Khoảng tin cậy. Nó là gì và nó có thể được sử dụng như thế nào? Xác suất tin cậy và mức độ quan trọng

Các ước lượng điểm được xem xét của các tham số phân phối đưa ra một ước lượng dưới dạng một số gần nhất với giá trị của tham số chưa biết. Các ước lượng như vậy chỉ được sử dụng cho một số lượng lớn các phép đo. Cỡ mẫu càng nhỏ thì càng dễ mắc sai lầm khi chọn tham số. Đối với thực hành, điều quan trọng là không chỉ để có được một ước tính điểm, mà còn xác định một khoảng được gọi là ủy thác, giữa ranh giới của nó với một mức độ tự tin

nơi q - mức độ đáng kể; х н, х в - giới hạn dưới và giới hạn trên của khoảng, giá trị thực của tham số ước tính được tìm thấy.

Nói chung, khoảng tin cậy có thể được xây dựng trên cơ sở Các bất đẳng thức Chebyshev.Đối với bất kỳ luật phân phối nào của một biến ngẫu nhiên có thời điểm của hai bậc đầu tiên, giới hạn trên về xác suất độ lệch của biến ngẫu nhiên x khỏi tâm phân phối X c sẽ rơi vào khoảng tSx được mô tả bởi bất đẳng thức Chebyshev

Sx ở đâu - đánh giá phân phối RMS; t là một số dương.

Để tìm khoảng tin cậy, không nhất thiết phải biết quy luật phân phối kết quả của các quan sát, nhưng cần biết ước lượng RMS. Khoảng thời gian thu được bằng cách sử dụng bất đẳng thức Chebyshev hóa ra là quá rộng đối với thực tế. Do đó, khoảng tin cậy 0,9 cho nhiều luật phân phối tương ứng với khoảng tin cậy 1,6 S X . Bất đẳng thức Chebyshev đưa ra trong trường hợp này là 3,16 S X . Kết quả là, nó đã không được áp dụng rộng rãi.

Trong thực hành đo lường, chúng chủ yếu được sử dụng ước tính lượng tử khoảng tin cậy. Dưới 100 P-tỉ lệ phần trăm x p hiểu abscissa của một đường thẳng đứng như vậy, bên trái của nó có diện tích dưới đường cong mật độ phân bố bằng P%. Nói cách khác, lượng tử- đây là giá trị của một biến ngẫu nhiên (lỗi) với xác suất tin cậy cho trước là P. Ví dụ, trung vị của phân phối là số lượng tử 50% x 0,5.

Trong thực tế, các lượng tử 25- và 75% được gọi là nếp gấp, hoặc lượng tử phân phối. Giữa chúng nằm ở 50% của tất cả các giá trị có thể có của biến ngẫu nhiên và 50% còn lại nằm ngoài chúng. Khoảng giá trị của một biến ngẫu nhiên x giữa x 0 05 và x 0 95 bao gồm 90% tất cả các giá trị có thể có của nó và được gọi là khoảng cách interquantile với xác suất 90%. Chiều dài của nó là d 0,9 \ u003d x 0,95 - x 0,05.

Dựa trên cách tiếp cận này, khái niệm giá trị lỗi lượng tử, những thứ kia. giá trị sai số với xác suất tin cậy P cho trước - ranh giới của khoảng không đảm bảo đo ±D D = ± (x p - x 1-p) / 2 = ± dp / 2. Trên chiều dài của nó, có giá trị P% của một biến ngẫu nhiên (lỗi), một q = (1-P)% tổng số của họ vẫn nằm ngoài khoảng này.

Để có được ước lượng khoảng thời gian cho một biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn, cần phải:

Xác định ước lượng điểm MO x̅ và RMS S x biến ngẫu nhiên theo công thức (6.8) và (6.11) tương ứng;

Chọn xác suất tin cậy Р từ phạm vi giá trị được đề xuất 0,90; 0,95; 0,99;

Tìm ranh giới trên x trong và ranh giới x n dưới theo phương trình

thu được có tính đến (6.1). Giá trị х н và х в được xác định từ các bảng giá trị của hàm phân phối tích phân F (t ) hoặc hàm Laplace Ф (1).

Khoảng tin cậy kết quả thỏa mãn điều kiện

(6.13)

nơi n - số lượng các giá trị đo được; zp - đối số của hàm Laplace Ф (1) tương ứng với xác suất Р / 2. Trong trường hợp này zp được gọi là hệ số lượng tử. Một nửa độ dài của khoảng tin cậy được gọi là giới hạn tin cậy của sai số của kết quả đo.

Ví dụ 6.1. 50 phép đo điện trở không đổi đã được thực hiện. Xác định khoảng tin cậy cho giá trị MO của điện trở không đổi nếu luật phân phối chuẩn với các tham số m x \ u003d R \ u003d 590 Ohm, S x \ u003d 90 Ohm với xác suất tin cậy P \ u003d 0,9.

Vì giả thuyết về tính chuẩn tắc của luật phân phối không mâu thuẫn với dữ liệu thực nghiệm nên khoảng tin cậy được xác định bằng công thức

Do đó Ф (z р ) = 0,45. Từ bảng cho trong Phụ lục 1, chúng tôi thấy rằng zp = 1,65. Do đó, khoảng tin cậy sẽ được viết dưới dạng

Hoặc 590 - 21< R < 590 + 21. Окончательно 509 Ом < R< 611 Ом.

Nếu quy luật phân phối của một biến ngẫu nhiên khác với quy luật bình thường, thì cần phải xây dựng mô hình toán học của nó và xác định khoảng tin cậy bằng cách sử dụng nó.

Phương pháp được xem xét để tìm khoảng tin cậy có giá trị đối với một số lượng đủ lớn các quan sát n khi S= Sx . Cần nhớ rằng ước tính RMS được tính toán S x chỉ là một số gần đúng với giá trị thựcS. Việc xác định khoảng tin cậy đối với một xác suất cho trước càng kém tin cậy thì số lượng quan sát càng nhỏ. Không thể sử dụng công thức phân phối chuẩn với số lượng quan sát ít, nếu về mặt lý thuyết thì không thể dựa trên các thí nghiệm sơ bộ với số lượng quan sát đủ lớn để xác định độ lệch chuẩn.

Tính toán khoảng tin cậy cho trường hợp phân phối kết quả quan sát là bình thường, nhưng phương sai của chúng là không xác định, tức là với một số lượng nhỏ quan sát n, có thể thực hiện bằng cách sử dụng phân phối Student S (t, k ). Nó mô tả mật độ phân phối của tỷ lệ (Phân số của học sinh):

nơi Q - giá trị thực của giá trị đo được. giá trị x̅, S x. và S x ̅ được tính toán trên cơ sở dữ liệu thực nghiệm và đại diện cho các ước lượng điểm MO, RMS của kết quả đo và RMS của trung bình số học.

Xác suất để phân số của Sinh viên là kết quả của các quan sát đã thực hiện sẽ nhận một giá trị nào đó trong khoảng (- t p; + t p)

(6.14)

nơi k - số bậc tự do, bằng (n - 1). Số lượng tp (được gọi trong trường hợp này Hệ số sinh viên),được tính toán bằng cách sử dụng hai công thức cuối cùng cho các giá trị khác nhau của mức độ tin cậy và số lượng phép đo được lập bảng (xem bảng trong Phụ lục 1). Do đó, sử dụng phân phối Student, người ta có thể tìm xác suất để độ lệch của trung bình cộng so với giá trị thực của giá trị đo được không vượt quá

Trong những trường hợp phân bố sai số ngẫu nhiên không chuẩn, người ta thường sử dụng phân phối Student với một giá trị gần đúng mà mức độ vẫn chưa được biết đến. Phân phối của học sinh được sử dụng khi số lần đo N < 30, поскольку уже при N = 20, ..., 30 nó trở thành bình thường và thay vì phương trình (6.14) người ta có thể sử dụng phương trình (6.13). Kết quả đo được viết là: ; P = R d, trong đó R d - một giá trị cụ thể của mức độ tin cậy. Hệ số t với một số lượng lớn các phép đo N bằng với hệ số lượng tử z p. Đối với n nhỏ nó bằng hệ số của Student.

Kết quả đo thu được không phải là một số cụ thể, mà là một khoảng trong đó, với một xác suất P d nhất định, giá trị thực của giá trị đo được định vị. Đánh dấu điểm giữa của khoảng x hoàn toàn không ngụ ý rằng giá trị thực gần nó hơn so với các điểm còn lại trong khoảng. Nó có thể ở bất kỳ đâu trong khoảng thời gian và với xác suất 1 - R d thậm chí nằm ngoài nó.

Ví dụ 6.2. Xác định tổn thất từ trường riêng cho các mẫu khác nhau của một lô thép điện 2212 cho kết quả sau: 1.21; 1,17; 1,18; 1,13; 1,19; 1,14; 1,20 và 1,18 W / kg. Giả sử rằng không có sai số hệ thống và sai số ngẫu nhiên được phân phối theo luật chuẩn, cần xác định khoảng tin cậy cho các giá trị của xác suất tin cậy là 0,9 và 0,95. Để giải quyết vấn đề, hãy sử dụng công thức Laplace và phân phối Student.

Sử dụng các công thức (6.8) trong (6.11), chúng tôi tìm thấy các ước lượng của giá trị trung bình số học và RMS của các kết quả đo. Chúng tương ứng bằng 1,18 và 0,0278 W / kg. Giả sử rằng ước tính RMS bằng với chính độ lệch, chúng tôi thấy:

Do đó, bằng cách sử dụng các giá trị của hàm Laplace trong bảng của Phụ lục 1, chúng tôi xác định rằngzp = 1,65. Đối với hệ số P = 0,95 zp = 1,96. Khoảng tin cậy tương ứng với P = 0,9 và 0,95 là 1,18 ± 0,016 và 1,18 ± 0,019 W / kg.

Trong trường hợp không có lý do gì để tin rằng độ lệch chuẩn và ước lượng của nó là bằng nhau, khoảng tin cậy được xác định dựa trên phân phối của Student:

Theo bảng phụ lục 1, chúng tôi thấy rằng t 0,9 = 1,9 và t 0,95 = 2,37. Do đó, khoảng tin cậy tương ứng bằng 1,18 ± 0,019 và 1,18 ± 0,023 W / kg.

Các câu hỏi kiểm tra.

1. Trong điều kiện nào thì sai số đo có thể được coi là biến ngẫu nhiên?

2. Nêu các tính chất của hàm phân phối tích phân và vi phân của một biến ngẫu nhiên.

3. Kể tên các tham số số của các luật phân phối.

4. Làm thế nào có thể xác định một trung tâm phân phối?

5. Mômen phân phối là gì? Cái nào trong số chúng đã được ứng dụng trong đo lường?

6. Kể tên các lớp phân bố chính được sử dụng trong đo lường.

7. Đưa ra mô tả về các phân phối có trong hạng của phân bố hình thang.

8. Phân phối theo cấp số nhân là gì? Tính chất và đặc điểm của chúng là gì?

9. Phân phối chuẩn là gì? Tại sao nó lại có vai trò đặc biệt trong đo lường?

10. Hàm Laplace là gì và nó được sử dụng để làm gì?

11. Họ các bản phân phối của Sinh viên được mô tả và sử dụng như thế nào?

12. Bạn biết những ước lượng điểm nào về luật phân phối? Yêu cầu đối với họ là gì?

13. Khoảng tin cậy là gì? Bạn biết "phương pháp gán nó" nào?

Trong đó, với một hoặc một xác suất khác, có một tham số chung. Các xác suất được công nhận là đủ cho một đánh giá tin cậy về các thông số chung dựa trên các chỉ số mẫu được gọi là ủy thác.

Khái niệm về xác suất tin cậy tuân theo nguyên tắc rằng các sự kiện không chắc chắn được coi là không thể xảy ra trên thực tế, và các sự kiện có xác suất gần với một xác suất được coi là gần như chắc chắn. Thông thường, các xác suất Р 1 = 0,95, Р 2 = 0,99, Р 3 = 0,999 được sử dụng làm độ tin cậy. Đối với các giá trị xác suất nhất định tương ứng mức ý nghĩa, được hiểu là sự khác biệt α = 1-Р. Xác suất 0,95 tương ứng với mức ý nghĩa α 1 = 0,05 (5%), xác suất 0,99 - α 2 = 0,01 (1%), xác suất 0,999 - α 3 = 0,001 (0,1%).

Điều này có nghĩa là khi đánh giá các thông số chung dựa trên các chỉ số chọn lọc, sẽ có nguy cơ mắc sai lầm trong trường hợp đầu tiên 1 lần trong 20 lần kiểm tra, tức là trong 5% trường hợp; trong lần thứ hai - 1 lần trên 100 lần thử nghiệm, tức là trong 1% trường hợp; trong lần thứ ba - 1 lần cho mỗi 1000 lần kiểm tra, tức là trong 0,1% trường hợp. Như vậy, mức ý nghĩa cho biết xác suất thu được độ lệch ngẫu nhiên so với kết quả được thiết lập với một xác suất nhất định. Các xác suất được lấy làm độ tin cậy xác định khoảng tin cậy giữa chúng. Chúng có thể được sử dụng để làm cơ sở đánh giá một đại lượng cụ thể và ranh giới mà nó có thể ở các xác suất khác nhau.

Đối với các xác suất khác nhau, khoảng tin cậy sẽ như sau:

Khoảng thời gian Р 1 = 0,95 - 1,96σ đến + 1,96σ (Hình 5)

Khoảng thời gian Р 2 = 0,99 - 2,58σ đến + 2,58σ

Khoảng Р 3 = 0,999 - 3,03σ đến + 3,03σ

Xác suất tin cậy tương ứng với các giá trị sau của độ lệch chuẩn hóa:

Xác suất Р 1 = 0,95 tương ứng với t 1 = 1,96σ

Xác suất Р 2 = 0,99 tương ứng với t 2 = 2,58σ

Xác suất Р 3 = 0,999 tương ứng với t 3 = 3,03σ

Việc lựa chọn một hoặc một ngưỡng tin cậy khác được thực hiện dựa trên tầm quan trọng của sự kiện. Mức ý nghĩa trong trường hợp này là xác suất mà nó được quyết định là bỏ qua trong nghiên cứu hoặc hiện tượng này.

Sai số trung bình (m), hoặc lỗi tính đại diện.

Các đặc trưng của mẫu, như một quy luật, không trùng khớp về giá trị tuyệt đối với các tham số chung tương ứng. Mức độ sai lệch của một chỉ báo mẫu so với tham số chung của nó được gọi là sai số thống kê, hoặc lỗi tính đại diện. Sai số thống kê vốn chỉ có ở các đặc trưng của mẫu, chúng phát sinh trong quá trình lựa chọn một phương án từ tổng thể chung.

Sai số trung bình được tính theo công thức:

trong đó σ là độ lệch chuẩn,

n là số lần đo (cỡ mẫu).

Được thể hiện bằng các đơn vị tương tự như.

Giá trị của sai số trung bình tỷ lệ nghịch với kích thước của mẫu. Kích thước mẫu càng lớn, sai số trung bình càng nhỏ và do đó, sự khác biệt giữa giá trị của các đối tượng trong mẫu và tổng thể chung càng nhỏ.

Sai số trung bình của mẫu có thể được sử dụng để ước tính giá trị trung bình của tổng thể theo phân phối chuẩn. Vì vậy, trong khoảng ± 1 là 68,3% của tất cả các phương tiện số học của mẫu, trong khoảng ± 2 - 95,5% của tất cả các phương tiện mẫu, trong khoảng ± 3 - 99,7% của tất cả các phương tiện mẫu.

Độ chính xác ước tính, mức độ tin cậy (độ tin cậy)

Khoảng tin cậy

Khi lấy mẫu một khối lượng nhỏ, nên sử dụng ước lượng khoảng thời gian. điều này làm cho nó có thể tránh được sai số tổng, trái ngược với các ước tính điểm.

Ước tính khoảng được gọi, được xác định bởi hai số - các đầu của khoảng bao gồm tham số ước lượng. Các ước lượng giữa các khoảng thời gian giúp thiết lập độ chính xác và độ tin cậy của các ước tính.

Hãy để đặc tính thống kê * được tìm thấy từ dữ liệu mẫu làm ước lượng của tham số chưa biết. Chúng ta sẽ giả định rằng đó là một số không đổi (có thể là một biến ngẫu nhiên). Rõ ràng là * xác định tham số β càng chính xác thì giá trị tuyệt đối của chênh lệch càng nhỏ | - * |. Nói cách khác, nếu> 0 và | - * |< , то чем меньше, тем оценка точнее. Таким образом, положительное число характеризует точность оценки.

Tuy nhiên, các phương pháp thống kê không cho phép khẳng định một cách phân loại rằng ước lượng * thỏa mãn bất đẳng thức | - * |<, можно лишь говорить о вероятности, с которой это неравенство осуществляется.

Độ tin cậy (xác suất tin cậy) của ước lượng cho * là xác suất mà bất đẳng thức | - * |<. Обычно надежность оценки задается наперед, причем в качестве берут число, близкое к единице. Наиболее часто задают надежность, равную 0,95; 0,99 и 0,999.

Cho xác suất mà | - * |<, равна т.е.

Thay thế bất đẳng thức | - * |< равносильным ему двойным неравенством -<| - *|<, или *- <<*+, имеем

R (* -< <*+)=.

Khoảng tin cậy được gọi là (* -, * +), bao hàm tham số chưa biết với độ tin cậy nhất định.

Khoảng tin cậy để ước tính kỳ vọng toán học của phân phối chuẩn khi đã biết.

Một ước lượng khoảng với độ tin cậy của kỳ vọng toán học a của một đặc điểm số lượng có phân phối chuẩn X theo giá trị trung bình của mẫu x với độ lệch chuẩn đã biết của tổng thể chung là khoảng tin cậy

x - t (/ n ^?)< a < х + t(/n^?),

trong đó t (/ n ^?) = là độ chính xác của ước lượng, n là cỡ mẫu, t là giá trị đối số của hàm Laplace Ф (t), tại đó Ф (t) = / 2.

Từ đẳng thức t (/ n ^?) =, Chúng ta có thể rút ra các kết luận sau:

1. với sự gia tăng kích thước mẫu n, số lượng giảm và do đó, độ chính xác của ước tính tăng lên;

2. tăng độ tin cậy của ước lượng = 2Ф (t) dẫn đến tăng t (Ф (t) là một hàm tăng), do đó, tăng; nói cách khác, sự gia tăng độ tin cậy của ước lượng cổ điển kéo theo sự giảm độ chính xác của nó.

Thí dụ. Biến ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn với độ lệch chuẩn đã biết = 3. Tìm khoảng tin cậy để ước lượng kỳ vọng chưa biết a từ mẫu có nghĩa là x, nếu cỡ mẫu là n = 36 và độ tin cậy ước tính được đặt là 0,95.

Dung dịch. Hãy tìm t. Từ quan hệ 2Ф (t) = 0,95 ta thu được Ф (t) = 0,475. Theo bảng ta tìm được t = 1,96.

Tìm độ chính xác của ước tính:

đo khoảng tin cậy độ chính xác

T (/ n ^?) = (1 .96. 3) / / 36 = 0,98.

Khoảng tin cậy là: (x - 0,98; x + 0,98). Ví dụ, nếu x = 4,1, thì khoảng tin cậy có các giới hạn tin cậy sau:

x - 0,98 = 4,1 - 0,98 = 3,12; x + 0,98 = 4,1 + 0,98 = 5,08.

Do đó, các giá trị của tham số a chưa biết, phù hợp với dữ liệu mẫu, thỏa mãn bất đẳng thức 3.12< а < 5,08. Подчеркнем, что было бы ошибочным написать Р (3,12 < а < 5,08) = 0,95. Действительно, так как а - постоянная величина, то либо она заключена в найденном интервале (тогда событие 3,12 < а < 5,08 достоверно и его вероятность равна единице), либо в нем не заключена (в этом случае событие 3,12 < а < 5,08 невозможно и его вероятность равна нулю). Другими словами, доверительную вероятность не следует связывать с оцениваемым параметром; она связана лишь с границами доверительного интервала, которые, как уже было указано, изменяются от выборки к выборке.

Hãy để chúng tôi giải thích ý nghĩa của độ tin cậy đã cho. Độ tin cậy = 0,95 chỉ ra rằng nếu một số lượng mẫu đủ lớn được lấy, thì 95% trong số đó xác định khoảng tin cậy trong đó tham số thực sự được bao gồm; chỉ trong 5% trường hợp, nó có thể vượt ra ngoài khoảng tin cậy.

Nếu yêu cầu ước tính kỳ vọng toán học với độ chính xác và độ tin cậy được xác định trước, thì kích thước mẫu tối thiểu sẽ đảm bảo độ chính xác này được tìm thấy bằng công thức

Khoảng tin cậy để ước tính kỳ vọng toán học của một phân phối chuẩn với một ẩn số

Khoảng ước lượng với độ tin cậy của kỳ vọng toán học a của một đặc điểm số lượng có phân phối chuẩn X theo giá trị trung bình của mẫu x với độ lệch chuẩn chưa biết của tổng thể chung là khoảng tin cậy

x - t () (s / n ^?)< a < х + t()(s/n^?),

trong đó s là độ lệch chuẩn mẫu "đã hiệu chỉnh", t () được tìm thấy trong bảng theo giá trị đã cho và n.

Thí dụ. Thuộc tính đại lượng X của quần thể nói chung phân bố bình thường. Dựa trên kích thước mẫu n = 16, giá trị trung bình của mẫu x = 20,2 và độ lệch chuẩn "đã hiệu chỉnh" s = 0,8 được tìm thấy. Ước lượng giá trị trung bình chưa biết bằng khoảng tin cậy với độ tin cậy là 0,95.

Dung dịch. Hãy tìm t (). Sử dụng bảng, với = 0,95 và n = 16, ta tìm được t () = 2,13.

Hãy tìm các giới hạn tin cậy:

x - t () (s / n ^?) \ u003d 20,2 - 2,13 *. 0,8 / 16 ^? = 19,774

x + t () (s / n ^?) = 20,2 + 2,13 * 0,8 / 16 ^? = 20,626

Vì vậy, với độ tin cậy 0,95, tham số a chưa biết được chứa trong khoảng tin cậy là 19,774< а < 20,626

Ước tính giá trị thực của giá trị đo được

Cho n phép đo độc lập bằng nhau của một đại lượng vật lý nào đó, chưa biết giá trị thực của đại lượng đó.

Chúng ta sẽ coi kết quả của các phép đo riêng lẻ là các biến ngẫu nhiên Хl, Х2,… Хn. Các đại lượng này là độc lập (các phép đo là độc lập). Chúng có cùng kỳ vọng toán học a (giá trị thực của giá trị đo được), cùng phương sai ^ 2 (số đo tương đương) và được phân phối chuẩn (giả thiết này được xác nhận bằng kinh nghiệm).

Do đó, tất cả các giả định được đưa ra khi tính khoảng tin cậy đều được đáp ứng, và do đó, chúng ta có thể tự do sử dụng các công thức. Nói cách khác, giá trị thực của đại lượng đo có thể được ước tính từ giá trị trung bình cộng của các kết quả của các phép đo riêng lẻ bằng cách sử dụng khoảng tin cậy.

Thí dụ. Dựa trên dữ liệu của chín phép đo độc lập có độ chính xác như nhau của một đại lượng vật lý, giá trị trung bình cộng của các kết quả của các phép đo riêng lẻ x = 42,319 và độ lệch chuẩn "đã hiệu chỉnh" s = 5,0 được tìm thấy. Yêu cầu ước lượng giá trị thực của đại lượng đo với độ tin cậy = 0,95.

Dung dịch. Giá trị thực của đại lượng đo được bằng kỳ vọng toán học của nó. Do đó, vấn đề được rút gọn thành ước lượng kỳ vọng toán học (chưa biết) bằng cách sử dụng khoảng tin cậy bao gồm a với độ tin cậy cho trước = 0,95.

x - t () (s / n ^?)< a < х + t()(s/n^?)

Sử dụng bảng, đối với y \ u003d 0,95 và l \ u003d 9, chúng tôi tìm thấy

Tìm độ chính xác của ước tính:

t () (s / n ^?) = 2,31 * 5/9 ^? = 3,85

Hãy tìm các giới hạn tin cậy:

x - t () (s / n ^?) \ u003d 42.319 - 3,85 \ u003d 38.469;

x + t () (s / n ^?) \ u003d 42.319 + 3,85 \ u003d 46.169.

Vì vậy, với độ tin cậy 0,95, giá trị thực của giá trị đo được nằm trong khoảng tin cậy 38,469< а < 46,169.

Khoảng tin cậy để ước tính độ lệch chuẩn của phân phối chuẩn.

Cho thuộc tính số lượng X của tổng thể nói chung được phân phối bình thường. Yêu cầu ước tính độ lệch chuẩn chung chưa biết từ độ lệch chuẩn mẫu "đã hiệu chỉnh" s. Để làm điều này, chúng tôi sử dụng ước tính khoảng thời gian.

Ước lượng khoảng (với độ tin cậy) của độ lệch chuẩn o của thuộc tính định lượng được phân phối chuẩn X từ độ lệch chuẩn mẫu "đã hiệu chỉnh" s là khoảng tin cậy

s (1 - q)< < s (1 + q) (при q < 1),

0 < < s (1 + q) (при q > 1),

trong đó q được tìm thấy theo bảng cho n n đã cho.

Ví dụ 1. Thuộc tính đại lượng X của quần thể nói chung phân bố chuẩn. Dựa trên một mẫu có kích thước n = 25, độ lệch chuẩn "đã hiệu chỉnh" s = 0,8 đã được tìm thấy. Tìm khoảng tin cậy bao gồm độ lệch chuẩn chung với độ tin cậy là 0,95.

Dung dịch. Theo bảng, theo số liệu = 0,95 và n = 25, ta tìm được q = 0,32.

Khoảng tin cậy cần thiết s (1 - q)< < s (1 + q) таков:

0,8(1-- 0,32) < < 0,8(1+0,32), или 0,544 < < 1,056.

Ví dụ 2. Thuộc tính đại lượng X của quần thể nói chung phân bố chuẩn. Dựa trên một mẫu có kích thước n = 10, độ lệch chuẩn "đã hiệu chỉnh" s = 0,16 đã được tìm thấy. Tìm khoảng tin cậy bao gồm độ lệch chuẩn chung với độ tin cậy là 0,999.

Dung dịch. Theo bảng ứng dụng, theo số liệu = 0,999 và n = 10, ta tìm được 17 = 1,80 (q> 1). Khoảng tin cậy mong muốn là:

0 < < 0,16(1 + 1,80), или 0 < < 0,448.

Lớpđo lường độ chính xác

Trong lý thuyết về sai số, người ta thường sử dụng độ lệch chuẩn của các sai số đo ngẫu nhiên để đặc trưng cho độ chính xác của phép đo (độ chính xác của thiết bị). Độ lệch chuẩn "đã hiệu chỉnh" được sử dụng để đánh giá. Vì các kết quả đo thường độc lập lẫn nhau, có cùng kỳ vọng toán học (giá trị thực của đại lượng đo) và cùng độ phân tán (trong trường hợp các phép đo chính xác như nhau), lý thuyết trình bày trong đoạn trước có thể áp dụng để đánh giá phép đo. sự chính xác.

Thí dụ. Dựa trên 15 phép đo chính xác như nhau, độ lệch chuẩn "đã hiệu chỉnh" s = 0,12 được tìm thấy. Tìm độ chính xác của phép đo với độ tin cậy là 0,99.

Dung dịch. Độ chính xác của phép đo được đặc trưng bởi độ lệch chuẩn của các sai số ngẫu nhiên, do đó vấn đề được rút gọn là tìm khoảng tin cậy s (1 - q)< < s (1 + q) , покрывающего с заданной надежностью 0,99

Theo bảng ứng dụng cho = 0,99 và n = 15 ta tìm được q = 0,73.

Khoảng tin cậy mong muốn

0,12(1-- 0,73) < < 0,12(1+0,73), или 0.03 < < 0,21.

Ước tính xác suất (phân phối nhị thức) theo tần suất tương đối

Ước lượng khoảng (với độ tin cậy) của xác suất chưa biết p của phân phối nhị thức đối với tần số tương đối w là khoảng tin cậy (với các đầu gần đúng p1 và p2)

p1< p < p2,

với n là tổng số phép thử; m là số lần xuất hiện của biến cố; w là tần số tương đối bằng tỷ số m / n; t là giá trị của đối số của hàm Laplace, tại đó Ф (t) = / 2.

Bình luận. Đối với các giá trị lớn của n (bậc hàng trăm), người ta có thể coi là ranh giới gần đúng của khoảng tin cậy

Thường thì thẩm định viên phải phân tích thị trường bất động sản của phân khúc mà đối tượng thẩm định đang ở. Nếu thị trường phát triển, có thể khó phân tích toàn bộ tập hợp các đối tượng được trình bày, do đó, một mẫu đối tượng được sử dụng để phân tích. Mẫu này không phải lúc nào cũng đồng nhất, đôi khi cần phải loại bỏ các yếu tố cực đoan - giá chào thị trường quá cao hoặc quá thấp. Vì mục đích này, nó được áp dụng khoảng tin cậy. Mục đích của nghiên cứu này là tiến hành phân tích so sánh hai phương pháp tính khoảng tin cậy và chọn phương án tính toán tốt nhất khi làm việc với các mẫu khác nhau trong hệ thống ước lượng.

Khoảng tin cậy - được tính toán trên cơ sở mẫu, khoảng giá trị của đặc trưng, với một xác suất đã biết chứa tham số ước tính của tổng thể chung.

Ý nghĩa của việc tính toán khoảng tin cậy là xây dựng một khoảng như vậy dựa trên dữ liệu mẫu để có thể khẳng định với một xác suất nhất định rằng giá trị của tham số ước lượng nằm trong khoảng này. Nói cách khác, khoảng tin cậy với một xác suất nhất định chứa giá trị chưa biết của đại lượng ước tính. Khoảng thời gian càng rộng thì độ không chính xác càng cao.

Có nhiều phương pháp khác nhau để xác định khoảng tin cậy. Trong bài viết này, chúng tôi sẽ xem xét 2 cách:

thông qua trung vị và độ lệch chuẩn;
thông qua giá trị tới hạn của thống kê t (Hệ số sinh viên).

Các giai đoạn phân tích so sánh các phương pháp khác nhau để tính CI:

1. hình thành một mẫu dữ liệu;

2. chúng tôi xử lý nó bằng các phương pháp thống kê: chúng tôi tính giá trị trung bình, giá trị trung bình, phương sai, v.v.;

3. chúng tôi tính khoảng tin cậy theo hai cách;

4. Phân tích các mẫu đã làm sạch và khoảng tin cậy thu được.

Giai đoạn 1. Lấy mẫu dữ liệu

Mẫu được hình thành bằng cách sử dụng hệ thống ước lượng. Mẫu gồm 91 lời chào bán căn hộ 1 phòng ở khu giá 3 kiểu quy hoạch "Khrushchev".

Bảng 1. Mẫu ban đầu

	Giá của 1m2, c.u.

Hình 1. Mẫu ban đầu

Giai đoạn 2. Xử lý mẫu ban đầu

Xử lý mẫu bằng phương pháp thống kê yêu cầu tính toán các giá trị sau:

1. Trung bình số học

2. Trung vị - một số đặc trưng cho mẫu: chính xác một nửa số phần tử mẫu lớn hơn trung vị, nửa còn lại nhỏ hơn trung vị

(đối với mẫu có số giá trị lẻ)

3. Phạm vi - sự khác biệt giữa các giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trong mẫu

4. Phương sai - được sử dụng để ước tính chính xác hơn sự thay đổi trong dữ liệu

5. Độ lệch chuẩn đối với mẫu (sau đây gọi là RMS) là chỉ số phổ biến nhất về sự phân tán của các giá trị điều chỉnh xung quanh giá trị trung bình số học.

6. Hệ số biến thiên - phản ánh mức độ phân tán của các giá trị điều chỉnh

7. hệ số dao động - phản ánh sự dao động tương đối của các giá trị cực đoan của giá trong mẫu xung quanh mức trung bình

Bảng 2. Các chỉ tiêu thống kê của mẫu ban đầu

Hệ số biến thiên, đặc trưng cho tính đồng nhất của dữ liệu, là 12,29%, nhưng hệ số dao động quá lớn. Do đó, chúng ta có thể phát biểu rằng mẫu ban đầu không đồng nhất, vì vậy hãy chuyển sang tính khoảng tin cậy.

Giai đoạn 3. Tính toán khoảng tin cậy

Phương pháp 1. Tính toán thông qua số trung vị và độ lệch chuẩn.

Khoảng tin cậy được xác định như sau: giá trị nhỏ nhất - độ lệch chuẩn được trừ khỏi giá trị trung vị; giá trị lớn nhất - độ lệch chuẩn được thêm vào giá trị trung bình.

Do đó, khoảng tin cậy (47179 CU; 60689 CU)

Cơm. 2. Các giá trị trong khoảng tin cậy 1.

Phương pháp 2. Xây dựng khoảng tin cậy thông qua giá trị tới hạn của thống kê t (Hệ số sinh viên)

S.V. Gribovsky trong cuốn sách "Các phương pháp toán học để đánh giá giá trị của tài sản" mô tả một phương pháp tính khoảng tin cậy thông qua hệ số Student. Khi tính toán theo phương pháp này, bản thân người ước lượng phải đặt mức ý nghĩa ∝, mức ý nghĩa này xác định xác suất mà khoảng tin cậy sẽ được xây dựng. Mức ý nghĩa 0,1 thường được sử dụng; 0,05 và 0,01. Chúng tương ứng với các xác suất tin cậy là 0,9; 0,95 và 0,99. Với phương pháp này, các giá trị thực của kỳ vọng toán học và phương sai được coi là thực tế chưa biết (điều này hầu như luôn đúng khi giải các bài toán đánh giá thực tế).

Công thức khoảng tin cậy:

n - cỡ mẫu;

Giá trị tới hạn của thống kê t (Phân phối của sinh viên) với mức ý nghĩa ∝, số bậc tự do n-1, được xác định bằng các bảng thống kê đặc biệt hoặc sử dụng MS Excel (→ "Thống kê" → STUDRASPOBR);

∝ - mức ý nghĩa, ta lấy ∝ = 0,01.

Cơm. 2. Các giá trị trong khoảng tin cậy 2.

Bước 4. Phân tích các cách khác nhau để tính khoảng tin cậy

Hai phương pháp tính khoảng tin cậy - thông qua trung vị và hệ số Student - đã dẫn đến các giá trị khác nhau của các khoảng. Theo đó, hai mẫu tinh khiết khác nhau đã được thu được.

Bảng 3. Các chỉ tiêu thống kê cho ba mẫu.

Mục lục	Mẫu ban đầu	1 lựa chọn	Lựa chọn 2
Bần tiện


Sự phân tán

Rạn san hô. các biến thể
Rạn san hô. dao động
Số lượng đồ vật đã nghỉ hưu, chiếc.

Dựa trên các phép tính đã thực hiện, chúng ta có thể nói rằng các giá trị của khoảng tin cậy thu được bằng các phương pháp khác nhau giao nhau, vì vậy bạn có thể sử dụng bất kỳ phương pháp tính toán nào theo quyết định của người thẩm định.

Tuy nhiên, chúng tôi cho rằng khi làm việc trong hệ thống ước lượng, chúng tôi nên chọn phương pháp tính khoảng tin cậy, tùy thuộc vào mức độ phát triển của thị trường:

nếu thị trường không phát triển thì áp dụng phương pháp tính qua trung vị và độ lệch chuẩn, vì số lượng đối tượng nghỉ hưu trong trường hợp này là ít;
nếu thị trường được phát triển, hãy áp dụng phép tính thông qua giá trị tới hạn của thống kê t (hệ số Student), vì nó có thể tạo thành một mẫu ban đầu lớn.

Trong quá trình chuẩn bị, bài báo đã được sử dụng:

1. Gribovsky S.V., Sivets S.A., Levykina I.A. Các phương pháp toán học để đánh giá giá trị của tài sản. Matxcova, 2014

2. Dữ liệu từ hệ thống evalatica.pro

Việc phân tích sai số ngẫu nhiên dựa trên lý thuyết về sai số ngẫu nhiên, do đó, với một sự đảm bảo nhất định, có thể tính toán giá trị thực của đại lượng đo và đánh giá các sai số có thể xảy ra.

Cơ sở của lý thuyết về sai số ngẫu nhiên là các giả định sau:

với một số lượng lớn các phép đo, các sai số ngẫu nhiên có cùng độ lớn, nhưng khác dấu, xảy ra thường xuyên như nhau;

lỗi lớn ít phổ biến hơn lỗi nhỏ (xác suất lỗi giảm khi giá trị của nó tăng lên);

với số lần đo lớn vô hạn, giá trị thực của đại lượng đo bằng trung bình cộng của tất cả các kết quả đo;

sự xuất hiện của một hoặc một kết quả đo khác như một sự kiện ngẫu nhiên được mô tả bởi luật phân phối chuẩn.

Trong thực tế, sự phân biệt được thực hiện giữa một tổng thể và một tập hợp các phép đo mẫu.

Dưới dân số chung ngụ ý toàn bộ tập hợp các giá trị đo lường có thể có hoặc các giá trị lỗi có thể có
.

Đối với dân số mẫu số lượng phép đo giới hạn, và trong mỗi trường hợp được xác định nghiêm ngặt. Họ nghĩ rằng nếu
, thì giá trị trung bình của tập hợp các phép đo này đủ gần với giá trị thực của nó.

1. Ước tính khoảng thời gian sử dụng xác suất tin cậy

Đối với một mẫu lớn và luật phân phối chuẩn, đặc điểm đánh giá chung của phép đo là phương sai
và hệ số biến đổi :

;
. (1.1)

Độ phân tán đặc trưng cho tính đồng nhất của phép đo. Cao hơn
, độ phân tán phép đo càng lớn.

Hệ số biến đổi đặc trưng cho độ biến thiên. Cao hơn , độ biến thiên của các phép đo so với giá trị trung bình càng lớn.

Để đánh giá độ tin cậy của kết quả đo, các khái niệm về khoảng tin cậy và xác suất tin cậy được đưa vào xem xét.

Đáng tin cậy được gọi là khoảng thời gian giá trị , trong đó giá trị thực giảm đại lượng đo với một xác suất cho trước.

Xác suất tin cậy (độ tin cậy) của phép đo là xác suất giá trị thực của đại lượng được đo nằm trong khoảng tin cậy nhất định, tức là đến khu vực
. Giá trị này được xác định bằng phần nhỏ của một đơn vị hoặc phần trăm.

ở đâu
- hàm Laplace tích phân ( bảng 1.1 )

Hàm Laplace tích phân được xác định bởi biểu thức sau:

Đối số cho hàm này là yếu tố đảm bảo :

Bảng 1.1

Hàm Laplace tích phân

Nếu, trên cơ sở dữ liệu nhất định, xác suất tin cậy được thiết lập (thường được coi là
), sau đó đặt độ chính xác của các phép đo (khoảng tin cậy
) dựa trên tỷ lệ