Ví dụ về tích phân các hàm số hữu tỉ của phân số. Tích phân các hàm hữu tỉ Phân số - hàm hữu tỉ Đơn giản nhất

Trước đó, chúng ta đã thảo luận về các phương pháp tích hợp chung. Trong phần này và các phần tiếp theo, chúng ta sẽ nói về sự tích hợp của các lớp hàm cụ thể với sự trợ giúp của các kỹ thuật được xem xét.

Tích hợp các hàm hợp lý đơn giản nhất

Hãy xem xét một tích phân của dạng \ textstyle (\ int R (x) \, dx), trong đó y = R (x) là một hàm hữu tỉ. Mọi biểu thức hữu tỉ R (x) có thể được biểu diễn dưới dạng \ frac (P (x)) (Q (x)), trong đó P (x) và Q (x) là các đa thức. Nếu phân số này không đúng, nghĩa là nếu bậc của tử số lớn hơn hoặc bằng bậc của mẫu số, thì nó có thể được biểu diễn dưới dạng tổng của một đa thức (phần nguyên) và một phân số thích hợp. Do đó, chỉ cần xem xét tích phân các phân số thích hợp là đủ.

Hãy để chúng tôi chứng minh rằng tích phân của các phân số như vậy làm giảm tích phân phân số đơn giản, tức là các biểu thức của biểu mẫu:

\ mathsf (1)) ~ \ frac (A) (x-a); \ quad \ mathsf (2)) ~ \ frac (A) ((x-a) ^ n); \ quad \ mathsf (3)) ~ \ frac ( Ax + B) (x ^ 2 + px + q); \ quad \ mathsf (4)) ~ \ frac (Ax + B) ((x ^ 2 + px + q) ^ n).

ở đâu A, \, B, \, a, \, p, \, q là các số thực và tam thức vuông x ^ 2 + px + q không có căn thức thực. Biểu thức ở dạng 1) và 2) được gọi là phân số loại 1, và biểu thức ở dạng 3) và 4) được gọi là phân số loại 2.

Tích phân của các phân số thuộc loại thứ nhất được tính trực tiếp

\ begin (căn chỉnh) \ mathsf (1)) & ~ \ int \ frac (A) (x-a) \, dx = A \ ln | x-a | + C; \\ \ mathsf (2)) & ~ \ int \ frac (A) ((x-a) ^ n) \, dx = A \ int (x-a) ^ (- n) \, dx = A \, \ frac ((x-a) ^ (- n + 1)) (- n + 1 ) + C ~ (n = 2,3,4, \ ldots). \ end (căn chỉnh)

Xét phép tính tích phân từ phân số loại 2: \ mathsf (3)) ~ \ int \ frac (Ax + B) (x ^ 2 + px + q) \, dx \,.

Đầu tiên, hãy để ý rằng

\ int \ frac (dt) (t ^ 2 + a ^ 2) = \ frac (1) (a) \ tên toán tử (arctg) \ frac (t) (a) + C, \ qquad \ int \ frac (t \ , dt) (t ^ 2 + a ^ 2) = \ frac (1) (2) \ ln (t ^ 2 + a ^ 2) + C.

Để giảm phép tính của tích phân 3) cho hai tích phân này, chúng ta biến đổi tam thức vuông x ^ 2 + px + q bằng cách trích ra một hình vuông đầy đủ từ nó:

x ^ 2 + px + q = (\ left (x + \ frac (p) (2) \ right) \^2+ \left(q-\frac{p^2}{4}\right)\!. !}

Vì theo giả thiết, tam thức này không có gốc thực, nên q- \ frac (p ^ 2) (4)> 0 và chúng ta có thể đặt q- \ frac (p ^ 2) (4) = a ^ 2. Thay thế x + \ frac (p) (2) = t, ~ dx = dt biến đổi tích phân 3) thành một tổ hợp tuyến tính của hai tích phân trên:

\ begin (căn chỉnh) \ int \ frac (Ax + B) (x ^ 2 + px + q) \, dx & = \ int \ frac (A \! \ left (t- \ frac (p) (2) \ right ) + B) (t ^ 2 + a ^ 2) \, dt = A \ int \ frac (t \, dt) (t ^ 2 + a ^ 2) + \ left (B- \ frac (Ap) (2 ) \ right) \! \ int \ frac (dt) (t ^ 2 + a ^ 2) = \\ & = \ frac (A) (2) \ ln (t ^ 2 + a ^ 2) + \ frac ( 1) (a) \! \ Left (B- \ frac (Ap) (2) \ right) \! \ \ Tên toán tử (arctg) \ frac (t) (a) + C. \ end (căn chỉnh)

Trong câu trả lời cuối cùng, bạn chỉ cần thay (t) bằng x + \ frac (p) (2) và (a) bằng \ sqrt (q- \ frac (p ^ 2) (4)). Vì t ^ 2 + a ^ 2 = x ^ 2 + px + q nên

\ int \ frac (Ax + B) (x ^ 2 + px + q) \, dx = \ frac (A) (2) \ ln (x ^ 2 + px + q) + \ frac (B- \ dfrac ( Ap) (2)) (\ sqrt (q- \ dfrac (p ^ 2) (4))) \ operatorname (arctg) \ frac (x + \ dfrac (p) (2)) (\ sqrt (q- \ dfrac (p ^ 2) (4))) + C.

Hãy xem xét trường hợp \ mathsf (4)) ~ \ int \ frac (Ax + B) ((x ^ 2 + px + q) ^ n) \, dx.

Như trong trường hợp trước, chúng ta đặt x + \ frac (p) (2) = t. Chúng tôi nhận được:

\ int \ frac (Ax + B) ((x ^ 2 + px + q) ^ n) \, dx = A \ int \ frac (t \, dt) ((t ^ 2 + a ^ 2) ^ n) + \ left (B- \ frac (Ap) (2) \ right) \! \ int \ frac (dt) ((t ^ 2 + a ^ 2) ^ n) \,.

Số hạng đầu tiên được tính như thế này:

A \ int \ frac (t \, dt) ((t ^ 2 + a ^ 2) ^ n) = \ frac (A) (2) \ int (t ^ 2 + a ^ 2) ^ (- n) \ , d (t ^ 2 + a ^ 2) = \ frac (A) (2) \ frac ((t ^ 2 + a ^ 2) ^ (- n + 1)) (- n + 1) = \ frac ( A) (2 (1-n) (t ^ 2 + a ^ 2) ^ (n-1)) \,.

Tích phân thứ hai được tính bằng công thức truy hồi.

ví dụ 1 Tính toán \ int \ frac (3x + 2) (x ^ 2 + 2x + 3) \, dx.

Dung dịch. Chúng ta có: x ^ 2 + 2x + 3 = (x + 1) ^ 2 + 2. Cho x + 1 = t. Khi đó dx = dt và 3x + 2 = 3 (t-1) + 2 = 3t-1 và do đó

\ begin (căn chỉnh) \ int \ frac (3x + 2) (x ^ 2 + 2x + 3) \, dx & = \ int \ frac (3t-1) (t ^ 2 + 2) \, dt = \ frac ( 3) (2) \ int \ frac (2t \, dt) (t ^ 2 + 2) - \ int \ frac (dt) (t ^ 2 + (\ sqrt (2)) ^ 2) = \\ & = \ frac (3) (2) \ ln (t ^ 2 + 2) - \ frac (1) (\ sqrt (2)) \ operatorname (arctg) \ frac (t) (\ sqrt (2)) + C = \\ & = \ frac (3) (2) \ ln (x ^ 2 + 2x + 3) - \ frac (1) (\ sqrt (2)) \ operatorname (arctg) \ frac (x + 1) (\ sqrt (2)) + C. \ end (căn chỉnh)

Ví dụ 2 Tính toán \ int \ frac (x + 2) ((x ^ 2 + 6x + 10) ^ 2) \, dx.

Dung dịch. Chúng ta có: x ^ 2 + 6x + 10 = (x + 3) ^ 2 + 1. Hãy giới thiệu một biến mới bằng cách đặt x + 3 = t. Khi đó dt = dx và x + 2 = t-1. Thay biến dưới dấu tích phân, ta được:

\ begin (căn chỉnh) \ int \ frac (x + 2) ((x ^ 2 + 6x + 10) ^ 2) \, dx & = \ int \ frac (t-1) ((t ^ 2 + 1) ^ 2 ) \, dt = \ frac (1) (2) \ int \ frac (2t \, dt) ((t ^ 2 + 1) ^ 2) - \ int \ frac (dt) ((t ^ 2 + 1) ^ 2) = \\ & = - \ frac (1) (2 (t ^ 2 + 1)) - \ int \ frac (dt) ((t ^ 2 + 1) ^ 2) \,. \ end (căn chỉnh))

Chúng ta hãy đặt I_2 = \ int \ frac (dt) ((t ^ 2 + 1) ^ 2). Chúng ta có:

I_2 = \ frac (1) (2) I_1 + \ frac (1) (2) \ frac (t) (t ^ 2 + 1), nhưng I_1 = \ int \ frac (dt) (t ^ 2 + 1) = \ operatorname (arctg) t Bằng cách này, I_2 = \ frac (1) (2) \ operatorname (arctg) t + \ frac (t) (2 (t ^ 2 + 1)).

Cuối cùng chúng tôi nhận được:

\ begin (căn chỉnh) \ int \ frac (x + 2) ((x ^ 2 + 6x + 10) ^ 2) \, dx & = - \ frac (1) (2 (t ^ 2 + 1)) - \ frac (1) (2) \ operatorname (arctg) t- \ frac (t) (2 (t ^ 2 + 1)) = \\ & = - \ frac (1) (2 (x ^ 2 + 6x + 10) ) - \ frac (1) (2) \ operatorname (arctg) (x + 3) - \ frac (x + 3) (2 (x ^ 2 + 6x + 10)) + C = \\ & = \ frac ( -x-4) (2 (x ^ 2 + 6x + 10)) - \ frac (1) (2) \ tên toán tử (arctg) (x + 3) + C \ end (căn chỉnh)

Tích hợp các phân số thích hợp

Hãy xem xét một phân số thích hợp R (x) = \ frac (P (x)) (Q (x)), trong đó Q (x) là đa thức bậc n. Không mất tính tổng quát, chúng ta có thể giả sử rằng hệ số đứng đầu trong Q (x) bằng 1. Trong quá trình đại số, người ta chứng minh rằng một đa thức với hệ số thực có thể được tính thành thừa số bậc nhất và bậc hai với hệ số thực. :

Q (x) = (x-x_1) ^ (\ alpha) \ ldots (x-x_k) ^ (\ beta) (x ^ 2 + p \, x + q) ^ (\ gamma) \ ldots (x ^ 2 + r \, x + s) ^ (\ delta).

trong đó x_1, \ ldots, x_k là các căn thức thực của đa thức Q (x) và các tam thức bậc hai không có căn thức thực. Có thể chứng minh rằng khi đó R (x) được biểu diễn dưới dạng tổng các phân số đơn giản có dạng 1) -4):

\ begin (căn chỉnh) R (x) = & \ frac (P (x)) (Q (x)) = \ frac (A_1) ((x-x_1) ^ (\ alpha)) + \ frac (A_2) ( (x-x_1) ^ (\ alpha-1)) + \ ldots + \ frac (A _ (\ alpha)) (x-x_1) \, + \\ & + \, \ ldots + \ frac (B_1) ((x- x_k) ^ (\ beta)) + \ frac (B_2) ((x-x_k) ^ (\ beta-1)) + \ ldots + \ frac (B _ (\ beta)) (x-x_k) + \ frac (M_1x + N_1) ((x ^ 2 + p \, x + q) ^ (\ gamma)) \, + \\ & + \, \ ldots + \ frac (M _ (\ gamma) + N _ (\ gamma)) (x ^ 2+ p \, x + s) + \ frac (E_1x + F_1) ((x ^ 2 + rx + s) ^ (\ delta)) + \ ldots + \ frac (E _ (\ delta) x + F _ (\ delta )) (x ^ 2 + rx + s) \, \ end (căn chỉnh)

trong đó số mũ của các mẫu số giảm tuần tự từ \ alpha xuống 1, ..., từ \ beta xuống 1, từ \ gamma xuống 1, ..., từ \ delta xuống 1, và A_1, \ ldots, F _ (\ delta)- hệ số không xác định. Để tìm các hệ số này, cần phải loại bỏ các mẫu số và sau khi nhận được bằng nhau của hai đa thức, sử dụng phương pháp hệ số không xác định.

Một cách khác để xác định hệ số A_1, \ ldots, A _ (\ alpha), \ ldots, F _ (\ delta) dựa trên việc thay thế các giá trị của biến x. Thay một số bất kỳ thay vì x vào đẳng thức thu được từ đẳng thức (1) sau các mẫu số, chúng ta đi đến một phương trình tuyến tính đối với các hệ số mong muốn. Bằng cách thay thế số lượng cần thiết của các giá trị cụ thể như vậy của biến, chúng ta thu được một hệ phương trình để tìm các hệ số. Thuận tiện nhất là chọn gốc của mẫu số (cả thực và phức) làm giá trị riêng của biến. Trong trường hợp này, hầu như tất cả các số hạng ở phía bên phải của đẳng thức (có nghĩa là đẳng thức của hai đa thức) biến mất, điều này giúp bạn dễ dàng tìm thấy các hệ số còn lại. Khi thay các giá trị phức, cần lưu ý rằng hai số phức bằng nhau nếu và chỉ khi phần thực và phần ảo của chúng tương ứng bằng nhau. Do đó, từ mỗi đẳng thức chứa số phức, ta được hai đẳng thức.

Sau khi tìm các hệ số không xác định, nó vẫn còn để tính tích phân của các phân số đơn giản thu được. Vì khi tích phân các phân số đơn giản nhất, như chúng ta đã thấy, chỉ thu được các hàm hữu tỉ, hàm cung và logarit, thì tích phân của bất kỳ hàm hữu tỉ nào được biểu thị dưới dạng hàm hữu tỉ, hàm cung và logarit.

Ví dụ 3 Tính tích phân của một phân số hữu tỉ thích hợp \ int \ frac (6x + 1) (x ^ 2 + 2x-3) \, dx.

Dung dịch. Chúng tôi phân tích mẫu số của tích phân thành các thừa số:

x ^ 2 + 2x-3 = (x-1) (x + 3).

Chúng tôi viết ra tích phân và biểu diễn nó dưới dạng tổng của các phân số đơn giản:

\ frac (6x + 1) (x ^ 2 + 2x-3) = \ frac (A) (x-1) + \ frac (B) (B + 3) \,.

Giải phóng bản thân khỏi các mẫu số trong sự bình đẳng này, chúng ta nhận được:

6x + 1 = A \ cdot (x + 3) + B \ cdot (x-1) \,.

Để tìm các hệ số, chúng tôi sử dụng phương pháp thay thế các giá trị từng phần. Để tìm hệ số A ta đặt x = 1. Khi đó từ đẳng thức (2) ta được 7 = 4A, khi đó A = 7/4. Để tìm hệ số B ta đặt x = -3. Khi đó từ đẳng thức (2) ta được -17 = -4B, khi đó B = 17/4.

Vì thế, \ frac (6x + 1) (x ^ 2 + 2x-3) = \ frac (7) (4) \ cdot \ frac (1) (x-1) + \ frac (17) (4) \ cdot \ frac (1) (x + 3). Có nghĩa,

\ int \ frac (6x + 1) (x ^ 2 + 2x-3) \, dx = \ frac (7) (4) \ int \ frac (dx) (x-1) + \ frac (17) (4 ) \ int \ frac (dx) (x + 3) = \ frac (7) (4) \ ln | x-1 | + \ frac (17) (4) \ ln | x + 3 | + C.

Ví dụ 4 Tính toán \ int \ frac (x ^ 4 + 2x ^ 2 + 8x + 5) ((x ^ 2 + 2) (x-1) ^ 2 (x + 2)) \, dx.

Dung dịch. Chúng tôi viết ra tích phân và biểu diễn nó dưới dạng tổng của các phân số đơn giản. Mẫu số chứa thừa số x ^ 2 + 2, không có căn thức thực, nó tương ứng với một phân số của loại thứ 2: \ frac (Ax + B) (x ^ 2 + 2) thừa số (x-1) ^ 2 tương ứng với tổng của hai phân số thuộc loại thứ nhất: \ frac (C) ((x-1) ^ 2) + \ frac (D) (x-1); cuối cùng, thừa số x + 2 tương ứng với một phần của loại thứ nhất \ frac (E) (x + 2). Do đó, chúng tôi sẽ biểu diễn tích phân dưới dạng tổng của bốn phân số:

\ frac (x ^ 4 + 2x ^ 2 + 8x + 5) ((x ^ 2 + 2) (x-1) ^ 2 (x + 2)) = \ frac (Ax + B) (x ^ 2 + 2 ) + \ frac (C) ((x-1) ^ 2) + \ frac (D) (x-1) + \ frac (E) (x + 2) \,.

Hãy loại bỏ các mẫu số trong đẳng thức này. Chúng tôi nhận được:

\ begin (căn chỉnh) x ^ 4 + 2x ^ 2 + 8x + 5 & = (Ax + B) (x-1) ^ 2 (x + 2) + C (x ^ 2 + 2) (x + 2) \, + \\ & \ phantom (=) + D (x ^ 2 + 2) (x-1) (x + 2) + E (x ^ 2 + 2) (x-1) ^ 2. \ end (căn chỉnh)

Mẫu số của tích phân có hai nghiệm nguyên: x = 1 và x = -2. Khi thay x = 1 vào đẳng thức (4) ta được 16 = 9C, từ đó ta tìm được C = 16/9. Khi thay x = -2 ta được 13 = 54E và xác định E = 13/54 tương ứng. Thay giá trị x = i \, \ sqrt (2) (căn của đa thức x ^ 2 + 2) cho phép chúng ta chuyển sang đẳng thức

4-4 + 8 \, i \, \ sqrt (2) + 5 = (A \, i \, \ sqrt (2) + B) \ cdot (i \, \ sqrt (2) -1) ^ 2 \ cdot (i \, \ sqrt (2) +2).

Nó chuyển thành:

(10A + 2B) + (2A-5B) \ sqrt (2) \, i = 5 + 8 \ sqrt (2) \, i, khi đó 10A + 2B = 5, và (2A-5B) \ sqrt (2) = 8 \ sqrt (2).

Giải hệ hai phương trình hai biến \ begin (trường hợp) 10A + 2B = 5, \\ 2A-5B = 8, \ end (trường hợp) chúng ta tìm thấy: A = \ frac (41) (54), ~ B = - \ frac (35) (27).

Nó vẫn còn để xác định giá trị của hệ số D. Để làm điều này, trong đẳng thức (4), chúng ta mở dấu ngoặc, đưa ra các số hạng tương tự, rồi so sánh các hệ số tại x ^ 4. Chúng tôi nhận được:

A + D + E = 1, tức là D = 0.

Hãy để chúng tôi thay thế các giá trị tìm được của các hệ số thành đẳng thức (3):

\ frac (x ^ 4 + 2x ^ 2 + 8x + 5) ((x ^ 2 + 2) (x-1) ^ 2 (x + 2)) = \ frac (\ drac (41) (54) \, x- \ dfrac (35) (27)) (x ^ 2 + 2) + \ frac (16) (9) \ frac (1) ((x-1) ^ 2) + \ frac (13) (54) \ frac (1) (x + 2) \,

và sau đó chuyển sang tích hợp:

\ begin (căn chỉnh) \ int \ frac (x ^ 4 + 2x ^ 2 + 8x + 5) ((x ^ 2 + 2) (x-1) ^ 2 (x + 2)) \, dx & = \ frac ( 41) (54) \ int \ frac (x \, dx) (x ^ 2 + 2) - \ frac (35) (27) \ int \ frac (dx) (x ^ 2 + 2) + \ frac (16 ) (9) \ int \ frac (dx) ((x-1) ^ 2) + \ frac (13) (54) \ int \ frac (dx) (x + 2) = \\ & = \ frac (41 ) (108) \ ln (x ^ 2 + 2) - \ frac (35) (27 \ sqrt (2)) \ tên toán tử (arctg) \ frac (x) (\ sqrt (2)) - \ frac (16) (9 (x-1)) + \ frac (13) (54) \ ln | x + 2 | + C. \ End (căn chỉnh)

Tích hợp các phân số không đúng

Hãy để nó là cần thiết để tích hợp chức năng y = \ frac (f (x)) (g (x)), trong đó f (x) và g (x) là các đa thức và bậc của đa thức f (x) lớn hơn hoặc bằng bậc của đa thức g (x). Trong trường hợp này, trước hết, cần chọn phần nguyên của phân số không đúng. \ frac (f (x)) (g (x)), tức là biểu diễn nó dưới dạng

\ frac (f (x)) (g (x)) = s (x) + \ frac (r (x)) (g (x)) \,

trong đó s (x) là đa thức bậc bằng hiệu bậc của đa thức f (x) và g (x), và \ frac (r (x)) (g (x)) là một phân số thích hợp.

Sau đó chúng tôi có \ int \ frac (f (x)) (g (x)) \, dx = \ int s (x) \, dx + \ int \ frac (r (x)) (g (x)) \, dx \, ..

Ví dụ 5 Tính tích phân của một phân số không đúng \ int \ frac (x ^ 4-4x ^ 3 + x ^ 2 + 16x-11) ((x-1) (x + 2) (x-3)) \, dx.

Dung dịch. Chúng ta có:

\ begin (căn chỉnh) g (x) & = (x-1) (x + 2) (x-3) = x ^ 3-2x ^ 2-5x + 6, \\ f (x) & = x ^ 4 -4x ^ 3 + x ^ 2 + 16x-11. \ end (căn chỉnh)

Để trích xuất phần nguyên, chúng ta chia f (x) cho g (x): \ frac (f (x)) (g (x)) = x-2 + \ frac (2x ^ 2 + 1) (x ^ 3-2x ^ 2-5x + 6) \,.

Có nghĩa, \ int \ frac (x ^ 4-4x ^ 3 + x ^ 2 + 16x-11) ((x-1) (x + 2) (x-3)) \, dx = \ int (x-2) dx + \ int \ frac (2x ^ 2 + 1) ((x-1) (x + 2) (x-3)) \, dx

Chúng ta có: \ int (x-2) dx = \ frac (x ^ 2) (2) -2x + C.

Để tính tích phân \ int \ frac (2x ^ 2 + 1) ((x-1) (x + 2) (x-3)) \, dxđã áp dụng, như trên, phương pháp hệ số không xác định. Sau khi tính toán, chúng tôi để lại cho người đọc, chúng tôi nhận được.

Tích phân của hàm số hữu tỉ Phân số - hàm số hữu tỉ Phân số hữu tỉ đơn giản nhất Phép tính tích phân một phân số hữu tỉ thành phân số đơn giản nhất Tích phân các phân số đơn giản nhất Quy tắc chung để tích phân số hữu tỉ

đa thức bậc n. Hàm số hữu tỉ phân số Một hàm hữu tỉ phân số là một hàm bằng tỉ số của hai đa thức: Một phân số hữu tỉ được gọi là chính tắc nếu tử số nhỏ hơn tử số, nghĩa là< n , в противном случае дробь называется неправильной. многочлен степени m Всякую неправильную рациональную дробь можно, путем деления числителя на знаменатель, представить в виде суммы многочлена L(x) и правильной рациональной дроби:)()()(x. Q x. P xf n m)()()(x. Q x. R x. L x. Q x. P

Phân số - hàm hữu tỉ Chuyển phân số không đúng về dạng chính xác: 2 95 4 x x x 95 4 x x 2 x 3 x 34 2 x x 952 3 x x 2 2 x 23 42 x x 954 2 xx x 4 x x 84 2 93 x 3 63 x 15 2 95 4 x xx 342 23 xxx 2 15 x

Phân số hữu tỉ đơn giản nhất Phân số hữu tỉ có dạng: Chúng được gọi là phân số hữu tỉ đơn giản nhất có dạng. axA); 2 (Nkk ax A k) 04 (2 2 qp qpxx NMx); 2; 04 (2 2 Nkkqp qpxx NMx k V V,

Phép chia một phân số hữu tỉ thành phân số đơn giản Định lý: Mọi phân số hữu tỉ thích hợp, mẫu số của nó được phân thành thừa số: có thể được biểu diễn, hơn nữa, theo một cách duy nhất dưới dạng tổng của các phân số đơn giản: s k qxpxxxxxx. Q) () () (22 2 11 2 21) () (x. Q x. P 1 xx A k k xx B) () (2 2 2 1 11 2 qxpx DCx 2 22 22 2 11) (qxpx Nx. M s ss qxpx Nx. M) (

Phép chia một phân số hữu tỉ thành phân số đơn giản Hãy làm rõ công thức của định lí bằng các ví dụ sau: Để tìm các hệ số bất định A, B, C, D ... người ta sử dụng hai phương pháp: phương pháp so sánh các hệ số và phương pháp từng phần các giá trị của một biến. Hãy xem phương pháp đầu tiên với một ví dụ. 3 2) 3) (2 (4 xx x 2 x A 3 3 2 21) 3 () 3 (3 x B x B 1 2 x DCx 22 22 2 11) 1 (1 xx Nx. M) 1 (3 22 3 xx x 2 21 x A 22 2) 1) (4 (987 xxx xx 4 x

Quy đồng phân số hữu tỉ thành phân số đơn giản Biểu diễn phân số dưới dạng tổng của phân số đơn giản: Rút gọn phân số đơn giản nhất về mẫu số chung Lập phương trình tử số của phân số gốc và phân số ban đầu. 332 2 2 xxx xx 1 x A 52 2 xx CBx) 52) (1 () 1) (() 52 (2 2 xxx x. CBxxx. A 33252 222 xx. CBx. Cx. Bx. AAx. Ax 35 32 2 0 1 2 CAx BAx 2 3 1 C B A 52 23 1 1 2 xx x x

Tích phân của các phân số đơn giản nhất Hãy tìm tích phân của các phân số hữu tỉ đơn giản nhất: Hãy xem xét tích phân của các phân số loại 3 bằng một ví dụ. dx ax A k dx qpxx NMx 2 ax axd A) (Cax. Aln) (axdax. A k C k ax. A k

Tích phân các phân số đơn giản dx xx x 102 13 2 dx xx x 9) 12 (13 2 dx x x 9) 1 (13 2 dtdx tx tx 1 1 dt t t 9 1) 1 (3 2 dt t t 9 23 2 9 322 t dtt 9 9 2 3 2 2 t td 33 2 t arctg.C t arctgt 33 2 9 ln 2 32 C x arctgxx 3 1 3 2 102 ln

Tích phân các phân số đơn giản Tích phân loại này bằng phép thay thế: được rút gọn thành tổng của hai tích phân: Tích phân thứ nhất được tính bằng cách đưa t vào dưới dấu của vi phân. Tích phân thứ hai được tính bằng công thức đệ quy: dx qpxx NMx k 2 V t p x 2 kk at dt N at dtt M 22122 1221222)) (1 (222 321 kkkk atk t k k aat dt

Tích phân các phân số đơn giản a = 1; k = 3 323) 1 (t dt tarctg t dt 1 21) 1) (12 (2222 322 1 21222 t t t dt) 1 (22 1 2 t t tarctg 2223) 1) (13 (2232 332 t t C t tarctg 222) 1 (4) 1 (

Quy tắc chung để tích phân số hữu tỉ Nếu phân số không đúng thì biểu diễn nó dưới dạng tổng của một đa thức và một phân số thích hợp. Sau khi phân tích mẫu số của một phân số hữu tỉ thích hợp thành thừa số, hãy biểu diễn nó dưới dạng tổng của các phân số đơn giản với hệ số không xác định. Tìm hệ số không xác định bằng cách so sánh các hệ số hoặc bằng phương pháp giá trị riêng của một biến. Tích của đa thức và tính tổng của các phân số đơn giản.

Ví dụ Đưa phân số về dạng chính xác. dx xxx 23 35 2 442 35 xxxxxx 23 2 2 x 345 2 xxx 442 34 xxx x 2 234 242 xxx 4425 23 xxx xxx 23 35 2 442 xxx xx xx 23 2 2 2 48 52 5 xxx 5105 23 48 2 xx

Ví dụ Quy đồng mẫu số của một phân số thích hợp Biểu diễn một phân số dưới dạng tổng các phân số đơn giản Tìm hệ số bất định bằng phương pháp tính giá trị từng phần của biến x x x x x 23 2 2 48 2 2) 1 (48 xx x x 2) 1 (1 x C x B x A 2 2) 1 () 1 (xx Cxx. Bxx. A 48) 1 () 1 (22 xx. Cxx. Bxx. A 5241 31 40 CBAx Cx Ax 3 12 4 C B A xxx xx 23 2 2 48 2) 1 (3 1 124 xxx

Ví dụ dx xx 2 2) 1 (3 1 124 52 2 2) 1 (3 1 12452 x dx dxxdxdxx C x xxxx x 1 3 1 ln 12 ln

Hàm hữu tỉ là một phân số có dạng, tử số và mẫu số là đa thức hoặc tích của đa thức.

ví dụ 1 Bước 2

.

Chúng tôi nhân các hệ số không xác định với các đa thức không nằm trong phân số riêng lẻ này, mà ở trong các phân số khác thu được:

Chúng tôi mở dấu ngoặc và cân bằng tử số của tích phân ban đầu nhận được với biểu thức thu được:

Trong cả hai phần của đẳng thức, chúng ta tìm các số hạng có cùng lũy ​​thừa của x và lập hệ phương trình từ chúng:

.

Chúng ta hủy bỏ tất cả các x và nhận được một hệ phương trình tương đương:

.

Do đó, khai triển cuối cùng của tích phân thành tổng các phân số đơn giản:

.

Ví dụ 2 Bước 2Ở bước 1, chúng ta thu được khai triển phân số ban đầu sau đây thành tổng các phân số đơn giản với hệ số không xác định trong tử số:

.

Bây giờ chúng ta bắt đầu tìm kiếm các hệ số không chắc chắn. Để làm điều này, chúng ta quy đổi tử số của phân số ban đầu trong biểu thức hàm với tử số của biểu thức thu được sau khi giảm tổng các phân số về một mẫu số chung:

Bây giờ bạn cần tạo và giải một hệ phương trình. Để thực hiện điều này, chúng ta cân bằng các hệ số của biến đến mức độ thích hợp trong tử số của biểu thức ban đầu của hàm và các hệ số tương tự trong biểu thức thu được ở bước trước:

Chúng tôi giải quyết hệ thống kết quả:

Vì vậy, từ đây

.

Ví dụ 3 Bước 2Ở bước 1, chúng ta thu được khai triển phân số ban đầu sau đây thành tổng các phân số đơn giản với hệ số không xác định trong tử số:

Chúng tôi bắt đầu tìm kiếm các hệ số không chắc chắn. Để làm điều này, chúng ta quy đổi tử số của phân số ban đầu trong biểu thức hàm với tử số của biểu thức thu được sau khi giảm tổng các phân số về một mẫu số chung:

Như trong các ví dụ trước, chúng tôi soạn một hệ phương trình:

Ta rút gọn x và nhận được một hệ phương trình tương đương:

Giải hệ thống, chúng ta thu được các giá trị của hệ số bất định sau:

Chúng tôi nhận được khai triển cuối cùng của tích phân thành tổng của các phân số đơn giản:

.

Ví dụ 4 Bước 2Ở bước 1, chúng ta thu được khai triển phân số ban đầu sau đây thành tổng các phân số đơn giản với hệ số không xác định trong tử số:

.

Làm thế nào để quy đồng tử của phân số ban đầu với biểu thức ở tử số có được sau khi quy đổi phân số thành tổng của các phân số đơn giản và rút gọn tổng này về một mẫu số chung, chúng ta đã biết từ các ví dụ trước. Do đó, chỉ để kiểm soát, chúng tôi trình bày hệ phương trình kết quả:

Giải hệ thống, chúng ta thu được các giá trị của hệ số bất định sau:

Chúng tôi nhận được khai triển cuối cùng của tích phân thành tổng của các phân số đơn giản:

Ví dụ 5 Bước 2Ở bước 1, chúng ta thu được khai triển phân số ban đầu sau đây thành tổng các phân số đơn giản với hệ số không xác định trong tử số:

.

Chúng tôi độc lập đưa tổng này về một mẫu số chung, cân bằng tử số của biểu thức này với tử số của phân số ban đầu. Kết quả là hệ phương trình sau:

Giải hệ thống, chúng ta thu được các giá trị của hệ số bất định sau:

.

Chúng tôi nhận được khai triển cuối cùng của tích phân thành tổng của các phân số đơn giản:

.

Ví dụ 6 Bước 2Ở bước 1, chúng ta thu được khai triển phân số ban đầu sau đây thành tổng các phân số đơn giản với hệ số không xác định trong tử số:

Chúng tôi thực hiện các hành động tương tự với số tiền này như trong các ví dụ trước. Kết quả là hệ phương trình sau:

Giải hệ thống, chúng ta thu được các giá trị của hệ số bất định sau:

.

Chúng tôi nhận được khai triển cuối cùng của tích phân thành tổng của các phân số đơn giản:

.

Ví dụ 7 Bước 2Ở bước 1, chúng ta thu được khai triển phân số ban đầu sau đây thành tổng các phân số đơn giản với hệ số không xác định trong tử số:

.

Sau các phép toán đã biết với tổng thu được, ta sẽ có được hệ phương trình sau:

Giải hệ thống, chúng ta thu được các giá trị của hệ số bất định sau:

Chúng tôi nhận được khai triển cuối cùng của tích phân thành tổng của các phân số đơn giản:

.

Ví dụ 8 Bước 2Ở bước 1, chúng ta thu được khai triển phân số ban đầu sau đây thành tổng các phân số đơn giản với hệ số không xác định trong tử số:

.

Hãy thực hiện một số thay đổi đối với các hành động đã được đưa sang tính tự động để thu được một hệ phương trình. Có một thủ thuật nhân tạo, trong một số trường hợp có thể giúp tránh các phép tính không cần thiết. Đưa tổng các phân số về một mẫu số chung, ta thu được và quy tử số của biểu thức này với tử số của phân số ban đầu, ta thu được.

“Một nhà toán học, giống như một nghệ sĩ hay một nhà thơ, tạo ra các khuôn mẫu. Và nếu các mẫu của anh ta ổn định hơn, thì đó chỉ là do chúng được tạo thành từ các ý tưởng ... Các mẫu của một nhà toán học, cũng giống như của một nghệ sĩ hay một nhà thơ, phải đẹp; ý tưởng, giống như màu sắc hoặc từ ngữ, phải phù hợp. Đẹp là yêu cầu đầu tiên: không có chỗ cho toán học xấu xí trên thế giới».

G.H. Hardy

Trong chương đầu tiên, người ta đã lưu ý rằng có những đạo hàm của các hàm khá đơn giản mà không còn có thể được biểu diễn dưới dạng các hàm cơ bản. Về vấn đề này, các lớp hàm đó có tầm quan trọng thực tế rất lớn, về điều đó có thể nói chắc chắn rằng các hàm phản của chúng là các hàm cơ bản. Nhóm chức năng này bao gồm các chức năng hợp lý, là tỉ số của hai đa thức đại số. Nhiều vấn đề dẫn đến tích phân số hữu tỉ. Vì vậy, nó là rất quan trọng để có thể tích hợp các chức năng như vậy.

2.1.1. Hàm hợp lý phân số

Phân số hữu tỉ(hoặc hàm hợp lý phân số) là tỉ số của hai đa thức đại số:

ở đâu và là đa thức.

Nhớ lại điều đó đa thức (đa thức, toàn bộ một chức năng hợp lý) Nđộ thứđược gọi là một hàm của biểu mẫu

ở đâu là các số thực. Ví dụ,

là một đa thức bậc nhất;

là một đa thức bậc 4, v.v.

Phân số hữu tỉ (2.1.1) được gọi là Chính xác, nếu mức độ thấp hơn mức độ, tức là N<m, nếu không thì phân số được gọi là Sai lầm.

Mọi phân số không đúng có thể được biểu diễn dưới dạng tổng của một đa thức (phần nguyên) và một phân số thích hợp (phần phân số). Việc chọn phần nguyên và phần phân số của một phân số không đúng có thể được thực hiện theo quy tắc chia đa thức cho một “góc”.

Ví dụ 2.1.1. Chọn phần nguyên và phần phân số của các phân số hữu tỉ không đúng sau:

một) , b) .

Dung dịch . a) Sử dụng thuật toán chia "góc", chúng tôi thu được

Do đó, chúng tôi nhận được

.

b) Ở đây chúng tôi cũng sử dụng thuật toán chia "góc":

Kết quả là, chúng tôi nhận được

.

Hãy tóm tắt lại. Tích phân không xác định của một phân số hữu tỉ nói chung có thể được biểu diễn dưới dạng tổng các tích phân của một đa thức và của một phân số hữu tỉ thích hợp. Tìm đạo hàm của đa thức không khó. Vì vậy, trong tương lai, chúng ta sẽ chủ yếu xét các phân số hữu tỉ thông thường.

2.1.2. Các phân số hữu tỉ đơn giản nhất và tích phân của chúng

Có bốn loại phân số hữu tỉ thích hợp, được phân loại là các phân số hữu tỉ (cơ bản) đơn giản nhất:

3) ,

4) ,

số nguyên ở đâu, , I E. tam thức vuông không có rễ thực.

Việc tích hợp các phân số đơn giản nhất của loại 1 và 2 không gây khó khăn lớn:

, (2.1.3)

. (2.1.4)

Bây giờ chúng ta hãy xem xét tích phân của các phân số đơn giản nhất của loại thứ 3, và chúng ta sẽ không xét các phân số thuộc loại thứ 4.

Chúng ta bắt đầu với tích phân của dạng

.

Tích phân này thường được tính bằng cách lấy bình phương đầy đủ ở mẫu số. Kết quả là một bảng tích phân có dạng sau

hoặc .

Ví dụ 2.1.2. Tìm tích phân:

một) , b) .

Dung dịch . a) Chúng tôi chọn một hình vuông đầy đủ từ một tam thức bình phương:

Từ đây chúng tôi tìm thấy

b) Chọn bình phương đầy đủ từ tam thức bình phương, ta được:

Bằng cách này,

.

Để tìm tích phân

chúng ta có thể trích xuất đạo hàm của mẫu số ở tử số và khai triển tích phân thành tổng của hai tích phân: tích phân đầu tiên của chúng bằng cách thay thế đi xuống biểu mẫu

,

và thứ hai - ở trên.

Ví dụ 2.1.3. Tìm tích phân:

.

Dung dịch . thông báo rằng . Chúng tôi chọn đạo hàm của mẫu số ở tử số:

Tích phân đầu tiên được tính bằng phép thay thế :

Trong tích phân thứ hai, chúng ta chọn bình phương đầy đủ ở mẫu số

Cuối cùng, chúng tôi nhận được

2.1.3. Khai triển một phân số hữu tỉ thích hợp
tổng các phân số đơn giản

Bất kỳ phân số hữu tỉ thích hợp nào có thể được biểu diễn duy nhất dưới dạng tổng các phân số đơn giản. Để làm được điều này, mẫu số phải được chia nhỏ thành các thừa số. Từ đại số cao hơn, người ta biết rằng mọi đa thức với hệ số thực

CHỦ ĐỀ: Tích phân phân số hữu tỉ.

Chú ý! Khi nghiên cứu một trong những phương pháp tích phân chính - tích phân số hữu tỉ - cần phải xét đa thức trong miền phức để chứng minh chặt chẽ. Vì vậy, cần học trước một số tính chất của số phức và các phép toán trên chúng.

Tích phân số hữu tỉ đơn giản nhất.

Nếu một P(z) và Q(z) là các đa thức trong miền phức, sau đó là một phân số hữu tỉ. Nó được gọi là Chính xác nếu mức độ P(z) ít mức độ hơn Q(z) , và Sai lầm nếu mức độ R không kém mức độ Q.

Bất kỳ phần nào không đúng có thể được biểu diễn dưới dạng: ,

P (z) = Q (z) S (z) + R (z),

một R(z) – đa thức có bậc nhỏ hơn bậc Q(z).

Do đó, tích phân của phân số hữu tỉ được rút gọn thành tích phân của đa thức, tức là hàm lũy thừa và phân số thích hợp, vì nó là một phân số thích hợp.

Định nghĩa 5. Phân số đơn giản nhất (hoặc cơ bản) là các phân số thuộc các loại sau:

1) , 2) , 3) , 4) .

Hãy cùng tìm hiểu xem chúng được tích hợp như thế nào.

3) (đã khám phá trước đó).

Định lý 5. Bất kỳ phân số thích hợp nào cũng có thể được biểu diễn dưới dạng tổng của các phân số đơn giản (không cần chứng minh).

Hệ quả 1. Nếu là một phân số hữu tỉ thích hợp và nếu trong số các căn của đa thức chỉ có các căn bậc nhất đơn giản thì trong khai triển phân số thành tổng các phân số đơn giản sẽ chỉ có các phân số đơn giản thuộc loại 1:

ví dụ 1

Hệ quả 2. Nếu là một phân số hữu tỉ thích hợp, và nếu trong số các căn của đa thức chỉ có nhiều căn thực, thì trong khai triển phân số thành tổng các phân số đơn giản sẽ chỉ có các phân số đơn giản thuộc loại 1 và 2. :

Ví dụ 2

Hệ quả 3. Nếu là một phân số hữu tỉ thích hợp và nếu trong số các căn của đa thức chỉ có các căn liên hợp phức tạp đơn giản thì trong khai triển phân số thành tổng các phân số đơn giản sẽ chỉ có các phân số đơn giản loại 3:

Ví dụ 3

Hệ quả 4. Nếu là một phân số hữu tỉ thích hợp, và nếu trong số các căn của đa thức chỉ có nhiều căn liên hợp phức tạp thì trong khai triển phân số thành tổng các phân số đơn giản sẽ chỉ có các phân số đơn giản bậc 3 và 4. các loại:

Để xác định các hệ số chưa biết trong các khai triển trên, hãy tiến hành như sau. Phần bên trái và bên phải của khai triển chứa hệ số chưa biết được nhân với Bằng nhau của hai đa thức thu được. Phương trình cho các hệ số mong muốn thu được từ nó, sử dụng:

1. đẳng thức hợp lệ với bất kỳ giá trị nào của X (phương pháp tính từng phần giá trị). Trong trường hợp này, bất kỳ số phương trình nào thu được, m bất kỳ trong số đó cho phép chúng ta tìm các hệ số chưa biết.

2. các hệ số trùng nhau tại các lũy thừa của X (phương pháp hệ số không xác định). Trong trường hợp này, một hệ gồm m - phương trình với m - ẩn số, từ đó tìm ra các hệ số chưa biết.

3. phương pháp kết hợp.

Ví dụ 5. Khai triển một phân số đơn giản nhất.

Dung dịch:

Tìm các hệ số A và B.

1 chiều - phương pháp giá trị riêng:

Phương pháp 2 - phương pháp hệ số bất định:

Câu trả lời:

Tích phân phân số hữu tỉ.

Định lý 6. Tích phân không xác định của bất kỳ phân số hữu tỉ nào trên bất kỳ khoảng nào mà mẫu số của nó không bằng 0 tồn tại và được biểu thị dưới dạng các hàm cơ bản, cụ thể là phân số hữu tỉ, logarit và cung số.

Bằng chứng.

Chúng tôi biểu diễn một phân số hữu tỉ ở dạng: . Hơn nữa, số hạng cuối cùng là một phân số thích hợp, và theo Định lý 5, nó có thể được biểu diễn dưới dạng kết hợp tuyến tính của các phân số đơn giản. Do đó, tích phân một phân số hữu tỉ giảm xuống tích phân một đa thức S(x) và các phân số đơn giản nhất, có các đạo hàm, như được minh họa, có dạng được chỉ ra trong định lý.

Bình luận. Khó khăn chính trong trường hợp này là phân chia mẫu số thành các thừa số, nghĩa là tìm kiếm tất cả các gốc của nó.

Ví dụ 1. Tìm tích phân