Пусть - пространство элементарных событий, - алгебра событий (алгебра подмножеств множества). В основании теории вероятностей лежат следующие пять аксиом.

1. Алгебра событий является - алгеброй событий.

Система событий называется - алгеброй, если для всякой последовательности событий, их объединение, пересечение и дополнения, также принадлежат, т.е. , являются также событиями. Таким образом, - алгебра - это система событий, замкнутая относительно операций дополнения, счетного объединения и счетного пересечения.

2. На - алгебре событий для любого определяется функция, называемая вероятностью и принимающая числовые значения из интервала : .

Данная аксиома - это аксиома существования вероятности - как функции на со значениями из интервала. Следующие три аксиомы определяют свойства функции.

3. Для любых двух событий, таких, что

Аксиома сложения вероятностей.

Отсюда следует, что для конечного числа несовместных событий

4. Пусть, - попарно несовместные события: и пусть. Тогда

Соотношение (15.3) называется аксиомой счетной аддитивности вероятности или аксиомой непрерывности вероятности. Второе связано со следующей интерпретацией равенства (15.3). Событие следует понимать как предел последовательности

При этом равенство (15.3) можно понимать как свойство непрерывности функции: или

Которое позволяет операцию предела вынести за функцию. Это обусловлено тем, что из условия (15.5) следует (15.3):

Пятая аксиома указывает на то, что пространство элементарных событий - есть достоверное событие. Таким образом, содержит в себе все события, которые можно рассматривать в данной задаче.

Пространство элементарных событий, - алгебра событий и вероятность на, удовлетворяющие аксиомам 1-5, образуют так называемое вероятностное пространство, которое принято обозначать.

Отметим, что система аксиом 1-5 не противоречива, так как существуют, удовлетворяющие этим аксиомам и не полна, так как вероятность можно определить многими способами в рамках аксиом 2-5. Понятие вероятностного пространства (или система аксиом 1-5) содержит лишь самые общие требования, предъявляемые к математической модели случайного явления, и не определяет вероятность однозначно. Последнее возможно только с учетом дополнительных условий, заданных в постановке рассматриваемой задачи.

Дискретное вероятностное пространство

Вероятностное пространство называется дискретным, если конечно или счетно, - - алгебра всех подмножеств (включая), вероятность определена для каждого одноточечного подмножества пространства элементарных событий:

Для любого события его вероятность определяется равенством

Примеры - алгебр

17.1. Пусть - произвольное пространство элементарных событий, на котором не заданы какие-либо события. Для построения - алгебры согласно определению (п.15) необходимо рассмотреть все дополнения, объединения и пересечения заданных событий и включить их в - алгебру. Поскольку в данном случае имеется единственное событие, то возможно построить только его дополнение. Теперь имеется система из двух событий { }. Дальнейшее применение операций дополнения, объединения, пересечения не дает новых событий. Таким образом, в данном примере - алгебра.

17.2. Пусть - пространство элементарных событий и - некоторое событие, не совпадающее с, т.е. . Таким образом, имеется система из двух событий. Эту систему можно расширять, включая в нее новые события, которые получаются в результате операций дополнения, объединения, пересечения над событиями. Процедуру расширения системы событий имеет смысл продолжить рекуррентно до прекращения появление новых событий. Предельная система событий называется - алгеброй, порожденной системой событий.

Рассмотрим операцию дополнения над событиями системы. Ее результат, - это новые события, не содержащиеся в исходной системе, включение которых дает новую систему событий

Очевидно, последующие операции дополнения, объединения, пересечения не дают новых событий, не содержащихся в (17.1). Таким образом, система событий (17.1) является - алгеброй, порожденной системой.

17.3. Усложним пример. Пусть - пространство элементарных событий, - два несовместных события, таких что. Таким образом, имеется система трех событий. Операция объединения над событиями этой системы приводит к появлению одного нового события. Полученная система четырех событий расширяется до восьми путем включения их дополнений. Несложно видеть, что применение операций дополнения, объединения, пересечения к этим восьми событиям не порождает новых событий. Таким образом, система восьми событий

является - алгеброй, порожденной системой событий.

17.4. Рассмотрим - пространство элементарных событий и два произвольных события, рис. 17.1. Для построения - алгебры, порожденной некоторой системой событий, во многих случаях удобно применить следующий прием.

На выделим все несовместные события, рис. 17.1. При этом, и т.д. - алгебра будет содержать все события, все объединения событий, а также невозможное событие. Действительно, операция пересечения любых событий из множества порождает единственное событие. Операция дополнения над событиями из множества порождает событие, которое выражается через объединение событий. Следовательно, над событиями достаточно рассмотреть только операцию объединения, вместо трех операций - дополнения, пересечения, объединения для исходной системы событий.

Теперь для построения - алгебры рассмотрим события, все их объединения и выразим полученные события через исходные. Очевидно: , . Парные объединения дают следующие события: , ; , ; . Тройные объединения: , .

Таким образом, - алгебра содержит события: , ; , ; , а также и - всего 16 событий.

Отметим, что при определении - алгебры порождающая система событий, как правило, составляется из событий, наблюдаемых в опыте.

Отметим, что события совпадают с событиями (8.1), которые рассматривались при выводе формулы сложения для частот. Действительно, и наконец, по формуле (6.1) .

17.5. Рассмотрим обобщение примера 4. Пусть исходная система событий - содержит произвольных событий. Для построения - алгебры, подобно примеру 4, введем события вида

где каждое или, причем и. Поскольку каждое может принимать два значения 0 или 1, то число всех событий вида равно. Эти события образуют полную группу несовместных событий. Таким образом, события на - алгебре выполняют роль ортогонального базиса, позволяющего представить произвольное событие через несовместные (ортогональные в смысле операции пересечения) события. В теории множеств множества вида называются конституентами. Аппарат конституент позволяет показать, что в данном примере число всех событий - алгебры не превышает (включая и), причем число событий достигает максимального значения, когда все отличны от (как в примере 4). Этот результат позволяет судить о высокой скорости роста числа событий в - алгебре в зависимости от - числа событий в исходной системе. Для примера 4 число, следовательно, число событий в - алгебре равно.

ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: познакомить с элементарными сведениями из теории множеств; сформулировать аксиомы теории вероятностей, их следствия и правило сложения вероятностей.

Элементарные сведения из теории множеств

Множеством называется любая совокупность объектов произвольной природы, каждый из которых называется элементом множества .

Примеры множеств: множество студентов на лекции; множество точек на плоскости, лежащих внутри круга радиуса r ; множество точек на числовой оси, расстояние от которых до точки b с абсциссой а не превышает d ; множество натуральных чисел.

Множества обозначаются по-разному. Множество M натуральных чисел от 1 до 100 может быть записано как

Множество точек на числовой оси, расстояние от которых до точки b с абсциссой а не превышает d , можно записать в виде

где x – абсцисса точки.

Множество точек плоскости, лежащих внутри или на границе круга радиуса r с центром в начале координат,

где x , y – декартовы координаты точки.

Еще одна запись этого множества

где – одна из полярных координат точки.

По числу элементов множества делятся на конечные и бесконечные . Множество конечно и состоит из 100 элементов. Но множество может состоять и из одного элемента и даже вообще не содержать элементов.

Множество всех натуральных чисел бесконечно, также как бесконечно множество четных чисел .

Бесконечное множество называется счетным, если все его элементы можно расположить в какой-то последовательности и пронумеровать (оба множества, и , являются счетными).

Множества S и C бесконечны и несчетны (их элементы нельзя пронумеровать).

Два множества A и B совпадают , если они состоят из одних и тех же элементов: и . Совпадение множеств обозначается знаком равенства: А=В . Запись обозначает, что объект а является элементом множества А или "а принадлежит А ". Другая запись означает, что "а не принадлежит А ".

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается символом .

Множество В называется подмножеством (частью) множества А , если все элементы В содержатся и в А , и обозначается как или . Например, .

Подмножество может быть равно самому множеству. Графически можно изобразить соотношение множества и подмножества, как показано на рис. 2.1, где каждая точка фигуры В принадлежит и фигуре А , т. е. .

Объединением (суммой) множеств А и В называется множество , состоящее из всех элементов А и всех элементов В . Таким образом, объединение – это совокупность элементов, принадлежащих хотя бы одному из объединяемых множеств.

Например: .

Геометрическая интерпретация объединения двух множеств А и В показана на рис. 2.2.

Аналогично определяется объединение (сумма) нескольких множеств

где результирующее множество есть множество всех элементов, входящих хотя бы в одно из множеств: .

Пересечением (произведением) множеств А и В называется множество D , состоящее из элементов, входящих одновременно и в А , и в :

.

Геометрическая интерпретация пересечения представлена на рис. 2.3.

Аналогично определяется пересечение нескольких множеств

как множество, состоящее из элементов, входящих одновременно во все множества.

Операции объединения (сложения) и пересечения (умножения) множеств обладают рядом свойств, которые аналогичны свойствам сложения и умножения чисел:

1. Переместительное свойство:

2. Сочетательное свойство:

3. Распределительное свойство:

Прибавление пустого множества и умножение на пустое множество аналогичны соответствующим операциям над числами, если считать нуль за пустое множество:

Некоторые операции над множествами не имеют аналогов в обычных операциях над числами, в частности

Аксиомы теории вероятностей и их следствия.

Правила сложения вероятностей

Пользуясь элементарными сведениями по теории множеств, можно дать теоретико-множественную схему построения теории вероятностей и ее аксиоматику.

При опыте со случайным исходом имеется множество всех возможных исходов опыта. Каждый элемент этого множества называют элементарным событием , само множество – пространством элементарных событий . Любое событие А в теоретико-множественной трактовке есть некоторое подмножество множества : . Если же в свою очередь множество А распадается на несколько непересекающихся подмножеств ( при ), то события называют "вариантами" события А . На рис. 2.4 событие А распадается на три варианта: .

Например, при бросании игральной кости пространство элементарных событий . Если событие , то варианты события А : ,

Подмножеством множества можно рассматривать и само – оно будет в этом случае достоверным событием. Ко всему пространству элементарных событий добавляется еще и пустое множество ; это множество рассматривается тоже как событие, но невозможное .

Теоретико-множественное толкование ранее рассмотренных свойств событий сводится к следующему:

1. Несколько событий образуют полную группу , если , т. е. их сумма (объединение) есть достоверное событие.

2. Два события А и В называются несовместными , если соответствующие им множества не пересекаются, т. е. . Несколько событий называются попарно несовместными , если появление любого из них исключает появление каждого из остальных: при .

3. Суммой двух событий А и В называется событие С , состоящее в выполнении события А или события В , илиобоих событий вместе. Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в выполнении хотя бы одного из них.

4. Произведением двух событий А и В называется событие D , состоящее в совместном выполнении события А и события В . Произведением нескольких событий называется событие, состоящее в совместном выполнении всех этих событий.

5. Противоположным по отношению к событию А называется событие , состоящее в непоявлении А и соответственно дополняющее событие А до (см. рис. 2.5).

На основе изложенного толкования событий как множеств формулируются аксиомы теории вероятностей.

Каждому событию А ставится в соответствие некоторое число, называемое вероятностью события . Поскольку любое событие есть множество, то вероятность события есть функция множества .

Эти вероятности событий должны удовлетворять следующим аксиомам:

1. Вероятность любого события заключена между нулем и единицей:

2. Если А и В – несовместные события, т. е. , то

Эта аксиома легко обобщается с помощью сочетательного свойства сложения на любое число событий. Если при , то

т. е. вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

Эту аксиому называют "теоремой" сложения (для схемы случаев она может быть доказана), или правилом сложения вероятностей .

3. Если имеется счетное множество несовместных событий ( при ), то

Эта аксиома не выводится из предыдущей аксиомы и поэтому формулируется как отдельная.

Для схемы случаев (схемы урн), т. е. для событий, обладающих свойствами полноты, несовместности и равновозможности, можно вывести классическую формулу (1.1) для непосредственного подсчета вероятностей из правила сложения (2.1).

Пусть результаты опыта представляются в виде n несовместных случаев . Случай благоприятен событию А , если он представляет подмножество А (), или, иначе говоря, это вариант события А . Так как образуют полную группу, то

Но все случаи несовместны, и к ним применимо правило сложения вероятностей

Кроме этого, так как все события равновозможны, то

Благоприятные событию случаи образуют его вариантов, и так как вероятность каждого из них равна , то по правилу сложения получаем

Но это и есть классическая формула (1.1).

Следствия правила сложения вероятностей

1. Сумма вероятностей полной группы несовместных событий равна единице, т. е. если

Доказательство . Так как события несовместны, то к ним применимо правило сложения

2. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

так как события А и образуют полную группу.

Правило широко используется в задачах, когда проще вычислить вероятность противоположного события.

3. Если события А и В совместны, т. е. , то

Доказательство . Представим как сумму несовместных (непересекающихся) вариантов (см. рис. 2.6)

По правилу сложения

откуда получаем

После подстановки полученных выражений в (2.3) имеем

что и требовалось доказать.

Формулу (2.3) можно вывести и для более чем двух совместных событий.

Вероятностное пространство (Щ, S, Р). Аксиомы теории вероятностей и следствия из них. Описание конечного вероятностного пространства в аксиоматике Колмогорова

Вероятностное пространство - это тройка, где:

• · - это множество объектов, называемых элементарными исходами эксперимента. На это множество не накладывается никаких условий, оно может быть совершенно произвольным. При задании вероятностной модели для конкретного случайного эксперимента множество необходимо определять таким образом, чтобы в любой реализации опыта происходил один и только один элементарный исход. Элементарный исход содержит в себе всю возможную информацию о результате случайного опыта. С формальной математической точки зрения «произвести случайный опыт» означает в точности указать один элементарный исход, который произошел в данной реализации опыта.
• · - это некоторая зафиксированная система подмножеств, которые будут называться (случайными) событиями. Если элементарный исход, произошедший в результате реализации случайного опыта, входит в событие, то говорят, что в данной реализации событие произошло, иначе говорят, что событие не произошло. Совокупность событий должна быть сигма-алгеброй, то есть удовлетворять следующим свойствам:
• o Пустое множество должно быть событием, то есть принадлежать. Это событие, которое существует в любом вероятностном пространстве, называется невозможным, поскольку оно никогда не происходит.
• o Все множество также должно быть событием: . Это событие называется достоверным, так как происходит при любой реализации случайного опыта.
• o Совокупность событий должна образовывать алгебру, то есть быть замкнутой относительно основных теоретико-множественных операций, выполняемых над конечным числом событий. Если и, тогда должно быть, . Операции над событиями имеют очевидный содержательный смысл.
• o В дополнение к указанным свойствам, система должна быть замкнута относительно операций над событиями, выполняемых в счетном числе (свойство сигма-алгебры). Если, тогда должно быть и.

• · - это числовая функция, которая определена на и ставит в соответствие каждому событию число, которое называется вероятностью события. Эта функция должна быть конечной сигма-аддитивной мерой, равной 1 на всем пространстве, то есть обладать свойствами:
• o для любого
• o Если и - события, причем, тогда (свойство аддитивности ).
• o Если, причем Если для любых Если, тогда должно быть (свойство сигма-аддитивности ).

Заметим, что последнее свойство сигма-аддитивности меры эквивалентно (при условии выполнения всех прочих свойств, в том числе конечной аддитивности) любому из следующих свойств непрерывности меры :

· Если и, тогда.

· Если и, тогда.

· Если, и, тогда.

Пусть - множество элементов, которые называются элементарными событиями, а - множество подмножеств, называемых случайными событиями (или просто - событиями), а - пространством элементарных событий.

• · Аксиома I (алгебра событий) . является алгеброй событий.
• · Аксиома II (существование вероятности событий) . Каждому событию x из поставлено в соответствие неотрицательное действительное число, которое называется вероятностью события x.
• · Аксиома III (нормировка вероятности) . .
• · Аксиома IV (аддитивность вероятности) . Если события x и y не пересекаются, то

Совокупность объектов, удовлетворяющая аксиомам I-IV, называется вероятностным пространством (у Колмогорова: поле вероятностей).

Система аксиом I -IV непротиворечива. Это показывает следующий пример: состоит из единственного элемента, - из и множества невозможных событий (пустого множества) , при этом положено. Однако эта система аксиом не является полной: в разных вопросах теории вероятностей рассматриваются различные вероятностные пространства.

Вероятностные пространства (в расширенном смысле и бесконечные)

Аксиома непрерывности - это единственная аксиома современной теории вероятностей, относящаяся именно к ситуации бесконечного числа случайных событий. Обычно в современной теории вероятностей вероятностным пространством называется только такое вероятностное пространство, которое, кроме того, удовлетворяет аксиоме V. Вероятностные пространства в смысле аксиом I-IV Колмогоров предлагал называть вероятностными пространствами в расширенном смысле (у Колмогорова поле вероятностей в расширенном смысле), в настоящее время этот термин употребляется крайне редко. Заметим, что если система событий конечна, аксиома V следуeт из аксиом I-IV. Все модели с вероятностными пространствами в расширенном смысле удовлетворяют, следовательно, аксиоме V. Система аксиом I-V является, непротиворечивой и неполной. Напротив, для бесконечных вероятностных пространств аксиома непрерывности V является независимой от аксиом I-IV.

Так как новая аксиома существенна лишь для бесконечных вероятностных пространств, то почти невозможно разъяснить её эмпирическое значение, например, так, как это было проделано с аксиомами элементарной теории вероятности (I-IV). При описании какого-либо действительно наблюдаемого случайного процесса можно получать только конечные поля - вероятностные пространства в расширенном смысле. Бесконечные вероятностные пространства появляются как идеализированные схемы действительных случайных явлений . Общепринято молчаливо ограничиваться такими схемами, которые удовлетворяют аксиоме V, что оказывается целесообразным и эффективным в различных исследованиях.

Алгебра событий пространства элементарных событий Щ называется борелевской алгеброй, если все счётные суммы событий x n из принадлежат. В современной теории вероятностей борелевские алгебры событий обычно называют у-алгебрами событий (сигма-алгебрами). Пусть дано вероятностное пространство в расширенном смысле. Известно, что существует наименьшая сигма-алгебра, содержащая. Более того, справедлива

Теорема (о продолжении) . Определённую на неотрицательную счётно-аддитивную функцию множеств всегда можно продолжить с сохранением обоих свойств (неотрицательности и счётной аддитивности) на все множества из и при этом единственным образом.

Таким образом, каждое вероятностное пространство в расширенном смысле может быть математически корректно продолжено до бесконечного вероятностного пространства , которое в современной теории вероятностей принято называть просто вероятностным пространством .

В течение нескольких столетий после начала своего систематического изучения основные понятия теории вероятностей еще не были четко определены. Нечеткость базовых определений часто приводила исследователей к противоречивым выводам, а практические теоретико-вероятностные приложения были слабо обоснованы . Дальнейшее развитие естествознания обусловило необходимость систематического изучения основных понятий теории вероятностей и определения условий, при которых возможно использование ее результатов. Особенное значение приобрело формально-логическое обоснование теории вероятностей, которое, в частности, в 1900 г. Д. Гильбертом было отнесено к числу важнейших проблем математики .

Формально-логический принцип построения требовал, чтобы основу теории вероятностей составили некоторые аксиоматические предпосылки, являющиеся обобщением многовекового человеческого опыта. Дальнейшее же развитие теоретико-вероятностных концепций должно было строиться посредством дедукции из аксиоматических положений без обращения к нечетким и интуитивным представлениям. Впервые такая точка зрения была развита в 1917 г. советским математиком С.Н. Берштейном. При этом С.Н. Берштейн исходил из качественного сравнения случайных событий по их большей или меньшей вероятности . Математически строгое построение аксиоматической теории вероятностей предложил А.Н. Колмогоров в 1933 г., тесно связав теорию вероятностей с теорией множеств и теорией меры . Аксиоматическое определение вероятности как частные случаи включает в себя и классическое и статистическое определения и преодолевает недостаточность каждого из них.

Отправным пунктом аксиоматики А.Н. Колмогорова является множество элементарных событий ω, в специальной литературе называемое фазовым пространством и традиционно обозна-чаемое через Ω. Любое наблюдаемое событие, вероятность которого необходимо определить, представимо в виде некоторого подмножества фазового пространства. Поэтому наряду с множеством Ω рассматривается множество Θ подмножеств элементарных событий, символическое обозначение которого может быть произвольным. Достоверное событие представимо всем фазовым пространством. Множество Θ называется алгеброй множеств, если выполнены следующие требования:
1) Ω ∈ Θ, ∅ ∈ Θ;
2) из того, что A ∈ Ω, следует, что так же $\bar A \in \Theta $;
3) из того, что A ∈ Θ и B ∈ Θ, следует, что A ∪ B ∈ Θ и A ∩ B∈ Θ.

Если дополнительно к перечисленным выполняется еще следующее требование:
4) из того, что A n ∈ Θ (при n = 1,2...), вытекает, что $\mathop \cup \limits_n {A_n} \in \Theta $ и $\mathop \cap \limits_n {A_n} \in \Theta $, то множество Θ называется σ-алгеброй . Элементы Θ называются случайными событиями .

Под операциями над случайными событиями в аксиоматической теории вероятностей понимаются операции над соответствующими множествами. В результате можно установить взаимное соответствие между терминами языка теории множеств и языка теории вероятностей .

В качестве аксиом, определяющих вероятность, А.Н. Колмогоровым приняты следующие утверждения:

Аксиома 1. Каждому случайному событию А поставлено в соответствие неотрицательное число P (A) , называемое его вероятностью.
Аксиома 2. P(Ω)= 1.
Аксиома 3 (аксиома сложения). Если события A 1 , A 2 ,...,A n попарно несовместимы, то

P(A 1 + A 2 +...+ A n) = P(A 1) + P(A 2) +...+ P(A n).

Следствиями сформулированных аксиом являются следующие утверждения.

1. Вероятность невозможного события равна нулю: P(∅) = 0.
2. Для любого события А $P(\bar A) = 1 - P(A)$.
3. Каково бы ни было случайное событие А, 0 ≤ P(A) ≤ 1.
4. Если событие А влечет за собой событие В, то P(A) ≤ P(B).

Вероятностным пространством принято называть тройку символов {Ω, Θ, P}, где Ω – множество элементарных событий ω, Θ – σ – алгебра подмножеств Ω, называемых случайными событиями, и P(A) - вероятность, определенная на σ – алгебре Θ.

Таким образом, согласно аксиоматике А.Н. Колмогорова каждому наблюдаемому событию приписывается некоторое неотрицательное число, называемое вероятностью этого события, так, чтобы вероятность всего фазового пространства была равна 1, и выполнялось свойство сигма-аддитивности . Последнее свойство означает, что в случае попарно исключающих друг друга событий вероятность наступления по крайней мере одного (и в силу попарной несовместимости, ровно одного) наблюдаемого события совпадает с суммой вероятностей наблюдаемых событий из данной конечной или счетной совокупности наблюдаемых событий .

В случае определения вероятности на σ - алгебре, состоящей из некоторых подмножеств Ω, первую нельзя продолжить на остальные подмножества Ω так, чтобы сохранялось свойство сигма-аддитивности, если только Ω не состоит из конечного или счетного числа элементов. Введение сигма-аддитивности также привело к ряду парадоксов . Поэтому наряду с сигма-аддитивностью параллельно рассматривалось свойство аддитивности , под которым понимается эквивалентность меры объединения двух несовместных событий сумме мер этих событий. Однако, практически сразу же было показано, что замена сигма-аддитивности на аддитивность не только не решает все проблемы, но и приводит к возникновению других парадоксальных результатов .

Система аксиом Колмогорова является относительно непротиворечивой и неполной, позволяет строить теорию вероятностей как часть теории меры, а вероятность рассматривать как неотрицательную нормированную аддитивную функцию множества. Хотя в теории вероятностей А.Н. Колмогорова вероятность всегда неотрицательна, некоторые теоремы в теории вероятностей можно обобщить на случай, когда отрицательные числа выступают как вероятности, а также получить и другие обобщения вероятности .

Некоторые фундаментальные математические теории наследуют основные понятия, конструкции и терминологию теории вероятностей. Таковой, в частности, является теория возможностей, также рассматривающая пространства возможностей и элементарных событий, σ – алгебру .

Объединением (или суммой) нескольких случайных событий называется событие, состоящее в осуществлении по крайней мере одного из данных событий. Объединение событий А1, А2, ... , Аnобозначается через А1∪ А2∪ ... ∪ Аn или А1 + А2 + ... + Аn.

Если объединяемые события несовместны (никакие два из них не могут произойти одновременно), то вероятность объединения нескольких событий равна сумме вероятностей объединяемых событий (аксиома сложения вероятностей):

P(А1∪ А2∪ ... ∪ Аn) = P(А1) + P(А2) + ... + P(Аn)

Событие, состоящее в ненаступлении случайного события А, называется событием, противоположным событию А, и обозначается через . Объединение событий А и дает событие достоверное, а так как события А и несовместны, то

P(A) + P() = 1, или Р() = 1 - Р(А).

Если в результате данного испытания может наступить лишь одно из несовместных событий А1, А2, ... , Аn, то события А1, А2, ... , Аn образуют так называемую полную группу событий. Так как объединение событий полной группы является событие достоверным, то для таких событий имеет место равенство

P(А1) + P(А2) + ... + P(Аn) = 1

Пересечением (или совмещением, произведением) двух случайных событий А1 и А2называется сложное событие, заключающееся в одновременном или последовательном осуществлении обоих событий. Совмещение событий А1 и А2 обозначается через А1∩А2 или А1А2.

Под условной вероятностью события А2 по отношению к событию А1 [обозначается Р(А2/А1)] понимается вероятность осуществления события А2, определенная в предположении, что событие А1 имело место.

Вероятность совмещения двух событий А1 и А1 равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность второго по отношению к первому (аксиома умножения вероятностей):

P(А1∩А2) = P(А1) · Р(А2/А1) = P(А2) · Р(А1/А2).

Два случайных события А1 и А2 называются независимыми, если условная вероятность одного из них по отношению к другому равна безусловной вероятности этого же события: Р(А2/А1) = P(А2). В этом случае имеют место равенства:

P(А2/1) = P(А2/A1) = P(А2); P(А1/A2) = P(А1/2) = P(А1);

Для независимых событий вероятность их совмещения равна произведению их вероятностей:

P(А1∩А2) = P(А1) · Р(А2)

Совмещение n событий А1, А2, ... , Аn (определяемое аналогично) обозначается через А1∩А2∩ ... ∩Аn.

Условная вероятность события Аk, определенная в предположении, что осуществились события А1, А2, ... , Аk-1, обозначается P(Аk/А1∩А2∩ ... ∩Аk-1). Вероятность совмещения n событий по аксиоме умножения вероятностей определяется формулой

P(А1∩А2∩ ... ∩Аn) = P(А1)·Р(А2/А1)·Р(А3/А1∩А2)·...·P(Аn/А1∩А2∩ ... ∩Аn-1).

Говорят, что n событий А1, А2, ... , Аn называются независимыми в их совокупности, если на вероятность осуществления каждого из них не оказывает влияния осуществление любых других, взятых в какой угодно комбинации.

Вероятность совмещения n событий, независимых в их совокупности, равна произведению их вероятностей:

P(А1∩А2∩ ... ∩Аn) = P(А1)·P(А2)·...·P(Аn).

Задача 1
В урне 10 белых, 15 черных, 20 синих и 25 красных шаров. Вынули один шар. Найти вероятность того, что вынутый шар: белый; черный; синий; красный; белый или черный; синий или красный; белый, черный или синий.
Решение. Имеем n=10+15+20+25=70, Р(Б)=10/70=1/7, Р(Ч)=15/70=3/14, Р(С)=20/70=2/7, Р(К)=25/70=5/14. Применив аксиому сложения вероятностей, получим

Р(Б+Ч) = Р(Б) + Р(Ч) = 1/7 + 3/14 = 5/14;
Р(С+К) = Р(С) + Р(К) = 2/7 + 5/14 = 9/14;
Р(Б+Ч+С) = 1 - Р(К) = 1 - 5/4 = 9/14;

Задача 2
В первом ящике 2 белых и 10 черных шаров; во втором ящике 8 белых и 4 черных шара. Из каждого ящика вынули по шару. Какова вероятность, что оба шара белые?
Решение. В данном случае речь идет о совмещении событий А и В, где событие А - появление белого шара из первого ящика. При этом А и В - независимые события. Имеем Р(А)=2/12=1/6, Р(В)=8/12=2/3. Применив аксиому умножения вероятностей, находим
Р(А∩В) = Р(А)·Р(В)=(1/6)·(2/3)=1/9.

Задача 3
Три стрелка стреляют по цели. Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0,75, для второго - 0,8, для третьего - 0,9. Определить вероятность того, что все три стрелка одновременно попадут в цель и вероятность того, что в цель попадет хотя бы один стрелок.
Решение. Имеем Р(A) = 0,75, P(B)=0,8, P(C)=0,9. Тогда вероятность, что все три стрелка попадут в цель Р(А∩В∩С)=P(A)·P(B)·P(C)=0,75·0,8·0,9=0,54.
Вероятность промаха первого стрелка: Р()=1-Р(А)=1-0,75=0,25. Вероятность промаха второго и третьего стрелка соответственно 0,2 и 0,1. Тогда вероятность одновременного промаха всех стрелков 0,25·0,2·0,1=0,005. Но событие, противоположное к этому, является событие, заключающееся в поражении цели хотя бы одним стрелком. Следовательно, искомая вероятность равна 1-0,005=0,995.