20 применение дифференциалов к приближенным вычислениям. Приближенные вычисления с помощью дифференциала

НоΔ y = Δ f (х 0) – приращение функции, а f  (х 0) Δx = d f (х 0) – дифференциал функции.

Поэтому окончательно получаем

Теорема 1. Пусть функция у = f (х ) в точке х 0 имеет конечную производную f  (х 0)≠0. Тогда для достаточно малых значений Δxимеет место приближенное равенство (1), которое становится сколь угодно точным при Δx → 0.

Таким образом, дифференциал функции в точке х 0 приближенно равен приращению функции в этой точке.

Т.к. то из равенства (1) получаем

при Δx → 0 (2)

при x → х 0 (2  )

Поскольку уравнение касательной к графику функции y = f (x ) в точке х 0 имеет вид

, то приближенные равенства (1)-(2) геометрически означают, что вблизи точки x=x 0 график функции у=f (х ) приближенно заменяется касательной к кривой у = f (х ).

При достаточно малых значениях полное приращение функции и дифференциал отличаются незначительно, т.е. . Это обстоятельство используется для приближенных вычислений.

Пример 1. Вычислить приближенно .

Решение. Рассмотрим функцию и положим х 0 = 4, х = 3,98. Тогда Δx = x – x 0 = – 0,02, f (x 0)= 2. Поскольку , то f  (х 0)=1/4=0,25. Поэтому по формуле (2) окончательно получаем: .

Пример 2. С помощью дифференциала функции установить, на сколько приближенно изменится значение функции y =f (х )=(3x 3 +5)∙tg4x при уменьшении значения ее аргумента х 0 = 0 на 0,01.

Решение. В силу (1) изменение функции у = f (х ) в точке х 0 приближенно равно дифференциалу функции в этой точке при достаточно малых значениях Dx :

Вычислим дифференциал функции df (0). Имеем Dx = –0,01. Так как f  (х )= 9x 2 ∙tg4x + ((3x 3 +5)/ cos 2 4x )∙4, то f  (0)=5∙4=20 и df (0)=f  (0)∙Δx = 20·(–0,01) = –0,2.

Поэтому Δf (0) ≈ –0,2, т.е. при уменьшении значения х 0 = 0 аргумента функции на 0,01 само значение функции y =f (х ) приближенно уменьшится на 0,2.

Пример 3. Пусть функция спроса на товар имеет вид . Требуется найти объем спроса на товар при цене p 0 =3 ден.ед. и установить, на сколько приближенно увеличится спрос при уменьшении цены товара на 0,2 ден.ед.

Решение. При цене p 0 =3 ден.ед. объем спроса Q 0 =D (p 0)=270/9=30 ед. товара. Изменение цены Δp = –0,2 ден. ед. В силу (1) ΔQ (p 0) ≈ dQ (p 0). Вычислим дифференциал объема спроса на товар.

Поскольку, то D  (3) = –20 и

дифференциал объема спроса dQ (3) = D  (3)∙Δp = –20·(–0,2) = 4. Следовательно, ΔQ (3) ≈ 4, т.е. при уменьшении цены товара p 0 =3 на 0,2 ден.ед. объем спроса на товар увеличится приближенно на 4 ед.товара и станет равным приближенно 30+4=34 ед.товара.

Вопросы для самопроверки

1. Что называется дифференциалом функции?

2. Каков геометрический смысл дифференциала функции?

3. Перечислите основные свойства дифференциала функции.

3. Напишите формулы, позволяющие находить приближенное значение функции при помощи её дифференциала.

23. Понятие дифференциала функции. Свойства. Применение дифференциала в приближенн ых вычислениях .

Понятие дифференциала функции

Пусть функция у=ƒ(х) имеет в точке х отличную от нуля производную.

Тогда, по теореме о связи функции, ее предела и бесконечно малой функции, можно записать  у/х=ƒ"(х)+α, где α→0 при ∆х→0, или ∆у=ƒ"(х) ∆х+α ∆х.

Таким образом, приращение функции ∆у представляет собой сумму двух слагаемых ƒ"(х) ∆х и а ∆х, являющихся бесконечно малыми при ∆x→0. При этом первое слагаемое есть бесконечно малая функция одного порядка с ∆х, так кака второе слагаемое есть бесконечно малая функция более высокого порядка, чем ∆х:

Поэтому первое слагаемое ƒ"(х) ∆х называют главной частью приращения функции ∆у.

Дифференциалом функции у=ƒ(х) в точке х называется главная часть ее приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента, и обозначается dу (или dƒ(х)):

dy=ƒ"(х) ∆х. (1)

Дифференциал dу называют также дифференциалом первого порядка. Найдем дифференциал независимой переменной х, т. е. дифференциал функции у=х.

Так как у"=х"=1, то, согласно формуле (1), имеем dy=dx=∆x, т. е. дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной: dх=∆х.

Поэтому формулу (1) можно записать так:

dy=ƒ"(х)dх, (2)

иными словами, дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал независимой переменной.

Из формулы (2) следует равенство dy/dx=ƒ"(х). Теперь обозначение

производной dy/dx можно рассматривать как отношение дифференциалов dy и dх.

Дифференциал обладает следующими основными свойствами.

1. d(с )=0.

2. d(u+w-v)= du+dw-dv.

3. d(uv)=du·v+u·dv.

d(с u)= с d(u).

4. .

5. y = f (z ), , ,

Форма дифференциала инвариантна (неизменна): он всегда равен произведению производной функции на дифференциал аргумента, независимо от того, простым или сложным является аргумент.

Применение дифференциала к приближенным вычислениям

Как уже известно, приращение ∆у функции у=ƒ(х) в точке х можно представить в виде ∆у=ƒ"(х) ∆х+α ∆х, где α→0 при ∆х→0, или ∆у=dy+α ∆х. Отбрасывая бесконечно малую α ∆х более высокого порядка, чем ∆х, получаем приближенное равенство

∆у≈dy, (3)

причем это равенство тем точнее, чем меньше ∆х.

Это равенство позволяет с большой точностью вычислить приближенно приращение любой дифференцируемой функции.

Дифференциал обычно находится значительно проще, чем приращение функции, поэтому формула (3) широко применяется в вычислительной практике.

24. Первообразная функция и неопределенн ый интеграл .

ПОНЯТИЕ ПЕРВООБРАЗНОЙ ФУНКЦИИ И НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

Функция F (х ) называется первообразной функцией для данной функции f (х ) (или, короче, первообразной данной функции f (х )) на данном промежутке, если на этом промежутке . Пример . Функция является первообразной функции на всей числовой оси, так как при любом х . Отметим, что вместе с функцией первообразной для является любая функция вида , где С - произвольное постоянное число (это следует из того, что производная постоянной равна нулю). Это свойство имеет место и в общем случае.

Теорема 1 . Если и - две первообразные для функции f (х ) в некотором промежутке, то разность между ними в этом промежутке равна постоянному числу. Из этой теоремы следует, что если известна какая-нибудь первообразная F (х ) данной функции f (х ), то все множество первообразных для f (х ) исчерпывается функциями F (х ) + С . Выражение F (х ) + С , где F (х ) - первообразная функции f (х ) и С - произвольная постоянная, называется неопределенным интегралом от функции f (х ) и обозначается символом , причем f (х ) называется подынтегральной функцией ; - подынтегральным выражением , х - переменной интегрирования ; ∫ - знак неопределенного интеграла . Таким образом, по определению если . Возникает вопрос: для всякой ли функции f (х ) существует первообразная, а значит, и неопределенный интеграл? Теорема 2 . Если функция f (х ) непрерывна на [a ; b ], то на этом отрезке для функции f (х ) существует первообразная . Ниже мы будем говорить о первообразных лишь для непрерывных функций. Поэтому рассматриваемые нами далее в этом параграфе интегралы существуют.

25. Свойства неопределенного и нтеграла. Интеграл ы от основных элементарных функций .

Свойства неопределенного интеграла

В приведенных ниже формулах f и g - функции переменной x , F - первообразная функции f , а, k, C - постоянные величины.







Интегралы элементарных функций

Список интегралов от рациональных функций

(первообразная от нуля есть константа, в любых пределах интегрирования интеграл от нуля равен нулю)

Список интегралов от логарифмических функций

Список интегралов от экспоненциальных функций

Список интегралов от иррациональных функций

(«длинный логарифм»)

список интегралов от тригонометрических функций , список интегралов от обратных тригонометрических функций

26. Метод замен ы переменной , метод интегрирования по частям в неопределенном интеграле .

Метод замены переменной (метод подстановки)

Метод интегрирования подстановкой заключается во введении новой переменной интегрирования (то есть подстановки). При этом заданный интеграл приводится к новому интегралу, который является табличнымили к нему сводящимся. Общих методов подбора подстановок не существует. Умение правильно определить подстановку приобретается практикой.

Дифференциалом функции в точкеназывается главная, линейная относительно приращения аргумента
часть приращения функции
, равная произведению производной функции в точкена приращение независимой переменной:

.

Отсюда приращение функции
отличается от ее дифференциала
на бесконечно малую величину и при достаточно малых значениях можно считать
или

Приведенная формула используется в приближенных вычислениях, причем, чем меньше
, тем точнее формула.

Пример 3.1. Вычислить приближенно

Решение . Рассмотрим функцию
. Это степенная функция и её производная

В качестве требуется взять число, удовлетворяющее условиям:

Значение
известно или достаточно просто вычисляется;

Число должно быть как можно более близким к числу 33,2.

В нашем случае этим требованиям удовлетворяет число = 32, для которого
= 2,
= 33,2 -32 = 1,2.

Применяя формулу, находим искомое число:

+
.

Пример 3.2. Найти время удвоения вклада в банк, если ставка банковского процента за год составляет 5% годовых.

Решение. За год вклад увеличивается в
раз, а залет вклад увеличится в
раз. Теперь необходимо решить уравнение:
=2. Логарифмируя, получаем, откуда
. Получим приближенную формулу для вычисления
. Полагая
, найдем
и в соответствии с приближенной формулой. В нашем случае
и
. Отсюда. Так как
, находим время удвоения вклада
лет.

Вопросы для самопроверки

1. Дайте определение дифференциала функции в точке.

2. Почему формула, используемая для вычислений, является приближенной?

3. Каким условиям должно удовлетворять число , входящее в приведенную формулу?

Задачи для самостоятельной работы

Вычислить приближённое значение
, заменив в точке
приращение функции
ее дифференциалом.

Таблица 3.1

4 . Исследование функций и построение их графиков

Если функция одной переменной задана в виде формулы
, то областью ее определения называют такое множество значений аргумента, на котором определены значения функции.

Пример 4.1. Значение функции
определены только для неотрицательных значений подкоренного выражения:
. Отсюда областью определения функции является полуинтервал , так как значение тригонометрической функции
удовлетворяют неравенству: -1
1.

Функция
называетсячетной, если для любых значений из области ее определения выполняется равенство

,

и нечетной, если справедливо другое соотношение:
. В других случаях функцию называют функцией общего вида.

Пример 4.4. Пусть
. Проверим: . Таким образом, эта функция является четной.

Для функции
верно. Отсюда эта функция является нечетной.

Сумма предыдущих функций
является функцией общего вида, так как функцияне равна
и
.

Асимптотой графика функции
называется прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки (;
) плоскости до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат. Различают вертикальные (рис. 4.1), горизонтальные (рис. 4.2) и наклонные (рис. 4.3) асимптоты.

Рис. 4.1. График

Рис. 4.2. График

Рис. 4.3. График

Вертикальные асимптоты функции следует искать либо в точках разрыва второго рода (хотя бы один из односторонних пределов функции в точке бесконечен или не существует), либо на концах ее области определения
, если
– конечные числа.

Если функция
определена на всей числовой оси и существует конечный предел
, либо
, то прямая, задаваемая уравнением
, является правосторонней горизонтальной асимптотой, а прямая
- левосторонней горизонтальной асимптотой.

Если существуют конечные пределы

и
,

то прямая
является наклонной асимптотой графика функции. Наклонная асимптота также может быть правосторонней (
) или левосторонней (
).

Функция
называется возрастающей на множестве
, если для любых
, таких, что>, выполняется неравенство:
>
(убывающей,если при этом:
<
). Множество
в этом случае называют интервалом монотонности функции.

Справедливо следующее достаточное условие монотонности функции: если производная дифференцируемой функции внутри множества
положительна (отрицательна), то функция возрастает (убывает) на этом множестве.

Пример 4.5. Дана функция
. Найти ее интервалы возрастания и убывания.

Решение. Найдем ее производную
. Очевидно, что>0 при>3 и<0 при<3. Отсюда функция убывает на интервале (
;3) и возрастает на (3;
).

Точка называется точкойлокального максимума (минимума) функции
, если в некоторой окрестности точкивыполняется неравенство
(
) . Значение функции в точке называетсямаксимумом (минимумом). Максимум и минимум функции объединяются общим названием экстремум функции.

Для того чтобы функция
имела экстремум в точкенеобходимо, чтобы ее производная в этой точке равнялась нулю (
) или не существовала.

Точки, в которых производная функции равна нулю, называются стационарными точками функции. В стационарной точке не обязательно должен быть экстремум функции. Для нахождения экстремумов требуется дополнительно исследовать стационарные точки функции, например, путем использования достаточных условий экстремума.

Первое из них заключается в том, что если при переходе через стационарную точку слева направо производная дифференцируемой функции меняет знак с плюса на минус, то в точке достигается локальный максимум. Если знак изменяется с минуса на плюс, то это точка минимума функции.

Если же изменение знака производной при переходе через исследуемую точку не происходит, то в данной точке экстремума нет.

Второе достаточное условие экстремума функции в стационарной точке использует вторую производную функции: если
<0, тоявляется точкой максимума, а если
>0, то- точка минимума. При
=0 вопрос о типе экстремума остается открытым.

Функция
называетсявыпуклой (вогнутой ) на множестве
, если для любых двух значений
выполняется неравенство:

.

Рис.4.4. График выпуклой функции

Если вторая производная дважды дифференцируемой функции
положительна (отрицательна) внутри множества
, то функция вогнута (выпукла) на множестве
.

Точкой перегиба графика непрерывной функции
называется точка, разделяющие интервалы, в которых функция выпукла и вогнута.

Вторая производная
дважды дифференцируемой функции в точке перегибаравна нулю, то есть
= 0.

Если вторая производная при переходе через некоторую точку меняет свой знак, тоявляется точка перегиба ее графика.

При исследовании функции и построении ее графика рекомендуется использовать следующую схему:

По аналогии с линеаризацией функции одной переменной можно при приближенном вычислении значений функции нескольких переменных, дифференцируемой в некоторой точке, заменять ее приращение дифференциалом. Таким образом, можно находить приближенное значение функции нескольких (например, двух) переменных по формуле:

Пример.

Вычислить приближенное значение .

Рассмотрим функцию и выберем х 0 = 1, у 0 = 2. Тогда Δх = 1,02 – 1 = 0,02; Δу = 1,97 – 2 = -0,03. Найдем ,

Следовательно, учитывая, что f (1, 2) = 3, получим:

Дифференцирование сложных функций.

Пусть аргументы функции z = f (x, y) являются, в свою очередь, функциями переменных u и v : x = x (u, v), y = y (u, v). Тогда функция f тоже есть функция от u и v. Выясним, как найти ее частные производные по аргументам u и v, не делая непосредственной подстановки

z = f (x(u, v), y(u, v)). При этом будем предполагать, что все рассматриваемые функции имеют частные производные по всем своим аргументам.

Зададим аргументу u приращение Δ u, не изменяя аргумент v. Тогда

Если же задать приращение только аргументу v, получим: . (2.8)

Разделим обе части равенства (2.7) на Δu , а равенства (2.8) – на Δv и перейдем к пределу соответственно при Δu→ 0 и Δv→ 0. Учтем при этом, что в силу непрерывности функций х и у . Следовательно,

Рассмотрим некоторые частные случаи.

Пусть x = x(t), y = y(t). Тогда функция f (x,y) является фактически функцией одной переменной t , и можно, используя формулы (2.9) и заменяя в них частные производные х и у по u и v на обычные производные по t (разумеется, при условии дифференцируемости функций x(t) и y(t) ) , получить выражение для :

(2.10)

Предположим теперь, что в качестве t выступает переменная х , то есть х и у связаны соотношением у = у (х). При этом, как и в предыдущем случае, функция f является функцией одной переменной х. Используя формулу (2.10) при t = x и учитывая, что , получим, что

. (2.11)

Обратим внимание на то, что в этой формуле присутствуют две производные функции f по аргументу х : слева стоит так называемая полная производная , в отличие от частной, стоящей справа.

Примеры.

1. Пусть z = xy, где x = u ² + v, y = uv ². Найдем и . Для этого предварительно вычислим частные производные трех заданных функций по каждому из своих аргументов:

Тогда из формулы (2.9) получим:

(В окончательный результат подставляем выражения для х и у как функций u и v ).

2. Найдем полную производную функции z = sin (x + y ²), где y = cos x.

Инвариантность формы дифференциала.

Воспользовавшись формулами (2.5) и (2.9), выразим полный дифференциал функции z = f (x, y) , где x = x(u,v), y = y(u,v), через дифференциалы переменных u и v :

(2.12)

Следовательно, форма записи дифференциала сохраняется для аргументов u и v такой же, как и для функций этих аргументов х и у , то есть является инвариантной (неизменной).

Неявные функции, условия их существования. Дифференцирование неявных функций. Частные производные и дифференциалы высших порядков, их свойства.

Определение 3.1. Функция у от х , определяемая уравнением

F (x, y) = 0 , (3.1)

называется неявной функцией .

Конечно, далеко не каждое уравнение вида (3.1) определяет у как однозначную (и, тем более, непрерывную) функцию от х . Например, уравнение эллипса

задает у как двузначную функцию от х : для

Условия существования однозначной и непрерывной неявной функции определяются следующей теоремой:

Теорема 3.1 (без доказательства). Пусть:

1) функция F (x,y) определена и непрерывна в некотором прямоугольнике с центром в точке (х 0 , у 0) ;

2) F (x 0 , y 0) = 0 ;

3) при постоянном х F (x,y) монотонно возрастает (или убывает) с возрастанием у .

а) в некоторой окрестности точки (х 0 , у 0) уравнение (3.1) определяет у как однозначную функцию от х : y = f(x) ;

б) при х = х 0 эта функция принимает значение у 0 : f (x 0) = y 0 ;

в) функция f (x) непрерывна.

Найдем при выполнении указанных условий производную функции y = f (x) по х .

Теорема 3.2. Пусть функция у от х задается неявно уравнением (3.1), где функция F (x,y) удовлетворяет условиям теоремы 3.1. Пусть, кроме того, - непрерывные функции в некоторой области D , содержащей точку (х,у), координаты которой удовлетворяют уравнению (3.1), причем в этой точке . Тогда функция у от х имеет производную