Tổng của 100 số đầu tiên của một cấp số cộng. Công thức tính tổng các phần tử của một cấp số cộng hữu hạn

Trong bài học này, chúng ta sẽ rút ra công thức tính tổng các số hạng của một cấp số cộng hữu hạn và giải một số bài toán sử dụng công thức này.

Chủ đề: Sự tiến bộ

Bài: Công thức tính tổng các phần tử của một cấp số cộng hữu hạn

1. Giới thiệu

Xét bài toán: tìm tổng các số tự nhiên từ 1 đến 100.

Cho: 1, 2, 3, ..., 98, 99, 100.

Tìm: S100=1+2+3 … +98 + 99 + 100.

Giải: S100=(1+100)+(2+99)+(3+98)+…+(50+51)=101+101+101+…+101=101 x 50=5050.

Đáp số: 5050.

Dãy số tự nhiên 1, 2, 3, ..., 98, 99, 100 là cấp số cộng: a1=1, d=1.

Ta đã tìm được tổng của một trăm số tự nhiên đầu tiên, tức là tổng của n số đầu tiên thành phần của một cấp số cộng.

Giải pháp được xem xét đã được đề xuất bởi nhà toán học vĩ đại Carl Friedrich Gauss, sống ở thế kỷ 19. Vấn đề đã được anh ấy giải quyết khi mới 5 tuổi.

Lịch sử tham khảo: Johann Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855) - nhà toán học, cơ học, vật lý học và thiên văn học người Đức. Được coi là một trong những nhà toán học vĩ đại nhất mọi thời đại, "ông vua của các nhà toán học". Người đoạt huy chương Copley (1838), thành viên nước ngoài của Viện Hàn lâm Khoa học Thụy Điển (1821) và Nga (1824), thuộc Hội Hoàng gia Anh. Theo truyền thuyết, một giáo viên dạy toán ở trường, để giữ cho trẻ em bận rộn trong một thời gian dài, đã đề nghị chúng tính tổng các số từ 1 đến 100. Gauss trẻ nhận thấy rằng các tổng theo cặp từ các số đối nhau đến các số đối nhau đều giống nhau: 1 + 100 =101, 2+99=101, v.v. và ngay lập tức nhận được kết quả: 101x50=5050.

2. Suy ra công thức tính tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng

Xét một bài toán tương tự cho một cấp số cộng tùy ý.

Tìm: tổng n phần tử đầu tiên của một cấp số cộng.

Hãy để chúng tôi chỉ ra rằng tất cả các biểu thức trong ngoặc đều bằng nhau, cụ thể là biểu thức . Gọi d là công sai của một cấp số cộng. Sau đó:

v.v.. Do đó, ta có thể viết:

Chúng ta lấy công thức tính tổng n phần tử đầu tiên của một cấp số cộng ở đâu:

3. Giải toán về vận dụng công thức tính tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng

1. Giải bài toán về tổng các số tự nhiên từ 1 đến 100 bằng công thức tính tổng n phần tử đầu tiên của một cấp số cộng:

Lời giải: a1=1, d=1, n=100.

Công thức chung:

Trong trường hợp của chúng ta: .

Đáp số: 5050.

Công thức chung:

. Hãy tìm theo công thức của thành viên thứ n của cấp số cộng: .

Trong trường hợp của chúng ta: .

Để tìm , trước tiên bạn cần tìm .

Điều này có thể được thực hiện bằng cách sử dụng công thức chung .Đầu tiên hãy áp dụng công thức này để tìm công sai của một cấp số cộng.

I E. . Có nghĩa .

Bây giờ chúng ta có thể tìm thấy .

Sử dụng công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng

, hãy tìm .

4. Suy ra công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng

Ta thu được công thức thứ hai tính tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng, đó là: ta chứng minh rằng .

Bằng chứng:

Trong công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng chúng ta hãy thay thế biểu thức cho , cụ thể là . Chúng tôi nhận được: , tức là . Q.E.D.

Hãy phân tích các công thức thu được. Để tính toán theo công thức đầu tiên bạn cần biết thuật ngữ đầu tiên, thuật ngữ cuối cùng và n theo công thức thứ hai - bạn cần biết thuật ngữ đầu tiên, sự khác biệt và n.

Cuối cùng, lưu ý rằng trong mọi trường hợp Sn là một hàm bậc hai của n, bởi vì .

5. Giải bài toán về ứng dụng công thức tính tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng

Công thức chung:

Trong trường hợp của chúng ta:.

Đáp án: 403.

2. Tìm tổng tất cả các số có hai chữ số là bội của 4.

(12; 16; 20; ...; 96) - tập hợp các số thỏa mãn điều kiện của bài toán.

Vậy là ta có một cấp số cộng.

n tìm từ công thức cho: .

I E. . Có nghĩa .

Sử dụng công thức thứ hai cho tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng

, hãy tìm .

Cần tìm tổng của tất cả các số hạng từ ngày 10 đến ngày 25.

Một cách để giải quyết nó là như sau:

Do đó, .

6. Tổng kết bài học

Vì vậy, chúng ta đã suy ra các công thức tính tổng các phần tử của một cấp số cộng hữu hạn. Những công thức này đã được sử dụng để giải quyết một số vấn đề.

Tiết sau chúng ta sẽ làm quen với tính chất đặc trưng của một cấp số cộng.

1. Makarychev Yu.N. et al.Đại số lớp 9 (SGK THCS).-M.: Education, 1992.

2. Makarychev Yu. N., Mindyuk N. G., Neshkov, K. I. Đại số lớp 9 có khắc sâu. nghiên cứu toán học.-M.: Mnemozina, 2003.

3. Makarychev Yu. N., Mindyuk N. G. Các chương bổ sung cho sách giáo khoa đại số lớp 9.-M.: Education, 2002.

4. Galitsky M. L., Goldman A. M., Zvavich L. I. Tuyển tập các bài toán đại số lớp 8-9 (sách giáo khoa dành cho học sinh các trường, lớp học chuyên sâu về toán) - M.: Education, 1996.

5. Mordkovich A. G. Đại số lớp 9, sách giáo khoa cho các cơ sở giáo dục phổ thông. - M.: Mnemosyne, 2002.

6. Mordkovich A. G., Mishutina T. N., Tulchinskaya E. E. Đại số lớp 9, sách giải bài tập cho các cơ sở giáo dục. - M.: Mnemosyne, 2002.

7. Glazer G. I. Lịch sử toán học ở trường. Lớp 7-8 (hướng dẫn giáo viên).-M.: Giác Minh, 1983.

1. Phần đại học. ru trong toán học.

2. Cổng thông tin Khoa học tự nhiên.

3. Cấp số nhân. ru Trang web toán học giáo dục.

1. Số 362, 371, 377, 382 (Makarychev Yu. N. et al. Đại số lớp 9).

2. Số 12.96 (Galitsky M. L., Goldman A. M., Zvavich L. I. Tuyển tập các bài toán đại số lớp 8-9).

Khi học đại số ở trường trung học cơ sở (lớp 9), một trong những chủ đề quan trọng là nghiên cứu về dãy số, bao gồm cấp số nhân - hình học và số học. Trong bài viết này, chúng ta sẽ xem xét một cấp số cộng và các ví dụ có lời giải.

Một cấp số cộng là gì?

Để hiểu điều này, cần đưa ra định nghĩa về cấp số đang được xem xét, cũng như đưa ra các công thức cơ bản sẽ được sử dụng thêm trong việc giải các bài toán.

Một cấp số cộng hoặc đại số là một tập hợp các số hữu tỷ được sắp xếp như vậy, mỗi phần tử của nó khác với phần tử trước đó bởi một số giá trị không đổi. Giá trị này được gọi là sự khác biệt. Nghĩa là, khi biết bất kỳ phần tử nào của dãy số được sắp xếp theo thứ tự và hiệu, bạn có thể khôi phục toàn bộ cấp số cộng.

Hãy lấy một ví dụ. Dãy số tiếp theo sẽ là một cấp số cộng: 4, 8, 12, 16, ..., vì hiệu trong trường hợp này là 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Nhưng bộ số 3, 5, 8, 12, 17 không còn có thể được quy cho loại cấp số được xem xét, vì hiệu của nó không phải là một giá trị không đổi (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).

công thức quan trọng

Bây giờ chúng tôi đưa ra các công thức cơ bản cần thiết để giải các bài toán sử dụng cấp số cộng. Gọi n là phần tử thứ n của dãy, trong đó n là một số nguyên. Sự khác biệt được biểu thị bằng chữ cái Latinh d. Khi đó các biểu thức sau là đúng:

Để xác định giá trị của số hạng thứ n, công thức phù hợp: a n \u003d (n-1) * d + a 1.
Để xác định tổng của n số hạng đầu tiên: S n = (a n + a 1)*n/2.

Để hiểu bất kỳ ví dụ nào về cấp số cộng có lời giải ở lớp 9, chỉ cần nhớ hai công thức này là đủ, vì bất kỳ bài toán nào thuộc loại đang xét đều được xây dựng dựa trên việc sử dụng chúng. Ngoài ra, đừng quên rằng chênh lệch cấp số nhân được xác định theo công thức: d = a n - a n-1 .

Ví dụ #1: Tìm một thành viên không xác định

Chúng tôi đưa ra một ví dụ đơn giản về một cấp số cộng và các công thức phải dùng để giải.

Cho dãy 10, 8, 6, 4, ... cần tìm 5 số hạng trong dãy.

Từ các điều kiện của bài toán đã biết 4 số hạng đầu tiên. Thứ năm có thể được định nghĩa theo hai cách:

Hãy tính toán sự khác biệt đầu tiên. Ta có: d = 8 - 10 = -2. Tương tự, người ta có thể lấy bất kỳ hai số hạng nào khác đứng cạnh nhau. Ví dụ: d = 4 - 6 = -2. Vì đã biết rằng d \u003d a n - a n-1, nên d \u003d a 5 - a 4, từ đó chúng ta có: a 5 \u003d a 4 + d. Chúng tôi thay thế các giá trị đã biết: a 5 = 4 + (-2) = 2.
Phương pháp thứ hai cũng yêu cầu kiến thức về sự khác biệt của cấp số được đề cập, vì vậy trước tiên bạn cần xác định nó, như được hiển thị ở trên (d = -2). Biết rằng số hạng đầu tiên a 1 = 10, ta sử dụng công thức cho số thứ n của dãy. Ta có: a n \u003d (n - 1) * d + a 1 \u003d (n - 1) * (-2) + 10 \u003d 12 - 2 * n. Thay n = 5 vào biểu thức cuối cùng, ta được: a 5 = 12-2 * 5 = 2.

Như bạn có thể thấy, cả hai giải pháp đều dẫn đến cùng một kết quả. Lưu ý rằng trong ví dụ này, chênh lệch d của cấp số là âm. Dãy số như vậy được gọi là giảm dần vì mỗi số hạng kế tiếp nhỏ hơn số hạng trước đó.

Ví dụ #2: chênh lệch lũy tiến

Bây giờ hãy làm phức tạp nhiệm vụ một chút, đưa ra một ví dụ về cách

Được biết, trong một số thuật ngữ thứ nhất bằng 6 và thuật ngữ thứ 7 bằng 18. Cần tìm hiệu và khôi phục dãy này về thuật ngữ thứ 7.

Hãy sử dụng công thức để xác định số hạng chưa biết: a n = (n - 1) * d + a 1 . Ta thay dữ liệu đã biết từ điều kiện vào đó, tức là các số a 1 và a 7, ta có: 18 \u003d 6 + 6 * d. Từ biểu thức này, bạn có thể dễ dàng tính toán sự khác biệt: d = (18 - 6) / 6 = 2. Như vậy, phần đầu tiên của vấn đề đã được trả lời.

Để khôi phục chuỗi về phần tử thứ 7, bạn nên sử dụng định nghĩa của một cấp số đại số, nghĩa là a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d, v.v. Kết quả là, chúng tôi khôi phục toàn bộ chuỗi: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , 6 = 14 + 2 = 16 và 7 = 18.

Ví dụ #3: thực hiện một sự tiến triển

Hãy để chúng tôi phức tạp hóa điều kiện của vấn đề hơn nữa. Bây giờ bạn cần trả lời câu hỏi làm thế nào để tìm một cấp số cộng. Chúng ta có thể đưa ra ví dụ sau: hai số đã cho, chẳng hạn như 4 và 5. Cần phải lập một cấp số đại số sao cho có thêm ba số hạng nằm giữa các số này.

Trước khi bắt đầu giải quyết vấn đề này, cần phải hiểu những con số đã cho sẽ chiếm vị trí nào trong quá trình tiến triển trong tương lai. Vì sẽ có thêm ba điều khoản giữa chúng, sau đó là 1 \u003d -4 và 5 \u003d 5. Sau khi thiết lập điều này, chúng tôi tiến hành một nhiệm vụ tương tự như nhiệm vụ trước. Một lần nữa, đối với số hạng thứ n, chúng tôi sử dụng công thức, chúng tôi nhận được: a 5 \u003d a 1 + 4 * d. Từ: d \u003d (a 5 - a 1) / 4 \u003d (5 - (-4)) / 4 \u003d 2.25. Ở đây, hiệu không phải là một giá trị nguyên mà là một số hữu tỉ nên các công thức của cấp số đại số vẫn giữ nguyên.

Bây giờ, hãy thêm sự khác biệt đã tìm thấy vào 1 và khôi phục các thành phần còn thiếu của tiến trình. Ta được: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 \u003d 2,75 + 2,25 \u003d 5, mà trùng hợp với điều kiện của vấn đề.

Ví dụ #4: Thành viên đầu tiên của tiến trình

Ta tiếp tục đưa ra các ví dụ về một cấp số cộng có nghiệm. Trong tất cả các bài toán trước, số đầu tiên của cấp số đại số đã được biết. Bây giờ hãy xem xét một vấn đề thuộc loại khác: cho hai số đã cho, trong đó a 15 = 50 và a 43 = 37. Cần phải tìm xem dãy này bắt đầu từ số nào.

Các công thức đã được sử dụng cho đến nay giả định kiến thức về 1 và d. Không có gì được biết về những con số này trong điều kiện của vấn đề. Tuy nhiên, hãy viết ra các biểu thức cho từng thuật ngữ mà chúng ta có thông tin: a 15 = a 1 + 14 * d và a 43 = a 1 + 42 * d. Ta được 2 phương trình chứa 2 ẩn số (a 1 và d). Điều này có nghĩa là vấn đề được rút gọn thành việc giải một hệ phương trình tuyến tính.

Hệ thống được chỉ định sẽ dễ giải quyết nhất nếu bạn biểu thị 1 trong mỗi phương trình, sau đó so sánh các biểu thức kết quả. Phương trình thứ nhất: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; phương trình thứ hai: a 1 \u003d a 43 - 42 * d \u003d 37 - 42 * d. Cân bằng các biểu thức này, chúng ta nhận được: 50 - 14 * d \u003d 37 - 42 * d, do đó chênh lệch d \u003d (37 - 50) / (42 - 14) \u003d - 0,464 (chỉ đưa ra 3 chữ số thập phân).

Biết d, bạn có thể sử dụng bất kỳ biểu thức nào trong 2 biểu thức trên cho 1 . Ví dụ: đầu tiên: a 1 \u003d 50 - 14 * d \u003d 50 - 14 * (- 0,464) \u003d 56,496.

Nếu có nghi ngờ về kết quả, bạn có thể kiểm tra nó, chẳng hạn như xác định phần tử thứ 43 của cấp số được chỉ định trong điều kiện. Ta nhận được: a 43 \u003d a 1 + 42 * d \u003d 56,496 + 42 * (- 0,464) \u003d 37,008. Một lỗi nhỏ là do làm tròn đến phần nghìn đã được sử dụng trong các phép tính.

Ví dụ #5: Tổng

Bây giờ chúng ta hãy xem xét một số ví dụ với các giải pháp cho tổng của một cấp số cộng.

Cho cấp số có dạng sau: 1, 2, 3, 4, ..., . Làm thế nào để tính tổng 100 của những con số này?

Nhờ sự phát triển của công nghệ máy tính, vấn đề này có thể được giải quyết, đó là cộng tuần tự tất cả các số mà máy tính sẽ thực hiện ngay khi một người nhấn phím Enter. Tuy nhiên, vấn đề có thể được giải một cách tinh thần nếu bạn chú ý rằng dãy số được trình bày là một cấp số đại số và hiệu của nó là 1. Áp dụng công thức tính tổng, ta được: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Thật tò mò khi lưu ý rằng vấn đề này được gọi là "Gaussian", vì vào đầu thế kỷ 18, một người Đức nổi tiếng, khi mới 10 tuổi, đã có thể giải nó trong đầu trong vài giây. Cậu bé không biết công thức tính tổng của một cấp số đại số, nhưng cậu nhận thấy rằng nếu bạn cộng các cặp số nằm ở các cạnh của dãy số, thì bạn luôn nhận được cùng một kết quả, đó là 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., và vì các tổng này sẽ chính xác là 50 (100/2), nên để có câu trả lời đúng, chỉ cần nhân 50 với 101 là đủ.

Ví dụ #6: tổng các số hạng từ n đến m

Một ví dụ điển hình khác về tổng của một cấp số cộng như sau: cho một dãy số: 3, 7, 11, 15, ..., bạn cần tìm tổng các số hạng của nó từ 8 đến 14 sẽ là bao nhiêu.

Vấn đề được giải quyết theo hai cách. Đầu tiên trong số chúng liên quan đến việc tìm các thuật ngữ chưa biết từ 8 đến 14, sau đó tổng hợp chúng theo trình tự. Vì có ít thuật ngữ nên phương pháp này không đủ công phu. Tuy nhiên, người ta đề xuất giải quyết vấn đề này bằng phương pháp thứ hai, phổ biến hơn.

Ý tưởng là để có được một công thức tính tổng của một cấp số nhân giữa các số hạng m và n, trong đó n > m là các số nguyên. Đối với cả hai trường hợp, chúng tôi viết hai biểu thức cho tổng:

S m \u003d m * (a m + a 1)/2.
S n \u003d n * (a n + a 1) / 2.

Vì n > m nên hiển nhiên tổng 2 bao gồm cả tổng đầu tiên. Kết luận cuối cùng có nghĩa là nếu chúng ta lấy hiệu giữa các tổng này và thêm số hạng a m vào nó (trong trường hợp lấy hiệu, nó được trừ vào tổng S n), thì chúng ta sẽ nhận được câu trả lời cần thiết cho bài toán. Ta có: S mn \u003d S n - S m + a m \u003d n * (a 1 + a n)/2 - m * (a 1 + a m)/2 + a m \u003d a 1 * (n - m) / 2 + a n * n / 2 + a m * (1- m / 2). Cần phải thay thế các công thức cho n và a m vào biểu thức này. Khi đó ta được: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m/2) = a 1*(n - m + 1) + d*n*(n - 1)/2 + d*(3*m - m 2 - 2)/2.

Công thức kết quả hơi cồng kềnh, tuy nhiên, tổng S mn chỉ phụ thuộc vào n, m, a 1 và d. Trong trường hợp của chúng tôi, a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Thay các số này, chúng tôi nhận được: S mn = 301.

Có thể thấy, ở các cách giải trên, các bài toán đều dựa trên kiến thức về biểu thức của số hạng thứ n và công thức tính tổng của tập hợp các số hạng đầu tiên. Trước khi bạn bắt đầu giải quyết bất kỳ vấn đề nào trong số này, bạn nên đọc kỹ điều kiện, hiểu rõ những gì bạn muốn tìm và chỉ sau đó mới tiến hành giải pháp.

Một mẹo khác là cố gắng đạt được sự đơn giản, nghĩa là nếu bạn có thể trả lời câu hỏi mà không cần sử dụng các phép tính toán học phức tạp, thì bạn chỉ cần làm như vậy, vì trong trường hợp này, xác suất mắc lỗi sẽ ít hơn. Chẳng hạn, ở ví dụ cấp số cộng có lời giải số 6, ta có thể dừng lại ở công thức S mn = n * (a 1 + a n)/2 - m * (a 1 + a m)/2 + a m, và chia nhiệm vụ chung thành các nhiệm vụ con riêng biệt (trong trường hợp này, trước tiên hãy tìm các số hạng a n và a m).

Nếu có nghi ngờ về kết quả thu được, bạn nên kiểm tra kết quả đó, như đã làm trong một số ví dụ đã cho. Làm thế nào để tìm một cấp số cộng, tìm ra. Một khi bạn tìm ra nó, nó không phải là khó khăn.

Tổng của một cấp số cộng.

Tổng của một cấp số cộng là một điều đơn giản. Cả về ý nghĩa và công thức. Nhưng có tất cả các loại nhiệm vụ về chủ đề này. Từ sơ cấp đến khá vững chắc.

Đầu tiên, hãy giải quyết ý nghĩa và công thức của tổng. Và sau đó chúng ta sẽ quyết định. Vì niềm vui của riêng bạn.) Ý nghĩa của tổng đơn giản như hạ thấp. Để tìm tổng của một cấp số cộng, bạn chỉ cần cộng cẩn thận tất cả các phần tử của nó. Nếu các thuật ngữ này ít, bạn có thể thêm mà không cần bất kỳ công thức nào. Nhưng nếu có nhiều, hoặc nhiều ... phép cộng thì phiền phức.) Trong trường hợp này, công thức sẽ tiết kiệm.

Công thức tính tổng rất đơn giản:

Hãy tìm hiểu loại chữ cái nào được bao gồm trong công thức. Điều này sẽ rõ ràng rất nhiều.

S n là tổng của một cấp số cộng. kết quả cộng tất cả các thành viên, với Đầu tiên trên Cuối cùng. Nó quan trọng. Cộng chính xác tất cả các các thành viên trong một hàng, không có khoảng cách và nhảy. Và, chính xác, bắt đầu từ Đầu tiên. Trong các bài toán như tìm tổng của các số hạng thứ ba và thứ tám, hoặc tổng của các số hạng từ năm đến thứ hai mươi, việc áp dụng trực tiếp công thức sẽ gây thất vọng.)

một 1 - người đầu tiên thành viên của sự tiến bộ. Mọi thứ đều rõ ràng ở đây, thật đơn giản Đầu tiên số lượng hàng.

một- Cuối cùng thành viên của sự tiến bộ. Số cuối cùng của hàng. Không phải là một cái tên quá quen thuộc, nhưng khi áp dụng vào số lượng, nó rất phù hợp. Sau đó, bạn sẽ thấy cho chính mình.

N là số của thành viên cuối cùng. Điều quan trọng là phải hiểu rằng trong công thức con số này trùng với số thành viên được thêm vào.

Hãy xác định khái niệm Cuối cùng thành viên một. Điền câu hỏi: loại thành viên nào sẽ Cuối cùng, nếu được bất tận cấp số cộng?

Để trả lời tự tin, bạn cần hiểu ý nghĩa sơ đẳng của một cấp số cộng và... đọc kỹ đề bài!)

Trong bài toán tìm tổng của một cấp số cộng, số hạng cuối cùng luôn xuất hiện (trực tiếp hoặc gián tiếp), cái nào nên hạn chế. Mặt khác, một lượng hữu hạn, cụ thể chỉ là không tồn tại.Đối với giải pháp, loại tiến trình nào được đưa ra không quan trọng: hữu hạn hay vô hạn. Không quan trọng nó được đưa ra như thế nào: bởi một dãy số hoặc theo công thức của phần tử thứ n.

Điều quan trọng nhất là phải hiểu rằng công thức hoạt động từ số hạng đầu tiên của cấp số đến số hạng có số N. Trên thực tế, tên đầy đủ của công thức trông như thế này: tổng của n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng. Số lượng những thành viên đầu tiên này, tức là N, được xác định duy nhất bởi nhiệm vụ. Trong nhiệm vụ, tất cả thông tin có giá trị này thường được mã hóa, vâng ... Nhưng không có gì, trong các ví dụ dưới đây, chúng tôi sẽ tiết lộ những bí mật này.)

Ví dụ về nhiệm vụ tính tổng của một cấp số cộng.

Trước hết, thông tin hữu ích:

Khó khăn chính trong các nhiệm vụ tính tổng của một cấp số cộng là việc xác định chính xác các phần tử của công thức.

Các tác giả của bài tập mã hóa chính những yếu tố này bằng trí tưởng tượng vô biên.) Điều chính yếu ở đây là đừng sợ hãi. Hiểu được bản chất của các yếu tố, chỉ cần giải mã chúng là đủ. Chúng ta hãy xem xét một vài ví dụ chi tiết. Hãy bắt đầu với một nhiệm vụ dựa trên GIA thực.

1. Cấp số cộng cho bởi điều kiện: a n = 2n-3,5. Tìm tổng của 10 số hạng đầu tiên.

Làm tốt lắm. Dễ.) Để xác định lượng theo công thức ta cần biết điều gì? Thành viên đầu tiên một 1, hạn cuối một, vâng số của kỳ cuối N.

Lấy số thành viên cuối cùng ở đâu N? Vâng, ở cùng một nơi, trong điều kiện! Nó nói tìm tổng 10 thành viên đầu tiên. Chà, nó sẽ là số nào Cuối cùng, thành viên thứ mười?) Bạn sẽ không tin đâu, số của anh ấy là thứ mười!) Vì vậy, thay vì một chúng ta sẽ thay thế vào công thức một số 10, nhưng thay vì N- mười. Một lần nữa, số lượng thành viên cuối cùng giống như số lượng thành viên.

Nó vẫn còn phải được xác định một 1 và một số 10. Điều này dễ dàng được tính bằng công thức của thuật ngữ thứ n, được đưa ra trong báo cáo vấn đề. Không biết làm thế nào để làm điều đó? Truy cập bài học trước, không có cái này - không có gì.

một 1= 2 1 - 3,5 = -1,5

một số 10\u003d 2 10 - 3,5 \u003d 16,5

S n = S10.

Ta đã tìm ra ý nghĩa của tất cả các thành phần trong công thức tính tổng của một cấp số cộng. Nó vẫn còn để thay thế chúng và đếm:

Thats tất cả để có nó. Đáp số: 75 .

Một nhiệm vụ khác dựa trên GIA. Phức tạp hơn một chút:

2. Cho một cấp số cộng (a n) có công sai là 3,7; một 1 \u003d 2.3. Tìm tổng của 15 số hạng đầu tiên.

Ta viết ngay công thức tính tổng:

Công thức này cho phép chúng tôi tìm giá trị của bất kỳ thành viên nào theo số của nó. Chúng tôi đang tìm kiếm một sự thay thế đơn giản:

a 15 \u003d 2,3 + (15-1) 3,7 \u003d 54,1

Nó vẫn còn để thay thế tất cả các yếu tố trong công thức cho tổng của một cấp số cộng và tính toán câu trả lời:

Đáp số: 423 .

Nhân tiện, nếu trong công thức tính tổng thay vì một chỉ cần thay vào công thức của số hạng thứ n, ta được:

Ta đưa ra những cái tương tự, ta được một công thức mới tính tổng các phần tử của một cấp số cộng:

Như bạn có thể thấy, thuật ngữ thứ n không bắt buộc ở đây. một. Trong một số nhiệm vụ, công thức này giúp ích rất nhiều, vâng ... Bạn có thể nhớ công thức này. Và bạn có thể chỉ cần rút nó vào đúng thời điểm, như ở đây. Rốt cuộc, công thức tính tổng và công thức cho số hạng thứ n phải được ghi nhớ bằng mọi cách.)

Bây giờ nhiệm vụ ở dạng mã hóa ngắn):

3. Tìm tổng tất cả các số dương có hai chữ số là bội của ba.

Làm sao! Không có thành viên đầu tiên, không có cuối cùng, không có tiến bộ nào cả... Làm sao để sống!?

Bạn sẽ phải suy nghĩ bằng đầu và rút ra khỏi điều kiện tất cả các phần tử của tổng của một cấp số cộng. Số có hai chữ số là gì - chúng tôi biết. Chúng bao gồm hai số.) Số có hai chữ số nào sẽ Đầu tiên? 10, có lẽ.) thứ cuối cùng số có hai chữ số? 99, tất nhiên! Những con ba chữ số sẽ theo anh ấy ...

Bội số của ba... Hừm... Đây là những số chia hết cho ba, đây! Mười không chia hết cho 3, 11 không chia hết... 12... chia hết! Vì vậy, một cái gì đó đang nổi lên. Bạn đã có thể viết một loạt theo điều kiện của vấn đề:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

Dãy số này sẽ là một cấp số cộng? Tất nhiên! Mỗi thuật ngữ khác với thuật ngữ trước đúng ba. Nếu 2, hoặc 4, được thêm vào thuật ngữ, giả sử, kết quả, tức là một số mới sẽ không còn chia hết cho 3. Bạn có thể xác định ngay hiệu của cấp số cộng đối với đống: đ=3. Hữu ích!)

Vì vậy, chúng ta có thể viết ra một số tham số tiến trình một cách an toàn:

con số sẽ là bao nhiêu N thành viên cuối cùng? Bất cứ ai nghĩ rằng 99 là nhầm lẫn nghiêm trọng ... Các con số - chúng luôn đi theo hàng và các thành viên của chúng tôi nhảy qua ba người dẫn đầu. Họ không phù hợp.

Có hai giải pháp ở đây. Một cách là dành cho những người siêu chăm chỉ. Bạn có thể vẽ tiến trình, toàn bộ dãy số và đếm số lượng các số hạng bằng ngón tay.) Cách thứ hai dành cho người biết suy nghĩ. Bạn cần nhớ công thức của số hạng thứ n. Nếu công thức được áp dụng cho vấn đề của chúng tôi, chúng tôi nhận được rằng 99 là phần tử thứ ba mươi của cấp số. Những thứ kia. n=30.

Chúng ta xem xét công thức tính tổng của một cấp số cộng:

Chúng tôi nhìn và vui mừng.) Chúng tôi rút ra mọi thứ cần thiết để tính toán số tiền từ điều kiện của vấn đề:

một 1= 12.

30= 99.

S n = S30.

Những gì còn lại là số học cơ bản. Thay các số vào công thức rồi tính:

Đáp án: 1665

Một loại câu đố phổ biến khác:

4. Một cấp số cộng cho:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

Tìm tổng các số hạng từ thứ hai mươi đến thứ ba mươi tư.

Chúng tôi nhìn vào công thức tính tổng và ... chúng tôi rất buồn.) Công thức, để tôi nhắc bạn, tính tổng từ đầu tiên thành viên. Và trong bài toán bạn cần tính tổng kể từ ngày hai mươi... Công thức sẽ không hoạt động.

Tất nhiên, bạn có thể vẽ toàn bộ quá trình liên tiếp và đặt các thành viên từ 20 đến 34. Nhưng ... bằng cách nào đó nó trở nên ngu ngốc và trong một thời gian dài, phải không?)

Có một giải pháp thanh lịch hơn. Hãy chia loạt bài của chúng tôi thành hai phần. Phần đầu tiên sẽ từ kỳ thứ nhất đến kỳ thứ mười chín. Phần thứ hai - hai mươi đến ba mươi tư. Rõ ràng là nếu chúng ta tính tổng các số hạng của phần đầu tiên T1-19, hãy thêm nó vào tổng các thành viên của phần thứ hai T20-34, chúng tôi nhận được tổng của sự tiến bộ từ thuật ngữ đầu tiên đến thứ ba mươi tư S 1-34. Như thế này:

T1-19 + T20-34 = S 1-34

Điều này cho thấy rằng để tìm tổng T20-34 có thể được thực hiện bằng phép trừ đơn giản

T20-34 = S 1-34 - T1-19

Cả hai khoản tiền ở phía bên phải được coi là từ đầu tiên thành viên, tức là công thức tính tổng tiêu chuẩn khá phù hợp với chúng. Chúng ta đang bắt đầu?

Chúng tôi trích xuất các tham số tiến trình từ điều kiện nhiệm vụ:

d = 1,5.

một 1= -21,5.

Để tính tổng của 19 và 34 số hạng đầu tiên, chúng ta sẽ cần các số hạng thứ 19 và 34. Chúng ta đếm chúng theo công thức của số hạng thứ n, như trong bài toán 2:

một 19\u003d -21,5 + (19-1) 1,5 \u003d 5,5

một 34\u003d -21,5 + (34-1) 1,5 \u003d 28

Không con gi. Trừ tổng của 19 số hạng từ tổng của 34 số hạng:

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5

Đáp số: 262,5

Một lưu ý quan trọng! Có một tính năng rất hữu ích trong việc giải quyết vấn đề này. Thay vì tính trực tiếp bạn cần gì (S 20-34), chúng tôi đã tính điều dường như là không cần thiết - S 1-19. Và sau đó họ xác định T20-34, loại bỏ những thứ không cần thiết khỏi kết quả đầy đủ. Một "đòn nhử bằng tai" như vậy thường tiết kiệm trong các câu đố độc ác.)

Trong bài học này, chúng ta đã kiểm tra các bài toán đủ để hiểu ý nghĩa của tổng một cấp số cộng. Chà, bạn cần biết một vài công thức.)

Lời khuyên thiết thực:

Khi giải bất kỳ bài toán nào về tổng của một cấp số cộng, tôi khuyên bạn nên viết ngay hai công thức chính từ chủ đề này.

Công thức của thành viên thứ n:

Những công thức này sẽ ngay lập tức cho bạn biết cần tìm gì, suy nghĩ theo hướng nào để giải quyết vấn đề. Giúp.

Và bây giờ là các nhiệm vụ cho giải pháp độc lập.

5. Tìm tổng tất cả các số có hai chữ số không chia hết cho ba.

Thật tuyệt?) Gợi ý được ẩn trong ghi chú cho vấn đề 4. Chà, vấn đề 3 sẽ giúp ích.

6. Cấp số cộng cho bởi điều kiện: a 1 = -5,5; a n+1 = a n +0,5. Tìm tổng của 24 số hạng đầu tiên.

Không bình thường?) Đây là công thức truy hồi. Bạn có thể đọc về nó trong bài học trước. Đừng bỏ qua liên kết, những câu đố như vậy thường được tìm thấy trong GIA.

7. Vasya tiết kiệm tiền cho kỳ nghỉ. Nhiều như 4550 rúp! Và tôi quyết định cho người tôi yêu nhất (chính tôi) vài ngày hạnh phúc). Sống đẹp mà không phủ nhận bản thân bất cứ điều gì. Chi tiêu 500 rúp vào ngày đầu tiên và chi tiêu nhiều hơn 50 rúp vào mỗi ngày tiếp theo so với ngày trước! Cho đến khi hết tiền. Vasya đã có bao nhiêu ngày hạnh phúc?

Có khó không?) Một công thức bổ sung từ nhiệm vụ 2 sẽ giúp ích.

Đáp án (xáo trộn): 7, 3240, 6.

Nếu bạn thích trang web này...

Nhân tiện, tôi có một vài trang web thú vị hơn dành cho bạn.)

Bạn có thể thực hành giải các ví dụ và tìm hiểu trình độ của mình. Kiểm tra với xác minh ngay lập tức. Học - với sự quan tâm!)

bạn có thể làm quen với các hàm và đạo hàm.

Loại bài học: học tài liệu mới.

Mục tiêu bài học:

mở rộng và đào sâu ý tưởng của học sinh về các nhiệm vụ được giải bằng cấp số cộng; tổ chức hoạt động tìm tòi của HS khi tìm công thức tính tổng n phần tử đầu của một cấp số cộng;
phát triển kỹ năng tiếp thu kiến thức mới một cách độc lập, sử dụng kiến thức đã học để hoàn thành nhiệm vụ;
sự phát triển của mong muốn và nhu cầu khái quát các sự kiện thu được, sự phát triển của tính độc lập.

Nhiệm vụ:

khái quát hóa, hệ thống hóa kiến thức đã có về chủ đề “Cấp số cộng”;
rút ra công thức tính tổng n phần tử đầu tiên của một cấp số cộng;
dạy cách áp dụng các công thức thu được để giải các bài toán khác nhau;
thu hút sự chú ý của học sinh về thủ tục tìm giá trị của một biểu thức số.

Thiết bị:

thẻ với nhiệm vụ làm việc theo nhóm và theo cặp;
giấy thẩm định;
bài thuyết trình"Cấp số cộng".

I. Hiện thực hóa kiến thức cơ bản.

1. Làm việc độc lập theo cặp.

tùy chọn thứ nhất:

Định nghĩa một cấp số cộng. Viết công thức đệ quy xác định một cấp số cộng. Cho ví dụ về một cấp số cộng và chỉ ra sự khác nhau của nó.

tùy chọn thứ 2:

Viết công thức số hạng thứ n của một cấp số cộng. Tìm số hạng thứ 100 của một cấp số cộng ( một}: 2, 5, 8 …
Lúc này, hai học sinh ở mặt sau của bảng đang chuẩn bị câu trả lời cho cùng một câu hỏi.
Học sinh đánh giá công việc của đối tác bằng cách so sánh nó với bảng. (Các tờ rơi có đáp án được phát).

2. Khoảnh khắc trò chơi.

Bài tập 1.

Giáo viên. Tôi nghĩ ra một số cấp số cộng. Chỉ hỏi tôi hai câu hỏi để sau câu trả lời, bạn có thể nhanh chóng gọi tên thành viên thứ 7 của tiến trình này. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15…)

Câu hỏi của học sinh.

Thuật ngữ thứ sáu của tiến trình là gì và sự khác biệt là gì?
Thuật ngữ thứ tám của tiến trình là gì và sự khác biệt là gì?

Nếu không còn câu hỏi nào nữa, thì giáo viên có thể kích thích họ - “cấm” d (sự khác biệt), tức là không được phép hỏi sự khác biệt là gì. Bạn có thể đặt câu hỏi: số hạng thứ 6 của cấp số là gì và số hạng thứ 8 của cấp số là gì?

Nhiệm vụ 2.

Có 20 số được viết trên bảng: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

Giáo viên đứng quay lưng lại với bảng đen. Học sinh nói số của số, và giáo viên ngay lập tức gọi chính số đó. Giải thích làm thế nào tôi có thể làm điều đó?

Giáo viên nhắc lại công thức của số hạng thứ n một n \u003d 3n - 2 và, thay thế các giá trị đã cho của n, tìm các giá trị tương ứng một .

II. Tuyên bố về nhiệm vụ giáo dục.

Tôi đề xuất giải quyết một vấn đề cũ có từ thiên niên kỷ thứ 2 trước Công nguyên, được tìm thấy trong giấy cói của Ai Cập.

Một nhiệm vụ:“Hãy nói cho anh em biết: chia 10 đấu lúa mạch cho 10 người, số chênh lệch giữa mỗi người và người hàng xóm là 1/8 đấu”.

Bài toán này có quan hệ như thế nào với chủ đề cấp số cộng? (Mỗi người tiếp theo nhận được nhiều hơn 1/8 số đo, vì vậy sự khác biệt là d=1/8, 10 người, vì vậy n=10.)
Bạn nghĩ số 10 có ý nghĩa gì? (Tổng của tất cả các thành viên của sự tiến triển.)
Bạn cần biết điều gì nữa để có thể chia lúa mạch theo điều kiện của bài toán một cách dễ dàng và đơn giản? (Số hạng đầu tiên của cấp số.)

Mục tiêu bài học- thu được sự phụ thuộc của tổng các số hạng của cấp số vào số của chúng, số hạng đầu tiên và hiệu, đồng thời kiểm tra xem bài toán đã được giải đúng trong thời cổ đại hay chưa.

Trước khi tìm ra công thức, hãy xem người Ai Cập cổ đại đã giải bài toán như thế nào.

Và họ đã giải quyết nó như thế này:

1) 10 biện pháp: 10 = 1 biện pháp - chia sẻ trung bình;
2) 1 thước đo ∙ = 2 thước đo - nhân đôi trung bìnhđăng lại.
nhân đôi trung bình phần được chia bằng tổng số cổ phần của người thứ 5 và người thứ 6.
3) 2 thước đo - 1/8 thước đo = 1 7/8 thước đo - gấp đôi phần của người thứ năm.
4) 1 7/8: 2 = 5/16 - phần của người thứ năm; v.v., bạn có thể tìm thấy phần chia sẻ của từng người trước đó và người tiếp theo.

Ta được dãy:

III. Giải pháp của nhiệm vụ.

1. Làm việc theo nhóm

nhóm 1: Tìm tổng của 20 số tự nhiên liên tiếp: S 20 \u003d (20 + 1) ∙ 10 \u003d 210.

Nói chung

Nhóm II: Tìm tổng các số tự nhiên từ 1 đến 100 (Truyền thuyết về cậu bé Gauss).

S 100 \u003d (1 + 100) ∙ 50 \u003d 5050

Sự kết luận:

Nhóm III: Tìm tổng các số tự nhiên từ 1 đến 21.

Giải: 1+21=2+20=3+19=4+18…

Sự kết luận:

nhómIV: Tìm tổng các số tự nhiên từ 1 đến 101.

Sự kết luận:

Phương pháp giải quyết các vấn đề được xem xét này được gọi là "phương pháp Gauss".

2. Từng nhóm trình bày lời giải bài toán trên bảng.

3. Tổng quát hóa các nghiệm đề xuất cho một cấp số cộng tùy ý:

a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n-2 , a n-1 , a n .
S n \u003d a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + ... + a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n.

Chúng tôi tìm thấy số tiền này bằng cách lập luận tương tự:

4. Chúng ta đã giải quyết được nhiệm vụ chưa?(Đúng.)

IV. Sơ cấp hiểu và vận dụng các công thức thu được vào giải toán.

1. Kiểm tra cách giải bài cũ bằng căn thức.

2. Ứng dụng của căn thức trong giải các bài toán khác nhau.

3. Bài tập hình thành năng lực vận dụng căn thức vào giải toán.

A) Số 613

Được :( và N) - cấp số cộng;

(một n): 1, 2, 3, ..., 1500

Tìm thấy: S1500

Dung dịch: , và 1 = 1, và 1500 = 1500,

B) Cho: ( và N) - cấp số cộng;
(và n): 1, 2, 3, ...
S n = 210

Tìm thấy: N
Dung dịch:

V. Làm việc độc lập với sự xác minh lẫn nhau.

Denis đi làm chuyển phát nhanh. Trong tháng đầu tiên, tiền lương của anh ta là 200 rúp, trong mỗi tháng tiếp theo, nó tăng thêm 30 rúp. Anh ta kiếm được bao nhiêu trong một năm?

Được :( và N) - cấp số cộng;
một 1 = 200, d=30, n=12
Tìm thấy: S12
Dung dịch:

Trả lời: Denis nhận được 4380 rúp trong năm.

VI. Hướng dẫn bài tập về nhà.

trang 4.3 - tìm hiểu đạo hàm của công thức.
№№ 585, 623 .
Soạn một bài toán sẽ được giải bằng cách sử dụng công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng.

VII. Tổng kết bài học.

1. Bảng điểm

2. Tiếp tục câu

Hôm nay ở lớp em được học...
Công thức đã học...
Tôi nghĩ vậy …

3. Bạn có thể tìm tổng các số từ 1 đến 500 không? Bạn sẽ sử dụng phương pháp nào để giải quyết vấn đề này?

Thư mục.

1. Đại số lớp 9. Sách giáo khoa cho các cơ sở giáo dục. biên tập. G.V. Dorofeeva. Mátxcơva: Khai sáng, 2009.

Dãy SỐ VI

§ 144. Tổng các phần tử của một cấp số cộng

Họ kể rằng có lần một giáo viên tiểu học muốn làm bài độc lập trong lớp lâu nên đã giao cho các em một nhiệm vụ “khó nhằn” - tính tổng tất cả các số tự nhiên từ 1 đến 100:

1 + 2 + 3 + 4 + ... + 100.

Một trong những sinh viên ngay lập tức đề xuất một giải pháp. Đây rồi.:

1+2 +3+... + 98 +99+ 100 = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + ... +(49 + 52)+ (50 + 51) =
= 101 + 101 + . . . + 101 + 101 = 101 50 = 5050.
50 lần

Đó là Carl Gauss, người sau này trở thành một trong những nhà toán học nổi tiếng nhất thế giới*.

* Một trường hợp tương tự với Gauss đã thực sự diễn ra. Tuy nhiên, ở đây nó được đơn giản hóa rất nhiều. Các số cô giáo gợi ý có năm chữ số và lập thành một cấp số cộng có công ba chữ số.

Ý tưởng về một giải pháp như vậy có thể được sử dụng để tìm tổng các số hạng của bất kỳ cấp số cộng nào.

bổ đề. Tổng hai số hạng của một cấp số cộng hữu hạn, cách đều hai đầu mút thì bằng tổng các số hạng cực trị.

Ví dụ, trong một cấp số cộng hữu hạn

1, 2, 3.....98, 99, 100

các số hạng 2 và 99, 3 và 98, 4 và 97, v.v... cách đều các đầu của cấp số này. Do đó, tổng của chúng 2 + 99, 3 + 98, 4 + 97 bằng tổng các số hạng cực trị 1 + 100.

Chứng minh bổ đề. Cho một cấp số cộng hữu hạn

một 1 , một 2 , ..., một N - 1 , một N

hai phần tử bất kỳ cách xa hai đầu bằng nhau. Hãy giả sử rằng một trong số họ là k -thuật ngữ thứ từ bên trái, đó là một k , và điều khác - k thuật ngữ từ bên phải, tức là một N -k+ một . sau đó

một k + một N -k+ 1 =[một 1 + (k - 1)đ ] + [một 1 + (n - k )đ ] = 2một 1 + (N - 1)đ .

Tổng các số hạng cực trị của cấp số này bằng

một 1 + một N = một 1 + [một 1 + (N - 1)đ ] = 2một 1 + (N - 1)đ .

Bằng cách này,

một k + một N -k+ 1 = một 1 + một N

Q.E.D.

Sử dụng bổ đề vừa chứng minh, dễ dàng thu được công thức tổng quát của tổng P thành viên của bất kỳ cấp số cộng nào.

S N = một 1 +một 2 + ...+ một N - 1 + một N

S N = một N + một N - 1 + ... + một 2 + một 1 .

Cộng hai đẳng thức này theo số hạng, ta được:

2S N = (một 1 +một N ) + (một 2 +một N - 1)+...+(một N - 1 +một 2) + (một N +một 1)

một 1 +một N = một 2 +một N - 1 = một 3 +một N - 2 =... .

2S N = N (một 1 +một N ),

Tổng các phần tử của một cấp số cộng hữu hạn bằng tích của nửa tổng các phần tử cực trị và số tất cả các phần tử.

Đặc biệt,

bài tập

971. Tìm tổng của tất cả các số lẻ có ba chữ số.

972. Một đồng hồ sẽ chạy được bao nhiêu tiếng trong một ngày nếu nó chỉ chạy đúng số giờ nguyên?

973. Tổng của số thứ nhất là bao nhiêu P số tự nhiên?

974. Rút ra công thức tính độ dài quãng đường vật đi được trong chuyển động thẳng nhanh dần đều:

ở đâu v 0 - tốc độ ban đầu trong mét/giây , một - tăng tốc trong mét/giây 2 , t - thời gian du lịch giây.

975. Tìm tổng của tất cả các phân số bất khả quy có mẫu số là 3 giữa các số nguyên dương t và P (t< п ).

976. Một công nhân duy trì 16 khung cửi vận hành tự động. Hiệu suất mỗi máy một phút/giờ. Người công nhân bật chiếc máy đầu tiên lúc 7 giờ h, và mỗi tiếp theo 5 tối thiểu sau so với trước đó. Tìm ra sản lượng tính bằng mét cho 2 đầu tiên h công việc.

977. Giải các phương trình:

a) 1 + 7 + 13 + ... + X = 280;

b) ( X + 1) + (X + 4) + (X + 7) +...+ (X + 28) = 155

978. Từ ngày 1 tháng 7 đến hết ngày 12 tháng 7, nhiệt độ không khí mỗi ngày tăng trung bình 1/2 độ. Biết rằng nhiệt độ trung bình trong thời gian này là 18 3/4 độ, hãy xác định nhiệt độ không khí vào ngày 1 tháng 7.

979. Tìm một cấp số cộng có trung bình cộng P các điều khoản đầu tiên cho bất kỳ P bằng số của chúng.

980. Tìm tổng của hai mươi số hạng đầu tiên của một cấp số cộng trong đó

một 6 + một 9 + một 12 + một 15 = 20.