó là hình chữ nhật). Trong trường hợp này, các chân là các thành phần "x" và "y" của vectơ kết quả và cạnh huyền là chính vectơ kết quả.
  - Ví dụ: nếu trong ví dụ của chúng tôi, bạn đã thêm lực được đo bằng Newton, thì hãy viết câu trả lời như sau: 7,79 N ở một góc -61,99 o (so với trục hoành).
- Đừng nhầm lẫn các vectơ với các mô-đun (giá trị) của chúng.
- Các vectơ có cùng hướng có thể được cộng hoặc trừ bằng cách cộng hoặc trừ các giá trị của chúng. Nếu hai vectơ ngược hướng được thêm vào, thì giá trị của chúng bị trừ đi, không được thêm vào.
- Các vectơ được biểu diễn dưới dạng x tôi+y j+z k có thể được cộng hoặc trừ bằng cách cộng hoặc trừ các hệ số tương ứng. Cũng viết câu trả lời của bạn là i,j,k.
- Giá trị của một vectơ trong không gian ba chiều có thể được tìm thấy bằng công thức a 2 \u003d b 2 + c 2 + d 2, ở đâu một- giá trị véc tơ, b, c, và đ là các thành phần của vectơ.
- Các vectơ cột có thể được cộng/trừ bằng cách cộng/trừ các giá trị tương ứng trong mỗi hàng.

X và yđược gọi là vectơ z như vậy mà z+y=x.

Lựa chọn 1.Điểm bắt đầu của tất cả các vectơ trùng với gốc tọa độ.

Hãy để chúng tôi xây dựng sự khác biệt của vectơ và .

Để vẽ sự khác biệt của vectơ z=x-y, bạn cần thêm vectơ x ngược lại với y véc tơ y". Vectơ đối diện y"được xây dựng đơn giản:

véc tơ y" ngược với véc tơ y, tại vì y+y"= 0, trong đó 0 là một vectơ null có kích thước phù hợp. Tiếp theo, việc bổ sung các vectơ được thực hiện x và y":

Từ biểu thức (1) có thể thấy rằng để xây dựng hiệu của các vectơ, chỉ cần tính hiệu của tọa độ tương ứng của các vectơ là đủ x và y.

Cơm. một

Trong bộ lễ phục. 1 trong không gian hai chiều đại diện cho sự khác biệt của vectơ x=(10,3) và y=(2,4).

tính toán z=x-y=(10-3,3-4)=(7,-1). Hãy để chúng tôi so sánh kết quả thu được với giải thích hình học. Thật vậy, sau khi dựng véc tơ y" và chuyển động song song của điểm bắt đầu của vectơ y"đến điểm cuối của vectơ x, ta được véc tơ y"", và sau khi thêm các vectơ x và y"", ta được véc tơ z.

Lựa chọn 2.Điểm bắt đầu của các vectơ là tùy ý.

Cơm. 2

Trong bộ lễ phục. 2 trong không gian hai chiều là hiệu của vectơ x=AB và y=đĩa CD, ở đâu Một(1,0), b(11,3), C(1,2), Đ.(3.6). Để tính véc tơ z=x-y, được xây dựng đối diện với vectơ y véc tơ y":

Tiếp theo, bạn cần thêm các vectơ x và y". véc tơ y" chuyển động song song sao cho điểm C" trùng với điểm b. Để làm điều này, sự khác biệt về tọa độ của các điểm được tính toán b và TỪ.

Đặt $\overrightarrow(a)$ và $\overrightarrow(b)$ là hai vectơ (Hình 1a).

Lấy một điểm O tùy ý và dựng một vectơ $\overrightarrow(OA) = \overrightarrow(a)$ . Sau đó, từ điểm A, chúng ta vẽ vectơ $\overrightarrow(AB) = \overrightarrow(b)$. Vectơ $\overrightarrow(OB)$ nối điểm đầu của vectơ thứ nhất với điểm cuối của vectơ thứ hai (Hình 1, b) được gọi là tổng của các vectơ này và được ký hiệu là $\overrightarrow(a) + \overrightarrow(b)$$ ( quy tắc tam giác).

Tổng các vectơ tương tự có thể thu được theo cách khác. Chúng ta hãy hoãn các vectơ $\overrightarrow(OA) = \overrightarrow(a) \,u\, \overrightarrow(OC) = \overrightarrow(b) $ từ điểm O (Hình 1, c). Ta dựng trên các vectơ này như trên các cạnh của hình bình hành ОABC. Vectơ $\overrightarrow(OB)$ đóng vai trò là đường chéo của hình bình hành này được vẽ từ đỉnh O rõ ràng là tổng của các vectơ $\overrightarrow(a) + \overrightarrow(b)$ ( quy tắc hình bình hành). Từ hình 1, trong ngay lập tức suy ra rằng tổng của hai vectơ có tính chất giao hoán: $\overrightarrow(a) + \overrightarrow(b) = \overrightarrow(b) + \overrightarrow(a)$

Thật vậy, mỗi vectơ $\overrightarrow(a) + \overrightarrow(b) \,and\, = \overrightarrow(b) + \overrightarrow(a)$ đều bằng với cùng một vectơ $\overrightarrow(OB)$ .

ví dụ 1 Cho tam giác ABC, AB = 3, BC = 4, ∠ B = 90°. Tìm: $a)\,\ \overrightarrow(|AB|) + \overrightarrow(|BC|);\,\,\ b)\,\ |\overrightarrow(AB) + \overrightarrow(BC)|$ .

Dung dịch

b) Vì $\overrightarrow(AB) + \overrightarrow(BC) = \overrightarrow(AC) \,\,\,\ nên \,\, |\overrightarrow(AB) + \overrightarrow(BC)| = |\overrightarrow(AC)| = AC$ .

Bây giờ, áp dụng định lý Pythagore, chúng ta tìm được $$ AC = \sqrt(AB^2 + BC^2) = \sqrt(9 + 16) = 5 \\ i.e.\, |\overrightarrow(AB) + \overrightarrow( sun )| = 5. $$

Khái niệm tổng của các vectơ có thể được khái quát hóa cho trường hợp có một số hữu hạn các phép cộng của vectơ.

Ví dụ, hãy cho ba vectơ $\overrightarrow(a), \overrightarrow(b)\,and\, \overrightarrow(c)$ (Hình 2).

Trước tiên, xây dựng tổng của vectơ $\overrightarrow(a) + \overrightarrow(b)$ , sau đó cộng vectơ $\overrightarrow(c)$ vào tổng này, chúng ta được vectơ $(\overrightarrow(a) + \overrightarrow (b)) + \overrightarrow(c)$ . Trong Hình 2 $$ \overrightarrow(OA) = \overrightarrow(a)\,; \overrightarrow(AB) = b\,; \overrightarrow(OB) = \overrightarrow(a) + \overrightarrow(b)\,; \overrightarrow(BC) = \overrightarrow(c) \\ và \\ \overrightarrow(OS) = \overrightarrow(OB) + \overrightarrow(BC) = (\overrightarrow(a) + \overrightarrow(b)) + \overrightarrow (c) $$ Hình 2 cho thấy rằng chúng ta có cùng một vectơ $\overrightarrow(OC)$ nếu chúng ta thêm vectơ $\overrightarrow(AB) = \ overrightarrow(b) + \overrightarrow(c)$ . Do đó $(\overrightarrow(a) + \overrightarrow(b)) + \overrightarrow(c) = \overrightarrow(a) + (\overrightarrow(b) + \overrightarrow(c))$ , tức là tổng các vectơ có một liên kết tài sản. Do đó, tổng của ba vectơ $\overrightarrow(a)\,\,\overrightarrow(b)\,\,\overrightarrow(c)$ được viết đơn giản là $\overrightarrow(a) + \overrightarrow(b) + \overrightarrow (c)$ .

Sự khác biệt của hai vectơ $\overrightarrow(a) \,và\, \overrightarrow(b)$ được gọi là vectơ thứ ba $\overrightarrow(c) = \overrightarrow(a) - \overrightarrow(b)$ , tổng của nó bằng vectơ phụ $\overrightarrow (b)$ cung cấp cho vectơ $\overrightarrow(a)$. Vì vậy, nếu $\overrightarrow(c) = \overrightarrow(a) - \overrightarrow(b)\,\ thì\, \overrightarrow(c) + \overrightarrow(b) = \overrightarrow(a)$ .

Từ định nghĩa tổng của hai vectơ, quy tắc xây dựng vectơ hiệu như sau (Hình 3).

Đặt các vectơ $\overrightarrow(OA) = \overrightarrow(a) \,u\, \overrightarrow(OB) = \overrightarrow(b)$ từ điểm chung O. Vectơ $\overrightarrow(BA)$ nối các các điểm cuối của vectơ rút gọn $ \overrightarrow(a)$ và vectơ trừ $\overrightarrow(b)$ và hướng từ điểm trừ tới điểm trừ là sự khác biệt $\overrightarrow(c) = \overrightarrow(a) - \overrightarrow(b)$ . Thật vậy, theo quy tắc cộng vectơ $\overrightarrow(OB) + \overrightarrow(BA) = \overrightarrow(OA) \text( , hoặc ) \overrightarrow(b) + \overrightarrow(c) = \overrightarrow(a)$ .

ví dụ 2 Cạnh của tam giác đều ABC là a. Tìm: $a) |\overrightarrow(BA) - \overrightarrow(BC)|\,;\,\ b)\,\,\ |\overrightarrow(AB) - \overrightarrow(AC)|$ .

Dung dịch a) Vì $\overrightarrow(BA) - \overrightarrow(BC) = \overrightarrow(SA)\text( , a )|\overrightarrow(SA)| = a\text( , then )|\overrightarrow(BA) - \overrightarrow(BC)| = a$ .

b) Vì $\overrightarrow(AB) - \overrightarrow(AC) = \overrightarrow(CB)\text( , a )|\overrightarrow(CB)| = a\text( , then )|\overrightarrow(AB) - \overrightarrow(AC)| = a$ .

Tích của một vectơ $\overrightarrow(a)$ (ký hiệu là $=\lambda\overrightarrow(a)$ hoặc $\overrightarrow(a)\lambda$) và một số thực $\lambda$ là một vectơ $\overrightarrow( b)$, vectơ thẳng hàng $\overrightarrow(a)$ có độ dài bằng $|\lambda||\overrightarrow(a)|$ và cùng hướng với $\overrightarrow(a)$ nếu $\lambda > 0$ , và hướng ngược lại với vectơ $\overrightarrow(a)$ nếu $\lambda< 0$ . Так, например, $2\overrightarrow{a}$ есть вектор, имеющий то же направление, что и вектор $\overrightarrow{a}$ , а длину, вдвое большую, чем вектор $\overrightarrow{a}$ (рис.4).

Trong trường hợp khi $\lambda = 0$ hoặc $\overrightarrow(a) = 0$ , tích $\lambda\overrightarrow(a)$ là một vectơ rỗng. Vectơ ngược $-\overrightarrow(a)$ có thể được coi là kết quả của phép nhân vectơ $\overrightarrow(a)$ với $\lambda = -1$ (xem Hình 4): $$ -\overrightarrow(a ) = \ ( -1)\overrightarrow(a) $$ Rõ ràng là $\overrightarrow(a) + (-\overrightarrow(a)) = \overrightarrow(0)$ .

ví dụ 3 Chứng minh rằng nếu O, A, B và C là các điểm tùy ý thì $\overrightarrow(OA) + \overrightarrow(AB) + \overrightarrow(BC) + \overrightarrow(CO) = 0$ .

Dung dịch. Tổng của các vectơ $\overrightarrow(OA) + \overrightarrow(AB) + \overrightarrow(CB) = \overrightarrow(OC)$ , vectơ $\overrightarrow(CO)$ ngược chiều với vectơ $\overrightarrow(OC) )$ . Do đó $\overrightarrow(OS) + \overrightarrow(OS) = \overrightarrow(0)$ .

Cho vectơ $\overrightarrow(a)$. Xét một vectơ đơn vị $\overrightarrow(a_0)$ , thẳng hàng với vectơ $\overrightarrow(a)$ và có cùng hướng với nó. Nó xuất phát từ định nghĩa phép nhân một vectơ với một số $$ \overrightarrow(a) = |\overrightarrow(a)|\,\ \overrightarrow(a_0) $$ , tức là mỗi vectơ bằng tích của mô đun của nó và vectơ đơn vị cùng hướng. Hơn nữa, từ cùng một định nghĩa, suy ra rằng nếu $\overrightarrow(b) = \lambda\overrightarrow(a)$ , trong đó $\overrightarrow(a)$ là một vectơ khác 0, thì các vectơ $\overrightarrow(a) \ và \, \overrightarrow(b)$ thẳng hàng. Rõ ràng, ngược lại, từ sự cộng tuyến của các vectơ $\overrightarrow(a) \,và\, \overrightarrow(b)$ suy ra rằng $\overrightarrow(b) = \lambda\overrightarrow(a)$.

Ví dụ 4Độ dài của vectơ AB là 3, độ dài của vectơ AC là 5. Côsin của góc giữa các vectơ này là 1/15. Tìm độ dài của vectơ AB + AC.

Giải pháp video.

Sự định nghĩa

Việc cộng các vectơ và được thực hiện theo quy tắc tam giác.

Tổng hai vectơ và một vectơ thứ ba như vậy được gọi, phần đầu trùng với phần đầu và phần cuối trùng với phần cuối, với điều kiện là phần cuối của vectơ và phần đầu của vectơ trùng nhau (Hình 1).

để bổ sung vectơ Quy tắc hình bình hành cũng được áp dụng.

Sự định nghĩa

quy tắc hình bình hành- nếu hai vectơ u không thẳng hàng dẫn đến chung một gốc thì vectơ đó trùng với đường chéo của hình bình hành dựng trên các vectơ u (Hình 2). Hơn nữa, đầu của vectơ trùng với đầu của các vectơ đã cho.

Sự định nghĩa

Vectơ được gọi là véc tơ đối diệnđến vectơ nếu nó thẳng hàng vectơ , bằng độ dài của nó nhưng ngược hướng với vectơ.

Phép toán cộng vectơ có các tính chất sau:

Sự định nghĩa

Sự khác biệt vectơ và một vectơ được gọi sao cho thỏa mãn điều kiện: (Hình 3).

Nhân một vectơ với một số

Sự định nghĩa

công việc véc tơ mỗi sốđược gọi là một vectơ thỏa mãn điều kiện:

Các tính chất của phép nhân một vectơ với một số:

Ở đây u là các vectơ tùy ý và là các số tùy ý.

không gian Euclide(cũng không gian Euclide) - theo nghĩa gốc, không gian có thuộc tính được mô tả tiên đề Hình học Euclide. Trong trường hợp này, người ta cho rằng không gian có kích thước bằng 3.

Theo nghĩa hiện đại, theo nghĩa tổng quát hơn, nó có thể biểu thị một trong những đối tượng tương tự và có liên quan chặt chẽ với nhau: hữu hạn chiều có thật không gian véc tơ với xác định dương tích vô hướng, hoặc không gian số liệuứng với một không gian vectơ như vậy. Trong bài viết này, định nghĩa đầu tiên sẽ được coi là định nghĩa ban đầu.

Không gian Euclide có chiều cũng thường được sử dụng (nếu rõ ràng từ ngữ cảnh rằng không gian có cấu trúc Euclide).

Để định nghĩa không gian Euclide, dễ nhất là lấy khái niệm chính sản phẩm chấm. Không gian vectơ Euclide được định nghĩa là hữu hạn chiều không gian véc tơở trên đồng ruộng số thực, trên vectơ của ai hàm giá trị thực với ba thuộc tính sau:

không gian ái lực, tương ứng với một không gian vectơ như vậy, được gọi là không gian affine Euclide, hay đơn giản là không gian Euclide .

Một ví dụ về không gian Euclide là một không gian tọa độ bao gồm tất cả các N-ok tích vô hướng của số thực trong đó được xác định theo công thức

Cơ sở và tọa độ véc tơ

Nền tảng (tiếng Hy Lạp khácβασις, cơ sở) - tập hợp như vậy vectơ Trong không gian véc tơ rằng bất kỳ vectơ nào của không gian này có thể được biểu diễn duy nhất dưới dạng kết hợp tuyến tính các vectơ từ bộ này - vectơ cơ sở.

Trong trường hợp cơ sở là vô hạn thì cần làm rõ khái niệm “tổ hợp tuyến tính”. Điều này dẫn đến hai loại định nghĩa chính:

cơ sở Hamel, mà định nghĩa của nó chỉ xét các tổ hợp tuyến tính hữu hạn. Cơ sở Hamel được sử dụng chủ yếu trong đại số trừu tượng (đặc biệt là trong đại số tuyến tính).

cơ sở Schauder, định nghĩa của nó cũng xem xét các tổ hợp tuyến tính vô hạn, cụ thể là khai triển trong cấp bậc. Định nghĩa này được sử dụng chủ yếu trong giải tích hàm, đặc biệt đối với không gian Hilbert,

Trong không gian hữu hạn chiều, cả hai loại cơ sở đều trùng nhau.

tọa độ véc tơ là các hệ số của khả năng duy nhất kết hợp tuyến tính nền tảng vectơ trong lựa chọn hệ tọa độ bằng với vectơ đã cho.

đâu là tọa độ của vectơ.

tích vô hướng.

hoạt động trên hai vectơ, kết quả của nó là con số[khi các vectơ được xem xét, các số thường được gọi là vô hướng], không phụ thuộc vào hệ tọa độ và đặc trưng cho độ dài của các vectơ nhân tố và góc giữa họ. Phép toán này tương ứng với phép nhân chiều dài véc tơ x trên chiếu véc tơ y mỗi vectơ x. Hoạt động này thường được coi là giao hoán và tuyến tính cho từng yếu tố.

tích vô hướng hai vectơ bằng tổng các tích có tọa độ tương ứng của chúng:

sản phẩm véc tơ

đây là véc tơ giả, vuông góc mặt phẳng được xây dựng bởi hai yếu tố, đó là kết quả của hoạt động nhị phân"phép nhân véc tơ" kết thúc vectơở chế độ 3D không gian euclide. Tích vector không có thuộc tính tính giao hoán và tính kết hợp(Là phản giao hoán) và ngược lại với tích vô hướng của vectơ, là một véc tơ. Được sử dụng rộng rãi trong nhiều ứng dụng kỹ thuật và vật lý. Ví dụ, động lượng góc và lực Lorentzđược viết dưới dạng toán học dưới dạng tích véc tơ. Tích chéo rất hữu ích để "đo" độ vuông góc của các vectơ - mô đun của tích chéo của hai vectơ bằng tích các mô đun của chúng nếu chúng vuông góc và giảm xuống 0 nếu các vectơ song song hoặc phản song song.

sản phẩm véc tơ hai vectơ có thể được tính bằng cách sử dụng bản ngã ma trận

sản phẩm hỗn hợp

sản phẩm hỗn hợp vectơ -tích vô hướng véc tơ trên sản phẩm véc tơ vectơ và:

Đôi khi nó được gọi là tích ba vô hướng vectơ, rõ ràng là do thực tế là kết quả là vô hướng(chính xác hơn - giả vô hướng).

Ý nghĩa hình học: Mô đun của sản phẩm hỗn hợp bằng số với thể tích song song giáo dục vectơ .sản phẩm hỗn hợp ba vectơ có thể được tìm thấy thông qua định thức

Máy bay trong không gian

chiếc máy bay - bề mặt đại số thứ tự đầu tiên: trong Hệ tọa độ Descartes máy bay có thể được thiết lập phương trình mức độ đầu tiên.

Một số tính chất đặc trưng của mặt phẳng

Chiếc máy bay - mặt, chứa hoàn toàn mỗi thẳng thắn, kết nối bất kỳ điểm;

Hai mặt phẳng hoặc song song hoặc cắt nhau theo một đường thẳng.

Đường thẳng hoặc song song với mặt phẳng hoặc cắt nó tại một điểm hoặc nằm trên mặt phẳng.

Hai đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.

Hai mặt phẳng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.

Tương tự bộ phận và khoảng thời gian, mặt phẳng không chứa điểm cực trị có thể gọi là mặt phẳng khoảng, hay mặt phẳng mở.

Phương trình tổng quát (đầy đủ) của mặt phẳng

trong đó và là các hằng số, đồng thời chúng không bằng 0; Trong véc tơ hình thức:

đâu là vectơ bán kính của điểm, vectơ vuông góc với mặt phẳng (vectơ pháp tuyến). hướng dẫncosin vectơ:

Để hiển thị chính xác các quy luật tự nhiên trong vật lý, cần có các công cụ toán học thích hợp.

Trong hình học và vật lý, có những đại lượng được đặc trưng bởi cả giá trị số và hướng.

Nên biểu diễn chúng dưới dạng các phân đoạn được định hướng hoặc vectơ.

Các giá trị như vậy có phần đầu (được biểu thị bằng dấu chấm) và phần cuối, được biểu thị bằng mũi tên. Độ dài của đoạn được gọi là (chiều dài).

tốc độ, vận tốc;
sự tăng tốc;
xung;
sức mạnh;
khoảng khăc;
sức mạnh;
di chuyển;
cường độ trường, v.v.

tọa độ mặt phẳng

Hãy xác định một đoạn trên mặt phẳng hướng từ điểm A(x1,y1) đến điểm B(x2,y2). Tọa độ a(a1, a2) của nó là các số a1=x2-x1, a2=y2-y1.

Mô-đun được tính bằng định lý Pythagore:

Vectơ không có điểm đầu và điểm cuối. Tọa độ và độ dài là 0.

Tổng các vectơ

Hiện hữu một số quy tắc để tính toán số tiền

quy tắc tam giác;
quy tắc đa giác;
quy tắc hình bình hành.

Quy tắc cộng vectơ có thể được giải thích bằng cách sử dụng các bài toán từ động lực học và cơ học. Xem xét phép cộng các vectơ theo quy tắc tam giác bằng cách sử dụng ví dụ về các lực tác dụng lên một vật thể điểm và các chuyển vị liên tiếp của vật thể trong không gian.

Giả sử cơ thể di chuyển đầu tiên từ điểm A đến điểm B, và sau đó từ điểm B đến điểm C. Độ dời cuối cùng là một đoạn có hướng từ điểm đầu A đến điểm cuối C.

Kết quả của hai chuyển vị hoặc tổng của chúng s = s1+ s2. Một phương pháp như vậy được gọi là quy tắc tam giác.

Các mũi tên xếp thành một chuỗi lần lượt, nếu cần, thực hiện chuyển song song. Phân đoạn tổng đóng trình tự. Phần đầu của nó trùng với phần đầu của phần đầu, phần cuối trùng với phần cuối của phần cuối. Trong sách giáo khoa nước ngoài, phương pháp này được gọi là "từ đầu đến đuôi".

Tọa độ của kết quả c = a + b bằng tổng các tọa độ tương ứng của các số hạng c (a1+ b1, a2+ b2).

Tổng các vectơ song song (thẳng hàng) cũng được xác định theo quy tắc tam giác.

Nếu hai đoạn ban đầu vuông góc với nhau, thì kết quả của phép cộng của chúng là cạnh huyền của một tam giác vuông được xây dựng trên chúng. Độ dài của tổng được tính bằng định lý Pythagore.

ví dụ:

Tốc độ của một cơ thể ném theo phương ngang vuông góc gia tốc rơi tự do.
Với chuyển động quay đều, vận tốc thẳng của vật vuông góc với gia tốc hướng tâm.

Thêm ba hoặc nhiều vectơ sản xuất theo quy tắc đa giác, "từ đầu đến đuôi"

Giả sử rằng các lực F1 và F2 được áp dụng cho một vật thể điểm.

Kinh nghiệm chứng minh rằng tác dụng tổng hợp của các lực này tương đương với tác dụng của một lực hướng theo đường chéo dọc theo hình bình hành dựng trên chúng. Lực tổng hợp này bằng tổng của chúng F \u003d F1 + F 2. Phương pháp cộng trên được gọi là quy tắc hình bình hành.

Độ dài trong trường hợp này được tính theo công thức

Trong đó θ là góc giữa các cạnh.

Quy tắc tam giác và hình bình hành có thể hoán đổi cho nhau. Trong vật lý, quy tắc hình bình hành thường được sử dụng nhiều hơn, vì các đại lượng có hướng của lực, vận tốc và gia tốc thường được áp dụng cho một vật thể. Trong hệ tọa độ 3D, quy tắc hộp được áp dụng.

yếu tố đại số

Phép cộng là một phép toán nhị phân: mỗi lần bạn chỉ có thể thêm một cặp.
tính giao hoán: tổng từ hoán vị của các số hạng không đổi a + b = b + a. Điều này rõ ràng từ quy tắc hình bình hành: đường chéo luôn bằng nhau.
tính liên kết: tổng của một số vectơ tùy ý không phụ thuộc vào thứ tự cộng chúng (a + b) + c = a + (b + c).
Tính tổng với một vectơ 0 không thay đổi hướng hoặc độ dài: a +0= a .
Với mỗi vectơ có đối nghịch. Tổng của chúng bằng 0 a +(-a)=0 và độ dài bằng nhau.

Trừ một đoạn có hướng tương đương với việc thêm đoạn ngược lại. Tọa độ bằng hiệu của các tọa độ tương ứng. chiều dài là:

Đối với phép trừ, bạn có thể sử dụng quy tắc tam giác đã sửa đổi.

Nhân với một vô hướng

Kết quả của phép nhân với một vô hướng là một vectơ.

Các tọa độ sản phẩm thu được bằng cách nhân với một vô hướng các tọa độ tương ứng của nguồn.

Vô hướng là một giá trị số có dấu cộng hoặc dấu trừ, lớn hơn hoặc nhỏ hơn một.

Ví dụ về vô hướng trong vật lý:

trọng lượng;
thời gian;
sạc pin;
chiều dài;
Quảng trường;
âm lượng;
Tỉ trọng;
nhiệt độ;
năng lượng.

ví dụ:

Độ dời của một vật chuyển động thẳng đều bằng tích của thời gian và vận tốc s = vt.
Động lượng của một vật thể là khối lượng nhân với tốc độ p = mv.
Định luật II Newton. Tích của khối lượng cơ thể và gia tốc là đính kèm lực tổng hợp ma=F.
Lực tác dụng lên hạt mang điện trong điện trường tỉ lệ thuận với điện tích F = qE.

Tích vô hướng của các đoạn có hướng a và b bằng tích của các mô-đun và cosin của góc giữa chúng. Tích vô hướng của các đoạn vuông góc với nhau bằng không.