Hàm phân phối của một giá trị liên tục. biến ngẫu nhiên

Cho một biến ngẫu nhiên liên tục X được cho bởi hàm phân phối f (x). Giả sử rằng tất cả các giá trị có thể có của biến ngẫu nhiên đều thuộc về đoạn [ a, b].

Sự định nghĩa. kỳ vọng toán học biến ngẫu nhiên liên tục X, các giá trị có thể có của chúng thuộc về đoạn, được gọi là một tích phân xác định

Nếu các giá trị có thể có của một biến ngẫu nhiên được xem xét trên toàn bộ trục số, thì kỳ vọng toán học được tìm thấy theo công thức:

Trong trường hợp này, tất nhiên, người ta giả định rằng tích phân không đúng hội tụ.

Sự định nghĩa. sự phân tán biến ngẫu nhiên liên tục được gọi là kỳ vọng toán học bình phương độ lệch của nó.

Bằng cách tương tự với phương sai của một biến ngẫu nhiên rời rạc, công thức sau được sử dụng để tính toán phương sai thực tế:

Sự định nghĩa.Độ lệch chuẩnđược gọi là căn bậc hai của phương sai.

Sự định nghĩa. Thời trang M 0 của một biến ngẫu nhiên rời rạc được gọi là giá trị có thể xảy ra nhất của nó. Đối với biến ngẫu nhiên liên tục, mode là giá trị của biến ngẫu nhiên mà tại đó mật độ phân phối có giá trị lớn nhất.

Nếu đa giác phân phối cho một biến ngẫu nhiên rời rạc hoặc đường cong phân phối cho một biến ngẫu nhiên liên tục có hai hoặc nhiều điểm cực đại, thì phân phối như vậy được gọi là hai phương thức hoặc đa phương thức. Nếu một phân phối có giá trị tối thiểu nhưng không có giá trị lớn nhất, thì nó được gọi là đối cực.

Sự định nghĩa. Trung bình M D của một biến ngẫu nhiên X là giá trị của nó, liên quan đến nó có khả năng nhận được giá trị lớn hơn hoặc nhỏ hơn của biến ngẫu nhiên.

Về mặt hình học, trung vị là abscissa của điểm mà tại đó khu vực bị giới hạn bởi đường cong phân phối được chia làm đôi. Lưu ý rằng nếu phân phối là đơn phương thức, thì chế độ và trung vị trùng với kỳ vọng toán học.

Sự định nghĩa. Thời điểm bắt đầu gọi món k biến ngẫu nhiên X được gọi là kỳ vọng toán học của X k.

Thời điểm ban đầu của đơn hàng đầu tiên bằng kỳ vọng toán học.

Sự định nghĩa. Thời điểm trung tâm gọi món k biến ngẫu nhiên X được gọi là kỳ vọng toán học của giá trị

Đối với một biến ngẫu nhiên rời rạc:.

Đối với một biến ngẫu nhiên liên tục:.

Mômen trung tâm bậc nhất luôn bằng 0, và mômen trung tâm bậc hai bằng độ phân tán. Mômen trung tâm của bậc ba đặc trưng cho sự không đối xứng của phân bố.

Sự định nghĩa. Tỷ số giữa mômen trung tâm của bậc thứ ba với độ lệch chuẩn ở bậc thứ ba được gọi là hệ số bất đối xứng.

Sự định nghĩa. Để đặc trưng cho độ sắc nét và độ phẳng của phân bố, một đại lượng được gọi là kurtosis.

Ngoài các đại lượng được xem xét, cái gọi là mômen tuyệt đối cũng được sử dụng:

Thời điểm bắt đầu tuyệt đối:. Thời điểm trung tâm tuyệt đối:. Mômen trung tâm tuyệt đối của bậc đầu tiên được gọi là độ lệch trung bình số học.

Thí dụ.Đối với ví dụ đã xét ở trên, hãy xác định kỳ vọng toán học và phương sai của biến ngẫu nhiên X.

Thí dụ. Một bình đựng 6 viên bi trắng và 4 bi đen. Một quả bóng được lấy ra khỏi nó năm lần liên tiếp, và mỗi lần lấy ra quả bóng sẽ được trả lại và các quả bóng được trộn lẫn với nhau. Lấy số bi trắng trích ra làm biến ngẫu nhiên X, lập quy luật phân phối của đại lượng này, xác định kỳ vọng toán học và phương sai của nó.

Tại vì các quả bóng trong mỗi thí nghiệm được trả lại và trộn lẫn, sau đó các thử nghiệm có thể được coi là độc lập (kết quả của thí nghiệm trước không ảnh hưởng đến xác suất xảy ra hoặc không xảy ra của một sự kiện trong thí nghiệm khác).

Như vậy, xác suất để quả cầu trắng xuất hiện trong mỗi thí nghiệm là không đổi và bằng

Như vậy, kết quả của năm lần thử nghiệm liên tiếp, quả bóng trắng có thể không xuất hiện lần nào, xuất hiện một lần, hai lần, ba, bốn hoặc năm lần. Để xây dựng luật phân phối, bạn cần tìm xác suất của từng sự kiện này.

1) Bóng trắng hoàn toàn không xuất hiện:

2) Bóng trắng xuất hiện một lần:

3) Bóng trắng sẽ xuất hiện hai lần:.

Hàm phân phối của biến ngẫu nhiên X là hàm F (x), biểu thị cho mỗi x xác suất để biến ngẫu nhiên X nhận giá trị, x nhỏ hơn

Ví dụ 2.5. Cho một chuỗi phân phối của một biến ngẫu nhiên

Tìm và mô tả bằng đồ thị chức năng phân phối của nó. Dung dịch. Theo định nghĩa

F (jc) = 0 cho X X

F (x) = 0,4 + 0,1 = 0,5 tại 4 F (x) = 0,5 + 0,5 = 1 tại X > 5.

Vì vậy (xem Hình 2.1):

Thuộc tính hàm phân phối:

1. Hàm phân phối của một biến ngẫu nhiên là một hàm không âm nằm trong khoảng từ 0 đến 1:

2. Hàm phân phối của một biến ngẫu nhiên là một hàm không giảm trên toàn bộ trục số, tức là tại X 2 > x

3. Tại trừ vô cùng, hàm phân phối bằng 0, tại cộng vô cùng, nó bằng một, tức là.

4. Xác suất bắn trúng một biến ngẫu nhiên X trong khoảng thời gian bằng với tích phân xác định của mật độ xác suất của nó nằm trong khoảng từ một trước b(xem Hình 2.2), tức là

Cơm. 2,2

3. Hàm phân phối của một biến ngẫu nhiên liên tục (xem Hình 2.3) có thể được biểu diễn theo mật độ xác suất bằng công thức:

F (x) = Jp (*) *. (2.10)

4. Tích phân không đúng trong giới hạn vô hạn của mật độ xác suất của một biến ngẫu nhiên liên tục bằng một:

Tính chất hình học / và 4 mật độ xác suất có nghĩa là âm mưu của nó là đường cong phân phối - không nằm dưới trục x, và tổng diện tích của hình, đường cong phân phối giới hạn và trục x, bằng một.

Đối với một biến ngẫu nhiên liên tục X gia trị được ki vọng M (X) và phương sai D (X)được xác định bởi các công thức:

(nếu tích phân hội tụ tuyệt đối); hoặc

(nếu các tích phân rút gọn hội tụ).

Cùng với các đặc điểm số được lưu ý ở trên, khái niệm lượng tử và điểm phần trăm được sử dụng để mô tả một biến ngẫu nhiên.

lượng tử cấp q(hoặc q-quantile) là một giá trị như vậyx qbiến ngẫu nhiên, tại đó hàm phân phối của nó nhận giá trị, bằng q, I E.

• 100Điểm q% -ou là lượng tử X ~ q.
• ? Ví dụ 2.8.

Theo ví dụ 2.6 tìm lượng tử xqj và 30% điểm biến ngẫu nhiên x.

Dung dịch. Theo định nghĩa (2.16) F (xo t3) = 0,3, tức là

~ Y ~ = 0,3, từ đó lượng tử x 0 3 = 0,6. 30% điểm biến ngẫu nhiên X hoặc số lượng tử Х) _о, з = xoj»Được tìm thấy tương tự từ phương trình ^ = 0,7. khi đó *, = 1,4. ?

Trong số các đặc điểm số của một biến ngẫu nhiên, có ban đầu v * và Trung tâm R * khoảnh khắc thứ k, được xác định cho các biến ngẫu nhiên rời rạc và liên tục bằng các công thức:

4. Mật độ của phân phối xác suất của một biến ngẫu nhiên liên tục

Một biến ngẫu nhiên liên tục có thể được chỉ định bằng cách sử dụng hàm phân phối F(x) . Cách thiết lập này không phải là duy nhất. Một biến ngẫu nhiên liên tục cũng có thể được chỉ định bằng cách sử dụng một hàm khác được gọi là mật độ phân phối hoặc mật độ xác suất (đôi khi được gọi là hàm vi phân).

Định nghĩa 4.1: Mật độ phân phối của một biến ngẫu nhiên liên tục X gọi hàm f (x) - đạo hàm đầu tiên của hàm phân phối F(x) :

f ( x ) = F "( x ) .

Từ định nghĩa này, hàm phân phối là đạo hàm của mật độ phân phối. Lưu ý rằng để mô tả phân phối xác suất của một biến ngẫu nhiên rời rạc, mật độ phân phối không được áp dụng.

Xác suất chạm vào một biến ngẫu nhiên liên tục trong một khoảng thời gian nhất định

Biết được mật độ phân phối, chúng ta có thể tính xác suất để một biến ngẫu nhiên liên tục nhận một giá trị thuộc một khoảng cho trước.

Định lý: Xác suất để một biến ngẫu nhiên liên tục X sẽ nhận các giá trị thuộc khoảng (một, b), bằng một tích phân nhất định của mật độ phân bố, được lấy trong phạm vi từmộttrướcb :

Bằng chứng: Chúng tôi sử dụng tỷ lệ

P(một ≤ Xb) = F(b) – F(một).

Theo công thức Newton-Leibniz,

Bằng cách này,

.

Tại vì P(một ≤ X b)= P(một X b) , rồi cuối cùng chúng ta cũng nhận được

.

Về mặt hình học, kết quả có thể được hiểu như sau: xác suất mà một biến ngẫu nhiên liên tục nhận một giá trị thuộc khoảng (một, b), bằng diện tích của hình thang cong giới hạn bởi trụcCon bò, đường cong phân phốif(x) và trực tiếpx = mộtvàx = b.

Bình luận:Đặc biệt, nếu f(x) là một hàm chẵn và các điểm cuối của khoảng đối xứng với gốc, khi đó

.

Thí dụ. Cho mật độ xác suất của một biến ngẫu nhiên X

Tìm xác suất để kết quả của phép thử X sẽ nhận các giá trị thuộc khoảng (0,5; 1).

Dung dịch: Xác suất mong muốn

Tìm hàm phân phối từ mật độ phân phối đã biết

Biết được mật độ phân bố f(x) , chúng ta có thể tìm thấy hàm phân phối F(x) theo công thức

.

Có thật không, F(x) = P(X x) = P(-∞ X x) .

Do đó,

.

Bằng cách này, biết mật độ phân phối, bạn có thể tìm thấy hàm phân phối. Tất nhiên, từ hàm phân phối đã biết, người ta có thể tìm thấy mật độ phân phối, cụ thể là:

f(x) = F"(x).

Thí dụ. Tìm hàm phân phối cho một mật độ phân phối nhất định:

Dung dịch: Hãy sử dụng công thức

Nếu một x ≤ một, sau đó f(x) = 0 , Do đó, F(x) = 0 . Nếu một a, sau đó f (x) = 1 / (b-a),

Do đó,

.

Nếu một x > b, sau đó

.

Vì vậy, hàm phân phối mong muốn

Bình luận: Chúng ta đã thu được hàm phân phối của một biến ngẫu nhiên có phân phối đều (xem phân phối đều).

Thuộc tính mật độ phân phối

Thuộc tính 1: Mật độ phân phối là một hàm không âm:

f ( x ) ≥ 0 .

Thuộc tính 2: Tích phân không đúng của mật độ phân bố trong phạm vi từ -∞ đến ∞ bằng một:

.

Bình luận: Biểu đồ của mật độ phân bố được gọi là đường cong phân phối.

Bình luận: Mật độ phân phối của một biến ngẫu nhiên liên tục còn được gọi là luật phân phối.

Thí dụ. Mật độ phân phối của một biến ngẫu nhiên có dạng sau:

Tìm tham số không đổi một.

Dung dịch: Mật độ phân phối phải thỏa mãn điều kiện, vì vậy chúng ta yêu cầu sự bình đẳng

.

Từ đây
. Hãy tìm tích phân bất định:

.

Chúng tôi tính tích phân không đúng:

Do đó, tham số bắt buộc

.

Ý nghĩa xác suất của mật độ phân phối

Để cho F(x) là hàm phân phối của một biến ngẫu nhiên liên tục X. Theo định nghĩa của mật độ phân phối, f(x) = F"(x) , hoặc

.

Sự khác biệt F(x+ ∆х) -F(x) xác định xác suất mà X sẽ nhận giá trị thuộc khoảng (x, x+ ∆х). Như vậy, giới hạn của tỷ số xác suất biến ngẫu nhiên liên tục nhận giá trị thuộc khoảng (x, x+ ∆х), bằng độ dài của khoảng thời gian này (lúc ∆х → 0) bằng giá trị của mật độ phân bố tại điểm X.

Vì vậy, hàm f(x) xác định mật độ phân phối xác suất cho mỗi điểm X. Từ phép tính vi phân, người ta biết rằng gia số của một hàm xấp xỉ bằng vi phân của hàm, tức là

Tại vì F"(x) = f(x) và dx = ∆ x, sau đó F(x+∆ x) - F(x) ≈ f(x)∆ x.

Ý nghĩa xác suất của sự bình đẳng này như sau: xác suất mà một biến ngẫu nhiên nhận một giá trị thuộc khoảng (x, x+∆ x), xấp xỉ bằng tích của mật độ xác suất tại điểm x và độ dài của khoảng ∆х.

Về mặt hình học, kết quả này có thể được hiểu là: xác suất mà một biến ngẫu nhiên nhận một giá trị thuộc khoảng (x, x+∆ x), xấp xỉ bằng diện tích hình chữ nhật có đáy ∆х và chiều caof(x).

5. Các phân phối điển hình của các biến ngẫu nhiên rời rạc

5.1. Phân phối Bernoulli

Định nghĩa 5.1: Giá trị ngẫu nhiên X, nhận hai giá trị 1 và 0 có xác suất (“thành công”) P và ("thất bại") q, được gọi là Bernoulli:

, ở đâu k=0,1.

5.2. Phân phối nhị thức

Hãy để nó được sản xuất N các thử nghiệm độc lập, trong mỗi thử nghiệm có một sự kiện Một có thể xuất hiện hoặc không. Xác suất của một sự kiện xảy ra trong tất cả các thử nghiệm là không đổi và bằng P(do đó xác suất không xuất hiện q = 1 - P).

Xem xét một biến ngẫu nhiên X- số lần xuất hiện của sự kiện Một trong các thử nghiệm này. Giá trị ngẫu nhiên X lấy giá trị 0,1,2,… N với xác suất được tính theo công thức Bernoulli: , ở đâu k = 0,1,2,… N.

Định nghĩa 5.2: Nhị thứcđược gọi là phân phối xác suất được xác định bởi công thức Bernoulli.

Thí dụ. Ba viên đạn được bắn vào mục tiêu, xác suất trúng đích của mỗi viên là 0,8. Chúng tôi coi một biến ngẫu nhiên X- số lần bắn trúng mục tiêu. Tìm chuỗi phân phối của nó.

Dung dịch: Giá trị ngẫu nhiên X lấy giá trị 0,1,2,3 với xác suất được tính bằng công thức Bernoulli, trong đó N = 3, P = 0,8 (xác suất trúng đích), q = 1 - 0,8 = = 0,2 (xác suất thiếu).

Do đó, chuỗi phân phối có dạng sau:

Sử dụng công thức Bernoulli cho các giá trị lớn N do đó, khá khó khăn để tính toán các xác suất tương ứng, định lý Laplace cục bộ được sử dụng, cho phép người ta tìm gần đúng xác suất của một sự kiện xảy ra chính xác k một lần N thử nghiệm nếu số lượng thử nghiệm đủ lớn.

Định lý Laplace cục bộ: Nếu xác suất P sự kiện xảy ra Một
sự kiện đó Một sẽ xuất hiện trong N kiểm tra chính xác k lần, xấp xỉ bằng nhau (càng chính xác, càng N) giá trị hàm
, ở đâu
,
.

Lưu ý 1: Các bảng chứa các giá trị hàm
, được đưa ra trong Phụ lục 1, và
. Hàm số là mật độ của phân phối chuẩn chuẩn (xem phân phối chuẩn).

Thí dụ: Tìm xác suất để sự kiện Một đến chính xác 80 một lần 400 thử nghiệm nếu xác suất xảy ra sự kiện này trong mỗi thử nghiệm bằng 0,2.

Dung dịch: Theo điều kiện N = 400, k = 80, P = 0,2 , q = 0,8 . Hãy để chúng tôi tính toán giá trị được xác định bởi dữ liệu sự cố x:
. Theo bảng phụ lục 1, chúng tôi nhận thấy
. Khi đó xác suất mong muốn sẽ là:

Nếu bạn muốn tính xác suất mà một sự kiện Một sẽ xuất hiện trong N kiểm tra ít nhất k 1 một lần và không còn nữa k 2 lần, thì bạn cần sử dụng định lý tích phân Laplace:

Định lý tích phân Laplace: Nếu xác suất P sự kiện xảy ra Một trong mỗi thử nghiệm là không đổi và khác 0 và một, thì xác suất
sự kiện đó Một sẽ xuất hiện trong N bài kiểm tra từ k 1 trước k 2 lần, xấp xỉ bằng tích phân xác định

, ở đâu
và
.

Nói cách khác, xác suất mà một sự kiện Một sẽ xuất hiện trong N bài kiểm tra từ k 1 trước k 2 lần, xấp xỉ bằng

ở đâu
, và .

Nhận xét2: Hàm số
được gọi là hàm Laplace (xem phân phối chuẩn). Các bảng chứa các giá trị hàm , được đưa ra trong Phụ lục 2, và
.

Thí dụ: Tìm xác suất để trong số 400 các bộ phận được chọn ngẫu nhiên sẽ được bỏ chọn từ 70 đến 100 bộ phận, nếu xác suất bộ phận đó không vượt qua kiểm tra chất lượng bằng 0,2.

Dung dịch: Theo điều kiện N = 400, P = 0,2 , q = 0,8, k 1 = 70, k 2 = 100 . Hãy để chúng tôi tính toán giới hạn dưới và giới hạn trên của tích hợp:

;
.

Do đó, chúng ta có:

Theo bảng phụ lục 2, chúng tôi thấy rằng
và . Khi đó xác suất yêu cầu là:

Nhận xét 3: Trong một loạt các thử nghiệm độc lập (khi n lớn, p nhỏ), công thức Poisson được sử dụng chính xác k lần để tính xác suất của một sự kiện xảy ra (xem phân phối Poisson).

5.3. Phân phối Poisson

Định nghĩa 5.3: Một biến ngẫu nhiên rời rạc được gọi là poisson, nếu luật phân phối của nó có dạng sau:

, ở đâu
và
(giá trị hiện có).

Ví dụ về biến ngẫu nhiên Poisson:

Số lượng cuộc gọi đến một trạm tự động trong một khoảng thời gian T.

Số hạt phân rã của một số chất phóng xạ trong một khoảng thời gian T.

Số lượng TV vào xưởng trong một khoảng thời gian Tở thành phố lớn .

Số lượng ô tô sẽ đến vạch dừng của một ngã tư trong một thành phố lớn .

Lưu ý 1: Các bảng đặc biệt để tính toán các xác suất này được nêu trong Phụ lục 3.

Nhận xét2: Trong một loạt các thử nghiệm độc lập (khi N Tuyệt, P nhỏ) để tính xác suất của một sự kiện xảy ra chính xác k khi công thức Poisson được sử dụng:
, ở đâu
, nghĩa là số lần xuất hiện trung bình của các sự kiện không đổi.

Nhận xét 3: Nếu có một biến ngẫu nhiên được phân phối theo luật Poisson thì nhất thiết phải có một biến ngẫu nhiên được phân phối theo luật hàm mũ và ngược lại (xem phân phối hàm mũ).

Thí dụ. Nhà máy gửi đến cơ sở 5000 sản phẩm chất lượng tốt. Xác suất sản phẩm bị hư hỏng trong quá trình vận chuyển bằng 0,0002 . Tìm xác suất để có đúng ba mặt hàng không sử dụng được sẽ đến cơ sở.

Dung dịch: Theo điều kiện N = 5000, P = 0,0002, k = 3. Hãy tìm λ: λ = np= 5000 0,0002 = 1.

Theo công thức Poisson, xác suất mong muốn bằng:

, trong đó biến ngẫu nhiên X- số lượng sản phẩm bị lỗi.

5.4. Phân bố hình học

Hãy để các thử nghiệm độc lập được thực hiện, trong mỗi thử nghiệm xác suất xảy ra sự kiện NHƯNG bằng P(0p

q = 1 - P. Thử nghiệm kết thúc ngay khi sự kiện xuất hiện NHƯNG. Do đó, nếu một sự kiện NHƯNG xuất hiện trong k-thử nghiệm, sau đó trong lần trước k – 1 Nó không hiển thị trong các bài kiểm tra.

Biểu thị bởi X biến ngẫu nhiên rời rạc - số lần thử nghiệm được thực hiện trước khi sự kiện xảy ra lần đầu tiên NHƯNG. Rõ ràng, các giá trị có thể X là các số tự nhiên x 1 \ u003d 1, x 2 \ u003d 2, ...

Hãy để người đầu tiên k-1 sự kiện thử nghiệm NHƯNGđã không đến, nhưng k thử nghiệm thứ xuất hiện. Xác suất của "sự kiện phức tạp" này, theo định lý nhân xác suất của các sự kiện độc lập, P (X = k) = q k -1 P.

Định nghĩa 5.4: Một biến ngẫu nhiên rời rạc có phân bố hình học nếu luật phân phối của nó có dạng sau:

P ( X = k ) = q k -1 P , ở đâu
.

Lưu ý 1: Giả định k = 1,2,… , chúng tôi nhận được một tiến trình hình học với số hạng đầu tiên P và mẫu số q (0q. Vì lý do này, phân bố được gọi là hình học.

Nhận xét2: Hàng ngang
hội tụ và tổng của nó bằng một. Thật vậy, tổng của chuỗi là
.

Thí dụ. Súng bắn vào mục tiêu cho đến khi phát đạn đầu tiên. Xác suất bắn trúng mục tiêu P = 0,6 . Tìm xác suất để lần bắn trúng thứ ba xảy ra.

Dung dịch: Theo điều kiện P = 0,6, q = 1 – 0,6 = 0,4, k = 3. Xác suất mong muốn bằng:

P (X = 3) = 0,4 2 0,6 = 0,096.

5.5. Phân bố siêu đo

Hãy xem xét vấn đề sau. Cho bữa tiệc ra ngoài N sản phẩm có sẵn M Tiêu chuẩn (MN). được chọn ngẫu nhiên từ bữa tiệc N sản phẩm (mỗi sản phẩm có thể được loại bỏ với cùng một xác suất), và sản phẩm đã chọn không được trả lại lô trước khi chọn sản phẩm tiếp theo (do đó, công thức Bernoulli không được áp dụng ở đây).

Biểu thị bởi X biến ngẫu nhiên - số m sản phẩm tiêu chuẩn trong số Nđã chọn. Sau đó, các giá trị có thể X sẽ là 0, 1, 2,…, tối thiểu; Hãy gắn nhãn chúng và ... trên giá trị của biến độc lập (Fonds), sử dụng nút ( chương ...

Phức hợp giáo dục và phương pháp cho môn học "Hội thảo tâm lý chung"

Khu phức hợp đào tạo và siêu học

... phương pháp luận hướng dẫn trên thực hiện công việc thực tế 5.1 có phương pháp khuyến nghị trên thực hiện các dự án đào tạo 5.2 có phương pháp khuyến nghị trên... nhạy cảm), một chiều và đa chiều ... ngẫu nhiên thành phần trong kích thước... Với tiết diện"Màn biểu diễn...

Phức hợp giáo dục và phương pháp luận trong ngành vật lý (tên)

Khu phức hợp đào tạo và siêu học

... phần trong sách giáo khoa. Giải quyết vấn đề trên mỗi chủ đề. công phu có phương pháp hướng dẫnđến phòng thí nghiệm làm việc trên ... ngẫu nhiên và sai số đo lường công cụ 1.8 Đối tượng của công việc điều khiển và phương pháp luận hướng dẫn trên... Hạt trong một chiều lỗ tiềm năng. ...

Hướng dẫn làm việc trong phòng thí nghiệm trong lĩnh vực tin học

Nguyên tắc

... có phương pháp hướng dẫnđến CÔNG TRÌNH LAO ĐỘNG trên ... kích cỡ, và số tiền lớn nhất số lượng... mảng ngẫu nhiên số ... 3.0 4.0 3.0 -2.5 14.3 16.2 18.0 1.0 a) một chiều mảng b) mảng hai chiều Hình. 2– Các tệp ... được mô tả trong tiết diện thực hiện sau ...

Biến ngẫu nhiên liên tục có vô số giá trị có thể có. Vì vậy, không thể giới thiệu một loạt phân phối cho họ.

Thay vì xác suất để biến ngẫu nhiên X sẽ nhận một giá trị bằng x, tức là p (X = x), hãy xem xét xác suất để X nhận một giá trị nhỏ hơn x, tức là P (X< х).

Chúng tôi giới thiệu một đặc tính mới của biến ngẫu nhiên - hàm phân phối và xem xét các tính chất của nó.

Hàm phân phối là đặc tính chung nhất của một biến ngẫu nhiên. Nó có thể được định nghĩa cho cả biến ngẫu nhiên rời rạc và liên tục:

F (x) = p (X< x).

Thuộc tính hàm phân phối.

Hàm phân phối là một hàm không giảm của đối số của nó, tức là nếu:

Tại trừ đi vô cùng, hàm phân phối bằng 0:

Tại cộng vô cùng, hàm phân phối bằng một:

Xác suất của một biến ngẫu nhiên rơi vào một khoảng thời gian nhất định được xác định theo công thức:

Hàm f (x), bằng đạo hàm của hàm phân phối, được gọi là mật độ xác suất của một biến ngẫu nhiên X hoặc mật độ phân phối:

Hãy biểu diễn xác suất trúng mục từ b đến c theo f (x). Nó bằng tổng các phần tử xác suất trong phần này, tức là tích phân:

Từ đây, chúng ta có thể biểu diễn hàm phân phối theo mật độ xác suất:

Tính chất mật độ xác suất.

Mật độ xác suất là một hàm không âm (vì hàm phân phối là một hàm không giảm):

Mật độ có lẽ

sti là một hàm liên tục.

Tích phân trong giới hạn vô hạn của mật độ xác suất bằng 1:

Mật độ xác suất có thứ nguyên của một biến ngẫu nhiên.

Kỳ vọng toán học và sự phân tán của một biến ngẫu nhiên liên tục

Ý nghĩa của kỳ vọng toán học và phương sai vẫn giống như trong trường hợp các biến ngẫu nhiên rời rạc. Dạng công thức để tìm chúng thay đổi bằng cách thay thế:

Sau đó, chúng tôi nhận được các công thức để tính kỳ vọng toán học và độ phân tán của một biến ngẫu nhiên liên tục:

Thí dụ. Hàm phân phối của một biến ngẫu nhiên liên tục được cho bởi:

Tìm giá trị của a, mật độ xác suất, xác suất trúng trang web (0,25-0,5), kỳ vọng toán học và phương sai.

Vì hàm phân phối F (x) là liên tục nên với x = 1 ax2 = 1, do đó a = 1.

Mật độ xác suất được tìm thấy dưới dạng đạo hàm của hàm phân phối:

Việc tính toán xác suất bắn trúng một khu vực nhất định có thể được thực hiện theo hai cách: sử dụng hàm phân phối và sử dụng mật độ xác suất.

• Cách thứ nhất. Chúng tôi sử dụng công thức để tìm xác suất thông qua hàm phân phối:
• Cách thứ 2. Chúng tôi sử dụng công thức để tìm xác suất thông qua mật độ xác suất:

Tìm kỳ vọng toán học:

Tìm phương sai:

Phân bố đồng đều

Xét một biến ngẫu nhiên liên tục X, các giá trị có thể có của chúng nằm trong một khoảng thời gian nhất định và có khả năng xảy ra như nhau.

Mật độ xác suất của một biến ngẫu nhiên như vậy sẽ là:

trong đó c là một số hằng số.

Biểu đồ mật độ xác suất sẽ được hiển thị như sau:

Chúng ta biểu diễn tham số c theo b và c. Để làm điều này, chúng tôi sử dụng thực tế là tích phân của mật độ xác suất trên toàn bộ vùng phải bằng 1:

Mật độ phân phối của một biến ngẫu nhiên được phân phối đồng đều

Tìm hàm phân phối:

Hàm phân phối của một biến ngẫu nhiên có phân phối đồng đều

Hãy vẽ biểu đồ của hàm phân phối:

Chúng ta hãy tính kỳ vọng toán học và phương sai của một biến ngẫu nhiên tuân theo phân phối đồng đều.

Khi đó độ lệch chuẩn sẽ giống như sau:

Phân phối bình thường (Gaussian)

Một biến ngẫu nhiên liên tục X được gọi là có phân phối chuẩn với các tham số a, y> 0 nếu nó có mật độ xác suất:

Đường cong phân phối của một biến ngẫu nhiên có dạng:

Kiểm tra 2

Nhiệm vụ 1. Lập quy luật phân phối của một biến ngẫu nhiên rời rạc X, tính kỳ vọng toán học, phương sai và độ lệch chuẩn của một biến ngẫu nhiên.

lựa chọn 1

QCD kiểm tra sản phẩm để đạt tiêu chuẩn. Xác suất để mặt hàng đó đạt tiêu chuẩn là 0,7. 20 mặt hàng đã thử nghiệm. Tìm quy luật phân phối của biến ngẫu nhiên X - số sản phẩm tiêu chuẩn trong số các sản phẩm được kiểm tra. Tính kỳ vọng toán học, phương sai và độ lệch chuẩn của một biến ngẫu nhiên.

Lựa chọn 2

Có 4 quả bóng trong bình, trên đó chỉ ra 2 điểm; bốn; 5; 5. Một quả bóng được rút ra một cách ngẫu nhiên. Tìm quy luật phân phối của một biến ngẫu nhiên X - số điểm trên đó. Tính kỳ vọng toán học, phương sai và độ lệch chuẩn của một biến ngẫu nhiên.

Lựa chọn 3

Thợ săn bắn trò chơi cho đến khi trúng đích, nhưng không được bắn quá ba phát. Xác suất bắn trúng của mỗi lần bắn là 0,6. Lập quy luật phân phối của biến ngẫu nhiên X - số phát bắn của người bắn. Tính kỳ vọng toán học, phương sai và độ lệch chuẩn của một biến ngẫu nhiên.

Lựa chọn 4

Xác suất vượt quá độ chính xác quy định trong phép đo là 0,4. Soạn luật phân phối của một biến ngẫu nhiên X - số lỗi trong 10 lần đo. Tính kỳ vọng toán học, phương sai và độ lệch chuẩn của một biến ngẫu nhiên.

Lựa chọn 5

Xác suất bắn trúng mục tiêu trong một lần bắn là 0,45. Bắn được 20 viên. Soạn luật phân phối của một biến ngẫu nhiên X - số lần truy cập. Tính kỳ vọng toán học, phương sai và độ lệch chuẩn của một biến ngẫu nhiên.

Tùy chọn 6

Sản phẩm của một nhà máy nào đó chứa 5% hôn nhân. Lập luật phân phối cho một biến ngẫu nhiên X - số phế phẩm trong số năm sản phẩm được lấy để cầu may. Tính kỳ vọng toán học, phương sai và độ lệch chuẩn của một biến ngẫu nhiên.

Lựa chọn 7

Các bộ phận cần thiết của nhà lắp ráp nằm trong ba trong số năm hộp. Người lắp ráp mở các hộp cho đến khi anh ta tìm thấy các bộ phận phù hợp. Lập quy luật phân phối của một biến ngẫu nhiên X - số hộp đã mở. Tính kỳ vọng toán học, phương sai và độ lệch chuẩn của một biến ngẫu nhiên.

Tùy chọn 8

Một bình đựng 3 quả cầu đen và 2 bi trắng. Việc tách bi liên tiếp không quay lại được thực hiện cho đến khi xuất hiện màu đen. Soạn luật phân phối của một biến ngẫu nhiên X - số bi rút ra. Tính kỳ vọng toán học, phương sai và độ lệch chuẩn của một biến ngẫu nhiên.

Tùy chọn 9

Học sinh biết 15 câu hỏi trong số 20. Có 3 câu hỏi trong phiếu. Soạn luật phân phối của một biến ngẫu nhiên X - số câu hỏi mà học sinh đã biết trong phiếu. Tính kỳ vọng toán học, phương sai và độ lệch chuẩn của một biến ngẫu nhiên.

Lựa chọn 10

Có 3 bóng đèn, mỗi bóng đèn bị khuyết với xác suất 0,4. Khi bật lên, bóng đèn bị lỗi sẽ cháy hết và được thay thế bằng bóng đèn khác. Lập luật phân phối cho một biến ngẫu nhiên X - số bóng đèn được thử nghiệm. Tính kỳ vọng toán học, phương sai và độ lệch chuẩn của một biến ngẫu nhiên.

Nhiệm vụ 2. Biến ngẫu nhiên X được cho bởi hàm phân phối F (X). Tìm mật độ phân phối, kỳ vọng toán học, phương sai và cả xác suất biến ngẫu nhiên rơi vào khoảng (b, c). Dựng đồ thị của hai hàm F (X) và f (X).

lựa chọn 1

Lựa chọn 2

Lựa chọn 3

Lựa chọn 4

Lựa chọn 5

Tùy chọn 6

Lựa chọn 7

Tùy chọn 8

Tùy chọn 9

Lựa chọn 10

Câu hỏi cho kỳ thi

Định nghĩa cổ điển của xác suất.

Các yếu tố của tổ hợp. Chỗ ở. Các ví dụ.

Các yếu tố của tổ hợp. Hoán vị. Các ví dụ.

Các yếu tố của tổ hợp. Sự kết hợp. Các ví dụ.

Định lý về tổng các xác suất.

Định lý nhân xác suất.

Hoạt động trên các sự kiện.

Công thức xác suất tổng.

Công thức Bayes.

Sự lặp lại của các bài kiểm tra. Công thức Bernoulli.

Các biến ngẫu nhiên rời rạc. Phạm vi phân phối. Thí dụ.

Kỳ vọng toán học của một biến ngẫu nhiên rời rạc.

Sự phân tán của một biến ngẫu nhiên rời rạc.

Phân phối nhị thức của một biến ngẫu nhiên.

Phân phối Poisson.

Phân phối theo quy luật cấp tiến hình học.

Biến ngẫu nhiên liên tục. Chức năng phân phối và các thuộc tính của nó.

Mật độ xác suất và các tính chất của nó.

Kỳ vọng toán học của một biến ngẫu nhiên liên tục.

Sự phân tán của một biến ngẫu nhiên liên tục.

Phân phối đồng đều của một biến ngẫu nhiên liên tục.

Luật phân phối chuẩn.

Các khái niệm về kỳ vọng toán học M(X) và sự phân tán D(X) được giới thiệu trước đó cho một biến ngẫu nhiên rời rạc có thể được mở rộng cho các biến ngẫu nhiên liên tục.

· Kỳ vọng toán học M(X) biến ngẫu nhiên liên tục X được xác định bởi đẳng thức:

với điều kiện là tích phân này hội tụ.

· Độ phân tán D(X) biến ngẫu nhiên liên tục Xđược xác định bởi đẳng thức:

· Độ lệch chuẩnσ( X) biến ngẫu nhiên liên tục được xác định bởi đẳng thức:

Tất cả các thuộc tính của kỳ vọng toán học và sự phân tán được xem xét trước đó đối với các biến ngẫu nhiên rời rạc cũng có giá trị đối với các biến liên tục.

Bài toán 5.3. Giá trị ngẫu nhiên Xđược cung cấp bởi hàm vi phân f(x):

Tìm thấy M(X), D(X), σ( X), cũng như P(1 < X< 5).

Dung dịch:

M(X)= =

+ = 8/9 0+9/6 4/6=31/18,

D(X)=

= = /

P 1 =

Nhiệm vụ

5.1. X

f(x), cũng như

R(‒1/2 < X< 1/2).

5.2. Biến ngẫu nhiên liên tục Xđược cung cấp bởi hàm phân phối:

Tìm hàm phân phối vi phân f(x), cũng như

R(2π / 9< X< π /2).

5.3. Biến ngẫu nhiên liên tục X

Tìm: a) số Với; b) M(X), D(X).

5.4. Biến ngẫu nhiên liên tục Xđược cho bởi mật độ phân phối:

Tìm: a) số Với; b) M(X), D(X).

5.5. X:

Tìm một) F(X) và vẽ đồ thị của nó; b) M(X), D(X), σ( X); c) xác suất để trong bốn lần thử nghiệm độc lập, giá trị X nhận đúng 2 lần giá trị thuộc khoảng (1; 4).

5.6. Cho mật độ phân phối xác suất của một biến ngẫu nhiên liên tục X:

Tìm một) F(X) và vẽ đồ thị của nó; b) M(X), D(X), σ( X); c) xác suất để trong ba lần thử nghiệm độc lập, giá trị X sẽ lấy đúng 2 lần giá trị thuộc khoảng.

5.7. Hàm số f(X) được cho là:

Với X; b) chức năng phân phối F(x).

5.8. Hàm số f(x) được cho là:

Tìm: a) giá trị của hằng số Với, tại đó hàm sẽ là mật độ xác suất của một số biến ngẫu nhiên X; b) chức năng phân phối F(x).

5.9. Giá trị ngẫu nhiên X, tập trung trên khoảng (3; 7), được cho bởi hàm phân phối F(X)= X nhận giá trị: a) nhỏ hơn 5, b) không nhỏ hơn 7.

5.10. Giá trị ngẫu nhiên X, tập trung trên khoảng (-1; 4), được cho bởi hàm phân phối F(X)= . Tìm xác suất để biến ngẫu nhiên X nhận giá trị: a) nhỏ hơn 2, b) nhỏ hơn 4.

5.11.

Tìm: a) số Với; b) M(X); c) xác suất R(X> M(X)).

5.12. Biến ngẫu nhiên được cung cấp bởi hàm phân phối vi phân:

Tìm một) M(X); b) xác suất R(X ≤ M(X)).

5.13. Phân phối thời gian được cho bởi mật độ xác suất:

Chứng minh rằng f(x) thực sự là một phân phối mật độ xác suất.

5.14. Cho mật độ phân phối xác suất của một biến ngẫu nhiên liên tục X:

Tìm một số Với.

5.15. Giá trị ngẫu nhiên X phân bố theo định luật Simpson (tam giác cân) trên đoạn [-2; 2] (Hình 5.4). Tìm biểu thức phân tích cho mật độ xác suất f(x) trên toàn bộ trục số.

Cơm. 5.4 Hình. 5.5

5.16. Giá trị ngẫu nhiên X phân bố theo luật "tam giác vuông" trong khoảng (0; 4) (Hình 5.5). Tìm biểu thức phân tích cho mật độ xác suất f(x) trên toàn bộ trục số.

Câu trả lời

P (-1/2<X<1/2)=2/3.

P(2π / 9<X< π /2)=1/2.

5.3. một) Với= 1/6, b) M(X) = 3, c) D(X)=26/81.

5.4. một) Với= 3/2, b) M(X) = 3/5, c) D(X)=12/175.

b) M(X)= 3 , D(X)= 2/9, σ ( X)= /3.

b) M(X)=2 , D(X)= 3, σ ( X)= 1,893.

5.7. a) c =; b)

5.8. một) Với= 1/2; b)

5.9. a) 1/4; b) 0.

5.10. a) 3/5; b) 1.

5.11. một) Với= 2; b) M(X)= 2; trong 1- ln 2 2 ≈ 0,5185.

5.12. một) M(X)= π / 2; b) 1/2