Возникновение теории вероятности как науки. Теория вероятностей

Некоторые программисты после работы в области разработки обычных коммерческих приложений задумываются о том, чтобы освоить машинное обучение и стать аналитиком данных. Часто они не понимают, почему те или иные методы работают, и большинство методов машинного обучения кажутся магией. На самом деле, машинное обучение базируется на математической статистике, а та, в свою очередь, основана на теории вероятностей. Поэтому в этой статье мы уделим внимание базовым понятиям теории вероятностей: затронем определения вероятности, распределения и разберем несколько простых примеров.

Возможно, вам известно, что теория вероятностей условно делится на 2 части. Дискретная теория вероятностей изучает явления, которые можно описать распределением с конечным (или счетным) количеством возможных вариантов поведения (бросания игральных костей, монеток). Непрерывная теория вероятностей изучает явления, распределенные на каком-то плотном множестве, например на отрезке или в круге.

Можно рассмотреть предмет теории вероятностей на простом примере. Представьте себя разработчиком шутера. Неотъемлемой частью разработки игр этого жанра является механика стрельбы. Ясно, что шутер в котором всё оружие стреляет абсолютно точно, будет малоинтересен игрокам. Поэтому, обязательно нужно добавлять оружию разброс. Но простая рандомизация точек попадания оружия не позволит сделать его тонкую настройку, поэтому, корректировка игрового баланса будет сложна. В то же время, используя случайные величины и их распределения можно проанализировать то, как будет работать оружие с заданным разбросом, и поможет внести необходимые корректировки.

Пространство элементарных исходов

Допустим, из некоторого случайного эксперимента, который мы можем многократно повторять (например, бросание монеты), мы можем извлечь некоторую формализуемую информацию (выпал орел или решка). Эта информация называется элементарным исходом, при этом целесообразно рассматривать множество всех элементарных исходов, часто обозначаемое буквой Ω (Омега).

Структура этого пространства целиком зависит от природы эксперимента. Например, если рассматривать стрельбу по достаточно большой круговой мишени, - пространством элементарных исходов будет круг, для удобства размещенный с центром в нуле, а исходом - точка в этом круге.

Кроме того, рассматривают множества элементарных исходов - события (например, попадание в «десятку» - это концентрический круг маленького радиуса с мишенью). В дискретном случае всё достаточно просто: мы можем получить любое событие, включая или исключая элементарные исходы за конечное время. В непрерывном же случае всё гораздо сложнее: нам понадобится некоторое достаточно хорошее семейство множеств для рассмотрения, называемое алгеброй по аналогии с простыми вещественными числами, которые можно складывать, вычитать, делить и умножать. Множества в алгебре можно пересекать и объединять, при этом результат операции будет находиться в алгебре. Это очень важное свойство для математики, которая лежит за всеми этими понятиями. Минимальное семейство состоит всего из двух множеств - из пустого множества и пространства элементарных исходов.

Мера и вероятность

Вероятность - это способ делать выводы о поведении очень сложных объектов, не вникая в принцип их работы. Таким образом, вероятность определяется как функция от события (из того самого хорошего семейства множеств), которая возвращает число - некоторую характеристику того, насколько часто может происходить такое событие в реальности. Для определённости математики условились, что это число должно лежать между нулем и единицей. Кроме того, к этой функции предъявляются требования: вероятность невозможного события нулевая, вероятность всего множества исходов единичная, и вероятность объединения двух независимых событий (непересекающихся множеств) равна сумме вероятностей. Другое название вероятности - вероятностная мера. Чаще всего используется Лебегова мера , обобщающая понятия длина, площадь, объём на любые размерности (n -мерный объем), и таким образом она применима для широкого класса множеств.

Вместе совокупность множества элементарных исходов, семейства множеств и вероятностной меры называется вероятностным пространством . Рассмотрим, каким образом можно построить вероятностное пространство для примера со стрельбой в мишень.

Рассмотрим стрельбу в большую круглую мишень радиуса R , в которую невозможно промахнуться. Множеством элементарных событий положим круг с центром в начале координат радиуса R . Поскольку мы собираемся использовать площадь (меру Лебега для двумерных множеств) для описания вероятности события, то будем использовать семейство измеримых (для которых эта мера существует) множеств.

Примечание На самом деле, это технический момент и в простых задачах процесс определения меры и семейства множеств не играет особой роли. Но понимать, что эти два объекта существуют, необходимо, ведь во многих книгах по теории вероятности теоремы начинаются со слов: «Пусть (Ω,Σ,P) - вероятностное пространство … ».

Как уже сказано выше, вероятность всего пространства элементарных исходов должна равняться единице. Площадь (двумерная мера Лебега, которую мы обозначим λ 2 (A) , где А — событие) круга по хорошо известной со школы формуле равна π *R 2 . Тогда мы можем ввести вероятность P(A) = λ 2 (A) / (π *R 2) , и эта величина уже будет лежать между 0 и 1 для любого события А.

Если предположить, что попадание в любую точку мишени равновероятно, поиск вероятности попадания стрелком в какую-то то область мишени сводится к поиску площади этого множества (отсюда можно сделать вывод, что вероятность попадания в конкретную точку нулевая, ведь площадь точки равна нулю).

Например, мы хотим узнать, какова вероятность того, что стрелок попадёт в «десятку» (событие A — стрелок попал в нужное множество). В нашей модели, «десятка» представляется кругом с центром в нуле и радиусом r. Тогда вероятность попадания в этот круг P(A) = λ 2 /(A)π *R 2 = π * r 2 /(π R 2)= (r/R) 2 .

Это одна из самых простых разновидностей задач на «геометрическую вероятность», - большинство таких задач требуют поиска площади.

Случайные величины

Случайная величина — функция, переводящая элементарные исходы в вещественные числа. К примеру, в рассмотренной задаче мы можем ввести случайную величину ρ(ω) — расстояние от точки попадания до центра мишени. Простота нашей модели позволяет явно задать пространство элементарных исходов: Ω = {ω = (x,y) такие числа, что x 2 +y 2 ≤ R 2 } . Тогда случайная величина ρ(ω) = ρ(x,y) = x 2 +y 2 .

Средства абстракции от вероятностного пространства. Функция распределения и плотность

Хорошо, когда структура пространства хорошо известна, но на самом деле так бывает далеко не всегда. Даже если структура пространства известна, она может быть сложна. Для описания случайных величин, если их выражение неизвестно, существует понятие функции распределения, которую обозначают F ξ (x) = P(ξ < x) (нижний индекс ξ здесь означает случайную величину). Т.е. это вероятность множества всех таких элементарных исходов, для которых значение случайной величины ξ на этом событии меньше, чем заданный параметр x .

Функция распределения обладает несколькими свойствами:

Во-первых, она находится между 0 и 1 .
Во-вторых, она не убывает, когда ее аргумент x растёт.
В третьих, когда число -x очень велико, функция распределения близка к 0 , а когда само х большое, функция распределения близка к 1 .

Вероятно, смысл этой конструкции при первом чтении не слишком понятен. Одно из полезных свойств — функция распределения позволяет искать вероятность того, что величина принимает значение из интервала. Итак, P (случайная величина ξ принимает значения из интервала ) = F ξ (b)-F ξ (a) . Исходя из этого равенства, можем исследовать, как изменяется эта величина, если границы a и b интервала близки.

Пусть d = b-a , тогда b = a+d . А следовательно, F ξ (b)-F ξ (a) = F ξ (a+d) - F ξ (a) . При малых значениях d , указанная выше разность так же мала (если распределение непрерывное). Имеет смысл рассматривать отношение p ξ (a,d)= (F ξ (a+d) - F ξ (a))/d . Если при достаточно малых значениях d это отношение мало отличается от некоторой константы p ξ (a) , не зависящей от d, то в этой точке случайная величина имеет плотность, равную p ξ (a) .

Примечание Читатели, которые ранее сталкивались понятием производной, могут заметить что p ξ (a) — производная функции F ξ (x) в точке a . Во всяком случае, можно изучить понятие производной в посвященной этой теме статье на сайте Mathprofi.

Теперь смысл функции распределения можно определить так: её производная (плотность p ξ , которую мы определили выше) в точке а описывает, насколько часто случайная величина будет попадать в небольшой интервал с центром в точке а (окрестность точки а) по сравнению с окрестностями других точек. Другими словами, чем быстрее растёт функция распределения, тем более вероятно появление такого значения при случайном эксперименте.

Вернемся к примеру. Мы можем вычислить функцию распределения для случайной величины, ρ(ω) = ρ(x,y) = x 2 +y 2 , которая обозначает расстояние от центра до точки случайного попадания в мишень. По определению F ρ (t) = P(ρ(x,y) < t) . т.е. множество {ρ(x,y) < t)} — состоит из таких точек (x,y) , расстояние от которых до нуля меньше, чем t . Мы уже считали вероятность такого события, когда вычисляли вероятность попадания в «десятку» - она равна t 2 /R 2 . Таким образом, Fρ(t) = P(ρ(x,y) < t) = t 2 /R 2 , для 0

Мы можем найти плотность p ρ этой случайной величины. Сразу заметим, что вне интервала она нулевая, т.к. функция распределения на этом промежутке неизменна. На концах этого интервала плотность не определена. Внутри интервала её можно найти, используя таблицу производных (например из на сайте Mathprofi) и элементарные правила дифференцирования. Производная от t 2 /R 2 равна 2t/R 2 . Значит, плотность мы нашли на всей оси вещественных чисел.

Ещё одно полезное свойство плотности — вероятность того, что функция принимает значение из промежутка, вычисляется при помощи интеграла от плотности по этому промежутку (ознакомиться с тем, что это такое, можно в статьях о собственном , несобственном , неопределенном интегралах на сайте Mathprofi).

При первом чтении, интеграл по промежутку от функции f(x) можно представлять себе как площадь криволинейной трапеции. Ее сторонами являются фрагмент оси Ох, промежуток (горизонтальной оси координат), вертикальные отрезки, соединяющие точки (a,f(a)), (b,f(b)) на кривой с точками (a,0), (b,0) на оси Ох. Последней стороной является фрагмент графика функции f от (a,f(a)) до (b,f(b)) . Можно говорить об интеграле по промежутку (-∞; b] , когда для достаточно больших отрицательных значений, a значение интеграла по промежутку будет меняться пренебрежимо мало по сравнению с изменением числа a. Аналогичным образом определяется и интеграл по промежуткам Тематики информационные технологии в целом EN probability theorytheory of chancesprobability calculation … Справочник технического переводчика

Теория вероятностей - есть часть математики, изучающая зависимости между вероятностями (см. Вероятность и Статистика) различных событий. Перечислим важнейшие теоремы, относящиеся к этой науке. Вероятность появления одного из нескольких несовместных событий равняется… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ - математич. наука позволяющая по вероятностям одних событий случайных (см.) находить вероятности случайных событий, связанных к. л. образом с первыми. Современная Т.в. основана на аксиоматике (см. Метод аксиоматический) А. Н. Колмогорова. На… … Российская социологическая энциклопедия

Теория вероятностей - раздел математики, в котором по данным вероятностям одних случайных событий находят вероятности других событий, связанных некоторым образом с первыми. Теория вероятностей изучает также случайные величины и случайные процессы. Одна из основных… … Концепции современного естествознания. Словарь основных терминов

теория вероятностей - tikimybių teorija statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. probability theory vok. Wahrscheinlichkeitstheorie, f rus. теория вероятностей, f pranc. théorie des probabilités, f … Fizikos terminų žodynas

Теория Вероятностей - … Википедия

Теория вероятностей - математическая дисциплина, изучающая закономерности случайных явлений … Начала современного естествознания

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ - (probability theory) см. Вероятность … Большой толковый социологический словарь

Теория вероятностей и её применения - («Теория вероятностей и её применения»,) научный журнал Отделения математики АН СССР. Публикует оригинальные статьи и краткие сообщения по теории вероятностей, общим вопросам математической статистики и их применениям в естествознании и… … Большая советская энциклопедия

Книги

Теория вероятностей. , Вентцель Е.С.. Книга представляет собой учебник, предназначенный для лиц, знакомых с математикой в объёме обычного втузовского курса и интересующихся техническими приложениямитеории вероятностей, в… Купить за 2056 грн (только Украина)
Теория вероятностей. , Вентцель Е.С.. Эта книга будет изготовлена в соответствии с Вашим заказом по технологии Print-on-Demand. Книга представляет собой учебник, предназначенный для лиц, знакомых с математикой в объёме обычного…

Теория вероятностей – это раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними.

Долгое время теория вероятностей не имела четкого определения. Оно было сформулировано лишь в 1929 году. Возникновение теории вероятностей как науки относят к средним векам и первым попыткам математического анализа азартных игр (орлянка, кости, рулетка). Французские математики XVII века Блез Паскаль и Пьер Ферма, исследуя прогнозирование выигрыша в азартных играх, открыли первые вероятностные закономерности, возникающие при бросании костей.

Теория вероятности возникла как наука из убеждения, что в основе массовых случайных событий лежат определенные закономерности. Теория вероятности изучает данные закономерности.

Теория вероятностей занимается изучением событий, наступление которых достоверно неизвестно. Она позволяет судить о степени вероятности наступления одних событий по сравнению с другими.

Например: определить однозначно результат выпадения «орла» или «решки» в результате подбрасывания монеты нельзя, но при многократном подбрасывании выпадает примерно одинаковое число «орлов» и «решек», что означает, что вероятность того, что выпадет «орел» или «решка», равна 50%.

Испытанием в этом случае называется реализация определенного комплекса условий, то есть в данном случае подбрасывание монеты. Испытание может воспроизводиться неограниченное количество раз. При этом комплекс условий включает в себя случайные факторы.

Результатом испытания является событие . Событие бывает:

Достоверное (всегда происходит в результате испытания).
Невозможное (никогда не происходит).
Случайное (может произойти или не произойти в результате испытания).

Например, при подбрасывании монеты невозможное событие - монета станет на ребро, случайное событие - выпадение «орла» или «решки». Конкретный результат испытания называется элементарным событием . В результате испытания происходят только элементарные события. Совокупность всех возможных, различных, конкретных исходов испытаний называется пространством элементарных событий .

Основные понятия теории

Вероятность - степень возможности происхождения события. Когда основания для того, чтобы какое-нибудь возможное событие произошло в действительности, перевешивают противоположные основания, то это событие называют вероятным, в противном случае - маловероятным или невероятным.

Случайная величина - это величина, которая в результате испытания может принять то или иное значение, причем неизвестно заранее, какое именно. Например: число на пожарную станцию за сутки, число попадания при 10 выстрелах и т.д.

Случайные величины можно разделить на две категории.

Дискретной случайной величиной называется такая величина, которая в результате испытания может принимать определенные значения с определенной вероятностью, образующие счетное множество (множество, элементы которого могут быть занумерованы). Это множество может быть как конечным, так и бесконечным. Например, количество выстрелов до первого попадания в цель является дискретной случайной величиной, т.к. эта величина может принимать и бесконечное, хотя и счетное количество значений.
Непрерывной случайной величиной называется такая величина, которая может принимать любые значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Очевидно, что количество возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно.

Вероятностное пространство - понятие, введенное А.Н. Колмогоровым в 30-х годах XX века для формализации понятия вероятности, которое дало начало бурному развитию теории вероятностей как строгой математической дисциплине.

Вероятностное пространство - это тройка (иногда обрамляемая угловыми скобками: , где

Это произвольное множество, элементы которого называются элементарными событиями, исходами или точками;
- сигма-алгебра подмножеств , называемых (случайными) событиями;
- вероятностная мера или вероятность, т.е. сигма-аддитивная конечная мера, такая что .

Теорема Муавра-Лапласа - одна из предельных теорем теории вероятностей, установлена Лапласом в 1812 году. Она утверждает, что число успехов при многократном повторении одного и того же случайного эксперимента с двумя возможными исходами приблизительно имеет нормальное распределение. Она позволяет найти приближенное значение вероятности.

Если при каждом из независимых испытаний вероятность появления некоторого случайного события равна () и - число испытаний, в которых фактически наступает, то вероятность справедливости неравенства близка (при больших ) к значению интеграла Лапласа.

Функция распределения в теории вероятностей - функция, характеризующая распределение случайной величины или случайного вектора; вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее или равное х, где х - произвольное действительное число. При соблюдении известных условий полностью определяет случайную величину.

Математическое ожидание - среднее значение случайной величины (это распределение вероятностей случайной величины, рассматривается в теории вероятностей). В англоязычной литературе обозначается через , в русской - . В статистике часто используют обозначение .

Пусть задано вероятностное пространство и определенная на нем случайная величина . То есть, по определению, - измеримая функция. Тогда, если существует интеграл Лебега от по пространству , то он называется математическим ожиданием, или средним значением и обозначается .

Дисперсия случайной величины - мера разброса данной случайной величины, т. е. ее отклонения от математического ожидания. Обозначается в русской литературе и в зарубежной. В статистике часто употребляется обозначение или . Квадратный корень из дисперсии называется среднеквадратичным отклонением, стандартным отклонением или стандартным разбросом.

Пусть - случайная величина, определенная на некотором вероятностном пространстве. Тогда

где символ обозначает математическое ожидание.

В теории вероятностей два случайных события называются независимыми , если наступление одного из них не изменяет вероятность наступления другого. Аналогично, две случайные величины называют зависимыми , если значение одной из них влияет на вероятность значений другой.

Простейшая форма закона больших чисел – это теорема Бернулли, утверждающая, что если вероятность события одинакова во всех испытаниях, то с увеличением числа испытаний частота события стремится к вероятности события и перестает быть случайной.

Закон больших чисел в теории вероятностей утверждает, что среднее арифметическое конечной выборки из фиксированного распределения близко к теоретическому среднему математическому ожиданию этого распределения. В зависимости от вида сходимости различают слабый закон больших чисел, когда имеет место сходимость по вероятности, и усиленный закон больших чисел, когда имеет место сходимость почти наверняка.

Общий смысл закона больших чисел - совместное действие большого числа одинаковых и независимых случайных факторов приводит к результату, в пределе не зависящему от случая.

На этом свойстве основаны методы оценки вероятности на основе анализа конечной выборки. Наглядным примером является прогноз результатов выборов на основе опроса выборки избирателей.

Центральные предельные теоремы - класс теорем в теории вероятностей, утверждающих, что сумма достаточно большого количества слабо зависимых случайных величин, имеющих примерно одинаковые масштабы (ни одно из слагаемых не доминирует, не вносит в сумму определяющего вклада), имеет распределение, близкое к нормальному.

Так как многие случайные величины в приложениях формируются под влиянием нескольких слабо зависимых случайных факторов, их распределение считают нормальным. При этом должно соблюдаться условие, что ни один из факторов не является доминирующим. Центральные предельные теоремы в этих случаях обосновывают применение нормального распределения.

"Случайности не случайны"... Звучит так, словно сказал философ, но на деле изучать случайности удел великой науки математики. В математике случайностями занимается теория вероятности. Формулы и примеры заданий, а также основные определения этой науки будут представлены в статье.

Что такое теория вероятности?

Теория вероятности - это одна из математических дисциплин, которая изучает случайные события.

Чтобы было немного понятнее, приведем небольшой пример: если подкинуть вверх монету, она может упасть «орлом» или «решкой». Пока монета находится в воздухе, обе эти вероятности возможны. То есть вероятность возможных последствий соотносится 1:1. Если из колоды с 36-ю картами вытащить одну, тогда вероятность будет обозначаться как 1:36. Казалось бы, что здесь нечего исследовать и предугадывать, тем более при помощи математических формул. Тем не менее, если повторять определенное действие много раз, то можно выявить некую закономерность и на ее основе спрогнозировать исход событий в других условиях.

Если обобщить все вышесказанное, теория вероятности в классическом понимании изучает возможность возникновения одного из возможных событий в числовом значении.

Со страниц истории

Теория вероятности, формулы и примеры первых заданий появились еще в далеком Средневековье, когда впервые возникли попытки спрогнозировать исход карточных игр.

Изначально теория вероятности не имела ничего общего с математикой. Она обосновывалась эмпирическими фактами или свойствами события, которое можно было воспроизвести на практике. Первые работы в этой сфере как в математической дисциплине появились в XVII веке. Родоначальниками стали Блез Паскаль и Пьер Ферма. Длительное время они изучали азартные игры и увидели определенные закономерности, о которых и решили рассказать обществу.

Такую же методику изобрел Христиан Гюйгенс, хотя он не был знаком с результатами исследований Паскаля и Ферма. Понятие «теория вероятности», формулы и примеры, что считаются первыми в истории дисциплины, были введены именно им.

Немаловажное значение имеют и работы Якоба Бернулли, теоремы Лапласа и Пуассона. Они сделали теорию вероятности больше похожей на математическую дисциплину. Свой теперешний вид теория вероятностей, формулы и примеры основных заданий получили благодаря аксиомам Колмогорова. В результате всех изменений теория вероятности стала одним из математических разделов.

Базовые понятия теории вероятностей. События

Главным понятием этой дисциплины является "событие". События бывают трех видов:

Достоверные. Те, которые произойдут в любом случае (монета упадет).
Невозможные. События, что не произойдут ни при каком раскладе (монета останется висеть в воздухе).
Случайные. Те, что произойдут или не произойдут. На них могут повлиять разные факторы, которые предугадать очень трудно. Если говорить о монете, то случайные факторы, что могут повлиять на результат: физические характеристики монеты, ее форма, исходное положение, сила броска и т. д.

Все события в примерах обозначаются заглавными латинскими буквами, за исключением Р, которой отведена другая роль. Например:

А = «студенты пришли на лекцию».
Ā = «студенты не пришли на лекцию».

В практических заданиях события принято записывать словами.

Одна из важнейших характеристик событий - их равновозможность. То есть, если подбросить монету, все варианты исходного падения возможны, пока она не упала. Но также события бывают и не равновозможными. Это происходит, когда кто-то специально воздействует на исход. Например, «меченые» игральные карты или игральные кости, в которых смещен центр тяжести.

Еще события бывают совместимыми и несовместимыми. Совместимые события не исключают появления друг друга. Например:

А = «студентка пришла на лекцию».
В = «студент пришел на лекцию».

Эти события независимы друг от друга, и появление одного из них не влияет на появление другого. Несовместимые события определяются тем, что появление одного исключает появление другого. Если говорить о той же монете, то выпадение «решки» делает невозможным появление «орла» в этом же эксперименте.

Действия над событиями

События можно умножать и складывать, соответственно, в дисциплине вводятся логические связки «И» и «ИЛИ».

Сумма определяется тем, что может появиться или событие А, или В, или два одновременно. В случае когда они несовместимы, последний вариант невозможен, выпадет или А, или В.

Умножение событий заключается в появлении А и В одновременно.

Теперь можно привести несколько примеров, чтобы лучше запомнились основы, теория вероятности и формулы. Примеры решения задач далее.

Задание 1 : Фирма принимает участие в конкурсе на получение контрактов на три разновидности работы. Возможные события, которые могут произойти:

А = «фирма получит первый контракт».
А 1 = «фирма не получит первый контракт».
В = «фирма получит второй контракт».
В 1 = «фирма не получит второй контракт»
С = «фирма получит третий контракт».
С 1 = «фирма не получит третий контракт».

С помощью действий над событиями попробуем выразить следующие ситуации:

К = «фирма получит все контракты».

В математическом виде уравнение будет иметь следующий вид: К = АВС.

М = «фирма не получит ни одного контракта».

М = А 1 В 1 С 1 .

Усложняем задание: H = «фирма получит один контракт». Поскольку не известно, какой именно контракт получит фирма (первый, второй или третий), необходимо записать весь ряд возможных событий:

Н = А 1 ВС 1 υ АВ 1 С 1 υ А 1 В 1 С.

А 1 ВС 1 - это ряд событий, где фирма не получает первый и третий контракт, но получает второй. Соответственным методом записаны и другие возможные события. Символ υ в дисциплине обозначает связку «ИЛИ». Если перевести приведенный пример на человеческий язык, то фирма получит или третий контракт, или второй, или первый. Подобным образом можно записывать и другие условия в дисциплине «Теория вероятности». Формулы и примеры решения задач, представленные выше, помогут сделать это самостоятельно.

Собственно, вероятность

Пожалуй, в этой математической дисциплине вероятность события - это центральное понятие. Существует 3 определения вероятности:

классическое;
статистическое;
геометрическое.

Каждое имеет свое место в изучении вероятностей. Теория вероятности, формулы и примеры (9 класс) в основном используют классическое определение, которое звучит так:

Вероятность ситуации А равняется отношению числа исходов, что благоприятствуют ее появлению, к числу всех возможных исходов.

Формула выглядит так: Р(А)=m/n.

А - собственно, событие. Если появляется случай, противоположный А, его можно записывать как Ā или А 1 .

m - количество возможных благоприятных случаев.

n - все события, которые могут произойти.

Например, А = «вытащить карту червовой масти». В стандартной колоде 36 карт, 9 из них червовой масти. Соответственно, формула решения задания будет иметь вид:

Р(А)=9/36=0,25.

В итоге вероятность того, что из колоды вытянут карту червовой масти, составит 0,25.

К высшей математике

Теперь стало немного известно, что такое теория вероятности, формулы и примеры решения заданий, которые попадаются в школьной программе. Однако теория вероятностей встречается и в высшей математике, которая преподается в вузах. Чаще всего там оперируют геометрическими и статистическими определениями теории и сложными формулами.

Очень интересна теория вероятности. Формулы и примеры (высшая математика) лучше начинать изучать с малого - со статистического (или частотного) определения вероятности.

Статистический подход не противоречит классическому, а немного расширяет его. Если в первом случае нужно было определить, с какой долей вероятности произойдет событие, то в этом методе необходимо указать, как часто оно будет происходить. Здесь вводится новое понятие «относительная частота», которую можно обозначить W n (A). Формула ничем не отличается от классической:

Если классическая формула вычисляется для прогнозирования, то статистическая - согласно результатам эксперимента. Возьмем, к примеру, небольшое задание.

Отдел технологического контроля проверяет изделия на качество. Среди 100 изделий нашли 3 некачественных. Как найти вероятность частоты качественного товара?

А = «появление качественного товара».

W n (A)=97/100=0,97

Таким образом, частота качественного товара составляет 0,97. Откуда взяли 97? Из 100 товаров, которые проверили, 3 оказались некачественными. От 100 отнимаем 3, получаем 97, это количество качественного товара.

Немного о комбинаторике

Еще один метод теории вероятности называют комбинаторикой. Его основной принцип состоит в том, что если определенный выбор А можно осуществить m разными способами, а выбор В - n разными способами, то выбор А и В можно осуществить путем умножения.

Например, из города А в город В ведет 5 дорог. Из города В в город С ведет 4 пути. Сколькими способами можно доехать из города А в город С?

Все просто: 5х4=20, то есть двадцатью разными способами можно добраться из точки А в точку С.

Усложним задание. Сколько существует способов раскладывания карт в пасьянсе? В колоде 36 карт - это исходная точка. Чтобы узнать количество способов, нужно от исходной точки «отнимать» по одной карте и умножать.

То есть 36х35х34х33х32…х2х1= результат не вмещается на экран калькулятора, поэтому его можно просто обозначить 36!. Знак «!» возле числа указывает на то, что весь ряд чисел перемножается между собой.

В комбинаторике присутствуют такие понятия, как перестановка, размещение и сочетание. Каждое из них имеет свою формулу.

Упорядоченный набор элементов множества называют размещением. Размещения могут быть с повторениями, то есть один элемент можно использовать несколько раз. И без повторений, когда элементы не повторяются. n - это все элементы, m - элементы, которые участвуют в размещении. Формула для размещения без повторений будет иметь вид:

A n m =n!/(n-m)!

Соединения из n элементов, которые отличаются только порядком размещения, называют перестановкой. В математике это имеет вид: Р n = n!

Сочетаниями из n элементов по m называют такие соединения, в которых важно, какие это были элементы и каково их общее количество. Формула будет иметь вид:

A n m =n!/m!(n-m)!

Формула Бернулли

В теории вероятности, так же как и в каждой дисциплине, имеются труды выдающихся в своей области исследователей, которые вывели ее на новый уровень. Один из таких трудов - формула Бернулли, что позволяет определять вероятность появления определенного события при независимых условиях. Это говорит о том, что появление А в эксперименте не зависит от появления или не появления того же события в ранее проведенных или последующих испытаниях.

Уравнение Бернулли:

P n (m) = C n m ×p m ×q n-m .

Вероятность (р) появления события (А) неизменна для каждого испытания. Вероятность того, что ситуация произойдет ровно m раз в n количестве экспериментов, будет вычисляться формулой, что представлена выше. Соответственно, возникает вопрос о том, как узнать число q.

Если событие А наступает р количество раз, соответственно, оно может и не наступить. Единица - это число, которым принято обозначать все исходы ситуации в дисциплине. Поэтому q - число, которое обозначает возможность ненаступления события.

Теперь вам известна формула Бернулли (теория вероятности). Примеры решения задач (первый уровень) рассмотрим далее.

Задание 2: Посетитель магазина сделает покупку с вероятностью 0,2. В магазин зашли независимым образом 6 посетителей. Какова вероятность того, что посетитель сделает покупку?

Решение: Поскольку неизвестно, сколько посетителей должны сделать покупку, один или все шесть, необходимо просчитать все возможные вероятности, пользуясь формулой Бернулли.

А = «посетитель совершит покупку».

В этом случае: р = 0,2 (как указано в задании). Соответственно, q=1-0,2 = 0,8.

n = 6 (поскольку в магазине 6 посетителей). Число m будет меняться от 0 (ни один покупатель не совершит покупку) до 6 (все посетители магазина что-то приобретут). В итоге получим решение:

P 6 (0) = C 0 6 ×p 0 ×q 6 =q 6 = (0,8) 6 = 0,2621.

Ни один из покупателей не совершит покупку с вероятностью 0,2621.

Как еще используется формула Бернулли (теория вероятности)? Примеры решения задач (второй уровень) далее.

После вышеприведенного примера возникают вопросы о том, куда делись С и р. Относительно р число в степени 0 будет равно единице. Что касается С, то его можно найти формулой:

C n m = n! / m!(n-m)!

Поскольку в первом примере m = 0, соответственно, С=1, что в принципе не влияет на результат. Используя новую формулу, попробуем узнать, какова вероятность покупки товаров двумя посетителями.

P 6 (2) = C 6 2 ×p 2 ×q 4 = (6×5×4×3×2×1) / (2×1×4×3×2×1) × (0,2) 2 × (0,8) 4 = 15 × 0,04 × 0,4096 = 0,246.

Не так уж и сложна теория вероятности. Формула Бернулли, примеры которой представлены выше, прямое тому доказательство.

Формула Пуассона

Уравнение Пуассона используется для вычисления маловероятных случайных ситуаций.

Основная формула:

P n (m)=λ m /m! × e (-λ) .

При этом λ = n х p. Вот такая несложная формула Пуассона (теория вероятности). Примеры решения задач рассмотрим далее.

Задание 3 : На заводе изготовили детали в количестве 100000 штук. Появление бракованной детали = 0,0001. Какова вероятность, что в партии будет 5 бракованных деталей?

Как видим, брак - это маловероятное событие, в связи с чем для вычисления используется формула Пуассона (теория вероятности). Примеры решения задач подобного рода ничем не отличаются от других заданий дисциплины, в приведенную формулу подставляем необходимые данные:

А = «случайно выбранная деталь будет бракованной».

р = 0,0001 (согласно условию задания).

n = 100000 (количество деталей).

m = 5 (бракованные детали). Подставляем данные в формулу и получаем:

Р 100000 (5) = 10 5 /5! Х е -10 = 0,0375.

Так же как и формула Бернулли (теория вероятности), примеры решений с помощью которой написаны выше, уравнение Пуассона имеет неизвестное е. По сути его можно найти формулой:

е -λ = lim n ->∞ (1-λ/n) n .

Однако есть специальные таблицы, в которых находятся практически все значения е.

Теорема Муавра-Лапласа

Если в схеме Бернулли количество испытаний достаточно велико, а вероятность появления события А во всех схемах одинакова, то вероятность появления события А определенное количество раз в серии испытаний можно найти формулой Лапласа:

Р n (m)= 1/√npq x ϕ(X m).

X m = m-np/√npq.

Чтобы лучше запомнилась формула Лапласа (теория вероятности), примеры задач в помощь ниже.

Сначала найдем X m , подставляем данные (они все указаны выше) в формулу и получим 0,025. При помощи таблиц находим число ϕ(0,025), значение которого 0,3988. Теперь можно подставлять все данные в формулу:

Р 800 (267) = 1/√(800 х 1/3 х 2/3) х 0,3988 = 3/40 х 0,3988 = 0,03.

Таким образом, вероятность того, что рекламная листовка сработает ровно 267 раз, составляет 0,03.

Формула Байеса

Формула Байеса (теория вероятности), примеры решения заданий с помощью которой будут приведены ниже, представляет собой уравнение, которое описывает вероятность события, опираясь на обстоятельства, которые могли быть связаны с ним. Основная формула имеет следующий вид:

Р (А|B) = Р (В|А) х Р (А) / Р (В).

А и В являются определенными событиями.

Р(А|B) - условная вероятность, то есть может произойти событие А при условии, что событие В истинно.

Р (В|А) - условная вероятность события В.

Итак, заключительная часть небольшого курса «Теория вероятности» - формула Байеса, примеры решений задач с которой ниже.

Задание 5 : На склад привезли телефоны от трех компаний. При этом часть телефонов, которые изготавливаются на первом заводе, составляет 25%, на втором - 60%, на третьем - 15%. Известно также, что средний процент бракованных изделий у первой фабрики составляет 2%, у второй - 4%, и у третьей - 1%. Необходимо найти вероятность того, что случайно выбранный телефон окажется бракованным.

А = «случайно взятый телефон».

В 1 - телефон, который изготовила первая фабрика. Соответственно, появятся вводные В 2 и В 3 (для второй и третьей фабрик).

В итоге получим:

Р (В 1) = 25%/100% = 0,25; Р(В 2) = 0,6; Р (В 3) = 0,15 - таким образом мы нашли вероятность каждого варианта.

Теперь нужно найти условные вероятности искомого события, то есть вероятность бракованной продукции в фирмах:

Р (А/В 1) = 2%/100% = 0,02;

Р(А/В 2) = 0,04;

Р (А/В 3) = 0,01.

Теперь подставим данные в формулу Байеса и получим:

Р (А) = 0,25 х 0,2 + 0,6 х 0,4 + 0,15 х 0,01= 0,0305.

В статье представлена теория вероятности, формулы и примеры решения задач, но это только вершина айсберга обширной дисциплины. И после всего написанного логично будет задаться вопросом о том, нужна ли теория вероятности в жизни. Простому человеку сложно ответить, лучше спросить об этом у того, кто с ее помощью не единожды срывал джек-пот.

Как к свойствам реальных событий, и они формулировались в наглядных представлениях. Самые ранние работы учёных в области теории вероятностей относятся к XVII веку. Исследуя прогнозирование выигрыша в азартных играх, Блез Паскаль и Пьер Ферма открыли первые вероятностные закономерности, возникающие при бросании костей . Под влиянием поднятых и рассматриваемых ими вопросов решением тех же задач занимался и Христиан Гюйгенс . При этом с перепиской Паскаля и Ферма он знаком не был, поэтому методику решения изобрёл самостоятельно. Его работа, в которой вводятся основные понятия теории вероятностей (понятие вероятности как величины шанса; математическое ожидание для дискретных случаев, в виде цены шанса), а также используются теоремы сложения и умножения вероятностей (не сформулированные явно), вышла в печатном виде на двадцать лет раньше (1657 год) издания писем Паскаля и Ферма (1679 год) .

Важный вклад в теорию вероятностей внёс Якоб Бернулли : он дал доказательство закона больших чисел в простейшем случае независимых испытаний. В первой половине XIX века теория вероятностей начинает применяться к анализу ошибок наблюдений; Лаплас и Пуассон доказали первые предельные теоремы. Во второй половине XIX века основной вклад внесли русские учёные П. Л. Чебышёв , А. А. Марков и А. М. Ляпунов . В это время были доказаны закон больших чисел , центральная предельная теорема , а также разработана теория цепей Маркова . Современный вид теория вероятностей получила благодаря аксиоматизации , предложенной Андреем Николаевичем Колмогоровым . В результате теория вероятностей приобрела строгий математический вид и окончательно стала восприниматься как один из разделов математики .

Основные понятия теории

См. также

Напишите отзыв о статье "Теория вероятностей"

Примечания

Вводные ссылки

Вероятностей теория // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров . - 3-е изд. - М . : Советская энциклопедия, 1969-1978.
- статья из энциклопедии «Кругосвет»

Литература

А

Ахтямов, А. М. «Экономико-математические методы»: учеб. пособие Башк. гос. ун-т. - Уфа: БГУ, 2007.
Ахтямов, А. М. «Теория вероятностей». - М.: Физматлит, 2009

Б

Боровков, А. А. «Математическая статистика» , М.: Наука, 1984.
Боровков, А. А. «Теория вероятностей» , М.: Наука, 1986.
Булдык, Г. М. , Мн., Высш. шк., 1989.
Булинский, А. В., Ширяев, А. Н. «Теория случайных процессов» , М.: Физматлит, 2003.
Бекарева, Н. Д. «Теория вероятностей. Конспект лекций» , Новосибирск НГТУ
Баврин, И. И. « Высшая математика» (Часть 2 «Элементы теории вероятностей и математической статистики»), М.: Наука, 2000.

В

Вентцель Е. С. Теория вероятностей. - М.: Наука, 1969. - 576 с.
Вентцель Е. С. Теория вероятностей. - 10-е изд., стер.. - М .: «Академия» , 2005. - 576 с. - ISBN 5-7695-2311-5 .

Г

Гихман И. И., Скороход А. В. Введение в теорию случайных процессов. - М.: Наука, 1977.
Гмурман, В. Е. «Теория вероятностей и математическая статистика» : Учеб. пособие - 12-е изд., перераб.- М.: Высшее образование, 2006.-479 с.:ил (Основы наук).
Гмурман, В. Е. «Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике» : Учеб. пособие - 11-е изд., перераб. - М.: Высшее образование, 2006.-404 с. (Основы наук).
Гнеденко, Б. В. «Курс теории вероятностей» , - М.: Наука, 1988.
Гнеденко, Б. В. «Курс теории вероятностей» , УРСС. М.: 2001.
Гнеденко Б. В., Хинчин А. Я. , 1970.
Гурский Е. И. «Сборник задач по теории вероятностей и математической статистике» , - Минск: Высшая школа, 1975.

Д

П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевников. Высшая математика в упражнениях и задачах. (В 2-х частях)- М.: Высш.шк, 1986.

Е

А. В. Ефимов, А. Е. Поспелов и др. 4 часть // Сборник задач по математике для втузов. - 3-е изд., перераб. и дополн.. - М .: «Физматлит », 2003. - Т. 4. - 432 с. - ISBN 5-94052-037-5 .

К

Колемаев, В. А. и др. «Теория вероятностей и математическая статистика» , - М.: Высшая школа, 1991.
Колмогоров, А. Н. «Основные понятия теории вероятностей» , М.: Наука, 1974.
Коршунов, Д. А., Фосс, С. Г. «Сборник задач и упражнений по теории вероятностей» , Новосибирск, 1997.
Коршунов, Д. А., Чернова, Н. И. «Сборник задач и упражнений по математической статистике» , Новосибирск. 2001.
Кремер Н. Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для ВУЗов. - 2- изд., перераб. и доп.-М:ЮНИТИ-ДАНА, 2004. - 573 с.
Кузнецов, А. В. «Применение критериев согласия при математическом моделировании экономических процессов» , Мн.: БГИНХ, 1991.

Л

Лихолетов И. И., Мацкевич И. Е. «Руководство к решению задач по высшей математике, теории вероятностей и математической статистике» , Мн.: Выш. шк., 1976.
Лихолетов И. И. «Высшая математика, теория вероятностей и математическая статистика» , Мн.: Выш. шк., 1976.
Лоэв М.В «Теория вероятностей» , - М.: Издательство иностранной литературы, 1962.

М

Маньковский Б. Ю., «Таблица вероятности».
Мацкевич И. П., Свирид Г. П. «Высшая математика. Теория вероятностей и математическая статистика» , Мн.: Выш. шк., 1993.
Мацкевич И. П., Свирид Г. П., Булдык Г. М. «Сборник задач и упражнений по высшей математике. Теория вероятностей и математическая статистика» , Мн.: Выш. шк., 1996.
Мейер П.-А. Вероятность и потенциалы. Издательство Мир, Москва, 1973.
Млодинов Л.

П

Прохоров, А. В., В. Г. Ушаков, Н. Г. Ушаков. «Задачи по теории вероятностей» , Наука. М.: 1986.
Прохоров Ю. В., Розанов Ю. А. «Теория вероятностей» , - М.: Наука, 1967.
Пугачев, В. С. «Теория вероятностей и математическая статистика» , Наука. М.: 1979.

Р

Ротарь В. И., «Теория вероятностей» , - М.: Высшая школа, 1992.

С

Свешников А. А. и др., «Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных функций» , - М.: Наука, 1970.
Свирид, Г. П., Макаренко, Я. С., Шевченко, Л. И. «Решение задач математической статистики на ПЭВМ» , Мн., Выш. шк., 1996.
Севастьянов Б. А., «Курс теории вероятностей и математической статистики» , - М.: Наука, 1982.
Севастьянов, Б. А., Чистяков, В. П., Зубков, А. М. «Сборник задач по теории вероятностей» , М.: Наука, 1986.
Соколенко А. И., «Высшая математика» , учебник. М.: Академия, 2002.

Ф

Феллер, В. «Введение в теорию вероятностей и её приложения» .

Х

Хамитов, Г. П., Ведерникова, Т. И. «Вероятности и статистики» , БГУЭП. Иркутск.: 2006.

Ч

Чистяков, В. П. «Курс теории вероятностей» , М., 1982.
Чернова, Н. И. «Теория вероятностей», Новосибирск. 2007.

Ш

Шейнин О. Б. Берлин: NG Ferlag, 2005, 329 с.
Ширяев, А. Н. «Вероятность» , Наука. М.: 1989.
Ширяев, А. Н. «Основы стохастической финансовой математики В 2-х т.» , ФАЗИС. М.: 1998.



Классический анализ

Теория функций

Дифференциальные и интегральные уравнения

Отрывок, характеризующий Теория вероятностей

– Ведь у нас есть хлеб господский, братнин? – спросила она.
– Господский хлеб весь цел, – с гордостью сказал Дрон, – наш князь не приказывал продавать.
– Выдай его мужикам, выдай все, что им нужно: я тебе именем брата разрешаю, – сказала княжна Марья.
Дрон ничего не ответил и глубоко вздохнул.
– Ты раздай им этот хлеб, ежели его довольно будет для них. Все раздай. Я тебе приказываю именем брата, и скажи им: что, что наше, то и ихнее. Мы ничего не пожалеем для них. Так ты скажи.
Дрон пристально смотрел на княжну, в то время как она говорила.
– Уволь ты меня, матушка, ради бога, вели от меня ключи принять, – сказал он. – Служил двадцать три года, худого не делал; уволь, ради бога.
Княжна Марья не понимала, чего он хотел от нее и от чего он просил уволить себя. Она отвечала ему, что она никогда не сомневалась в его преданности и что она все готова сделать для него и для мужиков.

Через час после этого Дуняша пришла к княжне с известием, что пришел Дрон и все мужики, по приказанию княжны, собрались у амбара, желая переговорить с госпожою.
– Да я никогда не звала их, – сказала княжна Марья, – я только сказала Дронушке, чтобы раздать им хлеба.
– Только ради бога, княжна матушка, прикажите их прогнать и не ходите к ним. Все обман один, – говорила Дуняша, – а Яков Алпатыч приедут, и поедем… и вы не извольте…
– Какой же обман? – удивленно спросила княжна
– Да уж я знаю, только послушайте меня, ради бога. Вот и няню хоть спросите. Говорят, не согласны уезжать по вашему приказанию.
– Ты что нибудь не то говоришь. Да я никогда не приказывала уезжать… – сказала княжна Марья. – Позови Дронушку.
Пришедший Дрон подтвердил слова Дуняши: мужики пришли по приказанию княжны.
– Да я никогда не звала их, – сказала княжна. – Ты, верно, не так передал им. Я только сказала, чтобы ты им отдал хлеб.
Дрон, не отвечая, вздохнул.
– Если прикажете, они уйдут, – сказал он.
– Нет, нет, я пойду к ним, – сказала княжна Марья
Несмотря на отговариванье Дуняши и няни, княжна Марья вышла на крыльцо. Дрон, Дуняша, няня и Михаил Иваныч шли за нею. «Они, вероятно, думают, что я предлагаю им хлеб с тем, чтобы они остались на своих местах, и сама уеду, бросив их на произвол французов, – думала княжна Марья. – Я им буду обещать месячину в подмосковной, квартиры; я уверена, что Andre еще больше бы сделав на моем месте», – думала она, подходя в сумерках к толпе, стоявшей на выгоне у амбара.
Толпа, скучиваясь, зашевелилась, и быстро снялись шляпы. Княжна Марья, опустив глаза и путаясь ногами в платье, близко подошла к ним. Столько разнообразных старых и молодых глаз было устремлено на нее и столько было разных лиц, что княжна Марья не видала ни одного лица и, чувствуя необходимость говорить вдруг со всеми, не знала, как быть. Но опять сознание того, что она – представительница отца и брата, придало ей силы, и она смело начала свою речь.
– Я очень рада, что вы пришли, – начала княжна Марья, не поднимая глаз и чувствуя, как быстро и сильно билось ее сердце. – Мне Дронушка сказал, что вас разорила война. Это наше общее горе, и я ничего не пожалею, чтобы помочь вам. Я сама еду, потому что уже опасно здесь и неприятель близко… потому что… Я вам отдаю все, мои друзья, и прошу вас взять все, весь хлеб наш, чтобы у вас не было нужды. А ежели вам сказали, что я отдаю вам хлеб с тем, чтобы вы остались здесь, то это неправда. Я, напротив, прошу вас уезжать со всем вашим имуществом в нашу подмосковную, и там я беру на себя и обещаю вам, что вы не будете нуждаться. Вам дадут и домы и хлеба. – Княжна остановилась. В толпе только слышались вздохи.
– Я не от себя делаю это, – продолжала княжна, – я это делаю именем покойного отца, который был вам хорошим барином, и за брата, и его сына.
Она опять остановилась. Никто не прерывал ее молчания.
– Горе наше общее, и будем делить всё пополам. Все, что мое, то ваше, – сказала она, оглядывая лица, стоявшие перед нею.
Все глаза смотрели на нее с одинаковым выражением, значения которого она не могла понять. Было ли это любопытство, преданность, благодарность, или испуг и недоверие, но выражение на всех лицах было одинаковое.
– Много довольны вашей милостью, только нам брать господский хлеб не приходится, – сказал голос сзади.
– Да отчего же? – сказала княжна.
Никто не ответил, и княжна Марья, оглядываясь по толпе, замечала, что теперь все глаза, с которыми она встречалась, тотчас же опускались.
– Отчего же вы не хотите? – спросила она опять.
Никто не отвечал.
Княжне Марье становилось тяжело от этого молчанья; она старалась уловить чей нибудь взгляд.
– Отчего вы не говорите? – обратилась княжна к старому старику, который, облокотившись на палку, стоял перед ней. – Скажи, ежели ты думаешь, что еще что нибудь нужно. Я все сделаю, – сказала она, уловив его взгляд. Но он, как бы рассердившись за это, опустил совсем голову и проговорил:
– Чего соглашаться то, не нужно нам хлеба.
– Что ж, нам все бросить то? Не согласны. Не согласны… Нет нашего согласия. Мы тебя жалеем, а нашего согласия нет. Поезжай сама, одна… – раздалось в толпе с разных сторон. И опять на всех лицах этой толпы показалось одно и то же выражение, и теперь это было уже наверное не выражение любопытства и благодарности, а выражение озлобленной решительности.
– Да вы не поняли, верно, – с грустной улыбкой сказала княжна Марья. – Отчего вы не хотите ехать? Я обещаю поселить вас, кормить. А здесь неприятель разорит вас…
Но голос ее заглушали голоса толпы.
– Нет нашего согласия, пускай разоряет! Не берем твоего хлеба, нет согласия нашего!
Княжна Марья старалась уловить опять чей нибудь взгляд из толпы, но ни один взгляд не был устремлен на нее; глаза, очевидно, избегали ее. Ей стало странно и неловко.
– Вишь, научила ловко, за ней в крепость иди! Дома разори да в кабалу и ступай. Как же! Я хлеб, мол, отдам! – слышались голоса в толпе.
Княжна Марья, опустив голову, вышла из круга и пошла в дом. Повторив Дрону приказание о том, чтобы завтра были лошади для отъезда, она ушла в свою комнату и осталась одна с своими мыслями.

Долго эту ночь княжна Марья сидела у открытого окна в своей комнате, прислушиваясь к звукам говора мужиков, доносившегося с деревни, но она не думала о них. Она чувствовала, что, сколько бы она ни думала о них, она не могла бы понять их. Она думала все об одном – о своем горе, которое теперь, после перерыва, произведенного заботами о настоящем, уже сделалось для нее прошедшим. Она теперь уже могла вспоминать, могла плакать и могла молиться. С заходом солнца ветер затих. Ночь была тихая и свежая. В двенадцатом часу голоса стали затихать, пропел петух, из за лип стала выходить полная луна, поднялся свежий, белый туман роса, и над деревней и над домом воцарилась тишина.
Одна за другой представлялись ей картины близкого прошедшего – болезни и последних минут отца. И с грустной радостью она теперь останавливалась на этих образах, отгоняя от себя с ужасом только одно последнее представление его смерти, которое – она чувствовала – она была не в силах созерцать даже в своем воображении в этот тихий и таинственный час ночи. И картины эти представлялись ей с такой ясностью и с такими подробностями, что они казались ей то действительностью, то прошедшим, то будущим.
То ей живо представлялась та минута, когда с ним сделался удар и его из сада в Лысых Горах волокли под руки и он бормотал что то бессильным языком, дергал седыми бровями и беспокойно и робко смотрел на нее.
«Он и тогда хотел сказать мне то, что он сказал мне в день своей смерти, – думала она. – Он всегда думал то, что он сказал мне». И вот ей со всеми подробностями вспомнилась та ночь в Лысых Горах накануне сделавшегося с ним удара, когда княжна Марья, предчувствуя беду, против его воли осталась с ним. Она не спала и ночью на цыпочках сошла вниз и, подойдя к двери в цветочную, в которой в эту ночь ночевал ее отец, прислушалась к его голосу. Он измученным, усталым голосом говорил что то с Тихоном. Ему, видно, хотелось поговорить. «И отчего он не позвал меня? Отчего он не позволил быть мне тут на месте Тихона? – думала тогда и теперь княжна Марья. – Уж он не выскажет никогда никому теперь всего того, что было в его душе. Уж никогда не вернется для него и для меня эта минута, когда бы он говорил все, что ему хотелось высказать, а я, а не Тихон, слушала бы и понимала его. Отчего я не вошла тогда в комнату? – думала она. – Может быть, он тогда же бы сказал мне то, что он сказал в день смерти. Он и тогда в разговоре с Тихоном два раза спросил про меня. Ему хотелось меня видеть, а я стояла тут, за дверью. Ему было грустно, тяжело говорить с Тихоном, который не понимал его. Помню, как он заговорил с ним про Лизу, как живую, – он забыл, что она умерла, и Тихон напомнил ему, что ее уже нет, и он закричал: „Дурак“. Ему тяжело было. Я слышала из за двери, как он, кряхтя, лег на кровать и громко прокричал: „Бог мой!Отчего я не взошла тогда? Что ж бы он сделал мне? Что бы я потеряла? А может быть, тогда же он утешился бы, он сказал бы мне это слово“. И княжна Марья вслух произнесла то ласковое слово, которое он сказал ей в день смерти. «Ду ше нь ка! – повторила княжна Марья это слово и зарыдала облегчающими душу слезами. Она видела теперь перед собою его лицо. И не то лицо, которое она знала с тех пор, как себя помнила, и которое она всегда видела издалека; а то лицо – робкое и слабое, которое она в последний день, пригибаясь к его рту, чтобы слышать то, что он говорил, в первый раз рассмотрела вблизи со всеми его морщинами и подробностями.