Biểu thức nào không phải là số nguyên. Các loại biểu thức hợp lý

Một biểu thức số nguyên là một biểu thức toán học được tạo thành từ các số và các biến số bằng cách sử dụng các phép toán cộng, trừ và nhân. Số nguyên cũng bao gồm các biểu thức bao gồm phép chia cho một số khác không.

Ví dụ biểu thức số nguyên

Dưới đây là một số ví dụ về biểu thức số nguyên:

1. 12*a^3 + 5*(2*a -1);

2,7*b

3. 4*y- ((5*y+3)/5) -1;

biểu thức phân số

Nếu biểu thức chứa phép chia cho một biến hoặc biểu thức khác chứa biến thì biểu thức đó không phải là số nguyên. Một biểu thức như vậy được gọi là một biểu thức phân số. Hãy để chúng tôi đưa ra một định nghĩa đầy đủ của một biểu thức phân số.

Biểu thức phân số là một biểu thức toán học, ngoài các phép toán cộng, trừ và nhân được thực hiện với các số và biến chữ, cũng như phép chia cho một số không bằng 0, còn chứa phép chia thành các biểu thức có biến chữ.

Ví dụ về biểu thức phân số:

1. (12*a^3 +4)/a

2.7/(x+3)

3. 4*x- ((5*y+3)/(5-y)) +1;

Các biểu thức phân số và số nguyên tạo nên hai tập hợp lớn các biểu thức toán học. Nếu các tập hợp này được kết hợp với nhau, thì chúng ta sẽ có một tập hợp mới, được gọi là các biểu thức hữu tỷ. Nghĩa là các biểu thức hữu tỉ đều là các biểu thức nguyên và phân số.

Chúng ta biết rằng các biểu thức số nguyên có ý nghĩa đối với bất kỳ giá trị nào của các biến được đưa vào trong nó. Điều này xuất phát từ thực tế là để tìm giá trị của một biểu thức số nguyên, cần phải thực hiện các thao tác luôn có thể thực hiện được: cộng, trừ, nhân, chia cho một số khác 0.

Biểu thức phân số, không giống như biểu thức số nguyên, có thể không có nghĩa. Vì có một phép toán chia cho một biến hoặc một biểu thức chứa các biến và biểu thức này có thể chuyển thành 0, nhưng phép chia cho 0 là không thể. Giá trị của biến mà biểu thức phân số sẽ có ý nghĩa được gọi là giá trị của biến hợp lệ.

phân số hữu tỉ

Một trong những trường hợp đặc biệt của biểu thức hữu tỷ sẽ là một phân số có tử số và mẫu số là đa thức. Đối với một phân số như vậy trong toán học, còn có một tên - phân số hữu tỷ.

Một phân số hợp lý sẽ có ý nghĩa nếu mẫu số của nó khác không. Nghĩa là, tất cả các giá trị của các biến mà mẫu số của phân số khác 0 sẽ hợp lệ.

"Phân số đại số, biểu thức hữu tỉ và phân số."

Mục tiêu bài học:

Giáo dục: giới thiệu khái niệm phân số đại số, biểu thức hữu tỷ và phân số, phạm vi giá trị chấp nhận được,

Phát triển: hình thành các kỹ năng tư duy phê phán, tìm kiếm thông tin độc lập, kỹ năng nghiên cứu.

Giáo dục: giáo dục thái độ làm việc có ý thức, hình thành kỹ năng giao tiếp, hình thành lòng tự trọng.

Trong các lớp học

1. Thời điểm tổ chức:

Lời chào hỏi. Thông báo về chủ đề của bài học.

2. Động cơ học tập.

Người Đức có câu “To get into the shot” có nghĩa là đi vào ngõ cụt, một tình huống khó khăn. Điều này được giải thích là do trong một thời gian dài, các hành động với các số phân số, đôi khi được gọi là "đường đứt đoạn", được coi là rất phức tạp.

Nhưng bây giờ, người ta thường xem xét không chỉ các phân số mà còn cả các phân số đại số, điều mà chúng ta sẽ làm hôm nay.

Thành công không phải là đích đến. phong trào này

T. Nhanh hơn.

3. Hiện thực hóa kiến thức cơ bản.

bình chọn phía trước.

Biểu thức số nguyên là gì? Chúng được làm từ gì? Một biểu thức số nguyên có ý nghĩa đối với bất kỳ giá trị nào của các biến của nó.

Cho ví dụ.

Phân số là gì?

Rút gọn một phân số có nghĩa là gì?

nó có nghĩa là gì để thừa số hóa?

Những phương pháp phân hủy nào bạn biết?

Bình phương của tổng (chênh lệch) là gì?

Sự khác biệt của hình vuông là gì?

4. Học tài liệu mới.

Ở lớp 8, chúng ta sẽ được làm quen với biểu thức phân số.

Chúng khác với số nguyên ở chỗ chúng chứa hành động chia cho một biểu thức có biến.

Nếu một biểu thức đại số bao gồm các số và biến bằng cách sử dụng các phép toán cộng, trừ, nhân, lũy thừa với số mũ tự nhiên và phép chia, và sử dụng phép chia thành các biểu thức có biến, thì nó được gọi là biểu thức phân số.

Biểu thức phân số không có ý nghĩa đối với những giá trị của các biến biến mẫu số thành không.

Miền giá trị chấp nhận được (ODV) của một biểu thức đại số là tập hợp tất cả các tập giá trị chấp nhận được của các chữ cái có trong biểu thức này.

Biểu thức số nguyên và phân số được gọi là biểu thức hữu tỷ

một loại biểu thức hữu tỷ riêng biệt là một phân số hữu tỷ. Đây là một phân số có tử số và mẫu số là đa thức.

Biểu thức nào là số nguyên và biểu thức nào là phân số? (hoặc #1)

5. Phút thể chất

6. Củng cố tài liệu mới.

Giải #2, 3(1), 5(1, 3, 4, 6, 7, 9, 10, 11), 7(1).

7. HS làm việc độc lập (theo nhóm).

Giải #3(2), 5(2, 5, 8, 12), 7(2).

8. Sự phản xạ.

Tài liệu bài học có khó với bạn không?

Khó nhất, dễ nhất ở khâu nào của bài học?

Bạn đã học được gì mới trong bài học? Bạn đã học được gì?

Bạn đã làm việc chăm chỉ trong lớp?

Bạn cảm thấy thế nào về cảm xúc trong suốt buổi học?

D/z: học mục 1, câu hỏi tr.7, giải bài số 4, 6, 8.

Sincwine.

Mỗi nhóm tạo một tiếng đồng bộ cho từ "phân số".

Nếu biết phân số

Để hiểu ý nghĩa chính xác của chúng

Ngay cả những nhiệm vụ khó khăn cũng trở nên dễ dàng.

Ví dụ biểu thức số nguyên

Dưới đây là một số ví dụ về biểu thức số nguyên:

1. 12*a^3 + 5*(2*a -1);

3. 4*y- ((5*y+3)/5) -1;

biểu thức phân số

Ví dụ về biểu thức phân số:

1. (12*a^3 +4)/a

3. 4*x- ((5*y+3)/(5-y)) +1;

phân số hữu tỉ

Một phân số hợp lý sẽ có ý nghĩa nếu mẫu số của nó khác không. Nghĩa là, tất cả các giá trị của các biến mà mẫu số của phân số khác 0 sẽ hợp lệ.

Nhờ khóa học đại số, người ta biết rằng tất cả các biểu thức đều cần biến đổi để giải quyết thuận tiện hơn. Việc xác định các biểu thức số nguyên khuyến khích bắt đầu các phép biến đổi giống hệt nhau. Ta sẽ biến đổi biểu thức thành đa thức. Để kết luận, chúng ta hãy xem xét một vài ví dụ.

Định nghĩa và ví dụ về biểu thức số nguyên

định nghĩa 1

biểu thức số nguyên là các số, biến hoặc biểu thức có phép cộng hoặc phép trừ, được viết dưới dạng lũy thừa với số mũ tự nhiên, cũng có dấu ngoặc hoặc phép chia khác 0.

Dựa vào định nghĩa, ta có các ví dụ về biểu thức số nguyên: 7 , 0 , − 12 , 7 11 , 2 , 73 , - 3 5 6, v.v. và các biến dạng a , b , p , q , x , z được coi là biểu thức số nguyên. Sau khi biến đổi tổng, hiệu, tích, các biểu thức sẽ có dạng

x + 1 , 5 y 3 2 3 7−2 y − 3 , 3 − x y z 4 , - 6 7 , 5 (2 x + 3 y 2) 2 − - ( 1 − x) (1 + x) (1 + x 2)

Nếu biểu thức chứa phép chia cho một số khác 0 có dạng x: 5 + 8: 2: 4 hoặc (x + y) : 6 , thì phép chia có thể được biểu thị bằng dấu gạch chéo, như x + 3 5 - 3 , 2 x + 2 . Khi xem xét các biểu thức có dạng x: 5 + 5: x hoặc 4 + a 2 + 2 a - 6 a + b + 2 c, rõ ràng là các biểu thức đó không thể là số nguyên, vì trong biểu thức đầu tiên có một phép chia cho biến x và trong biểu thức thứ hai có một biến.

Đa thức và đơn thức là những biểu thức số nguyên mà chúng ta gặp ở trường khi làm việc với các số hữu tỷ. Nói cách khác, biểu thức số nguyên không bao gồm các phân số vô tỷ. Một tên khác là toàn bộ biểu thức vô tỷ.

Có thể thực hiện các phép biến đổi nào của biểu thức số nguyên?

Các biểu thức số nguyên được xem xét khi giải quyết như các phép biến đổi đồng nhất cơ bản, mở ngoặc, nhóm, rút gọn các biểu thức tương tự.

ví dụ 1

Mở ngoặc và đưa các số hạng tương tự vào 2 · (a 3 + 3 · a · b − 2 · a) − 2 · a 3 − (5 · a · b − 6 · a + b) .

Dung dịch

Đầu tiên bạn cần áp dụng quy tắc mở ngoặc. Ta được một biểu thức có dạng 2 (a 3 + 3 a b − 2 a) − 2 a 3 − (5 a b − 6 a + b) = = 2 a 3 + 2 3 a b + 2 (− 2 a) − 2 a 3 − 5 a b + 6 a − b = = 2 a 3 + 6 a b − 4 a − 2 a 3 − 5 a b + 6 a − b

Sau đó, chúng ta có thể thêm các thuật ngữ tương tự:

2 a 3 + 6 a b − 4 a − 2 a 3 − 5 a b + 6 a − b = = (2 a 3 − 2 a 3) + (6 a b − 5 a b) + (− 4 a + 6 a) − b = = 0 + a b + 2 a − b = a b + 2 a − b .

Sau khi rút gọn chúng, ta thu được đa thức dạng a · b + 2 · a − b .

Câu trả lời: 2 (a 3 + 3 a b − 2 a) − 2 a 3 − (5 a b − 6 a + b) = a b + 2 a − b.

ví dụ 2

Thực hiện các phép biến đổi (x - 1) : 2 3 + 2 · (x 2 + 1) : 3: 7 .

Dung dịch

Phép chia hiện có có thể được thay thế bằng phép nhân, nhưng bằng nghịch đảo của số. Sau đó, cần phải thực hiện các phép biến đổi, sau đó biểu thức sẽ có dạng (x - 1) · 3 2 + 2 · (x 2 + 1) · 1 3 · 1 7 . Bây giờ chúng ta nên đối phó với việc giảm các điều khoản tương tự. Chúng tôi hiểu điều đó

(x - 1) 3 2 + 2 (x 2 + 1) 1 3 1 7 = 3 2 (x - 1) + 2 21 x 2 + 1 = = 3 2 x - 3 2 + 2 21 x 2 + 2 21 = 2 21 x 2 + 3 2 x - 59 42 = 2 21 x 2 + 1 1 2 x - 1 17 42

Câu trả lời: (x - 1) : 2 3 + 2 (x 2 + 1) : 3: 7 = 2 21 x 2 + 1 1 2 x - 1 17 42 .

ví dụ 3

Biểu diễn biểu thức 6 x 2 y + 18 x y − 6 y − (x 2 + 3 x − 1) (x 3 + 4 x) dưới dạng tích.

Dung dịch

Sau khi kiểm tra biểu thức, rõ ràng là ba số hạng đầu tiên có một thừa số chung ở dạng 6 · y , cần được đưa ra khỏi ngoặc trong quá trình biến đổi. Sau đó, chúng tôi nhận được rằng 6 x 2 y + 18 x y − 6 y − (x 2 + 3 x − 1) (x 3 + 4 x) = = 6 y (x 2 + 3 x − 1) - (x 2 + 3 x - 1) (x 3 + 4 x)

Có thể thấy, ta thu được hiệu của hai biểu thức dạng 6 y ( x 2 + 3 x - 1) và ( x 2 + 3 x - 1) ( x 3 + 4 x) với nhân tử chung là x 2 + 3 x − 1 , phải được lấy ra khỏi ngoặc. Chúng tôi hiểu điều đó

6 y (x 2 + 3 x − 1)− (x 2 + 3 x − 1) (x 3 + 4 x) = = (x 2 + 3 x − 1) (6 y − (x 3 + 4 x) )

Mở ngoặc, ta có biểu thức dạng (x 2 + 3 x - 1) (6 y - x 3 - 4 x) , phải tìm theo điều kiện.

Câu trả lời:6 x 2 y + 18 x y − 6 y − (x 2 + 3 x − 1) (x 3 + 4 x) = = (x 2 + 3 x − 1) ( 6 y − x 3 − 4 x)

Các phép biến hình đồng dạng đòi hỏi phải thực hiện nghiêm ngặt thứ tự các phép toán.

Ví dụ 4

Chuyển đổi biểu thức (3 2 − 6 2: 9) 3 (x 2) 4 + 4 x: 8.

Dung dịch

Trước tiên, bạn thực hiện các hành động trong ngoặc đơn. Sau đó, chúng tôi có điều đó 3 2 - 6 2: 9 = 3 2 - 3 6: 9 = 6 - 4 = 2. Sau khi biến đổi, biểu thức trở thành 2 3 · (x 2) 4 + 4 · x: 8 . được biết rằng 2 3 = 8 và (x 2) 4 = x 2 4 = x 8, thì bạn có thể có một biểu thức như 8 x 8 + 4 x: 8 . Thuật ngữ thứ hai yêu cầu thay thế phép chia bằng phép nhân từ 4x:8. Nhóm các yếu tố, chúng tôi nhận được rằng

8 x 8 + 4 x : 8 = 8 x 8 + 4 x 1 8 = 8 x 8 + 4 1 8 x = 8 x 8 + 1 2 x

Câu trả lời:(3 2 − 6 2: 9) 3 (x 2) 4 + 4 x: 8 = 8 x 8 + 1 2 x .

chuyển đổi đa thức

Hầu hết các phép biến đổi biểu thức số nguyên là biểu diễn đa thức. Bất kỳ biểu thức nào cũng có thể biểu diễn dưới dạng đa thức Bất kỳ biểu thức nào cũng có thể coi là các đa thức được nối với nhau bằng dấu cấp số cộng. Mọi phép toán trên đa thức đều dẫn đến một đa thức.

Để biểu thức được biểu diễn dưới dạng đa thức, cần phải thực hiện tất cả các thao tác với đa thức, theo thuật toán.

Ví dụ 5

Biểu diễn dưới dạng đa thức 2 · (2 · x 3−1) + (2 · x−1) 2 · (3−x) + (4 · x − x · (15 · x + 1)) .

Dung dịch

Trong biểu thức này, hãy bắt đầu các phép biến đổi với một biểu thức có dạng 4 x - x (15 x + 1) , và theo quy tắc, lúc đầu thực hiện phép nhân hoặc phép chia, sau đó là phép cộng hoặc phép trừ. Nhân - x với 15 x + 1, ta được 4 x - x (15 x + 1) = 4 x - 15 x 2 - x = (4 x - x) - 15 x 2 = 3 x - 15 x 2. Biểu thức đã cho sẽ có dạng 2 (2 x 3 - 1) + (2 x - 1) 2 (3 - x) + (3 x - 15 x 2) .

Tiếp theo, bạn cần nâng đa thức lên lũy thừa bậc 2 2x-1, ta được biểu thức có dạng (2 x−1)2 = (2 x−1)(2 x−1) = 4 x 2 + 2 x (−1)−1 2 x−1 (−1 ) = = 4 x 2 − 4 x + 1

Bây giờ chúng ta có thể vào xem 2 (2 x 3 - 1) + (4 x 2 - 4 x + 1) (3 - x) + (3 x - 15 x 2).

Hãy nhìn vào phép nhân. Có thể thấy rằng 2 (2 x 3 - 1) = 4 x 3 - 2 và (4 x 2 - 4 x + 1) (3 - x) = 12 x 2 - 4 x 3 - 12 x + 4 x 2 + 3 - x = = 16 x 2 - 4 x 3 - 13 x + 3

sau đó bạn có thể thực hiện chuyển đổi sang một biểu thức có dạng (4 x 3 - 2) + (16 x 2 - 4 x 3 - 13 x + 3) + (3 x - 15 x 2).

Chúng tôi thực hiện bổ sung, sau đó chúng tôi đi đến biểu thức:

(4 x 3 - 2) + (16 x 2 - 4 x 3 - 13 x + 3) + (3 x - 15 x 2) = = 4 x 3 - 2 + 16 x 2 − 4 x 3 − 13 x + 3 + 3 x − 15 x 2 = = (4 x 3 − 4 x 3) + (16 x 2 − 15 x 2) + (− 13 x + 3 x) + (− 2 + 3) = = 0 + x 2 − 10 x + 1 = x 2 − 10 x + 1 .

Suy ra biểu thức ban đầu có dạng x 2 − 10 x + 1.

Câu trả lời: 2 (2 x 3 - 1) + (2 x - 1) 2 (3 - x) + (4 x - x (15 x + 1)) = x 2 - 10 x + 1.

Phép nhân và lũy thừa của một đa thức chỉ ra rằng cần phải sử dụng các công thức nhân rút gọn để tăng tốc quá trình chuyển đổi. Điều này góp phần vào thực tế là các hành động sẽ được thực hiện hợp lý và chính xác.

Ví dụ 6

Chuyển đổi 4 · (2 · m + n) 2 + (m − 2 · n) · (m + 2 · n) .

Dung dịch

Từ công thức bình phương, chúng ta có được rằng (2 m + n) 2 = (2 m) 2 + 2 (2 m) n + n 2 = 4 m 2 + 4 m n + n 2, thì tích (m − 2 n) (m + 2 n) bằng hiệu của bình phương m và 2 n , do đó bằng m 2 − 4 n 2. Chúng tôi nhận được rằng biểu thức ban đầu có dạng 4 (2 m + n) 2 + (m − 2 n) (m + 2 n) = 4 (4 m 2 + 4 m n + n 2) + (m 2 − 4 n 2) = = 16 m 2 + 16 m n + 4 n 2 + m 2 − 4 n 2 = 17 m 2 + 16 m n

Câu trả lời: 4 (2 m + n) 2 + (m − 2 n) (m + 2 n) = 17 m 2 + 16 m n.

Để phép biến đổi không quá dài ta cần đưa biểu thức đã cho về dạng chuẩn.

Ví dụ 7

Đơn giản hóa biểu thức (2 a (− 3) a 2 b) (2 a + 5 b 2) + a b (a 2 + 1 + a 2) (6 a + 15 b 2 ) + (5 a b (− 3) b 2)

Dung dịch

Thông thường, đa thức và đơn thức không được đưa ra ở dạng chuẩn, vì vậy bạn phải thực hiện các phép biến đổi. Nên được chuyển đổi để có được một biểu thức của hình thức − 6 a 3 b (2 a + 5 b 2) + a b (2 a 2 + 1) (6 a + 15 b 2) − 15 a b 3. Để đưa về những cái tương tự trước hết cần thực hiện phép nhân theo quy tắc biến đổi biểu thức phức. Chúng tôi nhận được một biểu thức như

− 6 a 3 b (2 a + 5 b 2) + a b (2 a 2 + 1) (6 a + 15 b 2) − 15 a b 3 = = − 12 a 4 b − 30 a 3 b 3 + (2 a 3 b + a b) (6 a + 15 b 2) − 15 a b 3 = = − 12 a 4 b − 30 a 3 b 3 + 12 a 4 b + 30 a 3 b 3 + 6 a 2 b + 15 a b 3 − 15 a b 3 = = (− 12 a 4 b + 12 a 4 b) + (− 30 a 3 b 3 + 30 a 3 b 3) + 6 a 2 b + (15 a b 3 − 15 a b 3) = 6 a 2 b

Câu trả lời: (2 a (− 3) a 2 b) (2 a + 5 b 2) + a b (a 2 + 1 + a 2) (6 a + 15 b 2 ) + + (5 a b (− 3) b 2) = 6 a 2 b

Nếu bạn nhận thấy một lỗi trong văn bản, hãy đánh dấu nó và nhấn Ctrl + Enter

“Bài Đa thức” - Và kiểm tra: 2. Thực hiện phép nhân đa thức: 4. Thực hiện phép chia đa thức A(x) cho B(x). 3. Nhân tử của đa thức. 1. Thực hiện cộng trừ các đa thức: P(x)=-2x3 + x2 -x-12 và Q(x)= x3 -3x2 -4x+1. Các thao tác với đa thức. Bài 15

“Chuyển biểu thức nguyên thành đa thức” - Rèn luyện kĩ năng tính toán cho học sinh. Giới thiệu khái niệm về một biểu thức toàn phần. Chuyển đổi biểu thức số nguyên. Đa thức và đặc biệt là đơn thức là biểu thức số nguyên. Tập cho học sinh cách đưa các từ giống nhau. Ví dụ về biểu thức số nguyên là: 10y?+(3x+y)(x?-10y?), 2b(b?-10c?)-(b?+2c?), 3a?-(a(a+2c) ) /5+2.5ac.

"Phép nhân đa thức" - -x6+3x7-2x4+5x2 3 -1 0 -2 0 5 0 0 7 -8 3 5 -6 7x4-8x3+3x2+5x-6. Bài thuyết trình. Số vị trí của một đa thức. Nhân đa thức sử dụng một số vị trí. Ryabov Pavel Yurievich. Người đứng đầu: Kaleturina A. S.

"Đa thức dạng chuẩn" - Dạng chuẩn của đa thức. Ví dụ. 3x4 + 2x3 - x2 + 5. Phép cộng các đa thức. Chuẩn bị cho s/r số 6. Từ điển. Chương 2, §1b. Đối với đa thức có một chữ cái, thuật ngữ hàng đầu được xác định duy nhất. Kiểm tra chính mình. 6x4 - x3y + x2y2 + 2y4.

"Đa thức" - Một đơn thức được coi là một đa thức bao gồm một phần tử. Lấy nhân tử chung ra khỏi ngoặc. Đại số học. đa thức. Nhân đa thức a+b với đa thức c+d. Tích của một đơn thức và một đa thức Nhân một đơn thức với một đa thức. Các thuật ngữ tương tự là thành viên 2 và -7, không có phần chữ cái. Các hạng tử của đa thức 4xz-5xy+3x-1 là 4xz, -5xy, 3x và -1.

"Bài học Bao thanh toán" - Ứng dụng của FSU. Công thức nhân rút gọn. Chủ đề bài học: Đáp án: var 1: b, d, b, d, c; biến 2: a, d, c, b, a; biến 3: c, c, c, a, b; Phương án 4: d, d, c, b, d Vậy làm thế nào? Lấy nhân tử chung ra khỏi ngoặc. 3. Hoàn thành phép chia nhân tử: Làm việc theo nhóm: Đưa nhân tử chung ra ngoài ngoặc. 1. Kết thúc phân tích thành nhân tử: a).