Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm hai biến trong miền đóng. Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số

Cho hàm số $z=f(x,y)$ xác định và liên tục trong một miền đóng có giới hạn $D$. Giả sử hàm số đã cho có hữu hạn đạo hàm riêng cấp một trong miền này (có thể ngoại trừ một số hữu hạn điểm). Để tìm các giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm hai biến trong một miền đóng cho trước, cần có ba bước của một thuật toán đơn giản.

Thuật toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số $z=f(x,y)$ trong miền đóng $D$.

1. Tìm các điểm tới hạn của hàm số $z=f(x,y)$ thuộc miền $D$. Tính giá trị hàm tại các điểm tới hạn.
2. Điều tra hành vi của hàm $z=f(x,y)$ trên biên của vùng $D$ bằng cách tìm các điểm có giá trị lớn nhất và nhỏ nhất có thể. Tính các giá trị hàm số tại các điểm thu được.
3. Từ các giá trị hàm thu được trong hai đoạn trước, chọn giá trị lớn nhất và nhỏ nhất.

Điểm quan trọng là gì? hiện an

Dưới điểm quan trọng ngụ ý các điểm mà cả hai đạo hàm riêng cấp một đều bằng 0 (tức là $\frac(\partial z)(\partial x)=0$ và $\frac(\partial z)(\partial y)=0 $) hoặc ít nhất một đạo hàm riêng không tồn tại.

Thông thường những điểm tại đó các đạo hàm riêng cấp một bằng 0 được gọi là điểm cố định. Do đó, các điểm đứng yên là một tập con của các điểm tới hạn.

Ví dụ 1

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số $z=x^2+2xy-y^2-4x$ trong miền đóng giới hạn bởi các đường $x=3$, $y=0$ và $y=x +1$.

Chúng tôi sẽ làm theo những điều trên, nhưng trước tiên chúng tôi sẽ xử lý bản vẽ của một khu vực nhất định, mà chúng tôi sẽ biểu thị bằng chữ $D$. Ta được cho phương trình của ba đường thẳng giới hạn diện tích này. Đường thẳng $x=3$ đi qua điểm $(3;0)$ song song với trục y (trục Oy). Đường thẳng $y=0$ là phương trình của trục hoành (trục Ox). Chà, để dựng một đường thẳng $y=x+1$ hãy tìm hai điểm mà qua đó chúng ta vẽ đường thẳng này. Tất nhiên, bạn có thể thay thế một vài giá trị tùy ý thay vì $x$. Ví dụ: thay thế $x=10$, chúng tôi nhận được: $y=x+1=10+1=11$. Ta đã tìm được điểm $(10;11)$ nằm trên đường $y=x+1$. Tuy nhiên, tốt hơn là bạn nên tìm những điểm mà tại đó đường $y=x+1$ giao với các đường $x=3$ và $y=0$. Tại sao nó tốt hơn? Bởi vì chúng ta sẽ ném một mũi tên trúng hai con chim: chúng ta sẽ nhận được hai điểm khi dựng đường thẳng $y=x+1$, đồng thời tìm xem tại những điểm nào đường thẳng này cắt các đường thẳng khác giới hạn các đường thẳng đã cho diện tích. Đường $y=x+1$ cắt đường $x=3$ tại điểm $(3;4)$ và đường $y=0$ - tại điểm $(-1;0)$. Để không làm lộn xộn quá trình giải quyết bằng các giải thích phụ trợ, tôi sẽ đặt câu hỏi về việc đạt được hai điểm này trong một ghi chú.

Các điểm $(3;4)$ và $(-1;0)$ thu được như thế nào? hiện an

Hãy bắt đầu từ giao điểm của các đường $y=x+1$ và $x=3$. Tọa độ của điểm mong muốn thuộc cả dòng thứ nhất và dòng thứ hai, vì vậy để tìm tọa độ chưa biết, bạn cần giải hệ phương trình:

$$ \left \( \begin(căn chỉnh) & y=x+1;\\ & x=3. \end(căn chỉnh) \right. $$

Giải pháp của một hệ thống như vậy là tầm thường: thay thế $x=3$ vào phương trình đầu tiên, chúng ta sẽ có: $y=3+1=4$. Điểm $(3;4)$ là giao điểm mong muốn của các đường $y=x+1$ và $x=3$.

Bây giờ, hãy tìm giao điểm của các đường $y=x+1$ và $y=0$. Một lần nữa, chúng tôi soạn và giải hệ phương trình:

$$ \left \( \begin(aligned) & y=x+1;\\ & y=0. \end(aligned) \right. $$

Thay $y=0$ vào phương trình đầu tiên, chúng ta có: $0=x+1$, $x=-1$. Điểm $(-1;0)$ là giao điểm mong muốn của các đường $y=x+1$ và $y=0$ (trục abscissa).

Mọi thứ đã sẵn sàng để xây dựng một bản vẽ trông như thế này:

Câu hỏi của ghi chú có vẻ hiển nhiên, bởi vì mọi thứ có thể được nhìn thấy từ hình vẽ. Tuy nhiên, điều đáng ghi nhớ là bản vẽ không thể dùng làm bằng chứng. Con số chỉ là một minh họa cho rõ ràng.

Khu vực của chúng tôi đã được thiết lập bằng cách sử dụng phương trình của các dòng giới hạn nó. Rõ ràng là những đường này xác định một hình tam giác, phải không? Hoặc không hoàn toàn rõ ràng? Hoặc có thể chúng ta được cung cấp một khu vực khác, được giới hạn bởi các đường giống nhau:

Tất nhiên, điều kiện nói rằng khu vực này đã bị đóng, vì vậy hình ảnh hiển thị là sai. Nhưng để tránh sự mơ hồ như vậy, tốt hơn là nên xác định các khu vực bằng sự bất bình đẳng. Chúng ta quan tâm đến phần của mặt phẳng nằm dưới đường thẳng $y=x+1$? Được, vậy $y ≤ x+1$. Khu vực của chúng tôi phải nằm trên dòng $y=0$? Tuyệt, vậy $y ≥ 0$. Nhân tiện, hai bất đẳng thức cuối dễ dàng kết hợp thành một: $0 ≤ y ≤ x+1$.

$$ \left \( \begin(căn chỉnh) & 0 ≤ y ≤ x+1;\\ & x ≤ 3. \end(căn chỉnh) \right. $$

Những bất đẳng thức này xác định miền $D$ và xác định nó một cách duy nhất, không có bất kỳ sự mơ hồ nào. Nhưng điều này giúp chúng ta như thế nào trong câu hỏi ở phần đầu của chú thích? Nó cũng sẽ hữu ích :) Chúng ta cần kiểm tra xem điểm $M_1(1;1)$ có thuộc vùng $D$ hay không. Chúng ta hãy thay thế $x=1$ và $y=1$ vào hệ bất phương trình xác định miền này. Nếu thỏa mãn cả hai bất đẳng thức thì điểm nằm trong miền. Nếu ít nhất một trong các bất đẳng thức không thỏa mãn thì điểm đó không thuộc miền. Vì thế:

$$ \left \( \begin(căn chỉnh) & 0 ≤ 1 ≤ 1+1;\\ & 1 ≤ 3. \end(căn chỉnh) \right. \;\; \left \( \begin(căn chỉnh) & 0 ≤ 1 ≤ 2;\\ & 1 ≤ 3. \end(căn chỉnh) \right.$$

Cả hai bất đẳng thức đều đúng. Điểm $M_1(1;1)$ thuộc vùng $D$.

Bây giờ đến lượt điều tra hành vi của hàm trên ranh giới của miền, tức là đi đến. Hãy bắt đầu với đường thẳng $y=0$.

Đường thẳng $y=0$ (trục hoành) giới hạn miền $D$ với điều kiện $-1 ≤ x ≤ 3$. Thay thế $y=0$ vào hàm đã cho $z(x,y)=x^2+2xy-y^2-4x$. Hàm thay thế kết quả của một biến $x$ sẽ được ký hiệu là $f_1(x)$:

$$ f_1(x)=z(x,0)=x^2+2x\cdot 0-0^2-4x=x^2-4x. $$

Bây giờ đối với hàm $f_1(x)$ chúng ta cần tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên khoảng $-1 ≤ x ≤ 3$. Tìm đạo hàm của hàm này và cho nó bằng 0:

$$ f_(1)^(")(x)=2x-4;\\ 2x-4=0; \; x=2. $$

Giá trị $x=2$ thuộc đoạn $-1 ≤ x ≤ 3$ nên ta cũng thêm $M_2(2;0)$ vào danh sách điểm. Ngoài ra, chúng tôi tính toán các giá trị của hàm $z$ ở cuối đoạn $-1 ≤ x ≤ 3$, tức là tại các điểm $M_3(-1;0)$ và $M_4(3;0)$. Nhân tiện, nếu điểm $M_2$ không thuộc đoạn đang xét, thì dĩ nhiên, sẽ không cần tính giá trị của hàm $z$ trong đó.

Vì vậy, hãy tính các giá trị của hàm $z$ tại các điểm $M_2$, $M_3$, $M_4$. Tất nhiên, bạn có thể thay thế tọa độ của các điểm này trong biểu thức ban đầu $z=x^2+2xy-y^2-4x$. Ví dụ: đối với điểm $M_2$, chúng tôi nhận được:

$$z_2=z(M_2)=2^2+2\cdot 2\cdot 0-0^2-4\cdot 2=-4.$$

Tuy nhiên, các tính toán có thể được đơn giản hóa một chút. Để làm được điều này, cần nhớ rằng trên đoạn $M_3M_4$ chúng ta có $z(x,y)=f_1(x)$. Tôi sẽ đánh vần nó một cách chi tiết:

\begin(căn chỉnh) & z_2=z(M_2)=z(2,0)=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\\ & z_3=z(M_3)=z(- 1,0)=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\\ & z_4=z(M_4)=z(3,0)=f_1(3)= 3^2-4\cchấm 3=-3. \end(căn chỉnh)

Tất nhiên, thường không cần các mục nhập chi tiết như vậy và trong tương lai, chúng tôi sẽ bắt đầu viết ra tất cả các phép tính theo cách ngắn gọn hơn:

$$z_2=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\; z_3=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\; z_4=f_1(3)=3^2-4\cdot 3=-3.$$

Bây giờ, hãy chuyển sang đường thẳng $x=3$. Dòng này giới hạn miền $D$ với điều kiện $0 ≤ y ≤ 4$. Thay thế $x=3$ vào hàm đã cho $z$. Kết quả của sự thay thế như vậy, chúng ta nhận được hàm $f_2(y)$:

$$ f_2(y)=z(3,y)=3^2+2\cdot 3\cdot y-y^2-4\cdot 3=-y^2+6y-3. $$

Đối với hàm $f_2(y)$, bạn cần tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên khoảng $0 ≤ y ≤ 4$. Tìm đạo hàm của hàm này và cho nó bằng 0:

$$ f_(2)^(")(y)=-2y+6;\\ -2y+6=0; \; y=3. $$

Giá trị $y=3$ thuộc về phân khúc $0 ≤ y ≤ 4$, vì vậy chúng tôi thêm $M_5(3;3)$ vào các điểm được tìm thấy trước đó. Ngoài ra, cần tính giá trị của hàm $z$ tại các điểm nằm ở hai đầu đoạn $0 ≤ y ≤ 4$, tức là tại các điểm $M_4(3;0)$ và $M_6(3;4)$. Tại điểm $M_4(3;0)$ chúng ta đã tính được giá trị của $z$. Hãy tính giá trị của hàm $z$ tại các điểm $M_5$ và $M_6$. Để tôi nhắc bạn rằng trên đoạn $M_4M_6$ chúng ta có $z(x,y)=f_2(y)$, do đó:

\begin(căn chỉnh) & z_5=f_2(3)=-3^2+6\cdot 3-3=6; &z_6=f_2(4)=-4^2+6\cdot 4-3=5. \end(căn chỉnh)

Và, cuối cùng, hãy xem xét ranh giới cuối cùng của $D$, tức là dòng $y=x+1$. Đường này giới hạn vùng $D$ với điều kiện $-1 ≤ x ≤ 3$. Thay $y=x+1$ vào hàm $z$, ta sẽ có:

$$ f_3(x)=z(x,x+1)=x^2+2x\cdot (x+1)-(x+1)^2-4x=2x^2-4x-1. $$

Một lần nữa, chúng ta có hàm một biến $x$. Và một lần nữa, bạn cần tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm này trên đoạn $-1 ≤ x ≤ 3$. Tìm đạo hàm của hàm $f_(3)(x)$ và cho nó bằng 0:

$$ f_(3)^(")(x)=4x-4;\\ 4x-4=0; \; x=1. $$

Giá trị $x=1$ thuộc khoảng $-1 ≤ x ≤ 3$. Nếu $x=1$ thì $y=x+1=2$. Hãy thêm $M_7(1;2)$ vào danh sách các điểm và tìm hiểu giá trị của hàm $z$ tại điểm này là bao nhiêu. Các điểm ở cuối đoạn $-1 ≤ x ≤ 3$, tức là điểm $M_3(-1;0)$ và $M_6(3;4)$ đã được xem xét trước đó, chúng tôi đã tìm thấy giá trị của hàm trong đó.

$$z_7=f_3(1)=2\cdot 1^2-4\cdot 1-1=-3.$$

Bước thứ hai của giải pháp đã hoàn thành. Chúng tôi có bảy giá trị:

$$z_1=-2;\;z_2=-4;\;z_3=5;\;z_4=-3;\;z_5=6;\;z_6=5;\;z_7=-3.$$

Hãy chuyển sang. Chọn các giá trị lớn nhất và nhỏ nhất từ ​​​​các số đã lấy được trong đoạn thứ ba, chúng ta sẽ có:

$$z_(phút)=-4; \; z_(tối đa)=6.$$

Vấn đề đã được giải quyết, nó chỉ còn lại để viết ra câu trả lời.

Câu trả lời: $z_(tối thiểu)=-4; \; z_(tối đa)=6$.

Ví dụ #2

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số $z=x^2+y^2-12x+16y$ trong vùng $x^2+y^2 ≤ 25$.

Trước tiên hãy xây dựng một bản vẽ. Phương trình $x^2+y^2=25$ (đây là đường ranh giới của khu vực đã cho) xác định một đường tròn có tâm ở gốc tọa độ (tức là tại điểm $(0;0)$) và bán kính là 5. Bất đẳng thức $x^2 +y^2 ≤ 25$ thỏa mãn tất cả các điểm nằm trong và trên đường tròn nói trên.

Chúng tôi sẽ hành động. Hãy tìm các đạo hàm riêng và tìm ra các điểm tới hạn.

$$ \frac(\partial z)(\partial x)=2x-12; \frac(\partial z)(\partial y)=2y+16. $$

Không có điểm nào mà tại đó các đạo hàm riêng tìm được không tồn tại. Chúng ta hãy tìm xem tại những điểm nào mà cả hai đạo hàm riêng đồng thời bằng 0, tức là tìm điểm bất động.

$$ \left \( \begin(aligned) & 2x-12=0;\\ & 2y+16=0. \end(aligned) \right. \;\; \left \( \begin(aligned) & x =6;\\ & y=-8.\end(căn chỉnh) \right.$$

Chúng tôi có một điểm cố định $(6;-8)$. Tuy nhiên điểm tìm được không thuộc vùng $D$. Điều này rất dễ thể hiện mà không cần dùng đến bản vẽ. Hãy kiểm tra xem bất đẳng thức $x^2+y^2 ≤ 25$ xác định miền $D$ của chúng ta có đúng hay không. Nếu $x=6$, $y=-8$, thì $x^2+y^2=36+64=100$, tức là bất đẳng thức $x^2+y^2 ≤ 25$ không thỏa mãn. Kết luận: điểm $(6;-8)$ không thuộc miền $D$.

Do đó, không có điểm tới hạn nào bên trong $D$. Hãy di chuyển trên, để. Chúng ta cần điều tra hành vi của hàm trên ranh giới của khu vực nhất định, tức là trên vòng tròn $x^2+y^2=25$. Tất nhiên, bạn có thể biểu thị $y$ dưới dạng $x$, sau đó thay thế biểu thức kết quả vào hàm $z$ của chúng ta. Từ phương trình đường tròn, chúng ta có: $y=\sqrt(25-x^2)$ hoặc $y=-\sqrt(25-x^2)$. Thay thế, ví dụ, $y=\sqrt(25-x^2)$ vào hàm đã cho, chúng ta sẽ có:

$$ z=x^2+y^2-12x+16y=x^2+25-x^2-12x+16\sqrt(25-x^2)=25-12x+16\sqrt(25-x ^2); \;\; -5≤ x ≤ 5. $$

Giải pháp tiếp theo sẽ hoàn toàn giống với nghiên cứu về hành vi của hàm trên ranh giới của vùng trong ví dụ số 1 trước đó. Tuy nhiên, đối với tôi, có vẻ hợp lý hơn trong tình huống này khi áp dụng phương pháp Lagrange. Chúng tôi chỉ quan tâm đến phần đầu tiên của phương pháp này. Sau khi áp dụng phần đầu tiên của phương pháp Lagrange, chúng ta sẽ lấy các điểm tại đó và kiểm tra hàm $z$ để tìm các giá trị nhỏ nhất và lớn nhất.

Chúng tôi soạn hàm Lagrange:

$$ F=z(x,y)+\lambda\cdot(x^2+y^2-25)=x^2+y^2-12x+16y+\lambda\cdot (x^2+y^2 -25). $$

Chúng tôi tìm các đạo hàm riêng của hàm Lagrange và soạn hệ phương trình tương ứng:

$$ F_(x)^(")=2x-12+2\lambda x; \;\; F_(y)^(")=2y+16+2\lambda y.\\ \left \( \begin (căn chỉnh) & 2x-12+2\lambda x=0;\\ & 2y+16+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-25=0.\end(căn chỉnh) \ đúng. \;\; \left \( \begin(aligned) & x+\lambda x=6;\\ & y+\lambda y=-8;\\ & x^2+y^2=25. \end( căn chỉnh)\right.$$

Để giải quyết hệ thống này, hãy chỉ ra ngay rằng $\lambda\neq -1$. Tại sao $\lambda\neq -1$? Hãy thử thay thế $\lambda=-1$ vào phương trình đầu tiên:

$$ x+(-1)\cdot x=6; \; x-x=6; \; 0=6. $$

Kết quả mâu thuẫn $0=6$ nói rằng giá trị $\lambda=-1$ không hợp lệ. Đầu ra: $\lambda\neq -1$. Hãy biểu diễn $x$ và $y$ dưới dạng $\lambda$:

\begin(căn chỉnh) & x+\lambda x=6;\; x(1+\lambda)=6;\; x=\frac(6)(1+\lambda). \\ & y+\lambda y=-8;\; y(1+\lambda)=-8;\; y=\frac(-8)(1+\lambda). \end(căn chỉnh)

Tôi tin rằng nó trở nên rõ ràng ở đây tại sao chúng tôi quy định cụ thể điều kiện $\lambda\neq -1$. Điều này được thực hiện để khớp biểu thức $1+\lambda$ vào mẫu số mà không bị nhiễu. Nghĩa là, để chắc chắn rằng mẫu số là $1+\lambda\neq 0$.

Hãy để chúng tôi thay thế các biểu thức thu được cho $x$ và $y$ vào phương trình thứ ba của hệ thống, tức là trong $x^2+y^2=25$:

$$ \left(\frac(6)(1+\lambda) \right)^2+\left(\frac(-8)(1+\lambda) \right)^2=25;\\ \frac( 36)((1+\lambda)^2)+\frac(64)((1+\lambda)^2)=25;\\ \frac(100)((1+\lambda)^2)=25 ; \; (1+\lambda)^2=4. $$

Suy ra từ đẳng thức thu được là $1+\lambda=2$ hoặc $1+\lambda=-2$. Do đó, chúng ta có hai giá trị của tham số $\lambda$, đó là: $\lambda_1=1$, $\lambda_2=-3$. Theo đó ta được 2 cặp giá trị $x$ và $y$:

\begin(căn chỉnh) & x_1=\frac(6)(1+\lambda_1)=\frac(6)(2)=3; \; y_1=\frac(-8)(1+\lambda_1)=\frac(-8)(2)=-4. \\ & x_2=\frac(6)(1+\lambda_2)=\frac(6)(-2)=-3; \; y_2=\frac(-8)(1+\lambda_2)=\frac(-8)(-2)=4. \end(căn chỉnh)

Vì vậy, chúng tôi có hai điểm của một cực trị có điều kiện có thể, tức là $M_1(3;-4)$ và $M_2(-3;4)$. Tìm các giá trị của hàm số $z$ tại các điểm $M_1$ và $M_2$:

\begin(căn chỉnh) & z_1=z(M_1)=3^2+(-4)^2-12\cdot 3+16\cdot (-4)=-75; \\ & z_2=z(M_2)=(-3)^2+4^2-12\cdot(-3)+16\cdot 4=125. \end(căn chỉnh)

Chúng ta nên chọn các giá trị lớn nhất và nhỏ nhất từ ​​​​các giá trị mà chúng ta thu được ở bước đầu tiên và bước thứ hai. Nhưng trong trường hợp này, sự lựa chọn là nhỏ :) Chúng tôi có:

$$z_(phút)=-75; \; z_(tối đa)=125. $$

Câu trả lời: $z_(tối thiểu)=-75; \; z_(tối đa)=125$.

Bài làm chủ đề: "Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số liên tục trên một đoạn"

Tài liệu bổ sung
Kính gửi người dùng, đừng quên để lại nhận xét, phản hồi, đề xuất của bạn! Tất cả các tài liệu được kiểm tra bởi một chương trình chống vi-rút.

Hướng dẫn và trình mô phỏng trong cửa hàng trực tuyến "Tích phân" cho lớp 10 từ 1C
Chúng tôi giải quyết các vấn đề trong hình học. Nhiệm vụ xây dựng tương tác cho lớp 7-10
Chúng tôi giải quyết các vấn đề trong hình học. Nhiệm vụ tương tác để xây dựng trong không gian

Chúng ta sẽ học gì:

1. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất theo đồ thị của hàm số.
2. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất bằng đạo hàm.
3. Thuật toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số liên tục y=f(x) trên đoạn .
4. Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng mở.
5. Ví dụ.

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên đồ thị hàm số

Các bạn, trước đây chúng ta đã tìm được giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số. Chúng tôi đã xem xét đồ thị của một hàm số và kết luận nơi hàm số đạt giá trị lớn nhất và nơi nó đạt giá trị nhỏ nhất.
Hãy nhắc lại:

Đồ thị của hàm số cho thấy giá trị lớn nhất đạt được tại điểm x= 1 và bằng 2. Giá trị nhỏ nhất đạt được tại điểm x= -1 và bằng -2. Theo cách này, khá dễ dàng để tìm các giá trị lớn nhất và nhỏ nhất, nhưng không phải lúc nào cũng vẽ được đồ thị hàm số.

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất bằng đạo hàm

Các bạn, bạn nghĩ sao, làm thế nào bạn có thể tìm thấy giá trị lớn nhất và nhỏ nhất bằng cách sử dụng đạo hàm?

Câu trả lời có thể được tìm thấy trong chủ đề cực trị của chức năng. Ở đó bạn và tôi đã tìm thấy điểm tối đa và tối thiểu, các thuật ngữ có giống nhau không. Tuy nhiên, không nên nhầm lẫn giữa giá trị lớn nhất và nhỏ nhất với giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một hàm số, đây là những khái niệm khác nhau.

Vì vậy, hãy giới thiệu các quy tắc:
a) Hàm số liên tục trên một khoảng thì đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên khoảng đó.
b) Hàm số có thể đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất ở cả hai đầu mút và nằm trong nó. Hãy xem xét điểm này chi tiết hơn.

Trong hình a, hàm số đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất tại hai đầu đoạn thẳng.
Trong hình b, hàm số đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trong khoảng . Trong hình c, điểm cực tiểu nằm trong đoạn thẳng và điểm cực đại nằm ở cuối đoạn thẳng, tại điểm b.
c) Nếu bên trong đoạn đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất thì chỉ tại điểm đứng yên hoặc điểm tới hạn.

Thuật toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số liên tục y= f(x) trên một đoạn

• Tìm đạo hàm của f”(x).
• Tìm các điểm đứng yên và tới hạn bên trong đoạn .
• Tính giá trị của hàm tại các điểm đứng yên và tới hạn, cũng như tại f(a) và f(b). Chọn các giá trị nhỏ nhất và lớn nhất, đây sẽ là điểm của các giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số.

Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên khoảng mở

Các bạn ơi, làm thế nào để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên khoảng hở? Để làm điều này, chúng tôi sử dụng một định lý quan trọng, được chứng minh trong quá trình toán học cao hơn.

định lý. Để hàm số y= f(x) liên tục trên khoảng x và có trong khoảng này điểm dừng hoặc điểm tới hạn duy nhất x= x0, khi đó:
a) nếu x= x0 là điểm cực đại thì y là cực đại. = f(x0).
b) nếu x= x0 là điểm cực tiểu thì y min. = f(x0).

Thí dụ

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y= $\frac(x^3)(3)$ + 2x 2 + 4x - 5 trên đoạn
a) [-9;-1], b) [-3; 3], c) .
Giải: Tìm đạo hàm: y” = x 2 + 4x + 4.
Đạo hàm tồn tại trên toàn miền xác định thì ta cần tìm điểm bất động.
y"= 0, với x= -2.
Các tính toán tiếp theo sẽ được thực hiện cho các phân đoạn cần thiết.
a) Tìm các giá trị của hàm số tại hai đầu đoạn và tại điểm đứng yên.
Rồi y nam. = -122, tại x= -9; y tối đa = y = -7$\frac(1)(3)$, với x= -1.
b) Tìm các giá trị của hàm số tại hai đầu đoạn và tại điểm đứng yên. Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất đạt được ở hai đầu đoạn.
Rồi y nam. = -8, tại x= -3, y cực đại. = 34, tại x= 3.
c) Điểm đứng yên không nằm trên đoạn thẳng ta tìm các giá trị ở hai đầu đoạn thẳng.
Rồi y nam. = 34, tại x= 3, y cực đại. = 436, tại x= 9.

Thí dụ

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y= x 2 - 3x + 5 + |1-x| trên phân khúc.
Giải pháp: Mở rộng mô-đun và chuyển đổi chức năng của chúng tôi:
y= x 2 - 3x + 5 + 1 - x, với x ≤ 1.
y= x 2 - 3x + 5 - 1 + x, với x ≥ 1.

Khi đó hàm của chúng ta sẽ có dạng:
\begin(phương trình*)f(x)= \begin(trường hợp) x^2 - 4x + 6,\quad nếu\quad x ≤ 1 \\ x^2 - 2x + 4,\quad nếu\quad x ≥ 1 \end(trường hợp) \end(phương trình*) Tìm các điểm tới hạn: \begin(phương trình*)f"(x)= \begin(trường hợp) 2x - 4,\quad cho \quad x ≤ 1 \\ 2x - 2, \quad khi\quad x ≥ 1 \end(trường hợp) \end(phương trình*) \bắt đầu(phương trình*)f"(x)=0,\quad khi\quad x= \bắt đầu(trường hợp) 2,\quad khi \quad x ≤ 1 \\ 1,\quad for \quad x ≥ 1 \end(cases) \end(phương trình*) Vì vậy, chúng ta có hai điểm dừng và đừng quên rằng hàm của chúng ta bao gồm hai hàm cho các x khác nhau.
Hãy tìm các giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm, đối với điều này, chúng ta tính các giá trị của hàm tại các điểm đứng yên và ở cuối đoạn:
Trả lời: Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm đứng yên x= 1, y nhỏ nhất. = 3. Hàm số đạt giá trị lớn nhất tại điểm cuối đoạn x= 4, y max. = 12.

Thí dụ

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y= $\frac(3x)(x^2 + 3)$ trên tia: , b) , c) [-4;7].
b) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y= x 2 - 6x + 8 + |x - 2| trên khoảng [-1;5].
c) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y= $-2x-\frac(1)(2x)$ trên tia (0;+∞).

Từ quan điểm thực tế, thú vị nhất là việc sử dụng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số. Nó được kết nối với cái gì? Tối đa hóa lợi nhuận, tối thiểu hóa chi phí, xác định tải trọng thiết bị tối ưu... Nói cách khác, trong nhiều lĩnh vực của cuộc sống, người ta phải giải bài toán tối ưu hóa một số thông số. Và đây là bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số.

Cần lưu ý rằng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm thường được tìm trên một khoảng X nào đó, là toàn bộ miền của hàm hoặc một phần của miền. Bản thân khoảng X có thể là một đoạn thẳng, một khoảng mở , một khoảng vô hạn .

Trong bài viết này, chúng ta sẽ nói về việc tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm một biến đã cho rõ ràng y=f(x) .

Điều hướng trang.

Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số - định nghĩa, hình ảnh minh họa.

Hãy để chúng tôi tập trung ngắn gọn vào các định nghĩa chính.

Giá trị lớn nhất của hàm , mà cho bất kỳ bất đẳng thức là đúng.

Giá trị nhỏ nhất của hàm số y=f(x) trên khoảng X được gọi là giá trị như vậy , mà cho bất kỳ bất đẳng thức là đúng.

Các định nghĩa này là trực quan: giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) được chấp nhận trên khoảng đang xét với trục hoành.

điểm cố định là các giá trị của đối số tại đó đạo hàm của hàm biến mất.

Tại sao chúng ta cần các điểm dừng khi tìm các giá trị lớn nhất và nhỏ nhất? Câu trả lời cho câu hỏi này được đưa ra bởi định lý Fermat. Từ định lý này suy ra rằng nếu một hàm khả vi có một cực trị (cực tiểu cục bộ hoặc cực đại cục bộ) tại một điểm nào đó, thì điểm này là dừng. Như vậy, hàm số thường xuyên nhận giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) trên khoảng X tại một trong các điểm đứng yên của khoảng này.

Ngoài ra, một hàm thường có thể nhận các giá trị lớn nhất và nhỏ nhất tại các điểm không tồn tại đạo hàm bậc nhất của hàm này và chính hàm đó được xác định.

Hãy trả lời ngay một trong những câu hỏi phổ biến nhất về chủ đề này: "Liệu có thể luôn xác định giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm" không? Không phải luôn luôn. Đôi khi ranh giới của khoảng X trùng với ranh giới của miền của hàm hoặc khoảng X là vô hạn. Và một số hàm tại vô cực và trên biên của miền xác định có thể nhận cả giá trị vô cùng lớn và vô cùng nhỏ. Trong những trường hợp này, không thể nói gì về giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số.

Để rõ ràng, chúng tôi đưa ra một minh họa đồ họa. Nhìn vào những bức tranh - và nhiều điều sẽ trở nên rõ ràng.

Trên phân khúc

Ở hình đầu tiên, hàm số lấy giá trị lớn nhất (max y ) và nhỏ nhất (min y ) tại các điểm đứng yên bên trong đoạn [-6;6] .

Hãy xem xét trường hợp thể hiện trong hình thứ hai. Thay đổi phân khúc thành . Trong ví dụ này, giá trị nhỏ nhất của hàm đạt được tại điểm đứng yên và giá trị lớn nhất - tại điểm có trục hoành tương ứng với ranh giới bên phải của khoảng.

Trong hình số 3, các điểm biên của đoạn [-3;2] là các trục hoành của các điểm ứng với giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số.

Trong phạm vi mở

Trong hình thứ tư, hàm số nhận giá trị lớn nhất (max y ) và nhỏ nhất (min y ) tại các điểm đứng yên trong khoảng mở (-6;6).

Trên khoảng , không thể rút ra kết luận về giá trị lớn nhất.

ở vô cực

Trong ví dụ được hiển thị trong hình thứ bảy, hàm lấy giá trị lớn nhất (max y ) tại điểm dừng với x=1 hoành độ và giá trị nhỏ nhất (min y ) đạt được tại ranh giới bên phải của khoảng. Tại âm vô cực, các giá trị của hàm tiệm cận y=3 .

Trên khoảng đó hàm số không đạt giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất. Vì x=2 có xu hướng về bên phải, nên các giá trị của hàm có xu hướng tiến tới âm vô cùng (đường thẳng x=2 là một tiệm cận đứng) và khi trục hoành có xu hướng tiến tới cộng với vô cực, nên các giá trị của hàm tiệm cận với y=3 . Một minh họa đồ họa của ví dụ này được hiển thị trong Hình 8.

Thuật toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số liên tục trên đoạn .

Ta viết thuật toán cho phép tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn.

1. Chúng tôi tìm miền của chức năng và kiểm tra xem nó có chứa toàn bộ phân khúc hay không.
2. Chúng tôi tìm thấy tất cả các điểm tại đó đạo hàm đầu tiên không tồn tại và được chứa trong phân khúc (thông thường các điểm như vậy xảy ra trong các hàm có đối số dưới ký hiệu mô-đun và trong các hàm lũy thừa với số mũ phân số hữu tỉ). Nếu không có điểm nào như vậy, thì hãy chuyển sang điểm tiếp theo.
3. Chúng tôi xác định tất cả các điểm cố định rơi vào phân khúc. Để làm điều này, chúng tôi đánh đồng nó bằng 0, giải phương trình kết quả và chọn các gốc thích hợp. Nếu không có điểm đứng yên hoặc không có điểm nào thuộc đoạn thẳng thì chuyển sang bước tiếp theo.
4. Ta tính các giá trị của hàm tại các điểm đứng yên đã chọn (nếu có), tại các điểm không tồn tại đạo hàm bậc nhất (nếu có) và cả tại x=a và x=b .
5. Từ các giá trị thu được của hàm, chúng tôi chọn giá trị lớn nhất và nhỏ nhất - chúng sẽ lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất mong muốn của hàm.

Hãy phân tích thuật toán khi giải ví dụ tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn.

Thí dụ.

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số

• trên phân khúc;
• trên khoảng [-4;-1] .

Dung dịch.

Miền xác định của hàm là toàn bộ tập hợp các số thực, ngoại trừ số 0, nghĩa là . Cả hai phân đoạn đều nằm trong miền định nghĩa.

Ta tìm đạo hàm của hàm theo:

Rõ ràng, đạo hàm của hàm tồn tại tại mọi điểm thuộc các đoạn và [-4;-1] .

Điểm dừng được xác định từ phương trình . Gốc thực sự duy nhất là x=2 . Điểm bất động này rơi vào đoạn đầu tiên.

Đối với trường hợp đầu tiên, chúng tôi tính toán các giá trị của hàm tại các điểm cuối của đoạn và tại một điểm đứng yên, nghĩa là cho x=1 , x=2 và x=4 :

Do đó, giá trị lớn nhất của hàm đạt được tại x=1 và giá trị nhỏ nhất – tại x=2 .

Đối với trường hợp thứ hai, chúng tôi chỉ tính toán các giá trị của hàm ở cuối đoạn [-4;-1] (vì nó không chứa một điểm dừng):

Hãy để chức năng y=f(X) liên tục trên đoạn [ một, b]. Như đã biết, một hàm như vậy đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên khoảng này. Hàm có thể lấy các giá trị này tại một điểm trong của đoạn [ một, b], hoặc trên ranh giới của đoạn.

Để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [ một, b] cần thiết:

1) tìm các điểm tới hạn của hàm trong khoảng ( một, b);

2) tính toán các giá trị của hàm tại các điểm tới hạn được tìm thấy;

3) tính các giá trị của hàm ở cuối đoạn, nghĩa là cho x=một và x = b;

4) từ tất cả các giá trị được tính toán của hàm, chọn giá trị lớn nhất và nhỏ nhất.

Thí dụ. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số

trên phân khúc.

Tìm điểm tới hạn:

Những điểm này nằm bên trong phân khúc; y(1) = ‒ 3; y(2) = ‒ 4; y(0) = ‒ 8; y(3) = 1;

tại điểm x= 3 và tại điểm x= 0.

Khảo sát hàm lồi và điểm uốn.

Hàm số y = f (x) gọi là lồi lênở giữa (một, b) , nếu đồ thị của nó nằm dưới một tiếp tuyến được vẽ tại bất kỳ điểm nào của khoảng này và được gọi là lồi xuống (lõm) nếu đồ thị của nó nằm phía trên tiếp tuyến.

Điểm chuyển tiếp mà qua đó độ lồi được thay thế bằng độ lõm hoặc ngược lại được gọi là điểm uốn.

Thuật toán nghiên cứu độ lồi và điểm uốn:

1. Tìm các điểm tới hạn loại hai, nghĩa là các điểm tại đó đạo hàm cấp hai bằng 0 hoặc không tồn tại.

2. Đặt các điểm tới hạn trên trục số, chia nó thành các khoảng. Tìm dấu của đạo hàm cấp hai trên mỗi khoảng; nếu , thì hàm lồi lên trên, nếu , thì hàm lồi xuống dưới.

3. Nếu khi đi qua một điểm tới hạn loại hai thì nó đổi dấu và tại thời điểm này đạo hàm cấp hai bằng 0 thì điểm này là hoành độ của điểm uốn. Tìm tọa độ của nó.

Các đường tiệm cận của đồ thị hàm số. Khảo sát hàm số tiệm cận.

Sự định nghĩa.Đường tiệm cận của đồ thị hàm số gọi là dài, có thuộc tính là khoảng cách từ bất kỳ điểm nào của biểu đồ đến đường thẳng này có xu hướng bằng không với việc loại bỏ không giới hạn điểm biểu đồ khỏi gốc tọa độ.

Có ba loại tiệm cận: dọc, ngang và nghiêng.

Sự định nghĩa. gọi trực tiếp tiệm cận đứngđồ thị hàm số y = f(x), nếu ít nhất một trong các giới hạn một phía của hàm tại thời điểm này bằng vô cực, nghĩa là

đâu là điểm gián đoạn của hàm số tức là nó không thuộc miền xác định.

Thí dụ.

D( y) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)

x= 2 - điểm phá vỡ.

Sự định nghĩa. Dài y=Một gọi là tiệm cận ngangđồ thị hàm số y = f(x) tại, nếu

Thí dụ.

x
y

Sự định nghĩa. Dài y=kx +b (k≠ 0) được gọi là tiệm cận xiênđồ thị hàm số y = f(x)ở đâu

Đề án chung cho việc nghiên cứu các chức năng và âm mưu.

Thuật toán nghiên cứu chức năngy = f(x) :

1. Tìm tập xác định của hàm số D (y).

2. Tìm (nếu có thể) giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ (với x= 0 và tại y = 0).

3. Khảo sát hàm số chẵn, lẻ ( y (‒ x) = y (x) ‒ Ngang bằng; y(‒ x) = ‒ y (x) ‒ số lẻ).

4. Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số.

5. Tìm các khoảng tính đơn điệu của hàm số.

6. Tìm cực trị của hàm số.

7. Tìm khoảng lồi (lõm) và khoảng uốn của đồ thị hàm số.

8. Trên cơ sở kết quả nghiên cứu, hãy dựng đồ thị của hàm số.

Thí dụ. Khảo sát hàm số và vẽ đồ thị của nó.

1) D (y) =

x= 4 - điểm phá vỡ.

2) Khi nào x = 0,

(0; – 5) – giao điểm với ôi.

Tại y = 0,

3) y(‒ x)= hàm tổng quát (không chẵn không lẻ).

4) Chúng tôi điều tra các tiệm cận.

a) dọc

b) nằm ngang

c) tìm các tiệm cận xiên trong đó

-phương trình tiệm cận xiên

5) Trong phương trình này không yêu cầu tìm các khoảng đơn điệu của hàm số.

6)

Các điểm tới hạn này chia toàn bộ miền xác định của hàm số trên các khoảng (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) và (10; +∞). Thật thuận tiện để trình bày các kết quả thu được dưới dạng bảng sau.