Phương pháp ma trận giải hệ phương trình tuyến tính

Xét một hệ phương trình tuyến tính có dạng sau:

$\left\(\begin(array)(c) (a_(11) x_(1) +a_(12) x_(2) +...+a_(1n) x_(n) =b_(1) ) \\ (a_(21) x_(1) +a_(22) x_(2) +...+a_(2n) x_(n) =b_(2) ) \\ (...) \\ (a_ (n1) x_(1) +a_(n2) x_(2) +...+a_(nn) x_(n) =b_(n) ) \end(array)\right. .$

Các số $a_(ij) (i=1..n,j=1..n)$ là các hệ số của hệ thống, các số $b_(i) (i=1..n)$ là các số hạng tự do .

định nghĩa 1

Trong trường hợp tất cả các số hạng tự do đều bằng 0, thì hệ thống được gọi là đồng nhất, nếu không thì - không đồng nhất.

Mỗi SLAE có thể được liên kết với một số ma trận và hệ thống có thể được viết ở dạng gọi là ma trận.

định nghĩa 2

Ma trận hệ số của một hệ thống được gọi là ma trận hệ thống và thường được ký hiệu bằng chữ $A$.

Cột các thành viên tự do tạo thành một vectơ cột, thường được ký hiệu bằng chữ $B$ và được gọi là ma trận các thành viên tự do.

Các biến chưa biết tạo thành một vectơ cột, theo quy luật, được ký hiệu bằng chữ $X$ và được gọi là ma trận của các ẩn số.

Các ma trận được mô tả ở trên là:

$A=\left(\begin(array)(cccc) (a_(11) ) & (a_(12) ) & (...) & (a_(1n) ) \\ (a_(21) ) & ( a_(22) ) & (...) & (a_(2n) ) \\ (...) & (...) & (...) & (...) \\ (a_(n1) ) & (a_(n2) ) & (...) & (a_(nn) ) \end(array)\right),B=\left(\begin(array)(c) (b_(1) ) \ \ (b_(2) ) \\ (...) \\ (b_(n) ) \end(array)\right),X=\left(\begin(array)(c) (x_(1) ) \\ (x_(2) ) \\ (...) \\ (x_(n) ) \end(array)\right).$

Sử dụng ma trận, SLAE có thể được viết lại thành $A\cdot X=B$. Ký hiệu như vậy thường được gọi là phương trình ma trận.

Nói chung, bất kỳ SLAE nào cũng có thể được viết dưới dạng ma trận.

Ví dụ về giải hệ bằng ma trận nghịch đảo

ví dụ 1

Dana SLAE: $\left\(\begin(array)(c) (3x_(1) -2x_(2) +x_(3) -x_(4) =3) \\ (x_(1) -12x_(2 ) -x_(3) -x_(4) =7) \\ (2x_(1) -3x_(2) +x_(3) -3x_(4) =5) \end(array)\right.$.Write hệ thống ở dạng ma trận.

Dung dịch:

$A=\left(\begin(array)(cccc) (3) & (-2) & (1) & (-1) \\ (1) & (-12) & (-1) & (-1 ) \\ (2) & (-3) & (1) & (-3) \end(mảng)\right),B=\left(\begin(array)(c) (3) \\ (7) \\ (5) \end(mảng)\right),X=\left(\begin(array)(c) (x_(1) ) \\ (x_(2) ) \\ (x_(3) ) \ kết thúc(mảng)\phải).$

$\left(\begin(array)(cccc) (3) & (-2) & (1) & (-1) \\ (1) & (-12) & (-1) & (-1) \ \ (2) & (-3) & (1) & (-3) \end(mảng)\right)\cdot \left(\begin(array)(c) (x_(1) ) \\ (x_( 2) ) \\ (x_(3) ) \end(array)\right)=\left(\begin(array)(c) (3) \\ (7) \\ (5) \end(array)\ đúng)$

Trong trường hợp ma trận của hệ thống là hình vuông, SLAE có thể giải các phương trình theo cách ma trận.

Cho phương trình ma trận $A\cdot X=B$, chúng ta có thể biểu diễn $X$ từ nó theo cách sau:

$A^(-1) \cdot A\cdot X=A^(-1) \cdot B$

$A^(-1) \cdot A=E$ (thuộc tính tích ma trận)

$E\cdot X=A^(-1) \cdot B$

$E\cdot X=X$ (thuộc tính tích ma trận)

$X=A^(-1) \cdot B$

Thuật toán giải hệ phương trình đại số sử dụng ma trận nghịch đảo:

• viết hệ thống dưới dạng ma trận;
• tính định thức của ma trận của hệ;
• nếu định thức của ma trận hệ thống khác không thì ta tìm được ma trận nghịch đảo;
• nghiệm của hệ được tính theo công thức $X=A^(-1) \cdot B$.

Nếu ma trận hệ thống có một định thức khác 0, thì hệ thống này có một giải pháp duy nhất có thể được tìm thấy theo cách của ma trận.

Nếu ma trận của hệ có định thức bằng 0 thì hệ này không giải được bằng phương pháp ma trận.

ví dụ 2

Dana SLAE: $\left\(\begin(array)(c) (x_(1) +3x_(3) =26) \\ (-x_(1) +2x_(2) +x_(3) =52) \\ (3x_(1) +2x_(2) =52) \end(array)\right.$ Giải SLAE bằng phương pháp ma trận nghịch đảo, nếu có thể.

Dung dịch:

$A=\left(\begin(array)(ccc) (1) & (0) & (3) \\ (-1) & (2) & (1) \\ (3) & (2) & ( 0) \end(mảng)\phải),B=\trái(\bắt đầu(mảng)(c) (26) \\ (52) \\ (52) \end(mảng)\phải),X=\trái (\begin(mảng)(c) (x_(1) ) \\ (x_(2) ) \\ (x_(3) ) \end(mảng)\right). $

Tìm định thức của ma trận của hệ thống:

$\begin(array)(l) (\det A=\left|\begin(array)(ccc) (1) & (0) & (3) \\ (-1) & (2) & (1) \\ (3) & (2) & (0) \end(array)\right|=1\cdot 2\cdot 0+0\cdot 1\cdot 3+2\cdot (-1)\cdot 3-3 \cdot 2\cdot 3-2\cdot 1\cdot 1-0\cdot (-1)\cdot 0=0+0-6-18-2-0=-26\ne 0) \end(array)$ Vì định thức khác 0 nên ma trận của hệ có ma trận nghịch đảo và do đó hệ phương trình có thể giải bằng phương pháp ma trận nghịch đảo. Giải pháp kết quả sẽ là duy nhất.

Chúng tôi giải hệ phương trình bằng ma trận nghịch đảo:

$A_(11) =(-1)^(1+1) \cdot \left|\begin(array)(cc) (2) & (1) \\ (2) & (0) \end(array) \right|=0-2=-2; A_(12) =(-1)^(1+2) \cdot \left|\begin(mảng)(cc) (-1) & (1) \\ (3) & (0) \end(mảng) \right|=-(0-3)=3;$

$A_(13) =(-1)^(1+3) \cdot \left|\begin(array)(cc) (-1) & (2) \\ (3) & (2) \end(array )\right|=-2-6=-8; A_(21) =(-1)^(2+1) \cdot \left|\begin(array)(cc) (0) & (3) \\ (2) & (0) \end(array)\ phải|=-(0-6)=6; $

$A_(22) =(-1)^(2+2) \cdot \left|\begin(mảng)(cc) (1) & (3) \\ (3) & (0) \end(mảng) \right|=0-9=-9; A_(23) =(-1)^(2+3) \cdot \left|\begin(array)(cc) (1) & (0) \\ (3) & (2) \end(array)\ phải|=-(2-0)=-2;$

$A_(31) =(-1)^(3+1) \cdot \left|\begin(array)(cc) (0) & (3) \\ (2) & (1) \end(array) \right|=0-6=-6; A_(32) =(-1)^(3+2) \cdot \left|\begin(mảng)(cc) (1) & (3) \\ (-1) & (1) \end(mảng) \right|=-(1+3)=-4;$

$A_(33) =(-1)^(3+3) \cdot \left|\begin(array)(cc) (1) & (0) \\ (-1) & (2) \end(array )\right|=2-0=2$

Ma trận nghịch đảo mong muốn:

$A^(-1) =\frac(1)(-26) \cdot \left(\begin(array)(ccc) (-2) & (6) & (-6) \\ (3) & ( -9) & (-4) \\ (-8) & (-2) & (2) \end(array)\right)=\frac(1)(26) \cdot \left(\begin(array) (ccc) (2) & (-6) & (6) \\ (-3) & (9) & (4) \\ (8) & (2) & (-2) \end(array)\right )=\left(\begin(array)(ccc) (\frac(2)(26) ) & (\frac(-6)(26) ) & (\frac(6)(26) ) \\ (\ frac(-3)(26) ) & (\frac(9)(26) ) & (\frac(4)(26) ) \\ (\frac(8)(26) ) & (\frac(2) (26) ) & (\frac(-2)(26) ) \end(array)\right)=\left(\begin(array)(ccc) (\frac(1)(13) ) & (-\ frac(3)(13) ) & (\frac(3)(13) ) \\ (-\frac(3)(26) ) & (\frac(9)(26) ) & (\frac(2) (13) ) \\ (\frac(4)(13) ) & (\frac(1)(13) ) & (-\frac(1)(13) ) \end(array)\right).$

Tìm giải pháp cho hệ thống:

$X=\left(\begin(array)(ccc) (\frac(1)(13) ) & (-\frac(3)(13) ) & (\frac(3)(13) ) \\ ( -\frac(3)(26) ) & (\frac(9)(26) ) & (\frac(2)(13) ) \\ (\frac(4)(13) ) & (\frac(1 )(13) ) & (-\frac(1)(13) ) \end(array)\right)\cdot \left(\begin(array)(c) (26) \\ (52) \\ (52 ) \end(array)\right)=\left(\begin(array)(c) (\frac(1)(13) \cdot 26-\frac(3)(13) \cdot 52+\frac(3 )(13) \cdot 52) ​​\\ (-\frac(3)(26) \cdot 26+\frac(9)(26) \cdot 52+\frac(2)(13) \cdot 52) \\ (\frac(4)(13) \cdot 26+\frac(1)(13) \cdot 52-\frac(1)(13) \cdot 52) ​​\end(array)\right )=\left(\ begin(array)(c) (2-12+12) \\ (-3+18+8) \\ (8+4-4) \end(array)\right)=\left (\begin(mảng) (c) (2) \\ (23) \\ (8) \end(mảng)\right)$

$X=\left(\begin(array)(c) (2) \\ (23) \\ (8) \end(array)\right)$ - nghiệm mong muốn của hệ phương trình.

Xem xét hệ phương trình đại số tuyến tính(CHẬM) về N không xác định x 1 , x 2 , ..., x N :

Hệ thống này ở dạng "gấp" có thể được viết như sau:

S N tôi = 1 một ij x j = b tôi , i=1,2, ..., n.

Theo quy tắc nhân ma trận, hệ phương trình tuyến tính đang xét có thể được viết dưới dạng dạng ma trận rìu=b, ở đâu

ma trận Một, có các cột là hệ số của ẩn số tương ứng và các hàng là hệ số của ẩn số trong phương trình tương ứng được gọi là ma trận hệ thống. ma trận cột b, có các phần tử là phần bên phải của phương trình của hệ, được gọi là ma trận của phần bên phải hay đơn giản là bên phải của hệ thống. ma trận cột x , có các phần tử là ẩn số chưa biết, được gọi là giải pháp hệ thống.

Hệ phương trình đại số tuyến tính được viết dưới dạng rìu=b, Là phương trình ma trận.

Nếu ma trận của hệ thống không suy biến, thì nó có một ma trận nghịch đảo, và sau đó là nghiệm của hệ rìu=bđược cho bởi công thức:

x=A -1 b.

Thí dụ Giải quyết hệ thống phương pháp ma trận.

Dung dịch tìm ma trận nghịch đảo cho ma trận hệ số của hệ

Tính định thức bằng cách mở rộng trên hàng đầu tiên:

Vì Δ ≠ 0 , sau đó Một -1 tồn tại.

Ma trận nghịch đảo được tìm thấy chính xác.

Hãy tìm một giải pháp cho hệ thống

Do đó, x 1 = 1,x 2 = 2,x 3 = 3 .

Kiểm tra:

7. Định lý Kronecker-Capelli về sự tương thích của hệ phương trình đại số tuyến tính.

Hệ phương trình tuyến tính giống như:

a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2 , (5.1)

a m1 x 1 + a m1 x 2 +... + a mn x n = b m .

Ở đây a i j và b i (i = ; j = ) đã cho, và x j là các số thực chưa biết. Sử dụng khái niệm tích của ma trận, ta có thể viết lại hệ (5.1) dưới dạng:

trong đó A = (a i j) là ma trận gồm các hệ số của các ẩn số của hệ (5.1), được gọi là ma trận hệ thống, X = (x 1 , x 2 ,..., x n) T , B = (b 1 , b 2 ,..., b m) T - vectơ cột gồm x j chưa biết và số hạng tự do b i .

bộ sưu tập đặt hàng N các số thực (c 1 , c 2 ,..., c n) được gọi là giải pháp hệ thống(5.1) nếu do thay các số này thay vì các biến tương ứng x 1 , x 2 ,..., x n thì mỗi phương trình của hệ biến thành một cấp số cộng; nói cách khác, nếu tồn tại véc tơ C= (c 1 , c 2 ,..., c n) T sao cho AC  B.

Hệ (5.1) được gọi là chung, hoặc tan nếu nó có ít nhất một giải pháp. Hệ thống được gọi là không tương thích, hoặc không hòa tan nếu nó không có giải pháp.

,

được hình thành bằng cách gán một cột các số hạng tự do cho ma trận A ở bên phải, được gọi là hệ thống ma trận mở rộng.

Vấn đề về sự tương thích của hệ thống (5.1) được giải quyết bằng định lý sau.

Định lý Kronecker-Capelli . Hệ phương trình tuyến tính là nhất quán khi và chỉ khi hạng của ma trận A và A trùng nhau, nghĩa là r(A) = r(A) = r.

Để có tập M nghiệm của hệ (5.1), có ba khả năng:

1) M =  (trong trường hợp này hệ thống không nhất quán);

2) M gồm một phần tử, tức là hệ thống có một giải pháp duy nhất (trong trường hợp này hệ thống được gọi là chắc chắn);

3) M gồm nhiều phần tử (khi đó hệ được gọi là không chắc chắn). Trường hợp thứ ba, hệ (5.1) có vô số nghiệm.

Hệ chỉ có nghiệm duy nhất khi r(A) = n. Trong trường hợp này số phương trình không ít hơn số ẩn số (mn); nếu m>n, thì phương trình m-n là hệ quả của phần còn lại. Nếu 0

Để giải một hệ phương trình tuyến tính tùy ý, người ta phải có khả năng giải các hệ trong đó số phương trình bằng số ẩn số, cái gọi là Hệ thống kiểu Cramer:

a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 ,

a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2 , (5.3)

... ... ... ... ... ...

a n1 x 1 + a n1 x 2 +... + a nn x n = b n .

Hệ (5.3) được giải theo một trong các cách sau: 1) bằng phương pháp Gauss, hoặc bằng phương pháp khử ẩn số; 2) theo công thức Cramer; 3) bằng phương pháp ma trận.

Ví dụ 2.12. Điều tra hệ phương trình và giải nó nếu nó tương thích:

5x 1 - x 2 + 2x 3 + x 4 = 7,

2x1 + x2 + 4x3 - 2x4 = 1,

x 1 - 3x 2 - 6x 3 + 5x 4 = 0.

Dung dịch. Chúng tôi viết ra ma trận mở rộng của hệ thống:

 .

Hãy để chúng tôi tính toán thứ hạng của ma trận chính của hệ thống. Rõ ràng là, ví dụ, bậc hai phụ ở góc trên bên trái = 7  0; các phần tử vị thành niên bậc ba chứa nó bằng 0:

Do đó, hạng của ma trận chính của hệ thống là 2, tức là r(A) = 2. Để tính hạng của ma trận mở rộng A, hãy xét ma trận nhỏ giáp

do đó hạng của ma trận mở rộng là r(A) = 3. Vì r(A)  r(A) nên hệ thống không nhất quán.

Máy tính trực tuyến này giải một hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp ma trận. Một giải pháp rất chi tiết được đưa ra. Để giải một hệ phương trình tuyến tính, hãy chọn số biến. Chọn phương pháp tính ma trận nghịch đảo. Sau đó nhập dữ liệu vào các ô và nhấp vào nút "Tính toán".

×

Cảnh báo

Xóa tất cả các ô?

Đóng Xóa

Hướng dẫn nhập dữ liệu. Các số được nhập dưới dạng số nguyên (ví dụ: 487, 5, -7623, v.v.), số thập phân (ví dụ: 67., 102,54, v.v.) hoặc phân số. Phân số phải được nhập dưới dạng a/b, trong đó a và b là số nguyên hoặc số thập phân. Ví dụ 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7, v.v.

Phương pháp ma trận giải hệ phương trình tuyến tính

Xét hệ phương trình tuyến tính sau:

Theo định nghĩa của ma trận nghịch đảo, ta có Một −1 Một=e, ở đâu e là ma trận nhận dạng. Do đó, (4) có thể được viết như sau:

Do đó, để giải hệ phương trình tuyến tính (1) (hoặc (2)), chỉ cần nhân nghịch đảo với Một ma trận trên mỗi vectơ ràng buộc b.

Ví dụ giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp ma trận

Ví dụ 1. Giải hệ phương trình tuyến tính sau bằng phương pháp ma trận:

Hãy tìm ma trận nghịch đảo của ma trận A bằng phương pháp Jordan-Gauss. Ở phía bên phải của ma trận Một viết ma trận đơn vị:

Hãy loại trừ các phần tử của cột đầu tiên của ma trận bên dưới đường chéo chính. Để thực hiện việc này, hãy cộng các hàng 2,3 với hàng 1, lần lượt nhân với -1/3, -1/3:

Hãy loại trừ các phần tử của cột thứ 2 của ma trận bên dưới đường chéo chính. Để làm điều này, hãy cộng dòng 3 với dòng 2 nhân với -24/51:

Hãy loại trừ các phần tử của cột thứ 2 của ma trận phía trên đường chéo chính. Để làm điều này, cộng hàng 1 với hàng 2, nhân với -3/17:

Tách phía bên phải của ma trận. Ma trận kết quả là nghịch đảo của Một :

Dạng ma trận viết hệ phương trình tuyến tính: rìu=b, ở đâu

Tính tất cả các phần bù đại số của ma trận Một:

,

,

,

,

,

ở đâu Một ij − phần bù đại số của phần tử ma trận Một nằm ở ngã tư tôi-th dòng và j-th cột, và Δ là yếu tố quyết định của ma trận Một.

Sử dụng công thức ma trận nghịch đảo, chúng tôi nhận được:

phân công dịch vụ. Sử dụng máy tính trực tuyến này, các ẩn số (x 1 , x 2 , ..., x n ) được tính trong hệ phương trình. Quyết định đang được đưa ra phương pháp ma trận nghịch đảo. Trong đó:

• định thức của ma trận A được tính;
• thông qua phép cộng đại số tìm được ma trận nghịch đảo A -1;
• một mẫu giải pháp được tạo trong Excel;

Giải pháp được thực hiện trực tiếp trên trang web (trực tuyến) và miễn phí. Các kết quả tính toán được trình bày trong một báo cáo ở định dạng Word.

Hướng dẫn. Để có được một giải pháp bằng phương pháp ma trận nghịch đảo, cần chỉ định kích thước của ma trận. Tiếp theo, trong hộp thoại mới, điền vào ma trận A và véc tơ kết quả B .

Hãy nhớ lại rằng một giải pháp cho một hệ phương trình tuyến tính là bất kỳ bộ số nào (x 1 , x 2 , ..., x n ) mà việc thay thế vào hệ này thay vì các ẩn số tương ứng sẽ biến mỗi phương trình của hệ thành một đơn vị.
Một hệ phương trình đại số tuyến tính thường được viết dưới dạng (đối với 3 biến): Xem thêm Giải phương trình ma trận.

thuật toán giải

1. Định thức của ma trận A được tính. Nếu định thức bằng 0 thì hết nghiệm. Hệ có vô số nghiệm.
2. Khi định thức khác 0, ma trận nghịch đảo A -1 được tìm thấy thông qua phép cộng đại số.
3. Vectơ quyết định X =(x 1 , x 2 , ..., x n ) thu được bằng cách nhân ma trận nghịch đảo với vectơ kết quả B .

Ví dụ 1. Tìm nghiệm của hệ bằng phương pháp ma trận. Ta viết ma trận dưới dạng:

Các phép cộng đại số.

A 1.1 = (-1)1+1

1 2 0 -2

∆ 1,1 = (1 (-2)-0 2) = -2

A 1,2 = (-1)1+2

3 2 1 -2

∆ 1,2 = -(3 (-2)-1 2) = 8

Một 1,3 = (-1)1+3

3 1 1 0

∆ 1,3 = (3 0-1 1) = -1

A 2.1 = (-1)2+1

-2 1 0 -2

∆ 2,1 = -(-2 (-2)-0 1) = -4

A 2.2 = (-1)2+2

2 1 1 -2

∆ 2,2 = (2 (-2)-1 1) = -5

A 2,3 = (-1)2+3

2 -2 1 0

∆ 2,3 = -(2 0-1 (-2)) = -2

Một 3.1 = (-1)3+1

-2 1 1 2

∆ 3,1 = (-2 2-1 1) = -5

A 3.2 = (-1)3+2

2 1 3 2

∆ 3,2 = -(2 2-3 1) = -1

·

3

-2

-1

X T = (1,0,1)
x 1 = -21 / -21 = 1
x 2 = 0 / -21 = 0
x 3 = -21 / -21 = 1
Kiểm tra:
2 1+3 0+1 1 = 3
-2 1+1 0+0 1 = -2
1 1+2 0+-2 1 = -1

Ví dụ #2. Giải SLAE bằng phương pháp ma trận nghịch đảo.
2x1 + 3x2 + 3x3 + x4 = 1
3x1 + 5x2 + 3x3 + 2x4 = 2
5x1 + 7x2 + 6x3 + 2x4 = 3
4x1 + 4x2 + 3x3 + x4 = 4

Ta viết ma trận dưới dạng:

Vectơ B:
BT = (1,2,3,4)
yếu tố quyết định chính
Nhỏ cho (1,1):

= 5 (6 1-3 2)-7 (3 1-3 2)+4 (3 2-6 2) = -3
Nhỏ cho (2,1):

= 3 (6 1-3 2)-7 (3 1-3 1)+4 (3 2-6 1) = 0
Nhỏ cho (3,1):

= 3 (3 1-3 2)-5 (3 1-3 1)+4 (3 2-3 1) = 3
Nhỏ cho (4,1):

= 3 (3 2-6 2)-5 (3 2-6 1)+7 (3 2-3 1) = 3
yếu tố quyết định nhỏ
∆ = 2 (-3)-3 0+5 3-4 3 = -3

Ví dụ #4. Viết hệ phương trình dưới dạng ma trận và giải bằng ma trận nghịch đảo.
Giải pháp :xls

Ví dụ số 5. Một hệ thống gồm ba phương trình tuyến tính với ba ẩn số được đưa ra. Yêu cầu: 1) tìm nghiệm của nó bằng các công thức Cramer; 2) viết hệ thống ở dạng ma trận và giải nó bằng phép tính ma trận.
hướng dẫn. Sau khi giải quyết bằng phương pháp của Cramer, hãy tìm nút "Giải pháp ma trận nghịch đảo cho dữ liệu ban đầu". Bạn sẽ nhận được một quyết định thích hợp. Như vậy, dữ liệu sẽ không phải điền lại.
Dung dịch. Kí hiệu là A - ma trận các hệ số cho ẩn số; X - ma trận cột của ẩn số; B - cột ma trận của các thành viên miễn phí:

-1 3 0 3 -2 1 2 1 -1

Vectơ B:
BT =(4,-3,-3)
Với các ký hiệu này, hệ phương trình này có dạng ma trận sau: A*X = B.
Nếu ma trận A không phải là số ít (định thức của nó khác 0, thì nó có ma trận nghịch đảo A -1. Nhân cả hai vế của phương trình với A -1, ta được: A -1 * A * X \u003d A -1 * B, A -1 * A=E.
Sự bình đẳng này được gọi là ký hiệu ma trận nghiệm của hệ phương trình tuyến tính. Để tìm nghiệm của hệ phương trình, cần tính ma trận nghịch đảo A -1 .
Hệ sẽ có nghiệm nếu định thức của ma trận A khác không.
Hãy tìm yếu tố quyết định chính.
∆=-1 (-2 (-1)-1 1)-3 (3 (-1)-1 0)+2 (3 1-(-2 0))=14
Vậy định thức là 14 ≠ 0 nên ta tiếp tục giải. Để làm được điều này, ta tìm ma trận nghịch đảo thông qua phép cộng đại số.
Giả sử chúng ta có một ma trận không đơn dị A:
Ta tính các phép cộng đại số.

A 1,1 =(-1)1+1

-2 1 1 -1

∆ 1,1 =(-2 (-1)-1 1)=1

A 1,2 =(-1)1+2

3 1 0 -1

∆ 1,2 =-(3 (-1)-0 1)=3

A 1,3 =(-1)1+3

3 -2 0 1

∆ 1,3 =(3 1-0 (-2))=3

A 2.1 =(-1)2+1

3 2 1 -1

∆ 2,1 =-(3 (-1)-1 2)=5

A 2,2 =(-1)2+2

-1 2 0 -1

∆ 2,2 =(-1 (-1)-0 2)=1

A 2,3 =(-1)2+3

-1 3 0 1

∆ 2,3 =-(-1 1-0 3)=1

Một 3.1 =(-1)3+1

3 2 -2 1

∆ 3,1 =(3 1-(-2 2))=7
·

4

-3

-3

X=1/14

-3))

yếu tố quyết định chính
∆=4 (0 1-3 (-2))-2 (1 1-3 (-1))+0 (1 (-2)-0 (-1))=16
ma trận chuyển vị
∆ 1,1 =(0 1-(-2 3))=6

A 1,2 =(-1)1+2

1 3 -1 1

∆ 1,2 =-(1 1-(-1 3))=-4

A 1,3 =(-1)1+3

1 0 -1 -2

∆ 1,3 =(1 (-2)-(-1 0))=-2

A 2.1 =(-1)2+1

2 0 -2 1

∆ 2,1 =-(2 1-(-2 0))=-2

A 2,2 =(-1)2+2

4 0 -1 1

∆ 2,2 =(4 1-(-1 0))=4

A 2,3 =(-1)2+3

4 2 -1 -2

∆ 2,3 =-(4 (-2)-(-1 2))=6

Một 3.1 =(-1)3+1

2 0 0 3

∆ 3,1 =(2 3-0 0)=6

A 3.2 =(-1)3+2

4 0 1 3

∆ 3,2 =-(4 3-1 0)=-12

A 3,3 =(-1)3+3

1/16

6 -4 -2 -2 4 6 6 -12 -2

E=A*A -1 =

(4 6)+(1 (-2))+(-1 6)	(4 (-4))+(1 4)+(-1 (-12))	(4 (-2))+(1 6)+(-1 (-2))
(2 6)+(0 (-2))+(-2 6)	(2 (-4))+(0 4)+(-2 (-12))	(2 (-2))+(0 6)+(-2 (-2))
(0 6)+(3 (-2))+(1 6)	(0 (-4))+(3 4)+(1 (-12))	(0 (-2))+(3 6)+(1 (-2))

=1/16

16 0 0 0 16 0 0 0 16

A*A -1 =

1 0 0 0 1 0 0 0 1

Ví dụ số 7. Giải phương trình ma trận.
Chứng tỏ:

A=

3 0 5 2 1 4 -1 3 0

phép cộng đại số

A 1.1 = (-1)1+1

1 3 4 0

∆ 1,1 = (1*0 - 4*3) = -12

A 1,2 = (-1)1+2

0 3 5 0

∆ 1,2 = -(0*0 - 5*3) = 15

Một 1,3 = (-1)1+3

0 1 5 4

∆ 1,3 = (0*4 - 5*1) = -5

A 2.1 = (-1)2+1

2 -1 4 0

∆ 2,1 = -(2*0 - 4*(-1)) = -4

A 2.2 = (-1)2+2

3 -1 5 0

∆ 2,2 = (3*0 - 5*(-1)) = 5

A 2,3 = (-1)2+3

3 2 5 4

∆ 2,3 = -(3*4 - 5*2) = -2

Một 3.1 = (-1)3+1

2 -1 1 3

∆ 3,1 = (2*3 - 1*(-1)) = 7
1/-1

-12	15	-5
-4	5	-2
7	-9	3

= Vectơ B:
BT =(31,13,10)

XT =(4.05,6.13,7.54)
x 1 \u003d 158/39 \u003d 4,05
x 2 \u003d 239/39 \u003d 6,13
x 3 \u003d 294/39 \u003d 7,54
Kiểm tra.
-2 4.05+-1 6.13+6 7.54=31
1 4.05+-1 6.13+2 7.54=13
2 4.05+4 6.13+-3 7.54=10

Ví dụ số 9. Kí hiệu là A - ma trận các hệ số cho ẩn số; X - ma trận cột của ẩn số; B - cột ma trận của các thành viên miễn phí:

-2 1 6 1 -1 2 2 4 -3

Vectơ B:
BT =(31,13,10)

XT =(5.21,4.51,6.15)
x 1 \u003d 276/53 \u003d 5,21
x 2 \u003d 239/53 \u003d 4,51
x 3 \u003d 326/53 \u003d 6,15
Kiểm tra.
-2 5.21+1 4.51+6 6.15=31
1 5.21+-1 4.51+2 6.15=13
2 5.21+4 4.51+-3 6.15=10

Ví dụ #10. Giải phương trình ma trận.
Chứng tỏ:

phép cộng đại số
A 11 \u003d (-1) 1 + 1 -3 \u003d -3; A 12 \u003d (-1) 1 + 2 3 \u003d -3; A 21 \u003d (-1) 2 + 1 1 \u003d -1; A 22 \u003d (-1) 2 + 2 2 \u003d 2;
Ma trận nghịch đảo A -1 .
1/-9

-3	-3
-1	2

=

1	-2
1	1

Câu trả lời:

X=

1 -2 1 1

6.4. Một số ứng dụng của tích vô hướng

11. Biểu thức tích vô hướng của một vectơ theo tọa độ của các thừa số. định lý.

12. Độ dài của một vectơ, độ dài một đoạn thẳng, góc giữa các vectơ, điều kiện vuông góc của các vectơ.

13. Tích vectơ của vectơ, tính chất của nó. Diện tích hình bình hành.

14. Tích của các vectơ, tính chất của nó. Điều kiện của véc tơ đồng phẳng. Thể tích của hình bình hành. Thể tích của kim tự tháp.

15. Các phương pháp dựng đường thẳng trên mặt phẳng.

16. Phương trình pháp tuyến của đường thẳng trên mặt phẳng (đạo hàm). Ý nghĩa hình học của các hệ số.

17. Phương trình đường thẳng trên mặt phẳng trong đoạn thẳng (kết luận).

Rút gọn phương trình tổng quát của mặt phẳng thành phương trình của mặt phẳng từng đoạn.

18. Phương trình đường thẳng nằm trong mặt phẳng có hệ số góc (đầu ra).

19. Phương trình của đường thẳng thuộc mặt phẳng đi qua hai điểm (kết luận).

20. Góc giữa các đường thẳng trên một mặt phẳng (kết luận).

21. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng trên mặt phẳng (đầu ra).

22. Điều kiện về sự song song và vuông góc của đường thẳng trên mặt phẳng (kết luận).

23. Phương trình mặt phẳng. Phương trình pháp tuyến của mặt phẳng (đạo hàm). Ý nghĩa hình học của các hệ số.

24. Phương trình mặt phẳng trong đoạn (kết luận).

25. Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm (xuất).

26. Góc giữa các mặt phẳng (đầu ra).

27. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng (đầu ra).

28. Điều kiện về tính song song và tính vuông góc của mặt phẳng (kết luận).

29. Phương trình của một đường thẳng trong r3. Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cố định (đạo hàm).

30. Phương trình chính tắc của một đường thẳng trong không gian (đạo hàm).

Tổng hợp phương trình chính tắc của đường thẳng trong không gian.

Các trường hợp riêng của phương trình chính tắc của một đường thẳng trong không gian.

Phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua hai điểm cho trước trong không gian.

Chuyển từ phương trình chính tắc của đường thẳng trong không gian sang các dạng phương trình khác của đường thẳng.

31. Góc giữa các đường thẳng (đầu ra).

32. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng trên mặt phẳng (đầu ra).

Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng trên mặt phẳng - lý thuyết, ví dụ, lời giải.

Cách thứ nhất để tìm khoảng cách từ một điểm cho trước đến một đường thẳng cho trước trên mặt phẳng.

Phương pháp thứ hai, cho phép bạn tìm khoảng cách từ một điểm nhất định đến một đường thẳng nhất định trên mặt phẳng.

Giải các bài toán về tìm khoảng cách từ một điểm cho trước đến một đường thẳng cho trước trên mặt phẳng.

Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng trong không gian - lý thuyết, ví dụ, lời giải.

Cách thứ nhất để tìm khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng trong không gian.

Phương pháp thứ hai, cho phép bạn tìm khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng trong không gian.

33. Điều kiện về sự song song và vuông góc của đường thẳng trong không gian.

34. Sự sắp xếp lẫn nhau của đường thẳng trong không gian và đường thẳng với mặt phẳng.

35. Phương trình cổ điển của một elip (đạo hàm) và cách xây dựng của nó. Phương trình chính tắc của một hình elip có dạng, hơn nữa là các số thực dương.Làm thế nào để xây dựng một hình elip?

36. Phương trình cổ điển của một hyperbola (đạo hàm) và cách xây dựng của nó. tiệm cận.

37. Phương trình chính tắc của một parabol (đạo hàm) và cách xây dựng.

38. Chức năng. Định nghĩa cơ bản. Đồ thị của các hàm sơ cấp cơ bản.

39. Các dãy số. Giới hạn của dãy số.

40. Vô lượng nhỏ và vô cùng lớn. Định lý về mối liên hệ giữa chúng, tính chất.

41. Các định lý về tác dụng lên biến có giới hạn hữu hạn.

42. Số e.

Nội dung

Phương pháp xác định

Đặc tính

Câu chuyện

xấp xỉ

43. Định nghĩa giới hạn của hàm số. Tiết lộ những điều không chắc chắn.

44. Giới hạn đáng chú ý, kết luận của họ. Số lượng vô hạn tương đương.

Nội dung

Giới hạn tuyệt vời đầu tiên

Giới hạn tuyệt vời thứ hai

45. Giới hạn một phía. Tính liên tục và tính không liên tục của chức năng. Giới hạn một phía

Giới hạn trái và phải của hàm

Điểm gián đoạn loại một

Điểm gián đoạn loại hai

điểm ngắt

46. ​​Định nghĩa đạo hàm. Ý nghĩa hình học, ý nghĩa cơ học của đạo hàm. Phương trình tiếp tuyến và pháp tuyến của một đường cong và một điểm.

47. Các định lý về đạo hàm của hàm ngược, hàm phức.

48. Đạo hàm của các hàm sơ cấp đơn giản nhất.

49. Phân biệt hàm đồng biến, hàm ẩn và hàm mũ.

21. Phân biệt hàm ẩn và hàm xác định tham số

21.1. hàm ẩn

21.2. Hàm được xác định theo tham số

50. Đạo hàm cấp trên. Công thức Taylor.

51. Vi phân. Ứng dụng của vi phân để tính gần đúng.

52. Các định lý Rolle, Lagrange, Cauchy. quy tắc L'Hopital.

53. Định lý về điều kiện cần và đủ để hàm số có tính đơn điệu.

54. Xác định cực đại, cực tiểu của hàm số. Các định lý về điều kiện cần và đủ để tồn tại một cực trị của hàm số.

Định lý (điều kiện cực trị cần thiết)

55. Độ lồi và lõm của đường cong. Điểm biến đổi. Các định lý về điều kiện cần và đủ để tồn tại điểm uốn.

Bằng chứng

57. Các định thức bậc n, tính chất của chúng.

58. Ma trận và hành động trên chúng. Xếp hạng ma trận.

Sự định nghĩa

định nghĩa liên quan

Đặc tính

Phép biến đổi tuyến tính và hạng ma trận

59. Nghịch đảo ma trận. Định lý về sự tồn tại ma trận nghịch đảo.

60. Hệ phương trình tuyến tính. Giải ma trận của hệ phương trình tuyến tính. Quy tắc Cramer. phương pháp Gauss. Định lý Kronecker-Capelli.

Giải hệ phương trình đại số tuyến tính, phương pháp giải, ví dụ.

Định nghĩa, khái niệm, chỉ định.

Giải hệ sơ cấp của phương trình đại số tuyến tính.

Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Cramer.

Giải hệ phương trình đại số tuyến tính bằng phương pháp ma trận (dùng ma trận nghịch đảo).

Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Gauss.

Giải hệ phương trình đại số tuyến tính dạng tổng quát.

Định lý Kronecker-Capelli.

Phương pháp Gauss giải hệ phương trình đại số tuyến tính dạng tổng quát.

Ghi lại nghiệm tổng quát của các hệ đại số tuyến tính thuần nhất và không thuần nhất bằng cách sử dụng các vectơ của hệ nghiệm cơ bản.

Giải hệ phương trình rút gọn.

Ví dụ về các bài toán quy về giải hệ phương trình đại số tuyến tính.

Giải hệ phương trình đại số tuyến tính bằng phương pháp ma trận (dùng ma trận nghịch đảo).

Cho hệ phương trình đại số tuyến tính dưới dạng ma trận , trong đó ma trận Một có kích thước N trên N và định thức của nó khác không.

Vì , thì ma trận NHƯNG khả nghịch, tức là tồn tại ma trận nghịch đảo. Nếu chúng ta nhân cả hai vế của đẳng thức với bên trái, chúng ta sẽ nhận được một công thức để tìm ma trận cột của các biến chưa biết. Vậy là ta đã có nghiệm của hệ phương trình đại số tuyến tính bằng phương pháp ma trận.

phương pháp ma trận.

Hãy viết lại hệ phương trình dưới dạng ma trận:

Tại vì thì SLAE có thể được giải bằng phương pháp ma trận. Sử dụng ma trận nghịch đảo, giải pháp cho hệ thống này có thể được tìm thấy như .

Chúng tôi xây dựng một ma trận nghịch đảo bằng cách sử dụng ma trận phần bù đại số của các phần tử ma trận NHƯNG(nếu cần, xem bài viết các phương pháp tìm ma trận nghịch đảo):

Nó vẫn còn để tính toán - ma trận của các biến chưa biết bằng cách nhân ma trận nghịch đảo trên cột ma trận gồm các thành viên tự do (nếu cần, xem bài viết về các phép toán trên ma trận):

hoặc trong một mục khác x 1 = 4,x 2 = 0, x 3 = -1 .

Vấn đề chính trong việc tìm nghiệm của các hệ phương trình đại số tuyến tính bằng phương pháp ma trận là độ phức tạp của việc tìm ma trận nghịch đảo, đặc biệt đối với các ma trận vuông bậc cao hơn bậc ba.

Để biết mô tả chi tiết hơn về lý thuyết và các ví dụ bổ sung, hãy xem bài viết phương pháp ma trận để giải các hệ phương trình tuyến tính.

Đầu trang

Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Gauss.

Giả sử chúng ta cần tìm một giải pháp cho hệ thống từ N phương trình tuyến tính với N biến chưa biết định thức của ma trận chính khác 0.

Bản chất của phương pháp Gauss bao gồm việc loại trừ liên tiếp các biến chưa biết: đầu tiên, x 1 từ tất cả các phương trình của hệ thống, bắt đầu từ phương trình thứ hai, sau đó x 2 của tất cả các phương trình, bắt đầu với phương trình thứ ba, v.v., cho đến khi chỉ còn lại biến chưa biết trong phương trình cuối cùng x N. Một quá trình biến đổi các phương trình của hệ thống để loại bỏ liên tiếp các biến chưa biết được gọi là phương pháp Gauss trực tiếp. Sau khi hoàn thành quá trình chuyển tiếp của phương pháp Gauss, từ phương trình cuối cùng, chúng tôi tìm thấy x N, sử dụng giá trị này từ phương trình áp chót được tính toán x n-1, và cứ thế, từ phương trình đầu tiên được tìm thấy x 1 . Quá trình tính toán các biến chưa biết khi chuyển từ phương trình cuối cùng của hệ thống sang phương trình đầu tiên được gọi là phương pháp Gauss đảo ngược.

Hãy để chúng tôi mô tả ngắn gọn thuật toán để loại bỏ các biến chưa biết.

Chúng tôi sẽ giả định rằng , vì chúng tôi luôn có thể đạt được điều này bằng cách sắp xếp lại các phương trình của hệ thống. Loại bỏ biến không xác định x 1 từ tất cả các phương trình của hệ, bắt đầu từ phương trình thứ hai. Để làm điều này, hãy cộng phương trình thứ nhất nhân với phương trình thứ hai của hệ, cộng phương trình thứ nhất nhân với phương trình thứ ba, v.v. thứ n thêm phương trình đầu tiên, nhân với . Hệ phương trình sau khi biến đổi như vậy sẽ có dạng nơi một .

Chúng tôi sẽ đi đến kết quả tương tự nếu chúng tôi biểu thị x 1 thông qua các biến chưa biết khác trong phương trình đầu tiên của hệ thống và biểu thức kết quả được thay thế vào tất cả các phương trình khác. Vì vậy, biến x 1 loại trừ khỏi tất cả các phương trình, bắt đầu với phương trình thứ hai.

Tiếp theo, chúng tôi hành động tương tự, nhưng chỉ với một phần của hệ thống kết quả, được đánh dấu trong hình

Để làm điều này, hãy thêm số thứ hai nhân với phương trình thứ ba của hệ thống, thêm số thứ hai nhân với phương trình thứ tư, v.v. thứ n thêm phương trình thứ hai, nhân với. Hệ phương trình sau khi biến đổi như vậy sẽ có dạng nơi một . Vì vậy, biến x 2 loại trừ khỏi tất cả các phương trình, bắt đầu với phương trình thứ ba.

Tiếp theo, chúng tôi tiến hành loại bỏ những điều chưa biết x 3 , trong khi chúng tôi hành động tương tự với một phần của hệ thống được đánh dấu trong hình

Vì vậy, chúng tôi tiếp tục quá trình trực tiếp của phương pháp Gauss cho đến khi hệ thống có dạng

Từ thời điểm này, chúng tôi bắt đầu quá trình ngược lại của phương pháp Gauss: chúng tôi tính toán x N từ phương trình cuối cùng như, sử dụng giá trị thu được x N tìm thấy x n-1 từ phương trình áp chót, v.v., chúng tôi tìm thấy x 1 từ phương trình đầu tiên.

Giải hệ phương trình tuyến tính phương pháp Gaussian.

Loại bỏ biến không xác định x 1 từ phương trình thứ hai và thứ ba của hệ thống. Để làm điều này, đối với cả hai phần của phương trình thứ hai và thứ ba, chúng ta lần lượt cộng các phần tương ứng của phương trình thứ nhất, nhân với và với:

Bây giờ chúng tôi loại bỏ từ phương trình thứ ba x 2 , thêm vào phần bên trái và bên phải của nó phần bên trái và bên phải của phương trình thứ hai, nhân với:

Về điều này, quá trình chuyển tiếp của phương pháp Gauss đã hoàn thành, chúng tôi bắt đầu quá trình ngược lại.

Từ phương trình cuối cùng của hệ phương trình kết quả, chúng tôi tìm thấy x 3 :

Từ phương trình thứ hai chúng ta nhận được .

Từ phương trình đầu tiên, chúng tôi tìm thấy biến chưa biết còn lại và điều này hoàn thành quá trình ngược lại của phương pháp Gauss.

x 1 = 4,x 2 = 0, x 3 = -1 .

Để biết thêm thông tin chi tiết và các ví dụ bổ sung, hãy xem phần giải các hệ cơ bản của phương trình đại số tuyến tính bằng phương pháp Gauss.

Đầu trang