Hình vuông.
Ý nghĩa của các hình thức. Tiêu chí của Sylvester

Tính từ "hình vuông" ngay lập tức gợi ý rằng một cái gì đó ở đây được kết nối với một hình vuông (bậc hai), và rất nhanh chóng chúng ta sẽ biết "cái gì đó" và hình thức là gì. Hóa ra ngay lập tức :)

Chào mừng bạn đến với bài học mới của tôi và như một phần khởi động ngay lập tức, chúng ta sẽ xem xét hình dạng sọc tuyến tính. Dạng tuyến tính biến gọi là đồng nhấtĐa thức bậc 1:

- một số con số cụ thể * (chúng tôi giả định rằng ít nhất một trong số chúng khác 0), và là các biến có thể nhận giá trị tùy ý.

* Trong chủ đề này, chúng tôi sẽ chỉ xem xét số thực .

Chúng ta đã gặp thuật ngữ "đồng nhất" trong bài học về hệ phương trình tuyến tính thuần nhất, và trong trường hợp này, nó ngụ ý rằng đa thức không có một hằng số thêm vào.

Ví dụ: - dạng tuyến tính của hai biến

Bây giờ hình dạng là bậc hai. dạng bậc hai biến gọi là đồng nhấtĐa thức bậc 2, mỗi thuật ngữ trong đó chứa bình phương của biến hoặc kép tích của các biến. Vì vậy, chẳng hạn, dạng bậc hai hai biến có dạng như sau:

Chú ý!Đây là một mục tiêu chuẩn, và bạn không cần phải thay đổi bất cứ điều gì trong đó! Mặc dù có vẻ ngoài “khủng khiếp”, mọi thứ đều đơn giản ở đây - các chỉ số con kép của các hằng số báo hiệu biến nào được bao gồm trong một hoặc một thuật ngữ khác:
- thuật ngữ này chứa sản phẩm và (hình vuông);
- đây là công việc;
- và đây là tác phẩm.

- Tôi ngay lập tức đoán trước được một sai lầm nghiêm trọng khi họ mất "trừ" của hệ số, không nhận ra rằng nó đề cập đến thuật ngữ:

Đôi khi có một phiên bản "trường học" của thiết kế trong tinh thần, nhưng sau đó chỉ đôi khi. Nhân tiện, hãy lưu ý rằng các hằng số ở đây không cho chúng ta biết bất cứ điều gì, và do đó, việc nhớ "ký hiệu dễ dàng" sẽ khó khăn hơn. Đặc biệt là khi có nhiều biến hơn.

Và dạng bậc hai của ba biến đã chứa sáu số hạng:

... tại sao số nhân "hai" lại được đặt trong thuật ngữ "hỗn hợp"? Điều này thật tiện lợi và sẽ sớm trở nên rõ ràng tại sao.

Tuy nhiên, chúng tôi sẽ viết ra công thức chung, rất tiện lợi để sắp xếp nó với một “trang tính”:

- nghiên cứu kỹ từng dòng - có gì sai cả!

Dạng bậc hai chứa các số hạng với các biến bình phương và các số hạng có tích các cặp của chúng (cm. công thức tổ hợp của sự kết hợp) . Không có gì khác - không có "x cô đơn" và không có hằng số được thêm vào (khi đó bạn không nhận được dạng bậc hai, nhưng không đồng nhấtĐa thức bậc 2).

Kí hiệu ma trận của một dạng bậc hai

Tùy thuộc vào các giá trị, dạng được xem xét có thể nhận cả giá trị dương và giá trị âm, và điều tương tự cũng áp dụng cho bất kỳ dạng tuyến tính nào - nếu ít nhất một trong các hệ số của nó khác 0, thì nó có thể là dương hoặc âm (tùy thuộc trên giá trị).

Biểu mẫu này được gọi là xen kẽ. Và nếu mọi thứ đều minh bạch với dạng tuyến tính, thì mọi thứ thú vị hơn nhiều với dạng bậc hai:

Rõ ràng là biểu mẫu này có thể nhận các giá trị của bất kỳ dấu hiệu nào, do đó, dạng bậc hai cũng có thể xen kẽ.

Nó có thể không phải:

- luôn luôn, trừ khi cả hai đều bằng không.

- cho bât ki ai vectơ ngoại trừ số không.

Và nói chung, nếu cho bất kỳ khác không vectơ, thì dạng bậc hai được gọi là tích cực nhất định; nếu - thì xác định phủ định.

Và mọi thứ sẽ ổn, nhưng tính xác định của dạng bậc hai chỉ hiển thị trong các ví dụ đơn giản và khả năng hiển thị này đã bị mất với một chút phức tạp:
– ?

Người ta có thể cho rằng biểu mẫu được xác định một cách tích cực, nhưng nó có thực sự như vậy không? Đột nhiên có những giá trị mà nó nhỏ hơn 0?

Trên tài khoản này, có định lý: Nếu mọi người giá trị riêng ma trận dạng bậc hai là số dương * , thì nó được xác định một cách tích cực. Nếu tất cả đều âm, thì nó là âm.

* Theo lý thuyết, nó được chứng minh rằng tất cả các giá trị riêng của một ma trận đối xứng thực có giá trị

Hãy viết ma trận dạng trên:
và từ phương trình hãy tìm cô ấy giá trị riêng:

Chúng tôi giải quyết vấn đề cũ tốt phương trình bậc hai:

, vì vậy hình thức được xác định tích cực, tức là đối với bất kỳ giá trị nào khác 0, nó lớn hơn 0.

Phương pháp được xem xét có vẻ đang hoạt động, nhưng có một điểm lớn NHƯNG. Đối với ma trận “ba x ba”, việc tìm kiếm các giá trị riêng là một nhiệm vụ lâu dài và khó chịu; với xác suất cao bạn nhận được một đa thức bậc 3 với các căn vô tỉ.

Làm sao để? Co một cach dê dang hơn!

Tiêu chí của Sylvester

Không, không phải Sylvester Stallone :) Đầu tiên, hãy để tôi nhắc bạn những gì trẻ vị thành niên góc cạnh ma trận. nó yếu tố quyết định cái "phát triển" từ góc trên bên trái của nó:

và cái cuối cùng chính xác bằng định thức của ma trận.

Bây giờ, trên thực tế, tiêu chuẩn:

1) Dạng bậc hai được xác định tích cực nếu và chỉ khi TẤT CẢ các phần tử góc của nó lớn hơn 0:.

2) Dạng bậc hai được xác định phủ định nếu và chỉ khi các chữ cái góc cạnh của nó thay thế nhau trong dấu hiệu, trong khi chữ cái thứ nhất nhỏ hơn 0 :,, nếu là chẵn hoặc, nếu là lẻ.

Nếu ít nhất một góc nhỏ có dấu ngược lại, thì dạng dấu hiệu xen kẽ. Nếu các dấu nhỏ góc có dấu "đó", nhưng có các số không trong số đó, thì đây là một trường hợp đặc biệt, mà tôi sẽ phân tích một chút sau, sau khi chúng ta nhấp vào các ví dụ phổ biến hơn.

Hãy để chúng tôi phân tích các góc nhỏ của ma trận :

Và điều này ngay lập tức cho chúng ta biết rằng hình thức không được xác định tiêu cực.

Sự kết luận: tất cả các góc nhỏ hơn 0, vì vậy hình dạng xác định một cách tích cực.

Có sự khác biệt với phương pháp eigenvalue không? ;)

Chúng tôi viết ma trận hình dạng từ ví dụ 1:

góc nhỏ thứ nhất của nó và góc thứ hai , khi đó biểu mẫu là dấu xen kẽ, tức là tùy thuộc vào các giá trị, có thể nhận cả giá trị âm và dương. Tuy nhiên, điều này là quá rõ ràng.

Lấy biểu mẫu và ma trận của nó từ Ví dụ 2:

ở đây ở tất cả mà không có cái nhìn sâu sắc không hiểu. Nhưng với tiêu chí Sylvester, chúng tôi không quan tâm:
, do đó, hình thức chắc chắn không phải là tiêu cực.

, và chắc chắn là không tích cực. (bởi vì tất cả các trẻ vị thành niên góc nhìn phải tích cực).

Sự kết luận: hình dạng xen kẽ.

Các ví dụ khởi động để tự giải quyết:

Ví dụ 4

Khảo sát các dạng bậc hai để xác định dấu hiệu

một)

Trong những ví dụ này, mọi thứ đều suôn sẻ (xem cuối bài), nhưng trên thực tế, để hoàn thành một nhiệm vụ như vậy Tiêu chí của Sylvester có thể không đủ.

Vấn đề là có những trường hợp "ranh giới", cụ thể là: nếu có khác không vectơ, sau đó hình dạng được xác định không tiêu cực, nếu - thì không tích cực. Các hình thức này có khác không vectơ mà.

Ở đây bạn có thể mang theo một "nút đàn accordion":

Làm nổi bật hình vuông đầy đủ, chúng tôi ngay lập tức thấy không tiêu cực form:, hơn nữa, nó bằng 0 đối với bất kỳ vectơ nào có tọa độ bằng nhau, ví dụ: .

Ví dụ về "Mirror" không tích cực hình thức nhất định:

và một ví dụ thậm chí còn tầm thường hơn:
- ở đây dạng bằng 0 đối với bất kỳ vectơ nào, trong đó là một số tùy ý.

Làm thế nào để bộc lộ tính không tiêu cực hoặc không tích cực của một hình thức?

Đối với điều này, chúng tôi cần khái niệm trẻ vị thành niên lớn ma trận. Phần tử chính là phần phụ bao gồm các phần tử nằm ở giao điểm của các hàng và cột có cùng số. Vì vậy, ma trận có hai phần tử chính của bậc 1:
(phần tử nằm ở giao điểm của hàng thứ nhất và cột thứ nhất);
(phần tử nằm ở giao điểm của hàng thứ 2 và cột thứ 2),

và một thứ chính thứ hai:
- bao gồm các phần tử của hàng thứ nhất, thứ hai và cột thứ nhất, thứ hai.

Ma trận "ba nhân ba" Có bảy trẻ vị thành niên chính và ở đây bạn đã phải vẫy bắp tay của mình:
- ba trẻ vị thành niên của đơn đặt hàng đầu tiên,
ba trẻ vị thành niên của đơn hàng thứ hai:
- bao gồm các phần tử của hàng thứ nhất, thứ hai và cột thứ nhất, thứ hai;
- bao gồm các phần tử của hàng 1, 3 và cột 1, 3;
- bao gồm các phần tử của hàng thứ 2, thứ 3 và cột thứ 2, thứ 3,
và một thứ tự thứ 3:
- bao gồm các phần tử của hàng 1, 2, 3 và các cột 1, 2 và 3.
Tập thể dụcđể hiểu: viết ra tất cả các phần tử chính của ma trận .
Chúng ta kiểm tra cuối bài và tiếp tục.

Tiêu chí Schwarzenegger:

1) Dạng bậc hai khác 0 * được xác định không tiêu cực nếu và chỉ khi TẤT CẢ những trẻ vị thành niên chính không tiêu cực(lớn hơn hoặc bằng 0).

* Dạng bậc hai không (suy biến) có tất cả các hệ số bằng không.

2) Dạng bậc hai khác không với ma trận được xác định không tích cực nếu và chỉ nếu nó:
- trẻ vị thành niên chính của đơn hàng đầu tiên không tích cực(nhỏ hơn hoặc bằng không);
là trẻ vị thành niên chính của đơn hàng thứ 2 không tiêu cực;
- trẻ vị thành niên chính của đơn hàng thứ 3 không tích cực(sự luân phiên đã bắt đầu);
…
- chính phụ của thứ tự thứ không tích cực, nếu là lẻ hoặc không tiêu cực, nếu là thậm chí.

Nếu ít nhất một dấu phụ có dấu ngược lại, thì dạng là dấu xen kẽ.

Hãy xem tiêu chí hoạt động như thế nào trong các ví dụ trên:

Hãy tạo một ma trận hình dạng và đầu tiên chúng ta hãy tính toán các phần tử góc - điều gì sẽ xảy ra nếu nó được xác định tích cực hoặc tiêu cực?

Tuy nhiên, các giá trị thu được không thỏa mãn tiêu chí Sylvester, giá trị nhỏ thứ hai không tiêu cực và điều này làm cho nó cần thiết để kiểm tra tiêu chí thứ 2 (trong trường hợp của tiêu chí thứ 2, nó sẽ không được hoàn thành một cách tự động, tức là, một kết luận được đưa ra ngay lập tức về sự thay thế dấu hiệu của biểu mẫu).

Trẻ vị thành niên chính của đơn hàng 1:
- tích cực
Bậc thứ hai chính phụ:
- không tiêu cực.

Do đó, TẤT CẢ trẻ vị thành niên chính đều không tiêu cực, vì vậy biểu mẫu không tiêu cực.

Hãy viết ma trận dạng , rõ ràng là tiêu chí Sylvester không được thỏa mãn. Nhưng chúng tôi cũng không nhận được các dấu hiệu ngược lại (vì cả hai góc nhỏ đều bằng 0). Do đó, chúng tôi kiểm tra việc thực hiện tiêu chí không tiêu cực / không tích cực. Trẻ vị thành niên chính của đơn hàng 1:
- không tích cực
Bậc thứ hai chính phụ:
- không tiêu cực.

Do đó, theo tiêu chí Schwarzenegger (điểm 2), hình thức được xác định là không tích cực.

Bây giờ, được trang bị đầy đủ, chúng tôi sẽ phân tích một vấn đề thú vị hơn:

Ví dụ 5

Kiểm tra dạng bậc hai về tính xác định của dấu hiệu

Biểu mẫu này được trang trí với thứ tự "alpha", có thể bằng bất kỳ số thực nào. Nhưng nó sẽ chỉ vui hơn quyết định.

Đầu tiên, chúng ta hãy viết ra ma trận biểu mẫu, có lẽ, nhiều người đã thích nghi để làm điều đó bằng miệng: trên đường chéo chính chúng tôi đặt các hệ số tại các ô vuông và tại các vị trí đối xứng - một nửa hệ số của các sản phẩm "hỗn hợp" tương ứng:

Hãy tính toán các trẻ vị thành niên góc cạnh:

Tôi sẽ mở rộng yếu tố quyết định thứ ba dọc theo dòng thứ 3:

Dạng bậc hai là một đa thức thuần nhất bậc 2 một số biến.

Dạng bậc hai trong các biến bao gồm các số hạng của hai loại: bình phương của các biến và tích theo cặp của chúng với một số hệ số. Người ta thường viết căn thức bậc hai dưới dạng lược đồ hình vuông sau:

Các cặp số hạng giống nhau được viết với cùng hệ số, sao cho mỗi cặp số hạng bằng một nửa hệ số của tích tương ứng của các biến. Do đó, mỗi dạng bậc hai được liên kết tự nhiên với ma trận hệ số của nó, là ma trận đối xứng.

Nó cũng thuận tiện để biểu diễn dạng bậc hai trong ký hiệu ma trận sau đây. Ký hiệu bằng X một cột các biến theo X - một hàng, tức là một ma trận được hoán vị bằng X. Sau đó

Dạng bậc hai được tìm thấy trong nhiều nhánh của toán học và các ứng dụng của nó.

Trong lý thuyết số và tinh thể học, các dạng bậc hai được xem xét dưới giả thiết rằng các biến chỉ nhận các giá trị nguyên. Trong hình học giải tích, dạng bậc hai là một phần của phương trình của một đường cong (hoặc bề mặt) có bậc. Trong cơ học và vật lý, dạng bậc hai biểu thị động năng của hệ dưới dạng các thành phần của vận tốc tổng quát, v.v. Nhưng, ngoài ra, việc nghiên cứu dạng bậc hai cũng cần thiết trong phân tích khi nghiên cứu hàm nhiều biến, trong các câu hỏi tìm lời giải, điều quan trọng là phải tìm ra cách hàm số đã cho trong vùng lân cận của điểm đã cho khác với hàm tuyến tính xấp xỉ nó như thế nào. Một ví dụ của bài toán loại này là nghiên cứu một hàm cho cực đại và cực tiểu.

Ví dụ, hãy xem xét bài toán khám phá cực đại và cực tiểu của một hàm hai biến có đạo hàm riêng liên tục theo thứ tự. Điều kiện cần thiết để một điểm có giá trị cực đại hoặc cực tiểu của một hàm là bằng 0 của đạo hàm riêng của bậc tại điểm. Hãy giả sử rằng điều kiện này được thỏa mãn. Chúng ta cho các biến x và y gia số nhỏ và k và xem xét gia số tương ứng của hàm. Theo công thức Taylor, gia số này, cho đến các bậc nhỏ cao hơn, bằng với dạng bậc hai trong đó các giá trị của hàm thứ hai đạo hàm tính tại điểm Nếu dạng bậc hai này dương với mọi giá trị của và k (ngoại trừ hàm số có cực tiểu tại một điểm; nếu âm thì hàm số có cực đại. Cuối cùng, nếu hình dạng có cả giá trị âm và dương, thì sẽ không có cực đại hoặc cực tiểu. Các hàm của một số lượng lớn hơn các biến được nghiên cứu theo cách tương tự.

Việc nghiên cứu các dạng bậc hai chủ yếu bao gồm việc nghiên cứu các vấn đề về sự tương đương của các dạng đối với một hoặc một tập hợp các phép biến đổi tuyến tính khác. Hai dạng bậc hai được cho là tương đương nếu một trong số chúng có thể được chuyển thành dạng kia bằng một trong các phép biến đổi của tập đã cho. Liên quan mật thiết đến vấn đề tương đương là vấn đề giảm hình thức, tức là chuyển đổi nó sang một số dạng có thể đơn giản nhất.

Trong các câu hỏi khác nhau liên quan đến dạng bậc hai, các tập hợp các phép biến đổi có thể chấp nhận được của các biến cũng được xem xét.

Trong các câu hỏi phân tích, bất kỳ phép biến đổi không kỳ dị nào của các biến đều được áp dụng; Đối với mục đích của hình học giải tích, các phép biến đổi trực giao được quan tâm nhiều nhất, tức là các phép biến đổi tương ứng với sự chuyển đổi từ một hệ tọa độ Descartes biến đổi sang một hệ tọa độ Descartes khác. Cuối cùng, trong lý thuyết số và tinh thể học, các phép biến đổi tuyến tính với hệ số nguyên và với định thức bằng một được xem xét.

Chúng ta sẽ xem xét hai trong số các vấn đề này: câu hỏi rút gọn một dạng bậc hai về dạng đơn giản nhất của nó bằng bất kỳ phép biến đổi không kỳ dị nào và câu hỏi tương tự cho phép biến đổi trực giao. Trước hết, chúng ta cùng tìm hiểu xem một ma trận có dạng bậc hai được biến đổi như thế nào dưới một phép biến đổi tuyến tính.

Giả sử, trong đó A là ma trận đối xứng của các hệ số dạng, X là một cột các biến.

Hãy thực hiện một phép biến đổi tuyến tính của các biến, viết nó dưới dạng viết tắt. Ở đây C biểu thị ma trận các hệ số của phép biến đổi này, X là một cột của các biến mới. Sau đó và do đó, để ma trận của dạng bậc hai được biến đổi là

Ma trận tự động biến thành đối xứng, điều này dễ dàng được xác minh. Như vậy, bài toán thu gọn một dạng bậc hai về dạng đơn giản nhất tương đương với bài toán rút một ma trận đối xứng về dạng đơn giản nhất bằng cách nhân nó từ bên trái sang bên phải với các ma trận hoán vị lẫn nhau.

Khái niệm về mẫu thức bậc hai. Ma trận dạng bậc hai. Dạng quy tắc một dạng bậc hai. Phương pháp Lagrange. Dạng chính tắc của một dạng bậc hai. Hạng, chỉ số và chữ ký của một dạng bậc hai. Dạng bậc hai xác định dương. Hệ số bốn.

Khái niệm về một dạng bậc hai: một hàm trên không gian vectơ cho bởi một đa thức thuần nhất bậc hai trong tọa độ của vectơ.

dạng bậc hai từ N không xác định được gọi là tổng, mỗi số hạng là bình phương của một trong các ẩn số này, hoặc tích của hai ẩn số khác nhau.

Ma trận bậc hai: Ma trận được gọi là ma trận của dạng bậc hai trong cơ sở đã cho. Nếu đặc tính trường không bằng 2, chúng ta có thể cho rằng ma trận của dạng bậc hai là đối xứng, nghĩa là.

Viết ma trận dạng bậc hai:

Do đó,

Ở dạng vectơ-ma trận, dạng bậc hai là:

A, ở đâu

Dạng chính tắc của một dạng bậc hai: Một dạng bậc hai được gọi là chính tắc nếu tất cả I E.

Bất kỳ dạng bậc hai nào cũng có thể được rút gọn thành dạng chính tắc bằng cách sử dụng các phép biến đổi tuyến tính. Trong thực tế, các phương pháp sau đây thường được sử dụng.

Phương pháp Lagrange : lựa chọn liên tiếp các hình vuông đầy đủ. Ví dụ, nếu

Sau đó, một thủ tục tương tự được thực hiện với dạng bậc hai vv Nếu ở dạng bậc hai, mọi thứ nhưng là sau đó, sau khi chuyển đổi sơ bộ, vấn đề được rút gọn thành thủ tục được xem xét. Vì vậy, nếu, ví dụ, thì chúng tôi đặt

Dạng chuẩn tắc của một bậc hai là: Dạng bậc hai thông thường là dạng bậc hai chính tắc trong đó tất cả các hệ số đều bằng +1 hoặc -1.

Xếp hạng, chỉ số và chữ ký của một dạng bậc hai: Bậc của thức bậc hai NHƯNGđược gọi là hạng của ma trận NHƯNG. Hạng của một dạng bậc hai không thay đổi dưới các phép biến đổi không đồng nhất của ẩn số.

Số lượng hệ số âm được gọi là chỉ số hình dạng âm.

Số số hạng dương ở dạng chính tắc được gọi là chỉ số quán tính dương của mẫu bậc hai, số hạng âm được gọi là chỉ số âm. Sự khác biệt giữa các chỉ số dương và âm được gọi là dấu của dạng bậc hai

Dạng bậc hai xác định dương: Thực dạng bậc hai được gọi là xác định dương (xác định âm) nếu với bất kỳ giá trị thực nào của các biến không đồng thời bằng 0

. (36)

Trong trường hợp này, ma trận còn được gọi là xác định dương (xác định âm).

Lớp các dạng xác định dương (xác định âm) là một phần của lớp các dạng không âm (tương ứng, không dương).

Quads: Quadric - N-dương siêu bề mặt trong N+ Không gian 1 chiều, được định nghĩa là tập các số không của đa thức bậc hai. Nếu bạn nhập tọa độ ( x 1 , x 2 , x n+1) (trong không gian Euclide hoặc affine), phương trình bậc hai tổng quát có dạng

Phương trình này có thể được viết lại nhỏ gọn hơn trong ký hiệu ma trận:

trong đó x = ( x 1 , x 2 , x n+1) là một vectơ hàng, x T là vectơ chuyển vị, Q là ma trận kích thước ( N+1) × ( N+1) (giả định rằng ít nhất một trong các phần tử của nó là khác không), P là một vectơ hàng và R là một hằng số. Thông thường, phần tư được coi là số thực hoặc số phức. Định nghĩa này có thể được mở rộng thành phần tư trong không gian xạ ảnh, xem bên dưới.

Nói một cách tổng quát hơn, tập hợp các số không của một hệ phương trình đa thức được gọi là một loại đại số. Do đó, một phần tư là một đa dạng đại số (affine hoặc projective) của bậc hai và thứ nguyên 1.

Phép biến hình mặt phẳng và không gian.

Định nghĩa phép biến hình. Định nghĩa chuyển động. tính chất chuyển động. Hai loại chuyển động: chuyển động của loại thứ nhất và chuyển động của loại thứ hai. Các ví dụ về phong trào. Biểu thức giải tích của chuyển động. Phân loại chuyển động của mặt phẳng (phụ thuộc vào sự có mặt của điểm cố định và đường bất biến). Nhóm chuyển động của mặt phẳng.

Định nghĩa phép biến hình: Định nghĩa. Phép biến hình mặt phẳng bảo toàn khoảng cách giữa các điểm được gọi là sự chuyển động(hoặc độ dời) của mặt phẳng. Phép biến hình phẳng được gọi là affine, nếu ba điểm bất kỳ nằm trên cùng một đường thẳng thành ba điểm cũng nằm trên cùng một đường thẳng và đồng thời bảo toàn quan hệ đơn giản của ba điểm.

Định nghĩa chuyển động:Đây là một phép biến đổi hình dạng bảo toàn khoảng cách giữa các điểm. Nếu hai hình được kết hợp chính xác với nhau bằng cách di chuyển, thì các hình này giống nhau, bằng nhau.

Thuộc tính chuyển động: mọi chuyển động bảo toàn định hướng của mặt phẳng là một phép tịnh tiến song song hoặc một phép quay; mọi chuyển động đổi hướng của mặt phẳng đều là một phép đối xứng trục hoặc một phép đối xứng trượt. Các điểm nằm trên một đường thẳng, khi chuyển động sẽ chuyển thành các điểm nằm trên một đường thẳng và thứ tự sắp xếp tương hỗ của chúng được giữ nguyên. Khi di chuyển, các góc giữa các nửa đường được bảo toàn.

Hai loại chuyển động: chuyển động của loại thứ nhất và chuyển động của loại thứ hai: Chuyển động của loại thứ nhất là những chuyển động bảo toàn hướng của các cơ sở của một hình nào đó. Chúng có thể được nhận ra với các chuyển động liên tục.

Chuyển động của loại thứ hai là những chuyển động làm thay đổi hướng của các bazơ sang hướng ngược lại. Chúng không thể được nhận ra bởi các chuyển động liên tục.

Ví dụ về chuyển động của loại thứ nhất là tịnh tiến và quay quanh một đường thẳng, và chuyển động của loại thứ hai là đối xứng tâm và gương.

Thành phần của bất kỳ số chuyển động nào thuộc loại thứ nhất là chuyển động của loại thứ nhất.

Thành phần của một số chẵn chuyển động của loại thứ hai là chuyển động của loại thứ nhất, và thành phần của một số lẻ chuyển động của loại thứ hai là chuyển động của loại thứ hai.

Ví dụ về phong trào:Chuyển giao song song. Cho a là một vectơ đã cho. Phép truyền song song với vectơ a là ánh xạ của mặt phẳng lên chính nó, trong đó mỗi điểm M được ánh xạ với điểm M 1 sao cho vectơ MM 1 bằng vectơ a.

Phép tịnh tiến song song là một chuyển động vì nó là một ánh xạ của mặt phẳng lên chính nó, bảo toàn khoảng cách. Một cách trực quan, chuyển động này có thể được biểu diễn dưới dạng sự dịch chuyển của toàn bộ mặt phẳng theo hướng của một vectơ a cho trước bằng chiều dài của nó.

Xoay . Hãy để chúng tôi chỉ định một điểm O trên mặt phẳng ( quay trung tâm) và đặt góc α ( góc quay). Phép quay của mặt phẳng quanh điểm O một góc α là ánh xạ của mặt phẳng lên chính nó, trong đó mỗi điểm M được ánh xạ với điểm M 1, OM = OM 1 và góc MOM 1 bằng α. Trong trường hợp này, điểm O vẫn ở vị trí của nó, tức là nó được hiển thị ở chính nó, và tất cả các điểm khác quay quanh điểm O theo cùng một hướng - theo chiều kim đồng hồ hoặc ngược chiều kim đồng hồ (hình vẽ cho thấy một sự quay ngược chiều kim đồng hồ).

Rẽ là một chuyển động vì nó là một ánh xạ của máy bay lên chính nó, điều này bảo toàn khoảng cách.

Biểu thức phân tích của chuyển động: mối liên hệ phân tích giữa tọa độ của ảnh trước và ảnh của điểm có dạng (1).

Phân loại chuyển động của mặt phẳng (phụ thuộc vào sự có mặt của điểm cố định và đường bất biến): Định nghĩa:

Một điểm trong mặt phẳng là bất biến (cố định) nếu dưới một phép biến hình cho trước, nó biến thành chính nó.

Ví dụ: Với phép đối xứng tâm, điểm của phép đối xứng là bất biến. Khi quay, điểm của tâm quay là bất biến. Với phép đối xứng trục, đường thẳng là bất biến - trục đối xứng là đường của các điểm bất biến.

Định lý: Nếu chuyển động không có điểm bất biến thì nó có ít nhất một hướng bất biến.

Ví dụ: Chuyển giao song song. Thật vậy, các đường thẳng song song với hướng này là bất biến như một hình nói chung, mặc dù nó không bao gồm các điểm bất biến.

Định lý: Nếu một số tia chuyển động, tia chuyển động thành chính nó, thì chuyển động này hoặc là một phép biến đổi đồng dạng hoặc là một phép đối xứng đối với đường thẳng chứa tia đã cho.

Do đó, dựa trên sự hiện diện của các điểm hoặc hình bất biến, có thể phân loại các chuyển động.

Tên phong trào	Điểm bất biến	Dòng bất biến
Phong trào của loại đầu tiên.
1 lượt	(giữa) - 0	Không
2. Sự biến đổi danh tính	tất cả các điểm của máy bay	tất cả đều thẳng
3. Đối xứng trung tâm	điểm 0 - trung tâm	tất cả các đường đi qua điểm 0
4. Chuyển giao song song	Không	tất cả đều thẳng
Phong trào của loại thứ hai.
5. Phép đối xứng trục.	tập hợp các điểm	trục đối xứng (thẳng) tất cả đều thẳng

Nhóm chuyển động máy bay: Trong hình học, các nhóm hình tự trùng hợp đóng một vai trò quan trọng. Nếu - một số hình trên mặt phẳng (hoặc trong không gian), thì chúng ta có thể coi là tập hợp tất cả các chuyển động đó của mặt phẳng (hoặc không gian), trong đó hình đó chuyển thành chính nó.

Tập hợp này là một nhóm. Ví dụ, đối với một tam giác đều, nhóm chuyển động của mặt phẳng nhận tam giác thành chính nó bao gồm 6 yếu tố: phép quay theo các góc xung quanh một điểm và phép đối xứng qua ba đường.

Chúng được hiển thị trong hình. 1 với các đường màu đỏ. Các phần tử của nhóm vị tự của một tam giác đều có thể được xác định theo cách khác. Để làm rõ điều này, chúng ta hãy đánh số các đỉnh của một tam giác đều với các số 1, 2, 3. có thể được nhập có điều kiện dưới dạng một trong các dấu ngoặc sau:

vân vân.

trong đó các số 1, 2, 3 biểu thị số lượng các đỉnh mà các đỉnh 1, 2, 3 đi qua là kết quả của chuyển động được xem xét.

Không gian xạ ảnh và mô hình của chúng.

Khái niệm không gian xạ ảnh và mô hình không gian xạ ảnh. Các dữ kiện cơ bản của hình học xạ ảnh. Một loạt các đường có tâm tại điểm O là một mô hình mặt phẳng xạ ảnh. điểm xạ ảnh. Mặt phẳng mở rộng là một mô hình của mặt phẳng xạ ảnh. Không gian afin hay Euclide ba chiều mở rộng là một mô hình không gian xạ ảnh. Hình ảnh mặt phẳng và hình không gian trong thiết kế song song.

Khái niệm không gian xạ ảnh và mô hình không gian xạ ảnh:

Không gian xạ ảnh trên một trường là một không gian bao gồm các đường (không gian con một chiều) của một số không gian tuyến tính trên một trường nhất định. Các không gian thẳng được gọi là dấu chấm không gian xạ ảnh. Định nghĩa này tự nó cho phép tổng quát hóa thành một phần tùy ý

Nếu nó có thứ nguyên, thì thứ nguyên của không gian xạ ảnh được gọi là số, và bản thân không gian xạ ảnh được ký hiệu và được gọi là liên kết với (để chỉ ra điều này, ký hiệu được thông qua).

Sự chuyển đổi từ không gian vectơ có chiều sang không gian xạ ảnh tương ứng được gọi là phóng xạ các khoảng trắng.

Các điểm có thể được mô tả bằng cách sử dụng tọa độ đồng nhất.

Sự kiện cơ bản của hình học xạ ảnh: Hình học xạ ảnh là một nhánh của hình học nghiên cứu các mặt phẳng và không gian xạ ảnh. Đặc điểm chính của hình học xạ ảnh là nguyên tắc đối ngẫu, điều này làm tăng thêm tính đối xứng duyên dáng cho nhiều thiết kế. Hình học xạ ảnh có thể được nghiên cứu cả từ quan điểm hình học thuần túy, và từ quan điểm giải tích (sử dụng tọa độ thuần nhất) và quan điểm đại số, coi mặt phẳng xạ ảnh như một cấu trúc trên một trường. Thông thường, và về mặt lịch sử, mặt phẳng xạ ảnh thực được coi là mặt phẳng Euclide với việc bổ sung một "đường ở vô cực".

Trong khi các thuộc tính của các hình mà hình học Euclid đề cập đến là Hệ mét(các giá trị cụ thể của góc, phân đoạn, diện tích) và sự tương đương của các hình tương đương với sự tương đồng(nghĩa là khi các hình có thể được dịch sang nhau bằng cách di chuyển trong khi vẫn bảo toàn các thuộc tính của hệ mét), thì có nhiều thuộc tính "sâu hơn" của các hình hình học được bảo toàn bằng các phép biến đổi thuộc loại tổng quát hơn là chuyển động. Hình học xạ ảnh nghiên cứu các tính chất của các hình là bất biến dưới lớp phép biến đổi xạ ảnh, cũng như bản thân các phép biến đổi này.

Hình học xạ ảnh bổ sung cho Euclidean bằng cách cung cấp các giải pháp đơn giản và đẹp mắt cho nhiều bài toán phức tạp do sự hiện diện của các đường thẳng song song. Lý thuyết xạ ảnh của phần hình nón đặc biệt đơn giản và trang nhã.

Có ba cách tiếp cận chính đối với hình học xạ ảnh: tiên đề độc lập, bổ sung hình học Euclid và cấu trúc trên một trường.

Tiên đề hóa

Một không gian xạ ảnh có thể được xác định bằng cách sử dụng một tập các tiên đề khác.

Coxeter cung cấp những điều sau:

1. Có một đường thẳng và một điểm không nằm trên đó.

2. Có ít nhất ba điểm trên mỗi dòng.

3. Có thể vẽ chính xác một đường thẳng đi qua hai điểm.

4. Nếu Một, B, C, và D những điểm khác nhau và AB và đĩa CD giao nhau, sau đó AC và BD giao nhau.

5. Nếu ABC là một mặt phẳng, thì có ít nhất một điểm không nằm trong mặt phẳng ABC.

6. Hai mặt phẳng phân biệt cắt nhau tại ít nhất hai điểm.

7. Ba điểm chéo của một tứ giác hoàn chỉnh không thẳng hàng.

8. Nếu có ba điểm trên một đường thẳng X X

Mặt phẳng xạ ảnh (không có chiều thứ ba) được xác định bởi các tiên đề hơi khác nhau:

1. Có thể vẽ chính xác một đường thẳng đi qua hai điểm.

2. Hai đường thẳng bất kỳ cắt nhau.

3. Có bốn điểm, trong đó không có ba điểm thẳng hàng.

4. Ba điểm chéo của tứ giác hoàn chỉnh không thẳng hàng.

5. Nếu có ba điểm trên một đường thẳng X là bất biến dưới tính tiên tri của φ, khi đó tất cả các điểm trên X bất biến đối với φ.

6. Định lý Desargues: Nếu hai tam giác là phối cảnh qua một điểm thì chúng là phối cảnh qua một đoạn thẳng.

Khi có chiều thứ ba, định lý Desargues có thể được chứng minh mà không cần giới thiệu điểm và đường lý tưởng.

Mặt phẳng mở rộng - mô hình mặt phẳng xạ ảnh: trong không gian affine A3, lấy một bó đường thẳng S (O) có tâm tại một điểm O và một mặt phẳng Π không đi qua tâm của bó: O 6∈ Π. Một bó các đường trong không gian affine là một mô hình của mặt phẳng xạ ảnh. Hãy thiết lập ánh xạ của tập hợp các điểm của mặt phẳng Π thành tập hợp các đường của bó S (Chết tiệt, cầu nguyện nếu bạn có câu hỏi này, tôi xin lỗi)

Không gian affine hoặc Euclid ba chiều mở rộng - mô hình không gian xạ ảnh:

Để thực hiện phép xạ ảnh ánh xạ, chúng ta lặp lại quá trình kéo dài chính thức mặt phẳng affine Π thành mặt phẳng xạ ảnh, Π, bổ sung cho mặt phẳng Π một tập hợp các điểm không phù hợp (M∞) sao cho: ((M∞)) = P0 (O). Vì trong ánh xạ ảnh nghịch đảo của mỗi mặt phẳng thuộc bó mặt phẳng S (O) là một đường thẳng trên mặt phẳng d nên rõ ràng tập hợp tất cả các điểm không đúng của mặt phẳng kéo dài: Π = Π ∩ (M∞) , (M∞), là một đường thẳng d∞ của mặt phẳng kéo dài, là ảnh nghịch đảo của mặt phẳng kỳ dị Π0: (d∞) = P0 (O) (= Π0). (I.23) Chúng ta hãy đồng ý rằng ở đây và dưới đây chúng ta sẽ hiểu đẳng thức cuối cùng P0 (O) = Π0 theo nghĩa là đẳng thức của các tập hợp điểm, nhưng có cấu trúc khác nhau. Bổ sung mặt phẳng affine với một đường thẳng không thích hợp, chúng ta đã đảm bảo rằng ánh xạ (I.21) trở thành ánh xạ trên tập hợp tất cả các điểm của mặt phẳng mở rộng:

Hình ảnh các hình phẳng và không gian trong thiết kế song song:

Trong hình học lập thể, các hình không gian được nghiên cứu, nhưng trong bản vẽ, chúng được mô tả dưới dạng các hình phẳng. Vậy thì, một hình không gian nên được mô tả như thế nào trên một mặt phẳng? Thông thường trong hình học, thiết kế song song được sử dụng cho việc này. Cho p là một mặt phẳng nào đó, l- một đường thẳng cắt nó (Hình 1). Thông qua một điểm tùy ý Một, không thuộc dòng l vẽ một đường thẳng song song với đường thẳng l. Giao điểm của đường thẳng này với mặt phẳng p được gọi là hình chiếu song song của điểm Mộtđến mặt phẳng p theo hướng của đường thẳng l. Hãy biểu thị nó Một". Nếu điểm Một thuộc dòng l, thì phép chiếu song song Một với mặt phẳng p được coi là giao điểm của đường thẳng l với mặt phẳng p.

Do đó, mọi điểm Một không gian được ánh xạ tới hình chiếu của nó Một"lên mặt phẳng p. Phép tương ứng này được gọi là phép chiếu song song lên mặt phẳng p theo phương của đường thẳng l.

Nhóm các phép biến đổi xạ ảnh. Ứng dụng vào giải quyết vấn đề.

Khái niệm về phép biến hình xạ ảnh của mặt phẳng. Các ví dụ về phép biến đổi mặt phẳng xạ ảnh. Các tính chất của phép biến đổi xạ ảnh. Homology, các tính chất của homology. Nhóm các phép biến đổi xạ ảnh.

Khái niệm về phép biến đổi mặt phẳng xạ ảnh: Khái niệm về phép biến đổi xạ ảnh khái quát khái niệm về hình chiếu trung tâm. Nếu ta thực hiện phép chiếu trọng tâm của mặt phẳng α lên mặt phẳng α 1 nào đó, thì hình chiếu của α 1 lên α 2, α 2 lên α 3, ... và cuối cùng là mặt phẳng α nào đó N lại trên α 1, thì thành phần của tất cả các phép chiếu này là phép biến hình xạ ảnh của mặt phẳng α; một chuỗi như vậy có thể bao gồm các phép chiếu song song.

Ví dụ về các phép biến đổi mặt phẳng xạ ảnh: Phép biến đổi xạ ảnh của một mặt phẳng tăng cường là ánh xạ 1-1 của nó lên chính nó, bảo toàn tính thẳng hàng của các điểm, hay nói cách khác, hình ảnh của bất kỳ đường thẳng nào cũng là một đường thẳng. Bất kỳ phép biến đổi xạ ảnh nào cũng là một thành phần của một chuỗi các phép chiếu trung tâm và song song. Phép biến đổi affine là một trường hợp đặc biệt của phép xạ ảnh, trong đó đường thẳng ở vô cùng đi vào chính nó.

Các tính chất của phép biến đổi xạ ảnh:

Dưới phép biến đổi xạ ảnh, ba điểm không nằm trên một đường thẳng được ánh xạ thành ba điểm không nằm trên một đường thẳng.

Dưới một phép biến đổi xạ ảnh, khung sẽ chuyển sang khung.

Dưới một phép biến đổi xạ ảnh, một đường thẳng thành một đường thẳng, một đường thẳng thành một đường thẳng.

Homology, thuộc tính tương đồng:

Phép biến đổi xạ ảnh của một mặt phẳng có một đường điểm bất biến và do đó một bút chì có các đường bất biến được gọi là phép đồng hình.

1. Một đường đi qua các điểm tương đồng không che phủ tương ứng là một đường bất biến;

2. Các đường thẳng đi qua các điểm tương đồng không che phủ tương ứng thuộc cùng một cây bút chì, tâm của chúng là một điểm bất biến.

3. Một điểm, ảnh của nó và tâm của phép đồng dạng nằm trên cùng một đường thẳng.

Nhóm các phép biến đổi xạ ảnh: coi một ánh xạ xạ ảnh của mặt phẳng xạ ảnh P 2 lên chính nó, nghĩa là, một phép biến đổi xạ ảnh của mặt phẳng này (P 2 ’= P 2).

Như trước đây, thành phần f của các phép biến đổi xạ ảnh f 1 và f 2 của mặt phẳng xạ ảnh P 2 là kết quả của việc thực hiện liên tiếp các phép biến đổi f 1 và f 2: f = f 2 ° f 1.

Định lý 1: Tập hợp H của tất cả các phép biến đổi xạ ảnh của mặt phẳng xạ ảnh P 2 là một nhóm thuộc thành phần của các phép biến đổi xạ ảnh.

Các dạng bậc hai xác định dương

Sự định nghĩa. Dạng bậc hai từ N không biết được gọi là tích cực nhất định, nếu hạng của nó bằng chỉ số quán tính dương và bằng số ẩn số.

Định lý. Dạng bậc hai là xác định dương nếu và chỉ khi nó nhận các giá trị dương trên bất kỳ tập giá trị biến nào khác.

Bằng chứng. Cho dạng bậc hai là một phép biến đổi tuyến tính không suy biến của ẩn số

trở lại bình thường

.

Đối với bất kỳ bộ giá trị biến nào khác 0, ít nhất một trong các số khác 0, tức là . Sự cần thiết của định lý được chứng minh.

Giả sử rằng dạng bậc hai nhận các giá trị dương trên bất kỳ tập biến nào khác 0, nhưng chỉ số quán tính của nó là dương. Bằng một phép biến đổi tuyến tính không suy biến của ẩn số

Hãy đưa nó trở lại bình thường. Không mất tính tổng quát, chúng ta có thể giả định rằng ở dạng bình thường này, bình phương của biến cuối cùng hoặc không có hoặc nhập nó với dấu trừ, tức là , ở đâu hoặc. Giả sử đó là một tập giá trị khác 0 của các biến, nhận được khi giải hệ phương trình tuyến tính

Trong hệ này, số phương trình bằng số biến và định thức của hệ là số khác không. Theo định lý Cramer, hệ thống có một nghiệm duy nhất và nó là nghiệm khác. Đối với bộ này. Mâu thuẫn với điều kiện. Chúng ta đi đến một mâu thuẫn với giả thiết, điều này chứng minh tính đầy đủ của định lý.

Sử dụng tiêu chí này, không thể xác định từ các hệ số xem một dạng bậc hai có xác định dương hay không. Câu trả lời cho câu hỏi này được đưa ra bởi một định lý khác, đối với công thức của nó, chúng tôi đưa ra một khái niệm nữa. Trẻ vị thành niên Ma trận đường chéo chính có phải trẻ vị thành niên nằm ở góc trên bên trái của nó không:

, , , … , .

Định lý.Dạng bậc hai là xác định dương nếu và chỉ khi tất cả các đường chéo chính của nó đều dương.

Bằng chứng chúng tôi sẽ thực hiện bằng phương pháp quy nạp toán học hoàn chỉnh về số N biến dạng bậc hai f.

Giả thuyết về cảm ứng. Giả sử rằng đối với dạng bậc hai với ít biến hơn N tuyên bố là đúng.

Xét dạng bậc hai từ N biến. Thu thập trong một dấu ngoặc vuông tất cả các thuật ngữ có chứa. Các số hạng còn lại lập ở dạng bậc hai trong các biến. Theo giả thuyết quy nạp, phát biểu đúng với nó.

Giả sử rằng dạng bậc hai là xác định dương. Khi đó dạng bậc hai cũng là xác định dương. Nếu chúng ta giả định rằng đây không phải là trường hợp, thì có một tập giá trị biến khác 0 , mà và tương ứng, , điều này mâu thuẫn với thực tế rằng dạng bậc hai là xác định dương. Theo giả thuyết quy nạp, tất cả các đường chéo chính của dạng bậc hai đều dương, tức là tất cả các trẻ vị thành niên chính đầu tiên của một dạng bậc hai f là tích cực. Chính phụ cuối cùng của một dạng bậc hai – là yếu tố quyết định ma trận của nó. Định thức này là số dương, vì dấu của nó trùng với dấu của ma trận ở dạng chuẩn của nó, tức là với dấu của định thức ma trận nhận dạng.

Cho tất cả các đường chéo chính của dạng bậc hai là dương. Khi đó, tất cả các đường chéo chính của dạng bậc hai đều dương từ đẳng thức . Theo giả thiết quy nạp, dạng bậc hai là xác định dương, do đó có một phép biến đổi tuyến tính không suy biến làm giảm dạng về dạng tổng bình phương của các biến mới. Phép biến đổi tuyến tính này có thể được mở rộng thành phép biến đổi tuyến tính không sinh ra của tất cả các biến bằng cách thiết lập. Dạng bậc hai được rút gọn bởi phép biến đổi này thành dạng

Dạng bậc hai

dạng bậc hai f (x 1, x 2, ..., x n) của n biến được gọi là tổng, mỗi số hạng là bình phương của một trong các biến hoặc tích của hai biến khác nhau, được lấy với một hệ số nhất định: f (x 1, x 2, ..., x n) = (a ij = a ji).

Ma trận A, bao gồm các hệ số này, được gọi là ma trận dạng bậc hai. Nó luôn luôn đối xứng ma trận (tức là ma trận đối xứng qua đường chéo chính, a ij = a ji).

Trong ký hiệu ma trận, dạng bậc hai có dạng f (X) = X T AX, trong đó

Thật

Ví dụ, chúng ta hãy viết căn thức bậc hai dưới dạng ma trận.

Để làm điều này, chúng ta tìm một ma trận có dạng bậc hai. Các phần tử đường chéo của nó bằng các hệ số tại bình phương của các biến, và các phần tử còn lại bằng một nửa các hệ số tương ứng của dạng bậc hai. Đó là lý do tại sao

Cho cột ma trận của các biến X có được bằng một phép biến đổi tuyến tính không suy biến của cột ma trận Y, tức là X = CY, trong đó C là ma trận không suy biến bậc n. Khi đó dạng bậc hai
f (X) \ u003d X T AX \ u003d (CY) T A (CY) \ u003d (Y T C T) A (CY) \ u003d Y T (C T AC) Y.

Như vậy, dưới một phép biến đổi tuyến tính không suy biến C, ma trận của bậc hai có dạng: A * = C T AC.

Ví dụ, hãy tìm dạng bậc hai f (y 1, y 2) thu được từ dạng bậc hai f (x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 bằng một phép biến đổi tuyến tính.

Dạng bậc hai được gọi là kinh điển(Nó có chế độ xem kinh điển) nếu tất cả các hệ số của nó a ij = 0 với i ≠ j, tức là
f (x 1, x 2, ..., x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + ... + a nn x n 2 =.

Ma trận của nó là đường chéo.

Định lý(bằng chứng không được đưa ra ở đây). Bất kỳ dạng bậc hai nào cũng có thể được rút gọn thành dạng chính tắc bằng cách sử dụng một phép biến đổi tuyến tính không suy biến.

Ví dụ, chúng ta hãy rút gọn về dạng chính tắc ở dạng bậc hai
f (x 1, x 2, x 3) \ u003d 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3.

Để thực hiện việc này, trước tiên hãy chọn hình vuông đầy đủ cho biến x 1:

f (x 1, x 2, x 3) \ u003d 2 (x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 \ u003d 2 (x 1 + x 2 ) 2 - 5x 2 2 - x 2 x 3.

Bây giờ chúng ta chọn hình vuông đầy đủ cho biến x 2:

f (x 1, x 2, x 3) \ u003d 2 (x 1 + x 2) 2 - 5 (x 2 2 - 2 * x 2 * (1/10) x 3 + (1/100) x 3 2 ) - (5/100) x 3 2 =
\ u003d 2 (x 1 + x 2) 2 - 5 (x 2 - (1/10) x 3) 2 - (1/20) x 3 2.

Sau đó, một phép biến đổi tuyến tính không suy biến y 1 \ u003d x 1 + x 2, y 2 \ u003d x 2 - (1/10) x 3 và y 3 \ u003d x 3 đưa dạng bậc hai này về dạng chính tắc f (y 1 , y 2, y 3) = 2y 1 2 - 5y 2 2 - (1/20) y 3 2.

Lưu ý rằng dạng chính tắc của một dạng bậc hai được xác định một cách mơ hồ (cùng một dạng bậc hai có thể được rút gọn thành dạng chính tắc theo những cách khác nhau). Tuy nhiên, các dạng chính tắc thu được bằng nhiều phương pháp khác nhau có một số đặc tính chung. Đặc biệt, số hạng có hệ số dương (âm) của dạng bậc hai không phụ thuộc vào cách rút gọn dạng này về dạng này (ví dụ, trong ví dụ đang xét sẽ luôn có hai hệ số âm và một hệ số dương). Thuộc tính này được gọi là định luật quán tính của dạng bậc hai.

Hãy để chúng tôi xác minh điều này bằng cách rút gọn cùng một dạng bậc hai về dạng chính tắc theo một cách khác. Hãy bắt đầu phép biến đổi với biến x 2:
f (x 1, x 2, x 3) \ u003d 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 \ u003d -3x 2 2 - x 2 x 3 + 4x 1 x 2 + 2x 1 2 \ u003d - 3 (x 2 2 -
- 2 * x 2 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) + ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2) - 3 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2 + 2x 1 2 =
\ u003d -3 (x 2 - (1/6) x 3 - (2/3) x 1) 2 - 3 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2 + 2x 1 2 \ u003d f (y 1, y 2, y 3) = -3y 1 2 -
-3y 2 2 + 2y 3 2, trong đó y 1 \ u003d - (2/3) x 1 + x 2 - (1/6) x 3, y 2 \ u003d (2/3) x 1 + (1/6 ) x 3 và y 3 = x 1. Ở đây, một hệ số dương 2 cho y 3 và hai hệ số âm (-3) cho y 1 và y 2 (và sử dụng một phương pháp khác, chúng tôi có một hệ số dương 2 cho y 1 và hai hệ số âm - (-5) cho y 2 và (-1 / 20) cho y 3).

Cũng cần lưu ý rằng hạng của ma trận có dạng bậc hai, được gọi là bậc của dạng bậc hai, bằng với số hệ số khác không của dạng chính tắc và không thay đổi theo phép biến đổi tuyến tính.

Dạng bậc hai f (X) được gọi là tích cực (phủ định) chắc chắn, nếu đối với tất cả các giá trị của các biến không đồng thời bằng 0, thì nó là giá trị dương, tức là f (X)> 0 (âm, tức là
f (X)< 0).

Ví dụ, dạng bậc hai f 1 (X) \ u003d x 1 2 + x 2 2 là xác định dương, bởi vì là tổng bình phương và dạng bậc hai f 2 (X) \ u003d -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 là xác định âm, bởi vì biểu diễn nó có thể được biểu diễn dưới dạng f 2 (X) \ u003d - (x 1 - x 2) 2.

Trong hầu hết các tình huống thực tế, hơi khó khăn hơn để thiết lập tính xác định dấu của một dạng bậc hai, vì vậy một trong những định lý sau đây được sử dụng cho điều này (chúng tôi xây dựng chúng mà không cần chứng minh).

Định lý. Dạng bậc hai là dương (âm) xác định nếu và chỉ khi tất cả các giá trị riêng của ma trận của nó là dương (âm).

Định lý (tiêu chí của Sylvester). Dạng bậc hai là xác định dương nếu và chỉ khi tất cả các phần tử chính của ma trận dạng này đều dương.

Major (góc) nhỏĐịnh thức bậc k của ma trận A bậc n được gọi là định thức của ma trận, bao gồm k hàng và cột đầu tiên của ma trận A ().

Lưu ý rằng đối với các dạng bậc hai xác định phủ định, các dấu hiệu của các dấu phụ chính thay thế và các dấu phụ bậc nhất phải là số âm.

Ví dụ, chúng ta kiểm tra dạng thức bậc hai f (x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 về tính xác định của dấu.

= (2 - l) *
* (3 - l) - 4 \ u003d (6 - 2l - 3l + l 2) - 4 \ u003d l 2 - 5l + 2 \ u003d 0; D \ u003d 25 - 8 \ u003d 17;
. Do đó, dạng bậc hai là xác định dương.

Cách 2. Con chính bậc nhất của ma trận A D 1 = a 11 = 2> 0. Con chính bậc hai D 2 = = 6 - 4 = 2> 0. Do đó, theo tiêu chí Sylvester, dạng bậc hai là xác định dương.

Chúng ta kiểm tra một dạng bậc hai khác về tính xác định của dấu, f (x 1, x 2) \ u003d -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

Cách 1. Hãy xây dựng ma trận dạng bậc hai А =. Phương trình đặc trưng sẽ có dạng = (-2 - l) *
* (- 3 - l) - 4 \ u003d (6 + 2l + 3l + l 2) - 4 \ u003d l 2 + 5l + 2 \ u003d 0; D \ u003d 25 - 8 \ u003d 17;
. Do đó, dạng bậc hai là xác định âm.