Phân số thập phân. Cách giải số thập phân "Phân số" là gì

Trong số nhiều phân số được tìm thấy trong số học, những phân số có mẫu số là 10, 100, 1000 - nói chung, bất kỳ lũy thừa nào của 10 - đều đáng được quan tâm đặc biệt. Những phân số này có tên và ký hiệu đặc biệt.

Số thập phân là bất kỳ phân số nào có mẫu số là lũy thừa của mười.

Ví dụ về phân số thập phân:

Tại sao lại cần thiết phải tách các phân số như vậy? Tại sao họ cần hình thức ghi âm của riêng mình? Có ít nhất ba lý do cho việc này:

1. Số thập phân dễ so sánh hơn nhiều. Hãy nhớ: để so sánh các phân số thông thường, bạn cần trừ chúng với nhau và đặc biệt, quy các phân số về mẫu số chung. Trong số thập phân không có yêu cầu nào như thế này;
2. Giảm tính toán. Các số thập phân cộng và nhân theo quy tắc riêng của chúng và chỉ cần thực hành một chút, bạn sẽ có thể làm việc với chúng nhanh hơn nhiều so với phân số thông thường;
3. Dễ dàng ghi âm. Không giống như phân số thông thường, số thập phân được viết trên một dòng mà không làm mất đi tính rõ ràng.

Hầu hết các máy tính cũng đưa ra câu trả lời ở dạng số thập phân. Trong một số trường hợp, định dạng ghi khác có thể gây ra sự cố. Ví dụ: điều gì sẽ xảy ra nếu bạn yêu cầu tiền lẻ trong cửa hàng với số tiền 2/3 rúp :)

Quy tắc viết phân số thập phân

Ưu điểm chính của phân số thập phân là ký hiệu thuận tiện và trực quan. Cụ thể là:

Ký hiệu thập phân là một dạng viết phân số thập phân trong đó phần nguyên được phân tách khỏi phần phân số bằng dấu chấm thông thường hoặc dấu phẩy. Trong trường hợp này, dấu phân cách (dấu chấm hoặc dấu phẩy) được gọi là dấu thập phân.

Ví dụ: 0,3 (đọc: “điểm 0, 3 phần mười”); 7,25 (7 toàn bộ, 25 phần trăm); 3.049 (3 nguyên, 49 phần nghìn). Tất cả các ví dụ được lấy từ định nghĩa trước đó.

Trong văn bản, dấu phẩy thường được sử dụng làm dấu thập phân. Ở đây và hơn thế nữa trên toàn bộ trang web, dấu phẩy cũng sẽ được sử dụng.

Để viết một phân số thập phân tùy ý ở dạng này, bạn cần làm theo ba bước đơn giản:

1. Viết riêng tử số;
2. Dịch dấu thập phân sang trái nhiều vị trí bằng số 0 trong mẫu số. Giả sử ban đầu dấu thập phân ở bên phải tất cả các chữ số;
3. Nếu dấu thập phân đã di chuyển và sau dấu thập phân có số 0 ở cuối mục thì phải gạch bỏ chúng.

Điều đó xảy ra là ở bước thứ hai, tử số không có đủ chữ số để hoàn thành phép dịch. Trong trường hợp này, các vị trí còn thiếu được lấp đầy bằng số không. Và nói chung, ở bên trái của bất kỳ số nào, bạn có thể gán bất kỳ số 0 nào mà không gây hại cho sức khỏe của mình. Nó xấu nhưng đôi khi lại hữu ích.

Thoạt nhìn, thuật toán này có vẻ khá phức tạp. Trên thực tế, mọi thứ đều rất đơn giản - bạn chỉ cần luyện tập một chút. Hãy xem các ví dụ:

Nhiệm vụ. Với mỗi phân số, hãy chỉ ra ký hiệu thập phân của nó:

Tử số của phân số thứ nhất là: 73. Chúng ta dịch dấu thập phân đi một vị trí (vì mẫu số là 10) - ta được 7,3.

Tử số của phân số thứ hai: 9. Chúng ta dịch dấu thập phân đi hai vị trí (vì mẫu số là 100) - chúng ta nhận được 0,09. Tôi phải thêm một số 0 sau dấu thập phân và một số nữa trước nó để không để lại một mục lạ như “.09”.

Tử số của phân số thứ ba là: 10029. Chúng ta dịch dấu thập phân đi ba chữ số (vì mẫu số là 1000) - chúng ta nhận được 10,029.

Tử số của phân số cuối cùng: 10500. Một lần nữa chúng ta dịch điểm theo ba chữ số - chúng ta nhận được 10.500. Có thêm số 0 ở cuối số. Gạch bỏ chúng và chúng tôi nhận được 10,5.

Hãy chú ý đến hai ví dụ cuối: số 10,029 và 10,5. Theo quy định, các số 0 ở bên phải phải bị gạch bỏ, như đã làm trong ví dụ trước. Tuy nhiên, bạn không bao giờ nên làm điều này với các số 0 bên trong một số (được bao quanh bởi các số khác). Đó là lý do tại sao chúng ta có 10,029 và 10,5 chứ không phải 1,29 và 1,5.

Như vậy chúng ta đã tìm ra định nghĩa và dạng viết phân số thập phân. Bây giờ chúng ta hãy tìm hiểu cách chuyển đổi phân số thông thường thành số thập phân - và ngược lại.

Chuyển đổi từ phân số sang số thập phân

Hãy xem xét một phân số số đơn giản có dạng a /b. Bạn có thể sử dụng thuộc tính cơ bản của một phân số và nhân tử số và mẫu số với một số sao cho phần dưới là lũy thừa của mười. Nhưng trước khi bạn làm điều đó, hãy đọc những điều sau:

Có những mẫu số không thể rút gọn thành lũy thừa mười. Học cách nhận biết các phân số như vậy vì chúng không thể xử lý được chúng bằng thuật toán được mô tả bên dưới.

Đó là nó. Chà, làm thế nào để bạn hiểu liệu mẫu số có bị giảm xuống lũy ​​thừa mười hay không?

Câu trả lời rất đơn giản: phân tích mẫu số thành thừa số nguyên tố. Nếu khai triển chỉ chứa thừa số 2 và 5 thì con số này có thể giảm xuống lũy ​​thừa 10. Nếu có những số khác (3, 7, 11 - bất kỳ số nào), bạn có thể quên lũy thừa của số mười.

Nhiệm vụ. Kiểm tra xem các phân số được chỉ định có thể được biểu diễn dưới dạng số thập phân hay không:

Hãy viết ra và phân tích mẫu số của các phân số này:

20 = 4 · 5 = 2 2 · 5 - chỉ có số 2 và 5. Do đó, phân số có thể được biểu diễn dưới dạng số thập phân.

12 = 4 · 3 = 2 2 · 3 - có hệ số “bị cấm” 3. Phân số không thể biểu diễn dưới dạng số thập phân.

640 = 8 · 8 · 10 = 2 3 · 2 3 · 2 · 5 = 2 7 · 5. Mọi thứ đều theo thứ tự: không có gì ngoại trừ số 2 và 5. Một phân số có thể được biểu diễn dưới dạng số thập phân.

48 = 6 · 8 = 2 · 3 · 2 3 = 2 4 · 3. Thừa số 3 lại "nổi lên" và không thể biểu diễn dưới dạng phân số thập phân.

Vì vậy, chúng tôi đã sắp xếp mẫu số - bây giờ chúng ta hãy xem toàn bộ thuật toán chuyển sang phân số thập phân:

1. Phân tích mẫu số của phân số ban đầu thành nhân tử và đảm bảo rằng nó thường được biểu diễn dưới dạng số thập phân. Những thứ kia. kiểm tra xem trong khai triển chỉ có thừa số 2 và 5. Nếu không, thuật toán sẽ không hoạt động;
2. Đếm xem có bao nhiêu số hai và số năm trong bản mở rộng (sẽ không có số nào khác ở đó, nhớ không?). Chọn một hệ số bổ sung sao cho số lượng hai và năm bằng nhau.
3. Trên thực tế, nhân tử số và mẫu số của phân số ban đầu với hệ số này - chúng ta sẽ có được biểu diễn mong muốn, tức là mẫu số sẽ là lũy thừa của mười.

Tất nhiên, hệ số bổ sung cũng sẽ chỉ bị phân hủy thành hai và năm. Đồng thời, để không làm phức tạp cuộc sống, bạn nên chọn hệ số nhân nhỏ nhất có thể.

Và một điều nữa: nếu phân số ban đầu chứa một phần nguyên, hãy nhớ chuyển phân số này thành phân số không chính xác - và chỉ sau đó mới áp dụng thuật toán được mô tả.

Nhiệm vụ. Chuyển các phân số này thành số thập phân:

Hãy phân tích mẫu số của phân số thứ nhất thành nhân tử: 4 = 2 · 2 = 2 2 . Vì vậy, phân số có thể được biểu diễn dưới dạng số thập phân. Việc khai triển chứa hai số hai chứ không phải một số năm, do đó hệ số bổ sung là 5 2 = 25. Với nó, số hai và số năm sẽ bằng nhau. Chúng ta có:

Bây giờ chúng ta hãy nhìn vào phân số thứ hai. Để làm điều này, hãy lưu ý rằng 24 = 3 8 = 3 2 3 - có một bộ ba trong khai triển, do đó phân số không thể được biểu diễn dưới dạng số thập phân.

Hai phân số cuối cùng có mẫu số lần lượt là 5 (số nguyên tố) và 20 = 4 · 5 = 2 2 · 5 - chỉ có số hai và số năm hiện diện ở mọi nơi. Hơn nữa, trong trường hợp đầu tiên, “để có được hạnh phúc trọn vẹn”, hệ số 2 là không đủ, và trong trường hợp thứ hai - 5. Chúng ta nhận được:

Chuyển đổi từ số thập phân sang phân số chung

Việc chuyển đổi ngược lại - từ ký hiệu thập phân sang ký hiệu thông thường - đơn giản hơn nhiều. Không có hạn chế hoặc kiểm tra đặc biệt nào ở đây, vì vậy bạn luôn có thể chuyển đổi phân số thập phân thành phân số “hai tầng” cổ điển.

Thuật toán dịch thuật như sau:

1. Gạch bỏ tất cả các số 0 ở bên trái của số thập phân, cũng như dấu thập phân. Đây sẽ là tử số của phân số mong muốn. Điều chính là không lạm dụng nó và không gạch bỏ các số 0 bên trong được bao quanh bởi các số khác;
2. Đếm xem sau dấu thập phân có bao nhiêu chữ số thập phân. Lấy số 1 và thêm số 0 vào bên phải bằng số ký tự bạn đếm được. Đây sẽ là mẫu số;
3. Thực tế, hãy viết phân số có tử số và mẫu số mà chúng ta vừa tìm được. Nếu có thể, hãy giảm nó. Nếu phân số ban đầu chứa một phần nguyên thì bây giờ chúng ta sẽ nhận được một phân số không chính xác, rất thuận tiện cho việc tính toán tiếp theo.

Nhiệm vụ. Chuyển đổi phân số thập phân thành phân số thông thường: 0,008; 3.107; 2,25; 7,2008.

Gạch bỏ các số 0 ở bên trái và dấu phẩy - chúng ta nhận được các số sau (đây sẽ là tử số): 8; 3107; 225; 72008.

Trong phân số thứ nhất và thứ hai có 3 chữ số thập phân, ở phân số thứ hai - 2 và ở phân số thứ ba - có tới 4 chữ số thập phân. Ta được mẫu số: 1000; 1000; 100; 10000.

Cuối cùng, hãy kết hợp tử số và mẫu số thành phân số thông thường:

Như có thể thấy từ các ví dụ, phân số thu được thường có thể được giảm đi. Hãy để tôi lưu ý một lần nữa rằng bất kỳ phân số thập phân nào cũng có thể được biểu diễn dưới dạng phân số thông thường. Việc chuyển đổi ngược lại có thể không phải lúc nào cũng có thể thực hiện được.

Máy tính phân số trực tuyến cho phép bạn thực hiện các phép tính số học đơn giản với phân số: cộng phân số, trừ phân số, nhân phân số, chia phân số. Để thực hiện phép tính, hãy điền vào các trường tương ứng với tử số và mẫu số của hai phân số.

Phân số trong toán học là một số đại diện cho một phần của một đơn vị hoặc một số phần của nó.

Một phân số chung được viết dưới dạng hai số, thường được phân cách bằng một đường ngang biểu thị dấu chia. Số phía trên dòng được gọi là tử số. Số bên dưới dòng được gọi là mẫu số. Mẫu số của một phân số cho biết số phần bằng nhau mà toàn bộ được chia thành, và tử số của phân số cho biết số phần bằng nhau của toàn bộ được lấy.

Phân số có thể đều đặn hoặc không chính xác.

• Một phân số có tử số nhỏ hơn mẫu số được gọi là phân số thực sự.
• Phân số không đúng là phân số có tử số lớn hơn mẫu số.

Phân số hỗn số là phân số được viết dưới dạng số nguyên và phân số thích hợp và được hiểu là tổng của số này và phần phân số. Theo đó, phân số không có phần nguyên gọi là phân số tối giản. Bất kỳ phân số hỗn hợp nào cũng có thể được chuyển đổi thành phân số không chính xác.

Để chuyển một phân số hỗn số thành một phân số chung, bạn cần cộng tích của cả phần và mẫu số với tử số của phân số đó:

Cách chuyển phân số chung thành hỗn số

Để chuyển một phân số thường thành một phân số hỗn hợp, bạn phải:

1. Chia tử số của một phân số cho mẫu số của nó
2. Kết quả của phép chia sẽ là toàn bộ phần
3. Số dư của bộ phận sẽ là tử số

Cách chuyển một phân số thành số thập phân

Để chuyển một phân số thành số thập phân, bạn cần chia tử số cho mẫu số của nó.

Để chuyển một phân số thập phân thành phân số thông thường, bạn phải:

Cách chuyển một phân số thành tỷ lệ phần trăm

Để chuyển một phân số chung hoặc hỗn số thành phần trăm, bạn cần chuyển nó thành phân số thập phân và nhân với 100.

Cách chuyển phần trăm thành phân số

Để chuyển phần trăm thành phân số, bạn cần lấy phần thập phân từ phần trăm (chia cho 100), sau đó chuyển phần thập phân thu được thành phân số thông thường.

Cộng phân số

Thuật toán cộng hai phân số như sau:

1. Thực hiện phép cộng các phân số bằng cách cộng các tử số của chúng.

Trừ phân số

Thuật toán trừ hai phân số:

1. Chuyển các phân số hỗn hợp thành phân số thường (bỏ phần nguyên).
2. Rút gọn các phân số về mẫu số chung. Để làm điều này, bạn cần nhân tử số và mẫu số của phân số thứ nhất với mẫu số của phân số thứ hai, đồng thời nhân tử số và mẫu số của phân số thứ hai với mẫu số của phân số thứ nhất.
3. Trừ một phân số cho một phân số khác bằng cách lấy tử số của phân số thứ nhất trừ tử số của phân số thứ hai.
4. Tìm ước chung lớn nhất (GCD) của tử số và mẫu số rồi rút gọn phân số bằng cách chia tử số và mẫu số cho GCD.
5. Nếu tử số của phân số cuối cùng lớn hơn mẫu số thì chọn phần nguyên.

Nhân phân số

Thuật toán nhân hai phân số:

1. Chuyển các phân số hỗn hợp thành phân số thường (bỏ phần nguyên).
2. Tìm ước chung lớn nhất (GCD) của tử số và mẫu số rồi rút gọn phân số bằng cách chia tử số và mẫu số cho GCD.
3. Nếu tử số của phân số cuối cùng lớn hơn mẫu số thì chọn phần nguyên.

Chia phân số

Thuật toán chia hai phân số:

1. Chuyển các phân số hỗn hợp thành phân số thường (bỏ phần nguyên).
2. Để chia phân số, bạn cần biến đổi phân số thứ hai bằng cách hoán đổi tử số và mẫu số, sau đó nhân các phân số đó.
3. Nhân tử số của phân số thứ nhất với tử số của phân số thứ hai và mẫu số của phân số thứ nhất với mẫu số của phân số thứ hai.
4. Tìm ước chung lớn nhất (GCD) của tử số và mẫu số rồi rút gọn phân số bằng cách chia tử số và mẫu số cho GCD.
5. Nếu tử số của phân số cuối cùng lớn hơn mẫu số thì chọn phần nguyên.

Máy tính và bộ chuyển đổi trực tuyến:

Việc chia số thập phân thành một cột khó hơn một chút so với việc chia số nguyên do dấu phẩy động và việc phải chia phần dư khiến công việc càng trở nên khó khăn hơn. Do đó, nếu bạn muốn đơn giản hóa quy trình này hoặc kiểm tra kết quả của mình, bạn có thể sử dụng máy tính trực tuyến không chỉ hiển thị câu trả lời mà còn hiển thị toàn bộ quy trình giải.

Có một số lượng lớn các dịch vụ trực tuyến phù hợp cho mục đích này, nhưng hầu như tất cả chúng đều khác nhau rất ít. Hôm nay chúng tôi đã chuẩn bị cho bạn hai phương án tính toán khác nhau và sau khi đọc hướng dẫn, hãy chọn phương án phù hợp nhất.

Phương pháp 1: Trường học trực tuyến

Trang web OnlineMSchool được thiết kế để học toán. Giờ đây, nó không chỉ chứa nhiều thông tin, bài học và nhiệm vụ hữu ích mà còn chứa các máy tính tích hợp, một trong số đó chúng ta sẽ sử dụng ngày hôm nay. Việc chia thành một cột các phân số thập phân xảy ra như sau:

1. Mở trang chính của website OnlineMSchool và vào phần "Máy tính".



2. Dưới đây bạn sẽ tìm thấy các dịch vụ cho lý thuyết số. Chọn ở đó "Phân chia cột" hoặc "Chia cột với phần dư".



3. Trước hết, hãy chú ý đến hướng dẫn sử dụng được trình bày trong tab tương ứng. Chúng tôi khuyên bạn nên làm quen với nó.



4. Bây giờ quay trở lại "Máy tính". Ở đây bạn nên kiểm tra kỹ xem bạn đã chọn đúng thao tác chưa. Nếu không, hãy thay đổi nó bằng menu bật lên.



5. Nhập hai số, sử dụng dấu chấm để biểu thị toàn bộ phần của phân số, đồng thời đánh dấu vào ô nếu bạn cần chia phần còn lại.



6. Để có lời giải, hãy nhấp chuột trái vào dấu bằng.



7. Bạn sẽ được cung cấp câu trả lời chi tiết từng bước để có được con số cuối cùng. Làm quen với nó và bạn có thể chuyển sang các phép tính tiếp theo.

Trước khi chia phần dư, hãy nghiên cứu kỹ lời giải bài toán. Thường thì điều này là không cần thiết, nếu không câu trả lời có thể bị coi là sai.

Chỉ trong bảy bước đơn giản, chúng ta đã có thể chia số thập phân bằng một công cụ nhỏ trên OnlineMSchool.

Cách 2: Rytex

Dịch vụ trực tuyến Rytex cũng giúp học toán bằng cách cung cấp các ví dụ và lý thuyết. Tuy nhiên, ngày nay chúng tôi quan tâm đến máy tính có trong đó, quá trình chuyển sang làm việc với nó được thực hiện như sau:

Như bạn có thể thấy, các dịch vụ mà chúng tôi đã đánh giá trên thực tế không khác nhau, có lẽ chỉ ngoại trừ về hình thức. Do đó, chúng tôi có thể kết luận rằng việc bạn sử dụng tài nguyên web nào không có gì khác biệt, tất cả các máy tính đều tính toán chính xác và cung cấp câu trả lời chi tiết theo ví dụ của bạn.

Chia cho một phân số thập phân được rút gọn thành chia cho một số tự nhiên.

Quy tắc chia một số cho một phân số thập phân

Để chia một số cho một phân số thập phân, bạn cần di chuyển dấu thập phân ở cả số bị chia và số chia theo số chữ số sang phải bằng số có trong số chia sau dấu thập phân. Sau đó, chia cho một số tự nhiên.

Ví dụ.

Chia cho phân số thập phân:

Để chia cho một số thập phân, bạn cần di chuyển dấu thập phân trong cả số bị chia và số chia theo số chữ số sang phải bằng số sau dấu thập phân trong số chia, tức là bằng một chữ số. Chúng ta nhận được: 35.1: 1.8 = 351: 18. Bây giờ chúng ta thực hiện phép chia với một góc. Kết quả ta được: 35,1: 1,8 = 19,5.

2) 14,76: 3,6

Để chia các phân số thập phân, ở cả số bị chia và số chia, chúng ta chuyển dấu thập phân sang đúng một vị trí: 14,76: 3,6 = 147,6: 36. Bây giờ chúng ta thực hiện một số tự nhiên. Kết quả: 14,76: 3,6 = 4,1.

Để chia một số tự nhiên cho một phân số thập phân, bạn cần di chuyển cả số bị chia và số chia sang phải nhiều vị trí bằng số có trên số chia sau dấu thập phân. Vì dấu phẩy không được viết trong số chia trong trường hợp này nên chúng ta điền số ký tự còn thiếu bằng số 0: 70: 1,75 = 7000: 175. Chia các số tự nhiên thu được bằng một góc: 70: 1,75 = 7000: 175 = 40 .

4) 0,1218: 0,058

Để chia một phân số thập phân cho một phân số khác, chúng ta di chuyển dấu thập phân sang phải trong cả số bị chia và số chia với số chữ số bằng số có trong số chia sau dấu thập phân, tức là ba chữ số thập phân. Do đó, 0,1218: 0,058 = 121,8: 58. Chia cho phân số thập phân được thay thế bằng chia cho số tự nhiên. Chúng tôi chia sẻ một góc. Ta có: 0,1218: 0,058 = 121,8: 58 = 2,1.

5) 0,0456: 3,8

Việc sử dụng các phương trình rất phổ biến trong cuộc sống của chúng ta. Chúng được sử dụng trong nhiều tính toán, xây dựng công trình và thậm chí cả thể thao. Con người đã sử dụng các phương trình từ xa xưa và kể từ đó việc sử dụng chúng ngày càng tăng lên. Phương trình tuyến tính với số thập phân được giải theo cách tương tự như nhiều phương trình khác, nhưng bạn cần bắt đầu giải chúng bằng cách rút gọn phương trình và loại bỏ số thập phân.

Giả sử chúng ta được cho một phương trình có dạng sau:

Phương trình này có thể được giải theo hai cách khác nhau.

Phương pháp số 1:

Chúng ta bắt đầu lời giải bằng cách đơn giản hóa phương trình bằng cách mở dấu ngoặc đơn và vì chúng ta có một số ở phía trước dấu ngoặc, nên chúng ta nhân số này với mỗi số hạng trong ngoặc:

Bây giờ phương trình của chúng ta có dạng tuyến tính, nhờ đó chúng ta thực hiện việc chuyển các ẩn số theo một hướng và các số nguyên theo hướng khác:

\[ - 7,2x + 5,2x = 1,7 - 14,4 - 4,3\]

Chia 2 phần cho số đứng trước \

\[ - 2x = - 17\]

Trả lời: \

Phương pháp số 2:

Trong phương pháp này, nhân bên trái và bên phải với 10:

Đây là phương trình tuyến tính có thể giải bằng cách tương tự với phương pháp 1:

\[ - 72x + 52x = 17 - 144 - 43\]

\[ - 20x = - 170\]

Trả lời: \

Tôi có thể giải phương trình thập phân trực tuyến ở đâu?

Bạn có thể giải phương trình trên trang web của chúng tôi https://site. Bộ giải trực tuyến miễn phí sẽ cho phép bạn giải các phương trình trực tuyến có độ phức tạp bất kỳ chỉ trong vài giây. Tất cả những gì bạn cần làm chỉ đơn giản là nhập dữ liệu của bạn vào bộ giải. Bạn cũng có thể xem video hướng dẫn và tìm hiểu cách giải phương trình trên trang web của chúng tôi. Và nếu bạn vẫn còn thắc mắc, bạn có thể hỏi họ trong nhóm VKontakte của chúng tôi http://vk.com/pocketteacher. Hãy tham gia nhóm của chúng tôi, chúng tôi luôn sẵn lòng hỗ trợ bạn.