Соотношение неопределенностей гейзенберга и энергии. Неопределенность и действие в микро- и макромире

Квантовая механика имеет дело с объектами микромира, с наиболее элементарными составляющими материи. Поведение их определяется вероятностными законами, проявляющимися в форме корпускулярно-волновой двойственности - дуализма. Кроме того, важную роль в их описании играет такая фундаментальная величина, как физическое действие. Естественной единицей, задающей масштаб квантования этой величины, является постоянная Планка. Она же управляет и одним из основополагающих физических принципов - соотношением неопределенностей. Это простое на вид неравенство отражает естественный предел, до которого природа может ответить одновременно на некоторые наши вопросы.

Предпосылки вывода соотношения неопределенностей

Вероятностная интерпретация волновой природы частиц, введенная в науку М. Борном в 1926 г., четко указывала на то, что к явлениям на масштабах атомов и электронов неприменимы классические представления о движении. В то же время и некоторые аспекты матричной механики, созданной В. Гейзенбергом как метод математического описания квантовых объектов, потребовали выяснения их физического смысла. Так, этот метод оперирует дискретными наборами наблюдаемых величин, представляемыми в виде особых таблиц - матриц, а их перемножение обладает свойством некоммутативности, проще говоря, A×B ≠ B×A.

Применительно к миру микрочастиц это можно интерпретировать следующим образом: результат операций по измерению параметров A и B зависит от порядка их проведения. Кроме того, неравенство означает, что эти параметры нельзя измерить одновременно. Гейзенберг исследовал вопрос о взаимосвязи измерения с состоянием микрообъекта, поставив мысленный эксперимент по достижению предела точности одновременного измерения таких параметров частицы, как импульс и координата (подобные переменные называют канонически сопряженными).

Формулировка принципа неопределенности

Результатом усилий Гейзенберга стал вывод в 1927 г. следующего ограничения на применимость к квантовым объектам классических понятий: с повышением точности в определении координаты падает точность, с которой может быть известен импульс. Справедливо и обратное. Математически это ограничение выразилось в соотношении неопределенностей: Δx∙Δp ≈ h. Здесь x - координата, p - импульс, и h - постоянная Планка. Позднее Гейзенберг уточнил соотношение: Δx∙Δp ≥ h. Произведение «дельт» - разбросов в значении координаты и импульса, - имеющее размерность действия, не может оказаться меньше, нежели «мельчайшая порция» этой величины - постоянная Планка. Как правило, в формулах используют приведенную постоянную Планка ħ = h/2π.

Вышеприведенное соотношение носит обобщенный характер. Необходимо учитывать, что оно справедливо лишь для каждой пары координата - компонента (проекция) импульса на соответствующую ось:

• Δx∙Δp x ≥ ħ.
• Δy∙Δp y ≥ ħ.
• Δz∙Δp z ≥ ħ.

Кратко соотношение неопределенностей Гейзенберга можно выразить так: чем меньше область пространства, в которой движется частица, тем более неопределенным является ее импульс.

Мысленный опыт с гамма-микроскопом

В качестве иллюстрации к открытому им принципу Гейзенберг рассмотрел воображаемое устройство, позволяющее измерять положение и скорость (а через нее импульс) электрона сколь угодно точно путем рассеяния на нем фотона: ведь любое измерение сводится к акту взаимодействия частиц, без этого частицу вообще невозможно обнаружить.

Чтобы повысить точность измерения координаты, нужен более коротковолновый фотон, значит, он будет обладать большим импульсом, значительную часть которого при рассеянии передаст электрону. Эту часть определить нельзя, поскольку фотон рассеивается на частице случайным образом (притом что импульс - величина векторная). Если же фотон характеризуется малым импульсом, то у него большая длина волны, следовательно, координата электрона будет измерена с существенной погрешностью.

Принципиальный характер соотношения неопределенностей

В квантовой механике постоянная Планка, как уже отмечалось выше, играет особую роль. Эта фундаментальная константа входит практически во все уравнения данного раздела физики. Ее присутствие в формуле соотношения неопределенностей Гейзенберга, во-первых, указывает на масштаб, в котором эти неопределенности проявляются, и, во-вторых, говорит о том, что это явление связано не с несовершенством средств и методов измерения, а со свойствами самой материи и носит универсальный характер.

Может показаться, что в действительности частица все-таки обладает конкретными значениями скорости и координаты одновременно, а неустранимые помехи в их установление вносит акт измерения. Однако это не так. Движение квантовой частицы связано с распространением волны, амплитуда которой (точнее, квадрат ее абсолютного значения) указывает на вероятность нахождения в той или иной точке. Это означает, что у квантового объекта отсутствует траектория в классическом смысле. Можно сказать, что он обладает набором траекторий, и все они, соответственно их вероятности, осуществляются при движении (это подтверждено, например, экспериментами по интерференции электронной волны).

Отсутствие классической траектории равнозначно отсутствию у частицы таких состояний, в которых импульс и координаты характеризовались бы точными значениями одновременно. В самом деле, бессмысленно говорить о «длине волны в некоторой точке», а так как импульс связан с длиной волны соотношением де Бройля p = h/λ, частица, обладающая определенным импульсом, не имеет определенной координаты. Соответственно, если микрообъект обладает точной координатой, совершенно неопределенным становится импульс.

Неопределенность и действие в микро- и макромире

Физическое действие частицы выражается через фазу волны вероятности с коэффициентом ħ = h/2π. Следовательно, действие, как фаза, управляющая амплитудой волны, связано со всеми вероятными траекториями, и вероятностная неопределенность в отношении параметров, образующих траекторию, принципиально неустранима.

Действие пропорционально координате и импульсу. Эту величину можно представить и как разность между кинетической и потенциальной энергией, проинтегрированную по времени. Короче говоря, действие - это мера того, как изменяется движение частицы за некоторое время, и оно зависит, в частности, от ее массы.

В случае если действие значительно превышает постоянную Планка, наиболее вероятной становится траектория, определяемая такой амплитудой вероятности, которой соответствует наименьшее действие. Соотношение неопределенностей Гейзенберга кратко выражает то же самое, если его видоизменить с учетом того, что импульс равен произведению массы m на скорость v: Δx∙Δv x ≥ ħ/m. Сразу становится видно, что с увеличением массы объекта неопределенности становятся все меньше, и при описании движения макроскопических тел вполне применима классическая механика.

Энергия и время

Принцип неопределенности справедлив и для других сопряженных величин, представляющих динамические характеристики частиц. Таковыми, в частности, являются энергия и время. Они тоже, как уже было отмечено, определяют действие.

Соотношение неопределенностей энергия - время имеет вид ΔE∙Δt ≥ ħ и показывает, как связаны точность значения энергии частицы ΔE и промежуток времени Δt, на протяжении которого нужно эту энергию оценить. Так, нельзя утверждать, что частица может обладать строго определенной энергией в некоторый точный момент времени. Чем более короткий период Δt мы будем рассматривать, тем в больших пределах будет флуктуировать энергия частицы.

Электрон в атоме

Можно оценить, используя соотношение неопределенностей, ширину энергетического уровня, например, атома водорода, то есть разброс значений энергии электрона в нем. В основном состоянии, когда электрон пребывает на низшем уровне, атом может существовать бесконечно долго, иначе говоря, Δt→∞ и, соответственно, ΔE принимает нулевое значение. В возбужденном же состоянии атом пребывает лишь некоторое конечное время порядка 10 -8 с, а значит, обладает неопределенностью энергии ΔE = ħ/Δt ≈ (1,05∙10 -34 Дж∙с)/(10 -8 с) ≈ 10 -26 Дж, что составляет около 7∙10 -8 эВ. Следствием этого является неопределенность частоты излучаемого фотона Δν = ΔE/ħ, проявляющаяся как наличие у спектральных линий некоторой размытости и так называемой естественной ширины.

Мы можем также путем несложных вычислений, используя соотношение неопределенностей, оценить и ширину разброса координаты электрона, проходящего через отверстие в препятствии, и минимальные размеры атома, и величину его низшего энергетического уровня. Соотношение, выведенное В. Гейзенбергом, помогает в решении множества задач.

Философское осмысление принципа неопределенности

Наличие неопределенностей часто ошибочно трактуется как свидетельство полного хаоса, якобы царящего в микромире. Но их соотношение говорит нам совсем другое: всегда выступая попарно, они как бы налагают друг на друга вполне закономерное ограничение.

Соотношение, взаимно увязывающее неопределенности динамических параметров, является естественным следствием двойственной - корпускулярно-волновой - природы материи. Поэтому оно послужило основой для идеи, выдвинутой Н. Бором с целью интерпретации формализма квантовой механики - принципа дополнительности. Всю информацию о поведении квантовых объектов мы можем получать только посредством макроскопических приборов, и неизбежно вынуждены пользоваться понятийным аппаратом, выработанным в рамках классической физики. Таким образом, мы имеем возможность исследовать либо волновые свойства таких объектов, либо корпускулярные, но никогда - одновременно те и другие. В силу этого обстоятельства мы должны рассматривать их не как противоречащие, а как дополнительные друг к другу. А простая формула соотношения неопределенностей указывает нам на границы, вблизи которых необходимо подключать принцип дополнительности для адекватного описания квантово-механической реальности.

Соотношение неопределенности Гейзенберга представляется как одно из основных, фундаментальных положений квантовой механики.
Приводим характеристику, данную этому соотношению Л. Д. Ландау:

“Открытие принципа неопределенности показало, что человек в процессе познания природы может оторваться от своего воображения, он может открыть и осознать даже то, что ему не под силу представить”.

Точка зрения Ландау отражает распространенное мнение о соотношении неопределенности Гейзенберга. Рассмотрим положения, в основном, сформулированные авторами квантовой механики, связанными с изложением и трактовкой этого соотношения, которые могут оправдать приведенную характеристику.

1. “Классическая физика как раз и кончается в том месте, где нельзя уже отказаться от учета влияния наблюдателя на исследуемые процессы” ,“Невозможность отдалить самостоятельное поведение от их взаимодействия с измерительными приборами, предназначенных для изучения условий протекания явления, влечет за собой неоднозначность в приписывании обычных атрибутов атомным явлениям. Это обстоятельство вызывает необходимость пересмотра нашего отношения к проблеме физического объяснения”.

Данный фактор, в действительности, имеет место и в процессе обычных измерений, описываемых с помощью классической механики. Но влияние измерительного прибора и методики измерения либо учитывается и вводится поправка, либо результат измерений фигурирует как условный, т. е. оговаривается методика. Во всяком случае, этот фактор достаточно очевидный и не выглядит парадоксальным.

2. “Специфическая неточность, обусловленная соотношением неопределенности, в классической физике отсутствует”.

“В квантовой механике мы встречаемся с парадоксальной ситуацией - наблюдаемые события повинуются закону случая… Сегодня порядок идей обратный [по сравнению с “предвзятыми идеями о причинности”]: случайность стала первичным понятием”. “С точки зрения квантовой теории нет никакой причины, по которой [например] распались имменно эти ядра, они распались “просто так”, спонтанно. Квантовая теория предсказывает лишь вероятность распада ядер”.

В данном случае отрицается наличие причины происходящих явлений. Это часто используемый в квантовой механике способ “решения научных задач”: проблема “закрывается” путем провозглашения соответствующего “закона” или “принципа”. Для Борна “детерминизм” являлся ярлыком, характеризующим неприятие “современной” науки. Его совершенно не устраивала и “компромиссная” теория “скрытых переменных”.

В основе мистического миропонимания лежит аналогичное восприятие необъяснимого: подразумевается, что феномен, недоступный нашему пониманию, находится вне сферы возможности его объяснения.

Следует отметить, что не все классики квантовой механики придерживались этой теории, в частности, против нее решительно выступал Планк: “eсли подобный шаг оказался бы действительно необходимым, то тем самым цель физического исследования была бы значительно отброшена назад, что нанесло бы значительный ущерб, значение которого нетрудно оценить”. Тем не менее, подобное толкование “принципа неопределенности” вошло в ортодоксальную науку.

3. Соотношение неопределенности ряд авторов рассматривал как отражение волновых свойств частиц - следствие корпускулярно-волнового дуализма. “Соотношения неопределенности Гейзенберга непосредственно вытекают из положения, что элементами новой картины мира являются не материальные частицы, а простейшие периодические волны материи”. “Соотношения неопределенности следуют из способа которым связываются с помощью постоянной h корпускулярная и волновая сторона единых объектов вещества и излучения”.

Однако эта точка зрения не является обоснованной, о чем, в частности, свидетельствует вывод соотношения Гейзенбергом без “непосредственного обращения к волновой картине с помощью математической схемы квантовой теории”.

4. Соотношение неопределенности Гейзенберга показывает, что “между точностью, с которой одновременно может быть установлено положение частицы, и точностью ее импульса существует определенное соотношение” :

qp ≥ h , (1)
где - среднеквадратичное отклонение. Нетрадиционное обозначение в формуле вводится для того, чтобы подчеркнуть отличие от единичного отклонения, которое часто обозначается символом D , что в отдельных случаях вызывает неверное толкование формулы.

О неприятии данного соотношения в период становления квантовой теории свидетельствуют дискуссии между Эйнштейном и Бором и, в частности, т. н. “парадокс Эйнштейна – Подольского – Розена”, в котором предполагается “мысленное” одновременное измерение импульса и координаты у двух частиц – “двойников”.

Характерная деталь: анализ приведенного выражения проводится так, как будто это эмпирическая формула, а не соотношение, полученное аналитическим путем. В результате трактовка соотношения оказывается не связанной с предпосылками и условностями, которые подразумевались при его выводе, и это является одной из причин тех парадоксов, которые связываются с данным соотношением. Конкретно, эти противоречия отметим в заключении нашего анализа.

Приводим относительно простой вывод соотношения, делая упор на исходные постулаты и условности.

1. В основе соотношения лежит формула Планка, отражающая положение о квантовании “действия ”:

E = nh
(E -энергия фотона, n - частота электромагнитной волны)

или ее следствия:

(p - импульс, l - длина волны).

Приращение “действия”, соответствующее h ,

DS h = p Dq
(Dq - приращение координаты)

или при одновременном изменении p и q:

DS h = Dp Dq .(2)

2. Отметим, что проявление импульса невозможно без перемещения, а проявление энергии - вне времени . Под “проявлением” подразумевается регистрация путем взаимодействия объекта с наблюдателем, с измерительным прибором. Это условие справедливо и в классической механике.

3. В случае использования соотношения неопределенности, а возможно и в общем случае, измеряется “действие”, а не его компоненты - импульс, координаты, энергию, время .

Знаменательно - в действии объединены три основополагающие понятия: сила, длина, время. Измерительный же прибор “отградуирован”, соответственно, на импульс, координаты, энергию и время.

4. Неопределенность - это принципиальная невозможность определить величину параметра, а не результат влияния помех или ошибки измерения, подчиненных вероятностным законам, если их точное воздействие неизвестно.

Неопределенность, которую нельзя устранить, имеет место и в классической механике, она просто объясняется и легко воспринимается. Это случай, когда ограничена разрешающая способность конкретного измерительного инструмента: слишком велика при измерении “цена деления”, т. е. измерение осуществляется с помощью определенного шаблона, а требуется точность более высокая, чем та, что обеспечивается размерами или другими параметрами шаблона. Ни у кого, например, не вызывает удивления, что величина разрешения, достигаемого микроскопом, ограничена длиной волны в луче освещения. Эта неопределенность не связана с нашим незнанием причины погрешности, тем более, что этой причины не существует - у нас нет методики или инструмента для более точного определения измеряемого параметра.

5. В соотношении неопределенность рассматривается как фактор, вызывающий ошибку. Следовательно, формально предполагается стремление получить большую точность, чем та, которая может обеспечить дискретная величина кванта действия.

При изучении волновых свойств света, например отражения или преломления, принято считать, что волна частично отражается, частично преломляется. Но при переходе к фотонным представлениям уже нельзя считать, что данный фотон «частично отразился», так как в этом случае изменилась бы частота отраженного света. Приходится говорить о том, что определенная часть фотонов отражается или что фотон имеет определенную вероятность от разиться. В такой трактовке амплитуда отраженного луча (или лучше энергия, пропорциональная квадрату амплитуды) определяется, как уже говорилось выше, вероятностью отражения фотона в данном направлении. Такое же рассмотрение возможно и для частиц вещества: квадрат модуля амплитуды волны де Бройля определяет вероятность нахождения частицы в том или ином месте (сама амплитуда есть функция координат и времени).

Итак, всякой движущейся частице следует сопоставить волновой процесс. Уравнение, описывающее ее движение, будет характеризоваться условиями распространения соответствующей волны де Бройля. Однако при этом решается задача не о положении данной частицы, а лишь о вероятности ее нахождения в некотором месте. Если речь идет о потоке частиц, то там, где вероятность их появления больше, они и окажутся в относительно большем числе; так, при дифракции электронов на щели наибольшая часть их попадет в участки, где вероятность их нахождения наибольшая,- соответствующие направления определяются формулой, характеризующей направления на максимум света:

где β - угол дифракции, Н - ширина щели.

Таким образом выясняется, что мы можем точно описать не характер движения отдельной микрочастицы, а лишь вероятность попадания ее в ту или иную область пространства. Это значит, что мы дошли до предела, за которым наши классические представления о характеристиках движения теряют свою полную определенность, привычную для классической механики. Это принципиальное положение, открытое Гейзенбергом и называемое соотношением неопределенностей, можно пояснить следующим примером. Пусть пучок электронов (рис. 12.2) со скоростью y падает на экран со щелью шириной Δх . При этом возникнет дифракционная картина -часть электронов пройдет через щель, не отклоняясь, часть же будет испытывать дифракцию и отклонится на некоторый угол; большая часть их окажется в пределах угла, определяющего направление на первый дифракционный минимум:

Эти электроны приобретут ранее отсутствовавшую у них составляющую импульса

модуль которой связан с шириной щели таким соотношением:

Отсюда получается:

Более строгое рассмотрение задачи показывает, что полученное уравнение определяет наименьшее значение произведения Δp x Δx, а более точное выражение имеет вид:

Здесь р х и х - импульс и координата, определяемые в одном и том же измерении. Величина Δх определяет неопределенность положения точки, через которую пролетел электрон (мы ведь знаем только лишь, что он прошел через щель). При этом неопределенность Δх принципиально неустранима. Компонента импульса направлена по оси х, так как мы не можем указать, какому из электронов присущ тот или иной импульс Δр х .

Конечно, такие же соотношения, как (12.4), могут быть написаны для других координат:

Согласно (12.4) произведение неопределенностей не может быть ни в каком опыте сделано меньше постоянной Планка h . При этом весьма существенно, что, чем точнее определяется одна из величин, тем менее определенно будет значение другой величины. Так, при уменьшении Δx, т. е. ширины щели, дифракция проявляется более резко, следовательно, растет угол р, а с ним и неопределенность Δ р х .

Для опытов макроскопического масштаба это неравенство, оставаясь в принципе справедливым, уже не имеет значения. Докажем это. Вообразим электронный пучок диаметром d x = 10 -3 м, летящий в вакууме. Этот диаметр определяет неопределенность в задании координаты электрона. Пусть скорость электрона v y = 10 7 м/с. Какова неопределенность в оценке скорости v x ? Согласно (12.3) получаем:

т. е. ничтожно малую величину по сравнению со скоростью v y , поэтому обычно величиной Δv x и пренебрегают. Но при переходе к микромиру положение изменяется. Так, если мы знаем, что электрон находится внутри атома (неопределенность в задании координатыΔх=10 -10 м), то неопределенность в определении скорости составит:

Но это величина того же порядка, какой можно приписать скорости электрона, предполагая, что он движется в атоме по законам классической физики. Поэтому внутри атома" в известной степени теряется определенность понятий координаты и импульса; классическое описание движения оказывается невозможным.

Так как неопределенность в определении скорости тем меньше, чем больше масса, то для более тяжелых частиц неопределенность бывает меньше.

Уравнение (12.4) можно представить в виде:

Так как нам важен лишь порядок величины, то напишем:

Здесь ΔW - неопределенность энергии частицы в некотором состоянии, At - время ее пребывания в данном состоянии (в нашем f примере речь шла о кинетической энергии, однако в действительности результат (12.5) верен и для полной энергии частицы). Таким образом, чем дольше частица пребывает в данном состоянии, тем более определенна ее энергия, и, наоборот, для состояний, существующих малый промежуток времени, энергия определяется с большой неопределенностью,

В случае фотона

и из (12.5) получается неопределенность частоты:

Из этого неравенства следует, что так как все реальные состояния ограничены во времени, то в природе не существует чисто монохроматических процессов (к этому вопросу мы вернемся позже при оценке ширины спектральных линий). Пока же мы отметим, что, например, чем продолжительнее импульс, заполненный высокочастотными колебаниями, тем он монохроматичнее.

В заключение добавим, что соотношение неопределенностей относится к некоторым парам физических величин, но не к любым: так, например, между неопределенностями координаты Δх и импульса Δр у нет закономерных связей. Соотношение неопределенностей, как и представление о волнах де Бройля, является одним из основных положений квантовой механики.

Соотношение неопределенностей характеризует границы применимости классических представлений к микропроцессам. Но его ни в коем случае нельзя толковать как соотношение, определяющее границы нашего познания. Классические представления не являются единственно возможными, хотя они наиболее привычны для нас и необходимы при описании результатов опытов, производимых над микрочастицами при помощи макроскопических приборов.

Мы не можем указать, как именно будет развиваться в дальнейшем познание окружающего нас мира (в частности, микромира), но можно с полной определенностью утверждать, что границ этого развития не существует, что в природе есть еще очень много непознанного, но нет ничего непознаваемого. Этому учит диалектика развития науки, в частности физики.

Принцип неопределённости Гейзенбе́рга (или Га́йзенберга ) - в квантовой механике так называют принцип, дающий нижний (ненулевой) предел для произведения дисперсий величин, характеризующих состояние системы.

Обычно принцип неопределённости иллюстрируется следующим образом. Рассмотрим ансамбль невзаимодействующих эквивалентных частиц, приготовленных в определённом состоянии, для каждой из которых измеряется либо координата q , либо импульс p . При этом результаты измерений будут случайными величинами, дисперсии которых будут удовлетворять соотношению неопределённостей . Отметим, что, хотя нас интересуют одновременные значения координаты и импульса в данном квантовом состоянии , измерять их у одной и той же частицы нельзя, так как любое измерение изменит её состояние.

В общем смысле, соотношение неопределённости возникает между любыми переменными состояния, определяемыми некоммутирующими операторами. Это - один из краеугольных камней квантовой механики, который был открыт Вернером Гейзенбергом в г.

Краткий обзор

Принцип неопределённости в квантовой механике иногда объясняется таким образом, что измерение координаты обязательно влияет на импульс частицы. По-видимому, сам Гейзенберг предложил это объяснение, по крайней мере первоначально. То, что влияние измерения на импульс несущественно, может быть показано следующим образом: рассмотрим ансамбль (невзаимодействующих) частиц, приготовленных в одном и том же состоянии; для каждой частицы в ансамбле мы измеряем либо импульс, либо координату, но не обе величины. В результате измерения мы получим, что значения распределены с некоторой вероятностью, и для дисперсий d p и d q верно отношение неопределённости.

Отношения неопределённости Гейзенберга - это теоретический предел точности любых измерений. Они справедливы для так называемых идеальных измерений, иногда называемых измерениями фон Неймана . Они тем более справедливы для неидеальных измерений или измерений Ландау .

Соответственно, любая частица (в общем смысле, например несущая дискретный электрический заряд) не может быть описана одновременно как «классическая точечная частица» и как волна . (Сам факт того, что какое-либо из этих описаний может быть справедливо, по крайней мере в отдельных случаях, называют корпускулярно-волновым дуализмом). Принцип неопределённости, в виде, первоначально предложенном Гейзенбергом, верен в случае, когда ни одно из этих двух описаний не является полностью и исключительно подходящим, например частица в коробке с определённым значением энергии; то есть для систем, которые не характеризуются ни каким-либо определённым «положением» (какое-либо определённое значение расстояния от потенциальной стенки), ни определённым значением импульса (включая его направление).

Существует точная, количественная аналогия между отношениями неопределённости Гейзенберга и свойствами волн или сигналов . Рассмотрим переменный во времени сигнал, например звуковую волну . Бессмысленно говорить о частотном спектре сигнала в какой-либо момент времени. Для точного определения частоты необходимо наблюдать за сигналом в течение некоторого времени, таким образом теряя точность определения времени. Другими словами, звук не может иметь и точного значения времени, как например короткий импульс, и точного значения частоты, как, например, в непрерывном чистом тоне. Временно́е положение и частота волны во времени походят на координату и импульс частицы в пространстве.

Определение

Если приготовлены несколько идентичных копий системы в данном состоянии, то измеренные значения координаты и импульса будут подчиняться определённому распределению вероятности - это фундаментальный постулат квантовой механики. Измеряя величину стандартного отклонения Δx координаты и стандартного отклонения Δp импульса, мы найдем что:

,

где - постоянная Дирака . В некоторых случаях «неопределённость» переменной определяется как наименьшая ширина диапазона, который содержит 50 % значений, что, в случае нормального распределения переменных, приводит для произведения неопределённостей к большей нижней границе . Отметьте, что это неравенство даёт несколько возможностей - состояние может быть таким, что x может быть измерен с высокой точностью, но тогда p будет известен только приблизительно, или наоборот p может быть определён точно, в то время как x - нет. Во всех же других состояниях, и x и p могут быть измерены с «разумной» (но не произвольно высокой) точностью.

В повседневной жизни мы обычно не наблюдаем неопределённость потому, что значение чрезвычайно мало.

Другие характеристики

Было развито множество дополнительных характеристик, включая описанные ниже:

Выражение конечного доступного количества информации Фишера

Принцип неопределённости альтернативно выводится как выражение неравенства Крамера - Рао в классической теории измерений. В случае когда измеряется положение частицы. Средне-квадратичный импульс частицы входит в неравенство как информация Фишера . См. также полная физическая информация.

Обобщённый принцип неопределённости

Принцип неопределённости не относится только к координате и импульсу. В своей общей форме, он применим к каждой паре сопряжённых переменных . В общем случае, и в отличие от случая координаты и импульса, обсуждённого выше, нижняя граница произведения неопределённостей двух сопряжённых переменных зависит от состояния системы. Принцип неопределённости становится тогда теоремой в теории операторов, которую мы здесь приведем

Следовательно, верна следующая общая форма принципа неопределённости , впервые выведенная в г. Говардом Перси Робертсоном и (независимо) Эрвином Шрёдингером :

Это неравенство называют соотношением Робертсона - Шрёдингера .

Оператор A B − B A называют коммутатором A и B и обозначают как [A ,B ] . Он определен для тех x , для которых определены оба A B x и B A x .

Из соотношения Робертсона - Шрёдингера немедленно следует соотношение неопределённости Гейзенберга :

Предположим, A и B - две физические величины, которые связаны с самосопряжёнными операторами. Если A B ψ и B A ψ определены, тогда:

,

Среднее значение оператора величины X в состоянии ψ системы, и

Возможно также существование двух некоммутирующих самосопряжённых операторов A и B , которые имеют один и тот же собственный вектор ψ . В этом случае ψ представляет собой чистое состояние, которое является одновременно измеримым для A и B .

Общие наблюдаемые переменные, которые повинуются принципу неопределённости

Предыдущие математические результаты показывают, как найти отношения неопределённости между физическими переменными, а именно, определить значения пар переменных A и B , коммутатор которых имеет определённые аналитические свойства.

• самое известное отношение неопределённости - между координатой и импульсом частицы в пространстве:

• отношение неопределённости между двумя ортогональными компонентами оператора полного углового момента частицы:

где i , j , k различны и J i обозначает угловой момент вдоль оси x i .

• следующее отношение неопределённости между энергией и временем часто представляется в учебниках физики, хотя его интерпретация требует осторожности, так как не существует оператора, представляющего время:

. Однако, при условие периодичности несущественно и принцип неопределенности принимает привычный вид: .

Интерпретации

Альберту Эйнштейну принцип неопределённости не очень понравился, и он бросил вызов Нильсу Бору и Вернеру Гейзенбергу известным мысленным экспериментом (См. дебаты Бор-Эйнштейн для подробной информации): заполним коробку радиоактивным материалом, который испускает радиацию случайным образом. Коробка имеет открытый затвор, который немедленно после заполнения закрывается при помощи часов в определённый момент времени, позволяя уйти небольшому количеству радиации. Таким образом время уже точно известно. Мы все ещё хотим точно измерить сопряжённую переменную энергии. Эйнштейн предложил сделать это, взвешивая коробку до и после. Эквивалентность между массой и энергией по специальной теории относительности позволит точно определить, сколько энергии осталось в коробке. Бор возразил следующим образом: если энергия уйдет, тогда полегчавшая коробка сдвинется немного на весах. Это изменит положение часов. Таким образом часы отклоняются от нашей неподвижной системы отсчёта , и по специальной теории относительности, их измерение времени будет отличаться от нашего, приводя к некоторому неизбежному значению ошибки. Детальный анализ показывает, что неточность правильно дается соотношением Гейзенберга.

В пределах широко, но не универсально принятой Копенгагенской интерпретации квантовой механики, принцип неопределённости принят на элементарном уровне. Физическая вселенная существует не в детерминистичной форме, а скорее как набор вероятностей, или возможностей. Например, картина (распределение вероятности) произведённая миллионами фотонов, дифрагирующими через щель может быть вычислена при помощи квантовой механики, но точный путь каждого фотона не может быть предсказан никаким известным методом. Копенгагенская интерпретация считает, что это не может быть предсказано вообще никаким методом.

Именно эту интерпретацию Эйнштейн подвергал сомнению, когда писал Максу Борну : «я уверен, что Бог не бросает кости» (Die Theorie liefert viel. Aber ich bin überzeugt, dass der Alte nicht würfelt ) . Нильс Бор , который был одним из авторов Копенгагенской интерпретации, ответил: «Эйнштейн, не говорите Богу, что делать».

Эйнштейн был убеждён, что эта интерпретация была ошибочной. Его рассуждение основывалось на том, что все уже известные распределения вероятности являлись результатом детерминированных событий. Распределение подбрасываемой монеты или катящейся кости может быть описано распределением вероятности (50 % орёл, 50 % решка). Но это не означает, что их физические движения непредсказуемы. Обычная механика может вычислить точно, как каждая монета приземлится, если силы, действующие на неё будут известны, а орлы/решки будут все ещё распределяться случайно (при случайных начальных силах).

Эйнштейн предполагал, что существуют скрытые переменные в квантовой механике, которые лежат в основе наблюдаемых вероятностей.

Ни Эйнштейн, ни кто-либо ещё с тех пор не смог построить удовлетворительную теорию скрытых переменных, и неравенство Белла иллюстрирует некоторые очень тернистые пути в попытке сделать это. Хотя поведение индивидуальной частицы случайно, оно также скоррелировано с поведением других частиц. Поэтому, если принцип неопределённости - результат некоторого детерминированного процесса, то получается, что частицы на больших расстояниях должны немедленно передавать информацию друг другу, чтобы гарантировать корреляции в своём поведении.

Принцип неопределённости в популярной культуре

Принцип неопределённости часто неправильно понимается или приводится в популярной прессе. Одна частая неправильная формулировка в том, что наблюдение события изменяет само событие. Вообще говоря, это не имеет отношения к принципу неопределённости. Почти любой линейный оператор изменяет вектор, на котором он действует (то есть почти любое наблюдение изменяет состояние), но для коммутативных операторов никаких ограничений на возможный разброс значений нет (). Например, проекции импульса на оси c и y можно измерить вместе сколь угодно точно, хотя каждое измерение изменяет состояние системы. Кроме того, в принципе неопределённости речь идёт о параллельном измерении величин для нескольких систем, находящихся в одном состоянии, а не о последовательных взаимодействиях с одной и той же системой.

Другие (также вводящие в заблуждение) аналогии с макроскопическими эффектами были предложены для объяснения принципа неопределённости: одна из них рассматривает придавливание арбузной семечки пальцем. Эффект известен - нельзя предсказать, как быстро или куда семечка исчезнет. Этот случайный результат базируется полностью на хаотичности, которую можно объяснить в простых классических терминах.

В некоторых научно-фантастических рассказах устройство для преодоления принципа неопределённости называют компенсатором Гейзенберга, наиболее известное используется на звездолёте «Энтерпрайз» из фантастического телесериала Звёздный Путь в телепортаторе. Однако, неизвестно, что означает «преодоление принципа неопределённости». На одной из пресс-конференций продюсера сериала спросили «Как работает компенсатор Гейзенберга?», на что он ответил «Спасибо, хорошо!»

Научный юмор

Необычная природа принципа неопределённости Гейзенберга и его запоминающееся название, сделали его источником нескольких шуток. Говорят, что популярной надписью на стенах физического факультета университетских городков является: «Здесь, возможно, был Гейзенберг».

В другой шутке о принципе неопределённости, квантового физика останавливает на шоссе полицейский и спрашивает: «Вы знаете, как быстро Вы ехали, сэр?». На что физик отвечает: «Нет, но я точно знаю, где я!»

Теория Бора оказалась недостаточной для объяснения многих явле­ний микромира - строения многоэлектронных атомов, молекул, химиче­ской связи и т. д. Идеи де Бройля и выявленные на опыте волновые свой­ства частиц вещества послужили толчком к созданию принципиально новой теории, описывающей поведение микрочастиц с учетом их волно­вых свойств. Этой теорией стала квантовая (волновая) механика, основы которой были созданы в 1925-1926 гг. В. Гейзенбергом и Э. Шредингером.

После беседы с Н. Бором 20 летний студент Мюнхенского университета Вернер Гейзенберг пришел к выводу, что в последова­тельной и логически непротиворечивой теории атома нельзя использовать законы ньютоновской механики и потому следует отказаться от такого клас­сического понятия, как «электронная орбита».

В течение трех лет Вернер Гейзенберг думал над тем, какой должна быть новая механика микрочастиц. Статья Гейзенберга «О квантово-механическом истолковании кинема­тических и механических зависимостей» (от 27.07.1925 г.) явилась первым шагом к созданию совершенно новой теории микромира - квантовой ме­ханики.

Квантовая механика представляет собой нерелятивистскую теорию явлений, происходящих в микромире. Ее отличительной чертой является учет корпускулярно-волнового дуализма и вероятностное описание поведения микрочастиц.

Квантовая механика раскрывает два основных свойства вещества: квантованность внутриатомных процессов и волновую природу частиц.

Квантовая механика лишена наглядности, характерной для класси­ческой механики. Образы привычного нам макромира становятся непри­годными для описания явлений, происходящих в микромире.

Для того чтобы описать поведение любой частицы, нужно опреде­лить ее координату х, импульс р, энергию Е и т. д.

В классической механике считалось, что если выбрана та или иная система отсчёта, то любая движущаяся частица в каждый момент времени будет иметь в ней определённые координаты и скорость. Зная начальные значения этих величин, можно было определить их значения в последующие моменты времени и тем самым предсказать, где будет находится частица в той или иной момент времени. Однако опыты с микрочастицами (например, дифракционные эксперименты Дэвиссона и Джермера) показали, что в микромире такие предсказания невозможны. Здесь можно говорить лишь о вероятности обнаружения данной частицы в той или иной точке пространства. Предсказать же, в какую именно точку экрана в опыте Дэвиссона и Джермера попадёт конкретный электрон, принципиально невозможно.

Неспособность классической механики объяснить результаты подобных экспериментов обусловлены тем, что в ней не учитываются волновые свойства микрочастиц. Учёт и корпускулярных и волновых свойств частиц был осуществлён в квантовой механике.

Согласно квантовой механике для микрочастиц не существует понятие траектории, и потому проследить во всех деталях за их движением невозможно.

Так как движущаяся частица обладает корпускулярно-волновым дуализмом, то одновременное точное определение координаты х и импульса р х невозможно.

Тщательный анализ поведения микроскопических частиц, проведен­ный Гейзенбергом, показал, что существует принципиальный предел точности измерений указанных величин. Если обозначить Δх, Δу, Δz не­точность (неопределенность) определения координаты, а Δр х, Δр у, Δр z - неточность (неопределенность) определений соответствующих проекций импульса, то эти величины между собой связаны зависимостями

ΔхΔр х ≥ ħ, ΔyΔр y ≥ ħ, ΔzΔр z ≥ ħ (26.3)

Эту зависимость называют соотношением неопределенностей Гейзенберга .

Из него следует: чем точнее определена координата (Δх→ 0), тем менее точно определен импульс (Δр х → ∞), и наоборот. Т аким образом, соотношение неопределенностей устанавливает пре­делы, за которыми принципы классической физики становятся неприем­лемыми. Если произведение Δ хΔ р сравнимо с ħ, то поведение частицы описывается законами квантовой механики, если Δ хΔ р велико по сравне­нию с ħ, то поведение частицы описывается законами классической физики.

Из соотношения неопределённостей следует также, что в микромире невозможна локализация частицы в сколь угодно малой области пространства. Другими словами, если бы мы захотели, скажем, поймать и удерживать в каком-либо месте электрон, то у нас бы из этого ничего не вышло.

В самом деле, в процессе сжатия области локализации неопределённость Δх в местоположении частицы будет становиться всё меньше и меньше. Но тогда разброс в возможных значениях её скорости

будет становиться всё больше и больше. Из-за этого будет расти и неопределённость её кинетической энергии. Рано или поздно энергия частицы возрастёт настолько, что эту частицу будет невозможно удержать в одном месте и, преодолев удерживающие её силы, она покинет область локализации. Описанное явление называют туннельным эффектом .

Соотношение, аналогичное (7.21), имеет место для времени и энергии:

ΔЕ Δt > h (26.4)

Рассмотрим это соотношение в применении к возбужденному со­стоянию атома. Если считать Δt средним временем жизни возбужденного состояния атома, а ΔЕ - средней шириной его энергетического уровня (неопределенность энергии состояния), то чем короче время существова­ния какого-либо состояния системы, тем более неопределенно значение его энергии.

При переходе атома из возбужденного в нормальное состояние излучается квант энергии, характеризуемый некоторой частотой размытости Δν = ΔЕ/h спектральной линии излучения, что приводит к уширению спектральных линий.

Гейзенберг и Бор показали, что ни одно измерение не может дать результатов, противоречащих соотношениям неопределенностей. Эти соот­ношения являются одним из фундаментальных положений квантовой механики.

При движении электрона в атоме соотношение неопределенностей вносит существенные изменения в представления о траектории электро­на, т. е. его орбите.

Радиус первой боровской орбиты атома водорода г = 0,5·10 -10 м. Скорость электрона на орбите υ ≈ 10 6 м/с.

Если предположить, что скорость определена с точностью всего 10%, т. е.

Δυ≈ 10 6 м/с, то неопределенность координаты

что почти в 150 раз превышает радиус орбиты.

Таким образом, классическое понятие траектории (орбиты) для элек­трона в атоме теряет смысл.

Для макроскопических тел ограничения, накладываемые соотноше­нием неопределенностей Гейзенберга, совершенно несущественны.

Например, для маленькой капли диаметром 0,1 мм (m= 5·10 -10 кг), движущейся со скоростью υ = 10 м/с, измеренной с точностью до 10%, т. е. при Δр = mΔυ= 5· 10 -10 кг·м/с, неопределенности координаты Δx=10 -24 м, что в 10 20 раз меньше диаметра капли.