Rung động và sóng. rung động giảm xóc

Chương 5

SỰ PHỤ THUỘC VÀO THỜI GIAN CỦA CÁC KHOẢNG CÁCH

§ 1. Nguyên tử ở trạng thái nghỉ; trạng thái tĩnh

§ 2. Chuyển động đồng đều

§ 3. Thế năng; bảo tồn năng lượng

§ 4. Lực lượng; giới hạn cổ điển

§ 5. "Tuế sai" của một hạt có spin 1/2

Nói lại: ch. 17 (số 2) "Không-thời gian"; ch. 48 (Tập 4) "Nhịp đập"

§ 1. Nguyên tử ở trạng thái nghỉ; trạng thái tĩnh

Bây giờ chúng ta muốn nói một chút về cách các biên độ xác suất hoạt động theo thời gian. Chúng tôi nói "một chút" bởi vì, trên thực tế, hành vi trong thời gian nhất thiết phải bao gồm hành vi trong không gian. Vì vậy, muốn mô tả hành vi với tất cả sự chính xác và chi tiết, chúng tôi ngay lập tức thấy mình ở một vị trí rất khó khăn. Trước khi chúng ta nảy sinh khó khăn liên tục - hoặc nghiên cứu điều gì đó một cách chặt chẽ về mặt logic, nhưng hoàn toàn trừu tượng, hoặc không nghĩ về tính chặt chẽ, nhưng để đưa ra một số ý tưởng về trạng thái thực sự của sự vật, hãy hoãn một nghiên cứu kỹ lưỡng hơn cho đến sau này. Bây giờ, nói về sự phụ thuộc của biên độ vào năng lượng, chúng tôi định chọn phương pháp thứ hai. Một số tuyên bố sẽ được thực hiện. Khi làm như vậy, chúng tôi sẽ không cố gắng trở nên khắt khe, mà chỉ đơn giản là cho bạn biết những gì đã được tìm thấy để bạn có thể cảm nhận được cách các biên độ hoạt động theo thời gian. Khi chúng tôi tiến bộ, độ chính xác của mô tả sẽ tăng lên, vì vậy xin đừng lo lắng khi thấy một nhà ảo thuật kéo mọi thứ ra khỏi không khí loãng. Chúng thực sự đến từ một thứ gì đó vô hình - từ tinh thần của cuộc thử nghiệm và từ trí tưởng tượng của nhiều người. Nhưng trải qua tất cả các giai đoạn phát triển lịch sử của môn học là một vấn đề rất dài, có điều sẽ phải bỏ qua. Người ta có thể lao vào những điều trừu tượng và suy luận mọi thứ một cách chặt chẽ (nhưng bạn sẽ khó hiểu điều này) hoặc trải qua nhiều thử nghiệm, xác nhận từng tuyên bố của bạn với chúng. Chúng tôi sẽ chọn một cái gì đó ở giữa.

Một electron đơn lẻ trong không gian trống có thể, trong những điều kiện nhất định, có năng lượng xác định rõ. Ví dụ, nếu nó ở trạng thái nghỉ (nghĩa là nó không có chuyển vị, cũng không có động lượng, cũng như động năng), thì nó có năng lượng nghỉ. Một vật thể phức tạp hơn, chẳng hạn như một nguyên tử, cũng có thể có một năng lượng nhất định, nhưng nó cũng có thể bị kích thích bên trong - bị kích thích đến một mức năng lượng khác. (Chúng ta sẽ mô tả cơ chế của điều này sau.) Thường thì chúng ta được chứng minh khi cho rằng một nguyên tử ở trạng thái kích thích có một năng lượng nhất định; tuy nhiên, trong thực tế điều này chỉ đúng gần đúng. Nguyên tử không bị kích thích mãi mãi, bởi vì nó luôn tìm cách phóng điện bằng cách tương tác với trường điện từ. Vì vậy, luôn có một biên độ nào đó mà một trạng thái mới sẽ xuất hiện - với nguyên tử ở trạng thái kích thích thấp nhất và trường điện từ ở trạng thái cao nhất. Tổng năng lượng của hệ trước và sau như nhau, nhưng năng lượng nguyên tử giảm dần. Vì vậy, không chính xác lắm khi nói rằng một nguyên tử bị kích thích có chắc chắn năng lượng; nhưng thường thì thuận tiện nói như vậy và không sai lắm.

[Nhân tiện, tại sao mọi thứ lại trôi theo một chiều mà không phải theo chiều khác? Tại sao nguyên tử phát ra ánh sáng? Câu trả lời liên quan đến entropi. Khi năng lượng nằm trong trường điện từ, có rất nhiều con đường khác nhau trước nó - rất nhiều nơi khác nhau nơi nó có thể đến - điều đó, tìm kiếm một điều kiện cân bằng, chúng tôi tin rằng trong trường hợp có thể xảy ra nhất vị trí trường hóa ra bị kích thích bởi một photon và nguyên tử - không bị kích thích. Và phải mất một thời gian dài để photon quay lại và phát hiện ra rằng nó có thể kích thích nguyên tử trở lại Điều này hoàn toàn tương tự với vấn đề cổ điển: tại sao một điện tích gia tốc lại bức xạ? Không phải vì hắn "muốn" hao tổn năng lượng, không, bởi vì thực ra khi hắn tỏa ra, năng lượng của thế giới vẫn như trước. Chỉ là sự phát xạ hoặc hấp thụ luôn đi theo hướng tăng trưởng. Sự hỗn loạn.

Hạt nhân cũng có thể tồn tại ở các mức năng lượng khác nhau, và gần đúng khi bỏ qua hiệu ứng điện từ, chúng ta có quyền nói rằng hạt nhân ở trạng thái kích thích vẫn như vậy. Mặc dù chúng ta biết rằng nó sẽ không duy trì như vậy mãi mãi, nhưng thường hữu ích khi bắt đầu với một giá trị gần đúng được lý tưởng hóa dễ dàng hơn để xem xét. Ngoài ra, trong một số trường hợp, đây là một ước tính gần đúng về mặt pháp lý. (Khi chúng tôi lần đầu tiên đưa ra các định luật cổ điển về vật thể rơi, chúng tôi không tính đến ma sát, và hầu như không bao giờ xảy ra ma sát đó ở tất cảđã không có.)

Ngoài ra, còn có những “hạt lạ” với khối lượng khác nhau. Nhưng những vật có khối lượng lớn hơn phân rã thành những vật nhẹ hơn, vì vậy sẽ sai lầm nếu nói rằng năng lượng của chúng được xác định chính xác. Điều này sẽ đúng nếu họ kiên trì mãi mãi. Vì vậy, khi chúng ta coi chúng có một năng lượng nhất định, chúng ta quên rằng chúng phải phân rã. Nhưng bây giờ chúng ta sẽ cố tình quên đi những quá trình như vậy, và sau này, theo thời gian, chúng ta cũng sẽ học cách tính đến chúng.

Giả sử có một nguyên tử (hoặc một electron, hoặc bất kỳ hạt nào) có một năng lượng nhất định ở trạng thái nghỉ E 0. Dưới năng lượng E 0, chúng tôi có nghĩa là khối lượng của tất cả điều này, nhân với Với 2. Khối lượng bao gồm bất kỳ nội năng nào; do đó, khối lượng của một nguyên tử bị kích thích khác với khối lượng của cùng một nguyên tử, nhưng ở trạng thái cơ bản. (Nền tảng trạng thái có nghĩa là trạng thái có năng lượng thấp nhất.) Hãy gọi E 0 nghỉ ngơi năng lượng. Đối với một nguyên tử ở trạng thái Lên đỉnh, Cơ học lượng tử biên độ tìm nó ở đâu đó ở mọi nơi như nhau; từ vị trí của cô ấy không phụ thuộc. Tất nhiên, điều này có nghĩa là xác suất tìm thấy một nguyên tử ở bất cứ đâu đều giống nhau. Nhưng nó còn có ý nghĩa hơn thế nữa. Xác suất không thể phụ thuộc vào tình hình, nhưng pha biên độ nó vẫn có thể thay đổi từ điểm này sang điểm khác. Nhưng đối với một hạt ở trạng thái nghỉ, tổng biên độ là như nhau ở mọi nơi. Tuy nhiên, nó phụ thuộc vào thời gian.Đối với một hạt ở trạng thái có năng lượng xác định E 0 , biên độ phát hiện hạt tại điểm (XYZ) trong thời điểm này t bằng

ở đâu một - một số hằng số. Biên độ nghỉ tại một điểm như vậy và một điểm như vậy trong không gian là như nhau đối với tất cả các điểm, nhưng nó phụ thuộc vào thời gian theo (5.1). Chúng tôi sẽ đơn giản giả định rằng quy tắc này luôn đúng.

Tất nhiên, (5.1) cũng có thể được viết như sau:

một M là khối lượng nghỉ của một trạng thái nguyên tử hoặc hạt. Có ba cách khác nhau để xác định năng lượng: theo tần số biên độ, theo năng lượng theo nghĩa cổ điển, hoặc theo khối lượng quán tính. Chúng đều bình đẳng; chúng chỉ là những cách khác nhau để diễn đạt cùng một thứ.

Có vẻ lạ lùng đối với bạn khi tưởng tượng một "hạt" có cùng biên độ xuất hiện ở bất kỳ đâu trong không gian. Rốt cuộc, trong số những thứ khác, chúng ta luôn hình dung “hạt” là một vật thể nhỏ nằm ở “đâu đó”. Nhưng đừng quên về nguyên tắc bất định. Nếu một hạt có một năng lượng nhất định, thì nó có một động lượng nhất định. Nếu độ không đảm bảo về động lượng bằng 0, thì quan hệ độ không đảm bảo D R D x= h nói rằng độ bất định ở vị trí phải là vô hạn; đây là những gì chúng ta đang nói khi chúng ta nói rằng có cùng một biên độ để phát hiện một hạt tại tất cả các điểm trong không gian.

Nếu các phần bên trong của nguyên tử ở một trạng thái khác với tổng năng lượng khác nhau, thì biên độ biến thiên theo thời gian theo một cách khác. Và nếu bạn không biết nguyên tử đang ở trạng thái nào, thì sẽ có một số biên độ ở trạng thái này và một số biên độ ở trạng thái khác, và mỗi biên độ này sẽ có tần số riêng của nó. Giữa hai thành phần khác nhau này sẽ có sự giao thoa như nhịp, có thể xuất hiện như một xác suất thay đổi. Sẽ có thứ gì đó đang "ủ" bên trong nguyên tử, ngay cả khi nó "ở trạng thái nghỉ" theo nghĩa là khối tâm của nó không chuyển động. Nếu nguyên tử chỉ có một năng lượng xác định, thì biên độ được cho bởi công thức (5.1) và bình phương của môđun biên độ không phụ thuộc vào thời gian. Do đó, bạn thấy rằng nếu năng lượng của một vật được xác định, và nếu bạn đặt câu hỏi về xác suấtđiều gì đó trong điều này, thì câu trả lời không phụ thuộc vào thời gian. Mặc dù bản thân họ biên độ phụ thuộc vào thời gian, nhưng nếu năng lượng chắc chắn, chúng thay đổi như một số mũ tưởng tượng và giá trị tuyệt đối của chúng (môđun) không thay đổi.

Đây là lý do tại sao chúng ta thường nói rằng một nguyên tử ở một mức năng lượng nhất định ở trạng thái tĩnh. Nếu bạn đo lường thứ gì đó bên trong nó, bạn sẽ thấy rằng không có gì (có thể) thay đổi theo thời gian. Để xác suất thay đổi theo thời gian, phải có sự giao thoa của hai biên độ ở hai tần số khác nhau, nghĩa là không biết năng lượng là bao nhiêu. Một vật thể sẽ có một biên độ ở trạng thái có năng lượng này và biên độ khác ở trạng thái có năng lượng khác. Vì vậy, trong cơ học lượng tử, điều gì đó được mô tả nếu hành vi"cái gì đó" phụ thuộc vào thời gian.

Nếu có trường hợp trộn lẫn hai trạng thái khác nhau với các năng lượng khác nhau, thì biên độ của mỗi trạng thái trong hai trạng thái thay đổi theo thời gian theo phương trình (5.2), chẳng hạn như

Và nếu có sự kết hợp của hai trạng thái này, thì giao thoa sẽ xuất hiện. Nhưng lưu ý rằng thêm cùng một hằng số cho cả hai năng lượng không thay đổi bất cứ điều gì. Nếu ai đó đã sử dụng một thang năng lượng khác, trên đó tất cả các năng lượng được dịch chuyển theo một hằng số (giả sử, bằng cách NHƯNG), thì biên độ ở hai trạng thái này, theo quan điểm của ông, sẽ là

Tất cả các biên độ của nó sẽ được nhân với cùng một hệ số

exp [- tôi (A / h) / t], và trong tất cả các kết hợp tuyến tính, trong tất cả các giao thoa, cùng một hệ số sẽ được nhập. Tính toán các modul để xác định xác suất, anh ta sẽ đi đến các câu trả lời giống nhau. Việc chọn một điểm tham chiếu trên thang năng lượng của chúng ta không thay đổi bất cứ điều gì; năng lượng có thể được đếm từ bất kỳ số 0 nào. Trong các bài toán tương đối tính, việc đo năng lượng theo cách mà nó bao gồm cả khối lượng nghỉ sẽ dễ chịu hơn, nhưng đối với nhiều mục đích phi tương đối tính khác, thường tốt hơn nếu trừ đi giá trị tiêu chuẩn cho tất cả các năng lượng xuất hiện. Ví dụ, trong trường hợp của một nguyên tử, thường thuận tiện khi trừ năng lượng M s đi 2, trong đó M S - trọng lượng riêng biệt, cá nhân, cá thể Tất nhiên, các bộ phận của nó, hạt nhân và electron, khác với khối lượng của chính nguyên tử. Trong các bài toán khác, sẽ rất hữu ích nếu lấy số M g c 2 , ở đâu M g - khối lượng của toàn bộ nguyên tử hầu hết tiểu bang; khi đó năng lượng còn lại đơn giản là năng lượng kích thích của nguyên tử. Điều này có nghĩa là đôi khi chúng ta có quyền thay đổi, năng lượng 0 của chúng ta rất rất mạnh và nó vẫn không thay đổi bất cứ điều gì (với điều kiện là tất cả các năng lượng trong phép tính cụ thể này đều được dịch chuyển theo cùng một số). Về điều này, chúng tôi sẽ chia phần với các hạt ở phần còn lại.

§ 2. Chuyển động đồng đều

Nếu chúng ta giả định rằng thuyết tương đối là đúng, thì một hạt ở trạng thái dừng trong một hệ thống quán tính có thể chuyển động thẳng đều trong một hệ thống quán tính khác. Trong hệ quy chiếu nghỉ của hạt, biên độ xác suất để mọi x, y và z giống nhau, nhưng phụ thuộc vào t Giá trị biên độ cho tất cả t giống nhau, và giai đoạn phụ thuộc t Chúng ta có thể nhận được một bức tranh về hoạt động của biên độ nếu chúng ta vẽ các đường có pha bằng nhau (giả sử, không) dưới dạng hàm X và tĐối với một hạt ở trạng thái đứng yên, những đường thẳng có pha bằng nhau này song song với trục X và nằm dọc theo trục tở các khoảng cách bằng nhau (được thể hiện bằng các đường chấm trong Hình 5.1).

Quả sung. 5.1. Biến đổi tương đối tính của biên độ ở trạng thái nghỉ. hạt vào hệ x-t.

Trong một hệ thống khác X ", y ", z", t ", chuyển động so với hạt, ví dụ, theo hướng X, tọa độ X " và t " một số điểm riêng tư trong không gian được liên kết với X và t Phép biến đổi Lorentz. Sự biến đổi này có thể được biểu diễn bằng đồ thị bằng cách vẽ các trục X " và t ", như trong hình. 5.1 [xem ch. 17 (vấn đề 2), hình 17,2]. Bạn thấy rằng trong hệ thống x "- t" các điểm cùng pha dọc theo trục t " nằm ở những khoảng cách khác nhau, do đó tần số thay đổi theo thời gian đã khác nhau. Ngoài ra, giai đoạn thay đổi X ”. tức là, biên độ xác suất phải là một hàm X ”.

Theo phép biến đổi Lorentz cho vận tốc v chỉ đạo, nói, dọc theo hướng tiêu cực X. thời gian t liên quan đến thời gian t " công thức

và bây giờ biên độ của chúng ta thay đổi như thế này:

Trong hệ thống nở, nó thay đổi theo không gian và thời gian. Nếu biên độ được viết là

rõ ràng là E " R = E 0 /C( 1-v 2 / s 2). Đây là năng lượng được tính toán theo các quy tắc cổ điển cho một hạt có năng lượng nghỉ E 0 , di chuyển với tốc độ v; p "= E" P v / c 2 - động lượng tương ứng của hạt.

Bạn có biết rằng X m = (t, x, y, z) và R m = (E, p X , R y , R G ) là bốn vectơ, a P m x m = Et-r x-scalar bất biến. Trong khung phần còn lại của hạt P m x m vừa bằng Et; nghĩa là, khi được chuyển đổi sang một hệ thống khác Et nên được thay thế bằng

Vì vậy, biên độ xác suất của một hạt có động lượng là R, sẽ tỷ lệ thuận

ở đâu E R - năng lượng hạt với động lượng R, I E.

một E 0 , như trước đây, năng lượng của phần còn lại. Trong các bài toán phi tương quan, người ta có thể viết

ở đâu W P - thừa (hoặc thiếu) năng lượng so với năng lượng nghỉ M s từ 2 phần nguyên tử. Nói chung, trong W P cả động năng của nguyên tử và năng lượng liên kết hoặc năng lượng kích thích của nó, có thể được gọi là năng lượng "bên trong", sẽ phải nhập vào. Sau đó, chúng tôi sẽ viết

và các biên độ sẽ như thế nào

Chúng ta sẽ tiến hành tất cả các phép tính một cách phi tương đối, vì vậy chúng ta sẽ sử dụng loại biên độ xác suất này.

Lưu ý rằng phép biến đổi tương đối tính của chúng ta đã cung cấp cho chúng ta một công thức để thay đổi biên độ của một nguyên tử di chuyển trong không gian mà không yêu cầu thêm bất kỳ giả thiết nào. Số sóng thay đổi của nó trong không gian, như sau từ (5.9), bằng

và do đó bước sóng

Đây là bước sóng mà trước đây chúng ta đã sử dụng cho các hạt có động lượng R.Đó là cách mà de Broglie lần đầu tiên đến với công thức này. Đối với một hạt chuyển động tần số sự thay đổi biên độ vẫn được cho bởi công thức

Giá trị tuyệt đối (5.9) đơn giản là bằng một, vì vậy đối với một hạt chuyển động với một năng lượng nhất định xác suất tìm thấy nó ở mọi nơi là như nhau và không thay đổi theo thời gian. (Điều quan trọng cần lưu ý là biên độ là toàn diện sóng. Nếu chúng ta đang sử dụng một hình sin thực, thì hình vuông của nó từ điểm này sang điểm khác sẽ thay đổi, điều này sẽ sai.)

Tất nhiên, chúng ta biết rằng có những trường hợp các hạt di chuyển từ nơi này sang nơi khác, do đó xác suất phụ thuộc vào vị trí và thay đổi theo thời gian. Những trường hợp như vậy nên được mô tả như thế nào? Điều này có thể được thực hiện bằng cách coi các biên độ là sự chồng chất của hai hoặc nhiều biên độ đối với các trạng thái có một năng lượng nhất định. Chúng tôi đã thảo luận về tình huống này trong Chap. 48 (Vấn đề 4), và nó dành cho các biên độ xác suất! Sau đó, chúng tôi nhận thấy rằng tổng của hai biên độ với các số sóng khác nhau k(tức là xung) và tần số w (tức là năng lượng) dẫn đến va đập hoặc nhịp giao thoa, do đó bình phương của biên độ thay đổi cả theo không gian và thời gian. Chúng tôi cũng nhận thấy rằng những nhịp này di chuyển với cái gọi là "vận tốc nhóm" được xác định bởi công thức

trong đó Dk và Dw là sự khác biệt giữa các sóng và tần số của hai sóng. Trong các sóng phức tạp hơn, bao gồm tổng nhiều biên độ có tần số gần nhau, vận tốc nhóm là

Kể từ khi w = E R / h, một k = p / h sau đó

Nhưng từ (5.6) nó theo sau rằng

và kể từ khi E P = Mc 2 , sau đó

và đây chỉ là vận tốc cổ điển của hạt. Ngay cả khi sử dụng các biểu thức không tương đối tính, chúng ta sẽ có

tức là lại là tốc độ cổ điển.

Do đó, kết quả của chúng tôi là nếu có một số biên độ cho các trạng thái năng lượng thuần túy với năng lượng gần như giống nhau, thì sự giao thoa của chúng dẫn đến "bùng nổ" xác suất di chuyển trong không gian với tốc độ bằng tốc độ của một hạt cổ điển có cùng năng lượng. . Tuy nhiên, cần lưu ý rằng khi chúng ta nói rằng chúng ta có thể cộng hai biên độ với các số sóng khác nhau để có được các gói tương ứng với một hạt chuyển động, chúng ta đang giới thiệu một cái gì đó mới - một cái gì đó không thể suy luận được từ thuyết tương đối. Chúng tôi cho biết biên độ của một hạt đứng yên thay đổi như thế nào, và sau đó suy ra từ đó nó sẽ thay đổi như thế nào nếu hạt chuyển động. Nhưng từ những cân nhắc này, chúng tôi không thể suy ra điều gì sẽ xảy ra nếu có hai sóng chuyển động với các tốc độ khác nhau. Nếu chúng ta ngăn chặn một trong số họ, chúng ta không thể ngăn chặn người kia. Vì vậy, chúng tôi đã lặng lẽ thêm vào một lần nữa giả thuyết: ngoài thực tế là (5.9) là khả thi quyết định, chúng tôi. chúng tôi giả định rằng cùng một hệ thống có thể có nhiều giải pháp hơn với tất cả các P và các điều khoản khác nhau sẽ gây trở ngại.

§ 3. Thế năng; tiết kiệm năng lượng

Và bây giờ chúng tôi muốn làm rõ câu hỏi điều gì sẽ xảy ra; khi năng lượng của hạt có thể thay đổi. Hãy bắt đầu bằng cách nghĩ về một hạt chuyển động trong một trường lực được mô tả bằng thế năng. Trước hết hãy xem xét ảnh hưởng của tiềm năng không đổi. Giả sử chúng ta có một hộp kim loại lớn, chúng ta đã tích điện đến một thế tĩnh điện j (Hình 5.2).

| HÌNH. 5.2. Hạt có khối lượng M và động lượng p trong vùng thế năng không đổi.

Nếu bên trong hộp có các vật tích điện thì thế năng của chúng sẽ bằng q cái j; chúng tôi sẽ biểu thị con số này bằng chữ cái v.Đó là điều kiện hoàn toàn độc lập với vị trí của bản thân đối tượng. Từ việc áp đặt một thế năng, sẽ không có thay đổi vật lý nào xảy ra bên trong hộp, bởi vì một thế năng không đổi không thay đổi bất cứ điều gì xảy ra bên trong hộp. Điều này có nghĩa là không thể suy ra quy luật mà biên độ sẽ thay đổi theo bất kỳ cách nào. Người ta chỉ có thể đoán. Đây rồi, câu trả lời chính xác - nó trông giống như bạn mong đợi: thay vì năng lượng, bạn cần đặt tổng năng lượng tiềm năng V và năng lượng E R , chính nó là tổng của nội năng và động năng. Khi đó biên độ sẽ tỷ lệ thuận với

Nguyên tắc chungđó có phải là hệ số t, mà có thể được gọi với luôn luôn được cho năng lượng đầy đủ hệ thống: nội năng ("năng lượng khối lượng") cộng với động năng cộng với thế năng:

Hoặc trong trường hợp không tương quan

Vậy còn các hiện tượng vật lý bên trong chiếc hộp thì sao? Nếu trạng thái vật chất không phải là một, mà là một số, thì chúng ta sẽ nhận được gì? Biên độ của mỗi trạng thái sẽ bao gồm cùng một yếu tố bổ sung

e -( tôi / h ) Vt

vượt ra ngoài những gì đã V= 0. Điều này không khác gì một sự thay đổi 0 trong thang năng lượng của chúng ta. Sự dịch chuyển giống nhau của tất cả các pha của tất cả các biên độ sẽ nhận được, và điều này, như chúng ta đã thấy trước đây, không làm thay đổi bất kỳ xác suất nào. Mọi hiện tượng vật lý vẫn như cũ. (Chúng tôi giả định rằng chúng tôi đang nói về các trạng thái khác nhau của cùng một vật thể tích điện, vì vậy q j tất cả đều giống nhau. Nếu một vật có thể thay đổi điện tích của nó từ trạng thái này sang trạng thái khác, thì chúng ta sẽ đi đến một kết quả hoàn toàn khác, nhưng sự bảo toàn điện tích ngăn cản chúng ta làm như vậy.)

Cho đến nay, giả định của chúng tôi phù hợp với những gì được mong đợi từ một sự thay đổi đơn giản trong mức tham chiếu năng lượng. Nhưng nếu nó thực sự đúng, thì nó cũng phải chứa năng lượng tiềm năng, không chỉ là bất biến. Nói chung V có thể thay đổi tùy ý cả về thời gian và không gian, và kết quả cuối cùng của biên độ phải được biểu thị bằng ngôn ngữ của phương trình vi phân. Nhưng chúng tôi không muốn nhảy ngay vào trường hợp chung, mà chúng tôi sẽ giới hạn bản thân trong một số ý tưởng về những gì đang xảy ra. Vì vậy, hiện tại, chúng ta sẽ chỉ xem xét một thế năng không đổi theo thời gian và biến đổi chậm trong không gian. Sau đó, chúng ta sẽ có thể so sánh các biểu diễn cổ điển và lượng tử.

Giả sử chúng ta đang nghĩ về trường hợp được mô tả trong Hình. 5.3, trong đó hai hộp được duy trì ở điện thế không đổi j 1 và j 2, và trong vùng giữa chúng, điện thế thay đổi thuận lợi từ j 1 đến j 2.

Quả sung. 5.3. Biên độ cho một hạt đi từ thế năng này sang thế năng khác.

Hãy tưởng tượng rằng một số hạt có biên độ ở một trong những khu vực này. Chúng ta cũng giả sử rằng động lượng đủ lớn để trong bất kỳ vùng nhỏ nào chứa nhiều bước sóng, thế năng gần như không đổi. Sau đó, chúng ta có quyền giả định rằng trong bất kỳ phần nào của không gian, biên độ phải giống như (5.18), chỉ V mỗi phần của không gian sẽ có riêng của nó.

Xét trường hợp đặc biệt khi j 1 = 0, để thế năng trong hộp thứ nhất bằng 0, trong hộp thứ hai cho q j 2 sẽ là âm, vì vậy về mặt cổ điển, hạt trong nó sẽ có động năng lớn hơn. Theo nghĩa cổ điển, nó sẽ di chuyển nhanh hơn trong hộp thứ hai, vì vậy nó sẽ có nhiều động lượng hơn. Hãy xem làm thế nào điều này có thể xảy ra từ cơ học lượng tử.

Theo giả định của chúng tôi, biên độ trong hộp đầu tiên phải tỷ lệ với

Chúng ta sẽ giả định rằng tất cả các tiềm năng là không đổi theo thời gian, vì vậy không có gì thay đổi trong các điều kiện. Sau đó, chúng tôi giả định rằng những thay đổi trong biên độ (tức là pha của nó) ở mọi nơi đều giống nhau tần số, bởi vì trong "môi trường" giữa các hộp có, có thể nói, không có gì phụ thuộc vào thời gian. Nếu không có gì thay đổi trong không gian, thì chúng ta có thể giả định rằng sóng trong một vùng “tạo ra” các sóng phụ trong không gian, tất cả đều dao động với cùng tần số và giống như sóng ánh sáng truyền qua một chất ở trạng thái nghỉ, không thay đổi tần số của chúng. Nếu các tần số trong (5.21) và (5.22) là như nhau, thì bằng nhau

Ở đây, ở cả hai phía, đơn giản là tổng năng lượng cổ điển, do đó (5.23) là một phát biểu về sự bảo toàn năng lượng. Nói cách khác, phát biểu cổ điển về bảo toàn năng lượng khá tương đương với phát biểu cơ học lượng tử rằng các tần số của một hạt là như nhau ở mọi nơi nếu các điều kiện không thay đổi theo thời gian. Tất cả điều này phù hợp với quan điểm rằng h w = E.

Trong trường hợp cụ thể khi V 1 = 0 và V 2 là âm (5.23) có nghĩa là P 2 nữa R 1, t. Tức là ở vùng 2, sóng ngắn hơn. Các bề mặt có pha bằng nhau được thể hiện trong Hình. 5.3 đường chấm. Ngoài ra còn có đồ thị phần thực của biên độ, từ đó ta cũng thấy bước sóng giảm như thế nào khi chuyển từ vùng 1 sang vùng 2. Vận tốc nhóm của sóng, bằng r / m, cũng tăng như người ta mong đợi từ sự bảo toàn năng lượng cổ điển, bởi vì nó đơn giản trùng với (5.23).

Có một trường hợp đặc biệt thú vị là V 2 trở nên lớn đến mức V 2 - V 1 đã vượt quá P 2 1 / 2 triệu. sau đó P 2 2 , được đưa ra bởi công thức

trở thành phủ định. Và điều này có nghĩa là R 2 là một số tưởng tượng, giả sử ip ”. Theo kiểu cổ điển, chúng ta sẽ nói rằng hạt sẽ không bao giờ đến được vùng 2, nó sẽ không có đủ năng lượng để leo lên ngọn đồi tiềm năng. Tuy nhiên, trong cơ học lượng tử, biên độ vẫn được biểu diễn bằng phương trình (5.22); những thay đổi của nó trong không gian vẫn tuân theo quy luật

Nhưng lần P 2 là một số ảo, khi đó sự phụ thuộc không gian sẽ biến thành một số mũ thực. Nếu, giả sử, hạt đầu tiên di chuyển theo hướng + x, sau đó biên độ sẽ thay đổi như

Với sự phát triển X cô ấy rơi nhanh chóng.

Chúng ta hãy tưởng tượng rằng cả hai vùng có thế năng khác nhau nằm rất gần nhau, do đó thế năng đột ngột thay đổi từ V 1 đến V 2 (Hình 5.4, a).

Quả sung. 5.4. Biên độ cho một hạt tiến tới một thế năng đẩy mạnh.

Bằng cách vẽ biểu đồ phần thực của biên độ xác suất, chúng ta thu được sự phụ thuộc được chỉ ra trong Hình. 5,4, b. Một sóng trong vùng 1 tương ứng với một hạt đang cố gắng đi vào vùng 2, nhưng biên độ giảm nhanh ở đó. Có khả năng cô ấy sẽ được chú ý ở khu vực 2, nơi cô ấy có phong cách cổ điển chẳng để lam gi Nó không phải là như vậy, nhưng biên độ của điều này là rất nhỏ (ngoại trừ một nơi gần biên giới). Trạng thái của sự việc rất giống với những gì chúng ta tìm thấy về sự phản xạ toàn phần bên trong của ánh sáng. Bình thường không có ánh sáng nào phát ra, nhưng vẫn có thể nhìn thấy vật gì đó nếu đặt vật cách bề mặt một hoặc hai bước sóng.

Nhớ lại rằng nếu bạn đặt bề mặt thứ hai gần với ranh giới nơi ánh sáng bị phản xạ hoàn toàn, thì bạn có thể đảm bảo rằng một số ánh sáng vẫn truyền trong mảnh vật chất thứ hai. Điều tương tự cũng xảy ra với các hạt trong cơ học lượng tử. Nếu có một khu vực hẹp với tiềm năng cao như vậy V, rằng động năng cổ điển là âm ở đó, thì hạt sẽ không bao giờ đi qua nó. Nhưng trong cơ học lượng tử, một biên độ giảm dần theo cấp số nhân có thể phá vỡ vùng này và tạo ra một cơ hội nhỏ là hạt sẽ được tìm thấy ở phía bên kia - nơi động năng lại dương. Tất cả điều này được thể hiện trong Hình. 5.5.

Quả sung. 5.5. Biên độ xuyên qua hàng rào điện thế.

Hiệu ứng này được gọi là cơ học lượng tử "sự xâm nhập qua hàng rào".

Sự thâm nhập của biên độ cơ lượng tử qua lớp chắn cung cấp lời giải thích (hoặc mô tả) về sự phân rã a của hạt nhân uranium. Thế năng của một hạt như là một hàm của khoảng cách từ tâm được biểu diễn trong Hình. 5,6, một.

Quả sung. 5.6. Thế năng của một hạt a trong hạt nhân uranium (a) và dạng định tính của biên độ xác suất (b).

Nếu chúng ta cố gắng bắn một hạt bằng năng lượng E đến cốt lõi sau đó cô ấy sẽ cảm thấy lực đẩy tĩnh điện từ điện tích hạt nhân z và theo các quy tắc cổ điển sẽ không đến gần lõi hơn ở khoảng cách như vậy r 1 mà tổng năng lượng của nó trở nên bằng thế năng v. Nhưng ở đâu đó bên trong hạt nhân, thế năng sẽ thấp hơn nhiều do lực hạt nhân tầm ngắn bị hút mạnh. Vậy làm thế nào để giải thích tại sao, trong quá trình phân rã phóng xạ, chúng ta tìm thấy hạt a, ban đầu ở bên trong hạt nhân, sau đó biến ra bên ngoài nó với năng lượng E?Vì họ. tràn đầy năng lượng ngay từ đầu E, "bị rò rỉ" qua hàng rào tiềm năng. Một bản phác thảo giản đồ của biên độ xác suất được đưa ra trong Fig. 5,6, b, mặc dù trong thực tế, sự suy giảm theo cấp số nhân mạnh hơn nhiều so với thể hiện. Điều đáng chú ý là thời gian sống trung bình của một hạt trong hạt nhân uranium lên tới 4 tỷ rưỡi năm, trong khi các dao động tự nhiên bên trong hạt nhân là cực kỳ nhanh, có 1022 trong số chúng mỗi giây! Làm thế nào là nó có thể từ 10 -2 2 giây nhận được một số thứ tự của 10 9 năm? Câu trả lời là số mũ đưa ra một hệ số nhỏ chưa từng có của bậc 10 -4 5, dẫn đến xác suất rò rỉ rất nhỏ, mặc dù khá chắc chắn. Nếu hạt a đã va vào hạt nhân, thì hầu như không có biên độ nào để phát hiện ra nó bên ngoài hạt nhân; Tuy nhiên, nếu bạn lấy nhiều hạt nhân này hơn và đợi lâu hơn một chút, thì bạn có thể gặp may và xem hạt nhảy ra như thế nào.

§ 4. Lực lượng; giới hạn cổ điển

Chúng ta hãy giả sử rằng một hạt di chuyển qua một vùng có thế năng thay đổi theo chuyển động. Về mặt cổ điển, chúng tôi sẽ mô tả trường hợp này như trong Hình. 5,7.

Quả sung. 5,7. Độ lệch của một hạt bởi một gradien điện thế ngang.

Nếu hạt chuyển động theo hướng X và đi vào khu vực có tiềm năng thay đổi theo y, khi đó hạt sẽ nhận gia tốc ngang từ lực F = -dV / dy. Nếu lực chỉ xuất hiện trong một vùng giới hạn về chiều rộng w, sau đó nó sẽ chỉ hoạt động trong một thời gian w / v. Hạt sẽ nhận được một động lượng ngang

P y = Fw / v

Khi đó góc lệch dq sẽ bằng

ở đâu R - xung động ban đầu. Thay thế thay vì F con số - dV / dy, chúng tôi nhận được

Bây giờ chúng ta phải tìm xem liệu kết quả này có thể thu được hay không bằng cách sử dụng ý tưởng rằng các sóng tuân theo phương trình (5.20). Chúng ta sẽ xem xét hiện tượng tương tự về mặt lượng tử một cách máy móc, giả sử rằng tất cả các thang đo trong đó đều lớn hơn nhiều so với các bước sóng của biên độ xác suất của chúng ta. Trong bất kỳ vùng nhỏ nào, chúng ta có thể giả định rằng biên độ thay đổi như

Chúng ta có thể thấy độ lệch của các hạt sẽ dẫn đến như thế nào khi V sẽ có một gradient ngang? Trong bộ lễ phục. Trong Hình 5.8, chúng tôi đã phác thảo các sóng biên độ xác suất sẽ như thế nào.

Quả sung. 5,8. Biên độ xác suất trong vùng có gradien điện thế ngang.

Chúng tôi đã vẽ một loạt các "nút sóng" mà bạn có thể coi là bề mặt mà ở đó pha của biên độ bằng không. Trong một khu vực nhỏ bất kỳ, bước sóng (khoảng cách giữa các nút liền kề) là

ở đâu R kết hợp với V công thức

Trong khu vực mà V nhiều hơn ở đó R sóng nhỏ hơn và dài hơn. Do đó, hướng của các đường của các nút của sóng thay đổi dần dần, như thể hiện trong hình.

Để tìm sự thay đổi độ dốc của các đường của các nút của sóng, lưu ý rằng trên hai đường một và b có một sự khác biệt tiềm ẩn D V = (dV / dy) D, và do đó sự khác biệt D R giữa các xung động. Sự khác biệt này có thể nhận được từ (5.28):

số sóng p / h do đó, nó cũng khác nhau trên các con đường khác nhau, có nghĩa là các pha phát triển dọc theo chúng với tốc độ khác nhau. Sự khác biệt về tốc độ tăng trưởng của giai đoạn là D k= D R/ h, và tích lũy trong suốt chặng đường wđộ lệch pha sẽ bằng

Con số này cho biết mức độ, theo thời gian thoát ra khỏi dải, pha dọc theo đường b"dẫn" giai đoạn dọc theo đường dẫn một. Nhưng ở lối ra khỏi dải, bước tiến pha như vậy tương ứng với bước tiến của nút sóng bằng giá trị

Đề cập đến Fig. 5.8, chúng ta thấy rằng mặt trước của sóng mới sẽ quay theo góc dq được cho bởi công thức

vì vậy chúng tôi có

Và điều này trùng với (5.26) nếu chúng ta thay thế r / m trên v, một D V / D trên dV / dy.

Kết quả chúng ta vừa thu được chỉ đúng khi tiềm năng thay đổi chậm và thuận lợi - trong cái gọi là giới hạn cổ điển. Chúng tôi đã chứng minh rằng trong những điều kiện này, chúng tôi thu được các chuyển động hạt giống như chuyển động của F=mmột, nếu chúng ta giả định rằng tiềm năng đóng góp vào pha của biên độ xác suất bằng Vt / h. Trong giới hạn cổ điển, cơ học lượng tử hóa ra lại phù hợp với cơ học Newton.

§ 5. "Tuế sai" của một hạt có spin 1 / 2

Lưu ý rằng chúng ta đã không giả định rằng chúng ta có một thế năng đặc biệt nào đó, nó chỉ đơn giản là một năng lượng, đạo hàm của nó tạo ra lực. Ví dụ, trong thí nghiệm Stern-Gerlach, năng lượng có dạng U=-m B; do đó, khi có sự thay đổi trong không gian tại B, lực đã thu được. Nếu chúng ta cần một mô tả cơ học lượng tử về trải nghiệm, chúng ta sẽ phải nói rằng đối với các hạt trong một chùm thì năng lượng thay đổi theo một hướng, và trong chùm khác - theo hướng ngược lại, (Năng lượng từ trường U có thể được đưa vào năng lượng tiềm năng V, hoặc năng lượng "bên trong" W; chính xác ở đâu, điều đó không thành vấn đề.) Do sự biến thiên năng lượng, các sóng bị khúc xạ, các chùm tia bị bẻ cong lên hoặc xuống. (Bây giờ chúng ta biết rằng cơ học lượng tử dự đoán cùng một độ cong sau khi tính toán trong cơ học cổ điển.)

Cũng do sự phụ thuộc của biên độ vào thế năng mà đối với một hạt ngồi trong từ trường đều hướng dọc theo trục z thì biên độ xác suất phải thay đổi theo thời gian theo quy luật

vượt ra ngoài những gì nó sẽ được nếu không có lĩnh vực này. Vì đối với một hạt có spin 1/2, giá trị m z có thể bằng cộng hoặc trừ một số nào đó, chẳng hạn m, thì đối với hai trạng thái có thể hình dung trong một trường đồng nhất, các pha sẽ thay đổi theo cùng một tốc độ theo các hướng ngược nhau. Biên độ sẽ được nhân với

Kết quả này dẫn đến những hệ quả thú vị. Để một hạt spin 1/2 ở một trạng thái nào đó không phải là trạng thái quay lên thuần túy cũng không phải là trạng thái quay xuống thuần túy. Nó có thể được mô tả dưới dạng biên độ của việc tồn tại ở hai trạng thái này. Nhưng trong một từ trường, các pha của hai trạng thái này sẽ bắt đầu thay đổi với tốc độ khác nhau. Và nếu chúng ta hỏi bất kỳ câu hỏi nào về biên độ, thì câu trả lời sẽ phụ thuộc vào khoảng thời gian mà hạt đó đã dành trong trường này.

Ví dụ, hãy xem xét sự phân rã của một muon trong từ trường. Khi các muon sinh ra từ sự phân rã của các meson p, chúng bị phân cực (nói cách khác, chúng có hướng spin ưu tiên). Đến lượt mình, các muon phân rã (trung bình sau 2,2 microec), phát ra một electron và một cặp neutrino:

Trong sự phân rã này, hóa ra là các electron (ít nhất là năng lượng cao) được phát ra chủ yếu theo hướng ngược với hướng của spin muon.

Sau đó, chúng ta hãy giả sử rằng có một thiết bị thí nghiệm (Hình 5.9): các hạt muon phân cực đi vào từ bên trái và trong khối vật chất NHƯNG dừng lại, và sau đó tan rã một chút sau đó.

Quả sung.. 5.9. Thí nghiệm phân rã Muon.

Nói chung, các electron phát ra đi ra ngoài theo tất cả các hướng có thể hình dung được. Tuy nhiên, hãy tưởng tượng rằng tất cả các muon đều đi vào khối giảm tốc NHƯNGđể lưng của họ được quay theo hướng X. Nếu không có từ trường, một dạng phân bố góc nào đó của các hướng phân rã sẽ được quan sát ở đó; chúng ta muốn biết sự phân bố này sẽ thay đổi như thế nào khi có từ trường. Có thể mong đợi rằng nó sẽ thay đổi bằng cách nào đó theo thời gian. Bạn có thể tìm hiểu điều gì sẽ xảy ra bằng cách hỏi biên độ sẽ là bao nhiêu tại mỗi thời điểm khi muon được tìm thấy ở trạng thái (+ x).

Bài toán này có thể được xây dựng như sau: hãy biết rằng tại thời điểm t = 0, spin của muon hướng theo + X; biên độ của thực tế là tại thời điểm t nó sẽ ở cùng trạng thái? Và mặc dù chúng ta không biết các quy tắc về hoạt động của một hạt có spin 1/2 trong một từ trường vuông góc với spin, nhưng chúng ta biết điều gì sẽ xảy ra với các trạng thái khi spin hướng lên hoặc xuống trường - khi đó biên độ của chúng là nhân với biểu thức (5.34). Quy trình của chúng tôi sau đó sẽ là chọn một biểu diễn trong đó các trạng thái cơ bản là hướng quay lên hoặc quay xuống đối với z(so với hướng trường). Và bất kỳ câu hỏi nào sau đó có thể được thể hiện thông qua biên độ của các trạng thái này.

Cho | y (t)> biểu diễn trạng thái của muon. Khi anh ta bước vào khối NHƯNG, trạng thái của nó là | y (0)>, và chúng ta. muốn biết | y (t)> tại thời điểm sau t. Nếu hai trạng thái cơ bản được ký hiệu là (+ z) và (-z), thì chúng ta biết các biên độ và - chúng được biết vì chúng ta biết rằng | y (0)> là một trạng thái có spin theo hướng (+ x). Tiếp theo từ chương trước rằng các biên độ này bằng nhau

Hóa ra chúng giống nhau. Vì chúng quy về vị trí tại t = 0, chúng tôi ký hiệu là TỪ+ (0) và TỪ - (0).

Nhưng nếu chúng ta biết C + (t) và C - (t), thì chúng tôi có mọi thứ để biết các điều kiện vào lúc này t Chỉ còn một khó khăn nữa cần vượt qua: chúng ta cần xác suất để vòng quay (lúc này t) sẽ được hướng dẫn cùng + X. Nhưng các quy tắc chung của chúng tôi cũng tính đến nhiệm vụ này. Chúng tôi viết rằng biên độ của ở trạng thái (+ x) trong thời điểm này t[hãy biểu thị nó Một + (t)]có

Một lần nữa sử dụng kết quả của chương trước (hoặc tốt hơn, bình đẳng

* từ ch. 3), chúng tôi viết

Vì vậy, trong (5.37) mọi thứ đều được biết đến. Chúng tôi nhận được

Kết quả đơn giản đáng kinh ngạc! Lưu ý rằng phản hồi phù hợp với những gì được mong đợi khi t = 0. Chúng tôi nhận được NHƯNG + (0)= 1, và điều này khá chính xác, bởi vì lúc đầu người ta cho rằng khi t= 0 muon ở trạng thái (+ x).

Xác suất R + rằng muon sẽ ở trạng thái (+ x) trong thời điểm này t, có (NHƯNG+) 2, tức là

Xác suất nằm trong khoảng từ 0 đến 1, như thể hiện trong Hình. 5.10.

Quả sung. 5.10. Phụ thuộc thời gian của xác suất của điều đó. rằng một hạt có spin 1 / 2 sẽ ở trạng thái (+) đối với trục x.

Lưu ý rằng xác suất trả về một là m Bt / h = p (và không phải khi 2p). Bởi vì côsin là bình phương, xác suất lặp lại với tần số 2mV / h.

Vì vậy, chúng tôi đã tìm thấy rằng cơ hội để bắt trong bộ đếm điện tử được hiển thị trong Hình. 5.9, electron đang phân rã biến thiên tuần hoàn theo giá trị của khoảng thời gian mà muon nằm trong từ trường. Tần số phụ thuộc vào mômen từ (L. Chính bằng cách này mà mômen từ của muon đã thực sự được đo.

Tất nhiên, phương pháp tương tự có thể được sử dụng để trả lời các câu hỏi khác về phân rã muon. Ví dụ, nó phụ thuộc vào thời gian như thế nào t cơ hội để phát hiện một electron đang phân rã theo hướng y, 90 ° về hướng X, nhưng vẫn ở góc vuông với lĩnh vực này? Nếu bạn giải quyết vấn đề này, bạn sẽ thấy rằng xác suất để có thể (+ y) thay đổi như cos 2 (m bt / h) - (tr / 4)); nó dao động cùng chu kỳ, nhưng đạt cực đại muộn hơn một phần tư chu kỳ, khi mВt / h = p / 4. Điều thực sự xảy ra là theo thời gian, muon chuyển qua một chuỗi các trạng thái tương ứng với sự phân cực hoàn toàn theo hướng liên tục quay quanh trục z.Điều này có thể được mô tả bằng cách nói rằng quy trình quay với tần số

Bạn sẽ phải hiểu rõ mô tả cơ học lượng tử sẽ diễn ra như thế nào khi chúng ta mô tả hành vi của một thứ gì đó theo thời gian.

* Nếu bạn đã bỏ lỡ ch. 4, thì bạn chỉ có thể coi (5.35) là một quy tắc chưa được xác thực trong thời điểm hiện tại. Sau đó, trong ch. 8, chúng tôi sẽ phân tích tuế sai spin chi tiết hơn, và các biên độ này cũng sẽ thu được.

* Ta giả sử rằng các pha phải có cùng giá trị tại các điểm tương ứng trong hai hệ trục tọa độ. Tuy nhiên, đây là một điểm rất tế nhị, vì trong cơ học lượng tử, pha phần lớn là tùy ý. Để biện minh đầy đủ cho giả thiết này, cần xem xét chi tiết hơn có tính đến sự giao thoa của hai hoặc nhiều biên độ.

Chuyển động dao động là bất kỳ chuyển động lặp lại theo chu kỳ nào. Do đó, sự phụ thuộc của tọa độ và vận tốc của vật vào thời gian trong quá trình dao động được mô tả bằng các hàm tuần hoàn của thời gian. Trong khóa học vật lý ở trường, các dao động như vậy được coi là trong đó các phụ thuộc và vận tốc của vật là các hàm lượng giác , hoặc sự kết hợp của chúng, ở đâu là một số. Những dao động như vậy được gọi là dao động điều hòa (hàm và thường được gọi là hàm điều hòa). Để giải các bài toán về dao động trong chương trình luyện thi trạng thái thống nhất môn vật lý, các em cần biết định nghĩa về các đặc điểm chính của dao động điều hòa: biên độ, chu kỳ, tần số, tần số tròn (hoặc tuần hoàn) và pha của dao động. Chúng ta hãy đưa ra các định nghĩa này và kết nối các đại lượng đã liệt kê với các tham số của sự phụ thuộc của tọa độ vật vào thời gian, trong trường hợp dao động điều hòa luôn có thể được biểu diễn dưới dạng

ở đâu, và là một số con số.

Biên độ dao động là độ lệch cực đại của vật dao động so với vị trí cân bằng. Vì giá trị cực đại và cực tiểu của cosin ở (11.1) bằng ± 1 nên biên độ dao động của vật dao động (11.1) bằng. Chu kỳ dao động là khoảng thời gian nhỏ nhất mà sau đó chuyển động của vật được lặp lại. Đối với sự phụ thuộc (11.1), khoảng thời gian có thể được thiết lập từ các cân nhắc sau. Cosine là một hàm tuần hoàn với chu kỳ. Do đó, chuyển động được lặp lại hoàn toàn thông qua một giá trị như vậy đó. Từ đây chúng tôi nhận được

Tần số dao động tròn (hoặc tuần hoàn) là số dao động trong một đơn vị thời gian. Từ công thức (11.3), chúng tôi kết luận rằng tần số tròn là giá trị từ công thức (11.1).

Pha dao động là đối số của hàm lượng giác mô tả sự phụ thuộc của tọa độ vào thời gian. Từ công thức (11.1), chúng ta thấy rằng pha của dao động của vật, chuyển động của nó được mô tả bởi sự phụ thuộc (11.1), bằng . Giá trị của pha dao động tại thời điểm = 0 được gọi là pha ban đầu. Đối với sự phụ thuộc (11.1) thì pha ban đầu của dao động bằng giá trị nào. Rõ ràng, pha ban đầu của dao động phụ thuộc vào việc chọn điểm tham chiếu thời gian (thời điểm = 0), luôn luôn có điều kiện. Bằng cách thay đổi gốc tham chiếu thời gian, pha ban đầu của dao động luôn có thể được "biến" bằng 0, và sin trong công thức (11.1) được "biến" thành cosin hoặc ngược lại.

Chương trình ôn thi trạng thái thống nhất còn có kiến ​​thức về các công thức tính tần số dao động của con lắc lò xo và toán học. Người ta thường gọi con lắc lò xo là vật dao động điều hòa trên mặt phẳng nằm ngang dưới tác dụng của lò xo, đầu thứ hai cố định (hình bên). Con lắc toán học là một vật thể khổng lồ, có thể bỏ qua các kích thước của chúng, dao động trên một sợi dây dài, không trọng lượng và không thể uốn nắn (hình bên phải). Tên của hệ thống này - "con lắc toán học" là do nó là một hệ thống trừu tượng toán học mô hình thực tế ( vật lý) của con lắc. Cần phải nhớ các công thức về chu kỳ (hoặc tần số) dao động của con lắc lò xo và toán học. Đối với con lắc lò xo

là chiều dài của sợi chỉ, là gia tốc rơi tự do. Hãy xem xét việc áp dụng các định nghĩa và định luật này vào ví dụ về giải quyết vấn đề.

Để tìm tần số tuần hoàn của tải trong nhiệm vụ 11.1.1Đầu tiên chúng ta hãy tìm chu kỳ dao động, và sau đó sử dụng công thức (11.2). Vì 10 m 28 s là 628 s và trong thời gian này tải thực hiện được 100 dao động thì chu kì dao động của tải là 6,28 s. Do đó, tần số dao động tuần hoàn là 1 s -1 (đáp án 2 ). TẠI nhiệm vụ 11.1.2 tải thực hiện được 60 dao động trong 600 s nên tần số dao động là 0,1 s -1 (đáp án 1 ).

Để hiểu hàng hóa sẽ đi theo con đường nào trong 2,5 kỳ ( nhiệm vụ 11.1.3), theo dõi chuyển động của nó. Sau một khoảng thời gian, tải sẽ trở lại điểm có độ lệch cực đại, tạo thành dao động hoàn toàn. Do đó, trong thời gian này, tải sẽ bao phủ một quãng đường bằng bốn biên độ: đến vị trí cân bằng - biên độ một, từ vị trí cân bằng đến điểm lệch cực đại theo hướng khác - biên độ thứ hai, trở lại vị trí cân bằng - biên độ thứ ba, từ vị trí cân bằng đến điểm xuất phát - thứ tư. Trong khoảng thời gian thứ hai, tải một lần nữa sẽ vượt qua bốn biên độ, và trong nửa chu kỳ còn lại - hai biên độ. Do đó, quãng đường đi được bằng mười biên độ (đáp án 4 ).

Lượng chuyển động của cơ thể là khoảng cách từ điểm bắt đầu đến điểm kết thúc. Trong 2,5 kỳ trong nhiệm vụ 11.1.4 cơ thể sẽ có thời gian để hoàn thành hai dao động toàn phần và nửa toàn phần, tức là sẽ ở độ lệch lớn nhất, nhưng ở phía bên kia của vị trí cân bằng. Do đó, lượng dịch chuyển có độ lớn bằng hai biên độ (đáp án 3 ).

Theo định nghĩa, pha của dao động là một đối số của một hàm lượng giác, nó mô tả sự phụ thuộc của tọa độ của một vật dao động vào thời gian. Do đó câu trả lời chính xác là nhiệm vụ 11.1.5 - 3 .

Chu kì là thời gian dao động hoàn toàn. Điều này có nghĩa là việc đưa cơ thể trở lại vị trí cũ mà từ đó cơ thể bắt đầu di chuyển không có nghĩa là thời kỳ đó đã trôi qua: cơ thể phải quay trở lại cùng một điểm với cùng một tốc độ. Ví dụ, một vật bắt đầu dao động từ một vị trí cân bằng, trong khoảng thời gian này sẽ có thời gian lệch giá trị cực đại theo một hướng, đi ngược lại, lệch cực đại theo hướng khác và quay trở lại. Do đó, trong khoảng thời gian, vật sẽ có thời gian lệch hai lần giá trị cực đại ra khỏi vị trí cân bằng và quay trở lại. Do đó, đoạn từ vị trí cân bằng đến điểm có độ lệch cực đại ( nhiệm vụ 11.1.6) cơ thể dành phần thứ tư của thời kỳ (câu trả lời 3 ).

Những dao động như vậy được gọi là dao động điều hòa, trong đó sự phụ thuộc của tọa độ của vật dao động vào thời gian được mô tả bằng một hàm lượng giác (sin hoặc cosin) của thời gian. TẠI nhiệm vụ 11.1.7đây là các hàm và, mặc dù thực tế là các tham số bao gồm trong chúng được ký hiệu là 2 và 2. Hàm là hàm lượng giác của bình phương thời gian. Do đó, các đại lượng chỉ dao động điều hòa (đáp án 4 ).

Với dao động điều hòa, tốc độ của vật thay đổi theo quy luật , biên độ của dao động tốc độ là ở đâu (tham chiếu thời gian được chọn sao cho pha ban đầu của dao động sẽ bằng không). Từ đây ta tìm được sự phụ thuộc của động năng của vật vào thời gian
(nhiệm vụ 11.1.8). Sử dụng công thức lượng giác nổi tiếng, chúng ta thu được

Từ công thức này, động năng của vật thay đổi trong quá trình dao động điều hòa cũng theo định luật điều hòa, nhưng với tần số gấp đôi (câu trả lời là 2 ).

Tỉ số giữa động năng của tải trọng và thế năng của lò xo ( nhiệm vụ 11.1.9) có thể dễ dàng truy tìm từ các xem xét sau. Khi vật bị lệch một lượng lớn nhất so với vị trí cân bằng thì vận tốc của vật bằng không, do đó thế năng của lò xo lớn hơn động năng của tải trọng. Ngược lại, khi vật qua vị trí cân bằng thì thế năng của lò xo bằng không và do đó động năng lớn hơn thế năng. Do đó, giữa lúc vật đi qua vị trí cân bằng và độ lệch cực đại, động năng và thế năng được so sánh một lần. Và vì trong khoảng thời gian vật đi từ vị trí cân bằng đến vị trí cân bằng lệch cực đại hoặc ngược lại thì trong khoảng thời gian đó động năng của tải và thế năng của lò xo so với nhau bốn lần (đáp án là 2 ).

Biên độ dao động tốc độ ( nhiệm vụ 11.1.10) dễ tìm nhất theo định luật bảo toàn cơ năng. Tại thời điểm lệch cực đại, thế năng của hệ dao động bằng thế năng của lò xo. , trong đó là hệ số cứng của lò xo, là biên độ dao động. Khi đi qua vị trí cân bằng, cơ năng bằng động năng. , trong đó là khối lượng của vật, là tốc độ của vật khi đi qua vị trí cân bằng, là tốc độ cực đại của vật trong quá trình dao động và do đó biểu thị biên độ của tốc độ dao động. Cân bằng những năng lượng này, chúng tôi thấy

(câu trả lời 4 ).

Từ công thức (11.5) ta kết luận ( nhiệm vụ 11.2.2) mà chu kỳ của nó không phụ thuộc vào khối lượng của con lắc toán học, và khi tăng chiều dài lên 4 lần thì chu kỳ dao động tăng lên 2 lần (câu trả lời là 1 ).

Đồng hồ là một quá trình dao động được sử dụng để đo khoảng thời gian ( nhiệm vụ 11.2.3). Từ đồng hồ "gấp rút" có nghĩa là khoảng thời gian của quá trình này ít hơn so với những gì nó cần. Vì vậy, để làm rõ quá trình của các đồng hồ này, cần phải tăng khoảng thời gian của quá trình. Theo công thức (11.5), để tăng chu kỳ dao động của con lắc toán học thì cần tăng chiều dài của nó (đáp án là 3 ).

Để tìm biên độ dao động trong nhiệm vụ 11.2.4, cần biểu diễn sự phụ thuộc của tọa độ cơ thể vào thời gian dưới dạng một hàm số lượng giác. Đối với chức năng đã cho trong điều kiện, điều này có thể được thực hiện bằng cách giới thiệu một góc bổ sung. Nhân và chia hàm này cho và sử dụng công thức cộng các hàm lượng giác, chúng ta nhận được

đâu là một góc như vậy . Từ công thức này suy ra rằng biên độ của dao động cơ là (câu trả lời 4 ).

Dao động tắt dần là sự giảm dần biên độ dao động theo thời gian do hệ dao động mất dần năng lượng.

Rung động tự nhiên mà không giảm chấn là một lý tưởng hóa. Các lý do cho sự phai màu có thể khác nhau. Trong một hệ thống cơ học, dao động bị giảm bớt do có ma sát. Trong mạch điện từ, tổn thất nhiệt trong các vật dẫn tạo thành hệ thống dẫn đến giảm năng lượng của dao động. Khi sử dụng hết năng lượng tích trữ trong hệ dao động thì dao động sẽ dừng lại. Do đó, biên độ dao động giảm xóc giảm cho đến khi nó trở thành 0.

Các dao động tắt dần, cũng như các dao động tự nhiên, trong các hệ thống có bản chất khác nhau, có thể được xem xét theo một quan điểm duy nhất - các đặc điểm chung. Tuy nhiên, các đặc điểm như biên độ và chu kỳ yêu cầu xác định lại, trong khi những đặc điểm khác yêu cầu bổ sung và làm rõ so với các đặc tính tương tự đối với dao động tự nhiên không lấy mẫu. Các dấu hiệu và khái niệm chung của dao động tắt dần như sau:

Phương trình vi phân phải lập có xét đến sự giảm năng lượng dao động trong quá trình dao động.

Phương trình dao động là nghiệm của một phương trình vi phân.

Biên độ của dao động tắt dần phụ thuộc vào thời gian.

Tần số và chu kỳ phụ thuộc vào mức độ tắt dần của dao động.

Pha và pha ban đầu có cùng ý nghĩa như đối với dao động không có dấu.

3.1. Rung động giảm chấn cơ học

hệ thống cơ khí: con lắc lò xo chịu tác dụng của lực ma sát.

Lực tác dụng lên con lắc:

Lực đàn hồi. , với k là hệ số độ cứng của lò xo, х là độ dời của con lắc khỏi vị trí cân bằng.

Lực lượng kháng chiến. Coi lực cản tỉ lệ với tốc độ v của chuyển động (sự phụ thuộc như vậy là đặc trưng cho một loại lực cản lớn):. Dấu trừ cho thấy hướng của lực cản ngược với hướng của vận tốc của vật. Hệ số cản r có giá trị bằng số của lực cản xuất hiện ở một đơn vị tốc độ của vật:

Luật chuyển động con lắc lò xo là định luật II Newton:

m một = F Ví dụ. + F kháng cự.

Xem xét điều đó và , chúng tôi viết định luật thứ hai của Newton dưới dạng:

.

Chia tất cả các số hạng của phương trình cho m, chuyển tất cả chúng sang vế phải, ta được phương trình vi phân dao động giảm xóc:

Ký hiệu, β ở đâu hệ số giảm chấn, trong đó ω 0 là tần số của dao động tự do không dấu khi không có tổn thất năng lượng trong hệ dao động.

Trong ký hiệu mới, phương trình vi phân của dao động tắt dần có dạng:

.

Đây là một phương trình vi phân tuyến tính bậc hai.

Phương trình dao động tắt dần là một nghiệm của phương trình vi phân sau:

Phụ lục 1 cho thấy lời giải của phương trình vi phân của dao động tắt dần bằng phương pháp thay đổi biến số.

Giảm tần số dao động:

(Do đó, chỉ có gốc thực mới có ý nghĩa vật lý).

Chu kỳ của dao động tắt dần:

.

Ý nghĩa được đưa vào khái niệm chu kỳ đối với dao động không có dấu không phù hợp với dao động tắt dần, vì hệ dao động không bao giờ trở lại trạng thái ban đầu do mất năng lượng dao động. Khi có ma sát, dao động chậm dần:.

Chu kỳ của dao động tắt dần gọi là khoảng thời gian tối thiểu để hệ hai lần qua vị trí cân bằng cùng chiều.

Đối với hệ thức cơ học của con lắc lò xo ta có:

, .

Biên độ của dao động tắt dần:

Đối với con lắc lò xo.

Biên độ của dao động tắt dần không phải là một giá trị bất biến mà thay đổi theo thời gian càng nhanh thì hệ số β càng lớn. Do đó, định nghĩa về biên độ, được đưa ra trước đó cho các dao động tự do không lấy dấu, phải được thay đổi cho các dao động tắt dần.

Đối với sự suy giảm nhỏ biên độ của dao động tắt dần gọi là độ lệch lớn nhất so với vị trí cân bằng trong khoảng thời gian.

Đồ thịĐộ lệch so với thời gian và biên độ so với đường cong thời gian được thể hiện trong Hình 3.1 và 3.2.

Hình 3.1 - Sự phụ thuộc của độ dịch chuyển vào thời gian đối với dao động tắt dần

Hình 3.2 - Sự phụ thuộc của biên độ vào thời gian đối với dao động tắt dần

3.2. Dao động giảm chấn điện từ

Dao động tắt dần điện từ phát sinh trong e hệ thống dao động điện từ, được gọi là LCR - đường bao (Hình 3.3).

Hình 3.3.

Phương trình vi phân chúng ta thu được bằng cách sử dụng định luật Kirchhoff thứ hai cho LCR kín - mạch: tổng của điện áp giảm trên điện trở hoạt động (R) và tụ điện (C) bằng cảm ứng EMF được phát triển trong mạch mạch:

Giảm điện áp:

Trên điện trở hoạt động:, trong đó I là cường độ dòng điện trong mạch;

Trên tụ điện (C):, với q là điện lượng trên một trong các bản tụ điện.

EMF được phát triển trong mạch là EMF của cảm ứng xuất hiện trong cuộn cảm khi dòng điện trong nó thay đổi, và do đó, từ thông qua tiết diện của nó: (Định luật Faraday).

Thay các giá trị U R, U C vào phương trình phản ánh định luật Kirchhoff, chúng ta nhận được:

.

Cường độ dòng điện được định nghĩa là đạo hàm của điện tích, và phương trình vi phân có dạng:

.

Ký hiệu, chúng ta thu được trong các ký hiệu này, phương trình vi phân của dao động tắt dần ở dạng:

Nghiệm của phương trình vi phân hoặc phương trình dao động điện tích trên các bản tụ điện trông giống như:

Biên độ của dao động điện tích giảm dần giống như:

Giảm tần số dao động trong mạch LCR:

.

Giai đoạn = Stage dao động điện từ giảm xóc:

.

Hãy để chúng tôi lập phương trình cho điện tích ở dạng phương trình ứng suất trên các bản tụ điện có thể được viết là
.

Giá trị được gọi là biên độ điện áp trên tụ điện.

Hiện hành trong mạch thay đổi theo thời gian. Phương trình hiện tại trong đường bao có thể thu được bằng cách sử dụng tỷ lệ và giản đồ vectơ.

Phương trình cuối cùng cho cường độ hiện tại là:

ở đâu - pha ban đầu.

Nó không bằng α, vì cường độ dòng điện không thay đổi dọc theo sin, điều này sẽ cho đạo hàm của điện tích, nhưng dọc theo côsin.

Năng lượng dao động trong mạch được tạo thành từ năng lượng của điện trường

và năng lượng từ trường

Tổng năng lượng tại bất kỳ thời điểm nào:

ở đâu W0 là năng lượng toàn phần của mạch tại thời điểm t = 0 .

3.3. Đặc điểm của dao động tắt dần

1.Hệ số suy giảm β.

Sự thay đổi biên độ của dao động tắt dần xảy ra theo quy luật hàm số mũ:

Cho biên độ dao động giảm "e" lần theo thời gian τ ("e" là cơ số của lôgarit tự nhiên, e ≈ 2,718). Sau đó, một mặt, , và mặt khác, đã vẽ các biên độ A zat. (t) và A tại. (t + τ), chúng ta có . Các quan hệ này ngụ ý βτ = 1, do đó

Khoảng thời gian τ, trong đó biên độ giảm đi "e" lần, được gọi là thời gian thư giãn.

Hệ số suy giảmβ là giá trị tỷ lệ nghịch với thời gian thư giãn.

2. Độ giảm chấn lôgarit giảm dần δ- một đại lượng vật lý về mặt số bằng logarit tự nhiên của tỉ số giữa hai biên độ liên tiếp cách nhau một khoảng thời gian.

§6 Rung động giảm xóc

Sự suy giảm độ suy giảm. Giảm chấn logarit.

Dao động tự do của hệ thống kỹ thuật trong điều kiện thực xảy ra khi lực cản tác động lên chúng. Tác dụng của các lực này làm biên độ của đại lượng dao động giảm dần.

Các dao động, biên độ giảm dần theo thời gian do mất mát năng lượng của một hệ dao động thực, được gọi là mờ dần.

Các trường hợp phổ biến nhất là khi lực cản tỷ lệ với tốc độ chuyển động.

ở đâu r- hệ số sức cản trung bình. Dấu trừ cho thấy rằngF Chướng ngược chiều với vận tốc.

Hãy viết phương trình dao động của một điểm dao động trong môi trường có hệ số nhiệt điện trở làr. Theo định luật thứ hai của Newton

trong đó β là hệ số tắt dần. Hệ số này đặc trưng cho tốc độ tắt dần của dao động, khi có lực cản thì năng lượng của hệ dao động tắt dần, dao động tắt dần.

- phương trình vi phân của dao động tắt dần.

Tại sự cân bằng của dao động tắt dần.

ω - tần số của dao động tắt dần:

Khoảng thời gian của dao động tắt dần:

Các dao động tắt dần, được xem xét nghiêm ngặt, không có tính tuần hoàn. Do đó, chúng ta có thể nói về chu kỳ của dao động tắt dần khi β nhỏ.

Nếu sự suy giảm được biểu thị yếu (β → 0), thì. dao động giảm xóc có thể

được coi là dao động điều hòa, biên độ dao động theo quy luật hàm số mũ

Trong phương trình (1) A 0 và φ 0 là hằng số tùy ý phụ thuộc vào sự lựa chọn thời điểm, bắt đầu từ đó ta coi dao động

Chúng ta hãy coi một dao động trong khoảng thời gian τ, trong thời gian đó biên độ sẽ giảm trong e Một lần

τ - thời gian thư giãn.

Hệ số tắt dần β tỉ lệ nghịch với thời gian biên độ giảm dần trong e Một lần. Tuy nhiên, hệ số suy giảm không đủ để đặc trưng cho sự suy giảm của dao động. Vì vậy, cần phải đưa ra một đặc tính như vậy cho sự suy giảm của dao động, bao gồm cả thời gian của một dao động. Một đặc điểm như vậy là giảm dần(bằng tiếng Nga: giảm dần) sự suy giảm D, bằng tỷ số giữa các biên độ cách nhau một khoảng thời gian:

Giảm chấn logarit bằng logarit D:

Độ tắt dần của logarit tỉ lệ nghịch với số dao động, do đó biên độ dao động giảm trong e Một lần. Giảm độ tắt của logarit là một giá trị không đổi đối với một hệ thống đã cho.

Một đặc điểm khác của hệ dao động là hệ số chất lượngQ.

Hệ số chất lượng tỉ lệ thuận với số dao động của hệ thực hiện được trong thời gian nghỉ τ.

Qhệ dao động là một thước đo sự tiêu tán (tiêu hao) tương đối của năng lượng.

Qhệ dao động được gọi là số biểu thị lực đàn hồi lớn hơn lực cản bao nhiêu lần.

Hệ số phẩm chất càng lớn thì dao động tắt dần xảy ra càng chậm, dao động tắt dần càng gần với dao động điều hòa tự do.

§7 Dao động cưỡng bức.

cộng hưởng

Trong một số trường hợp, cần tạo ra các hệ thống thực hiện các dao động không lấy dấu. Có thể thu được các dao động không lấy dấu trong hệ thống nếu các tổn thất năng lượng được bù đắp bằng cách tác động lên hệ thống với một lực thay đổi theo chu kỳ.

Để cho

Hãy viết biểu thức phương trình chuyển động của chất điểm thực hiện dao động điều hòa dưới tác dụng của lực phát động.

Theo định luật thứ hai của Newton:

(1)

Phương trình vi phân của dao động cưỡng bức.

Phương trình vi phân này là không thuần nhất tuyến tính.

Nghiệm của nó bằng tổng của nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất và nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất:

Hãy để chúng tôi tìm một nghiệm cụ thể của phương trình không thuần nhất. Để làm điều này, chúng tôi viết lại phương trình (1) dưới dạng sau:

(2)

Chúng tôi sẽ tìm một nghiệm cụ thể của phương trình này ở dạng:

sau đó

Thay thế trong (2):

tại vì thực hiện cho bất kỳt, thì đẳng thức γ = ω phải giữ, do đó,

Số phức này có thể được biểu diễn một cách thuận tiện dưới dạng

ở đâu NHƯNGđược xác định theo công thức (3 dưới đây), và φ - theo công thức (4), do đó, nghiệm (2), ở dạng phức, có dạng

Phần thực của nó, là nghiệm của phương trình (1), bằng:

ở đâu

(3)

(4)

Thuật ngữ Х o.o. chỉ đóng vai trò đáng kể trong giai đoạn đầu khi dao động được xác lập cho đến khi biên độ của dao động cưỡng bức đạt giá trị xác định bằng đẳng thức (3). Ở trạng thái dừng, dao động cưỡng bức xảy ra với tần số ω và là dao động điều hòa. Biên độ (3) và pha (4) của dao động cưỡng bức phụ thuộc vào tần số của lực phát động. Ở một tần số nào đó của lực phát động, biên độ có thể đạt giá trị rất lớn. Biên độ dao động cưỡng bức tăng mạnh khi tần số của lực phát động tiệm cận với tần số riêng của hệ cơ được gọi là cộng hưởng.

Tần số ω của lực phát động mà tại đó xảy ra hiện tượng cộng hưởng được gọi là cộng hưởng. Để tìm giá trị của ω res thì cần tìm điều kiện để biên độ cực đại. Để làm được điều này, cần phải xác định điều kiện nhỏ nhất của mẫu số trong (3) (tức là kiểm tra (3) để tìm một cực trị).

Sự phụ thuộc của biên độ của đại lượng dao động vào tần số của lực phát động gọi là đường cong cộng hưởng. Đường cong cộng hưởng sẽ càng cao, hệ số tắt dần β càng giảm và khi giảm β, cực đại của đường cong cộng hưởng sẽ dịch chuyển sang phải. Nếu β = 0, thì

ω res = ω 0.

Tại ω → 0, tất cả các đường cong đều có giá trị- độ lệch tĩnh.

Cộng hưởng tham số xảy ra khi sự thay đổi tuần hoàn một trong các tham số của hệ dẫn đến biên độ của hệ dao động tăng mạnh. Ví dụ, các cabin tạo ra "mặt trời" bằng cách thay đổi vị trí của trọng tâm của hệ thống. (Tương tự ở "thuyền".) Xem §61 .t. 1 Saveliev I.V.

Các dao động tự được gọi là dao động như vậy, năng lượng của nó được bổ sung định kỳ do ảnh hưởng của chính hệ thống do một nguồn năng lượng nằm trong cùng một hệ thống. Xem §59 v.1 Savelyev I.V.

Năng lượng của hệ dao động giảm dần dẫn đến biên độ dao động giảm dần, vì

Trong trường hợp này, họ nói rằng dao động được giảm bớt .

Một tình huống tương tự cũng phát triển trong mạch dao động. Cuộn dây thực, là một phần của mạch điện, luôn có điện trở hoạt động. Khi dòng điện chạy qua điện trở hoạt động của cuộn dây, nhiệt Joule sẽ được giải phóng. Trong trường hợp này, năng lượng của mạch giảm, kéo theo biên độ dao động của điện tích, hiệu điện thế và cường độ dòng điện đều giảm.

Nhiệm vụ của chúng ta- Tìm hiểu sự giảm biên độ dao động xảy ra theo quy luật nào, giá trị dao động tự thay đổi theo quy luật nào, dao động tắt dần xảy ra với tần số nào, thời gian dao động “tắt dần”.

§1 Giảm dao động trong hệ thống có ma sát nhớt

Xét một hệ dao động trong đó lực ma sát nhớt tác dụng. Một ví dụ về một hệ dao động như vậy là một con lắc toán học dao động trong không khí.

Trong trường hợp này, khi hệ thống được đưa ra khỏi trạng thái cân bằng

con lắc sẽ chịu tác dụng của hai lực: lực bán đàn hồi và lực cản (lực ma sát nhớt).

Định luật thứ hai của Newton được viết như sau:

(1)

Chúng ta biết rằng ở tốc độ thấp, lực ma sát nhớt tỷ lệ với tốc độ chuyển động:

Chúng tôi tính đến rằng phép chiếu vận tốc là đạo hàm bậc nhất của tọa độ vật thể và phép chiếu gia tốc là đạo hàm bậc hai của tọa độ:

Khi đó phương trình (2) sẽ có dạng:

chúng ta thu được phương trình chuyển động ở dạng sau:

(3)

trong đó d là hệ số tắt dần, nó phụ thuộc vào hệ số ma sát r,

w 0 - tần số tuần hoàn của dao động lý tưởng (trong trường hợp không có ma sát).

Trước khi giải phương trình (3) ta xét mạch dao động. Điện trở hoạt động của cuộn dây mắc nối tiếp với điện dung C và độ tự cảm L.

Hãy viết ra định luật thứ hai của Kirchhoff

Hãy tính đến điều đó, , .

Sau đó, định luật thứ hai của Kirchhoff có dạng:

Chia cả hai vế của phương trình cho:

Hãy để chúng tôi giới thiệu ký hiệu

Cuối cùng chúng tôi nhận được

Chú ý đến sự đồng nhất toán học của các phương trình vi phân (3) và (3 '). Không có gì đáng ngạc nhiên. Chúng ta đã chỉ ra sự đồng nhất toán học tuyệt đối của quá trình dao động của con lắc và dao động điện từ trong mạch. Rõ ràng, các quá trình dao động tắt dần trong mạch và trong hệ có ma sát nhớt cũng xảy ra theo cách tương tự.

Bằng cách giải phương trình (3), chúng ta sẽ có câu trả lời cho tất cả các câu hỏi trên.

Chúng tôi biết lời giải cho phương trình này

Sau đó, đối với phương trình mong muốn (3), chúng ta thu được kết quả cuối cùng

Dễ thấy rằng điện tích của tụ điện trong mạch dao động thực sẽ thay đổi theo quy luật

Phân tích kết quả:

1 Là kết quả của tác dụng chung của lực bán đàn hồi và lực cản, hệ có lẽ thực hiện một chuyển động dao động. Muốn vậy phải thỏa mãn điều kiện w 0 2 - d 2> 0. Nói cách khác, ma sát trong hệ phải nhỏ.

2 Tần số của dao động tắt dần w không trùng với tần số dao động của hệ khi không có ma sát w 2 = w 0 2 - d 2< w 0 2 . Theo thời gian, tần số của dao động tắt dần không đổi.

Nếu hệ số tắt dần d nhỏ thì tần số của dao động tắt dần gần với tần số riêng w 0.

Sự giảm biên độ này xảy ra theo cấp số nhân.

4 Nếu w 0 2 - d 2< 0, то есть трение в системе велико, то уравнение (3) имеет решение вида

(4)

ở đâu .

Bằng cách thay thế trực tiếp, có thể dễ dàng xác minh rằng hàm (4) thực sự là một nghiệm của phương trình (3). Rõ ràng, tổng của hai hàm số mũ không phải là một hàm tuần hoàn. Từ quan điểm vật lý, điều này có nghĩa là sẽ không có dao động trong hệ thống. Sau khi đưa hệ ra khỏi vị trí cân bằng, nó sẽ từ từ trở lại nó. Quá trình như vậy được gọi là không có kinh nghiệm .

§2 Dao động phân rã nhanh như thế nào trong hệ có ma sát nhớt?

Giảm chấn

giá trị số lượng. Có thể thấy giá trị của d đặc trưng cho tốc độ tắt dần của dao động. Vì lý do này, d được gọi là hệ số tắt dần.

Đối với dao động điện trong mạch, hệ số suy giảm phụ thuộc vào các thông số của cuộn dây: điện trở hoạt động của cuộn dây càng lớn thì biên độ điện tích trên tụ điện, hiệu điện thế và cường độ dòng điện càng giảm nhanh.

Hàm là tích của một hàm số mũ giảm dần và một hàm điều hòa, vì vậy cơ năng không điều hòa. Nhưng nó có một mức độ "lặp lại" nhất định, bao gồm thực tế là các cực đại, cực tiểu, số không của hàm xảy ra đều đặn. Đồ thị của hàm số là một hình sin giới hạn bởi hai số mũ.

Hãy tìm tỉ số của hai biên độ liên tiếp cách nhau một khoảng thời gian là một chu kì. Mối quan hệ này được gọi là giảm chấn

Xin lưu ý rằng kết quả không phụ thuộc vào việc bạn xem xét hai giai đoạn liên tiếp - khi bắt đầu chuyển động dao động hay sau một thời gian trôi qua. Với mỗi chu kì, biên độ dao động thay đổi không cùng kích thước, nhưng cùng một số lần !!

Có thể dễ dàng nhận thấy rằng trong những khoảng thời gian khác nhau thì biên độ của dao động tắt dần giảm đi một số lần như nhau.

Thời gian thư giãn

Thời gian thư giãn được gọi là Thời gian mà biên độ của dao động tắt dần giảm đi e lần:

sau đó .

Từ đây, không khó để thiết lập ý nghĩa vật lý của hệ số suy giảm:

Như vậy, hệ số tắt dần là nghịch đảo của thời gian giãn. Chẳng hạn, trong mạch dao động, hệ số tắt dần bằng. Nghĩa là sau một thời gian biên độ dao động sẽ giảm đi e Một lần.

Giảm chấn logarit

Thông thường, tốc độ tắt dần của dao động được đặc trưng bởi sự giảm dần theo lôgarit. Để làm điều này, hãy lấy logarit tự nhiên của tỷ lệ giữa các biên độ cách nhau một khoảng thời gian.

Hãy cùng chúng tôi tìm hiểu ý nghĩa vật lý của quá trình giảm dần logarit.

Gọi N là số dao động hệ thực hiện được trong thời gian giãn, tức là số dao động mà biên độ dao động giảm dần trong e Một lần. Rõ ràng, .

Có thể thấy rằng dao động tắt dần theo logarit là nghịch đảo của số dao động, sau đó biên độ giảm dần trong e Một lần.

Giả sử, điều này có nghĩa là sau 100 lần dao động, biên độ sẽ giảm đi e Một lần.

Hệ số chất lượng của hệ dao động

Ngoài thời gian giảm dần và thời gian thư giãn theo lôgarit, tốc độ tắt dần của dao động có thể được đặc trưng bởi một giá trị như hệ số chất lượng của hệ dao động . Theo yếu tố chất lượng

Có thể cho thấy rằng đối với các dao động bị hãm yếu

Năng lượng của hệ dao động tại một thời điểm tùy ý trong thời gian bằng. Năng lượng mất mát trong một khoảng thời gian có thể được coi là hiệu giữa năng lượng tại một thời điểm và năng lượng sau một thời gian bằng khoảng thời gian:

sau đó

Hàm mũ có thể được mở rộng thành một chuỗi tại<< 1. после подстановки получаем .

Khi rút tiền, chúng tôi đã áp dụng một hạn chế<< 1, что верно только для слабо затухающих колебаний. Следовательно, область применения выражения для добротности ограничена только слабо затухающими колебаниями. Тогда как выражение применимо к любой колебательной системе.

Các công thức do chúng tôi thu được về hệ số chất lượng của hệ thống chưa nói lên được điều gì. Giả sử các phép tính cho giá trị của hệ số chất lượng Q = 10. Điều này có nghĩa là gì? Các dao động phân rã nhanh như thế nào? No tôt hay xâu?

Người ta thường coi dao động một cách có điều kiện là thực tế đã ngừng nếu năng lượng của chúng giảm đi 100 lần (biên độ - đi 10). Hãy cùng tìm hiểu xem hệ thống đã thực hiện được bao nhiêu dao động tại thời điểm này:

Chúng ta có thể trả lời câu hỏi đã đặt ra trước đó: N = 8.

Hệ dao động nào tốt hơn - với hệ số chất lượng lớn hay nhỏ? Câu trả lời cho câu hỏi này phụ thuộc vào những gì bạn muốn nhận được từ hệ thống dao động.

Nếu muốn hệ thực hiện được nhiều dao động nhất có thể trước khi dừng thì hệ số phẩm chất của hệ phải được tăng lên. Làm sao? Vì hệ số chất lượng được quyết định bởi chính các thông số của hệ dao động nên cần phải lựa chọn các thông số này một cách chính xác.

Ví dụ, con lắc của Foucault, được lắp đặt trong Nhà thờ St. Isaac, được cho là thực hiện các dao động giảm chấn yếu. sau đó

Cách dễ nhất để tăng hệ số phẩm chất của con lắc là làm cho nó nặng hơn.

Trong thực tế, các vấn đề nghịch đảo thường nảy sinh: cần phải dập tắt các dao động phát sinh càng sớm càng tốt (ví dụ: dao động của mũi tên của dụng cụ đo, dao động của thùng xe, dao động của tàu thủy, v.v. .) các thiết bị cho phép tăng độ suy giảm trong hệ thống được gọi là bộ giảm chấn (hoặc bộ giảm xóc). Ví dụ, bộ giảm xóc ô tô trong lần gần đúng đầu tiên là một xi lanh chứa đầy dầu (chất lỏng nhớt), trong đó một piston có một số lỗ nhỏ có thể chuyển động. Cần piston được kết nối với thân xe, và xi lanh được kết nối với trục bánh xe. Các rung động của cơ thể phát sinh nhanh chóng chết đi, do pít-tông chuyển động gặp rất nhiều lực cản trên đường đi từ chất lỏng nhớt lấp đầy xi-lanh.

§ 3 Giảm rung động trong hệ thống có ma sát khô

Sự tắt dần của dao động xảy ra về cơ bản là khác nếu lực ma sát trượt tác dụng trong hệ. Chính cô ấy là lý do cho sự dừng lại của con lắc lò xo, dao động dọc theo bất kỳ bề mặt nào.

Giả sử một con lắc lò xo nằm trên mặt phẳng nằm ngang được đưa vào dao động điều hòa bằng cách nén lò xo và thả tải, tức là từ vị trí cực đại. Trong quá trình chuyển tải từ vị trí cực này sang vị trí cực khác, nó chịu tác dụng của trọng lực và phản lực của giá đỡ (theo phương thẳng đứng), lực đàn hồi và lực ma sát trượt (dọc theo bề mặt).

Chú ý rằng trong quá trình chuyển động từ trái sang phải, lực ma sát không đổi về phương và môđun.

Điều này cho phép chúng ta khẳng định rằng trong nửa chu kì đầu con lắc lò xo ở trong một trường lực không đổi.

Độ dịch chuyển của vị trí cân bằng có thể được tính từ điều kiện sao cho hệ quả bằng 0 ở vị trí cân bằng:
Điều quan trọng là trong nửa chu kì đầu của chu kì dao động của con lắc điều hòa !

Khi chuyển động theo hướng ngược lại - từ phải sang trái - lực ma sát sẽ thay đổi hướng, nhưng trong toàn bộ quá trình chuyển động nó sẽ không đổi về độ lớn và hướng. Tình huống này lại tương ứng với sự dao động của một con lắc trong một trường lực không đổi. Chỉ bây giờ lĩnh vực này là khác nhau! Nó đã đổi hướng. Do đó, vị trí cân bằng khi chuyển động từ phải sang trái cũng thay đổi. Bây giờ nó đã chuyển sang bên phải một lượng D l 0 .

Hãy để chúng tôi mô tả sự phụ thuộc của cơ thể phối hợp vào thời gian. Vì đối với mỗi nửa chu kỳ thì chuyển động là một dao động điều hòa nên đồ thị sẽ là một nửa hình sin, mỗi nửa chu kỳ được dựng so với vị trí cân bằng của nó. Chúng tôi sẽ thực hiện các hoạt động của "giải pháp may".

Hãy chỉ ra cách điều này được thực hiện với một ví dụ cụ thể.

Cho khối lượng của tải trọng gắn vào lò xo là 200 g, độ cứng của lò xo là 20 N / m và hệ số ma sát giữa tải trọng và mặt bàn là 0,1. Con lắc được đưa vào dao động điều hòa bằng cách kéo dãn lò xo bằng

6,5 cm.

Ngược lại với hệ dao động có ma sát nhớt, trong hệ có ma sát khô, biên độ dao động giảm dần theo thời gian theo quy luật tuyến tính - cứ mỗi chu kỳ thì nó giảm đi hai độ rộng của vùng ngưng trệ.

Một tính năng đặc biệt khác là dao động trong hệ có ma sát khô, thậm chí về mặt lý thuyết, không thể xảy ra vô thời hạn. Chúng dừng lại ngay khi cơ thể dừng lại ở “vùng đình trệ”.

§4 Các ví dụ về giải quyết vấn đề

Vấn đề 1 Bản chất của sự thay đổi biên độ của dao động tắt dần trong hệ có ma sát nhớt

Biên độ dao động tắt dần của con lắc trong thời gian t 1 = 5 min giảm đi 2 lần. Trong thời gian t 2 biên độ dao động giảm đi 8 lần? Sau thời gian t 3 ta có thể coi dao động của con lắc là bao nhiêu?

Dung dịch:

Biên độ dao động của hệ có ma sát nhớt theo thời gian

giảm theo hàm số mũ, trong đó biên độ dao động tại thời điểm ban đầu là hệ số tắt dần.

1 Hãy viết quy luật về sự thay đổi của biên độ hai lần

2 Chúng tôi giải phương trình cùng nhau. Lấy logarit của mỗi phương trình, chúng ta nhận được

Ta chia phương trình thứ hai không phải phương trình thứ nhất và tìm thời gian t 2

4

Sau khi biến đổi, chúng ta nhận được

Chia phương trình cuối cùng cho phương trình (*)

Nhiệm vụ 2 Thời kỳ dao động tắt dần trong hệ thống có ma sát nhớt

Xác định chu kỳ dao động tắt dần của hệ T, nếu chu kỳ dao động tự nhiên T 0 \ u003d 1 s và chu kỳ dao động tắt dần theo logarit. Hệ này sẽ thực hiện bao nhiêu dao động trước khi dừng hẳn?

Dung dịch:

1 Chu kỳ của dao động tắt dần trong hệ có ma sát nhớt lớn hơn chu kỳ của dao động tự nhiên (trong hệ không có ma sát). Ngược lại, tần số của dao động tắt dần nhỏ hơn tần số riêng và bằng , hệ số suy giảm ở đâu.

2 Biểu thị tần số tuần hoàn qua chu kỳ. và tính đến rằng độ giảm dao động của logarit bằng:

3 Sau khi biến đổi, chúng ta nhận được .

Thế năng của hệ bằng thế năng cực đại của con lắc

Sau khi biến đổi, chúng ta nhận được

5 Chúng tôi biểu thị hệ số suy giảm dưới dạng giảm logarit, chúng tôi thu được

Số dao động mà hệ thực hiện được trước khi dừng lại bằng

Bài toán 3 Số điểm dao động của con lắc cho đến khi biên độ giảm đi một nửa là

Dao động tắt dần theo phương logarit của con lắc bằng q = 3 × 10 -3. Xác định số dao động toàn phần mà con lắc phải thực hiện để biên độ dao động của nó giảm đi 2 lần.

Dung dịch:

3 Có thể dễ dàng nhận thấy đó là độ tắt của logarit giảm dần. Chúng tôi nhận được

Tìm số lần dao động

Nhiệm vụ 4 Hệ số chất lượng của hệ dao động

Xác định hệ số chất lượng của con lắc, nếu trong thời gian thực hiện được 10 dao động thì biên độ giảm 2 lần. Sau bao lâu thì con lắc dừng lại?

Dung dịch:

1 Biên độ dao động trong hệ có ma sát nhớt giảm theo hàm số mũ theo thời gian, trong đó biên độ dao động tại thời điểm ban đầu là hệ số tắt dần.

Vì biên độ dao động giảm đi 2 lần nên ta thu được

2 Thời gian dao động có thể được biểu diễn dưới dạng tích của chu kỳ dao động bằng số của chúng:

Thay giá trị thời gian kết quả vào biểu thức (*)

3 Có thể dễ dàng nhận thấy đó là độ tắt của logarit giảm dần. Chúng tôi nhận được sự giảm độ tắt của logarit bằng

4 Hệ số chất lượng của hệ dao động

Thế năng của hệ bằng thế năng cực đại của con lắc

Sau khi biến đổi, chúng ta nhận được

Tìm khoảng thời gian sau đó dao động dừng lại .

Nhiệm vụ 5 Rung động của nam châm

Vasya Lisichkin, một nhà thí nghiệm nổi tiếng trong toàn trường, đã quyết định làm cho bức tượng từ tính của người anh hùng văn học yêu thích của mình Kolobok rung dọc theo bức tường tủ lạnh. Người ta gắn bức tượng nhỏ vào một lò xo có độ cứng k = 10 N / m, dãn nó ra 10 cm rồi buông tay. Người đàn ông bánh gừng sẽ thực hiện được bao nhiêu dao động nếu khối lượng của bức tượng là m = 10 g, hệ số ma sát giữa bức tượng và bức tường là μ = 0,4 và nó có thể bị xé ra khỏi bức tường với lực F = 0,5 N .

Dung dịch:

1 Khi chuyển động từ vị trí cực dưới lên vị trí cực trên, khi vận tốc của tải trọng hướng lên thì lực ma sát trượt hướng xuống dưới và có giá trị bằng . Như vậy, con lắc lò xo nằm trong một trường lực không đổi tạo bởi trọng lực và lực ma sát. Trong trường lực không đổi, con lắc dịch chuyển vị trí cân bằng:

độ dãn của lò xo ở "vị trí cân bằng" mới là ở đâu.

2 Khi đi từ vị trí cực trên xuống vị trí cực dưới, khi vận tốc của tải trọng hướng xuống thì lực ma sát trượt hướng lên và có giá trị bằng . Như vậy, con lắc lò xo lại nằm trong một trường lực không đổi tạo bởi trọng lực và lực ma sát. Trong trường lực không đổi, con lắc dịch chuyển vị trí cân bằng:

Độ biến dạng của lò xo ở vị trí mới là "vị trí cân bằng", dấu "-" nói rằng ở vị trí này lò xo bị nén.

3 Vùng dừng được giới hạn bởi độ biến dạng của lò xo từ - 1 cm đến 3 cm và là 4 cm Vùng giữa của vùng dừng, trong đó độ biến dạng của lò xo là 1 cm, ứng với vị trí của tải trọng không có ma sát. lực lượng. Trong vùng dừng, lực đàn hồi của lò xo nhỏ hơn môđun lực ma sát tĩnh tối đa và lực hấp dẫn. Nếu con lắc dừng lại trong vùng ngưng trệ thì dao động dừng lại.

4 Cứ mỗi chu kỳ, độ biến dạng của lò xo giảm đi hai độ rộng của vùng ngưng trệ, tức là. 8 cm Sau một dao động, độ biến dạng của lò xo trở nên bằng 10 cm - 8 cm = 2 cm Nghĩa là sau một lần dao động, hình Kolobok đi vào vùng dừng thì dao động của nó dừng lại.

§5 Nhiệm vụ cho giải pháp độc lập

Kiểm tra "Rung động giảm xóc"

1 Giảm rung được hiểu là ...

A) tần số dao động giảm; B) giảm trong chu kỳ dao động;

C) biên độ dao động giảm dần; D) giảm pha của dao động.

2 Lý do của sự tắt dần các dao động tự do là

A) ảnh hưởng đến hệ thống các yếu tố ngẫu nhiên kìm hãm dao động;

B) tác động của ngoại lực thay đổi định kỳ;

C) sự hiện diện của lực ma sát trong hệ thống;

D) lực bán đàn hồi giảm dần, có xu hướng đưa con lắc về vị trí cân bằng.

?

A) 5 cm; B) 4 cm; C) 3 cm;

D) Không thể đưa ra câu trả lời, vì thời gian không xác định.

6 Hai con lắc giống hệt nhau, ở trong các môi trường nhớt khác nhau, dao động điều hòa. Biên độ của các dao động này thay đổi theo thời gian như hình vẽ bên. Môi trường nào có nhiều ma sát hơn?

7 Hai con lắc, ở trong cùng một môi trường, dao động điều hòa. Biên độ của các dao động này thay đổi theo thời gian như hình vẽ bên. Con lắc nào có khối lượng lớn nhất?

C) Không thể đưa ra câu trả lời, vì tỷ lệ không được đặt dọc theo các trục tọa độ và không thể thực hiện các phép tính.

8 Hình nào thể hiện đúng sự phụ thuộc của toạ độ dao động tắt dần trong hệ có ma sát nhớt vào thời gian?

A) 1; B) 2; TẠI 3; D) Tất cả các đồ thị đều đúng.

9 Thiết lập sự tương ứng giữa các đại lượng vật lý đặc trưng cho sự tắt dần của dao động trong hệ có ma sát nhớt, định nghĩa và ý nghĩa vật lý của chúng. Điền vào bảng

A) Đây là tỉ số giữa các biên độ dao động sau một thời gian bằng chu kì;

B) Đây là logarit tự nhiên của tỉ số các biên độ dao động sau một thời gian bằng chu kì;

C) Đây là khoảng thời gian mà biên độ dao động giảm dần trong e Một lần;

G) D) E)

G) Giá trị này là nghịch đảo của số điểm dao động mà biên độ dao động giảm dần trong e Một lần;

H) Giá trị này cho biết biên độ dao động giảm bao nhiêu lần trong một thời gian bằng chu kì dao động.

10 Hãy phát biểu đúng.

Nhân hậu có nghĩa là ...

A) tỉ số giữa năng lượng toàn phần của hệ E tăng lên một hệ số 2p so với năng lượng W tiêu hao trong một khoảng thời gian;

B) tỉ số của các biên độ sau một khoảng thời gian bằng chu kì;

C) số dao động mà hệ thực hiện được tính đến thời điểm khi biên độ giảm đi e lần.

Hệ số chất lượng được tính theo công thức ...

NHƯNG) B) C)

Hệ số chất lượng của một hệ dao động phụ thuộc vào…

A) năng lượng của hệ thống;

B) tổn thất năng lượng trong khoảng thời gian;

C) các thông số của hệ dao động và ma sát trong nó.

Hệ số phẩm chất của hệ dao động càng lớn thì ...

A) dao động phân rã chậm hơn;

B) dao động phân rã nhanh hơn.

11 Con lắc toán học được thiết lập để chuyển động dao động, lệch hệ thống treo khỏi vị trí cân bằng trong trường hợp đầu tiên là 15 °, trong trường hợp thứ hai - bằng 10 °. Trong trường hợp nào con lắc sẽ dao động điều hòa hơn trước khi dừng lại?

A) Khi móc treo bị lệch 15 °;

B) Khi mắc áo lệch 10 °;

C) Trong cả hai trường hợp, con lắc sẽ thực hiện một số dao động như nhau.

12 Quả cầu có cùng bán kính được gắn vào hai sợi chỉ có cùng chiều dài - nhôm và đồng. Các con lắc được thiết lập trong chuyển động dao động, lệch pha nhau các góc như nhau. Con lắc nào sẽ thực hiện được số lần dao động nhiều nhất trước khi dừng lại?

A) nhôm; B) Đồng;

C) Cả hai con lắc sẽ thực hiện cùng một số dao động.

13 Một con lắc lò xo nằm trên mặt phẳng nằm ngang, được lò xo dãn 9 cm thì dao động điều hòa, sau khi thực hiện ba dao động hoàn toàn thì con lắc cách vị trí lò xo chưa biến đổi một đoạn 6 cm. Sau ba lần dao động tiếp theo, con lắc sẽ cách vị trí của lò xo chưa biến đổi bao nhiêu?

A) 5 cm; B) 4 cm; C) 3 cm.