Найти проекцию вершины на плоскость. Расчет расстояний по координатам

Метод проекций является основой теории построения чертежных изображений в инженерной графике. Чаще всего он используется, когда необходимо найти изображение тела в виде его проекции на плоскости либо получить данные о его положении в пространстве.

Инструкция

В многомерном пространстве любое изображение объекта на плоскости можно получить с помощью проецирования. Однако не стоит судить о геометрической форме тела либо о форме простейших образов в геометрии на основе одной проекции точки. Наиболее полную информацию об изображении геометрического тела дает несколько проекций точек. Для чего используют проекции точек тела минимум в двух плоскостях.
Например, необходимо построить проекцию точки А. Для этого расположите две плоскости перпендикулярно друг другу. Одну -горизонтально, называя ее горизонтальной плоскостью и обозначая все проекции элементов с индексом 1. Вторую - вертикально. Назовите ее, соответственно, фронтальной плоскостью , а проекциям элементов присвойте индекс 2. Обе эти плоскости считайте бесконечными и непрозрачными. Линией их пересечений становится ось координат ОХ.
Затем примите как факт, что пространство между плоскостями проекции условно делится на четверти. Вы находитесь в первой четверти и видите только те линии и точки, которые находятся в этой области двугранного угла.
Суть процесса проецирования состоит в проведении луча через заданную точку, пока луч не встретится с плоскостью проекций. Данный метод получил название метода ортогонального проецирования. Согласно нему, опустите из точки А перпендикуляр на горизонтальную и фронтальную плоскость. Основанием этого перпендикуляра как раз и будет горизонтальная проекция точки А1 либо фронтальная проекция точки А2. Таким образом, вы получите положение этой точки в пространстве заданных плоскостей проекций.

Аппарат проецирования

Аппарат проецирования (рис. 1) включает в себя три плоскости проекций:

π 1 – горизонтальная плоскость проекций;

π 2 – фронтальная плоскость проекций;

π 3 – профильная плоскость проекций.

Плоскости проекций располагаются взаимно перпендикулярно (π 1 ^ π 2 ^ π 3 ), а их линии пересечения образуют оси:

Пересечение плоскостей π 1 и π 2 образуют ось 0Х (π 1 ∩ π 2 = 0Х );

Пересечение плоскостей π 1 и π 3 образуют ось 0Y (π 1 ∩ π 3 = 0Y );

Пересечение плоскостей π 2 и π 3 образуют ось 0Z (π 2 ∩ π 3 = 0Z ).

Точка пересечения осей (ОХ∩OY∩OZ=0), считается точкой начала отсчета (точка 0).

Так как плоскости и оси взаимно перпендикулярны, то такой аппарат аналогичен декартовой системе координат.

Плоскости проекций все пространство делят на восемь октантов (на рис. 1 они обозначены римскими цифрами). Плоскости проекций считаются непрозрачными, а зритель всегда находится в I -ом октанте.

Проецирование ортогональное с центрами проецирования S 1 , S 2 и S 3 соответственно для горизонтальной, фронтальной и профильной плоскостей проекций.

А .

Из центров проецирования S 1 , S 2 и S 3 выходят проецирующие лучи l 1 , l 2 и l 3 А

- А 1 А ;

- А 2 – фронтальная проекция точки А ;

- А 3 – профильная проекция точки А .

Точка в пространстве характеризуется своими координатами A (x,y,z ). Точки A x , A y и A z соответственно на осях 0X , 0Y и 0Z показывают координаты x, y и z точки А . На рис. 1 даны все необходимые обозначения и показаны связи между точкой А пространства, её проекциями и координатами.

Эпюр точки

Чтобы получить эпюр точки А (рис. 2), в аппарате проецирования (рис. 1) плоскость π 1 А 1 0Х π 2 . Затем плоскость π 3 с проекцией точки А 3 , вращают против часовой стрелки вокруг оси 0Z , до совмещения её с плоскостью π 2 . Направление поворотов плоскостей π 2 и π 3 показано на рис. 1 стрелками. При этом прямые А 1 А х и А 2 А х 0Х перпендикуляре А 1 А 2 , а прямые А 2 А х и А 3 А х станут располагаться на общем к оси 0Z перпендикуляре А 2 А 3 . Эти прямые в дальнейшем будем называть соответственно вертикальной и горизонтальной линиями связей.

Следует отметить, что при переходе от аппарата проецирования к эпюру проектируемый объект исчезает, но вся информация о его форме, геометрических размерах и месте его положения в пространстве сохраняются.

А (x A , y A , z A x A , y A и z A в следующей последовательности (рис. 2). Эта последовательность называется методикой построения эпюра точки.

1. Ортогонально вычерчиваются оси OX, OY и OZ.

2. На оси OX x A точки А и получают положение точки А х .

3. Через точку А х перпендикулярно оси OX

А х по направлению оси OY откладывается численное значение координаты y A точки А А 1 на эпюре.

А х по направлению оси OZ откладывается численное значение координаты z A точки А А 2 на эпюре.

6. Через точку А 2 параллельно оси OX проводится горизонтальная линия связи. Пересечение этой линии и оси OZ даст положение точки А z .

7. На горизонтальной линии связи от точки А z по направлению оси OY откладывается численное значение координаты y A точки А и определяется положение профильной проекции точки А 3 на эпюре.

Характеристика точек

Все точки пространства подразделяются на точки частного и общего положений.

Точки частного положения. Точки, принадлежащие аппарату проецирования, называются точками частного положения. К ним относятся точки, принадлежащие плоскостям проекций, осям, началу координат и центрам проецирования. Характерными признаками точек частного положения являются:

Метаматематический – одна, две или все численные значения координат равны нулю и (или) бесконечности;

На эпюре – две или все проекции точки располагаются на осях и (или) располагаются в бесконечности.

Точки общего положения. К точкам общего положения относятся точки, не принадлежащие аппарату проецирования. Например, точка А на рис. 1 и 2.

В общем случае численные значения координат точки характеризует ее удаление от плоскости проекций: координата х от плоскости π 3 ; координата y от плоскости π 2 ; координата z от плоскости π 1 . Следует отметить, что знаки при численных значениях координат указывают на направление удаления точки от плоскостей проекций. В зависимости от сочетания знаков при численных значениях координат точки зависит в каком из октанов она находится.

Метод двух изображений

На практике, кроме метода полного проецирования используют метод двух изображений. Он отличается тем, что в этом методе исключается третья проекция объекта. Для получения аппарата проецирования метода двух изображений из аппарата полного проецирования исключается профильная плоскость проекций с ее центром проецирования (рис. 3). Кроме того, на оси 0Х назначается начало отсчета (точка 0 ) и из него перпендикулярно оси 0Х в плоскостях проекций π 1 и π 2 проводят оси 0Y и 0Z соответственно.

В этом аппарате все пространство делится на четыре квадранта. На рис. 3 они обозначены римскими цыфрами.

Плоскости проекций считаются непрозрачными, а зритель всегда находится в I -ом квадранте.

Рассмотрим работу аппарата на примере проецирования точки А .

Из центров проецирования S 1 и S 2 выходят проецирующие лучи l 1 и l 2 . Эти лучи проходят через точку А и пересекаясь с плоскостями проекций образуют ее проекции:

- А 1 – горизонтальная проекция точки А ;

- А 2 – фронтальная проекция точки А .

Чтобы получить эпюр точки А (рис. 4), в аппарате проецирования (рис. 3) плоскость π 1 с полученной проекцией точки А 1 вращают по часовой стрелке вокруг оси 0Х , до совмещения её с плоскостью π 2 . Направление поворота плоскости π 1 показана на рис. 3 стрелками. При этом на эпюре точки полученной методом двух изображений остается только одна вертикальная линия связи А 1 А 2 .

На практике построение эпюра точки А (x A , y A , z A ) осуществляется по численным значениям ее координат x A , y A и z A в следующей последовательности (рис. 4).

1. Вычерчивается ось OX и назначается начало отсчета (точка 0 ).

2. На оси OX откладывается численное значение координаты x A точки А и получают положение точки А х .

3. Через точку А х перпендикулярно оси OX проводится вертикальная линия связи.

4. На вертикальной линии связи от точки А х по направлению оси OY откладывается численное значение координаты y A точки А и определяется положение горизонтальной проекции точки А 1 OY не вычерчивается, а предполагается, что ее положительные значения располагаются ниже оси OX , а отрицательные выше.

5. На вертикальной линии связи от точки А х по направлению оси OZ откладывается численное значение координаты z A точки А и определяется положение фронтальной проекции точки А 2 на эпюре. Следует отметить, что на эпюре ось OZ не вычерчивается, а предполагается, что ее положительные значения располагаются выше оси OX , а отрицательные ниже.

Конкурирующие точки

Точки на одном проецирующем луче называются конкурирующими. Они в направлении проецирующего луча имеют общую для них проекцию, т.е. их проекции тождественно совпадают. Характерным признаком конкурирующих точек на эпюре является тождественное совпадение их одноименных проекций. Конкуренция заключается в видимости этих проекций относительно наблюдателя. Говоря другими словами, в пространстве для наблюдателя одна из точек видима, другая – нет. И, соответственно, на чертеже: одна из проекций конкурирующих точек видима, а проекция другой точки – невидима.

На пространственной модели проецирования (рис. 5) из двух конкурирующих точек А и В видима точка А по двум взаимно дополняющим признакам. Судя по цепочке S 1 →А→В точка А ближе к наблюдателю, чем точка В . И, соответственно, – дальше от плоскости проекций π 1 (т.е. z A > z A ).

Рис. 5 Рис.6

Если видима сама точка A , то видима и её проекция A 1 . По отношению к совпадающей с ней проекцией B 1 . Для наглядности и при необходимости на эпюре невидимые проекции точек принято заключать в скобки.

Уберем на модели точки А и В . Останутся их совпадающие проекции на плоскости π 1 и раздельные проекции – на π 2 . Условно оставим и фронтальную проекцию наблюдателя (⇩), находящегося в центре проецирования S 1 . Тогда по цепочке изображений ⇩ → A 2 → B 2 можно будет судить о том, что z A > z B и что видима и сама точка А и её проекция А 1 .

Аналогично рассмотрим конкурирующие точки С и D по видимости относительно плоскости π 2 . Поскольку общий проецирующий луч этих точек l 2 параллелен оси 0Y , то признак видимости конкурирующих точек С и D определяется неравенством y C > y D . Следовательно, что точка D закрыта точкой С и соответственно проекция точки D 2 будет закрыта проекцией точки С 2 на плоскости π 2 .

Рассмотрим, как определяется видимость конкурирующих точек на комплексном чертеже (рис. 6).

Судя по совпадающим проекциям А 1 ≡В 1 сами точки А и В находятся на одном проецирующем луче, параллельном оси 0Z . Значит сравнению подлежат координаты z A и z B этих точек. Для этого используем фронтальную плоскость проекций с раздельными изображениями точек. В данном случае z A > z B . Из этого следует, что видима проекция А 1 .

Точки C и D на рассматриваемом комплексном чертеже (рис. 6) так же находятся на одном проецирующем луче, но только параллельном оси 0Y . Поэтому из сравнения y C > y D делаем вывод, что видима проекция С 2 .

Общее правило . Видимость для совпадающих проекций конкурирующих точек определяется сравнением координат этих точек в направлении общего проецирующего луча. Видима та проекция точки, у которой эта координата больше. При этом сравнение координат ведется на плоскости проекций с раздельными изображениями точек.

Проекция точки на плоскость является частным случаем общей задачи нахождения проекции точки на поверхность. В силу простоты вычисления проекции точки на касательную к поверхности плоскость используется в качестве нулевого приближения при решении общей задачи.

Рассмотрим задачу проецирования точки на плоскость, заданную радиус-вектором

Будем считать, что векторы не коллинеарные. Допустим, что в общем случае векторы не ортогональны и имеют не единичную длину. Плоскость проходит через точку в которой параметры равны нулю, а векторы определяют параметрические направления. Заданная точка имеет единственную проекцию на плоскость (4.6.1). Построим единичную нормаль к плоскости

Рис. 4.6.1. Проекция точки на плоскость s(u, v)

Вычислим радиус-вектор проекции точки на плоскость как разность радиус-вектора проецируемой точки и составляющей вектора параллельной нормали к плоскости,

(4.6.4)

На рис. 4.6.1 показаны векторы плоскости ее начальная точка и проекция заданной точки.

Параметры и длины проекций связаны уравнениями

где косинус угла между векторами определяется по формуле (1.7.13).

Из системы этих уравнений найдем параметры проекции точки на плоскость

(4.6.6)

где - коэффициенты первой основной квадратичной формы плоскости (1.7.8), они же ковариантные компоненты метрического тензора поверхности, - контравариантные компоненты метрического тензора поверхности. Если векторы ортогональные, то формулы (4.6.6) и (4.6.7) примут вид

Расстояние от точки до ее проекции на плоскость в общем случае вычисляется как длина вектора . Расстояние от точки до ее проекции на плоскость можно определить, не вычисляя проекцию точки, а вычислив проекцию вектора на нормаль к плоскости

(4.6.8)

Частные случаи.

Проекции точки на некоторые аналитические поверхности могут быть найдены без привлечения численных методов. Например, чтобы найти проекции точки на поверхность кругового цилиндра, конуса, сферы или тора, нужно перевести проецируемую точку в местную систему координат поверхности, где легко найти параметры проекций. Аналогично могут быть найдены проекции на поверхности выдавливания и вращения. В некоторых частных случаях положения проецируемой точки ее проекции могут быть легко найдены и на другие поверхности.

Общий случай.

Рассмотрим задачу проецирования точки на поверхность в общем случае. Пусть требуется найти все проекции точки на поверхность . Каждая искомая точка поверхности удовлетворяет системе двух уравнений

Система уравнений (4.6.9) содержит две неизвестные величины - параметры u и v. Эта задача решается так же, как и задача нахождения проекций заданной точки на кривую.

На первом этапе определим нулевые приближения параметров поверхности для проекций точки, а на втором этапе найдем точные значения параметров, определяющие проекции заданной точки на поверхность

Пройдем по поверхности с шагами вычисляемыми по формулам (4.2.4) и (4.2.5), описанным выше способом движения по параметрической области. Обозначим параметры точек, через которые мы пройдем, через . В каждой точке будем вычислять скалярные произведения векторов

(4.6.10)

Если искомое решение лежит вблизи точки с параметрами , то будут иметь разные знаки, а также и будут иметь разные знаки. Смена знаков скалярных произведений говорит о том, что рядом находится искомое решение. За нулевое приближение параметров примем значения Начиная с нулевого приближения параметров, одним из методов решения нелинейных уравнений найдем решение задачи с заданной точностью. Например, в методе Ньютона на итерации приращения параметров проекции найдутся из системы линейных уравнений

где частные производные радиус-вектора по параметрам. Следующее приближение параметров проекции точки равны . Процесс уточнения параметров закончим, когда на очередной итерации выполнятся неравенства , где - заданная погрешность. Таким же образом найдем все остальные корни системы уравнений (4.6.9).

Если требуется найти только ближайшую проекцию заданной точки на поверхность, то можно пройти по тем же точкам геометрического объекта и выбрать из них ближайшую к заданной точке. Параметры ближайшей точки и следует выбрать в качестве нулевого приближения решения задачи.

Проекция точки на поверхность в заданном направлении.

В определенных случаях возникает задача определения проекции точки на поверхность не по нормали к ней, а вдоль заданного направления. Пусть направление проецирования задано вектором единичной длины q. Построим прямую линию

(4.6.12)

проходящую через заданную точку и имеющую направление заданного вектора. Проекции точки на поверхность в заданном направлении определим как точки пересечения поверхности с прямой (4.6.12), проходящей через заданную точку в заданном направлении.

Глава 6. ПРОЕКЦИИ ТОЧКИ. КОМПЛЕКСНЫЙ ЧЕРТЕЖ

§ 32. Комплексный чертеж точки

Чтобы построить изображение предмета, сначала изображают отдельные его элементы в виде простейших элементов пространства. Так, изображая геометрическое тело, следует построить его вершины, представленные точками; ребра, представленные прямыми и кривыми линиями; грани, представленные плоскостями и т.д

Правила построения изображений на чертежах в инженерной графике основываются на методе проекций. Одно изображение (проекция) геометрического тела не позволяет судить о его геометрической форме или форме простейших геометрических образов, составляющих это изображение. Таким образом, нельзя судить о положении точки в пространстве по одной ее проекции; положение ее в пространстве определяется двумя проекциями.

Рассмотрим пример построения проекции точки А, расположенной в пространстве двугранного угла (рис. 60). Одну из плоскостей проекции расположим горизонтально, назовем ее горизонтальной плоскостью проекций и обозначим буквой П 1 . Проекции элементов

пространства на ней будем обозначать с индексом 1: А 1 , а 1 , S 1 ... и называть горизонтальными проекциями (точки, прямой, плоскости).

Вторую плоскость расположим вертикально перед наблюдателем, перпендикулярно первой, назовем ее вертикальной плоскостью проекций и обозначим П 2 . Проекции элементов пространства на ней будем обозначать с индексом 2: А 2 , 2 и называть фронтальными проекциями (точки, прямой, плоскости). Линию пересечения плоскостей проекций назовем осью проекций.

Спроецируем точку А ортогонально на обе плоскости проекций:

АА 1 _|_ П 1 ;AА 1 ^П 1 =A 1 ;

АА 2 _|_ П 2 ;AА 2 ^П 2 =A 2 ;

Проецирующие лучи АА 1 и АА 2 взаимно перпендикулярны и создают в пространстве проецирующую плоскость АА 1 АА 2 , перпендикулярную обеим сторонам проекций. Эта плоскость пересекает плоскости проекций по линиям, проходящим через проекции точки А.

Чтобы получить плоский чертеж, совместим горизонтальную плоскость проекций П 1 с фронтальной плоскостью П 2 вращением вокруг оси П 2 /П 1 (рис. 61, а). Тогда обе проекции точки окажутся на одной линии, перпендикулярной оси П 2 /П 1 . Прямая А 1 А 2 , соединяющая горизонтальную А 1 и фронтальную А 2 проекции точки, называется вертикальной линией связи.

Полученный плоский чертеж называется комплексным чертежом. Он представляет собой изображение предмета на нескольких совмещенных плоскостях. Комплексный чертеж, состоящий из двух ортогональных проекций, связанных между собой, называется двухпроекционным. На этом чертеже горизонтальная и фронтальная проекции точки всегда лежат на одной вертикальной линии связи.

Две связанные между собой ортогональные проекции точки однозначно определяют ее положение относительно плоскостей проекций. Если определить положение точки а относительно этих плоскостей (рис. 61, б) ее высотой h (АА 1 =h) и глубиной f(AA 2 =f), то эти величины на комплексном чертеже существуют как отрезки вертикальной линии связи. Это обстоятельство позволяет легко реконструировать чертеж, т. е. определить по чертежу положение точки относительно плоскостей проекций. Для этого достаточно в точке А 2 чертежа восстановить перпендикуляр к плоскости чертежа (считая ее фронтальной) длиной, равной глубине f . Конец этого перпендикуляра определит положение точки А относительно плоскости чертежа.

60.gif

Изображение:

61.gif

Изображение:

7. Вопросы для самопроверки

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

4. Как называется расстояние, определяющее положение точки относительно плоскости проекций П 1 , П 2 ?

7. Как построить дополнительную проекцию точки на плоскости П 4 _|_ П 2 , П 4 _|_ П 1 , П 5 _|_ П 4 ?

9. Как можно построить комплексный чертеж точки по ее координатам?

33. Элементы трехпроекционного комплексного чертежа точки

§ 33. Элементы трехпроекционного комплексного чертежа точки

Для определения положения геометрического тела в пространстве и получения дополнительных сведений на их изображениях может возникнуть необходимость в построении третьей проекции. Тогда третью плоскость проекций располагают справа от наблюдателя перпендикулярно одновременно горизонтальной плоскости проекций П 1 и фронтальной плоскости проекций П 2 (рис. 62, а). В результате пересечения фронтальной П 2 и профильной П 3 плоскостей проекций получаем новую ось П 2 /П 3 , которая располагается на комплексном чертеже параллельно вертикальной линии связи A 1 A 2 (рис. 62, б). Третья проекция точки А - профильная - оказывается связанной с фронтальной проекцией А 2 новой линией связи, которую называют горизонталь-

Рис. 62

ной. Фронтальная и профильная проекции точки всегда лежат на одной горизонтальной линии связи. Причем A 1 A 2 _|_ А 2 А 1 и А 2 А 3 , _| _ П 2 /П 3 .

Положение точки в пространстве в этом случае характеризуется ее широтой - расстоянием от нее до профильной плоскости проекций П 3 , которое обозначим буквой р.

Полученный комплексный чертеж точки называется трехпроек-ционным.

В трехпроекционном чертеже глубина точки АА 2 проецируется без искажений на плоскости П 1 и П 2 (рис. 62, а). Это обстоятельство позволяет построить третью - фронтальную проекцию точки А по ее горизонтальной А 1 и фронтальной А 2 проекциям (рис. 62, в). Для этого через фронтальную проекцию точки нужно провести горизонтальную линию связи A 2 A 3 _|_A 2 A 1 . Затем в любом месте на чертеже провести ось проекций П 2 /П 3 _|_ А 2 А 3 , измерить глубину f точки на горизонтальном поле проекции и отложить ее по горизонтальной линии связи от оси проекций П 2 /П 3 . Получим профильную проекцию А 3 точки А.

Таким образом, на комплексном чертеже, состоящем из трех ортогональных проекций точки, две проекции находятся на одной линии связи; линии связи перпендикулярны соответствующим осям проекций; две проекции точки вполне определяют положение ее третьей проекции.

Необходимо отметить, что на комплексных чертежах, как правило, не ограничивают плоскости проекций и положение их задают осями (рис. 62, в). В тех случаях, когда условиями задачи этого не требу-

ется, проекции точек могут быть даны без изображения осей (рис. 63, а, б). Такая система называется безосновой. Линии связи могут также проводиться с разрывом (рис. 63, б).

62.gif

Изображение:

63.gif

Изображение:

34. Положение точки в пространстве трехмерного угла

§ 34. Положение точки в пространстве трехмерного угла

Расположение проекций точек на комплексном чертеже зависит от положения точки в пространстве трехмерного угла. Рассмотрим некоторые случаи:

точка расположена в пространстве (см. рис. 62). В этом случае она имеет глубину, высоту и широту;

точка расположена на плоскости проекций П 1 - она не имеет высоты, П 2 - не имеет глубины, Пз - не имеет широты;

точка расположена на оси проекций, П 2 /П 1 не имеет глубины и высоты, П 2 /П 3 - не имеет глубины и широты и П 1 /П 3 не имеет высоты и широты.

35. Конкурирующие точки

§ 35. Конкурирующие точки

Две точки в пространстве могут быть расположены по-разному. В отдельном случае они могут быть расположены так, что проекции их на какой-нибудь плоскости проекций совпадают. Такие точки называются конкурирующими. На рис. 64, а приведен комплексный чертеж точек А и В. Они расположены так, что проекции их совпадают на плоскости П 1 [А 1 == В 1 ]. Такие точки называются горизонтально конкурирующими. Если проекции точек A и В совпадают на плоскости

П 2 (рис. 64, б), они называются фронтально конкурирующими. И если проекции точек А и В совпадают на плоскости П 3 [А 3 == B 3 ] (рис. 64, в), они называются профильно конкурирующими.

По конкурирующим точкам определяют видимость на чертеже. У горизонтально конкурирующих точек будет видима та, у которой больше высота, у фронтально конкурирующих - та, у которой больше глубина, и у профильно конкурирующих - та, у которой больше широта.

64.gif

Изображение:

36. Замена плоскостей проекций

§ 36. Замена плоскостей проекций

Свойства трехпроекционного чертежа точки позволяют по горизонтальной и фронтальной ее проекциям строить третью на другие плоскости проекций, введенные взамен заданных.

На рис. 65, а показаны точка А и ее проекции - горизонтальная А 1 и фронтальная А 2 . По условиям задачи необходимо произвести замену плоскостей П 2 . Новую плоскость проекции обозначим П 4 и расположим перпендикулярно П 1 . На пересечении плоскостей П 1 и П 4 получим новую ось П 1 /П 4 . Новая проекция точки А 4 будет расположена на линии связи, проходящей через точку А 1 и перпендикулярно оси П 1 /П 4 .

Поскольку новая плоскость П 4 заменяет фронтальную плоскость проекции П 2 , высота точки А изображается одинаково в натуральную величину и на плоскости П 2 , и на плоскости П 4 .

Это обстоятельство позволяет определить положение проекции A 4 , в системе плоскостей П 1 _|_ П 4 (рис. 65, б) на комплексном чертеже. Для этого достаточно измерить высоту точки на заменяемой плоско-

сти проекции П 2 , отложить ее на новой линии связи от новой оси проекций - и новая проекция точки А 4 будет построена.

Если новую плоскость проекций ввести взамен горизонтальной плоскости проекций, т. е. П 4 _|_ П 2 (рис. 66, а), тогда в новой системе плоскостей новая проекция точки будет находиться на одной линии связи с фронтальной проекцией, причем А 2 А 4 _|_. В этом случае глубина точки одинакова и на плоскости П 1 , и на плоскости П 4 . На этом основании строят А 4 (рис. 66, б) на линии связи А 2 А 4 на таком расстоянии от новой оси П 1 /П 4 на каком А 1 находится от оси П 2 /П 1 .

Как уже отмечалось, построение новых дополнительных проекций всегда связано с конкретными задачами. В дальнейшем будет рассмотрен ряд метрических и позиционных задач, решаемых с применением метода замены плоскостей проекций. В задачах, где введение одной дополнительной плоскости не даст желаемого результата, вводят еще одну дополнительную плоскость, которую обозначают П 5 . Ее располагают перпендикулярно уже введенной плоскости П 4 (рис. 67, а), т. е. П 5 П 4 и производят построение, аналогичное ранее рассмотренным. Теперь расстояния измеряют на заменяемой второй из основных плоскостей проекций (на рис. 67, б на плоскости П 1) и откладывают их на новой линии связи А 4 А 5 , от новой оси проекций П 5 /П 4 . В новой системе плоскостей П 4 П 5 получают новый двухпроекционный чертеж, состоящий из ортогональных проекций А 4 и А 5 , связанных линией связи

В этой статье мы найдем ответы на вопросы о том, как создать проекцию точки на плоскость и как определить координаты этой проекции. Опираться в теоретической части будем на понятие проецирования. Дадим определения терминам, сопроводим информацию иллюстрациями. Закрепим полученные знания при решении примеров.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Проецирование, виды проецирования

Для удобства рассмотрения пространственных фигур используют чертежи с изображением этих фигур.
Определение 1
Проекция фигуры на плоскость – чертеж пространственной фигуры.

Очевидно, что для построения проекции существует ряд используемых правил.
Определение 2
Проецирование – процесс построения чертежа пространственной фигуры на плоскости с использованием правил построения.

Плоскость проекции - это плоскость, в которой строится изображение.

Использование тех или иных правил определяет тип проецирования: центральное или параллельное .

Частным случаем параллельного проецирования является перпендикулярное проецирование или ортогональное: в геометрии в основном используют именно его. По этой причине в речи само прилагательное «перпендикулярное» часто опускают: в геометрии говорят просто «проекция фигуры» и подразумевают под этим построение проекции методом перпендикулярного проецирования. В частных случаях, конечно, может быть оговорено иное.

Отметим тот факт, что проекция фигуры на плоскость по сути есть проекция всех точек этой фигуры. Поэтому, чтобы иметь возможность изучать пространственную фигуру на чертеже, необходимо получить базовый навык проецировать точку на плоскость. О чем и будем говорить ниже.

Напомним, что чаще всего в геометрии, говоря о проекции на плоскость, имеют в виду применение перпендикулярной проекции.

Произведем построения, которые дадут нам возможность получить определение проекции точки на плоскость.

Допустим, задано трехмерное пространство, а в нем - плоскость α и точка М 1 , не принадлежащая плоскости α . Начертим через заданную точку М 1 прямую а перпендикулярно заданной плоскости α . Точку пересечения прямой a и плоскости α обозначим как H 1 , она по построению будет служить основанием перпендикуляра, опущенного из точки М 1 на плоскость α .

В случае, если задана точка М 2 , принадлежащая заданной плоскости α , то М 2 будет служить проекцией самой себя на плоскость α .

Определение 3
– это либо сама точка (если она принадлежит заданной плоскости), либо основание перпендикуляра, опущенного из заданной точки на заданную плоскость.

Нахождение координат проекции точки на плоскость, примеры

Пускай в трехмерном пространстве заданы: прямоугольная система координат O x y z , плоскость α , точка М 1 (x 1 , y 1 , z 1) . Необходимо найти координаты проекции точки М 1 на заданную плоскость.

Решение очевидным образом следует из данного выше определения проекции точки на плоскость.

Обозначим проекцию точки М 1 на плоскость α как Н 1 . Согласно определению, H 1 является точкой пересечения данной плоскости α и прямой a , проведенной через точку М 1 (перпендикулярной плоскости). Т.е. необходимые нам координаты проекции точки М 1 – это координаты точки пересечения прямой a и плоскости α .

Таким образом, для нахождения координат проекции точки на плоскость необходимо:

Получить уравнение плоскости α (в случае, если оно не задано). Здесь вам поможет статья о видах уравнений плоскости;

Определить уравнение прямой a , проходящей через точку М 1 и перпендикулярной плоскости α (изучите тему об уравнении прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно к заданной плоскости);

Найти координаты точки пересечения прямой a и плоскости α (статья – нахождение координат точки пересечения плоскости и прямой). Полученные данные и будут являться нужными нам координатами проекции точки М 1 на плоскость α .

Рассмотрим теорию на практических примерах.
Пример 1
Определите координаты проекции точки М 1 (- 2 , 4 , 4) на плоскость 2 х – 3 y + z - 2 = 0 .

Решение

Как мы видим, уравнение плоскости нам задано, т.е. составлять его необходимости нет.

Запишем канонические уравнения прямой a , проходящей через точку М 1 и перпендикулярной заданной плоскости. В этих целях определим координаты направляющего вектора прямой a . Поскольку прямая а перпендикулярна заданной плоскости, то направляющий вектор прямой a – это нормальный вектор плоскости 2 х – 3 y + z - 2 = 0 . Таким образом, a → = (2 , - 3 , 1) – направляющий вектор прямой a .

Теперь составим канонические уравнения прямой в пространстве, проходящей через точку М 1 (- 2 , 4 , 4) и имеющей направляющий вектор a → = (2 , - 3 , 1) :

x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1

Для нахождения искомых координат следующим шагом определим координаты точки пересечения прямой x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1 и плоскости 2 х - 3 y + z - 2 = 0 . В этих целях переходим от канонических уравнений к уравнениям двух пересекающихся плоскостей:

x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1 ⇔ - 3 · (x + 2) = 2 · (y - 4) 1 · (x + 2) = 2 · (z - 4) 1 · (y - 4) = - 3 · (z + 4) ⇔ 3 x + 2 y - 2 = 0 x - 2 z + 10 = 0

Составим систему уравнений:

3 x + 2 y - 2 = 0 x - 2 z + 10 = 0 2 x - 3 y + z - 2 = 0 ⇔ 3 x + 2 y = 2 x - 2 z = - 10 2 x - 3 y + z = 2

И решим ее, используя метод Крамера:

∆ = 3 2 0 1 0 - 2 2 - 3 1 = - 28 ∆ x = 2 2 0 - 10 0 - 2 2 - 3 1 = 0 ⇒ x = ∆ x ∆ = 0 - 28 = 0 ∆ y = 3 2 0 1 - 10 - 2 2 2 1 = - 28 ⇒ y = ∆ y ∆ = - 28 - 28 = 1 ∆ z = 3 2 2 1 0 - 10 2 - 3 2 = - 140 ⇒ z = ∆ z ∆ = - 140 - 28 = 5

Таким образом, искомые координаты заданной точки М 1 на заданную плоскость α будут: (0 , 1 , 5) .

Ответ: (0 , 1 , 5) .
Пример 2
В прямоугольной системе координат O x y z трехмерного пространства даны точки А (0 , 0 , 2) ; В (2 , - 1 , 0) ; С (4 , 1 , 1) и М 1 (-1, -2, 5). Необходимо найти координаты проекции М 1 на плоскость А В С

Решение

В первую очередь запишем уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки:

x - 0 y - 0 z - 0 2 - 0 - 1 - 0 0 - 2 4 - 0 1 - 0 1 - 2 = 0 ⇔ x y z - 2 2 - 1 - 2 4 1 - 1 = 0 ⇔ ⇔ 3 x - 6 y + 6 z - 12 = 0 ⇔ x - 2 y + 2 z - 4 = 0

Запишем параметрические уравнения прямой a , которая будет проходить через точку М 1 перпендикулярно плоскости А В С. Плоскость х – 2 y + 2 z – 4 = 0 имеет нормальный вектор с координатами (1 , - 2 , 2) , т.е. вектор a → = (1 , - 2 , 2) – направляющий вектор прямой a .

Теперь, имея координаты точки прямой М 1 и координаты направляющего вектора этой прямой, запишем параметрические уравнения прямой в пространстве:

Затем определим координаты точки пересечения плоскости х – 2 y + 2 z – 4 = 0 и прямой

x = - 1 + λ y = - 2 - 2 · λ z = 5 + 2 · λ

Для этого в уравнение плоскости подставим:

x = - 1 + λ , y = - 2 - 2 · λ , z = 5 + 2 · λ

Теперь по параметрическим уравнениям x = - 1 + λ y = - 2 - 2 · λ z = 5 + 2 · λ найдем значения переменных x , y и z при λ = - 1: x = - 1 + (- 1) y = - 2 - 2 · (- 1) z = 5 + 2 · (- 1) ⇔ x = - 2 y = 0 z = 3

Таким образом, проекция точки М 1 на плоскость А В С будет иметь координаты (- 2 , 0 , 3) .

Ответ: (- 2 , 0 , 3) .

Отдельно остановимся на вопросе нахождения координат проекции точки на координатные плоскости и плоскости, которые параллельны координатным плоскостям.

Пусть задана точки М 1 (x 1 , y 1 , z 1) и координатные плоскости O x y , О x z и O y z . Координатами проекции этой точки на данные плоскости будут соответственно: (x 1 , y 1 , 0) , (x 1 , 0 , z 1) и (0 , y 1 , z 1) . Рассмотрим также плоскости, параллельные заданным координатным плоскостям:

C z + D = 0 ⇔ z = - D C , B y + D = 0 ⇔ y = - D B

И проекциями заданной точки М 1 на эти плоскости будут точки с координатами x 1 , y 1 , - D C , x 1 , - D B , z 1 и - D A , y 1 , z 1 .

Продемонстрируем, как был получен этот результат.

В качестве примера определим проекцию точки М 1 (x 1 , y 1 , z 1) на плоскость A x + D = 0 . Остальные случаи – по аналогии.

Заданная плоскость параллельна координатной плоскости O y z и i → = (1 , 0 , 0) является ее нормальным вектором. Этот же вектор служит направляющим вектором прямой, перпендикулярной к плоскости O y z . Тогда параметрические уравнения прямой, проведенной через точку M 1 и перпендикулярной заданной плоскости, будут иметь вид:

x = x 1 + λ y = y 1 z = z 1

Найдем координаты точки пересечения этой прямой и заданной плоскости. Подставим сначала в уравнение А x + D = 0 равенства: x = x 1 + λ , y = y 1 , z = z 1 и получим: A · (x 1 + λ) + D = 0 ⇒ λ = - D A - x 1

Затем вычислим искомые координаты, используя параметрические уравнения прямой при λ = - D A - x 1:

x = x 1 + - D A - x 1 y = y 1 z = z 1 ⇔ x = - D A y = y 1 z = z 1

Т.е., проекцией точки М 1 (x 1 , y 1 , z 1) на плоскость будет являться точка с координатами - D A , y 1 , z 1 .
Пример 2
Необходимо определить координаты проекции точки М 1 (- 6 , 0 , 1 2) на координатную плоскость O x y и на плоскость 2 y - 3 = 0 .

Решение

Координатной плоскости O x y будет соответствовать неполное общее уравнение плоскости z = 0 . Проекция точки М 1 на плоскость z = 0 будет иметь координаты (- 6 , 0 , 0) .

Уравнение плоскости 2 y - 3 = 0 возможно записать как y = 3 2 2 . Теперь просто записать координаты проекции точки M 1 (- 6 , 0 , 1 2) на плоскость y = 3 2 2:

6 , 3 2 2 , 1 2

Ответ: (- 6 , 0 , 0) и - 6 , 3 2 2 , 1 2

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter