Cho hàm = bạn(x,y)+iv(x,y) được xác định trong một lân cận của điểm z = x+tôi. Nếu biến z tăng  z= x+tôi y, thì hàm
sẽ nhận được một sự gia tăng


= (z+ z)–
=bạn(x+ x, y+ y)+

+ iv(x+ x, y+ y) - bạn(x,y) - iv(x,y) = [bạn(x+ x, y+ y) –

– bạn(x,y)] + tôi[v(x+ x, y+ y) - v(x,y)] =

= bạn(x,y) + tôi v(x,y).

Sự định nghĩa. Nếu có giới hạn

=

,

thì giới hạn này được gọi là đạo hàm của hàm số
tại điểm z và được ký hiệu là f(z) hoặc
. Như vậy, theo định nghĩa,

=

=

. (1.37)

Nếu chức năng
có đạo hàm tại một điểm z, thì ta nói rằng hàm
khả vi tại một điểm z. Rõ ràng, đối với tính khả vi của hàm
điều cần thiết là các chức năng bạn(x,y) và v(x,y) khả vi. Tuy nhiên, điều này là không đủ cho sự tồn tại của đạo hàm f(z). Ví dụ, đối với chức năng w== x–tôi chức năng bạn(x,y)=x

và v(x,y)=–y khả vi tại mọi điểm của M( x,y), nhưng giới hạn của quan hệ
tại  x0,  y0 không tồn tại, vì nếu  y= 0,  x 0 thì  w/ z= 1,

nếu  x = 0,  y 0 thì  w/z = -1.

Không có giới hạn duy nhất. Điều này có nghĩa là chức năng

w= không có đạo hàm tại bất kỳ điểm nào z. Để tồn tại đạo hàm của hàm một biến phức, cần có thêm điều kiện. Những gì chính xác? Câu trả lời cho câu hỏi này được đưa ra bởi định lý sau.

định lý. Hãy để các chức năng bạn(x,y) và v(x,y) khả vi tại điểm M( x,y). Sau đó, để cho các chức năng

= bạn(x,y) + iv(x,y)

có đạo hàm tại một điểm z = x+tôi, điều cần và đủ là các đẳng thức

Đẳng thức (1.38) được gọi là điều kiện Cauchy-Riemann.

Bằng chứng. 1) Sự cần thiết. Hãy để chức năng
có đạo hàm tại điểm z, nghĩa là có giới hạn

=

=
.(1.39)

Giới hạn vế phải của đẳng thức (1.39) không phụ thuộc vào đường đi của điểm  z =  x+tôi y tìm kiếm

đến 0. Cụ thể, nếu y = 0, x  0 (Hình 1.10) thì

Nếu x = 0, y  0 (Hình 1.11) thì

(1.41)

Hình1.10 1.11

Phần trái trong đẳng thức (1.40) và (1.41) bằng nhau. Vậy các cạnh phải bằng nhau

Do đó nó theo sau đó

Như vậy, từ giả thiết về sự tồn tại của đạo hàm f(z) sự thỏa mãn đẳng thức (1.38) theo sau, nghĩa là điều kiện Cauchy-Riemann là cần thiết cho sự tồn tại của đạo hàm f(z).

1) Đủ. Bây giờ chúng ta giả sử rằng các đẳng thức (1.38) được thỏa mãn:

và chứng minh rằng trong trường hợp này hàm
có đạo hàm tại một điểm z= x+tôi, tức là giới hạn (1.39)

=

tồn tại.

Kể từ khi các chức năng bạn(x,y) và v(x,y) khả vi tại điểm M( x,y), thì tổng số gia của các hàm này tại điểm M( x,y) có thể được biểu diễn dưới dạng

,

trong đó  1 0,  2 0,  1 0,  2 0 tại  x0, y0.

Vì, theo công thức (1.38),

Do đó,

=
,

 1 =  1 +tôi 1 0,  2 =  2 +tôi 2 0 tại z =  x+tôiy0.

Bằng cách này,

Vì  z 2 =  x 2 + y 2 , thì  x/ z1,  y/z1. đó là lý do tại sao

tại  z  0.

Từ đó suy ra vế phải của đẳng thức (1.42) có giới hạn tại  z 0 nên vế trái có giới hạn tại  z 0, và giới hạn này không phụ thuộc vào đường nào  z có xu hướng bằng 0. Như vậy, chứng minh rằng nếu tại điểm M(x,y) thỏa mãn điều kiện (1.38) thì hàm số
có đạo hàm tại một điểm z = x+tôi, và

.

Định lý được chứng minh hoàn toàn.

Trong quá trình chứng minh định lý thu được hai công thức (1.40) và (1.42) cho đạo hàm của hàm một biến phức

,

.

Sử dụng công thức (1.38), chúng ta có thể thu được hai công thức nữa

, (1.43)

. (1.44)

Nếu chức năng f(z) có đạo hàm tại mọi điểm thuộc miền D thì ta nói rằng hàm số
khả vi trong miền D. Để làm được điều này, điều cần và đủ là các điều kiện Cauchy-Riemann được thỏa mãn tại mọi điểm của miền D.

Thí dụ. Kiểm tra điều kiện Cauchy-Riemann cho

chức năng e z .

Tại vì e z = e x+iy = e x(vì y + tôi tội y),

sau đó bạn(x, y) = Lại e z = e x cos y, v(x, y) = tôi e z = e x tội y,

,
,

,
,

Do đó,

Điều kiện Cauchy - Riemann của hàm số e z thỏa mãn tại mọi điểm z. Vì vậy chức năng e z khả vi trên toàn bộ mặt phẳng của biến phức và

Tương tự, người ta chứng minh tính khả vi

chức năng z N , cos z, tội z, ch z, sh z, Ln z, và hiệu lực của các công thức

(z N) = nz n-1, (cos z) = -sin z, (tội z) = cos z,

(ch z) = sh z, (sh z) = ch z, (Ln z) = 1/z.

Đối với hàm số phức, tất cả các quy tắc lấy đạo hàm của hàm số thực vẫn có hiệu lực. Việc chứng minh các quy tắc này xuất phát từ định nghĩa của đạo hàm theo cách tương tự như đối với các hàm của một biến thực.

Chức năng của một biến phức tạp.
Sự khác biệt của các chức năng của một biến phức tạp.

Bài viết này mở ra một loạt bài học trong đó tôi sẽ xem xét các bài toán điển hình liên quan đến lý thuyết hàm một biến phức. Để làm thành thạo các ví dụ, bạn phải có kiến ​​thức cơ bản về số phức. Để củng cố và lặp lại tài liệu, chỉ cần truy cập trang là đủ. Bạn cũng sẽ cần các kỹ năng để tìm đạo hàm riêng bậc hai. Đây rồi, những đạo hàm riêng này... ngay cả bây giờ tôi cũng hơi ngạc nhiên về tần suất chúng xuất hiện...

Chủ đề mà chúng ta đang bắt đầu phân tích không đặc biệt khó và trong các hàm của một biến phức, về nguyên tắc, mọi thứ đều rõ ràng và dễ tiếp cận. Điều chính là tuân thủ quy tắc cơ bản, do tôi rút ra theo kinh nghiệm. Đọc tiếp!

Khái niệm hàm một biến phức

Đầu tiên, hãy làm mới kiến ​​thức của chúng ta về hàm trường một biến:

Chức năng của một biến là quy luật theo đó mỗi giá trị của biến độc lập (thuộc miền xác định) tương ứng với một và chỉ một giá trị của hàm số. Đương nhiên, "x" và "y" là các số thực.

Trong trường hợp phức tạp, sự phụ thuộc hàm được đưa ra tương tự:

Hàm đơn trị của biến phức là quy tắc mà mọi người tích hợp giá trị của biến độc lập (từ miền) tương ứng với một và chỉ một toàn diện giá trị chức năng. Về lý thuyết, đa trị và một số loại hàm khác cũng được xem xét, nhưng để đơn giản, tôi sẽ tập trung vào một định nghĩa.

Chức năng của một biến phức tạp là gì?

Sự khác biệt chính là các con số rất phức tạp. Tôi không mỉa mai đâu. Từ những câu hỏi như vậy, họ thường rơi vào trạng thái sững sờ, ở phần cuối của bài viết, tôi sẽ kể một câu chuyện hay. trong bài học Số phức cho người giả chúng tôi đã xem xét một số phức ở dạng . Kể từ bây giờ chữ "Z" đã trở thành Biến đổi, thì chúng ta sẽ biểu thị nó như sau: , trong khi "x" và "y" có thể khác nhau có giá trị các giá trị. Nói một cách đại khái, chức năng của một biến phức tạp phụ thuộc vào các biến và , các biến này nhận các giá trị "bình thường". Điểm sau đây xuất phát một cách hợp lý từ thực tế này:

Hàm của một biến phức tạp có thể được viết là:
, trong đó và là hai hàm của hai có giá trị biến.

Chức năng được gọi là phần thực chức năng .
Chức năng được gọi là phần ảo chức năng .

Tức là hàm biến phức phụ thuộc vào hai hàm thực và . Để cuối cùng làm rõ mọi thứ, hãy xem xét các ví dụ thực tế:

ví dụ 1

Dung dịch: Biến độc lập "z", như bạn nhớ, được viết là , do đó:

(1) Thay thế vào chức năng ban đầu.

(2) Đối với số hạng đầu tiên, công thức nhân rút gọn đã được sử dụng. Trong thuật ngữ đã mở ngoặc.

(3) Cẩn thận bình phương, không quên điều đó

(4) Sắp xếp lại các thuật ngữ: viết lại các thuật ngữ trước , trong đó không có đơn vị tưởng tượng(nhóm đầu tiên), sau đó là các điều khoản, nơi có (nhóm thứ hai). Cần lưu ý rằng không cần thiết phải xáo trộn các điều khoản và có thể bỏ qua bước này (thực tế là bằng cách thực hiện bằng miệng).

(5) Nhóm thứ hai được đưa ra khỏi ngoặc đơn.

Kết quả là, chức năng của chúng tôi hóa ra được biểu diễn dưới dạng

Câu trả lời:
là phần thực của hàm.
là phần ảo của hàm.

Những chức năng này là gì? Các chức năng phổ biến nhất của hai biến, từ đó người ta có thể tìm thấy phổ biến như vậy dẫn một phần. Không thương xót - chúng tôi sẽ tìm thấy. Nhưng một lát sau.

Tóm lại, thuật toán của bài toán đã giải có thể được viết như sau: chúng ta thay thế hàm ban đầu bằng hàm ban đầu, tiến hành đơn giản hóa và chia tất cả các thuật ngữ thành hai nhóm - không có đơn vị ảo (phần thực) và có đơn vị ảo (phần ảo).

ví dụ 2

Tìm phần thực và phần ảo của một hàm

Đây là một ví dụ tự làm. Trước khi bạn ném mình vào trận chiến trên mặt phẳng phức tạp với những quân cờ đang khỏa thân, hãy để tôi cho bạn lời khuyên quan trọng nhất về chủ đề này:

HÃY CẨN THẬN! Tất nhiên, bạn cần cẩn thận ở mọi nơi, nhưng với số phức thì bạn càng phải cẩn thận hơn bao giờ hết! Nhớ đó, mở rộng ngoặc cẩn thận, kẻo mất gì. Theo quan sát của mình thì lỗi thường gặp nhất là mất dấu. Không phải vội!

Lời giải đầy đủ và đáp án ở cuối bài.

Bây giờ khối lập phương. Sử dụng công thức nhân rút gọn, chúng tôi rút ra:
.

Các công thức rất thuận tiện để sử dụng trong thực tế, vì chúng tăng tốc đáng kể quá trình giải quyết.

Sự khác biệt của các chức năng của một biến phức tạp.

Tôi có hai tin: tốt và xấu. Tôi sẽ bắt đầu với một cái tốt. Đối với một hàm một biến phức, các quy tắc phân biệt và bảng đạo hàm của các hàm cơ bản là hợp lệ. Do đó, đạo hàm được lấy theo cách hoàn toàn giống như trong trường hợp hàm của một biến thực.

Tin xấu là đối với nhiều hàm của một biến phức tạp, không có đạo hàm nào cả, và bạn phải tìm ra có thể phân biệt được chức năng này hay chức năng khác. Và "tìm ra" cảm giác của trái tim bạn có liên quan đến những rắc rối khác.

Hãy xem xét một chức năng của một biến phức tạp. Để hàm này khả vi, điều cần và đủ là:

1) Để có đạo hàm riêng cấp một. Hãy quên ngay các ký hiệu này đi, vì trong lý thuyết về hàm của một biến phức, một phiên bản khác của ký hiệu được sử dụng theo truyền thống: .

2) Để thực hiện cái gọi là Điều kiện Cauchy-Riemann:

Chỉ trong trường hợp này đạo hàm mới tồn tại!

ví dụ 3

Dung dịch chia thành 3 giai đoạn nối tiếp nhau:

1) Tìm phần thực và phần ảo của hàm số. Nhiệm vụ này đã được phân tích trong các ví dụ trước, vì vậy tôi sẽ viết nó ra mà không cần bình luận:

Vì , thì:

Theo cách này:

là phần ảo của hàm.

Tôi sẽ tập trung vào một điểm kỹ thuật nữa: theo thứ tự viết các thuật ngữ theo phần thực và phần ảo? Vâng, về cơ bản nó không quan trọng. Ví dụ, phần thực có thể được viết như sau: , và tưởng tượng - như thế này: .

2) Hãy để chúng tôi kiểm tra việc đáp ứng các điều kiện Cauchy-Riemann. Có hai người trong số họ.

Hãy bắt đầu bằng cách kiểm tra điều kiện. Chúng ta tìm thấy dẫn một phần:

Như vậy, điều kiện được thỏa mãn.

Không còn nghi ngờ gì nữa, tin tốt là đạo hàm riêng hầu như luôn rất đơn giản.

Chúng tôi kiểm tra việc thực hiện điều kiện thứ hai:

Hóa ra điều tương tự, nhưng với các dấu hiệu ngược lại, nghĩa là điều kiện cũng được đáp ứng.

Điều kiện Cauchy-Riemann được thỏa mãn nên hàm khả vi.

3) Tìm đạo hàm của hàm số. Đạo hàm cũng rất đơn giản và được tìm theo quy tắc thông thường:

Đơn vị tưởng tượng trong sự khác biệt được coi là một hằng số.

Câu trả lời: - phần thực là phần ảo.
Các điều kiện Cauchy-Riemann được đáp ứng, .

Có hai cách khác để tìm đạo hàm, tất nhiên chúng ít được sử dụng hơn, nhưng thông tin sẽ hữu ích để hiểu bài học thứ hai - Làm thế nào để tìm chức năng của một biến phức tạp?

Đạo hàm có thể được tìm thấy bằng cách sử dụng công thức:

Trong trường hợp này:

theo cách này

Cần phải giải quyết vấn đề nghịch đảo - trong biểu thức kết quả, bạn cần tách . Để làm điều này, nó là cần thiết trong các thuật ngữ và đưa ra khỏi ngoặc đơn:

Hành động đảo ngược, như nhiều người đã nhận thấy, khó thực hiện hơn một chút, để xác minh, tốt hơn hết là lấy biểu thức và bản nháp hoặc mở dấu ngoặc lại bằng lời nói, đảm bảo rằng nó sẽ diễn ra chính xác

Công thức phản chiếu để tìm đạo hàm:

Trong trường hợp này: , đó là lý do tại sao:

Ví dụ 4

Xác định phần thực và phần ảo của hàm . Kiểm tra việc thực hiện các điều kiện Cauchy-Riemann. Nếu các điều kiện Cauchy-Riemann được đáp ứng, hãy tìm đạo hàm của hàm.

Lời giải ngắn gọn và mẫu gần đúng hoàn thiện cuối bài.

Điều kiện Cauchy-Riemann có luôn thỏa mãn không? Về mặt lý thuyết, chúng thường không được đáp ứng nhiều hơn so với thực tế. Nhưng trong các ví dụ thực tế, tôi không nhớ có trường hợp nào chúng không được thực hiện =) Vì vậy, nếu đạo hàm riêng của bạn “không hội tụ”, thì khả năng rất cao là bạn đã mắc sai lầm ở đâu đó.

Hãy làm phức tạp các chức năng của chúng tôi:

Ví dụ 5

Xác định phần thực và phần ảo của hàm . Kiểm tra việc thực hiện các điều kiện Cauchy-Riemann. Tính toán

Dung dịch: Thuật toán giải pháp được giữ nguyên hoàn toàn, nhưng cuối cùng, một mốt mới được thêm vào: tìm đạo hàm tại một điểm. Đối với khối lập phương, công thức cần thiết đã được suy ra:

Hãy xác định phần thực và phần ảo của hàm này:

Chú ý và một lần nữa chú ý!

Vì , thì:


Theo cách này:
là phần thực của hàm;
là phần ảo của hàm.

Kiểm tra điều kiện thứ hai:

Hóa ra điều tương tự, nhưng với các dấu hiệu ngược lại, nghĩa là điều kiện cũng được đáp ứng.

Điều kiện Cauchy-Riemann được thỏa mãn nên hàm số khả vi:

Tính giá trị đạo hàm tại điểm cần tìm:

Câu trả lời:, , các điều kiện Cauchy-Riemann được thỏa mãn,

Các chức năng với hình khối là phổ biến, vì vậy một ví dụ để củng cố:

Ví dụ 6

Xác định phần thực và phần ảo của hàm . Kiểm tra việc thực hiện các điều kiện Cauchy-Riemann. Tính toán .

Quyết định và hoàn thiện mẫu ở cuối bài học.

Trong lý thuyết giải tích phức, các hàm khác của đối số phức cũng được xác định: hàm mũ, sin, cosin, v.v. Các chức năng này có những đặc tính khác thường và thậm chí kỳ quái - và nó thực sự rất thú vị! Tôi thực sự muốn nói với bạn, nhưng ở đây, nó chỉ xảy ra như vậy, không phải sách tham khảo hay sách giáo khoa, mà là một giải pháp, vì vậy tôi sẽ xem xét nhiệm vụ tương tự với một số chức năng phổ biến.

Đầu tiên về cái gọi là công thức Euler:

Cho bât ki ai có giá trị số, các công thức sau đây là hợp lệ:

Bạn cũng có thể sao chép nó vào sổ ghi chép của mình để tham khảo.

Nói đúng ra, chỉ có một công thức, nhưng thông thường, để thuận tiện, họ cũng viết một trường hợp đặc biệt có dấu trừ trong chỉ báo. Tham số không nhất thiết phải là một chữ cái, nó có thể là một biểu thức phức tạp, một hàm, điều quan trọng là chúng phải lấy chỉ hợp lệ các giá trị. Trên thực tế, chúng ta sẽ thấy nó ngay bây giờ:

Ví dụ 7

Tìm đạo hàm.

Dung dịch:Đường lối chung của đảng vẫn không thể lay chuyển - cần phải phân biệt các phần thực và phần ảo của chức năng. Tôi sẽ đưa ra một giải pháp chi tiết và nhận xét về từng bước bên dưới:

Vì , thì:

(1) Thay thế cho "z".

(2) Sau khi thay thế, cần tách phần thực và phần ảo đầu tiên theo số mũ nhà triển lãm. Để làm điều này, hãy mở các dấu ngoặc.

(3) Chúng tôi nhóm phần ảo của chỉ báo, đặt đơn vị ảo ra khỏi ngoặc.

(4) Sử dụng hành động của trường với quyền hạn.

(5) Đối với cấp số nhân, chúng ta sử dụng công thức Euler , trong khi .

(6) Chúng tôi mở ngoặc, kết quả là:

là phần thực của hàm;
là phần ảo của hàm.

Các hành động tiếp theo là tiêu chuẩn, hãy kiểm tra việc đáp ứng các điều kiện Cauchy-Riemann:

Ví dụ 9

Xác định phần thực và phần ảo của hàm . Kiểm tra việc thực hiện các điều kiện Cauchy-Riemann. Vì vậy, có thể là nó, chúng tôi sẽ không tìm thấy đạo hàm.

Dung dịch: Thuật toán giải pháp rất giống với hai ví dụ trước, nhưng có những điểm rất quan trọng, vì vậy tôi sẽ lại nhận xét về giai đoạn ban đầu từng bước một:

Vì , thì:

1) Chúng tôi thay thế thay vì "z".

(2) Đầu tiên, chọn phần thực và phần ảo bên trong xoang. Với mục đích này, hãy mở các dấu ngoặc.

(3) Chúng tôi sử dụng công thức , trong khi .

(4) Sử dụng tính chẵn lẻ của cosin hyperbol: và sin hypebol: . Hyperbolics, mặc dù không thuộc thế giới này, nhưng về nhiều mặt giống với các hàm lượng giác tương tự.

Sau cùng:
là phần thực của hàm;
là phần ảo của hàm.

Chú ý! Dấu trừ đề cập đến phần ảo, và trong mọi trường hợp chúng ta không nên đánh mất nó! Để minh họa trực quan, kết quả thu được ở trên có thể được viết lại như sau:

Hãy kiểm tra việc thực hiện các điều kiện Cauchy-Riemann:

Điều kiện Cauchy-Riemann được thỏa mãn.

Câu trả lời:, , điều kiện Cauchy-Riemann được thỏa mãn.

Với cosin, thưa quý vị và các bạn, chúng tôi tự hiểu:

Ví dụ 10

Xác định phần thực và phần ảo của hàm số. Kiểm tra việc thực hiện các điều kiện Cauchy-Riemann.

Tôi cố tình chọn những ví dụ phức tạp hơn, bởi vì mọi người đều có thể xử lý một thứ như đậu phộng đã bóc vỏ. Đồng thời, rèn luyện sự chú ý của bạn! Kẹp hạt dẻ vào cuối buổi học.

Chà, để kết luận, tôi sẽ xem xét một ví dụ thú vị khác khi đối số phức nằm ở mẫu số. Chúng tôi đã gặp một vài lần trong thực tế, hãy phân tích một cái gì đó đơn giản. Ôi, tôi già rồi...

Ví dụ 11

Xác định phần thực và phần ảo của hàm số. Kiểm tra việc thực hiện các điều kiện Cauchy-Riemann.

Dung dịch: Một lần nữa, cần phải tách phần thực và phần ảo của hàm.
Nếu , sau đó

Câu hỏi đặt ra, phải làm gì khi "Z" ở mẫu số?

Mọi thứ đều đơn giản - tiêu chuẩn sẽ giúp phương pháp nhân tử số và mẫu số với biểu thức liên hợp, nó đã được sử dụng trong các ví dụ của bài học Số phức cho người giả. Hãy nhớ công thức trường học. Ở mẫu số chúng ta đã có , nên biểu thức liên hợp sẽ là . Vì vậy, bạn cần nhân tử số và mẫu số với:

Khái niệm hàm một biến phức

Đầu tiên, hãy làm mới kiến ​​thức của chúng ta về hàm trường một biến:

Hàm một biến là quy luật theo đó mỗi giá trị của biến độc lập (thuộc miền xác định) tương ứng với một và chỉ một giá trị của hàm. Đương nhiên, "x" và "y" là các số thực.

Trong trường hợp phức tạp, sự phụ thuộc hàm được đưa ra tương tự:

Hàm rõ ràng của biến phức là quy tắc theo đó mỗi giá trị phức của biến độc lập (từ miền xác định) tương ứng với một và chỉ một giá trị phức của hàm. Về lý thuyết, đa trị và một số loại hàm khác cũng được xem xét, nhưng để đơn giản, tôi sẽ tập trung vào một định nghĩa.

Chức năng của một biến phức tạp là gì?

Sự khác biệt chính là các con số rất phức tạp. Tôi không mỉa mai đâu. Từ những câu hỏi như vậy, họ thường rơi vào trạng thái sững sờ, ở phần cuối của bài viết, tôi sẽ kể một câu chuyện hay. trong bài học Số phức cho người giả chúng tôi đã xem xét một số phức ở dạng . Vì bây giờ chữ "z" đã trở thành một biến, chúng tôi sẽ chỉ định nó như sau: , trong khi "x" và "y" có thể nhận các giá trị thực khác nhau. Nói một cách đại khái, chức năng của một biến phức tạp phụ thuộc vào các biến và , các biến này nhận các giá trị "bình thường". Điểm sau đây xuất phát một cách hợp lý từ thực tế này:

Phần thực và phần ảo của hàm một biến phức

Hàm của một biến phức tạp có thể được viết là:
, trong đó và là hai hàm hai biến thực.

Hàm được gọi là phần thực của hàm.
Hàm được gọi là phần ảo của hàm.

Tức là hàm biến phức phụ thuộc vào hai hàm thực và . Để cuối cùng làm rõ mọi thứ, hãy xem xét các ví dụ thực tế:

Giải pháp: Biến độc lập "z", như bạn nhớ, được viết là , do đó:

(1) Thay thế vào chức năng ban đầu.

(2) Đối với số hạng đầu tiên, công thức nhân rút gọn đã được sử dụng. Trong thuật ngữ đã mở ngoặc.

(3) Cẩn thận bình phương, không quên điều đó

(4) Sắp xếp lại các hạng tử: đầu tiên, chúng ta viết lại các hạng tử không có đơn vị ảo (nhóm thứ nhất), sau đó viết lại các hạng tử có (nhóm thứ hai). Cần lưu ý rằng không cần thiết phải xáo trộn các điều khoản và có thể bỏ qua bước này (thực tế là bằng cách thực hiện bằng miệng).

(5) Nhóm thứ hai được đưa ra khỏi ngoặc đơn.

Kết quả là, chức năng của chúng tôi hóa ra được biểu diễn dưới dạng

Câu trả lời:
là phần thực của hàm.
là phần ảo của hàm.

Những chức năng này là gì? Các chức năng phổ biến nhất của hai biến, từ đó người ta có thể tìm thấy phổ biến như vậy dẫn một phần. Không thương xót - chúng tôi sẽ tìm thấy. Nhưng một lát sau.

Tóm lại, thuật toán của bài toán đã giải có thể được viết như sau: chúng ta thay thế hàm ban đầu bằng hàm ban đầu, tiến hành đơn giản hóa và chia tất cả các thuật ngữ thành hai nhóm - không có đơn vị ảo (phần thực) và có đơn vị ảo (phần ảo).

Tìm phần thực và phần ảo của một hàm

Đây là một ví dụ tự làm. Trước khi bạn ném mình vào trận chiến trên mặt phẳng phức tạp với những quân cờ đang khỏa thân, hãy để tôi cho bạn lời khuyên quan trọng nhất về chủ đề này:

HÃY CẨN THẬN! Tất nhiên, bạn cần cẩn thận ở mọi nơi, nhưng với số phức thì bạn càng phải cẩn thận hơn bao giờ hết! Nhớ đó, mở rộng ngoặc cẩn thận, kẻo mất gì. Theo quan sát của mình thì lỗi thường gặp nhất là mất dấu. Không phải vội!

Lời giải đầy đủ và đáp án ở cuối bài.

Bây giờ khối lập phương. Sử dụng công thức nhân rút gọn, chúng tôi rút ra:
.

Các công thức rất thuận tiện để sử dụng trong thực tế, vì chúng tăng tốc đáng kể quá trình giải quyết.

Sự khác biệt của các chức năng của một biến phức tạp.
Điều kiện Cauchy-Riemann

Tôi có hai tin: tốt và xấu. Tôi sẽ bắt đầu với một cái tốt. Đối với một hàm một biến phức, các quy tắc phân biệt và bảng đạo hàm của các hàm cơ bản là hợp lệ. Do đó, đạo hàm được lấy theo cách hoàn toàn giống như trong trường hợp hàm của một biến thực.

Tin xấu là đối với nhiều hàm của một biến phức tạp, không có đạo hàm nào cả, và người ta phải tìm hiểu xem một hàm cụ thể có khả vi hay không. Và "tìm ra" cảm giác của trái tim bạn có liên quan đến những rắc rối khác.

Hãy xem xét một chức năng của một biến phức tạp. Để hàm này khả vi, điều cần và đủ là:

1) Để có đạo hàm riêng cấp một. Hãy quên ngay những ký hiệu này đi, vì trong lý thuyết về hàm của một biến phức, một phiên bản khác của ký hiệu được sử dụng theo truyền thống: .

2) Để thỏa mãn cái gọi là điều kiện Cauchy-Riemann:

Chỉ trong trường hợp này đạo hàm mới tồn tại!

Xác định phần thực và phần ảo của hàm . Kiểm tra việc thực hiện các điều kiện Cauchy-Riemann. Nếu các điều kiện Cauchy-Riemann được đáp ứng, hãy tìm đạo hàm của hàm.

Giải pháp được phân hủy thành ba giai đoạn liên tiếp:

1) Tìm phần thực và phần ảo của hàm số. Nhiệm vụ này đã được phân tích trong các ví dụ trước, vì vậy tôi sẽ viết nó ra mà không cần bình luận:

Vì , thì:

Theo cách này:
là phần thực của hàm;
là phần ảo của hàm.

Tôi sẽ tập trung vào một điểm kỹ thuật nữa: các thuật ngữ nên được viết theo thứ tự nào trong phần thực và phần ảo? Vâng, về cơ bản nó không quan trọng. Ví dụ: phần thực có thể được viết như thế này: , và phần ảo như thế này: .

3) Hãy để chúng tôi kiểm tra việc đáp ứng các điều kiện Cauchy-Riemann. Có hai người trong số họ.

Hãy bắt đầu bằng cách kiểm tra điều kiện. Chúng ta tìm thấy dẫn một phần:

Như vậy, điều kiện được thỏa mãn.

Không còn nghi ngờ gì nữa, tin tốt là đạo hàm riêng hầu như luôn rất đơn giản.

Chúng tôi kiểm tra việc thực hiện điều kiện thứ hai:

Hóa ra điều tương tự, nhưng với các dấu hiệu ngược lại, nghĩa là điều kiện cũng được đáp ứng.

Điều kiện Cauchy-Riemann được thỏa mãn nên hàm khả vi.

3) Tìm đạo hàm của hàm số. Đạo hàm cũng rất đơn giản và được tìm theo quy tắc thông thường:

Đơn vị tưởng tượng trong sự khác biệt được coi là một hằng số.

Câu trả lời: - phần thực là phần ảo.
Các điều kiện Cauchy-Riemann được đáp ứng, .

Tích phân FKP. Định lý Cauchy.

Công thức ( 52 ) được gọi là công thức tích phân Cauchy hay tích phân Cauchy. Nếu như một đường bao trong ( 52 ) chọn một đường tròn, sau đó, thay thế và tính đến điều đó - vi phân của độ dài cung, tích phân Cauchy có thể được biểu diễn dưới dạng công thức giá trị trung bình:

Ngoài giá trị độc lập của công thức tích phân Cauchy, ( 52 ), (54 ) thực sự đưa ra một cách rất thuận tiện để tính tích phân đường viền, dường như, sẽ được biểu thị dưới dạng giá trị của "phần dư" của tích phân tại điểm mà hàm này có điểm kỳ dị .

Ví dụ 3-9. Tính tích phân của một hàm dọc theo đường viền (hình.20).

Dung dịch. Điểm mà tại đó hàm có một điểm kỳ dị, trái ngược với ví dụ 4-1, nằm bên trong đường tròn. Ta biểu diễn tích phân dưới dạng ( 52 ):

Công thức Cauchy.

Giả sử là một miền trên mặt phẳng phức có biên trơn từng phần , một hàm chỉnh hình trong và một điểm bên trong miền . Khi đó công thức Cauchy sau đúng:

Công thức cũng hợp lệ nếu chúng ta giả sử rằng nó chỉnh hình bên trong và liên tục trên bao đóng, và cũng như nếu ranh giới không trơn theo từng đoạn mà chỉ chỉnh lưu được (Hàm chỉnh hình là một hàm của số phức, trơn theo từng đoạn là một hàm của số thực)

FCF sơ cấp: Hàm Taylor, hàm lượng giác, hàm hyperbol, hàm lượng giác ngược, hàm logarit, công thức Cauchy.

Xét một số phức $w$, được cho bởi biểu thức $w(z)=u(x,y)+v(x,y)\cdot i$, trong đó $u(x,y),\, \ , \, v(x,y)$ là các hàm thực của một biến thực, $z=x+yi$.

Đại lượng này là một hàm phức của một biến thực.

định nghĩa 1

Hàm $w(z)$ được gọi là giải tích tại một điểm z nào đó nếu hàm đã cho khả vi trong một lân cận nào đó của điểm z đã cho.

định nghĩa 2

Một hàm được gọi là giải tích trong miền D nào đó nếu nó giải tích tại mọi điểm của miền đã cho.

Cho các hàm $u(x),\, \, \, v(x)$ khả vi.

định nghĩa 3

Biểu thức $w_(x) "=u"_(x) (x,y)+i\cdot v"_(x) (x,y)$ được gọi là đạo hàm của một hàm phức của một biến thực theo đối số thực sự $x$.

Đạo hàm đối với đối số thực $y$ được định nghĩa tương tự.

Để tính đạo hàm, chúng ta sử dụng các công thức sau:

\ \

1) Đối với hàm $w=(3x+2)+(x^(3) +2y)\cdot i$ ta được:

\ \

2) Đối với hàm $w=(x+e^(y))+(3y^(2) +\ln x)\cdot i$ ta được:

\ \

Để hàm số $w(z)$ khả vi tại một điểm nào đó $z_(0) =x_(0) +y_(0) \cdot i$, điều cần và đủ là $u(x,y)$ và $v(x,y)$ khả vi tại điểm $(x_(0) ;y_(0))$ và thỏa mãn các điều kiện sau:

\[\begin(array)(l) (\frac(\partial u(x,y))(\partial x) =\frac(\partial v(x,y))(\partial y) ) \\ ( \frac(\partial u(x,y))(\partial y) =-\frac(\partial v(x,y))(\partial x) ) \end(array).\]

Những điều kiện này được gọi là điều kiện Cauchy-Riemann.

lưu ý 1

Điều kiện Cauchy-Riemann là quan hệ kết nối phần thực và phần ảo của một hàm khả vi $w(z)=u(x,y)+v(x,y)\cdot i$, trong đó $u(x,y) ,\, \, \, v(x,y)$ là các hàm thực của một biến thực, $z=x+yi$.

Tách phần thực và phần ảo của hàm. Đặt $z=x+yi$ và nhận:

Do đó, $u(x,y)=e^(1+2y) \cdot \cos (-2x);\, \, \, \, v(x,y)=e^(1+2y) \cdot \sin (-2x)$ - phần thực và phần ảo bắt buộc của hàm.

Hãy sử dụng các điều kiện Cauchy-Riemann: $\frac(\partial u)(\partial x) =\frac(\partial v)(\partial y) ;\frac(\partial u)(\partial y) =-\ frac( \partial v)(\partial x) $.

\[\begin(array)(l) (\frac(\partial u)(\partial x) =2e^(1+2y) \cdot \sin (-2x);\frac(\partial v)(\partial y) =2e^(1+2y) \cdot \sin (-2x)) \\ (2e^(1+2y) \cdot \sin (-2x)=2e^(1+2y) \cdot \sin ( -2x)) \end(array)\] \[\begin(array)(l) (\frac(\partial u)(\partial y) =2e^(1+2y) \cdot \cos (-2x) ;\frac(\partial v)(\partial x) =-2e^(1+2y) \cdot \cos (-2x)) \\ (2e^(1+2y) \cdot \cos (-2x)= -(-2e^(1+2y) \cdot \cos (-2x))) \end(array)\]

Các điều kiện Cauchy-Riemann được thỏa mãn với mọi số thực $x,y$. Do đó, hàm này là giải tích cho bất kỳ $x,y$ thực nào.

Hãy tìm đạo hàm của hàm số và tính giá trị của đạo hàm của hàm số tại điểm đã cho $z_(0) =\frac(\pi )(6) $.

Đạo hàm của hàm có dạng:

Tính giá trị đạo hàm của hàm số tại một điểm cho trước

Trong thực tế, các vấn đề sau đây có thể gặp phải.

Nhiệm vụ 1

Cho phần thực $u(x,y)$ của một hàm nào đó của biến phức $w(z)$, cần tìm phần ảo $v(x,y)$ của hàm này. Khôi phục hàm $w(z)$ từ phần thực và phần ảo đã biết.

Nhiệm vụ 2

Cho phần ảo $v(x,y)$ của một hàm nào đó của biến phức $w(z)$, cần tìm phần ảo $u(x,y)$ của hàm này. Khôi phục hàm $w(z)$ từ phần thực và phần ảo đã biết.

Thuật toán giải bài toán 2 sẽ như sau:

• tìm phần thực sử dụng điều kiện Cauchy-Riemann;
• soạn hàm $w(z)=u(x,y)+v(x,y)\cdot i$;
• thực hiện các phép biến đổi và trích xuất biến $z=x+yi$ hoặc $\overline(z)=x-yi$.

Ghi chú 1

Khi giải quyết các vấn đề thực tế, các mối quan hệ sau đây có thể hữu ích:

\ \ \

Ghi chú 2

Phép toán chia cho đơn vị ảo $i$ tương đương với phép toán nhân với $-i$.

ví dụ 3

Từ phần thực $u(x,y)=-x^(2) +y^(2) -5y$ của một số hàm của biến phức, khôi phục phần ảo của nó $v(x,y)$ và khôi phục phần này hàm, trong khi hàm thỏa mãn điều kiện ban đầu $w(0)=0$.

Chúng ta hãy tìm phần ảo $v(x,y)$ của hàm mong muốn $w(z)$. Hãy sử dụng điều kiện Cauchy-Riemann đầu tiên:

\[\frac(\partial u(x,y))(\partial x) =\frac(\partial v(x,y))(\partial y) .\]

Thay thế các giá trị ban đầu và nhận được:

\[\frac(\partial v(x,y))(\partial y) =\frac(\partial (-x^(2) +y^(2) -5y))(\partial x) =-2x \] \ \

Tìm hàm chưa biết $\phi (x)$.

Hãy sử dụng điều kiện Cauchy-Riemann thứ hai:

\[\frac(\partial u(x,y))(\partial y) =-\frac(\partial v(x,y))(\partial x).\] \ \[\phi "(x) =5\Rightarrow \phi (x)=\int 5dx =5x+C\]

Do đó,

Phần ảo của hàm mong muốn $w(z)$ được khôi phục, sau đó chúng ta có thể tự viết hàm:

Hãy chuyển đổi biểu thức kết quả:

\ \[=-x^(2) +y^(2) -5y+-2xyi+5xi+Ci=(-x^(2) +y^(2) -2xyi)+(-5y+5xi)+Ci =\] \[=-(x^(2) +2xyi-y^(2))+5i\cdot (x-\frac(y)(i))+Ci\] \

Sử dụng điều kiện ban đầu $w(0)=0$, chúng ta tìm được giá trị của hằng số $C$.

Do đó, hàm mong muốn có dạng:

Phần ảo của hàm sẽ có dạng.

bảng điểm

1 Điều kiện Cauchy-Riemann.) Kiểm tra sự thỏa mãn điều kiện Cauchy-Riemann của hàm w zi e. Một hàm có đạo hàm tại điểm z được gọi là khả vi tại điểm đó. Điều kiện Cauchy - Riemann (D'Alembert - Euler, Euler - d'Alembert): w f z u, iv thì tại mỗi điểm khả vi của hàm số f z Nếu z i thỏa mãn các đẳng thức u v u v isin e cos ie sin Chọn u thực và v phần ảo của hàm w: u, e cos v, e sin Tính các đạo hàm riêng: u cos e cos v e sin e cos u e cos e sin v e sin e sin - các điều kiện Cauchy-Riemann được đáp ứng. Văn học:) Gusak A.A. "Lý thuyết hàm một biến phức và phép tính toán", 00, trang 59 (ví dụ 9), trang 0 (ví dụ);) Pismenny D.T. "Lecture Notes on Higher Mathematics", 006, p. 530, p. (Điều kiện Euler-D'Alembert, tính giải tích của hàm).) Kiểm tra sự thỏa mãn điều kiện Cauchy-Riemann của hàm w z 4iz. Ta viết hàm này ở dạng đại số, đặt z i: w i 4i i i 4 i i

2 Chọn phần thực u và phần ảo v của hàm w: u, 4 v, 4 Tính đạo hàm riêng: u 4 v 4 u 4 4 v Điều kiện Cauchy-Riemann được thỏa mãn. 3) Kiểm tra sự thỏa mãn điều kiện Cauchy-Riemann của hàm sin iz. Chúng ta biểu diễn hàm lượng giác sin z thông qua hàm mũ: iz iz e e sin z i và xét đến z i: ii ii ii ii i i e e e e e e e sin iz i i i e i e e e cos isin e cos isin e sin icose sin icos e sin icose sin icos e sin ie cose sin ie cos sin cos e e i e e Phần thực và phần ảo của u iv: u, sin e e, cos v e e

3 Tính đạo hàm riêng: u sin sin e e e e v cos e e sin e e sin e e và u sin cos e e e e cos cos e e e e v Như bạn thấy, điều kiện Cauchy-Riemann u v u v sin iz được thỏa mãn. đối với hàm 4) Sử dụng điều kiện Cauchy-Riemann, kiểm tra xem hàm w f z có phải là hàm giải tích hay không: Hàm wsin z3 z. w f z được gọi là giải tích tại điểm z nếu nó khả vi cả tại chính điểm z và trong một lân cận nào đó của nó. Hàm w f z khả vi tại mỗi điểm của miền D nào đó được gọi là hàm giải tích trong miền này. Điều kiện Cauchy-Riemann (D'Alembert-Euler, Euler-D'Alembert): Nếu z i w f z u, iv, thì các đẳng thức u v u v, được thỏa mãn tại mỗi điểm khả vi của hàm số f z. Ta viết hàm này ở dạng đại số, đặt z i: i 3 i w sin ii ii e e 3i3 i i i e e e 3i3 i i i e e e e e 3i3 i e cos isin e cosisin 3i3 i e cos ie sin e cos i e sin 3 i3 i 3

4 cos e e i e e sin 3i3 ic cos i e e e e sin 3i3 e e sin i e e cos 3i3 e e sin 3i e e cos 3 ch sin 3 sh icos 3 Các công thức dùng trong phép biến hình: iz iz e e sin z i, zc e e sh, R e ch, R Chọn số thực và phần ảo w z u, i v, u, chsin 3 v, shcos3: Tính các đạo hàm riêng: u ch sin 3 ch cos3 v sh cos3 ch cos3 u ch sin 3 sh sin v sh cos 3 sh sin Vậy điều kiện Cauchy-Riemann u v u v , hoàn thành; do đó, hàm sin w f z z3 z là hàm giải tích. bốn

5 5) Chứng minh rằng hàm là giải tích và tìm đạo hàm: z z e w e Ta viết hàm này ở dạng đại số, đặt z i: i i e e w cos isin e cosisin e cos isin e cos isin e cos ie sin e cos ie sin cos e e i e e sin e e e e cos i sin ch cos ish sin Tách phần thực và phần ảo w z u, i v, u, chcos v, shsin Tính đạo hàm riêng: u ch cos sh cos v sh sin sh cos u ch cos ch sin v sh sin ch sin: Cauchy-Riemann điều kiện u v u v, gặp nhau; do đó hàm w f z e z e z là giải tích. Đối với bất kỳ hàm giải tích f z u, i v, các đạo hàm riêng của các hàm u u, và v v, : đạo hàm f u v v u u u v v f z i i i Tính đạo hàm của các đạo hàm hàm của các hàm u, và v, : z được biểu diễn dưới dạng f z bằng cách sử dụng biểu thức của đạo hàm của hàm w z z z e e u v w z i sh cos ich sin z theo các thương số 5

6 hoặc trực tiếp: z z e e z z z z w e e z e e z i i i e e e e e e cos isin e cosisin e cos isin e cos isin cos sin e e i e e e e e e cos i sin sh cos ich sn i 6) Thể hiện iz w, trong đó z i e, as w u, i v,. Kiểm tra xem nó có phải là giải tích không, nếu có thì tìm đạo hàm tại điểm z0 ta được một số phức dưới dạng đại số. Re w u, e cos Im w v, e sin e v sin e cos e

7 u v w z i e i e sin cos 6 6 w zesin iecos e 3 ie 3 3 Tại điểm z0 i0: Văn học :) Gusak A.A. "Lý thuyết hàm một biến phức và phép tính", 00, trang 59 (ví dụ 9), trang 0 (ví dụ). Tính giá trị của hàm số. 7) Tính giá trị của hàm số biến phức w cos z tại điểm z0 i. e Với bất kỳ z C: cos z iz e iz Thì ii ii i i i e e e e e e e wicosi e cos isin e cos isin cos e e e e e e e e e e cos i sin ch cos i sh sin Đáp án: i cos ch cos ish sin Văn học :) Morozova V.D. "Lý thuyết hàm của một biến phức", 009, tập 0, ed. MSTU, trang 06;) Lunts G.L., Elsgolts L.E. "Hàm của một biến phức", 00, p) Tính giá trị của hàm của một biến phức w thứ z tại điểm z 0 ln 3 ở dạng đại số. z z e e Với bất kỳ z C: th z z z e e So i i ln 3 i ln 3 i e 4 e w z 0 i e e th ln ln 3 i ln 3 i i i e 4 e 4 e 4 3 e 4 3 i 4, ghi đáp án 7

phép tính kết quả ở dạng đại số. 9) Tính giá trị của hàm số biến phức Ln z tại điểm z 0. Cho biết giá trị chính của hàm số. Hàm logarit Ln ln arg z z i z k kz Giá trị chính của logarit của số z là giá trị tương ứng với giá trị chính của đối số của số z ; những thứ kia. ta thu được giá trị chính của logarit tại k 0: ln z ln z i arg z Mô đun và đối số của số z0 0 i: z 0 arg z 0 Do đó, Ln ln i k 0k i kz là các giá trị của biến phức tại điểm z 0, viết dưới dạng đại số. (hàm lôgarit Ln z là đa trị) Giá trị chính phương lôgarit của số z ln 0 i 8

9 0) Tính giá trị hàm của biến phức i z tại điểm z i 0. Với bất kỳ, w z C: w z z Ln w e. i ln i ln i iarg i ki i e e, kz Mô đun và đối số của w i: i arg iarctg 4 ln i ln i ki i k i k i ln i iarg i ki ln i i e 4 e 4 e 4 ln k i k 4 ln ln e e e 4 cos isin, kz - giá trị của hàm biến phức z tại điểm z0 i, viết dưới dạng lượng giác (hàm nhiều trị).) Tính giá trị hàm biến phức arcctg z tại điểm z0 i, viết trả lời dưới dạng đại số. i z i Arcctg z Ln z i Ln z ln z iarg z k, kz (với k 0 ta thu được giá trị chính của logarit ln z ln z i arg z) 5iarcg k, kz 5 và z0 i ln ln 5 i arctg z i 0 i arcctg z0 ln 5 iarcg t arctg i ln 5 0, 3 i 0, 40 4 (giá trị chính của Arcctg i) 9

10 ) Tính giá trị của hàm biến phức arccos z tại điểm z0 i, viết đáp án dưới dạng đại số. Arccos z iln z z Ln z ln z i arg z k, kz Với k 0 ta thu được giá trị chính của logarit ln z ln z i arg z và giá trị chính của arccosine arccos z arg z z iln z z Căn bậc hai của một số phức cho hai giá trị; đối với giá trị chính của hàm, hãy chọn một giá trị có đối số nằm trong khoảng 0;. Trong trường hợp này: arccos ln ln iln i i Căn của i i i i i i i nhận hai giá trị. Hãy tìm chúng: cos arctg i sin arctg i arctg k arctg k i 5 cos isin 4 arctg arctg 5cos isin, k 0 i 4 arctg arctg 5 cos i sin, k cos Sử dụng công thức cos cosarctg 5, ta có: cos và sin, và lưu ý rằng arctan 5 5 cos 0 arctan 5 5 sin 0 và sau đó i, k 0 i, k i i, k i, k 0 0 0

11 và 5 5 i, k 0 i i 5 5 i, k đối số của nó nằm trong phạm vi 0;. Vì vậy, i i 5 i arccos z arg z z iln z z arctg 5 5 iln i 5 5 arctg 5 5 i ln 5 arctg 5 i l n 5 5 5, 7 i 0, 59 5 (giá trị chính của Arccos i) Văn học:) Morozova V.D. . "Lý thuyết hàm của một biến phức", 009, tập 0, ed. MSTU, trang 06;) Lunts G.L., Elsgolts L.E. "Hàm của biến phức", 00, trang 40.

Số phức là một biểu thức có dạng x y (dạng đại số của số phức), trong đó x, y R; x Re - phần thực của một số phức; y Im - phần ảo của số phức; - tưởng tượng

Chủ đề 11 Thông tin cơ bản từ lý thuyết số phức. Số phức là một cặp số thực có thứ tự được viết dưới dạng trong đó i là "đơn vị ảo" mà i = -1; - phần thực

Số phức. đa thức. Số phức. 1. Định nghĩa cơ bản và công thức giải toán Số phức ở dạng đại số là một biểu thức có dạng = x + y, trong đó x, y là số thực

1 Các khái niệm cơ bản về hàm một biến phức Các khái niệm cơ bản liên quan đến hàm một biến phức được tìm thấy theo cách tương tự như trong lĩnh vực thực. Cho hai tập hợp phức

Đại học Bang Saint Petersburg Khoa Phân tích Toán học

Hướng dẫn giải bài tập trắc nghiệm môn Toán Đề 1. Hàm số biến phức Hãy nêu định nghĩa hàm số biến phức. Sự định nghĩa. Người ta nói rằng trên tập D các điểm của phức

Tùy chọn Nhiệm vụ Tính giá trị của hàm và đưa ra câu trả lời ở dạng đại số: a sh ; b l Lời giải a Hãy sử dụng công thức liên hệ giữa sin lượng giác và sin hypebol: ; sh -s Nhận

Tùy chọn Nhiệm vụ Tính giá trị của hàm số (cho đáp số ở dạng đại số: a th( ; b L(sh (/ Giải a) Biểu diễn tiếp tuyến theo sin và cosin: th ( Áp dụng ch (/ công thức tính sin của sự khác biệt và

Bộ Giáo dục và Khoa học Liên bang Nga GUBKIN ĐẠI HỌC DẦU KHÍ NHÀ NƯỚC NGA TẠI Melnikov, KHÔNG CÓ Fastovets LÝ THUYẾT CHỨC NĂNG CỦA MỘT VẬN HÀNH BIẾN TỔNG HỢP

Chuyên đề Số phức và hàm số. Định nghĩa số phức, dạng đại số của số phức. Phần thực và phần ảo của một số phức. Các phép toán cộng và nhân các số phức.

Hàm giải tích phức của một biến phức Nikita Aleksandrovich Evseev Khoa Vật lý, Đại học Bang Novosibirsk Viện Trung Quốc-Nga, Đại học Hắc Long Giang

Chủ đề: Tên mục, chủ đề Tổng số giờ học Giờ giảng, giờ Thực hành, giờ 1 2 3 4 Chủ đề 1. Hình học giải tích và đại số tuyến tính 68 34 34 Chủ đề 2. Nhập môn toán giải tích

VD Mikhailov Hàm của biến phức trong ví dụ và bài toán 04 UDC 57.5 BBK.6 M69 Mikhailov V.D. Chức năng của một biến phức tạp trong các ví dụ và nhiệm vụ: Hướng dẫn nghiên cứu. SPb., 04. 30 tr. hướng dẫn

Trang 1 trong 14 bài học thứ 2. Dạng mũ của một số phức Mat. phân tích, ứng dụng Toán., học kỳ 4 A1 Tìm mô đun và đối số của các số phức sau và viết các số này dưới dạng z = ρe iϕ,

BỘ GIÁO DỤC VÀ KHOA HỌC NGA Tổ chức giáo dục ngân sách nhà nước liên bang về giáo dục chuyên nghiệp cao hơn "Đại học bang Tula" Viện hệ thống chính xác cao được đặt theo tên của V.P.

BỘ GIÁO DỤC VÀ KHOA HỌC LIÊN BANG NGA HỌC VIỆN KỸ THUẬT NHÀ NƯỚC ANGARSK Museva TN Sverdlova OL Turkina NM CÁC YẾU TỐ CỦA LÝ THUYẾT CHỨC NĂNG CỦA MỘT BIẾN TIỀN PHỨC Hướng dẫn Angarsk NỘI DUNG

CÁC YẾU TỐ CỦA LÝ THUYẾT HÀM CỦA MỘT PHÉP TOÁN PHÉP BIẾN CHỨNG

NHIỆM VỤ TỰ HỌC Số phức và các thao tác trên số phức Cho và tìm :)))) 5): a) b) Viết số phức này:) dưới dạng lượng giác) dưới dạng số mũ

LỰA CHỌN NHIỆM VỤ TÍNH GIÁ TRỊ CỦA HÀM (Đưa ra câu trả lời DƯỚI DẠNG ĐẠI SỐ: a Arch; b GIẢI PHÁP A CHÚNG TÔI SẼ TÍNH ARH BẰNG CÔNG THỨC Arch(L( TRONG VÍ DỤ NÀY ZI, DO VẬY, Arch L(± L(± HƠN NỮA CHÚNG TÔI SỬ DỤNG

Phương án 9 Nhiệm vụ Tính giá trị của hàm số (cho đáp số ở dạng đại số: a cos( ; b l( Lời giải a Theo công thức lượng giác cos(-cos cos( s s

CƠ QUAN GIÁO DỤC LIÊN BANG CƠ QUAN GIÁO DỤC TIỂU BANG GIÁO DỤC CAO CẤP "ĐẠI HỌC KỸ THUẬT BANG SAMARA" Khoa Toán ứng dụng

Bài giảng.7. Mở rộng khái niệm về số. Số phức, các thao tác trên chúng Tóm tắt: Bài giảng chỉ ra sự cần thiết phải khái quát khái niệm số tự nhiên đến số phức. đại số,

NHIỆM VỤ TÙY CHỌN TÍNH TOÁN GIÁ TRỊ HÀM ĐƯA RA CÂU TRẢ LỜI DƯỚI DẠNG ĐẠI SỐ: a Arch b QUYẾT ĐỊNH A CHÚNG TÔI SẼ TÍNH ARH BẰNG CÔNG THỨC Arch L TRONG VÍ DỤ NÀY ZI, DO VẬY, Arch L± L± SAU ĐÂY CHÚNG TÔI SỬ DỤNG

Bài giảng..3. Tích phân không xác định Tóm tắt: Tích phân không xác định được định nghĩa là một tập hợp các nguyên hàm của một tích phân. Các tính chất của tích phân không xác định được xem xét,

"dấu hiệu hành động" a+(-b)=a-b 1) Tại sao các số âm lại được giới thiệu? "dấu hiệu của số lượng") Tại sao các hành động được thực hiện trên chúng theo các quy tắc như vậy và như vậy, mà không phải theo các quy tắc khác? Tại sao khi nhân và chia âm

Bài tập thực hành Giải tích hàm Điều kiện Cauchy-Riemann Đạo hàm và vi phân của hàm một biến phức Điều kiện Cauchy-Riemann 3 Ý nghĩa hình học của môđun và biện luận của đạo hàm 4 Hợp thức

Bài giảng 2 2.1 Dãy số phức Số phức a được gọi là giới hạn của dãy số phức (z n ) nếu với mọi số ε > 0 tồn tại số n 0 n 0 (ε) sao cho

Lựa chọn Nhiệm vụ Tính giá trị của hàm số (Cho đáp số ở dạng đại số: a cos( ; b l( Lời giải a Theo công thức lượng giác cos(cos cos(-s s ( Ta dùng công thức liên hệ giữa các hàm lượng giác

Cơ quan giáo dục liên bang Tổ chức giáo dục nhà nước về giáo dục chuyên nghiệp cao hơn "Đại học sư phạm bang Ural" Khoa Toán học

Bộ Giáo dục và Khoa học Liên bang Nga Tổ chức giáo dục ngân sách nhà nước liên bang về giáo dục chuyên nghiệp cao hơn "Komsomolsk-on-Amur State Technical

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KỸ THUẬT NHÀ NƯỚC MOSCOW HÀNG KHÔNG DÂN DỤNG O.G. Illarionova, I.V. Platonova TOÁN CAO CẤP Hướng dẫn giáo dục và phương pháp về việc thực hiện các nhiệm vụ thực tế cho sinh viên II

Khái niệm biến phức Giới hạn và tính liên tục của biến phức Cho hai bộ số phức D và Δ, mỗi số z D được gán cho một số ω Δ được kí hiệu

Phân tích phức Ví dụ về hàm của một biến phức Nikita Aleksandrovich Evseev Khoa Vật lý, Đại học Bang Novosibirsk Viện Trung-Nga, Đại học Hắc Long Giang

BÀI GIẢNG N34. Chuỗi số với các thuật ngữ phức tạp. Chuỗi lũy thừa trong miền phức. Các chức năng phân tích. Hàm nghịch đảo..chuỗi số với các số hạng phức tạp.....chuỗi lũy thừa trong miền phức tạp....

BỘ GIÁO DỤC VÀ KHOA HỌC LIÊN BANG NGA

Giới thiệu 1 Viết số dưới dạng đại số Tìm, Re, Im, arg, Arg = 5 + i 3 + i Lời giải Ta nhân và chia một số với liên hợp của mẫu số: 5 + i 3 + i = 5 + i) 3 i) 3 + i) 3 i) = 15

1 Hàm số phức 1.1 Số phức Hãy nhớ lại rằng số phức có thể được định nghĩa là tập hợp các cặp số thực có thứ tự C = ((x, y): x, y R), z = x + iy, trong đó i là đơn vị ảo ( tôi

Các khái niệm cơ bản 1 SỐ PHỨC Số phức là một biểu thức có dạng i, trong đó và là số thực, i là đơn vị ảo thỏa mãn điều kiện i 1 Số được gọi là phần thực của phức

Bài giảng 3. Tích phân không xác định. Nguyên hàm và tích phân bất định Trong phép tính vi phân, vấn đề được giải quyết: đối với một hàm số f () đã cho, hãy tìm đạo hàm (hoặc vi phân) của nó. Tích phân tích

CHƯƠNG LÝ THUYẾT HÀM CỦA BIẾN PHỨC Khái niệm về hàm của biến phức

Các hàm Đạo hàm của các hàm 1 Quy tắc lấy đạo hàm Do đạo hàm của một hàm được định nghĩa là trong miền thực, tức là. như một giới hạn, sau đó, sử dụng định nghĩa này và các tính chất của giới hạn,

Tùy chọn Nhiệm vụ Tính giá trị của hàm (đưa ra đáp án ở dạng đại số: a Arctg; b (Giải pháp a) Nói chung Arctg arctg + kπ Tìm các giá trị khác trong mặt phẳng + phức. Ta sẽ tính Arctg bằng công thức

Hàm nhiều biến Hàm nhiều biến Cực trị của hàm nhiều biến. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trong miền kín Cực trị có điều kiện Phức hợp

NGÂN HÀNG NHIỆM VỤ cho kỳ thi tuyển sinh vào tòa án (phần cơ bản) Bài tập về vé, 4 5 Phần, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 6, 7, 8, 4, 5, 9 Số điểm 5 b b 5 b Phần Nội dung Đạo hàm, thương

Bài giảng 5 Đạo hàm của các hàm cơ bản cơ bản Tóm tắt: Các diễn giải vật lý và hình học của đạo hàm của hàm một biến được đưa ra.

Công việc độc lập Nhiệm vụ Xác định loại đường cong, cho trước theo tham số và vẽ đường cong t t t t 5 7 t t b) e e, 0 t π c) t t t

SA Zotova, VB Svetlichnaya HƯỚNG DẪN THỰC HÀNH LÝ THUYẾT HÀM CỦA CÁC BÀI TOÁN BIẾN PHỨC

7 PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LƯỠNG QUYỀN VÀ Logarit 7. CÁC KHÁI NIỆM VÀ CÔNG THỨC CƠ BẢN. Đẳng thức log a b và a b tương đương với a > 0, a, b > 0. log. Đẳng thức logarit cơ bản: a a b b, a > 0,

Đạo hàm của các hàm cơ bản cơ bản Có thể tìm thấy đạo hàm của một hàm theo sơ đồ sau: chúng ta tăng số lượng cho đối số x cho hàm y chúng ta tìm số gia tăng tương ứng y y chúng ta tạo tỷ lệ mà chúng ta tìm thấy

CHỨC NĂNG CỦA BIẾN TỔNG HỢP NHÀ XUẤT BẢN TSTU Bộ Giáo dục và Khoa học Liên bang Nga Đại học Kỹ thuật Nhà nước Tambov CHỨC NĂNG CỦA BIẾN TỔNG HỢP Phương pháp

Câu hỏi thi Câu hỏi kiểm tra mức độ học tập "Biết" Các khái niệm cơ bản của lý thuyết dãy số Tiêu chuẩn Cauchy về sự hội tụ của dãy số Dấu cần về sự hội tụ của dãy số Dấu đủ

Cơ quan Giáo dục Liên bang Tổ chức Giáo dục Nhà nước về Giáo dục Đại học Chuyên nghiệp Đại học Kỹ thuật Bang Ukhta SỐ PHỨC TẠP Hướng dẫn

Giải tích phức Hình học của số phức Nikita Alexandrovich Evseev Khoa Vật lý, Đại học Bang Novosibirsk 2015 Giải tích phức 1 / 31 Đường số R Phức

LỰA CHỌN NHIỆM VỤ TÍNH GIÁ TRỊ HÀM SỐ (Đưa ra đáp số ở DẠNG ĐẠI SỐ: s( ; b a QUYẾT ĐỊNH A SỬ DỤNG CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC SIN (ISIN OSIOS SINI CHÚNG TA DÙNG CÔNG THỨC LIÊN HỆ GIỮA LƯỢNG GIÁC VÀ SIÊU CUỘN

Svetlichnaya V. B., Agisheva D. K., Matveeva T. A., Zotova S. A. Các chương đặc biệt của toán học. Lý thuyết hàm của một biến phức Volgograd 0 y. Bộ Giáo dục và Khoa học Liên bang Nga Đại học Bách khoa Volzhsky

TÍNH TOÁN ĐIỂN HÌNH "Lý thuyết hàm một biến phức" Nhiệm vụ thực hành. Cho một số s. Tìm c với arg và viết số c dưới dạng lượng giác và hàm mũ :)))))) 8 6) 7) 8) 9)

BỘ GIÁO DỤC LIÊN BANG NGA LÝ THUYẾT HÀM CỦA MỘT BIẾN PHỨC Hướng dẫn phương pháp Biên soạn bởi: MDUlymzhiev LIInkheeva IBYumov SZHYumova Hướng dẫn phương pháp luận về lý thuyết hàm số

Số phức, hàm và phép toán trên chúng y module R phần thực số thực, yim phần ảo số thực iy ký hiệu đại số của số phức Giá trị chính của đối số

Chủ đề: Đạo hàm. Thông tin lý thuyết ngắn gọn. Bảng đạo hàm. (c) 0 (arcsin) () (arccos) (sin) cos (cos) sin (arctg) (tg) cos (arcctg) (ctg) sin v vln u vln u v v (u) (e) e (

Giải tích toán Phần: Lý thuyết hàm một biến phức Chuyên đề: Các phép toán phi đại số trên C. Các hàm sơ cấp cơ bản trong C. B.b. dãy số phức Giảng viên Yanushchik O.V.

Chủ đề. Hàm số. Phương pháp nhiệm vụ. hàm ẩn. Chức năng trái ngược. Phân loại hàm Các phần tử của lý thuyết tập hợp. Các khái niệm cơ bản Một trong những khái niệm cơ bản của toán học hiện đại là khái niệm tập hợp.

Làm bài kiểm tra Trong khoảng thời gian giữa các buổi học, sinh viên nên tiến hành chuẩn bị độc lập Làm tài liệu lý thuyết về các bài giảng về chủ đề “Hàm của một số biến” (Tài liệu trình bày

MIREA. Tính toán điển hình cho phân tích toán học Các nhiệm vụ kiểm soát về chủ đề Số phức, TFKP. Nhiệm vụ 1. Giải phương trình, biểu diễn tập nghiệm trên mặt phẳng phức A) 4 i + 81i 0 B)

TÍNH TOÁN HOẠT ĐỘNG Biến đổi Laplace và công thức nghịch đảo Cho khoảng Dirichlet là: Tích phân Fourier (l l) a) bị chặn trên khoảng này; hàm số thỏa mãn điều kiện b) liên tục từng đoạn

Các hàm của một hàm giải tích biến phức tạp Như trước đây, trừ khi có quy định khác, chúng ta đang xử lý một hàm có giá trị đơn w = f(z). Định nghĩa 1. Hàm f(z) được gọi là giải tích

BỘ GIÁO DỤC VÀ KHOA HỌC LIÊN BANG NGA HỌC VIỆN KỸ THUẬT NHÀ NƯỚC ANGARSK Ivanova SV, Evsevleeva LG, Bykova LM, Dobrynina NN HÀM CỦA MỘT BIẾN TỔNG HỢP VÀ TÍNH TOÁN HOẠT ĐỘNG Hướng dẫn