Khái niệm về phương trình đường thẳng. Xác định một đường thẳng bằng cách sử dụng điều kiện phương trình cho sự song song của các đường thẳng

xác định đường cong trên mặt phẳng. Một nhóm số hạng được gọi là dạng bậc hai, - dạng tuyến tính. Nếu một dạng bậc hai chỉ chứa các bình phương của các biến thì dạng này được gọi là chính tắc, và các vectơ của một cơ sở trực chuẩn trong đó dạng bậc hai có dạng chính tắc được gọi là các trục chính của dạng bậc hai.
Ma trận được gọi là ma trận dạng bậc hai. Ở đây a 1 2 = a 2 1. Để quy ma trận B về dạng đường chéo cần lấy các vectơ riêng của ma trận này làm cơ sở thì , trong đó λ 1 và λ 2 là các giá trị riêng của ma trận B.
Trên cơ sở các vectơ riêng của ma trận B, dạng bậc hai sẽ có dạng chính tắc: λ 1 x 2 1 +λ 2 y 2 1 .
Hoạt động này tương ứng với phép quay các trục tọa độ. Sau đó, gốc tọa độ được dịch chuyển, do đó loại bỏ hình dạng tuyến tính.
Dạng chính tắc của đường cong bậc hai: λ 1 x 2 2 +λ 2 y 2 2 =a, và:
a) nếu λ 1 >0; λ 2 >0 là hình elip, cụ thể khi λ 1 =λ 2 thì nó là hình tròn;
b) nếu λ 1 >0, λ 2<0 (λ 1 <0, λ 2 >0) chúng ta có một cường điệu;
c) nếu λ 1 =0 hoặc λ 2 =0 thì đường cong là một parabol và sau khi quay trục tọa độ, nó có dạng λ 1 x 2 1 =ax 1 +by 1 +c (ở đây λ 2 =0). Phần bù cho một hình vuông đầy đủ, chúng ta có: λ 1 x 2 2 =b 1 y 2.

Ví dụ. Phương trình của đường cong 3x 2 +10xy+3y 2 -2x-14y-13=0 được cho trong hệ tọa độ (0,i,j), trong đó i =(1,0) và j =(0,1) .
1. Xác định loại đường cong.
2. Đưa phương trình về dạng chính tắc và dựng đường cong trong hệ tọa độ ban đầu.
3. Tìm các phép biến đổi tọa độ tương ứng.

Giải pháp. Chúng ta đưa dạng bậc hai B=3x 2 +10xy+3y 2 về các trục chính, tức là về dạng chính tắc. Ma trận có dạng bậc hai này là . Chúng ta tìm các giá trị riêng và vectơ riêng của ma trận này:

Phương trình đặc trưng:
; λ 1 =-2, λ 2 =8. Loại dạng bậc hai: .
Phương trình ban đầu xác định một hyperbol.
Lưu ý rằng dạng của dạng bậc hai là mơ hồ. Bạn có thể viết 8x 1 2 -2y 1 2 , nhưng dạng đường cong vẫn giữ nguyên - hyperbol.
Chúng ta tìm các trục chính của dạng bậc hai, tức là các vectơ riêng của ma trận B. .
Vector riêng tương ứng với số λ=-2 tại x 1 =1: x 1 =(1,-1).
Là một vectơ riêng đơn vị, chúng ta lấy vectơ , ở đây là độ dài của vectơ x 1 .
Tọa độ của vectơ riêng thứ hai tương ứng với giá trị riêng thứ hai λ=8 được tìm thấy từ hệ thống
.
1, j 1).
Theo công thức (5) đoạn 4.3.3. Hãy chuyển sang một cơ sở mới:
hoặc

; . (*)

Chúng ta nhập các biểu thức x và y vào phương trình ban đầu và sau khi biến đổi, chúng ta thu được: .
Chọn các ô vuông hoàn chỉnh: .
Chúng tôi thực hiện dịch song song các trục tọa độ sang gốc mới: , .
Nếu chúng ta đưa các quan hệ này vào (*) và giải các đẳng thức này cho x 2 và y 2, chúng ta thu được: , . Trong hệ tọa độ (0*, i 1, j 1) phương trình này có dạng: .
Để xây dựng một đường cong, chúng ta xây dựng một đường cong mới trong hệ tọa độ cũ: trục x 2 = 0 được xác định trong hệ tọa độ cũ theo phương trình x-y-3=0 và trục y 2 = 0 theo phương trình x+ y-1=0. Gốc của hệ tọa độ mới 0 * (2,-1) là giao điểm của các đường này.
Để đơn giản hóa nhận thức, chúng ta sẽ chia quá trình xây dựng đồ thị thành 2 giai đoạn:
1. Chuyển sang hệ tọa độ có các trục x 2 =0, y 2 =0, được xác định trong hệ tọa độ cũ bằng các phương trình lần lượt là x-y-3=0 và x+y-1=0.

2. Xây dựng đồ thị của hàm số trong hệ tọa độ thu được.

Phiên bản cuối cùng của biểu đồ trông như thế này (xem. Giải pháp: Tải xuống giải pháp

Bài tập. Chứng minh rằng mỗi phương trình sau đây xác định một hình elip và tìm tọa độ tâm C, bán trục, độ lệch tâm, phương trình đường chuẩn của nó. Vẽ một hình elip trên hình vẽ, biểu thị các trục đối xứng, tiêu điểm và đường chuẩn.
Giải pháp.

Chúng ta hãy xem xét một mối quan hệ của hình thức F(x, y)=0, kết nối các biến x Và Tại. Chúng ta sẽ gọi sự bình đẳng (1) phương trình với hai biến x, y, nếu đẳng thức này không đúng với mọi cặp số X Và Tại. Ví dụ về các phương trình: 2x + 3y = 0, x 2 + y 2 – 25 = 0,

sin x + sin y – 1 = 0.

Nếu (1) đúng với mọi cặp số x và y thì nó được gọi là danh tính. Ví dụ về danh tính: (x + y) 2 - x 2 - 2xy - y 2 = 0, (x + y)(x - y) - x 2 + y 2 = 0.

Chúng ta sẽ gọi phương trình (1) phương trình của một tập hợp điểm (x; y), nếu phương trình này được thỏa mãn bởi tọa độ X Và Tại bất kỳ điểm nào của tập hợp và không được thỏa mãn bởi tọa độ của bất kỳ điểm nào không thuộc tập hợp này.

Một khái niệm quan trọng trong hình học giải tích là khái niệm phương trình đường thẳng. Cho một hệ tọa độ hình chữ nhật và một đường thẳng nhất định trên mặt phẳng α.

Sự định nghĩa. Phương trình (1) được gọi là phương trình đường thẳng α (trong hệ tọa độ đã tạo), nếu phương trình này được thỏa mãn bởi tọa độ X Và Tại bất kỳ điểm nào nằm trên đường thẳng α , và không thỏa mãn tọa độ của bất kỳ điểm nào không nằm trên đường thẳng này.

Nếu (1) là phương trình của đường thẳng α, thì chúng ta sẽ nói phương trình đó (1) định nghĩa (bộ)đường kẻ α.

Đường kẻ α có thể được xác định không chỉ bằng phương trình có dạng (1), mà còn bằng phương trình có dạng

F(P,φ) = 0 chứa tọa độ cực.

• phương trình đường thẳng có hệ số góc;

Cho một đường thẳng không vuông góc với trục Ồ. Hãy gọi góc nhọn cho đường thẳng tới trục Ồ góc α , trục cần quay tới đó Ồ sao cho chiều dương trùng với một chiều của đường thẳng. Tiếp tuyến của góc nghiêng của đường thẳng với trục Ồ gọi điện dốc dòng này và được biểu thị bằng chữ cái ĐẾN.

	K=tg α
		(1)

Chúng ta hãy suy ra phương trình của đường thẳng này nếu chúng ta biết nó ĐẾN và giá trị trong đoạn OB, nó cắt trên trục OU.

(2)

y=kx+b

Hãy ký hiệu bằng M"điểm mặt phẳng (x; y). Nếu chúng ta vẽ thẳng BN Và N.M., song song với các trục thì r BNM – hình hộp chữ nhật. T. MC C BM <=>, khi các giá trị N.M. Và BN thỏa mãn điều kiện: . Nhưng NM=CM-CN=CM-OB=yb, BN=x=> xét đến (1) ta thu được điểm M(x;y)C trên dòng này<=>, khi tọa độ của nó thỏa mãn phương trình: =>

Phương trình (2) được gọi là phương trình đường thẳng có hệ số góc. Nếu như K=0, thì đường thẳng song song với trục Ồ và phương trình của nó là y = b.

• phương trình đường thẳng đi qua hai điểm;

(4)

Cho hai điểm M 1 (x 1; y 1) Và M2 (x2; y2). Lấy tại điểm (3) M(x;y) phía sau M 2 (x 2; y 2), chúng tôi nhận được y 2 -y 1 =k(x 2 - x 1). Xác định k từ đẳng thức cuối cùng và thay nó vào phương trình (3), chúng ta thu được phương trình mong muốn của đường thẳng: . Đây là phương trình nếu y 1 ≠ y 2, có thể được viết như:

Nếu như y 1 = y 2, thì phương trình của đường thẳng mong muốn có dạng y = y 1. Trong trường hợp này đường thẳng song song với trục Ồ. Nếu như x 1 = x 2, thì đường thẳng đi qua các điểm M 1 Và M 2, song song với trục OU, phương trình của nó có dạng x = x 1.

• phương trình đường thẳng đi qua một điểm có hệ số góc cho trước;

(3)

Аx + Вy + С = 0

Định lý. Trong hệ tọa độ chữ nhật ôi bất kỳ đường thẳng nào được cho bởi một phương trình bậc một:

và ngược lại, phương trình (5) cho các hệ số tùy ý A, B, C (MỘT Và B ≠ 0đồng thời) xác định một đường thẳng nhất định trong hệ tọa độ hình chữ nhật Ồ.

Bằng chứng.

Đầu tiên chúng ta hãy chứng minh khẳng định đầu tiên. Nếu đường thẳng không vuông góc Ồ, thì nó được xác định theo phương trình bậc một: y = kx + b, I E. phương trình dạng (5), trong đó

A = k, B = -1 Và C = b. Nếu đường thẳng vuông góc Ồ, thì tất cả các điểm của nó có cùng trục hoành, bằng giá trị α đoạn thẳng bị cắt bởi một đường thẳng trên trục Ồ.

Phương trình của đường này có dạng x = α, những thứ kia. cũng là phương trình bậc một có dạng (5), trong đó A = 1, B = 0, C = - α.Điều này chứng minh tuyên bố đầu tiên.

Hãy chứng minh khẳng định ngược lại. Cho phương trình (5) và ít nhất một trong các hệ số MỘT Và B ≠ 0.

Nếu như B ≠ 0, thì (5) có thể viết dưới dạng . Phẳng , ta thu được phương trình y = kx + b, I E. một phương trình có dạng (2) xác định một đường thẳng.

Nếu như B = 0, Cái đó A ≠ 0 và (5) có dạng . Ký hiệu bằng α, chúng tôi nhận được

x = α, I E. phương trình đường thẳng vuông góc O.

Các đường được xác định trong hệ tọa độ chữ nhật bằng phương trình bậc một được gọi là dòng lệnh đầu tiên.

Phương trình của dạng Rìu + Wu + C = 0 là không đầy đủ, tức là Một số hệ số bằng 0.

1) C = 0; À + Vũ = 0 và xác định đường thẳng đi qua gốc tọa độ.

2) B = 0 (A ≠ 0); phương trình Rìu + C = 0 OU.

3) A = 0 (B ≠ 0); Vũ + C = 0 và xác định đường thẳng song song Ồ.

Phương trình (6) được gọi là phương trình đường thẳng “theo đoạn”. số MỘT Và b là các giá trị của các đoạn thẳng cắt trên các trục tọa độ. Dạng phương trình này thuận tiện cho việc xây dựng hình học của một đường thẳng.

• phương trình bình thường của một đường thẳng;

Аx + Вy + С = 0 là phương trình tổng quát của một đường thẳng nhất định và (5) x vì α + y sin α – p = 0(7)

phương trình bình thường của nó.

Vì phương trình (5) và (7) xác định cùng một đường thẳng, nên ( A 1x + B 1y + C 1 = 0 Và

A 2x + B 2y + C 2 = 0 => ) các hệ số của các phương trình này tỷ lệ thuận. Điều này có nghĩa là bằng cách nhân tất cả các số hạng của phương trình (5) với một hệ số M nhất định, chúng ta thu được phương trình MA x + MV y + MS = 0, trùng với phương trình (7) tức là

MA = cos α, MB = sin α, MC = - P(8)

Để tìm hệ số M, chúng ta bình phương hai đẳng thức đầu tiên và cộng:

M 2 (A 2 + B 2) = cos 2 α + sin 2 α = 1

(9)

§ 9. Khái niệm phương trình đường thẳng.

Xác định một đường bằng phương trình

Bình đẳng dạng F (x, y) = 0 gọi là phương trình hai biến x, vâng, nếu nó không đúng với mọi cặp số x, y. Họ nói hai con số x = x 0 , y=y 0, thỏa mãn một số phương trình có dạng F(x, y)=0, nếu khi thay thế những con số này thay vì các biến X Và Tại trong phương trình, vế trái của nó biến mất.

Phương trình của một đường thẳng cho trước (trong hệ tọa độ xác định) là phương trình có hai biến, thỏa mãn tọa độ của từng điểm nằm trên đường thẳng này và không thỏa mãn bởi tọa độ của từng điểm không nằm trên nó.

Trong phần tiếp theo, thay vì biểu thức “phương trình đường thẳng được cho F(x, y) = 0" chúng ta thường nói ngắn gọn: cho một dòng F(x, y) = 0.

Nếu cho phương trình của hai đường thẳng F(x, y) = 0 Và Ф(x, y) = Q, thì giải pháp chung của hệ thống

Cung cấp cho tất cả các điểm giao nhau của họ. Chính xác hơn, mỗi cặp số là nghiệm chung của hệ này sẽ xác định một trong các giao điểm.

1)X 2 +y 2 = 8, x-y = 0;

2) X 2 +y 2 -16x+4Tại+18 = 0, x + y= 0;

3) X 2 +y 2 -2x+4Tại -3 = 0, X 2 + y 2 = 25;

4) X 2 +y 2 -8x+10у+40 = 0, X 2 + y 2 = 4.

163. Điểm được cho trong hệ tọa độ cực

Xác định điểm nào trong số các điểm này nằm trên đường thẳng xác định bởi phương trình trong tọa độ cực  = 2 cos  và điểm nào không nằm trên đường thẳng đó. Đường nào được xác định bởi phương trình này? (Vẽ nó trên bản vẽ :)

164. Trên đường thẳng xác định bởi phương trình  =
, tìm các điểm có góc cực bằng các số sau: a) ,b) - ,c) 0, d) . Dòng nào được xác định bởi phương trình này?

(Xây dựng nó trên bản vẽ.)

165. Trên đường thẳng xác định bởi phương trình  =
, tìm những điểm có bán kính cực bằng các số sau: a) 1, b) 2, c)
. Dòng nào được xác định bởi phương trình này? (Xây dựng nó trên bản vẽ.)

166. Xác định các đường thẳng trong tọa độ cực bằng các phương trình sau (xây dựng trên hình vẽ):

1)  = 5; 2)  = ; 3)  = ; 4)  cos  = 2; 5)  sin  = 1;

6)  = 6 cos ; 7)  = 10 sin; 8) tội lỗi  =

Xét hàm được cho bởi công thức (phương trình)

Hàm này, và do đó phương trình (11), tương ứng với một đường thẳng được xác định rõ trên mặt phẳng, là đồ thị của hàm này (xem Hình 20). Từ định nghĩa đồ thị của hàm số, ta suy ra rằng đường thẳng này bao gồm những điểm đó và chỉ những điểm đó trên mặt phẳng có tọa độ thỏa mãn phương trình (11).

Hãy để nó bây giờ

Đường thẳng là đồ thị của hàm này, bao gồm những điểm đó và chỉ những điểm đó trên mặt phẳng có tọa độ thỏa mãn phương trình (12). Điều này có nghĩa là nếu một điểm nằm trên đường thẳng đã cho thì tọa độ của nó thỏa mãn phương trình (12). Nếu điểm không nằm trên đường thẳng này thì tọa độ của nó không thỏa mãn phương trình (12).

Phương trình (12) được giải theo y. Xét một phương trình chứa x và y và không giải được y, chẳng hạn như phương trình

Ta hãy chứng minh rằng phương trình này trong mặt phẳng cũng tương ứng với một đường thẳng, đó là đường tròn có tâm ở gốc tọa độ và bán kính bằng 2. Ta hãy viết lại phương trình dưới dạng

Cạnh trái của nó là bình phương khoảng cách từ điểm đến gốc tọa độ (xem § 2, đoạn 2, công thức 3). Từ đẳng thức (14), suy ra bình phương của khoảng cách này bằng 4.

Điều này có nghĩa là bất kỳ điểm nào có tọa độ thỏa mãn phương trình (14), và do đó phương trình (13), đều nằm cách gốc tọa độ 2.

Vị trí hình học của các điểm như vậy là một đường tròn có tâm ở gốc tọa độ và bán kính bằng 2. Đường tròn này sẽ là đường thẳng tương ứng với phương trình (13). Tọa độ của bất kỳ điểm nào của nó rõ ràng thỏa mãn phương trình (13). Nếu điểm không nằm trên đường tròn mà chúng ta đã tìm thấy thì bình phương khoảng cách của nó đến gốc tọa độ sẽ lớn hơn hoặc nhỏ hơn 4, nghĩa là tọa độ của điểm đó không thỏa mãn phương trình (13).

Bây giờ, trong trường hợp tổng quát, cho phương trình

ở phía bên trái của nó có biểu thức chứa x và y.

Sự định nghĩa. Đường thẳng được xác định bởi phương trình (15) là quỹ tích hình học của các điểm trong mặt phẳng có tọa độ thỏa mãn phương trình này.

Điều này có nghĩa là nếu đường thẳng L được xác định bằng một phương trình thì tọa độ của bất kỳ điểm L nào đều thỏa mãn phương trình này, nhưng tọa độ của bất kỳ điểm nào trong mặt phẳng nằm ngoài L không thỏa mãn phương trình (15).

Phương trình (15) được gọi là phương trình đường thẳng

Bình luận. Người ta không nên nghĩ rằng bất kỳ phương trình nào cũng xác định bất kỳ đường thẳng nào. Ví dụ, phương trình không xác định bất kỳ dòng nào. Trên thực tế, với mọi giá trị thực của và y, vế trái của phương trình này là dương và vế phải bằng 0, và do đó, phương trình này không thể được thỏa mãn bởi tọa độ của bất kỳ điểm nào trong mặt phẳng

Một đường thẳng có thể được xác định trên mặt phẳng không chỉ bằng phương trình chứa tọa độ Descartes mà còn bằng phương trình tọa độ cực. Một đường thẳng được xác định bởi một phương trình trong tọa độ cực là quỹ tích hình học của các điểm trong mặt phẳng có tọa độ cực thỏa mãn phương trình này.

Ví dụ 1. Xây dựng đường xoắn ốc Archimedes tại .

Giải pháp. Hãy lập bảng một số giá trị của góc cực và các giá trị tương ứng của bán kính cực.

Chúng ta xây dựng một điểm trong hệ tọa độ cực, rõ ràng là trùng với cực; sau đó, vẽ trục nghiêng một góc với trục cực, chúng ta xây dựng một điểm có tọa độ dương trên trục này, sau đó chúng ta xây dựng tương tự các điểm có giá trị dương của góc cực và bán kính cực (trục của các điểm này là không được chỉ ra trong hình 30).

Bằng cách kết nối các điểm, chúng ta có được một nhánh của đường cong, được biểu thị trong Hình 2. 30 với một dòng in đậm. Khi thay đổi từ 0 sang nhánh này của đường cong bao gồm vô số lượt.

Đẳng thức có dạng F(x, y) = 0 được gọi là phương trình hai biến x, y nếu nó không đúng với mọi cặp số x, y. Người ta nói rằng hai số x = x 0, y = y 0 thỏa mãn một số phương trình có dạng F(x, y) = 0 nếu khi thay các số này thay cho các biến x và y vào phương trình thì vế trái của nó bằng 0 .

Phương trình của một đường thẳng cho trước (trong hệ tọa độ xác định) là phương trình có hai biến thỏa mãn tọa độ của mọi điểm nằm trên đường thẳng này và không thỏa mãn bởi tọa độ của mọi điểm không nằm trên nó.

Trong phần tiếp theo, thay vì biểu thức “cho phương trình đường thẳng F(x, y) = 0,” chúng ta thường nói ngắn gọn hơn: cho đường thẳng F(x, y) = 0.

Nếu cho phương trình hai đường thẳng: F(x, y) = 0 và Ф(x, y) = 0 thì nghiệm chung của hệ

F(x,y) = 0, Ф(x, y) = 0

đưa ra tất cả các điểm giao nhau của họ. Chính xác hơn, mỗi cặp số là nghiệm chung của hệ này xác định một trong các giao điểm,

157. Cho điểm *) M 1 (2; -2), M 2 (2; 2), M 3 (2; - 1), M 4 (3; -3), M 5 (5; -5), M 6 (3; -2). Xác định điểm nào trong số các điểm đã cho nằm trên đường thẳng xác định bởi phương trình x + y = 0 và điểm nào không nằm trên đường thẳng đó. Dòng nào được xác định bởi phương trình này? (Hãy vẽ nó trên bản vẽ.)

158. Trên đường thẳng xác định bởi phương trình x 2 + y 2 = 25, tìm các điểm có hoành độ bằng các số sau: 1) 0, 2) -3, 3) 5, 4) 7; trên cùng một dòng tìm các điểm có tọa độ bằng các số sau: 5) 3, 6) -5, 7) -8. Dòng nào được xác định bởi phương trình này? (Hãy vẽ nó trên bản vẽ.)

159. Xác định các đường thẳng được xác định bởi các phương trình sau (xây dựng trên hình vẽ): 1)x - y = 0; 2) x + y = 0; 3) x - 2 = 0; 4)x + 3 = 0; 5) y - 5 = 0; 6) y + 2 = 0; 7) x = 0; 8) y = 0; 9) x 2 - xy = 0; 10) xy + y 2 = 0; 11) x 2 - y 2 = 0; 12) xy = 0; 13) y 2 - 9 = 0; 14) x 2 - 8x + 15 = 0; 15) y 2 + by + 4 = 0; 16) x 2 y - 7xy + 10y = 0; 17) y - |x|; 18) x - |y|; 19) y + |x| = 0; 20) x + |y| = 0; 21) y = |x - 1|; 22) y = |x + 2|; 23) x 2 + y 2 = 16; 24) (x - 2) 2 + (y - 1) 2 = 16; 25 (x + 5) 2 + (y-1) 2 = 9; 26) (x - 1) 2 + y 2 = 4; 27) x 2 + (y + 3) 2 = 1; 28) (x - 3) 2 + y 2 = 0; 29) x 2 + 2y 2 = 0; 30) 2x 2 + 3y 2 + 5 = 0; 31) (x - 2) 2 + (y + 3) 2 + 1 = 0.

160. Cho các dòng: l)x + y = 0; 2)x - y = 0; 3)x 2 + y 2 - 36 = 0; 4) x 2 + y 2 - 2x + y = 0; 5) x 2 + y 2 + 4x - 6y - 1 = 0. Xác định xem chúng nào đi qua gốc tọa độ.

161. Cho các dòng: 1) x 2 + y 2 = 49; 2) (x - 3) 2 + (y + 4) 2 = 25; 3) (x + 6) 2 + (y - Z) 2 = 25; 4) (x + 5) 2 + (y - 4) 2 = 9; 5) x 2 + y 2 - 12x + 16y - 0; 6) x 2 + y 2 - 2x + 8y + 7 = 0; 7) x 2 + y 2 - 6x + 4y + 12 = 0. Tìm giao điểm của chúng: a) với trục Ox; b) với trục Oy.

162. Tìm giao điểm của hai đường thẳng:

1) x 2 + y 2 - 8; x - y =0;

2) x 2 + y 2 - 16x + 4y + 18 = 0; x + y = 0;

3) x 2 + y 2 - 2x + 4y - 3 = 0; x 2 + y 2 = 25;

4) x 2 + y 2 - 8y + 10y + 40 = 0; x 2 + y 2 = 4.

163. Trong hệ tọa độ cực, các điểm M 1 (l; π/3), M 2 (2; 0), M 3 (2; π/4), M 4 (√3; π/6) và M 5 ( 1; 2/3π). Xác định điểm nào trong số các điểm này nằm trên đường thẳng được xác định trong tọa độ cực theo phương trình p = 2cosΘ và điểm nào không nằm trên đường thẳng đó. Đường nào được xác định bởi phương trình này? (Hãy vẽ nó trên bản vẽ.)

164. Trên đường thẳng xác định bởi phương trình p = 3/cosΘ, tìm các điểm có các góc cực bằng các số sau: a) π/3, b) - π/3, c) 0, d) π/6. Dòng nào được xác định bởi phương trình này? (Xây dựng nó trên bản vẽ.)

165. Trên đường thẳng xác định bởi phương trình p = 1/sinΘ, tìm các điểm có bán kính cực bằng các số sau: a) 1 6) 2, c) √2. Dòng nào được xác định bởi phương trình này? (Xây dựng nó trên bản vẽ.)

166. Xác định các đường thẳng trong tọa độ cực bằng các phương trình sau (xây dựng trên hình vẽ): 1) p = 5; 2) Θ = π/2; 3) Θ = - π/4; 4) p cosΘ = 2; 5) p sinΘ = 1; 6.) p = 6cosΘ; 7) p = 10 sinΘ; 8) sinΘ = 1/2; 9) sin = 1/2.

167. Vẽ các đường xoắn ốc Archimedes sau đây: 1) p = 20; 2) p = 50; 3) p = Θ/π; 4) p = -Θ/π.

168. Vẽ các đường xoắn ốc hyperbol sau: 1) p = 1/Θ; 2) p = 5/Θ; 3) p = π/Θ; 4) р= - π/Θ

169. Vẽ các đường xoắn ốc logarit sau: 1) p = 2 Θ; 2) p = (1/2) Θ.

170. Xác định độ dài các đoạn mà đường xoắn ốc Archimedes p = 3Θ bị cắt bởi một chùm tia phát ra từ cực và nghiêng với trục cực một góc Θ = π/6. Vẽ tranh.

171. Trên đường xoắn ốc Archimedes p = 5/πΘ lấy điểm C, bán kính cực của nó bằng 47. Xác định xem đường xoắn ốc này cắt bán kính cực của điểm C bao nhiêu phần. Hãy vẽ.

172. Trên đường xoắn ốc hyperbol P = 6/Θ, tìm điểm P có bán kính cực bằng 12. Vẽ hình.

173. Trên đường xoắn ốc logarit p = 3 Θ, tìm điểm P có bán kính cực bằng 81. Vẽ hình.