tóm tắt các bài thuyết trình khác

“Hình học “Diện tích hình thang” - Hãy nghĩ về nó. Diện tích của một hình thang. AH=. 1. AD = 4 cm, đáy. Tìm diện tích hình thang ABCD. Tìm diện tích hình thang hình chữ nhật. Hình học. Lặp lại chứng minh định lý. Chia đa giác thành các hình tam giác. Một nhiệm vụ có giải pháp.

“Xác định sự đối xứng trục” - Dựng điểm A” và B”. Đối xứng trục. Nhân vật. Thiếu tọa độ. Xây dựng một phân đoạn. Đoạn đường. Trục đối xứng. Sự đối xứng trong thơ. Xây dựng một hình tam giác. Các điểm nằm trên cùng một đường vuông góc. Xây dựng một điểm. Đối diện. Hình tam giác. Xây dựng các hình tam giác. Vẽ một điểm. Vẽ các điểm. Các hình có một trục đối xứng. Thẳng. Hình có hai trục đối xứng. Tính đối xứng trong tự nhiên.

“Tứ giác, dấu hiệu và tính chất của chúng” - Trắc nghiệm. Các góc của một hình thoi. Một hình chữ nhật có tất cả các cạnh bằng nhau. Các loại hình tứ giác. Giới thiệu các loại hình tứ giác. Tứ giác có các đỉnh là trung điểm của các cạnh. Tứ giác. Tứ giác, dấu hiệu và tính chất của chúng. Hình thang. Hình bình hành. Tính chất của hình bình hành. Đường chéo. Hai tam giác bằng nhau nào có thể ghép thành hình vuông? Hình chữ nhật. Quảng trường. Các loại hình thang.

“Định lý góc nội tiếp” - Học bài mới. Các vòng tròn giao nhau. Trả lời. Cập nhật kiến ​​thức cho học sinh. Hãy tự kiểm tra. Bán kính của một vòng tròn. Câu trả lời chính xác. Bán kính của hình tròn là 4 cm Gia cố của vật liệu đã nghiên cứu. Góc nhọn. Tìm góc giữa các dây. Tam giác. Định lý góc nội tiếp. Khái niệm về góc nội tiếp. Tìm góc giữa chúng. Góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn có tên là gì? Giải pháp. Đang cập nhật kiến ​​thức.

“Dựng tiếp tuyến của đường tròn” - Circle. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn. Vòng tròn và dòng. Đường kính. Điểm thông dụng. Dây nhau. Giải pháp. Một đường tròn và một đường thẳng có một điểm chung. Tiếp tuyến với một đường tròn. Sự lặp lại. Định lý về các đoạn tiếp tuyến.

“Hình học “Tam giác đồng dạng” - Hai tam giác gọi là đồng dạng. Các giá trị sin, cosin và tang cho các góc 30°, 45°, 60°. Tìm diện tích của một tam giác vuông cân. Định lý về tỉ số diện tích của các tam giác đồng dạng. Các tam giác tương tự. Dấu hiệu thứ hai về sự giống nhau của hình tam giác. Sự tiếp tục của các bên. Các giá trị của sin, cos và tang. Các phân đoạn tỷ lệ. Hai cạnh của tam giác được nối với nhau bằng một đoạn không song song với cạnh thứ ba.

Chương này được dành cho việc phát triển một bộ máy hình học vector. Sử dụng vectơ, bạn có thể chứng minh các định lý và giải các bài toán hình học. Ví dụ về việc sử dụng vectơ như vậy được đưa ra trong chương này. Nhưng việc nghiên cứu vectơ cũng rất hữu ích vì chúng được sử dụng rộng rãi trong vật lý để mô tả các đại lượng vật lý khác nhau, chẳng hạn như tốc độ, gia tốc, lực.

Nhiều đại lượng vật lý, chẳng hạn như lực, độ dịch chuyển của một điểm vật chất, tốc độ, không chỉ được đặc trưng bởi giá trị số mà còn bởi hướng của chúng trong không gian. Những đại lượng vật lý như vậy được gọi là số lượng vector(hoặc nói ngắn gọn vectơ).

Hãy xem một ví dụ. Cho một lực 8 N tác dụng lên vật, trong hình, lực được biểu thị bằng một đoạn có mũi tên (Hình 240). Mũi tên chỉ hướng của lực và độ dài của đoạn tương ứng với trị số của lực trên thang đo đã chọn. Vì vậy, trong Hình 240, lực 1 N được mô tả bằng một đoạn dài 0,6 cm, do đó lực 8 N được mô tả bằng một đoạn dài 4,8 cm.

Cơm. 240

Trừu tượng từ các tính chất cụ thể của đại lượng vectơ vật lý, chúng ta đi đến khái niệm hình học của vectơ.

Hãy xem xét một phân đoạn tùy ý. Đầu của nó còn được gọi là điểm biên của đoạn.

Bạn có thể chỉ định hai hướng trên một đoạn: từ điểm ranh giới này đến điểm ranh giới khác và ngược lại.

Để chọn một trong các hướng này, chúng ta gọi một điểm biên của đoạn sự bắt đầu của phân đoạn, và điều khác - phần cuối của đoạn và chúng ta sẽ giả định rằng đoạn này được định hướng từ đầu đến cuối.

Sự định nghĩa

Trong các hình ảnh, vectơ được mô tả dưới dạng một đoạn có mũi tên chỉ hướng của vectơ. Ví dụ, các vectơ được biểu thị bằng hai chữ cái Latinh viết hoa với một mũi tên phía trên chúng. Chữ cái đầu tiên biểu thị phần đầu của vectơ, chữ cái thứ hai biểu thị phần cuối (Hình 242).

Cơm. 242

Hình 243a thể hiện các vectơ các điểm A, C, E là điểm bắt đầu của các vectơ này và B, D, F là điểm kết thúc của chúng. Các vectơ thường được biểu thị bằng một chữ cái Latinh viết thường có mũi tên phía trên nó: (Hình 243, b).

Cơm. 243

Với những mục đích xa hơn, nên đồng ý rằng bất kỳ điểm nào trên mặt phẳng cũng là một vectơ. Trong trường hợp này, vectơ được gọi là số không. Điểm bắt đầu của vectơ 0 trùng với điểm cuối của nó. Trong hình, một vectơ như vậy được biểu diễn bằng một điểm. Ví dụ, nếu điểm đại diện cho vectơ 0 được ký hiệu bằng chữ M, thì vectơ 0 này có thể được ký hiệu như sau: (Hình 243, a). Vectơ 0 còn được ký hiệu bằng ký hiệu Có 243 vectơ trong hình là khác 0 và vectơ bằng 0.

Độ dài hoặc mô đun của vectơ khác 0 là độ dài của đoạn AB. Độ dài của vectơ (vectơ) được ký hiệu như sau: . Độ dài của vectơ 0 được coi là bằng 0:

Độ dài của các vectơ thể hiện trên các hình 243, a và 243, 6 như sau:

(mỗi ô trong Hình 243 có một cạnh bằng đơn vị đo của các đoạn).

Đẳng thức của vectơ

Trước khi xác định các vectơ bằng nhau, chúng ta hãy xem một ví dụ. Chúng ta hãy xem xét chuyển động của một vật trong đó tất cả các điểm của nó chuyển động với cùng tốc độ và cùng hướng.

Tốc độ của mỗi điểm M của vật thể là một đại lượng vectơ, do đó nó có thể được biểu diễn bằng một đoạn có hướng, điểm đầu của đoạn này trùng với điểm M (Hình 244). Vì tất cả các điểm của cơ thể đều chuyển động với cùng một tốc độ, nên tất cả các đoạn có hướng mô tả tốc độ của các điểm này đều có cùng hướng và độ dài của chúng bằng nhau.

Cơm. 244

Ví dụ này cho chúng ta biết cách xác định xem các vectơ có bằng nhau hay không.

Đầu tiên chúng ta giới thiệu khái niệm vectơ cộng tuyến.

Các vectơ khác 0 được gọi là thẳng hàng, nếu chúng nằm trên cùng một đường thẳng hoặc trên các đường thẳng song song; vectơ 0 được coi là thẳng hàng với bất kỳ vectơ nào.

Trong Hình 245, các vectơ (vectơ số 0) thẳng hàng, và các vectơ và cũng không thẳng hàng.

Cơm. 245

Nếu hai vectơ khác 0 thẳng hàng thì chúng có thể cùng hướng hoặc ngược chiều. Trong trường hợp đầu tiên, các vectơ và được gọi là đồng đạo diễn, và trong lần thứ hai - hướng ngược lại 1 .

Tính đồng hướng của các vectơ được ký hiệu như sau: Nếu các vectơ có hướng ngược nhau thì được ký hiệu như sau: Hình 245 thể hiện cả hai vectơ cùng hướng và ngược hướng:

Điểm bắt đầu của vectơ 0 trùng với điểm cuối của nó, do đó vectơ 0 không có hướng cụ thể nào. Nói cách khác, bất kỳ hướng nào cũng có thể được coi là hướng của vectơ 0. Chúng ta hãy đồng ý giả sử rằng vectơ 0 là cùng hướng với bất kỳ vectơ nào. Vì vậy, trong hình 245, v.v.

Các vectơ cộng tuyến khác 0 có các tính chất được minh họa trên Hình 246, a - c.




Cơm. 246

Bây giờ chúng ta đưa ra định nghĩa về các vectơ bằng nhau.

Sự định nghĩa

Do đó, các vectơ và bằng nhau nếu . Đẳng thức của vectơ được ký hiệu như sau:

Trì hoãn một vectơ từ một điểm nhất định

Nếu điểm A là điểm bắt đầu của vectơ thì người ta nói rằng vectơ bị trễ từ điểm A(Hình 247). Hãy chứng minh khẳng định sau:

từ bất kỳ điểm M nào cũng có thể vẽ một vectơ bằng một vectơ đã cho và hơn nữa chỉ có một.




Cơm. 247

Trong thực tế, nếu là vectơ 0 thì vectơ mong muốn là vectơ . Giả sử rằng vectơ khác 0 và điểm A và B là điểm đầu và điểm cuối của nó. Chúng ta vẽ đường thẳng p song song với AB đi qua điểm M (Hình 248; nếu M là một điểm trên đường thẳng AB thì ta lấy đường thẳng AB giống như đường thẳng p). Trên đường thẳng p vẽ các đoạn MN và MN” bằng đoạn AB và chọn từ các vectơ cái cùng hướng với vectơ (trong vectơ hình 248). Vectơ này là vectơ mong muốn, bằng vectơ. Từ cách xây dựng ta suy ra rằng chỉ có một vectơ như vậy.




Cơm. 248

Bình luận

Các vectơ bằng nhau được vẽ từ các điểm khác nhau thường được ký hiệu bằng cùng một chữ cái. Ví dụ, đây là cách các vectơ vận tốc bằng nhau của các điểm khác nhau được biểu thị trong Hình 244. Đôi khi các vectơ như vậy được cho là cùng một vectơ, nhưng được vẽ từ các điểm khác nhau.

Nhiệm vụ thực tế

738. Đánh dấu các điểm A, B, C không thẳng hàng. Vẽ tất cả các vectơ khác 0 có điểm đầu và điểm cuối trùng với một số điểm trong số này. Viết ra tất cả các vectơ kết quả và chỉ ra điểm bắt đầu và kết thúc của mỗi vectơ.

739. Sau khi chọn tỷ lệ thích hợp, hãy vẽ các vectơ mô tả chuyến bay của một chiếc máy bay, đầu tiên là 300 km về phía nam từ thành phố A đến B, sau đó 500 km về phía đông từ thành phố B đến C. Sau đó vẽ một vectơ mô tả chuyển động từ điểm xuất phát đến điểm cuối cùng.

740. Vẽ vectơ sao cho:

741. Vẽ hai vectơ không thẳng hàng và . Vẽ một số vectơ: a) cùng hướng với vectơ ; b) cùng hướng với vectơ; c) hướng ngược lại với vectơ; d) ngược chiều với vectơ.

742. Vẽ hai vectơ: a) có độ dài bằng nhau và không thẳng hàng; b) có độ dài bằng nhau và cùng hướng; c) có độ dài bằng nhau và ngược chiều. Trong trường hợp nào các vectơ kết quả bằng nhau?

Trả lời Trong trường hợp b).

Các vectơ có thể được biểu diễn bằng đồ họa bằng các đoạn có hướng. Độ dài được chọn theo thang đo cụ thể để biểu thị độ lớn vectơ và hướng của đoạn này thể hiện hướng véc tơ . Ví dụ: nếu chúng ta giả sử rằng 1 cm đại diện cho 5 km/h, thì gió đông bắc với tốc độ 15 km/h sẽ được biểu thị bằng một đoạn định hướng có chiều dài 3 cm, như trong hình.

Vectơ trên một mặt phẳng nó là một đoạn có hướng. Hai vectơ bình đẳng nếu họ có điều tương tự kích cỡ Và phương hướng.

Xét một vectơ vẽ từ điểm A đến điểm B. Điểm đó được gọi là điểm khởi đầu vectơ và điểm B được gọi là điểm cuối. Ký hiệu tượng trưng cho vectơ này là (đọc là “vectơ AB”). Các vectơ cũng được biểu thị bằng các chữ in đậm như U, V và W. Bốn vectơ trong hình bên trái có cùng độ dài và hướng. Vì thế họ đại diện bình đẳng gió; đó là,

Trong ngữ cảnh của vectơ, chúng ta sử dụng = để biểu thị rằng chúng bằng nhau.

Chiều dài hoặc kích cỡđược thể hiện dưới dạng ||. Để xác định xem các vectơ có bằng nhau hay không, chúng ta tìm độ lớn và hướng của chúng.

ví dụ 1 Các vectơ u, , w được biểu diễn trong hình bên dưới. Chứng minh rằng u = = w.

Giải phápĐầu tiên chúng ta tìm độ dài của mỗi vectơ bằng công thức khoảng cách:
|u| = √ 2 + (4 - 3) 2 = √9 + 1 = √10,
|| = √ 2 + 2 = √9 + 1 = √10 ,
|w| = √(4 - 1) 2 + [-1 - (-2)] 2 = √9 + 1 = √10 .
Từ đây
|u| = | = |w|.
Các vectơ u, , và w, như có thể thấy từ hình vẽ, dường như có cùng hướng, nhưng chúng ta sẽ kiểm tra độ dốc của chúng. Nếu các đường mà chúng nằm trên đó có cùng độ dốc thì các vectơ có cùng hướng. Chúng tôi tính toán độ dốc:
Vì u, , và w có độ lớn bằng nhau và cùng hướng,
bạn = = w.

Hãy nhớ rằng các vectơ bằng nhau chỉ yêu cầu cùng độ lớn và cùng hướng chứ không phải cùng một vị trí. Hình trên cùng cho thấy một ví dụ về đẳng thức vectơ.

Giả sử một người bước 4 bước về phía đông rồi 3 bước về phía bắc. Sau đó, người đó sẽ cách điểm xuất phát 5 bước theo hướng hiển thị bên trái. Một vectơ dài 4 đơn vị với hướng sang phải tượng trưng cho 4 bước về phía đông và một vectơ dài 3 đơn vị với hướng lên trên tượng trưng cho 3 bước về phía bắc. Tổng trong hai vectơ này có một vectơ có độ lớn 5 bậc và cùng hướng như hình vẽ. Số tiền đó còn được gọi là kết quả hai vectơ.

Nói chung, hai vectơ u và v khác 0 có thể được cộng về mặt hình học bằng cách đặt điểm bắt đầu của vectơ v vào điểm kết thúc của vectơ u, sau đó tìm một vectơ có cùng điểm bắt đầu với vectơ u và cùng một kết thúc điểm là vectơ v như trong hình bên dưới.

Tổng là một vectơ được biểu thị bằng một đoạn có hướng từ điểm A của vectơ u đến điểm cuối C của vectơ v. Vì vậy, nếu u = và v = , thì
bạn + v = + =

Chúng ta cũng có thể mô tả phép cộng vectơ là việc đặt các điểm bắt đầu của các vectơ lại với nhau, dựng hình bình hành và tìm đường chéo của hình bình hành. (trong hình bên dưới.) Phép cộng này đôi khi được gọi là quy tắc hình bình hành phép cộng các vectơ. Phép cộng vectơ có tính chất giao hoán. Như thể hiện trong hình, cả hai vectơ u + v và v + u đều được biểu thị bằng cùng một đoạn đường có hướng.

Nếu hai lực F1 và F2 tác dụng lên một vật thì kết quả lực là tổng F 1 + F 2 của hai lực riêng biệt này.

Ví dụ Hai lực 15 newton và 25 newton tác dụng lên một vật vuông góc với nhau. Tìm tổng của chúng, hay lực tạo thành, và góc nó tạo với lực lớn hơn.

Giải pháp Hãy vẽ điều kiện của bài toán, trong trường hợp này là một hình chữ nhật, sử dụng v hoặc để biểu thị kết quả. Để tìm giá trị của nó, chúng ta sử dụng định lý Pythagore:
|v| 2 = 15 2 + 25 2 Đây |v| biểu thị độ dài hoặc độ lớn của v.
|v| = √15 2 + 25 2
|v| ≈ 29.2.
Để tìm hướng, lưu ý rằng vì OAB là góc vuông nên
tanθ = 15/25 = 0,6.
Sử dụng máy tính, chúng ta tìm được θ, góc mà lực lớn hơn tạo với lực ròng:
θ = tan - 1 (0,6) ≈ 31°
Kết quả có cường độ 29,2 và góc 31° với lực lớn hơn.

Phi công có thể điều chỉnh hướng bay nếu có gió ngược. Gió và tốc độ của máy bay có thể được biểu diễn dưới dạng gió.

Ví dụ 3. Tốc độ và hướng máy bay. Máy bay đang di chuyển theo góc phương vị 100° với tốc độ 190 km/h, trong khi tốc độ gió là 48 km/h và góc phương vị là 220°. Tìm tốc độ tuyệt đối của máy bay và hướng chuyển động của nó, có tính đến gió.

Giải pháp Trước tiên hãy vẽ một bản vẽ. Gió được biểu diễn và vectơ tốc độ máy bay là . Vectơ vận tốc thu được là v, tổng của hai vectơ. Góc θ giữa v và được gọi là góc trôi .


Lưu ý rằng giá trị COA = 100° - 40° = 60°. Khi đó giá trị của CBA cũng bằng 60° (các góc đối diện của hình bình hành bằng nhau). Vì tổng tất cả các góc của hình bình hành là 360° và COB và OAB có cùng độ lớn nên mỗi góc phải bằng 120°. Qua quy tắc cosin trong OAB, chúng ta có
|v| 2 = 48 2 + 190 2 - 2.48.190.cos120°
|v| 2 = 47,524
|v| = 218
Sau đó, |v| bằng 218 km/h. Dựa theo quy tắc sin , trong cùng một tam giác,
48 /sinθ = 218 /tội 120°,
hoặc
sinθ = 48.sin120°/218 ≈ 0,1907
θ ≈ 11°
Khi đó, θ = 11°, tính đến góc nguyên gần nhất. Tốc độ tuyệt đối là 218 km/h và hướng chuyển động của nó có tính đến gió: 100° - 11°, hoặc 89°.

Cho một vectơ w, chúng ta có thể tìm thấy hai vectơ u và v khác có tổng là w. Các vectơ u và v được gọi là các thành phần w và quá trình tìm kiếm chúng được gọi là sự phân hủy hoặc biểu diễn một vectơ bằng các thành phần vectơ của nó.

Khi khai triển một vectơ, chúng ta thường tìm các thành phần vuông góc. Tuy nhiên, rất thường xuyên, một thành phần sẽ song song với trục x và thành phần kia sẽ song song với trục y. Vì vậy, chúng thường được gọi nằm ngang Và thẳng đứng thành phần vectơ Trong hình bên dưới, vectơ w = được phân tách thành tổng của u = và v =.

Thành phần ngang của w là u và thành phần dọc là v.

Ví dụ 4 Vectơ w có độ lớn 130 và độ dốc 40° so với phương ngang. Phân tách vectơ thành các thành phần ngang và dọc.

Giải phápĐầu tiên chúng ta sẽ vẽ một bức tranh với các vectơ ngang và dọc u và v có tổng là w.

Từ ABC, ta tìm được |u| và |v|, sử dụng định nghĩa của cosin và sin:
cos40° = |u|/130, hoặc |u| = 130.cos40° ≈ 100,
sin40° = |v|/130, hoặc |v| = 130.sin40° ≈ 84.
Khi đó, thành phần ngang của w là 100 về bên phải và thành phần dọc của w là 84 hướng lên.