Khảo sát sự hội tụ của một số chuỗi ví dụ. Hàng cho ấm trà

Cho một dãy số dương $ \sum_(n=1) ^\infty a_n $. Hãy để chúng tôi xây dựng tiêu chí cần thiết cho sự hội tụ của chuỗi:

Nếu chuỗi hội tụ, thì giới hạn của số hạng chung của nó bằng 0: $$ \lim _(n \to \infty) a_n = 0 $$
Nếu giới hạn của số hạng chung của chuỗi không bằng 0, thì chuỗi sẽ phân kỳ: $$ \lim _(n \to \infty) a_n \neq 0 $$

Chuỗi điều hòa tổng quát

Loạt bài này được viết như sau $ \sum_(n=1) ^\infty \frac(1)(n^p) $. Ngoài ra, tùy thuộc vào $ p $, chuỗi hội tụ hoặc phân kỳ:

Nếu $ p = 1 $, thì chuỗi $ \sum_(n=1) ^\infty \frac(1)(n) $ phân kỳ và được gọi là điều hòa, mặc dù thực tế là số hạng phổ biến $ a_n = \frac(1 )( n) \đến 0 $. Tại sao vậy? Nhận xét nói rằng tiêu chí cần thiết không đưa ra câu trả lời về sự hội tụ, mà chỉ về sự phân kỳ của chuỗi. Do đó, nếu chúng ta áp dụng một phép thử đầy đủ, chẳng hạn như phép thử Cauchy tích phân, thì rõ ràng là chuỗi phân kỳ!
Nếu $ p \leqslant 1 $, thì chuỗi phân kỳ. Ví dụ, $ \sum_(n=1) ^\infty \frac(1)(\sqrt(n)) $, trong đó $ p = \frac(1)(2) $
Nếu $ p > 1 $ thì chuỗi hội tụ. Ví dụ, $ \sum_(n=1) ^\infty \frac(1)(\sqrt(n^3)) $, trong đó $ p = \frac(3)(2) > 1 $

ví dụ về giải pháp

ví dụ 1
Chứng minh chuỗi phân kỳ $ \sum_(n=1) ^\infty \frac(n)(6n+1) $
Dung dịch
Chuỗi tích cực, chúng tôi viết ra thuật ngữ phổ biến: $$ a_n = \frac(n)(6n+1) $$ Tính giới hạn tại $n \to \infty $: $$ \lim _(n \to \infty) \frac(n)(6n+1) = \frac(\infty)(\infty) = $$ Đặt dấu ngoặc $ n $ ở mẫu số rồi rút gọn: $$ = \lim_(n \to \infty) \frac(n)(n(6+\frac(1)(n))) = \lim_(n \to \infty) \frac(1)(6 + \frac(1)(n)) = \frac(1)(6) $$ Vì chúng ta đã nhận được $ \lim_(n\to \infty) a_n = \frac(1)(6) \neq 0 $, phép thử Cauchy yêu cầu không được thỏa mãn và chuỗi do đó phân kỳ. Nếu bạn không thể giải quyết vấn đề của mình, hãy gửi nó cho chúng tôi. Chúng tôi sẽ cung cấp một giải pháp chi tiết. Bạn sẽ có thể tự làm quen với tiến trình tính toán và thu thập thông tin. Điều này sẽ giúp bạn nhận được tín dụng từ giáo viên một cách kịp thời!
Câu trả lời
Chuỗi phân kỳ

Ví dụ #9

Khảo sát sự hội tụ của chuỗi $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(\sqrt(n))\arctg\frac(\pi)(\sqrt(2n-1)) $.

Vì giới hạn tổng dưới là 1 nên số hạng chung của dãy số được viết dưới dấu tổng: $u_n=\frac(1)(\sqrt(n))\arctg\frac(\pi)(\sqrt(2n- 1))$ . Đầu tiên, hãy xác định xem chuỗi này có dương hay không, tức là bất đẳng thức $u_n≥ 0$ có đúng không? Hệ số $\frac(1)(\sqrt(n))> 0$, điều đó rõ ràng, nhưng còn tiếp tuyến của cung thì sao? Không có gì phức tạp với arctangues: vì $\frac(\pi)(\sqrt(2n-1)) >0$, nên $\arctg\frac(\pi)(\sqrt(2n-1))>0$ . Kết luận: chuỗi của chúng tôi là tích cực. Hãy áp dụng phép thử so sánh để nghiên cứu câu hỏi về sự hội tụ của chuỗi này.

Đầu tiên, hãy chọn một loạt mà chúng ta sẽ so sánh. Nếu $n\to\infty$ thì $\frac(\pi)(\sqrt(2n-1))\to 0$. Do đó, $\arctg\frac(\pi)(\sqrt(2n-1))\sim\frac(\pi)(\sqrt(2n-1))$. Tại sao vậy? Nếu chúng ta nhìn vào bảng ở cuối tài liệu này, chúng ta sẽ thấy công thức $\arctg x\sim x$ cho $x\to 0$. Chúng tôi đã sử dụng công thức này, chỉ trong trường hợp của chúng tôi $x=\frac(\pi)(\sqrt(2n-1))$.

Trong biểu thức $\frac(1)(\sqrt(n))\arctg\frac(\pi)(\sqrt(2n-1))$ tiếp tuyến của cung bởi phân số $\frac(\pi)(\sqrt (2n- 1))$. Chúng tôi nhận được như sau: $\frac(1)(\sqrt(n))\frac(\pi)(\sqrt(2n-1))$. Chúng tôi đã làm việc với các phân số như vậy trước đây. Loại bỏ các phần tử "phụ", chúng ta đến phân số $\frac(1)(\sqrt(n)\cdot\sqrt(n))=\frac(1)(n^(\frac(1)(2) +\frac (1)(3)))=\frac(1)(n^(\frac(5)(6)))$. Chúng tôi sẽ so sánh chuỗi đã cho bằng cách sử dụng . Vì $\frac(5)(6)≤ 1$, nên chuỗi $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n^\frac(5)(6))$ phân kỳ.

$$ \lim_(n\to\infty)\frac(\frac(1)(\sqrt(n))\arctg\frac(\pi)(\sqrt(2n-1)))(\frac(1) (n^\frac(5)(6)))=\left|\frac(0)(0)\right|=\left|\begin(aligned)&\frac(\pi)(\sqrt(2n- 1))\to 0;\\&\arctg\frac(\pi)(\sqrt(2n-1))\sim\frac(\pi)(\sqrt(2n-1)).\end(căn chỉnh) \right| =\lim_(n\to\infty)\frac(\frac(1)(\sqrt(n))\cdot\frac(\pi)(\sqrt(2n-1)))(\frac(1)( n^\frac(5)(6))) =\\=\pi\cdot\lim_(n\to\infty)\frac(\sqrt(n))(\sqrt(2n-1)) =\pi \cdot\lim_(n\to\infty)\frac(1)(\sqrt(2-\frac(1)(n)))=\pi\cdot\frac(1)(\sqrt(2-0) )=\frac(\pi)(\sqrt(2)). $$

kể từ $0<\frac{\pi}{\sqrt{2}}<\infty$, то ряды $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}\arctg\frac{\pi}{\sqrt{2n-1}}$ и $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^\frac{5}{6}}$ сходятся либо расходятся одновременно. Так как ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^\frac{5}{6}}$ расходится, то одновременно с ним будет расходиться и ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}\arctg\frac{\pi}{\sqrt{2n-1}}$.

Tôi lưu ý rằng trong trường hợp này, thay vì cung tiếp tuyến trong biểu thức của số hạng chung của chuỗi, có thể có sin, cung sin hoặc tiếp tuyến. Giải pháp sẽ vẫn như cũ.

Câu trả lời: chuỗi phân kỳ.

Ví dụ #10

Nghiên cứu chuỗi $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\left(1-\cos\frac(7)(n)\right)$ để tìm sự hội tụ.

Vì giới hạn dưới của tổng bằng 1 nên số hạng chung của dãy số được viết dưới dấu tổng: $u_n=1-\cos\frac(7)(n)$. Vì với mọi giá trị của $x$, chúng ta có $-1≤\cos x≤ 1$, thì $\cos\frac(7)(n)≤ 1$. Do đó, $1-\cos\frac(7)(n)≥ 0$, tức là $u_n≥ 0$. Chúng tôi đang đối phó với một loạt tích cực.

Nếu $n\to\infty$ thì $\frac(7)(n)\to 0$. Do đó $1-\cos\frac(7)(n)\sim \frac(\left(\frac(7)(n)\right)^2)(2)=\frac(49)(2n^2) $ . Tại sao vậy? Nếu nhìn vào bảng ở cuối tài liệu này, chúng ta sẽ thấy công thức $1-\cos x \sim \frac(x^2)(2)$ cho $x\to 0$. Chúng tôi đã sử dụng công thức này, chỉ trong trường hợp của chúng tôi $x=\frac(7)(n)$.

Hãy để chúng tôi thay thế biểu thức $1-\cos\frac(7)(n)$ bằng $\frac(49)(2n^2)$. Loại bỏ các phần tử "phụ", chúng ta có được phân số $\frac(1)(n^2)$. Với chuỗi $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n^2)$, chúng ta sẽ so sánh chuỗi đã cho bằng cách sử dụng . Vì $2 > 1$ nên chuỗi $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n^2)$ hội tụ.

$$ \lim_(n\to\infty)\frac(1-\cos\frac(7)(n))(\frac(1)(n^2))=\left|\frac(0)(0 )\right|= \left|\begin(căn chỉnh)&\frac(7)(n)\to 0;\\&1-\cos\frac(7)(n)\sim\frac(49)(2n^ 2).\end(căn chỉnh)\right| =\lim_(n\to\infty)\frac(\frac(49)(2n^2))(\frac(1)(n^2))=\frac(49)(2). $$

kể từ $0<\frac{49}{2}<\infty$, то ряды $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(1-\cos\frac{7}{n}\right)$ и $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$ сходятся либо расходятся одновременно. Так как ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$ сходится, то одновременно с ним будет сходиться и ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(1-\cos\frac{7}{n}\right)$.

Câu trả lời: chuỗi hội tụ.

Ví dụ #11

Khảo sát sự hội tụ của chuỗi $\sum\limits_(n=1)^(\infty)n\left(e^\frac(3)(n)-1\right)^2$.

Vì giới hạn tổng dưới là 1 nên số hạng chung của dãy số được viết dưới dấu tổng: $u_n=n\left(e^\frac(3)(n)-1\right)^2$. Vì cả hai yếu tố đều dương, nên $u_n >0$, tức là chúng tôi đang đối phó với một loạt tích cực.

Nếu $n\to\infty$ thì $\frac(3)(n)\to 0$. Do đó $e^\frac(3)(n)-1\sim\frac(3)(n)$. Công thức chúng tôi sử dụng nằm trong bảng ở cuối tài liệu này: $e^x-1 \sim x$ cho $x\to 0$. Trong trường hợp của chúng tôi $x=\frac(3)(n)$.

Chúng ta hãy thay thế biểu thức $e^\frac(3)(n)-1$ bởi $\frac(3)(n)$, do đó thu được $n\cdot\left(\frac(3)(n)\right )^ 2=\frac(9)(n)$. Loại bỏ số, chúng ta đến phân số $\frac(1)(n)$. Với chuỗi điều hòa $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n)$, chúng ta sẽ so sánh chuỗi đã cho bằng cách sử dụng . Hãy để tôi nhắc bạn rằng chuỗi điều hòa phân kỳ.

$$ \lim_(n\to\infty)\frac(n\left(e^\frac(3)(n)-1\right)^2)(\frac(1)(n))=\lim_( n\to\infty)\frac(\left(e^\frac(3)(n)-1\right)^2)(\frac(1)(n^2)) =\left|\frac(0 )(0)\right|=\left|\begin(căn chỉnh)&\frac(3)(n)\to 0;\\&e^\frac(3)(n)-1\sim\frac(3) (n).\end(căn chỉnh)\right| =\lim_(n\to\infty)\frac(\frac(9)(n^2))(\frac(1)(n^2))=9. $$

kể từ $0<9<\infty$, то одновременно с рядом $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$ будет расходиться и ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}n\left(e^\frac{3}{n}-1\right)^2$.

Câu trả lời: chuỗi phân kỳ.

Ví dụ #12

Khảo sát sự hội tụ của chuỗi $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\ln\frac(n^3+7)(n^3+5)$.

Vì giới hạn tổng dưới là 1 nên số hạng chung của chuỗi được viết dưới dấu tổng: $u_n=\ln\frac(n^3+7)(n^3+5)$. Vì với bất kỳ giá trị nào của $n$, chúng ta có $n^3+7 > n^3+5$, khi đó $\frac(n^3+7)(n^3+5) > 1$. Do đó, $\ln\frac(n^3+7)(n^3+5) > 0$, tức là $u_n > 0$. Chúng tôi đang đối phó với một loạt tích cực.

Nhận thấy sự tương đương cần thiết trong trường hợp này hơi khó khăn. Hãy viết biểu thức dưới logarit ở dạng hơi khác:

$$ \ln\frac(n^3+7)(n^3+5)=\ln\frac(n^3+5+2)(n^3+5)=\ln\left(\frac( n^3+5)(n^3+5)+\frac(2)(n^3+5)\right)=\ln\left(1+\frac(2)(n^3+5)\ bên phải). $$

Bây giờ công thức hiển thị: $\ln(1+x)\sim x$ for $x\to 0$. Vì đối với $n\to\infty$ chúng ta có $\frac(2)(n^3+5)\đến 0$, nên $\ln\left(1+\frac(2)(n^3+5) \right)\sim\frac(2)(n^3+5)$.

Hãy để chúng tôi thay thế biểu thức $\ln\frac(n^3+7)(n^3+5)$ bằng $\frac(2)(n^3+5)$. Loại bỏ các phần tử "phụ", chúng ta có được phân số $\frac(1)(n^3)$. Với chuỗi $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n^3)$ mà chúng ta sẽ so sánh chuỗi đã cho bằng cách sử dụng . Vì $3 > 1$ nên chuỗi $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n^3)$ hội tụ.

$$ \lim_(n\to\infty)\frac(\ln\frac(n^3+7)(n^3+5))(\frac(1)(n^3))=\lim_(n \to\infty)\frac(\ln\left(1+\frac(2)(n^3+5)\right))(\frac(1)(n^3))=\left|\frac( 0)(0)\right|= \left|\begin(căn chỉnh)&\frac(2)(n^3+5)\to 0;\\&\ln\left(1+\frac(2)( n^3+5)\right)\sim\frac(2)(n^3+5).\end(aligned)\right|=\\ =\lim_(n\to\infty)\frac(\frac (2)(n^3+5))(\frac(1)(n^3)) =\lim_(n\to\infty)\frac(2n^3)(n^3+5)=\lim_ (n\to\infty)\frac(2)(1+\frac(5)(n^3))=\frac(2)(1+0)=2. $$

kể từ $0<2<\infty$, то одновременно с рядом $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}$ сходится и ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\ln\frac{n^3+7}{n^3+5}$.

Câu trả lời: chuỗi hội tụ.

Ví dụ #13

Khám phá chuỗi $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(n^n)(7^n\cdot n$ на сходимость.!}

Vì giới hạn tổng dưới là 1 nên số hạng chung của dãy số được viết dưới dấu tổng: $u_n=\frac(n^n)(7^n\cdot n$. Так как $u_n ≥ 0$, то заданный ряд является положительным.!}

Đăng kí

Trang dịch vụ trực tuyến sẽ giúp bạn tìm trực tuyến tổng của một dãy số của cả dãy số và dãy hàm. Tổng của một chuỗi đối với các nhà toán học là một điều đặc biệt trong việc hiểu phân tích các đại lượng số và việc đi đến giới hạn. Rất nhiều công trình hữu ích đã được nói và viết về giải pháp chung của chuỗi trong vài thế kỷ qua. Đối với cá nhân mỗi giáo viên, nhiệm vụ quan trọng là truyền đạt những kiến thức toán học tích lũy được của mình cho người nghe cuối cùng, đó là học sinh. Việc tìm tổng như vậy của chuỗi 1/n sẽ dễ dàng hơn. Tổng của chuỗi 1/n^2 sẽ được trình bày cho bạn trong một ký hiệu ngắn.. Cùng với việc xác định tổng của một chuỗi của một dãy số trực tuyến, trang web có thể tìm thấy cái gọi là tổng riêng của một chuỗi trực tuyến. Điều này chắc chắn sẽ giúp ích cho các biểu diễn giải tích, khi tổng của chuỗi trực tuyến cần được biểu diễn và tìm ra như một nghiệm cho giới hạn của chuỗi số tổng từng phần của chuỗi. Về cốt lõi, tổng của một chuỗi không gì khác hơn là hoạt động nghịch đảo của việc mở rộng một hàm thành một chuỗi. Hoạt động gần như đối ứng trong tự nhiên. Tình cờ là sự hội tụ của một chuỗi được nghiên cứu sau khi vượt qua một khóa học về giải tích toán học sau các giới hạn. Giải pháp tìm thấy của chuỗi có nghĩa là kết quả nghiên cứu của nó về sự hội tụ hoặc phân kỳ. Kết quả này được xác định duy nhất. So với các trang web tương tự, trang web có những ưu điểm không thể phủ nhận, bởi vì nó có thể tìm thấy tổng của một chuỗi trực tuyến của cả chuỗi số và chuỗi chức năng, cho phép bạn xác định rõ ràng diện tích hội tụ của chuỗi ban đầu ban đầu , sử dụng gần như tất cả các phương pháp được khoa học biết đến. Dựa trên lý thuyết dãy số, điều kiện cần để một dãy số luôn hội tụ sẽ là giới hạn của số hạng chung của dãy số bằng 0 ở vô cực. Nhưng điều kiện này là không đủ khi thiết lập sự hội tụ của một chuỗi số trực tuyến. Hãy lạc đề một chút khỏi vấn đề cấp bách và tranh luận từ một quan điểm triết học khác về chuỗi trong toán học. Đối với bạn, giải pháp hàng loạt trực tuyến này sẽ trở thành máy tính và trợ lý tốt nhất cho mỗi ngày. Hoàn toàn không phải là mong muốn ngồi ngoài những ngày mùa đông đẹp trời để học bài, khi tổng của hàng ở hai tài khoản ngay trước mắt bạn. Nếu ai đó cần xác định số dặm của hàng, thì sẽ mất vài giây sau khi nhập dữ liệu chính xác sơ bộ. Mặc dù các trang web tương tự yêu cầu thù lao cho các dịch vụ của họ, nhưng chúng tôi cố gắng trở nên hữu ích cho tất cả những ai muốn tìm hiểu cách tự giải quyết các ví dụ bằng dịch vụ đơn giản của chúng tôi. Theo quyết định của bạn, chúng tôi có thể trình bày giải pháp của chuỗi trực tuyến trên bất kỳ thiết bị hiện đại nào, tức là trên bất kỳ trình duyệt nào.Vì vậy, việc tìm và chứng minh rằng tổng của chuỗi 1/n phân kỳ tại vô cực sẽ là một nhiệm vụ đơn giản. Hãy luôn nhớ cách tổng của chuỗi 1/n^2 hội tụ và có ý nghĩa ngữ nghĩa rất lớn trong toán học. Nhưng tổng của chuỗi cuối cùng thường được xác định sau khi sử dụng, chẳng hạn như dấu tích phân hoặc dấu Raabe, điều mà ít người biết đến trong các trường đại học thông thường. Bằng cách xác định sự hội tụ của chuỗi trực tuyến, các nhà khoa học đã rút ra đủ dấu hiệu khác nhau về sự hội tụ hoặc phân kỳ của chuỗi. Nổi tiếng hơn và thường được sử dụng trong các phương pháp này là dấu của D"Alembert, dấu hội tụ Cauchy, dấu hội tụ Raabe, dấu so sánh của dãy số và dấu tích phân của dãy số hội tụ. Chuỗi số như vậy xứng đáng đặc biệt chú ý, trong đó các dấu hiệu của các thuật ngữ nhất thiết phải thay thế lần lượt từ trừ sang cộng và ngược lại, và các giá trị tuyệt đối của các chuỗi số này giảm một cách đơn điệu, nghĩa là đồng nhất. Trong thực tế, nghiên cứu về chuỗi Hóa ra đối với các chuỗi số như vậy, dấu hội tụ cần thiết của chuỗi thay thế dấu hiệu trực tuyến là đủ, nghĩa là giới hạn thuật ngữ chung bằng chuỗi số 0 ở vô cực. Tổng của chuỗi được tìm thấy theo cách này là tương đương cho các phương pháp khác được sử dụng.Sự hội tụ của chuỗi mất rất nhiều thời gian, vì bản thân quá trình này bao gồm một nghiên cứu đầy đủ về chức năng.. Có nhiều trang web khác nhau cung cấp dịch vụ tính tổng của một chuỗi trực tuyến, cũng như mở rộng các chức năng liên tiếp trong dir có trực tuyến tại bất kỳ điểm nào từ miền xác định của hàm đang nghiên cứu. Có thể dễ dàng mở rộng một hàm thành một chuỗi trực tuyến trong các dịch vụ này, vì hàm tính đạo hàm được sử dụng, nhưng hoạt động nghịch đảo - để tìm tổng của một chuỗi hàm trực tuyến, các phần tử của nó không phải là số, mà là các hàm , thường là không thể trong thực tế do những khó khăn phát sinh do thiếu tài nguyên máy tính cần thiết.. Sử dụng tài nguyên của chúng tôi để tính tổng của chuỗi trực tuyến, kiểm tra và củng cố kiến thức của bạn. Nếu tổng của chuỗi phân kỳ, thì chúng tôi sẽ không nhận được kết quả như mong đợi cho các hành động tiếp theo trong một số nhiệm vụ chung. Điều này có thể tránh được trước bằng cách áp dụng kiến thức của bạn với tư cách là một chuyên gia. Cuối cùng, không thể không nhắc đến cách tổng của chuỗi 1/n là đơn giản nhất trong biểu thức và thường được lấy làm ví dụ. Ngay cả khi họ muốn chỉ ra một dấu hiệu hội tụ nào đó trong trường hợp, họ cũng chứng minh nó cho tổng của chuỗi 1/n^2, bởi vì cách biểu diễn như vậy là minh bạch cho học sinh và học sinh không bị nhầm lẫn. Vì chúng ta có một biểu thức cho số hạng tổng quát phức của chuỗi, nên tổng của chuỗi hữu hạn sẽ hữu ích nếu nó được chứng minh cho chuỗi chính (đối với chuỗi ban đầu) mà nó hội tụ. Mặt khác, sự hội tụ của chuỗi sẽ xảy ra không phụ thuộc vào điều kiện ban đầu của bài toán. Chỉ trang web dịch vụ của chúng tôi mới có thể cung cấp giải pháp tốt nhất cho các hàng, bởi vì chỉ chúng tôi mới đảm bảo tiết kiệm thời gian của bạn bằng cách so sánh chi phí tính toán với tính hữu ích và độ chính xác của kết quả. Vì tổng mong muốn của chuỗi có thể được biểu diễn trong hầu hết các trường hợp bằng một chuỗi chính, nên việc nghiên cứu nó sẽ hợp lý hơn. Do đó, sự hội tụ của chuỗi từ thuật ngữ chính hóa sẽ biểu thị rõ ràng sự hội tụ của biểu thức chính và bài toán sẽ tự giải được ngay. của các học viên của họ. Trong một số trường hợp, tổng của chuỗi có thể được tính trong một bài toán vật lý, hóa học hoặc một môn học ứng dụng mà không bị mắc kẹt trong các phép tính thông thường, để không đi lạc khỏi dòng chính khi nghiên cứu một số quá trình tự nhiên. Để bắt đầu, họ thường viết ra nhiều nhất là họ không thể ăn một biểu thức đơn giản hóa dưới dạng tổng của một chuỗi 1 / n, và cách tiếp cận này là hợp lý. Số Pi có mặt trong nhiều phép toán, nhưng tổng của chuỗi 1/n^2 có thể nói là một ví dụ kinh điển về sự hội tụ của một chuỗi điều hòa ở vô cực. Biểu thức "tổng của một chuỗi hữu hạn" có nghĩa là gì? Và điều này có nghĩa là nó hội tụ và giới hạn của các tổng riêng của nó có một giá trị số cụ thể. Nếu sự hội tụ của chuỗi được xác nhận và điều này sẽ ảnh hưởng đến sự ổn định cuối cùng của hệ thống, thì có thể thay đổi các tham số đầu vào của vấn đề và thử thực hiện lại. Cuối cùng, chúng tôi muốn đưa ra cho bạn lời khuyên thoạt nhìn có vẻ ẩn ý nhưng rất hữu ích trong thực tế. Ngay cả khi bạn có đủ kinh nghiệm trong việc giải các chuỗi và không cần các dịch vụ như vậy để giải các chuỗi trực tuyến, chúng tôi khuyên bạn nên bắt đầu tìm tổng của một chuỗi bằng cách xác định sự hội tụ của một chuỗi. Chỉ dành một phút cho hành động này, sử dụng trang web, để trong suốt quá trình tính tổng của chuỗi, chỉ cần ghi nhớ thực tế này. Sẽ không thừa đâu! Đã có rất nhiều bài viết về tổng của một chuỗi trực tuyến trên các trang toán học, nhiều hình ảnh minh họa được đính kèm, như ở thế kỷ trước, các nhà khoa học đã biểu thị các biểu thức tính tổng của một chuỗi bằng các ký hiệu. Nhìn chung, ít thay đổi, nhưng có những khoảnh khắc thú vị. Nếu sự hội tụ của chuỗi trực tuyến dường như là không thể, thì chỉ cần kiểm tra dữ liệu đã nhập và bình tĩnh lặp lại yêu cầu. Tuy nhiên, tốt hơn hết là bạn nên kiểm tra kỹ thuật ngữ phổ biến của chuỗi trước. Và bất kỳ giải pháp loạt bài trực tuyến nào sẽ xuất hiện ngay lập tức trên trang web, bạn không cần phải nhấp vào các liên kết bổ sung để nhận được câu trả lời cho nhiệm vụ. Điều tốt nhất, theo các chuyên gia, khiến học sinh đòi hỏi khắt khe hơn trong việc lựa chọn một bộ máy tính giải pháp hàng loạt. Khái niệm về sự hội tụ của chuỗi, tức là sự tồn tại của một tổng hữu hạn, được đầu tư vào tổng của một chuỗi dưới dạng một dịch vụ trực tuyến. Cùng với phần này, các chủ đề cơ bản như tích phân và đạo hàm được giới thiệu, vì chúng đều có liên quan chặt chẽ với nhau. Hãy cùng trò chuyện với chúng tôi về tổng của chuỗi 1/n phân kỳ như thế nào khi biến có xu hướng tiến tới vô cùng. Tuy nhiên, một tổng khác của một chuỗi như 1/n^2, ngược lại, sẽ hội tụ và nhận một biểu thức số hữu hạn. Thật thú vị khi nghiên cứu các trường hợp trong đó tổng của một chuỗi hữu hạn được biểu diễn dần dần dưới dạng các tổng riêng phần trung gian của chuỗi với sự tăng dần biến số lên một hoặc có thể vài đơn vị cùng một lúc. Chúng tôi khuyên bạn nên kiểm tra sự hội tụ của chuỗi trực tuyến sau các giải pháp của riêng bạn cho các nhiệm vụ. Điều này sẽ cho phép bạn hiểu chủ đề một cách chi tiết và nâng cao trình độ kiến thức của bạn. Đừng bao giờ quên điều đó, chúng tôi chỉ đang cố gắng vì bạn. Một lần trong một buổi học, giáo viên cho thấy lời giải của loạt bài trực tuyến bằng công nghệ máy tính. Tôi phải nói rằng mọi người đều thích nó khá nhiều. Sau sự cố này, máy tính đã được yêu cầu trong suốt quá trình nghiên cứu toán học. Sẽ không thừa nếu kiểm tra cách máy tính trực tuyến tính tổng của chuỗi trong vài giây sau khi bạn yêu cầu hiển thị kết quả. Nó sẽ ngay lập tức trở nên rõ ràng theo hướng nào đáng để duy trì quá trình giải quyết vấn đề. Vì không có nhiều bài viết về sự hội tụ của chuỗi trong một số sách giáo khoa đắt tiền, nên tốt hơn là bạn nên tải xuống một số báo cáo hay của các nhà khoa học lỗi lạc từ Internet và tham gia một khóa học về phương pháp của họ. Kết quả sẽ tốt. Khi giải các chuỗi, người ta không thể loại trừ dấu hiệu hội tụ đầu tiên, đó là xu hướng về 0 của giới hạn của số hạng chung của nó. Mặc dù đây không phải là điều kiện đủ nhưng nó luôn cần thiết. Tính toàn vẹn của ví dụ đã giải tạo ra cảm giác dễ chịu cho học sinh khi anh ta hiểu rằng tổng của chuỗi đã được tính mà không cần dùng đến gợi ý. Sách giáo khoa nhằm mục đích hướng dẫn bạn áp dụng các kỹ năng của mình vào thực tế. Khi bạn quên tài liệu đã học, bạn cần dành ít nhất năm phút vào thứ Năm hàng tuần để xem nhanh các bài giảng, nếu không bạn sẽ quên mọi thứ vào đầu buổi học và thậm chí bạn sẽ càng quên mất sự hội tụ của chuỗi bài học như thế nào. tính toán. Bắt đầu với một lần và sau đó vượt qua sự lười biếng của bạn. Không có gì ngạc nhiên khi các giáo viên buộc phải chứng minh tổng của chuỗi 1/n sẽ phân kỳ như thế nào. Tuy nhiên, nếu tổng của chuỗi 1 / n ^ 2 được trình bày dưới dạng một chuỗi xen kẽ, thì sẽ không có gì khủng khiếp xảy ra - sau cùng, chuỗi tuyệt đối sẽ hội tụ! Và tất nhiên, tổng của một chuỗi hữu hạn có thể được bạn đặc biệt quan tâm khi tự học ngành này. Phần lớn các ví dụ được giải bằng phương pháp d'Alembert, và nghiệm của chuỗi trong trường hợp này được rút gọn thành việc tính các giới hạn theo tỷ lệ của các số hạng lân cận của nó, cụ thể là số hạng tiếp theo so với số hạng trước đó. Vì vậy, chúng tôi chúc bạn may mắn trong việc giải toán và mong bạn không bao giờ mắc sai lầm! Chúng ta hãy lấy cái gọi là giải pháp của chuỗi trực tuyến làm cơ sở cơ bản theo hướng bất đồng nghiên cứu, sự tham gia của các nguyên tắc cơ bản và hướng liên ngành khoa học. Hãy để chúng tôi tìm câu trả lời cho bạn và khẳng định với bạn rằng tổng của chuỗi được giải bằng một số phương pháp cơ bản khác nhau, nhưng cuối cùng thì kết quả là như nhau. Gợi ý về sự hội tụ của chuỗi không phải lúc nào cũng rõ ràng đối với học sinh, ngay cả khi họ được cho biết trước câu trả lời, mặc dù tất nhiên, điều này chắc chắn sẽ thúc đẩy họ đến giải pháp đúng. Trừu tượng hóa trong toán học, mặc dù nó vượt lên trên địa phương, tuy nhiên, nó được hỗ trợ bởi lý thuyết và chứng minh một số sự thật không thể chối cãi trong nháy mắt. Người ta không thể bỏ lỡ một khía cạnh như vậy khi giải các chuỗi trực tuyến như khả năng áp dụng hoặc không áp dụng các nguyên tắc lý thuyết cơ bản về sự hội tụ của một chuỗi số và biểu diễn tổng phức của một chuỗi trong một số phiên bản đơn giản hóa để có giao diện đẹp mắt hơn. Nhưng có những trường hợp tổng của chuỗi 1 / n sẽ hội tụ và chúng tôi sẽ không làm phiền bạn với sự cố này, bởi vì tất cả những gì bạn cần làm là thay thế một số nguyên thay vì ký hiệu vô cực và sau đó toàn bộ tổng sẽ được giảm xuống thành chuỗi số học thông thường. Chuỗi điều hòa là tổng của chuỗi 1/n^2, sau đó mạng là bất kỳ công suất tăng nào.