Как найти характеристический многочлен матрицы. Характеристический многочлен и характеристические числа матрицы

Пусть дана квадратная матрица порядка n . Характеристической матрицей матрицы A называют матрицу

= с переменной λ, принимающей любые числовые значения.

Определитель ׀https://pandia.ru/text/78/250/images/image004_113.gif" width="153" height="75 src="> матрицы является многочленом n -й степени от λ. Этот многочлен называют характеристическим многочленом матрицы А , уравнение =0 – её характеристическим уравнением, а его корни https://pandia.ru/text/78/250/images/image008_68.gif" width="15" height="17 src="> называется всякий ненулевой вектор Х , удовлетворяющий условию https://pandia.ru/text/78/250/images/image010_64.gif" width="19" height="24 src="> – число.

Число называется собственным значением преобразования https://pandia.ru/text/78/250/images/image011_63.gif" width="201" height="75">(*)

Если известно собственное значение λ , то все собственные векторы матрицы А , принадлежащие этому собственному значению, находятся как ненулевые решения этой системы. С другой стороны, эта однородная система с квадратной матрицей А–λЕ имеет ненулевые решения Х тогда и только тогда, когда определитель матрицы этой системы равен нулю и λ принадлежит рассматриваемому полю Р . Но это означает, что λ является корнем характеристического многочлена и принадлежит полю Р . Таким образом, характеристические числа матрицы, принадлежащие основному полю, и только они, являются её собственными значениями. Для отыскания всех собственных значений матрицы А нужно найти все её характеристические числа и из них выбрать лишь те, которые принадлежат основному полю Р , а для отыскания всех собственных векторов матрицы А нужно найти все ненулевые решения системы (*) при каждом собственном значении λ матрицы А .

Пример 1. Найти собственные значения и собственные векторы действительной матрицы .

Решение. Характеристический многочлен матрицы А имеет вид:

https://pandia.ru/text/78/250/images/image014_58.gif" width="144" height="75 src=">=(домножим (2)-й столбец на число (-2) и сложим с (1)-м столбцом) =https://pandia.ru/text/78/250/images/image016_45.gif" width="172" height="75">=(домножим (1)-й столбец на число (-1) и сложим с (3)-м столбцом) ==(домножим (1)-ю строку на число (2) и сложим со (2)-й строкой) ==(домножим (2)-й столбец на число (-2) и сложим с (3)-м столбцом) =
.

Таким образом, характеристический многочлен имеет корни λ1=6, λ2=λ3= – 3. Все они действительные и поэтому являются собственными значениями матрицы А .

При λ=6 система (А–λЕ)Х=0 имеет вид https://pandia.ru/text/78/250/images/image021_35.gif" width="57" height="75 src=">..gif" width="153" height="75 src=">.

Её общим решением является Х =https://pandia.ru/text/78/250/images/image025_28.gif" width="85" height="27 src=">, оно даёт общий вид собственных векторов матрицы А , принадлежащих собственному значению λ= – 3.

Определение

Для данной матрицы , , где Е - единичная матрица , является многочленом от , который называется характеристическим многочленом матрицы A (иногда также "вековым уравнением" (secular equation)).

Ценность характеристического многочлена в том, что собственные значения матрицы являются его корнями. Действительно, если уравнение имеет не нулевое решение, то , значит матрица вырождена и ее определитель равен нулю.

Связанные определения

Свойства

Ссылки

В. Ю. Киселёв, А. С. Пяртли, Т. Ф. Калугина Высшая математика. Линейная алгебра . - Ивановский государственный энергетический университет.

Wikimedia Foundation . 2010 .

Характеристическая кривая задания
Харальд III (король Норвегии)

Смотреть что такое "Характеристический многочлен матрицы" в других словарях:

Характеристический многочлен - В математике характеристический многочлен может означать: характеристический многочлен матрицы характеристический многочлен линейной рекуррентной последовательности характеристический многочлен обыкновенного дифференциального уравнения.… … Википедия

ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЙ МНОГОЧЛЕН - матрицы над полем К многочлен над полем К Степень X. м. равна порядку квадратной матрицы А, коэффициент b1 равен следу матрицы.(b1 = tr A = a11+ а 22+ .. . +а пп), коэффициент b т равен сумме всех главных миноров т гопорядка, в частности bn=detA … Математическая энциклопедия

Минимальный многочлен матрицы - У этого термина существуют и другие значения, см. Минимальный многочлен. Минимальный многочлен матрицы аннулирующий унитарный многочлен минимальной степени. Свойства Минимальный многочлен делит характеристический многочлен матрицы… … Википедия

Лямбда-матрицы - Основная статья: Функции от матриц Лямбда матрица (λ матрица, матрица многочленов) квадратная матрица, элементами которой являются многочлены над некоторым числовым полем. Если имеется некоторый элемент матрицы, который является многочленом … Википедия

СПЕКТР МАТРИЦЫ - совокупность ее собственных значений. См. также Характеристический многочлен матрицы … Математическая энциклопедия

Характеристическое число матрицы - Красным цветом обозначен собственный вектор. Он, в отличие от синего, при деформации не изменил направление и длину, поэтому является собственным вектором, соответствующим собственному значению λ = 1. Любой вектор, параллельный красному вектору,… … Википедия

Подобные матрицы - Квадратные матрицы A и B одинакового порядка называются подобными, если существует невырожденная матрица P того же порядка, такая что: Подобные матрицы получаются при задании одного и того же линейного преобразования матрицей в разных… … Википедия

Характеристическая матрица

Характеристическое уравнение - Характеристический многочлен это многочлен, определяющий собственные значения матрицы. Другое значение: Характеристический многочлен линейной рекурренты это многочлен. Содержание 1 Определение … Википедия

Теорема Гамильтона - Теорема Гамильтона Кэли известная теорема из теории матриц, названная в честь Уильяма Гамильтона и Артура Кэли. Теорема Гамильтона Кэли Любая квадратная матрица удовлетворяет своему характеристическому уравнению. Если … Википедия

Определение

Связанные определения

Свойства

Ссылки

В. Ю. Киселёв, А. С. Пяртли, Т. Ф. Калугина Высшая математика. Линейная алгебра . - Ивановский государственный энергетический университет.

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Характеристический многочлен матрицы" в других словарях:

В математике характеристический многочлен может означать: характеристический многочлен матрицы характеристический многочлен линейной рекуррентной последовательности характеристический многочлен обыкновенного дифференциального уравнения.… … Википедия

Матрицы над полем К многочлен над полем К Степень X. м. равна порядку квадратной матрицы А, коэффициент b1 равен следу матрицы.(b1 = tr A = a11+ а 22+ .. . +а пп), коэффициент b т равен сумме всех главных миноров т гопорядка, в частности bn=detA … Математическая энциклопедия

У этого термина существуют и другие значения, см. Минимальный многочлен. Минимальный многочлен матрицы аннулирующий унитарный многочлен минимальной степени. Свойства Минимальный многочлен делит характеристический многочлен матрицы… … Википедия

Основная статья: Функции от матриц Лямбда матрица (λ матрица, матрица многочленов) квадратная матрица, элементами которой являются многочлены над некоторым числовым полем. Если имеется некоторый элемент матрицы, который является многочленом … Википедия

Совокупность ее собственных значений. См. также Характеристический многочлен матрицы … Математическая энциклопедия

Красным цветом обозначен собственный вектор. Он, в отличие от синего, при деформации не изменил направление и длину, поэтому является собственным вектором, соответствующим собственному значению λ = 1. Любой вектор, параллельный красному вектору,… … Википедия

Квадратные матрицы A и B одинакового порядка называются подобными, если существует невырожденная матрица P того же порядка, такая что: Подобные матрицы получаются при задании одного и того же линейного преобразования матрицей в разных… … Википедия

Характеристический многочлен это многочлен, определяющий собственные значения матрицы. Другое значение: Характеристический многочлен линейной рекурренты это многочлен. Содержание 1 Определение … Википедия

Теорема Гамильтона Кэли известная теорема из теории матриц, названная в честь Уильяма Гамильтона и Артура Кэли. Теорема Гамильтона Кэли Любая квадратная матрица удовлетворяет своему характеристическому уравнению. Если … Википедия

Рассмотрим квадратную матрицу А = ||аik||1n. Характеристической матрицей для матрицы А называется матрица лЕ-А.

л - а 11 -а 12 … -а 1n

лЕ-А = -а21 л - а22 … -а 2n

….…………………… .

А n1 -а n2 … л - аnn

Определитель характеристической матрицы

?(л) = |лЕ-А| = |л дik - аik|1n

представляет собой скалярный многочлен относительно л и называется характеристичным многочленом матрицы А.

Матрицу В(л) = ||bik (л)||1n , где bik (л) - алгебраическое дополнение элемента лдik - аik в определителе?(л), мы будем называть присоединенной матрицей для матрицы А.

Чтобы найти старшие члены характеристического многочлена, воспользуемся тем, что величина определителя равна сумме произведений его элементов, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца и снабженных надлежащими знаками. Поэтому, чтобы получить член, имеющий относительно л наивысшую степень, необходимо взять произведения элементов наивысшей степени. В нашем случае таким произведением будет только одно- произведение диагональных элементов (л - а11) (л - а22) …(л - аnn). Все остальные входящие в состав определителя произведения имеют степень не выше n-2, так как если один из множителей такого произведения будет - аik (i ? k), то это произведение не будет содержать множителями л-аii, л-акк и будет, следовательно, степени не более n-2. Таким образом, ?(л) = (л - а11) … (л - аm) + члены степени не выше n-2, или

?(л) = лn - (а11 + … + аnn) лn-1 + …(22)

Сумма диагональных элементов матрицы называется ее следом. Формула (22) показывает, что степень характеристического многочлена матрицы равна порядку этой матрицы, старший коэффициент характеристического многочлена равен 1, а коэффициент при лn-1 равен следу матрицы, взятому с обратным знаком.

Т е о р е м а 3. Характеристические многочлены подобных матриц равны друг другу.

Из этой теоремы вытекает, в частности, что подобные матрицы имеют одинаковые следы и определители, так как след и определитель матрицы, взятые с надлежащими знаками, являются коэффициентами ее характеристического многочлена.

Корни характеристического многочлена матрицы называются ее характеристическими числами или собственными значениями. Кратные корни характеристического многочлена называются кратными собственными значениями матрицы. Известно, что сумма всех вещественных и комплексных корней многочлена степени n, имеющего старший коэффициент 1, равна взятому с обратным знаком коэффициенту при (n-1)-й степени переменной. Формула (22) показывает поэтому, что в поле комплексных чисел сумма всех собственных значений матрицы равна ее следу.

Т е о р е м а Г а м и л ь т о н а - К э л и. Каждая матрица является корнем своего характеристического многочлена, т.е. ?(А)= 0.

?(л) = л - 2 -1 = лІ - 5л + 7,

?(А) = АІ - 5А + 7Е = 3 5 -5 2 1 +7 1 0 = 0 0 = 0.