Cách giải phương trình b. Cách giải phương trình với phân số

Hướng dẫn

Ghi chú:π được viết là pi; căn bậc hai là sqrt().

Bước 1. Nhập một ví dụ nhất định bao gồm các phân số.

Bước 2. Nhấp vào nút "Giải quyết".

Bước 3. Nhận kết quả chi tiết.

Để đảm bảo máy tính tính toán phân số chính xác, hãy nhập phân số được phân tách bằng dấu “/”. Ví dụ: . Máy tính sẽ tính toán phương trình và thậm chí hiển thị trên biểu đồ lý do tại sao lại thu được kết quả này.

Phương trình với phân số là gì

Phương trình phân số là phương trình trong đó các hệ số là các số phân số. Các phương trình tuyến tính với phân số được giải theo sơ đồ chuẩn: những ẩn số được chuyển sang một bên, và những cái đã biết sang bên kia.

Hãy xem một ví dụ:

Các phân số chưa biết được chuyển sang bên trái và các phân số khác được chuyển sang bên phải. Khi các số được chuyển vượt quá dấu bằng thì dấu của các số đó chuyển sang ngược lại:

Bây giờ bạn chỉ cần thực hiện các hành động của cả hai vế đẳng thức:

Kết quả là một phương trình tuyến tính thông thường. Bây giờ bạn cần chia vế trái và vế phải cho hệ số của biến.

Giải phương trình với phân số trực tuyến cập nhật: ngày 7 tháng 10 năm 2018 bởi: Bài báo khoa học.Ru

Hãy phân tích hai loại nghiệm của hệ phương trình:

1. Giải hệ bằng phương pháp thay thế.
2. Giải hệ bằng cách cộng (trừ) từng số hạng các phương trình của hệ.

Để giải hệ phương trình bằng phương pháp thay thế bạn cần tuân theo một thuật toán đơn giản:
1. Thể hiện. Từ bất kỳ phương trình nào, chúng tôi thể hiện một biến.
2. Thay thế. Chúng tôi thay thế giá trị kết quả vào một phương trình khác thay vì biến được biểu thị.
3. Giải phương trình thu được với một biến. Chúng tôi tìm thấy một giải pháp cho hệ thống.

Để giải quyết hệ thống bằng phương pháp cộng (trừ) từng số hạng cần phải:
1. Chọn một biến mà chúng ta sẽ tạo các hệ số giống hệt nhau.
2. Chúng ta cộng hoặc trừ các phương trình, thu được phương trình có một biến.
3. Giải phương trình tuyến tính thu được. Chúng tôi tìm thấy một giải pháp cho hệ thống.

Lời giải của hệ là giao điểm của đồ thị hàm số.

Chúng ta hãy xem xét chi tiết giải pháp của các hệ thống bằng cách sử dụng các ví dụ.

Ví dụ 1:

Hãy giải bằng phương pháp thế

Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

2x+5y=1 (1 phương trình)
x-10y=3 (phương trình thứ 2)

1. Thể hiện
Có thể thấy rằng trong phương trình thứ hai có một biến x có hệ số bằng 1, nghĩa là dễ dàng biểu diễn biến x từ phương trình thứ hai.
x=3+10y

2.Sau khi biểu thị xong, chúng ta thay 3+10y vào phương trình đầu tiên thay cho biến x.
2(3+10y)+5y=1

3. Giải phương trình thu được với một biến.
2(3+10y)+5y=1 (mở ngoặc)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2

Giải hệ phương trình là các giao điểm của đồ thị nên ta cần tìm x và y, vì giao điểm gồm có x và y. Hãy tìm x, tại điểm đầu tiên biểu thị nó ta thay thế y.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1

Theo thông lệ, người ta viết điểm ở vị trí đầu tiên là biến x và ở vị trí thứ hai là biến y.
Trả lời: (1; -0,2)

Ví dụ #2:

Hãy giải bằng phương pháp cộng (trừ) từng số hạng.

Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng

3x-2y=1 (1 phương trình)
2x-3y=-10 (phương trình thứ 2)

1. Chúng ta chọn một biến, giả sử chúng ta chọn x. Trong phương trình đầu tiên, biến x có hệ số 3, trong phương trình thứ hai - 2. Chúng ta cần làm cho các hệ số giống nhau, vì điều này chúng ta có quyền nhân các phương trình hoặc chia cho bất kỳ số nào. Chúng ta nhân phương trình đầu tiên với 2 và phương trình thứ hai với 3 và nhận được tổng hệ số là 6.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2. Trừ số thứ hai khỏi phương trình đầu tiên để loại bỏ biến x. Giải phương trình tuyến tính.
__6x-4y=2

5y=32 | :5
y=6,4

3. Tìm x. Chúng ta thay thế y tìm được vào bất kỳ phương trình nào, giả sử vào phương trình đầu tiên.
3x-2y=1
3x-2*6.4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4,6

Giao điểm sẽ là x=4,6; y=6,4
Trả lời: (4.6; 6.4)

Bạn có muốn chuẩn bị cho kỳ thi miễn phí? Gia sư trực tuyến miễn phí. Không đua đâu.

Mục đích của dịch vụ. Máy tính ma trận được thiết kế để giải các hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp ma trận (xem ví dụ giải các bài toán tương tự).

Hướng dẫn. Để giải trực tuyến, bạn cần chọn loại phương trình và đặt chiều của ma trận tương ứng. trong đó A, B, C là ma trận được chỉ định, X là ma trận mong muốn. Các phương trình ma trận dạng (1), (2) và (3) được giải thông qua ma trận nghịch đảo A -1. Nếu đã cho biểu thức A·X - B = C thì trước tiên cần cộng các ma trận C + B và tìm nghiệm của biểu thức A·X = D, trong đó D = C + B. Nếu biểu thức A*X = B 2 được đưa ra thì ma trận B trước tiên phải bình phương.

Bạn cũng nên làm quen với các thao tác cơ bản trên ma trận.

Ví dụ số 1. Bài tập. Tìm nghiệm của phương trình ma trận
Giải pháp. Hãy biểu thị:
Khi đó phương trình ma trận sẽ được viết dưới dạng: A·X·B = C.
Định thức của ma trận A bằng detA=-1
Vì A là ma trận không suy biến nên có ma trận nghịch đảo A -1 . Nhân cả hai vế của phương trình bên trái với A -1: Nhân cả hai vế của phương trình này với A -1 và bên phải với B -1: A -1 ·A·X·B·B -1 = A -1 ·C·B -1 . Vì A A -1 = B B -1 = E và E X = X E = X nên X = A -1 C B -1

Ma trận nghịch đảo A -1:
Hãy tìm ma trận nghịch đảo B -1.
Ma trận chuyển vị B T:
Ma trận nghịch đảo B -1:
Ta tìm ma trận X theo công thức: X = A -1 ·C·B -1

Trả lời:

Ví dụ số 2. Bài tập. Giải phương trình ma trận
Giải pháp. Hãy biểu thị:
Khi đó phương trình ma trận sẽ được viết dưới dạng: A·X = B.
Định thức của ma trận A là detA=0
Vì A là ma trận đơn (định thức bằng 0) nên phương trình vô nghiệm.

Ví dụ số 3. Bài tập. Tìm nghiệm của phương trình ma trận
Giải pháp. Hãy biểu thị:
Khi đó phương trình ma trận sẽ được viết dưới dạng: X A = B.
Định thức của ma trận A là detA=-60
Vì A là ma trận không suy biến nên có ma trận nghịch đảo A -1 . Hãy nhân cả hai vế của phương trình bên phải với A -1: X A A -1 = B A -1, từ đó ta tìm thấy X = B A -1
Hãy tìm ma trận nghịch đảo A -1 .
Ma trận chuyển vị A T:
Ma trận nghịch đảo A -1:
Ta tìm ma trận X theo công thức: X = B A -1


Trả lời: >

Trong video này, chúng ta sẽ phân tích toàn bộ tập hợp các phương trình tuyến tính được giải bằng cùng một thuật toán - đó là lý do tại sao chúng được gọi là đơn giản nhất.

Đầu tiên, chúng ta hãy xác định: phương trình tuyến tính là gì và phương trình nào được gọi là đơn giản nhất?

Phương trình tuyến tính là phương trình trong đó chỉ có một biến và chỉ có bậc một.

Phương trình đơn giản nhất có nghĩa là việc xây dựng:

Tất cả các phương trình tuyến tính khác được giảm xuống mức đơn giản nhất bằng thuật toán:

1. Mở rộng dấu ngoặc đơn, nếu có;
2. Di chuyển các thuật ngữ chứa biến sang một bên của dấu bằng và các thuật ngữ không có biến sang bên kia;
3. Cho các số hạng tương tự ở bên trái và bên phải của dấu bằng;
4. Chia phương trình thu được cho hệ số của biến $x$.

Tất nhiên, thuật toán này không phải lúc nào cũng hữu ích. Thực tế là đôi khi sau tất cả những quá trình gia công này, hệ số của biến $x$ hóa ra bằng 0. Trong trường hợp này, có thể có hai lựa chọn:

1. Phương trình không có nghiệm nào cả. Ví dụ: khi có thứ gì đó như $0\cdot x=8$ xuất hiện, tức là. bên trái là số 0 và bên phải là một số khác 0. Trong video dưới đây, chúng ta sẽ xem xét một số lý do khiến tình huống này có thể xảy ra.
2. Giải pháp là tất cả các con số. Trường hợp duy nhất có thể thực hiện được điều này là khi phương trình được rút gọn về cấu trúc $0\cdot x=0$. Một điều khá logic là cho dù chúng ta thay $x$ bằng bao nhiêu thì kết quả vẫn là “số 0 bằng 0”, tức là. đẳng thức số đúng.

Bây giờ hãy xem tất cả những điều này hoạt động như thế nào bằng cách sử dụng các ví dụ thực tế.

Ví dụ về giải phương trình

Hôm nay chúng ta đang giải quyết các phương trình tuyến tính và chỉ những phương trình đơn giản nhất. Nói chung, một phương trình tuyến tính có nghĩa là bất kỳ đẳng thức nào chứa chính xác một biến và nó chỉ đạt đến bậc một.

Các công trình như vậy được giải quyết theo cách gần giống nhau:

1. Trước hết, bạn cần mở rộng dấu ngoặc đơn, nếu có (như trong ví dụ cuối cùng của chúng tôi);
2. Sau đó kết hợp tương tự
3. Cuối cùng, cô lập biến, tức là di chuyển mọi thứ có liên quan đến biến—các số hạng chứa biến đó—sang một bên và di chuyển mọi thứ còn lại không có biến đó sang phía bên kia.

Sau đó, theo quy định, bạn cần đưa những cái tương tự vào mỗi bên của đẳng thức thu được và sau đó tất cả những gì còn lại là chia cho hệ số “x”, và chúng ta sẽ có được câu trả lời cuối cùng.

Về lý thuyết, điều này có vẻ hay và đơn giản, nhưng trên thực tế, ngay cả những học sinh trung học có kinh nghiệm cũng có thể mắc những lỗi khó chịu trong các phương trình tuyến tính khá đơn giản. Thông thường, lỗi xảy ra khi mở ngoặc hoặc khi tính toán “điểm cộng” và “điểm trừ”.

Ngoài ra, có thể xảy ra trường hợp một phương trình tuyến tính không có nghiệm nào cả hoặc nghiệm là toàn bộ trục số, tức là. bất kỳ số nào. Chúng ta sẽ xem xét những điều tinh tế này trong bài học hôm nay. Nhưng chúng ta sẽ bắt đầu, như bạn đã hiểu, với những nhiệm vụ đơn giản nhất.

Sơ đồ giải phương trình tuyến tính đơn giản

Đầu tiên, tôi xin viết lại toàn bộ sơ đồ giải phương trình tuyến tính đơn giản nhất:

1. Mở rộng dấu ngoặc, nếu có.
2. Chúng tôi cô lập các biến, tức là Chúng tôi di chuyển mọi thứ có chứa “X” sang một bên và mọi thứ không có “X” sang bên kia.
3. Chúng tôi trình bày các điều khoản tương tự.
4. Chúng tôi chia mọi thứ cho hệ số “x”.

Tất nhiên, kế hoạch này không phải lúc nào cũng hiệu quả; có một số sự tinh tế và thủ thuật nhất định trong đó, và bây giờ chúng ta sẽ làm quen với chúng.

Giải các ví dụ thực tế của phương trình tuyến tính đơn giản

Nhiệm vụ số 1

Bước đầu tiên yêu cầu chúng ta mở ngoặc. Nhưng chúng không có trong ví dụ này nên chúng ta bỏ qua bước này. Trong bước thứ hai, chúng ta cần tách biệt các biến. Xin lưu ý: chúng tôi chỉ đang nói về các điều khoản riêng lẻ. Hãy viết nó ra:

Chúng tôi trình bày các thuật ngữ tương tự ở bên trái và bên phải, nhưng điều này đã được thực hiện ở đây. Do đó, chúng ta chuyển sang bước thứ tư: chia cho hệ số:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Vậy là chúng ta đã có câu trả lời.

Nhiệm vụ số 2

Chúng ta có thể thấy các dấu ngoặc đơn trong bài toán này, vì vậy hãy mở rộng chúng:

Cả bên trái và bên phải, chúng ta đều thấy thiết kế gần giống nhau, nhưng hãy hành động theo thuật toán, tức là. tách các biến:

Dưới đây là một số cái tương tự:

Cái này hoạt động ở gốc rễ nào? Trả lời: cho bất kỳ. Vì vậy, chúng ta có thể viết $x$ là số bất kỳ.

Nhiệm vụ số 3

Phương trình tuyến tính thứ ba thú vị hơn:

\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]

Có một số dấu ngoặc ở đây, nhưng chúng không được nhân lên bởi bất cứ thứ gì, chúng chỉ đơn giản được đặt trước bởi các dấu hiệu khác nhau. Hãy chia nhỏ chúng ra:

Chúng tôi thực hiện bước thứ hai mà chúng tôi đã biết:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Hãy làm phép tính:

Chúng tôi thực hiện bước cuối cùng - chia mọi thứ cho hệ số “x”:

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Những điều cần nhớ khi giải phương trình tuyến tính

Nếu chúng ta bỏ qua những nhiệm vụ quá đơn giản, tôi xin nói như sau:

• Như tôi đã nói ở trên, không phải mọi phương trình tuyến tính đều có nghiệm - đôi khi đơn giản là không có nghiệm;
• Ngay cả khi có gốc rễ, có thể không có gốc nào trong số chúng - điều đó không có gì sai cả.

Số 0 cũng giống như những số khác; bạn không nên phân biệt đối xử với nó dưới bất kỳ hình thức nào hoặc cho rằng nếu bạn nhận được số 0 thì bạn đã làm sai điều gì đó.

Một tính năng khác có liên quan đến việc mở dấu ngoặc. Xin lưu ý: khi có dấu “trừ” ở phía trước thì chúng ta xóa nó đi nhưng trong ngoặc đơn chúng ta đổi dấu thành đối diện. Và sau đó chúng ta có thể mở nó bằng các thuật toán tiêu chuẩn: chúng ta sẽ nhận được những gì chúng ta đã thấy trong các phép tính ở trên.

Hiểu được sự thật đơn giản này sẽ giúp bạn tránh mắc phải những sai lầm ngu ngốc và gây tổn thương ở trường trung học, khi việc làm đó được coi là điều hiển nhiên.

Giải phương trình tuyến tính phức tạp

Hãy chuyển sang các phương trình phức tạp hơn. Bây giờ việc xây dựng sẽ trở nên phức tạp hơn và khi thực hiện các phép biến đổi khác nhau, một hàm bậc hai sẽ xuất hiện. Tuy nhiên, chúng ta không nên sợ điều này, vì nếu theo kế hoạch của tác giả, chúng ta giải một phương trình tuyến tính, thì trong quá trình biến đổi, tất cả các đơn thức chứa hàm bậc hai nhất thiết sẽ bị hủy bỏ.

Ví dụ số 1

Rõ ràng, bước đầu tiên là mở dấu ngoặc. Chúng ta hãy làm điều này thật cẩn thận:

Bây giờ chúng ta hãy xem xét quyền riêng tư:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Dưới đây là một số cái tương tự:

Rõ ràng, phương trình này không có nghiệm, vì vậy chúng ta sẽ viết kết quả này trong đáp án:

\[\varnothing\]

hoặc không có rễ.

Ví dụ số 2

Chúng tôi thực hiện các hành động tương tự. Bước đầu tiên:

Hãy di chuyển mọi thứ có biến sang trái và không có biến đó - sang phải:

Dưới đây là một số cái tương tự:

Rõ ràng, phương trình tuyến tính này không có nghiệm nên chúng ta sẽ viết nó như sau:

\[\varnothing\],

hoặc không có rễ.

Sắc thái của giải pháp

Cả hai phương trình đều được giải hoàn toàn. Sử dụng hai biểu thức này làm ví dụ, một lần nữa chúng tôi tin rằng ngay cả trong các phương trình tuyến tính đơn giản nhất, mọi thứ có thể không đơn giản như vậy: có thể có một, hoặc không có, hoặc vô số nghiệm. Trong trường hợp của chúng tôi, chúng tôi đã xem xét hai phương trình, cả hai đều không có gốc.

Nhưng tôi muốn bạn chú ý đến một thực tế khác: cách làm việc với dấu ngoặc đơn và cách mở chúng nếu có dấu trừ phía trước chúng. Hãy xem xét biểu thức này:

Trước khi mở, bạn cần nhân mọi thứ với “X”. Xin lưu ý: nhân mỗi thuật ngữ riêng lẻ. Bên trong có hai số hạng - tương ứng là hai số hạng và được nhân lên.

Và chỉ sau khi những phép biến đổi tưởng chừng như cơ bản nhưng rất quan trọng và nguy hiểm này đã được hoàn thành, bạn mới có thể mở ngoặc theo quan điểm rằng có một dấu trừ sau nó. Có, vâng: chỉ bây giờ, khi các phép biến đổi hoàn tất, chúng ta mới nhớ rằng có một dấu trừ ở phía trước dấu ngoặc, có nghĩa là mọi thứ bên dưới chỉ đơn giản là thay đổi dấu. Đồng thời, bản thân các dấu ngoặc cũng biến mất và quan trọng nhất là dấu “trừ” phía trước cũng biến mất.

Chúng ta làm tương tự với phương trình thứ hai:

Không phải ngẫu nhiên mà tôi để ý đến những sự thật nhỏ nhặt tưởng chừng như không đáng kể này. Bởi vì việc giải phương trình luôn là một chuỗi các phép biến đổi cơ bản, trong đó việc không thể thực hiện các hành động đơn giản một cách rõ ràng và thành thạo dẫn đến việc học sinh trung học đến gặp tôi và học lại cách giải các phương trình đơn giản như vậy.

Tất nhiên, sẽ đến ngày bạn trau dồi những kỹ năng này đến mức tự động hóa. Bạn sẽ không còn phải thực hiện nhiều phép biến đổi mỗi lần nữa; bạn sẽ viết mọi thứ trên một dòng. Nhưng khi mới học, bạn cần viết riêng từng hành động.

Giải các phương trình tuyến tính phức tạp hơn

Những gì chúng ta sắp giải quyết bây giờ khó có thể gọi là nhiệm vụ đơn giản nhất, nhưng ý nghĩa vẫn như cũ.

Nhiệm vụ số 1

\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]

Hãy nhân tất cả các phần tử trong phần đầu tiên:

Hãy thực hiện một số quyền riêng tư:

Dưới đây là một số cái tương tự:

Hãy hoàn thành bước cuối cùng:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Đây là câu trả lời cuối cùng của chúng tôi. Và, mặc dù thực tế là trong quá trình giải, chúng ta có các hệ số với hàm bậc hai, chúng triệt tiêu lẫn nhau, điều này làm cho phương trình tuyến tính chứ không phải bậc hai.

Nhiệm vụ số 2

\[\left(1-4x \right)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \right)\]

Hãy thực hiện cẩn thận bước đầu tiên: nhân từng phần tử từ dấu ngoặc đầu tiên với mỗi phần tử từ dấu ngoặc thứ hai. Sẽ có tổng cộng bốn thuật ngữ mới sau khi chuyển đổi:

Bây giờ chúng ta hãy cẩn thận thực hiện phép nhân trong mỗi số hạng:

Hãy di chuyển các thuật ngữ có “X” sang trái và những thuật ngữ không có - sang phải:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Dưới đây là các thuật ngữ tương tự:

Một lần nữa chúng ta đã nhận được câu trả lời cuối cùng.

Sắc thái của giải pháp

Lưu ý quan trọng nhất về hai phương trình này là như sau: ngay khi chúng ta bắt đầu nhân các dấu ngoặc có nhiều hơn một số hạng, việc này được thực hiện theo quy tắc sau: chúng ta lấy số hạng đầu tiên từ số hạng đầu tiên và nhân với mỗi phần tử từ thư hai; sau đó chúng ta lấy phần tử thứ hai từ phần tử thứ nhất và nhân tương tự với từng phần tử từ phần tử thứ hai. Kết quả là chúng ta sẽ có bốn số hạng.

Về tổng đại số

Với ví dụ cuối cùng này, tôi muốn nhắc nhở học sinh tổng đại số là gì. Trong toán học cổ điển, $1-7$ chúng tôi muốn nói đến một công thức đơn giản: lấy một trừ bảy. Trong đại số, chúng ta muốn nói như sau: với số “một”, chúng ta thêm một số khác, cụ thể là “trừ bảy”. Đây là điểm khác biệt của tổng đại số với tổng số học thông thường.

Ngay sau khi thực hiện tất cả các phép biến đổi, mỗi phép cộng và phép nhân, bạn bắt đầu thấy các cấu trúc tương tự như các cấu trúc được mô tả ở trên, bạn sẽ không gặp bất kỳ vấn đề nào về đại số khi làm việc với đa thức và phương trình.

Cuối cùng, chúng ta hãy xem xét thêm một vài ví dụ thậm chí còn phức tạp hơn những ví dụ chúng ta vừa xem và để giải chúng, chúng ta sẽ phải mở rộng một chút thuật toán tiêu chuẩn của mình.

Giải phương trình bằng phân số

Để giải quyết các nhiệm vụ như vậy, chúng tôi sẽ phải thêm một bước nữa vào thuật toán của mình. Nhưng trước tiên, hãy để tôi nhắc bạn về thuật toán của chúng tôi:

1. Mở ngoặc.
2. Các biến riêng biệt
3. Mang theo những cái tương tự.
4. Chia theo tỷ lệ.

Than ôi, thuật toán tuyệt vời này, với tất cả tính hiệu quả của nó, hóa ra lại không hoàn toàn phù hợp khi chúng ta có phân số trước mặt. Và trong những gì chúng ta sẽ thấy bên dưới, chúng ta có phân số ở cả bên trái và bên phải trong cả hai phương trình.

Làm thế nào để làm việc trong trường hợp này? Vâng, nó rất đơn giản! Để làm điều này, bạn cần thêm một bước nữa vào thuật toán, bước này có thể được thực hiện cả trước và sau hành động đầu tiên, đó là loại bỏ các phân số. Vì vậy, thuật toán sẽ như sau:

1. Loại bỏ các phân số.
2. Mở ngoặc.
3. Các biến riêng biệt
4. Mang theo những cái tương tự.
5. Chia theo tỷ lệ.

"Loại bỏ phân số" nghĩa là gì? Và tại sao điều này có thể được thực hiện cả sau và trước bước tiêu chuẩn đầu tiên? Trên thực tế, trong trường hợp của chúng tôi, tất cả các phân số đều có mẫu số là số, tức là Ở mọi nơi mẫu số chỉ là một con số. Do đó, nếu nhân cả hai vế của phương trình với số này, chúng ta sẽ loại bỏ các phân số.

Ví dụ số 1

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

Hãy loại bỏ các phân số trong phương trình này:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Xin lưu ý: mọi thứ đều được nhân với “bốn” một lần, tức là chỉ vì bạn có hai dấu ngoặc đơn không có nghĩa là bạn phải nhân mỗi dấu ngoặc đơn với "bốn". Hãy viết ra:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Bây giờ hãy mở rộng:

Chúng tôi loại trừ biến:

Ta thực hiện rút gọn các số hạng tương tự:

\[-4x=-1\left| :\left(-4 \right) \right.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Chúng ta đã nhận được nghiệm cuối cùng, hãy chuyển sang phương trình thứ hai.

Ví dụ số 2

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]

Ở đây chúng tôi thực hiện tất cả các hành động tương tự:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Vấn đề đã được giải quyết.

Thực ra đó là tất cả những gì tôi muốn nói với bạn hôm nay.

Những điểm chính

Những phát hiện chính là:

• Biết thuật toán giải phương trình tuyến tính.
• Khả năng mở dấu ngoặc.
• Đừng lo lắng nếu bạn có hàm bậc hai ở đâu đó; rất có thể chúng sẽ bị giảm đi trong quá trình biến đổi tiếp theo.
• Có ba loại nghiệm trong các phương trình tuyến tính, ngay cả những loại đơn giản nhất: một nghiệm duy nhất, toàn bộ trục số là một nghiệm và không có nghiệm nào cả.

Tôi hy vọng bài học này sẽ giúp bạn nắm vững một chủ đề đơn giản nhưng rất quan trọng để hiểu sâu hơn về toán học. Nếu có điều gì đó không rõ ràng, hãy truy cập trang web và giải các ví dụ được trình bày ở đó. Hãy theo dõi, còn nhiều điều thú vị hơn đang chờ đón bạn!

Phương trình bậc hai được học ở lớp 8 nên ở đây không có gì phức tạp. Khả năng giải quyết chúng là hoàn toàn cần thiết.

Phương trình bậc hai là phương trình có dạng ax 2 + bx + c = 0, trong đó các hệ số a, b và c là các số tùy ý và a ≠ 0.

Trước khi nghiên cứu các phương pháp giải cụ thể, hãy lưu ý rằng tất cả các phương trình bậc hai có thể được chia thành ba loại:

1. Không có rễ;
2. Có chính xác một gốc;
3. Họ có hai nguồn gốc khác nhau.

Đây là sự khác biệt quan trọng giữa phương trình bậc hai và phương trình tuyến tính, trong đó nghiệm luôn tồn tại và là duy nhất. Làm thế nào để xác định một phương trình có bao nhiêu nghiệm? Có một điều tuyệt vời cho việc này - phân biệt đối xử.

phân biệt đối xử

Cho phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 khi đó phân biệt đơn giản là số D = b 2 − 4ac.

Bạn cần phải thuộc lòng công thức này. Bây giờ nó đến từ đâu không còn quan trọng nữa. Một điều quan trọng nữa: bằng dấu của biệt thức, bạn có thể xác định một phương trình bậc hai có bao nhiêu nghiệm. Cụ thể là:

1. Nếu D< 0, корней нет;
2. Nếu D = 0 thì có đúng một nghiệm;
3. Nếu D > 0 thì sẽ có hai nghiệm.

Xin lưu ý: ký hiệu phân biệt cho biết số lượng gốc chứ không phải dấu hiệu của chúng, vì lý do nào đó mà nhiều người tin tưởng. Hãy xem các ví dụ và bạn sẽ tự hiểu mọi thứ:

Nhiệm vụ. Phương trình bậc hai có bao nhiêu nghiệm:

1. x 2 − 8x + 12 = 0;
2. 5x2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

Hãy viết các hệ số cho phương trình đầu tiên và tìm phân biệt:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Vì vậy, biệt thức là dương, nên phương trình có hai nghiệm khác nhau. Chúng tôi phân tích phương trình thứ hai theo cách tương tự:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131.

Phân biệt đối xử là tiêu cực, không có gốc rễ. Phương trình cuối cùng còn lại là:
a = 1; b = −6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Phân biệt đối xử bằng 0 - gốc sẽ là một.

Xin lưu ý rằng các hệ số đã được viết ra cho mỗi phương trình. Vâng, nó dài, vâng, nó tẻ nhạt, nhưng bạn sẽ không nhầm lẫn các tỷ lệ và mắc những sai lầm ngu ngốc. Hãy chọn cho mình: tốc độ hoặc chất lượng.

Nhân tiện, nếu bạn hiểu rõ thì sau một thời gian bạn sẽ không cần phải viết ra tất cả các hệ số. Bạn sẽ thực hiện các thao tác như vậy trong đầu. Hầu hết mọi người bắt đầu làm điều này ở đâu đó sau khi giải được 50-70 phương trình - nói chung là không nhiều.

Căn nguyên của phương trình bậc hai

Bây giờ chúng ta hãy chuyển sang giải pháp. Nếu biệt thức D > 0, nghiệm có thể được tìm bằng công thức:

Công thức cơ bản của nghiệm của phương trình bậc hai

Khi D = 0, bạn có thể sử dụng bất kỳ công thức nào trong số này - bạn sẽ nhận được cùng một số, đó sẽ là câu trả lời. Cuối cùng, nếu D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 − 2x − 3 = 0;
2. 15 − 2x − x 2 = 0;
3. x 2 + 12x + 36 = 0.

Phương trình đầu tiên:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = −3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ phương trình có hai nghiệm. Hãy tìm chúng:

Phương trình thứ hai:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ phương trình lại có hai nghiệm. Hãy tìm họ

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(căn chỉnh)\]

Cuối cùng, phương trình thứ ba:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ phương trình có một nghiệm. Bất kỳ công thức có thể được sử dụng. Ví dụ: cái đầu tiên:

Như bạn có thể thấy từ các ví dụ, mọi thứ đều rất đơn giản. Nếu bạn biết công thức và có thể đếm thì sẽ không có vấn đề gì. Thông thường, lỗi xảy ra khi thay thế các hệ số âm vào công thức. Ở đây một lần nữa, kỹ thuật được mô tả ở trên sẽ hữu ích: nhìn vào công thức theo nghĩa đen, viết ra từng bước - và bạn sẽ sớm thoát khỏi lỗi.

Phương trình bậc hai không đầy đủ

Điều đó xảy ra là một phương trình bậc hai hơi khác so với những gì được đưa ra trong định nghĩa. Ví dụ:

1. x2 + 9x = 0;
2. x 2 − 16 = 0.

Dễ dàng nhận thấy rằng các phương trình này thiếu một trong các số hạng. Các phương trình bậc hai như vậy thậm chí còn dễ giải hơn các phương trình tiêu chuẩn: chúng thậm chí không yêu cầu tính phân biệt. Vì vậy, hãy giới thiệu một khái niệm mới:

Phương trình ax 2 + bx + c = 0 được gọi là phương trình bậc hai không đầy đủ nếu b = 0 hoặc c = 0, tức là. hệ số của biến x hoặc phần tử tự do bằng 0.

Tất nhiên, một trường hợp rất khó có thể xảy ra khi cả hai hệ số này đều bằng 0: b = c = 0. Trong trường hợp này, phương trình có dạng ax 2 = 0. Rõ ràng, phương trình như vậy có một nghiệm duy nhất: x = 0.

Hãy xem xét các trường hợp còn lại. Giả sử b = 0 thì ta thu được phương trình bậc hai không đầy đủ có dạng ax 2 + c = 0. Ta biến đổi nó một chút:

Vì căn bậc hai số học chỉ tồn tại của một số không âm nên đẳng thức cuối cùng chỉ có ý nghĩa với (−c /a) ≥ 0. Kết luận:

1. Nếu trong phương trình bậc hai không đầy đủ dạng ax 2 + c = 0 mà bất đẳng thức (−c /a) ≥ 0 được thỏa mãn thì sẽ có hai nghiệm. Công thức được đưa ra ở trên;
2. Nếu (-c /a)< 0, корней нет.

Như bạn có thể thấy, không cần phải có phân biệt—không có phép tính phức tạp nào trong các phương trình bậc hai không đầy đủ. Trên thực tế, thậm chí không cần thiết phải nhớ bất đẳng thức (−c /a) ≥ 0. Chỉ cần biểu thị giá trị x 2 và xem vế bên kia của dấu bằng là gì. Nếu có số dương thì sẽ có hai nghiệm. Nếu nó âm thì sẽ không có rễ nào cả.

Bây giờ chúng ta hãy xem các phương trình có dạng ax 2 + bx = 0, trong đó phần tử tự do bằng 0. Mọi thứ ở đây đều đơn giản: sẽ luôn có hai gốc. Chỉ cần phân tích đa thức là đủ:

Lấy thừa số chung ra khỏi ngoặc

Tích bằng 0 khi có ít nhất một trong các thừa số bằng 0. Đây là nơi mà rễ đến từ. Để kết luận, chúng ta hãy xem xét một vài phương trình sau:

Nhiệm vụ. Giải phương trình bậc hai:

1. x 2 − 7x = 0;
2. 5x2 + 30 = 0;
3. 4x2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Không có rễ vì một hình vuông không thể bằng một số âm.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = −1,5.