Giới thiệu

Trong bài báo học kỳ này, chúng ta sẽ làm quen với phương trình Bessel và ứng dụng của nó trong các phương trình vật lý toán học. Các hàm Bessel lần đầu tiên được xác định bởi nhà toán học Thụy Sĩ Daniel Bernoulli và được đặt theo tên của Friedrich Bessel.

Friedrich Wilhelm Bessel

Nhà toán học và thiên văn học người Đức của thế kỷ 19. Sinh ngày 22 tháng 7 năm 1784 tại Minden. Độc lập nghiên cứu toán học và thiên văn học, vào năm 1804, ông đã tính toán quỹ đạo của sao chổi Halley. Năm 1806, ông trở thành trợ lý cho nhà thiên văn học lỗi lạc I. Schroeter ở Lilienthal, và sớm nổi tiếng như một nhà thiên văn-quan sát và máy tính-toán học lỗi lạc. Với tư cách này, năm 1810, ông được mời đến Đại học Königsberg để tổ chức một đài thiên văn, ông vẫn giữ chức giám đốc cho đến cuối đời. Tin rằng cần phải hiệu chỉnh kết quả quan sát, có tính đến sự hiện diện của các yếu tố không đáng kể nhất, Bessel đã phát triển các phương pháp toán học để hiệu chỉnh kết quả quan sát. Công việc đầu tiên theo hướng này là việc hiệu chỉnh vị trí của các ngôi sao trong danh mục được biên soạn vào thế kỷ 18. Nhà thiên văn học người Anh J. Bradley. Trong tương lai, Bessel tự mình tiến hành quan sát các vì sao; vào năm 1821-1833, ông xác định vị trí của hơn 75 nghìn ngôi sao và biên soạn các danh mục mở rộng hình thành nền tảng kiến ​​thức hiện đại về bầu trời đầy sao.

Bessel là một trong những người đầu tiên đo thị sai của các ngôi sao và khoảng cách của chúng. Năm 1838, ông xác định khoảng cách tới sao đôi 61 Cygnus, hóa ra là một trong những ngôi sao gần hệ mặt trời nhất. Quan sát các ngôi sao sáng Sirius và Procyon trong một số năm, Bessel đã phát hiện ra các đặc điểm trong quỹ đạo của chúng mà chỉ có thể giải thích bằng sự hiện diện của các vệ tinh. Những giả thiết này sau đó đã được xác nhận: vào năm 1862, vệ tinh của Sirius được phát hiện, và vào năm 1896, vệ tinh của Procyon. Được biết đến là những công trình của Bessel trong lĩnh vực trắc địa (xác định chiều dài của con lắc thứ hai, phát minh ra dụng cụ cơ bản).

Phương trình Bessel nảy sinh trong khi tìm lời giải cho phương trình Laplace và phương trình Helmholtz trong hệ tọa độ hình trụ và hình cầu. Do đó, các hàm Bessel được sử dụng để giải quyết nhiều vấn đề về truyền sóng, điện thế tĩnh, v.v., ví dụ:

· Sóng điện từ trong ống dẫn sóng hình trụ;

dẫn nhiệt ở vật hình trụ;

Các hàm Bessel cũng được sử dụng để giải quyết các vấn đề khác, ví dụ, trong xử lý tín hiệu.

Phương trình Bessel

Khi giải nhiều bài toán vật lý toán học, chúng đi đến một phương trình vi phân tuyến tính:

ở đâu là một hằng số. Phương trình này cũng gặp trong nhiều câu hỏi vật lý, cơ học, thiên văn học, v.v. Phương trình (1) được gọi là Phương trình Bessel. Vì phương trình (1) có điểm kỳ dị x = 0, nghiệm cụ thể của nó nên được tìm dưới dạng một chuỗi lũy thừa tổng quát:

Thay chuỗi (2) vào phương trình (1), ta được

Bằng không các hệ số tại các lũy thừa khác nhau của x, chúng ta sẽ có:

Từ đẳng thức đầu tiên, chúng ta tìm thấy hai giá trị của p: p 1 = và p 2 = -

Nếu chúng ta lấy căn đầu tiên p =, thì từ công thức (5) và (6), chúng ta nhận được:

Theo đó, a 2k + 1 = 0 (k = 2, 3, 4,…) và các hệ số có chỉ số chẵn rõ ràng được xác định bằng các công thức:

Từ đó rõ ràng rằng biểu thức tổng quát cho các hệ số có dạng sau:

Đối với hệ số a 0, cho đến nay là hoàn toàn tùy ý, chúng tôi chọn nó theo cách này:

trong đó Г () là hàm gamma, được xác định cho tất cả các giá trị dương (cũng như cho tất cả các giá trị phức có phần thực dương) như sau:

Với sự lựa chọn 0 này, hệ số a 2k có thể được viết là:

Biểu thức này có thể được đơn giản hóa bằng cách sử dụng một trong những thuộc tính chính của hàm gamma. Để làm được điều này, chúng tôi tích hợp mặt phải của bình đẳng (8) theo từng phần; thì chúng ta nhận được công thức cơ bản sau:

Lưu ý rằng công thức (10) giúp bạn có thể xác định hàm gamma cho các giá trị âm cũng như cho tất cả các giá trị phức tạp.

Gọi k là một số nguyên dương. Áp dụng công thức (10) vài lần, chúng ta thu được

Đặt = 0 trong công thức này, chúng tôi tìm thấy, nhờ sự bình đẳng

một thuộc tính quan trọng khác của hàm gamma, được biểu thị

G (k + 1) = k! (12)

phương trình bessel chức năng trực giao

Sử dụng công thức (11), biểu thức (9) cho hệ số a 2k sẽ có dạng sau:

Nhập các giá trị tìm được của các hệ số a 2k + 1 và a 2k vào chuỗi (2), chúng ta thu được một nghiệm cụ thể của phương trình (1). Giải pháp này được gọi là hàm Bessel của loại thứ nhất - bậc và thường được ký hiệu là J V (x).

Bằng cách này,

Chuỗi (14) hội tụ cho bất kỳ giá trị nào của x, điều này dễ dàng xác minh bằng cách áp dụng thử nghiệm d'Alembert.

Sử dụng căn bậc hai p 2 = -, bạn có thể xây dựng nghiệm cụ thể thứ hai của phương trình (1). Rõ ràng là có thể thu được từ nghiệm (14) bằng một phép thay thế đơn giản bởi -, vì phương trình (1) chỉ chứa 2 và không thay đổi khi thay bằng -:

Nếu không bằng một số nguyên, thì các nghiệm cụ thể J V (x) và J-V (x). các phương trình Bessel (1) sẽ độc lập tuyến tính, vì các khai triển ở phía bên phải của công thức (14) và (15) bắt đầu từ các lũy thừa khác nhau của x. Nếu tồn tại một số nguyên dương n thì trong trường hợp này có thể dễ dàng phát hiện ra sự phụ thuộc tuyến tính của các nghiệm J n (x) và J -n (x). Thật vậy, với một số nguyên cho k = 0, 1, 2, ..., n- 1, giá trị - + k + 1 nhận các giá trị nguyên âm hoặc bằng không. Đối với các giá trị này của k: Г (- + k + 1) =, theo công thức:

Do đó, n số hạng đầu tiên trong khai triển (15) biến mất và chúng ta nhận được

hoặc, đặt k = n + l, chúng ta nhận được

Theo đó, đối với một số nguyên n, các hàm J n (x) và J -n (x) phụ thuộc tuyến tính.

Để tìm nghiệm tổng quát của phương trình (1), khi bằng số nguyên n, cần tìm nghiệm riêng thứ hai, độc lập tuyến tính với J V (x), nghiệm riêng. Để làm điều này, chúng tôi giới thiệu một hàm mới Y v (x), thiết lập

Rõ ràng là hàm này cũng là một nghiệm của phương trình (1), vì nó là tổ hợp tuyến tính của các nghiệm riêng JV (x) và

J-V (x) của phương trình này. Khi đó, dễ dàng nhận thấy, trên cơ sở quan hệ (16), khi n bằng một số nguyên, vế phải của đẳng thức (17) có dạng không xác định. Nếu chúng ta tiết lộ sự không chắc chắn này theo quy tắc L'Hospital, thì do một loạt các phép tính (do độ phức tạp của chúng, không được tái tạo ở đây), chúng ta sẽ có được biểu diễn sau của hàm Y n (x) cho a số nguyên dương n:

Trong một trường hợp cụ thể, khi n = 0, hàm Y o (x) được biểu diễn như sau:

Hàm Y v (x) được giới thiệu ở đây được gọi là hàm Bessel thuộc loại bậc 2 hay hàm Weber.

Hàm Weber Y v (x) cũng là một nghiệm cho phương trình Bessel khi là một số nguyên.

Các hàm J V (x) và Y v (x) rõ ràng là độc lập tuyến tính, do đó, các hàm này đối với bất kỳ - phân số hoặc số nguyên - tạo thành một hệ thống nghiệm cơ bản. Điều này ngụ ý rằng giải pháp chung của phương trình (1) có thể được biểu diễn dưới dạng

trong đó C 1 và C 2 là các hằng số tùy ý.

các nhà thiên văn học trên thế giới. Friedrich Wilhelm Bessel. Kỷ niệm 220 năm ngày sinh

Friedrich Wilhelm Bessel sinh ngày 22 tháng 7 năm 1784 tại thành phố Minden bang Westphalia (nay thuộc Đức) trong một gia đình viên chức triều đình được cưng chiều và từ năm 15 tuổi đã phải dấn thân vào con đường lao động tự lập. Đúng vậy, điều này hoàn toàn tương ứng với mong muốn của anh ấy: ngay từ khi còn nhỏ, anh ấy đã có đặc điểm là ham muốn hoạt động thực tế và chỉ những kiến ​​thức đó mới có thể áp dụng được ngay lập tức. Năm 13 tuổi, anh rời sân thể dục vì ghét nhồi nhét tiếng Latinh và tiếp tục việc học ở nhà dưới sự hướng dẫn của cha mình. Sở hữu thị lực đặc biệt nhạy bén, ở tuổi 14, anh đã trực quan phát hiện ra tính hai mặt của epsilon của Lyra, điều này không thể ngoại trừ việc truyền cảm hứng cho anh để quan sát thêm bầu trời. Nhưng với niềm vui và hy vọng không kém, theo lời giới thiệu của một người bạn trong gia đình, ông đến Bremen và từ năm 1799 trong suốt bảy năm, thay vào đó là một thư ký tập sự tại nhà buôn lớn Kulepkamp and Sons.

Đầu óc thực tế của Bessel cũng tìm thấy thức ăn phong phú cho mình trong lĩnh vực này. Bessel nhanh chóng lĩnh hội được những kiến ​​thức cơ bản và tinh tế của kinh doanh thương mại, mơ ước về những chuyến đi xa ... Nhưng, vào năm 1805, khi được mời làm việc ở một vị trí và nội dung quan trọng 700 thalers một năm, ông đột nhiên theo lời của nhà sử học thiên văn học nổi tiếng. Agnes Clarke, “ưa thích nghèo đói và các vì sao”, đã từng làm trợ lý tại đài thiên văn tư nhân của J. Schroeter ở ngoại ô Bremen của Lilienthal, với mức lương có thể là 100 thalers. Đối với bản thân Bessel, điều này tất nhiên không phải là đột ngột. Con đường đến với khoa học phần lớn đã được định sẵn bởi tính cách và tư duy của ông. Tính hệ thống, kỹ lưỡng, tài năng toán học bẩm sinh đã biến ngay cả một doanh nhân tương lai ... thành một nhà khoa học: anh ấy đã “quá” nghiêm túc chuẩn bị cho sự nghiệp kinh doanh của mình và ngoài việc học ngôn ngữ (tiếng Anh, tiếng Tây Ban Nha, tiếng Pháp), địa lý. và phong tục tập quán của các dân tộc, ông cho là hoàn toàn cần thiết (trái với ý kiến ​​của những người xung quanh) nghiên cứu kỹ lưỡng và thành thạo thiên văn hàng hải. Đó là những thành công đầu tiên của ông trong lĩnh vực này, khi vào năm 1803, bằng cách quan sát sự huyền bí của các vì sao trên Mặt trăng với sự trợ giúp của các dụng cụ thô sơ tự chế tạo tại nhà, ông đã có thể xác định kinh độ của Bremen, truyền cảm hứng cho ông.

Không hài lòng với sách giáo khoa tiếng Anh về điều hướng thực tế, trong đó các công thức và quy tắc được đưa ra mà không có dẫn xuất và chứng minh khoa học, Bessel đã đi sâu vào nghiên cứu thiên văn học thích hợp (một lần nữa, vì một lý do rất “thực tế”: không có dẫn xuất, công thức không được ghi nhớ bởi anh ta). Anh ấy đã nghiên cứu "Thiên văn học" của Lalande và sau khi biết về các định luật Kepler, anh ấy ngay lập tức muốn tính toán quỹ đạo của tiểu hành tinh Ceres mới được phát hiện! Trong những lời được viết trong dịp này từ lá thư của anh ấy cho anh trai của mình: "Nếu không, tại sao tôi cần luật của Kepler?" - phong cách của Bessel, nhà khoa học tương lai, đã được phản ánh rõ ràng. Ông coi kiến ​​thức như một công cụ làm việc để giải quyết các vấn đề khoa học cụ thể. Và nếu vào năm 1801, bị phân tâm bởi thiên văn học bởi công việc hàng ngày kéo dài 12 giờ, ông thừa nhận rằng ông đã quên cả những ngôi sao mà ông biết trước đó, thì một năm sau, ông đã tự mình giải quyết vấn đề với quỹ đạo của Ceres và viết thư cho anh em rằng “toán học” là môn khoa học hấp dẫn nhất trong tất cả các ngành Khoa học. Cùng với thiên văn học, nó thay thế cho tôi ... những trò giải trí mà tôi chỉ biết tên.

Trong khi đó, "Cơ học thiên thể" khó nhất của Laplace và toán học cao hơn cần thiết cho sự hiểu biết của nó, anh ta chỉ có thể học vào buổi sáng và buổi tối mà không cần làm việc. Nhưng sự khởi đầu thực sự của ông vào thiên văn học là việc ông quen biết vào năm 1804 với nhà thiên văn học và bác sĩ xuất sắc người Bremen G. V. M. Olbers. Lý do cho điều này là do Bessel tính toán vào năm 1804 các yếu tố trên quỹ đạo của sao chổi Halley theo quan sát của T. Harriot và Lorporley vào năm 1607. Công trình đã gợi lên sự hưởng ứng nhiệt tình từ Olbers, được xuất bản với lời tựa của ông, trong đó ông đã giới thiệu Bessel với thế giới khoa học, và đánh dấu sự khởi đầu của một tình bạn tuyệt vời giữa hai nhà thiên văn học này, được bổ sung bởi tình bạn của Bessel và K. Gauss. Vào ngày 19 tháng 3 năm 1806, Bessel bắt đầu hoạt động khoa học của mình ở Lilienthal bằng cách kiểm tra tất cả các thiết bị và dụng cụ đo lường của đài thiên văn và sửa đổi các phương pháp xử lý toán học của các kết quả quan sát, mặc dù đồng thời ông vẫn tiếp tục nghiên cứu sao chổi và tính toán quỹ đạo. của sao chổi vào năm 1807, ông đã nhận được Giải thưởng. Lalande. Độ chính xác của các phép đo vị trí và chuyển động của các thiên thể, ngoài sự hoàn hảo của các thiết bị, còn phụ thuộc vào độ chính xác của bản thân các danh mục tham chiếu của các ngôi sao, mà vào thời Bessel không khắt khe và quan trọng nhất là không thể so sánh được với nhau do cách tiếp cận chủ quan của người quan sát để tính đến các sai số khác nhau.

Trong khi đó, theo thời gian, nhu cầu sửa đổi các hằng số thiên văn chính: tuế sai, biến đổi hạt, quang sai và khúc xạ, những kiến ​​thức cần thiết về chúng khi xác định chuyển động thích hợp của các ngôi sao. Sự không tương thích của các danh mục khác nhau cũng bắt nguồn từ cái gọi là "lỗi cá nhân" của người quan sát do Bessel phát hiện. Việc tạo ra một phương pháp đo thiên văn chính xác mới, dựa trên lý thuyết toán học về sai số của thiết bị, dựa trên các phương pháp xử lý quan sát nghiêm ngặt, đã trở thành công việc chính trong cuộc đời của Bessel. Nhiệm vụ này mà Bessel có thể hoàn thành đầy đủ trong đài quan sát mới ở Koenigsberg (nay là Kaliningrad), được xây dựng và trang bị các thiết bị theo kế hoạch của riêng mình và nơi lần đầu tiên việc quan sát và xử lý kết quả được thực hiện theo một hệ thống khoa học nghiêm ngặt mới. bằng các phương pháp do Bessel giới thiệu.

Chính ông vào năm 1809 đã được yêu cầu thành lập và đứng đầu đài thiên văn thứ hai của chính phủ (trường đại học) ở Đức sau Berlin (1705). Từ năm 1810, ông cũng trở thành giáo sư toán học và thiên văn học tại Đại học Königsberg. Từ năm 1813 - năm khai trương đài thiên văn - và cho đến cuối đời, Bessel đã không ngừng công việc tính toán và quan sát cực kỳ hiệu quả ở Königsberg. Ông đã tạo ra trường phái quan sát chính xác của Đức trong thiên văn học. F. Argelander trở thành học trò xuất sắc và là người kế tục của ông. Ở Nga, về nhiều mặt, Đài quan sát Pulkovo đã theo bước chân ông và đạt được thành công lớn nhất trên con đường này, với vị giám đốc đầu tiên của đài, cũng như với một số viện sĩ St.Petersburg khác, Bessel đã duy trì mối quan hệ thân thiện gần gũi. Công việc chính đầu tiên của Bessel trong lĩnh vực đo thiên văn là xử lý những gì chính xác nhất vào thế kỷ 18, mà ông đã bắt đầu cùng Schroeter. quan sát vị trí các ngôi sao của Bradley trong năm 1750-1762. trên cơ sở tính đến tất cả các sai số của các nhạc cụ của mình. Danh mục chính xác kết quả về vị trí của 3222 ngôi sao trong kỷ nguyên năm 1755 được Bessel xuất bản trong tác phẩm Cơ bản về Thiên văn học (1818) của ông.

Bằng cách so sánh danh mục này với các danh mục mới của Piazzi (1803 và 1814), Bessel đã xác định các tuế sai liên tục, sai lệch, quang sai và xác định chuyển động thích hợp của một số ngôi sao. Bảng khúc xạ mới do ông biên soạn đã đi vào thực tiễn quan sát thiên văn từ lâu. Năm 1821-1833. Bessel đã thực hiện một công việc độc lập khổng lồ trên vòng tròn kinh tuyến Reichenbach, đo vị trí của tất cả các ngôi sao có độ cao tới 9 "trong vùng nghiêng từ -15 ° đến + 45 °. Một phần của những quan sát này, được nhà thiên văn Krakow M. Weisse xử lý thêm, được xuất bản bởi Viện Hàn lâm Khoa học St.Petersburg vào năm 1846 sau cái chết của Bessel ("Danh mục của Weisse", 31895 ngôi sao trong vùng: -15 ° - + 15 °). Bessel's Tables of Koenigsberg (1830) đã trở thành sự phát triển của thiên văn học thực tế, nơi ông đã vạch ra các phương pháp giảm thiểu các quan sát do ông phát triển trên cơ sở lý thuyết xác suất và phương pháp bình phương nhỏ nhất. Họ lần đầu tiên đưa phép đo thiên văn trở thành một ngành khoa học hiện đại được chuẩn hóa. 0 ", 1, tức là 10 lần so với độ chính xác của các quan sát của Bradley. Kết quả là, ba nhà thiên văn học V. Ya. Struve, F. V. Bessel và T. Henderson đồng thời đo được thị sai sao vốn đã khó nắm bắt trong nhiều thế kỷ!

Bessel đã không thành công khi cố gắng giải quyết vấn đề này ngay từ năm 1815. Nhưng ông đã đạt được thành công chỉ 23 năm sau đó với sự trợ giúp của một công cụ đo lường mới và chính xác nhất vào thời điểm đó - máy đo trực thăng Fraunhofer, được chế tạo cho Đài quan sát Koenigsberg. Độ chính xác của việc đo các góc nhỏ trên đó đạt 0 "05. Không giống như những người cố gắng đo thị sai sao trước anh ta, Bessel chọn một ngôi sao không phải theo độ sáng, mà bởi giá trị đáng kể của chuyển động của chính nó (đối với anh ta dường như là một dấu hiệu đáng tin cậy hơn "Ngôi sao bay" hóa ra là một ngôi sao đôi mờ (5,6 và 6,3m) 61 Cygni với chuyển động thích hợp là 5,2 mỗi năm. Đã áp dụng, giống như Struve, một phương pháp hiệu quả hơn về thị sai vi phân (phương pháp của Galileo), Bessel từ tháng 7 năm 1837 đến tháng 10 năm 1838. đã thực hiện một chuỗi dài các quan sát về vị trí tương đối của hệ sao đôi đã được nghiên cứu và hai ngôi sao yếu hơn nhiều (tức là ở xa) gần nó và bắt gặp sự dịch chuyển song song của 61 Cygnus. Giá trị của thị sai do ông công bố vào tháng 11 năm 1838 (0,314) hóa ra gần với dữ liệu hiện đại (0,292) hơn là kết quả lặp lại mà ông thu được từ 402 phép đo hoàn thành vào năm 1840 (0,3483).

Các phép đo được V. Ya. Struve (cho Vega) công bố trước đó một chút, kết quả của Bessel (được những người đương thời chấp nhận với độ tin cậy lớn nhất) và dữ liệu của T. Henderson (đối với Centauri), xuất hiện sớm, lần đầu tiên cho thấy một cách thuyết phục quy mô khổng lồ của vũ trụ sao. Điều thú vị là những phép đo chính xác về thị sai lượng giác này thường xác nhận những ước tính trắc quang đầu tiên về khoảng cách giữa các vì sao của Huygens và đặc biệt là của Lambert (đối với Sirius). Nếu phép đo thị sai sao mang lại cho Bessel huy chương vàng của Hiệp hội Thiên văn Hoàng gia London và danh tiếng thế giới, thì khám phá đáng chú ý thứ hai của ông về thiên văn học không nhận được sự công nhận trong suốt cuộc đời của nhà khoa học. Trong khi đó, nó có tầm quan trọng cơ bản. Nghiên cứu chuyển động thích hợp của các ngôi sao, Bessel vào năm 1834 đã thu hút sự chú ý đến những đặc điểm hầu như không đáng chú ý, nhưng đặc trưng của chuyển động này ở ngôi sao sáng nhất trên bầu trời - Sirius, và đến năm 1840, ngôi sao sáng nhất trong chòm sao Canis Minor - ngôi sao Procyon: đường đi của cả hai ngôi sao hóa ra hơi gợn sóng, hay còn gọi là "ngoằn ngoèo".

Để giải thích hiện tượng này, Bessel đưa ra một ý tưởng táo bạo, giả sử rằng cả hai ngôi sao đều có những người bạn đồng hành tối không nhìn thấy được làm nhiễu loạn đường chính tuyến, trong khoảng thời gian quan sát được, chuyển động của ngôi sao chính, có thể nhìn thấy được. Ông công bố kết luận này là kết quả của một chuỗi dài quan sát rất cẩn thận trên thiết bị mới của đài thiên văn, vòng tròn kinh tuyến Repsold. Ông ước tính khoảng thời gian cách mạng của các vệ tinh trong cả hai trường hợp vào khoảng 50 năm. Kết luận của Bessel, mà ông đã sớm phát triển trong một bức thư gửi cho A. Humboldt, cũng có ý nghĩa tổng quát hơn nhiều so với việc phát hiện ra các hệ sao đôi mới của các ngôi sao, ngay cả với các vệ tinh phát sáng rất mờ (nhân tiện, sau đó được lấy để hình thành , làm mát các hành tinh). Về khám phá của mình, Bessel viết: "Thực tế là chúng ta nhìn thấy vô số các ngôi sao sáng chói tự nó không thể coi là một lý lẽ để phủ nhận khả năng tồn tại của vô số các ngôi sao tối vô hình."

Tuyên bố này của Bessel, mặc dù không hoàn toàn mới (vì sự tồn tại của các thiên thể như vậy là do Kant và Laplace giả định), nhưng lần đầu tiên khẳng định vai trò thiết yếu (và không kỳ lạ) của các thiên thể như vậy trong Vũ trụ, cho phép chúng ta gọi là Bessel theo một nghĩa mới, hiện đại, nếu không phải là người sáng lập (như người ta đã khẳng định vào cuối thế kỷ 19 - đầu thế kỷ 20), thì đó là một dấu hiệu của “thiên văn học của những người vô hình”. Ý tưởng này của ông vang vọng cuộc tìm kiếm hiện đại về "khối lượng ẩn" trong vũ trụ. Nhưng nó không phù hợp với bức tranh thiên văn được chấp nhận chung lúc bấy giờ của thế giới. Chỉ đến năm 1851, nhà thiên văn học người Mỹ Peters mới xác nhận kết luận của Bessel về Sirius và tính toán vị trí của vệ tinh. Và vào năm 1862, con trai và cha của Clarke, nhà nhãn khoa học nổi tiếng của Mỹ, khi thử nghiệm khúc xạ 18 inch, họ đã bất ngờ phát hiện ra vệ tinh này có dạng một dấu hoa thị không sáng hơn 8 "(California) là một dấu sao 13m Các thời kỳ quỹ đạo của các vệ tinh được Bessel dự đoán cũng đã được xác nhận.

Nhưng điều ngạc nhiên chính đã ở phía trước: vào năm 1914, nó được thành lập cho Sirius (W. Adams, Hoa Kỳ), và sau đó cho Procyon, rằng cả hai vệ tinh đều là đại diện của một loại sao mới, trước đây chưa được biết đến - "sao lùn trắng" (với một khối lượng riêng trung bình của vật chất hàng trăm kg / cm3!). Bessel đã gần phát hiện ra một hành tinh khác ngoài Sao Thiên Vương. Ông đã báo cáo niềm tin của mình về điều này trong một bức thư gửi cho D. Herschel vào năm 1842, sau khi phân tích các tài liệu về các đặc điểm chuyển động của Thiên Vương tinh (mà Bessel đã thu thập với sự giúp đỡ của học trò F. W. Fleming). Hành tinh này (Neptune) được phát hiện vài tháng sau cái chết của Bessel, hơn nữa, với sự trợ giúp của bản đồ học thuật Berlin về bầu trời đầy sao, được xuất bản theo sáng kiến ​​và với sự tham gia của Bessel. (Việc tiếp tục lập bản đồ bầu trời này đã được Argelander hoàn thành với Tạp chí Bonn nổi tiếng của ông.) Năm 1844, trong một bức thư gửi cho A. Humboldt, Bessel đưa ra một kết luận khác, lạ lùng đối với những người cùng thời với ông.

Đo vĩ độ của Koenigsberg trong hai năm, ông kết luận rằng chiều cao của cực không đổi, và giải thích điều này bằng chuyển động của trục quay trong cơ thể của hành tinh. Dự đoán của Bessel đã trở thành một thực tế đã được chứng minh vào cuối thế kỷ 19. Trong thiên văn học hành tinh, Bessel thuộc về sự phát triển của lý thuyết và biên soạn các bảng về nhật thực (lý thuyết vẫn được sử dụng cho đến ngày nay), việc xác định khối lượng và độ nén của sao Mộc, khối lượng của sao Thổ, nghiên cứu các vành đai của nó, quỹ đạo của các vệ tinh của nó, đặc biệt là Titan. Năm 1835, liên quan đến sự trở lại của sao chổi Halley, Bessel đã xây dựng một trong những lý thuyết đầu tiên về chuyển động của các hạt trong đầu sao chổi (người tiên phong trong lĩnh vực này là G. V. Brandes) - cái gọi là lý thuyết "đài phun nước". Đây là lý thuyết toán học đầu tiên về sao chổi. Bessel đã dựa vào ý tưởng về vai trò quan trọng của lực cực (điện) đối với sự phát sáng của đuôi sao chổi (do Lomonosov thể hiện) và ý tưởng về lực đẩy của Mặt trời tác dụng lên “vật chất tia sáng ”ló ra khỏi hạt nhân của sao chổi. (Ý tưởng lần đầu tiên được Kepler bày tỏ, nhưng thực tế đã được khoa học chứng minh rằng áp suất ánh sáng lên chất khí chỉ trở thành sau thí nghiệm của P. N. Lebedev, 1909).

Lý thuyết của Bessel đã kích thích công việc của nhà lý thuyết sao chổi vĩ đại nhất cuối thế kỷ 19 và đầu thế kỷ 20. F. A. Bredikhina. Ngoài thiên văn học. Bessel đã đóng góp đáng kể cho ngành trắc địa. Năm 1832-1838. ông cùng với I. Bayer thực hiện các phép đo tam giác độ ở Đông Phổ, đáp ứng mong muốn của Viện Hàn lâm Khoa học St.Petersburg. Thiết bị cơ bản do Bessel phát minh đã đóng một vai trò quan trọng trong công việc. Cung của kinh tuyến do ông đo (1 ° 30 "29") khép lại bằng cung lớn do V. Ya. Struve và K. I. Tenner đo (hơn 20 °). Nhưng kết quả chính của Bessel ở đây là xác định của ông [trên cơ sở phân tích tất cả các phép đo (mười) độ có sẵn vào thời điểm đó ở châu Âu và châu Á] về các phần tử của hình cầu trái đất, vẫn là chính xác nhất trong hơn một thế kỷ. (cho đến khi được giới thiệu vào năm 1941 ellipsoid Krasovsky trong trắc địa).

Bessel đi vào lịch sử khoa học với tư cách là một trong những nhà toán học vĩ đại, tác giả của lý thuyết áp dụng cái gọi là hàm hình trụ (“hàm Bessel”) để tính toán chuyển động nhiễu loạn của các hành tinh. Các hàm này, cũng như "phương trình Bessel" vi phân tương ứng, sau đó được ứng dụng rộng rãi hơn nhiều trong vật lý lý thuyết (trong lý thuyết về dẫn nhiệt, khuếch tán, dao động). Bessel đã xuất bản khoảng 400 bài báo khoa học và để lại một thư từ lớn với các nhà khoa học, nơi ông cũng trình bày ý tưởng và kết quả của mình. Ông cũng đưa ra các bài giảng phổ biến về vật lý và thiên văn học. Công lao của nhà khoa học được đánh giá cao khi được bầu làm thành viên của nhiều viện hàn lâm, trong đó có Berlin (1812), thành viên danh dự nước ngoài của Viện Hàn lâm Khoa học St.Petersburg (1814), cũng như nhiều hội khoa học. FV Bessel qua đời vào ngày 17 tháng 3 năm 1846 tại Koenigsberg và được chôn cất gần đài quan sát. Một miệng núi lửa ở phía có thể nhìn thấy của Mặt trăng được đặt theo tên Bessel.

Dựa trên các tài liệu của A.I. Eremeeva: AK-1984, AK-1989. Ghi nhận và chuẩn bị dưới dạng điện tử -

Nhà toán học và thiên văn học người Đức. Ông đã có đóng góp lớn trong việc nghiên cứu quy mô của vũ trụ.

Tiểu sử

Sinh năm 1874 tại thị trấn nhỏ Minden nước Đức trong một gia đình viên chức nhỏ. Anh ta không được học hành - thậm chí không học ở phòng tập thể dục, nhưng siêng năng tự học. Những nghiên cứu này thành công đến nỗi Bessel không chỉ nhận bằng tiến sĩ từ Đại học Göttingen và trở thành giáo sư, mà còn có những đóng góp đáng kể cho khoa học.

Nhưng anh bắt đầu sự nghiệp của mình với tư cách là một nhân viên bán hàng từ năm 15 tuổi. Con đường đến với khoa học đã được định sẵn bởi chính tính cách và tư duy của ông. Tính hệ thống, kỹ lưỡng, tài năng toán học bẩm sinh đã biến doanh nhân tương lai ... thành một nhà khoa học: ông đã chuẩn bị quá nghiêm túc cho sự nghiệp kinh doanh của mình và ngoài việc học ngôn ngữ (tiếng Anh, tiếng Tây Ban Nha, tiếng Pháp), địa lý và phong tục tập quán của các dân tộc, coi việc nghiên cứu kỹ lưỡng và thành thạo thiên văn hàng hải là hoàn toàn cần thiết. Ngay sau đó, ông đã đạt được những thành công đầu tiên: vào năm 1803, bằng cách quan sát sự huyền bí của các vì sao trên Mặt Trăng, sử dụng các công cụ thô sơ tự chế tạo tại nhà, ông đã có thể xác định kinh độ của Bremen.

"Cơ học thiên thể" khó nhất của Laplace và toán học cao hơn cần thiết cho sự hiểu biết của nó, ông chỉ có thể học vào buổi sáng và buổi tối mà không cần làm việc. Năm 1804, ông gặp nhà thiên văn học và bác sĩ xuất sắc người Bremen G. V. M. Olbers, người được ông giới thiệu về các yếu tố của quỹ đạo của sao chổi Halley do ông tính toán theo quan sát của T. Harriot và Lorporley vào năm 1607. Công trình đã khiến Olbers đánh giá nhiệt tình. , được xuất bản với lời tựa của mình, trong đó ông giới thiệu Bessel với thế giới khoa học, và đánh dấu sự khởi đầu của tình bạn tuyệt vời giữa hai nhà thiên văn học này, được bổ sung bằng tình bạn của Bessel và K. Gauss.

Vào ngày 19 tháng 3 năm 1806, Bessel bắt đầu sự nghiệp khoa học của mình ở Lilienthal bằng cách kiểm tra tất cả các thiết bị và dụng cụ đo lường của đài thiên văn và sửa đổi các phương pháp xử lý toán học của các kết quả quan sát, mặc dù đồng thời ông vẫn tiếp tục nghiên cứu sao chổi và nhận được giải thưởng cho tính toán quỹ đạo của sao chổi 1807.

Ông làm việc tại Đại học Königsberg, nơi một đài thiên văn được xây dựng dưới sự lãnh đạo của ông, trong đó ông vẫn là giám đốc cho đến cuối đời. Ông đã tạo ra trường phái quan sát chính xác của Đức trong thiên văn học. Ở Nga, Đài quan sát Pulkovo đã theo bước chân của ông về nhiều mặt.

Bessel đi vào lịch sử khoa học với tư cách là một trong những nhà toán học vĩ đại. Bessel đã xuất bản khoảng 400 bài báo khoa học và để lại một thư từ lớn với các nhà khoa học, nơi ông cũng trình bày ý tưởng và kết quả của mình. Ông cũng đưa ra các bài giảng phổ biến về vật lý và thiên văn học. Công lao của nhà khoa học được đánh giá cao khi được bầu làm thành viên của nhiều viện hàn lâm, trong đó có Berlin (1812), thành viên danh dự nước ngoài của Viện Hàn lâm Khoa học St.Petersburg (1814), cũng như nhiều hội khoa học.

Thành tựu trong thiên văn học

Ở tuổi 20, ông đã tính toán quỹ đạo của sao chổi Halley.

Bessel - một trong những người sáng lập ngành đo đạc thiên văn

Phép đo thiên văn- một nhánh của thiên văn học, nhiệm vụ chính là nghiên cứu các đặc tính hình học, động học và động lực học của các thiên thể. Bessel tin rằng cần phải đưa các hiệu chỉnh vào kết quả quan sát, có tính đến bất kỳ yếu tố không đáng kể nào làm giảm độ chính xác của phép đo thiên văn. Ông đã phát triển các phương pháp toán học để hiệu chỉnh kết quả quan sát. Công trình chính đầu tiên của Bessel là sửa đổi kết quả quan sát vị trí của các ngôi sao trong danh mục do nhà thiên văn học người Anh D. Bradley biên soạn vào thế kỷ 18. Ông đã xác định vị trí của 75.000 ngôi sao và tạo ra các danh mục trở thành cơ sở của kiến ​​thức hiện đại về bầu trời đầy sao.

Đo thị sai

Thị sai- thay đổi vị trí nhìn thấy của đối tượng so với nền ở xa tùy thuộc vào vị trí của người quan sát, chúng tôi đã nhiều lần nói về điều này trên trang web của chúng tôi.

Bessel là một trong những nhà thiên văn học đầu tiên đo được các thị sai và do đó là khoảng cách tới các ngôi sao: vào năm 1838, ông đo khoảng cách tới ngôi sao 61 Cygni. Ngôi sao này hóa ra là một trong những ngôi sao gần nhất với hệ mặt trời. Năm 1841, sử dụng dữ liệu của nhiều phép đo, ông đã tính được kích thước của ellipsoid của trái đất, được sử dụng rộng rãi trong ngành trắc địa và bản đồ cho đến giữa thế kỷ 20. Ở châu Âu, nó được sử dụng ở Đức, Áo, Thụy Sĩ, Cộng hòa Séc và các nước thuộc Nam Tư cũ, cũng như ở Indonesia, Nhật Bản, Eritrea và Namibia.

Khám phá các vệ tinh của Sirius và Procyon

Năm 1844, Friedrich Bessel phát hiện ra rằng Sirius, ngôi sao sáng nhất trên bầu trời, theo chu kỳ, mặc dù rất yếu, đi chệch khỏi quỹ đạo chuyển động của thiên cầu. Bessel đi đến kết luận rằng Sirius phải có một người bạn đồng hành "bóng tối" vô hình, và khoảng thời gian cách mạng của cả hai ngôi sao xung quanh một khối tâm chung phải khoảng 50 năm. Thông điệp này đã vấp phải sự hoài nghi, vì vệ tinh tối vẫn không thể quan sát được, và khối lượng của nó phải khá lớn - có thể so sánh với khối lượng của sao Sirius.

Vào tháng 1 năm 1862, Alvan Graham Clark tại đài thiên văn của Đại học Chicago đã phát hiện ra một ngôi sao mờ trong vùng lân cận của Sirius. Đó là vệ tinh bóng tối của Sirius, Sirius B, được Bessel dự đoán.

Mặc dù chính chòm sao Canis Minor- Procyon hơi vàng - kém hơn so với Sirius và về kích thước, nhiệt độ và độ sáng, có điểm chung giữa những ngôi sao này. Cả hai đều dẫn đầu các chòm sao nhỏ mà không ngôi sao nào có thể cạnh tranh với chúng về độ sáng. Cả hai ngôi sao đều có sao lùn trắng làm bạn đồng hành, lịch sử khám phá của chúng rất giống nhau.

Quan sát các ngôi sao sáng Sirius và Procyon trong một thời gian, Bessel đã phát hiện ra những đặc điểm trong chuyển động của chúng mà chỉ có thể giải thích là những ngôi sao này có vệ tinh. Nhưng những vệ tinh này có độ sáng yếu đến mức không thể nhìn thấy chúng trong các kính thiên văn thời đó. Các giả thiết của Bessel đã được xác nhận: năm 1862, vệ tinh của Sirius được phát hiện, và vào năm 1896, vệ tinh của Procyon. Ngôi sao khác gần nhất với Sirius là Procyon.

Nhưng chúng ta biết gì về Procyon và vệ tinh của anh ta?

Procyon, một ngôi sao màu vàng 0,5M, có độ sáng chỉ lớn hơn 5,8 lần độ sáng mặt trời. Nó lớn hơn một chút so với Mặt trời và nóng hơn một chút - nhiệt độ bề mặt của nó gần 7000 K. Giống như Sirius, Procyon là một trong những ngôi sao lân cận chúng ta: khoảng cách đến nó là 3,5 pc. Bản thân ngôi sao này không có gì nổi bật, và nếu không phải vì nó ở gần Trái đất (và do đó có độ sáng biểu kiến ​​đáng kể), chúng ta sẽ không chú ý đến nó. Một thứ khác là vệ tinh của Procyon. Hãy xem xét dấu sao thứ 11 này. độ lớn, nằm ở khoảng cách trung bình 4 so với Procyon, là một nhiệm vụ hoàn toàn bất khả thi đối với một nhà thiên văn nghiệp dư bình thường. Ngôi sao nhỏ này phát ra ánh sáng ít hơn gần 10 lần so với vệ tinh của Sirius và là một sao lùn trắng thậm chí còn dày đặc hơn Puppy. Nhưng sự giống nhau của hai cộng đồng kỳ lạ gồm các ngôi sao hoàn toàn khác nhau (Sirius và Procyon với các vệ tinh lùn của chúng) là không thể phủ nhận.

Friedrich Wilhelm Bessel(Người Đức Friedrich Wilhelm Bessel; 22 tháng 7 năm 1784, Minden - 17 tháng 3 năm 1846, Königsberg) - Nhà toán học và thiên văn học người Đức, học trò của Carl Friedrich Gauss.

Tiểu sử

Friedrich Wilhelm Bessel đăng ký học việc tại một trong những nhà kinh doanh ở Bremen, nơi ông có được kiến ​​thức về toán học và trở nên quan tâm đến thiên văn học. Một công trình thiên văn học đã thu hút sự chú ý của Olbers, nhờ lời đề nghị của ông vào năm 1806 cho Schroeter, ở Lilienthal, tại đài thiên văn, nơi Bessel đảm nhiệm vị trí quan sát viên trong bốn năm.

Không cần học ở phòng tập thể dục và trường đại học, ông nhận bằng tiến sĩ tại Đại học Göttingen. Giáo sư Albertina (Đại học Königsberg). Ông đã có đóng góp lớn trong việc nghiên cứu quy mô của Vũ trụ, bao gồm cả việc nghiên cứu thị sai. Thực hiện các tính toán về quỹ đạo của sao chổi Halley. Người sáng lập và giám đốc của Đài thiên văn Königsberg. Xác định vị trí của 75.000 ngôi sao và tạo ra các danh mục sao rộng rãi. Năm 1838, ông thực hiện các phép đo khoa học đầu tiên đáng tin cậy về thị sai hàng năm cho một ngôi sao (61 Cygnus). Mức độ ưu tiên của việc khám phá thị sai hàng năm của các ngôi sao được Bessel công nhận. Năm 1841, sử dụng dữ liệu của nhiều phép đo, ông đã tính được kích thước của ellipsoid của trái đất, được sử dụng rộng rãi trong ngành trắc địa và bản đồ cho đến giữa thế kỷ 20. Năm 1844, ông dự đoán rằng Sirius và Procyon sẽ có những ngôi sao vệ tinh không thể phân biệt được.

Friedrich Wilhelm Bessel mất ngày 17 tháng 3 năm 1846 tại thành phố Königsberg (nay là Kaliningrad) và được chôn cất tại nghĩa trang ở Königsberg. Hiện tại, nơi chôn cất chính xác của Bessel vẫn chưa được biết. Trên khu đất nơi nó được đặt, nó được quy hoạch để xây dựng một tòa nhà dân cư nhiều tầng.

Giải thưởng

• Giải thưởng Lalande (1811)
• Huy chương vàng của Hiệp hội Thiên văn Hoàng gia (1829 và 1841)

Kỉ niệm

• Các hàm Bessel và bất đẳng thức Bessel được đặt theo tên của ông.
• Tên của Bessel được đặt bởi một trường học ở Königsberg (tiếng Đức: Bessel-Ober-Realschule)
• Tấm đá cẩm thạch tưởng niệm ở Kaliningrad (Koenigsberg cũ) trên một ngọn đồi gần giao lộ của st. Bessel và st. Tướng Galitsky.
• Đài tưởng niệm ở Bremen.
• Crater Bessel trên Mặt trăng.