جون ديربيشاير. هوس بسيط

قبل أن تكون حادثًا خالصًا (ما لم تكن ، بالطبع ، تعتقد أن مؤسسة Dynasty هي دائرة من Kabbalists). لكن هل هي مصادفة أن 107 ، 131 ، 271 هي أعداد أولية؟ هل هناك أي ترتيب في توزيعها؟ لعدة قرون ، أثار هذا السؤال استياء علماء الرياضيات إلى أن اقترح برنارد ريمان في عام 1859 صيغة دقيقة للعد. الأعداد الأوليةلا تتجاوز هذه القيمة. كان التخمين أنيقًا لدرجة أن برهانه الصارم بدا وكأنه مسألة تقنية. ومع ذلك ، فإن فرضية ريمان لاقت الذكرى 151 لتأسيسها (151 هو رقم أولي) غير مثبتة وغير قابلة للدحض. إن نظرية الأعداد الحوت الأبيض ، على حد تعبير ديربيشاير ، لم يتم صيدها بعد.

التقت فرضية ريمان بالذكرى السنوية الـ151 لتأسيسها (151 هو رقم أولي) لم يتم إثباتها ولم يتم دحضها.

الفصول ذات الأرقام الزوجية من الهوس البسيط هي رحلة رائعة في تاريخ فرضية ريمان والمحاولات الفاشلة لإثباتها. لكن مجرد إخبار المؤلف عن الفرضية لا يكفي ؛ فهو يريد من القارئ غير الرياضي أن يفهم عمقها وجمالها. القيام بهذا أمر سخيف مهمة تحديتم تخصيص الفصول الفردية من الكتاب - مدرسة ميدانية رياضية حقيقية. بحلول الوقت الذي قدم فيه ديربيشاير أخيرًا في الصفحة 391 الصيغة التي تعبر عن جوهر فرضية ريمان ، سيكون القارئ بالفعل مطلعًا على مجتمع سرياللوغاريتمات المتكاملة وجذور ناقص واحد (بالمناسبة ، وفقًا للمؤلف ، ليست أكثر من مجرد أرقام عادية: "متى كانت آخر مرة تعثرت فيها فوق سبعة؟").

الفصول ذات الأرقام الزوجية من الهوس البسيط هي رحلة في تاريخ فرضية ريمان ومحاولات فاشلة لإثباتها. Odd هي مدرسة ميدانية للرياضيات.

عن طريق الصدفة البحتة (والتي ، بالطبع ، طبيعية بطريقتها الخاصة) ، الفصل الأخيرالذي يلقي الضوء على أسباب التعقيد المذهل للأعداد الأولية ، تم حذفه في الكتاب. نسيت ديربيشاير ببساطة كتابتها. وهذا على الرغم من حقيقة أنه في بضع صفحات فقط يمكنه تحديد الجوهر الغامض لفرضية ريمان والتحدث عن الهجينة المذهلة بين الفوضى والنظام الموجود في الرياضيات. في غضون ذلك ، دعنا نستبدل استنتاجاته غير المكتوبة بكلمات بطل واحد كتاب انجليزي: "الأعداد الأولية مثل الحياة. كل شيء طبيعي للغاية ، لكنك لن تفهم القوانين أبدًا ".

مكرسة لروزي

مقدمة للطبعة الروسية

سمعت لأول مرة أن المترجم أ.م. سميخاتوف الذي اتصل بي لتوضيح بعض التفاصيل.

أسعدني هذا الخبر. تم وصف تجربتي غير المقنعة في تعلم اللغة الروسية في ملاحظة. أشعر بالخجل من الاعتراف ، لكن منذ ذلك الحين لم تتقدم معرفتي بالروسية كثيرًا. على الرغم من ذلك ، لا يزال لدي الكثير من التعلق العاطفي بهذه اللغة. لقد درست أساسيات اللغة الروسية من قبل مدرس من مدرسة الدراسات السلافية وأوروبا الشرقية ، الواقعة بالقرب من الكلية في لندن حيث درست. معلمي - سامحني الله ، لقد نسيت اسمه - كان من تلك السلالة النادرة من الأشخاص الذين يحبون اللغة بصدق حقًا من أجل اللغة نفسها (بقدر ما فهمت من منطقتنا) البريد الإلكتروني، ومن هؤلاء الأشخاص A.M. سيمخاتوف). لكي نشعر كيف يتم التأكيد على الكلمات الروسية - وهذه هي أصعب لحظة لجميع الأجانب الذين يدرسون اللغة الروسية - أجبرنا على حفظ مقاطع قصيرة من قصائد لشعراء روس ممتازين. حتى يومنا هذا يمكنني قراءة شيء من بوشكين ويسينين عن ظهر قلب ، رغم أنه في نفس الوقت لا يمكنني طلب فنجان من القهوة باللغة الروسية.

قبل A.M. اتصل بي سميخاتوف ، ولم أكن أعرف شيئًا عن مؤسسة Dynasty ، التي تم تنظيم ترجمة كتابي تحت رعايتها. بدأت في استجواب أصدقائي الروس ، وبدأوا في استجواب أصدقائهم ، وما إلى ذلك. الآن أعرف أكثر من ذلك بكثير. أعرف كم هي مهمة كبيرة للحفاظ على التقاليد الرائعة العلوم الروسية، والرياضيات على وجه الخصوص ، تدار من قبل مؤسسة Dynasty Foundation. ويسعدني أنني تمكنت من وصف بعض هذه التقاليد في كتابي. أنا ممتن لمؤسسة Dynasty لاختيار كتابي من بين كتابات أخرى للترجمة. هذا شرف عظيم لي.

الموضوع الرئيسي لكتابي - فرضية ريمان والجهود المبذولة لإثباتها - هو مجرد جزء صغير من الرياضيات ، والرياضيات نفسها هي مجرد واحدة من الفروع العديدة في عملية التفكير، التي تسعى البشرية من خلالها إلى معرفة الكون الذي صادف أننا نعيش فيه. ومع ذلك ، آمل أن تنقل قصتي بشكل مناسب روح الحرية الفكرية والمنافسة العلمية العادلة ، وهما المكونان الأساسيان لكل ما نعرفه أو نأمل أن نعرفه ؛ هم فقط يجعلون الاكتشافات الجديدة ممكنة ويجعلون من الممكن تحقيق كلمات ديفيد هيلبرت الشهيرة ، والتي اقتبسها في الفصل 16: "Wir müssen wissen، wer werden wissen" - "يجب أن نعرف ، سنعرف!" أرحب بأنشطة مؤسسة Dynasty Foundation الهادفة إلى تهيئة الظروف لذلك.

مؤلف كتاب من هذا النوع مطالب بتزويد القراء بفرصة الاستمتاع بالقراءة وتعلم شيء ما. من السهل إفساد المتعة بترجمة سيئة. أنا متأكد من أن ترجمة كتابي هي حالة مختلفة تمامًا ، بل إنني أميل إلى الشك في أن الكتاب خرج من أيدي المترجم حتى في شكل محسّن إلى حد ما. نادرًا ما يكون عمل الترجمة وظيفة مجزية (وذات أجر جيد). لذلك يأمل المؤلفون فقط في أن يكونوا محظوظين مع المترجم. انطلاقا من مراسلاتنا والحقائق التي أصبحت معروفة لي من أصدقائي الروس ، أنا وقرائي الروس محظوظون حقًا ، ومترجم مثل أليكسي سيميكاتوف يحقق نجاحًا كبيرًا لنا جميعًا. وأنا ممتن له بلا حدود على ما قدمه من معلومات شاملة و عمل شاقوالاهتمام الثابت بالتفاصيل.

أخيرًا ، أود مرة أخرى أن أشكر مؤسسة Dynasty على حقيقة أن اختيارهم وقع على كتابي.

جون ديربيشاير

هنتنغتون ، لونغ آيلاند

يونيو 2008

مقدمة

في أغسطس 1859 ، أصبح برنارد ريمان عضوًا مناظرًا في أكاديمية برلين للعلوم. لقد كان شرفاً عظيماً لعالم الرياضيات البالغ من العمر اثنين وثلاثين عاماً. وفقًا للتقاليد ، قدم ريمان بهذه المناسبة للأكاديمية ورقة حول موضوع البحث الذي كان مشغولًا به في ذلك الوقت. كان يطلق عليه "على عدد الأعداد الأولية التي لا تتجاوز قيمة معينة". في ذلك ، استكشف ريمان سؤالًا بسيطًا من عالم الحساب العادي. لفهم هذا السؤال ، دعنا أولاً نكتشف عدد الأعداد الأولية التي لا تزيد عن 20. هناك ثمانية منهم: 2 ، 3 ، 5 ، 7 ، 11 ، 13 ، 17 و 19. وكم عدد الأعداد الأولية التي لا تزيد عن 20. لا يتجاوز ألف؟ مليون؟ مليار؟ هل تتواجد القانون العام أو الصيغة العامة, ما من شأنه أن ينقذنا من إعادة الحساب المباشر؟

عالج ريمان هذه المشكلة باستخدام أكثرها تقدمًا جهاز رياضيمن وقتهم - الأدوات التي تدرس حتى اليوم فقط في دورات المعاهد المتقدمة ؛ بالإضافة إلى ذلك ، من أجل احتياجاته الخاصة ، اخترع شيئًا رياضيًا يجمع بين القوة والأناقة في نفس الوقت. في نهاية الثلث الأول من مقالته ، يقدم بعض التخمينات حول هذا الموضوع ، ثم يلاحظ:

سيكون من المستحسن ، بالطبع ، الحصول على دليل صارم على هذه الحقيقة ، ولكن بعد عدة محاولات قصيرة غير مثمرة ، أجلت البحث عن مثل هذا الدليل ، لأن هذا ليس مطلوبًا للأغراض المباشرة لبحثي.

مرت هذه التكهنات العرضية دون أن يلاحظها أحد لعقود. ولكن بعد ذلك ، ولأسباب شرعت في وصفها في هذا الكتاب ، فقد استحوذ على خيال علماء الرياضيات تدريجيًا حتى وصل إلى حالة الهوس ، وهو هوس لا يقاوم.

بقيت فرضية ريمان كما سميت هذه التخمين هوسطوال القرن العشرين وما زال كذلك حتى يومنا هذا ، مما يعكس الآن جميع المحاولات دون استثناء لإثبات ذلك أو دحضه. أصبح هذا الهوس بفرضية ريمان أقوى من أي وقت مضى منذ ذلك الحين السنوات الاخيرةتم حل المشكلات الكبرى الأخرى التي ظلت مفتوحة لفترة طويلة بنجاح: نظرية الألوان الأربعة (التي تمت صياغتها في عام 1852 ، وتم حلها في عام 1976) ، نظرية فيرما الأخيرة (تم صياغتها ، على ما يبدو ، في عام 1637 ، وتم إثباتها في عام 1994) ، بالإضافة إلى العديد من النظريات الأخرى ، أقل شهرة خارج عالم علماء الرياضيات المحترفين. فرضية ريمان اليوم هي الحوت الأبيض العملاق للبحوث الرياضية.

استحوذت فرضية ريمان على اهتمام علماء الرياضيات طوال القرن العشرين. إليكم ما قاله ديفيد هيلبرت ، أحد أبرز العقول الرياضية في عصره ، أمام المؤتمر الدولي الثاني لعلماء الرياضيات:

في نظرية توزيع الأعداد الأولية في في الآونة الأخيرةهادامارد ، دي لا فالي بوسان ، فون مانجولدت وآخرون أحرزوا تقدمًا كبيرًا. لكن ل الحل الكاملعن المشكلة المطروحة في دراسة ريمان "حول عدد الأعداد الأولية التي لا تتجاوز قيمة معينة" ، من الضروري أولاً وقبل كل شيء إثبات صحة تأكيد ريمان البالغ الأهمية<…>.

مزيد من هيلبرت يعطي صياغة فرضية ريمان. وإليكم كيفية عمل فيليب أ. غريفيث ، مدير المعهد الدراسات العليافي جامعة برينستون ، وأستاذ الرياضيات سابقًا في جامعة هارفرد. في مقالته بعنوان "التحدي لباحثي القرن الحادي والعشرين" في عدد يناير من مجلة الجمعية الرياضية الأمريكيةلعام 2000 كتب:

على الرغم من الإنجازات الهائلة للقرن العشرين ، لا تزال العشرات من المشاكل العالقة تنتظر حلها. ربما يوافق معظمنا على أن المشكلات الثلاث التالية هي من بين أكثر المشكلات تحديًا وإثارة للاهتمام.

أول هذه الفرضية هي فرضية ريمان (Riemann Hypothesis) ، والتي كانت تضايق علماء الرياضيات منذ 150 عامًا.<…>.

ظاهرة مثيرة للاهتمام في الولايات المتحدة في السنوات الأخيرة من القرن العشرين كانت ظهور الرياضيات الخاصة معاهد البحوثبتمويل من هواة الرياضيات الأثرياء. ركز كل من معهد كلاي الرياضي (الذي أسسه الممول من بوسطن لاندون تي كلاي في عام 1998) والمعهد الأمريكي للرياضيات (الذي أسسه رجل الأعمال في كاليفورنيا جون فراي في عام 1994) أبحاثهما على فرضية ريمان. خصص معهد كلاي جائزة مليون دولار لإثباتها أو دحضها. تناول المعهد الأمريكي للرياضيات الفرضية في ثلاثة مؤتمرات واسعة النطاق (في أعوام 1996 و 1998 و 2000) جمعت باحثين من جميع أنحاء العالم. يبقى أن نرى ما إذا كانت هذه الأساليب والمبادرات الجديدة ستهزم فرضية ريمان في نهاية المطاف.

مكرسة لروزي

مقدمة للطبعة الروسية

سمعت لأول مرة أن المترجم أ.م. سميخاتوف الذي اتصل بي لتوضيح بعض التفاصيل.

أسعدني هذا الخبر. تم وصف تجربتي غير المقنعة في تعلم اللغة الروسية في ملاحظة. أشعر بالخجل من الاعتراف ، لكن منذ ذلك الحين لم تتقدم معرفتي بالروسية كثيرًا. على الرغم من ذلك ، لا يزال لدي الكثير من التعلق العاطفي بهذه اللغة. لقد درست أساسيات اللغة الروسية من قبل مدرس من مدرسة الدراسات السلافية وأوروبا الشرقية ، الواقعة بالقرب من الكلية في لندن حيث درست. معلمي - سامحني ، لقد نسيت اسمه - كان من تلك السلالة النادرة من الأشخاص الذين يحبون اللغة بصدق من أجل اللغة نفسها (بقدر ما فهمت من مراسلاتنا عبر البريد الإلكتروني ، A.M. Semikhatov هو واحد من هؤلاء الناس). لكي نشعر كيف يتم التأكيد على الكلمات الروسية - وهذه هي أصعب لحظة لجميع الأجانب الذين يدرسون اللغة الروسية - أجبرنا على حفظ مقاطع قصيرة من قصائد لشعراء روس ممتازين. حتى يومنا هذا يمكنني قراءة شيء من بوشكين ويسينين عن ظهر قلب ، رغم أنه في نفس الوقت لا يمكنني طلب فنجان من القهوة باللغة الروسية.

قبل A.M. اتصل بي سميخاتوف ، ولم أكن أعرف شيئًا عن مؤسسة Dynasty ، التي تم تنظيم ترجمة كتابي تحت رعايتها. بدأت في استجواب أصدقائي الروس ، وبدأوا في استجواب أصدقائهم ، وما إلى ذلك. الآن أعرف أكثر من ذلك بكثير. أعرف ما هو العمل الرائع الذي تقوم به مؤسسة Dynasty للحفاظ على التقاليد الرائعة للعلوم الروسية ، والرياضيات على وجه الخصوص. ويسعدني أنني تمكنت من وصف بعض هذه التقاليد في كتابي. أنا ممتن لمؤسسة Dynasty لاختيار كتابي من بين كتابات أخرى للترجمة. هذا شرف عظيم لي.

الموضوع الرئيسي لكتابي ، فرضية ريمان والجهود المبذولة لإثباتها ، هو مجرد جزء صغير من الرياضيات ، والرياضيات نفسها هي مجرد أحد الاتجاهات العديدة في عملية التفكير التي تسعى البشرية من خلالها إلى معرفة الكون الذي نحن فيه. حدث للعيش. ومع ذلك ، آمل أن تنقل قصتي بشكل مناسب روح الحرية الفكرية والمنافسة العلمية العادلة ، وهما المكونان الأساسيان لكل ما نعرفه أو نأمل أن نعرفه ؛ هم فقط يجعلون الاكتشافات الجديدة ممكنة ويجعلون من الممكن تحقيق كلمات ديفيد هيلبرت الشهيرة ، والتي اقتبسها في الفصل 16: "Wir müssen wissen، wer werden wissen" - "يجب أن نعرف ، سنعرف!" أرحب بأنشطة مؤسسة Dynasty Foundation الهادفة إلى تهيئة الظروف لذلك.

مؤلف كتاب من هذا النوع مطالب بتزويد القراء بفرصة الاستمتاع بالقراءة وتعلم شيء ما. من السهل إفساد المتعة بترجمة سيئة. أنا متأكد من أن ترجمة كتابي هي حالة مختلفة تمامًا ، بل إنني أميل إلى الشك في أن الكتاب خرج من أيدي المترجم حتى في شكل محسّن إلى حد ما. نادرًا ما يكون عمل الترجمة وظيفة مجزية (وذات أجر جيد). لذلك يأمل المؤلفون فقط في أن يكونوا محظوظين مع المترجم. انطلاقا من مراسلاتنا والحقائق التي أصبحت معروفة لي من أصدقائي الروس ، أنا وقرائي الروس محظوظون حقًا ، ومترجم مثل أليكسي سيميكاتوف يحقق نجاحًا كبيرًا لنا جميعًا. وأنا ممتن له بلا حدود على عمله الدقيق والمضني وعلى اهتمامه الثابت بالتفاصيل.

أخيرًا ، أود مرة أخرى أن أشكر مؤسسة Dynasty على حقيقة أن اختيارهم وقع على كتابي.

جون ديربيشاير

هنتنغتون ، لونغ آيلاند

يونيو 2008

مقدمة

في أغسطس 1859 ، أصبح برنارد ريمان عضوًا مناظرًا في أكاديمية برلين للعلوم. لقد كان شرفاً عظيماً لعالم الرياضيات البالغ من العمر اثنين وثلاثين عاماً. وفقًا للتقاليد ، قدم ريمان بهذه المناسبة للأكاديمية ورقة حول موضوع البحث الذي كان مشغولًا به في ذلك الوقت. كان يطلق عليه "على عدد الأعداد الأولية التي لا تتجاوز قيمة معينة". في ذلك ، استكشف ريمان سؤالًا بسيطًا من عالم الحساب العادي. لفهم هذا السؤال ، دعنا أولاً نكتشف عدد الأعداد الأولية التي لا تزيد عن 20. هناك ثمانية منهم: 2 ، 3 ، 5 ، 7 ، 11 ، 13 ، 17 و 19. وكم عدد الأعداد الأولية التي لا تزيد عن 20. لا يتجاوز ألف؟ مليون؟ مليار؟ هل تتواجد القانون العام أو الصيغة العامة ،ما من شأنه أن ينقذنا من إعادة الحساب المباشر؟

عالج ريمان هذه المشكلة باستخدام أكثر الأجهزة الرياضية تقدمًا في عصره ، وهي الأدوات التي يتم تدريسها حتى اليوم فقط في الدورات الجامعية المتقدمة ؛ بالإضافة إلى ذلك ، من أجل احتياجاته الخاصة ، اخترع شيئًا رياضيًا يجمع بين القوة والأناقة في نفس الوقت. في نهاية الثلث الأول من مقالته ، يقدم بعض التخمينات حول هذا الموضوع ، ثم يلاحظ:

ظلت فرضية ريمان ، كما سميت هذه التخمينية ، هاجسًا طوال القرن العشرين وظلت كذلك حتى يومنا هذا ، وهي تعكس الآن كل محاولة لإثباتها أو دحضها دون استثناء. أصبح هذا الهوس بفرضية ريمان أقوى من أي وقت مضى بعد أن تم حل المشكلات العظيمة الأخرى التي ظلت مفتوحة لفترة طويلة بنجاح في السنوات الأخيرة: نظرية الألوان الأربعة (تمت صياغتها في عام 1852 وتم حلها في عام 1976) ، نظرية فيرما الأخيرة (تمت صياغتها ، على ما يبدو في 1637 ، تم إثباته في عام 1994) ، بالإضافة إلى كثيرين آخرين أقل شهرة خارج عالم الرياضيين المحترفين. فرضية ريمان اليوم هي الحوت الأبيض العملاق للبحوث الرياضية.

تم إحراز تقدم كبير مؤخرًا في نظرية توزيع الأعداد الأولية بواسطة Hadamard و de la Vallée Poussin و von Mangoldt وآخرين. ولكن من أجل حل كامل للمشكلة المطروحة في دراسة ريمان "بشأن عدد الأعداد الأولية التي لا تتجاوز قيمة معينة" ، من الضروري أولاً وقبل كل شيء إثبات صحة تأكيد ريمان البالغ الأهمية<…>.

مزيد من هيلبرت يعطي صياغة فرضية ريمان. وهذا ما قاله فيليب أ. جريفيث ، مدير معهد الدراسات المتقدمة في جامعة برينستون وأستاذ الرياضيات السابق في جامعة هارفارد ، بعد قرن من الزمان. في مقالته بعنوان "التحدي لباحثي القرن الحادي والعشرين" في عدد يناير من مجلة الجمعية الرياضية الأمريكيةلعام 2000 كتب:

أول هذه الفرضية هي فرضية ريمان (Riemann Hypothesis) ، والتي كانت تضايق علماء الرياضيات منذ 150 عامًا.<…>.

تطور مثير للاهتمام في الولايات المتحدة في السنوات الأخيرة من القرن العشرين كان ظهور معاهد أبحاث رياضية خاصة بتمويل من هواة الرياضيات الأثرياء. ركز كل من معهد كلاي الرياضي (الذي أسسه الممول من بوسطن لاندون تي كلاي في عام 1998) والمعهد الأمريكي للرياضيات (الذي أسسه رجل الأعمال في كاليفورنيا جون فراي في عام 1994) أبحاثهما على فرضية ريمان. خصص معهد كلاي جائزة مليون دولار لإثباتها أو دحضها. تناول المعهد الأمريكي للرياضيات الفرضية في ثلاثة مؤتمرات واسعة النطاق (في أعوام 1996 و 1998 و 2000) جمعت باحثين من جميع أنحاء العالم. يبقى أن نرى ما إذا كانت هذه الأساليب والمبادرات الجديدة ستهزم فرضية ريمان في نهاية المطاف.

على عكس نظرية الألوان الأربعة أو نظرية فيرما الأخيرة ، فإن فرضية ريمان ليس من السهل صياغتها بطريقة تجعلها مفهومة بالنسبة لغير الرياضياتيين ، لأنها جوهر شخص يصعب فهمه. النظرية الرياضية. إليك كيف يبدو الأمر:

فرضية ريمان

جميع الأصفار غير البديهية للدالة زيتا لها جزء حقيقي يساوي نصفًا.

بالنسبة للقارئ العادي ، حتى المتعلم جيدًا ولكن بدون تدريب رياضي متقدم ، ربما يكون هذا مجرد هراء. مع نفس النجاح ، سيكون من الممكن صياغة الفرضية في الكنيسة السلافية. في هذا الكتاب ، بالتوازي مع وصف تاريخ الفرضية وعدد من الأشخاص المرتبطين بها ، حاولت أن أحضر هذا الاستنتاج العميق والغامض إلى مستوى يمكن للقارئ العام الوصول إليه ، مع تقديم نفس القدر من الدقة. المعلومات الرياضية الضرورية لفهم الفرضية.

في أغسطس 1859 ، أصبح برنارد ريمان عضوًا مناظرًا في أكاديمية برلين للعلوم. لقد كان شرفاً عظيماً لعالم الرياضيات البالغ من العمر اثنين وثلاثين عاماً. وفقًا للتقاليد ، قدم ريمان بهذه المناسبة للأكاديمية ورقة حول موضوع البحث الذي كان مشغولًا به في ذلك الوقت. كان يطلق عليه "على عدد الأعداد الأولية التي لا تتجاوز قيمة معينة". في ذلك ، استكشف ريمان سؤالًا بسيطًا من عالم الحساب العادي. لفهم هذا السؤال ، دعنا أولاً نكتشف عدد الأعداد الأولية التي لا تزيد عن 20. هناك ثمانية منهم: 2 ، 3 ، 5 ، 7 ، 11 ، 13 ، 17 و 19. وكم عدد الأعداد الأولية التي لا تزيد عن 20. لا يتجاوز ألف؟ مليون؟ مليار؟ هل تتواجد القانون العام أو الصيغة العامة، ما من شأنه أن ينقذنا من إعادة الحساب المباشر؟

"سيكون من المستحسن ، بالطبع ، الحصول على دليل صارم على هذه الحقيقة ، ولكن بعد عدة محاولات قصيرة غير مثمرة ، أجلت البحث عن مثل هذا الدليل ، لأن هذا ليس مطلوبًا للأغراض المباشرة لبحثي."

"في نظرية توزيع الأعداد الأولية ، تم إحراز تقدم كبير مؤخرًا بواسطة Hadamard و de la Vallée Poussin و von Mangoldt وآخرين. ولكن من أجل حل كامل للمشكلة المطروحة في دراسة ريمان "حول عدد الأعداد الأولية التي لا تتجاوز قيمة معينة" ، من الضروري أولاً وقبل كل شيء إثبات صحة تأكيد ريمان البالغ الأهمية <: :="">».

مزيد من هيلبرت يعطي صياغة فرضية ريمان. وهذا ما قاله فيليب أ. غريفيث ، مدير معهد الدراسات المتقدمة في برينستون وأستاذ الرياضيات السابق في جامعة هارفارد ، بعد مائة عام. في مقالته بعنوان "التحدي لباحثي القرن الحادي والعشرين" في عدد يناير من مجلة الجمعية الرياضية الأمريكيةلعام 2000 كتب:

على الرغم من الإنجازات الهائلة للقرن العشرين ، لا تزال العشرات من المشاكل العالقة تنتظر حلها. ربما يوافق معظمنا على أن المشكلات الثلاث التالية هي من بين أكثر المشكلات تحديًا وإثارة للاهتمام.
أول هذه الفرضية هي فرضية ريمان (Riemann Hypothesis) ، والتي كانت تضايق علماء الرياضيات منذ 150 عامًا. <: :="">».

على عكس نظرية الألوان الأربعة أو نظرية فيرما الأخيرة ، ليس من السهل صياغة فرضية ريمان بطريقة تجعلها مفهومة لغير الرياضياتيين ، لأنها جوهر نظرية رياضية يصعب فهمها. إليك كيف يبدو الأمر:

فرضية ريمان
جميع الأصفار غير البديهية للدالة زيتا لها جزء حقيقي يساوي نصفًا.

خطة الكتاب بسيطة للغاية. الفصول ذات الأرقام الفردية (تم التخطيط لها في الأصل كفصول مع بسيطالأرقام ، لكنني اعتقدت أنه لا يستحق ذلك على ما يبدو كثير جداذكي) يحتوي على تفسيرات رياضية ، مما يقود القارئ - بشكل سلس - لفهم فرضية ريمان وإدراك أهميتها. تقدم الفصول ذات الأرقام الزوجية تفاصيل تاريخية وسيرة ذاتية.

كنت أنوي في الأصل جعل هذين الموضوعين مستقلين ، بحيث يتمكن القراء الذين لا يحبون الصيغ من الاستمتاع إلا بالفصول المتساوية ، والقراء الذين لا يهتمون كثيرًا بالتاريخ وحكايات الرياضيات يمكنهم قراءة القصص الغريبة بسلام. لم أتمكن من تنفيذ هذه الخطة بالكامل ، وأشك الآن في أنه مع مثل هذا الموضوع المعقد ، يكون ذلك ممكنًا. ومع ذلك ، تم الحفاظ على التقسيم المخطط له في جوهره. هناك الكثير من الرياضيات في الفصول الفردية وأقل بكثير في الفصول الزوجية ، والقارئ ، بالطبع ، حر في محاولة اتباع سطر أو آخر في القراءة. ومع ذلك ، ما زلت آمل أن تقرأ الكتاب بالكامل.

الكتاب مخصص للقارئ الفهم وغير الرياضي. مثل هذا البيان ، بالطبع ، سطر كاملأسئلة. ما هو المقصود ب "غير الرياضياتي"؟ ما هو مستوى المعرفة الرياضية المتوقع من القارئ؟ حسنًا ، لنبدأ بحقيقة أن الجميع على الأقل شيئا مايعرف من الرياضيات. معظم اشخاص متعلمونربما يكون لديها فكرة غامضة عن ماهية حساب التفاضل والتكامل. انا فكر فيأنني تمكنت من تأليف كتاب يلبي مستوى أولئك القراء الذين كانوا على علاقة متسامحة معهم رياضيات المدرسةوربما تكون قد أخذت دورتين دراسيتين جامعيين في الرياضيات. في الأصل كنت سأشرح فرضية ريمان لا فائدة على الإطلاق التحليل الرياضي . اتضح أن صياغة المشكلة كانت مفرطة في التفاؤل ؛ والنتيجة هي ثلاثة فصول تحتوي (إلى حد محدود للغاية) على التحليل الأساسي ، مع شرح كل ما هو ضروري على طول الطريق.

كل شيء آخر إلى حد كبير هو مجرد حساب وجبر أولي: فك الأقواس في تعبيرات مثل ( أ + ب)_(ج+د) أو تحويلات المعادلات التي تجعل من الممكن التحويل س = 1 + x اسفي س = 1=(1 - x). سيتطلب أيضًا استعداد القارئ لقبول بعض الرموز المختصرة لتجنيب عضلات اليد عند إعادة كتابة التعبيرات الرياضية. أستطيع أن أقول ما يلي على الأقل: لا أعتقد أن فرضية ريمان يمكن تفسيرها باستخدام رياضيات أولية أكثر من تلك المعروضة في هذا الكتاب ؛ لذا ، إذا انتهيت من القراءة ، وما زلت لا تفهم ماهية الفرضية ، فيمكنك التأكد من أنك لن تفهمها أبدًا.

استجاب العديد من علماء الرياضيات المحترفين ومؤرخو الرياضيات بسخاء لطلباتي للمساعدة. أنا ممتن للغاية لعدد من الأشخاص الذين تطوعوا بوقتهم من أجلي ، لإعطائي النصائح (التي لم أتبعها دائمًا) ، ولصبرهم عندما اضطروا للإجابة على نفس الأسئلة الغبية ، وأنا على وجه الخصوص ممتن لحسن الضيافة. هؤلاء الأشخاص هم: جيري ألكسندرسون ، وتوم أبوستول ، ومات برين ، وبريان كونري ، وهارولد إدواردز ، ودينيس هيدجهول ، وآرثر جاف ، وباتريسيو ليبوف ، وستيفن ميلر ، وهيو مونتغمري ، وإروين نوينشفاندر ، وأندرو أودليزكو ، وصمويل باترسون ، وبيتر سارناك ، ومانفريد شرويدر ، وأولريكه. فورهاور وماتي فورينن ومايك ويستمورلاند. أي أخطاء جسيمة في الكتاب هي مسؤوليتي وليست مسؤوليتهم. ساعدني بريجيت بروجيمان وهربرت إيتناير في سد الثغرات في لغتي الألمانية. أوامر لمقالات من أصدقائي من المراجعة الوطنية, المعيار الجديدو واشنطن تايمزدعني أطعم أطفالي بينما كنت أعمل على الكتاب. لقد ساعدني العديد من قراء أعمدتي على الإنترنت في إدراك الأفكار الرياضية التي يصعب على غير الرياضيين فهمها.

إلى جانب الامتنان ، عليك تقديم نفس العدد من الاعتذارات. الكتاب مخصص لموضوع بحث فيه عدد من أفضل العقول البشرية بشكل مكثف لمئات السنين. ضمن المساحة المخصصة ووفقًا لطريقة العرض المختارة ، كان لابد من التخلص من مجالات البحث الكاملة المتعلقة بفرضية ريمان. لن تجد في الكتاب كلمة حول فرضية الكثافة ، أو حول المعادلة الوظيفية التقريبية ، أو حتى عن الاتجاه المثير الذي لم يستيقظ إلا مؤخرًا. الحياة النشطةبعد سبات طويل - دراسة لحظات وظيفة زيتا. لن يتم ذكر فرضية ريمان المعممة وفرضية ريمان المعممة المعدلة وفرضية ريمان الموسعة وفرضية ريمان الكبرى وفرضية ريمان الكبرى المعدلة وفرضية شبه ريمان.

بل إنه لمن المخيب للآمال أنه لن يكون هناك في كتابي أسماء العديد من العلماء الذين عملوا بلا كلل في هذا المجال منذ عقود. هم إنريكو بومبيري ، وأميت غوش ، وستيف جونيك ، وهنريك إيفانيك (نصف رسائل البريد الإلكتروني التي يتلقاها مدرجة باسم "هنري ك. إيفانيك") ، ونينا سنيث ، والعديد من الآخرين. أقدم لهم اعتذاري الصادق. عندما بدأ العمل ، لم يكن لدي أي فكرة عن نوع العبء الذي كنت أتحمله على كتفي. كان من الممكن أن يكون هذا الكتاب أطول بثلاث مرات أو ثلاثين مرة ، لكن محرري كان يتلمس طريقه بالفعل تحت الطاولة بحثًا عن منشار بالمنشار.

وشكرًا آخر. لديّ اعتقاد مفاده أن كل كتاب يتجاوز المهنة - وبعبارة أخرى ، كل كتاب مكتوب بعناية وحب - له روح الوصي الخاص به. بهذا أريد فقط أن أقول أنه يوجد خلف كل كتاب شيء محدد بشريالذي لا تترك صورته افكار المؤلف اثناء العمل وشخصيته تضيف لونا لصفحاته. (في خيال، أخشى أن هذا الشخص غالبًا ما يكون هو المؤلف نفسه).

الروح الوصية لهذا الكتاب ، التي نظرت من فوق كتفي بدا لي وكأنني ألتقطها من حين لآخر أثناء الكتابة ، والتي يسعلها خفيف الغرفة المجاورةسمعت أحيانًا في مخيلتي ومن يتصرف بشكل غير مسموع خلف الكواليس في كل من الرياضيات والداخل الفصول التاريخيةهو برنارد ريمان. أثارت قراءة ما كتبه وما كتب عنه في داخلي مشاعر مختلطة تجاه هذا الرجل: تعاطف عميق مع عدم قدرته على العيش في المجتمع ، وقوض الصحة والفجيعة والفقر المزمن الذي حل به ، ممزوجًا بالتبجيل لقوة لا تصدق. عقله وقوة قلبه.

يجب أن يخصص الكتاب لشخص على قيد الحياة حتى يكون التفاني ممتعًا. كرست هذا الكتاب لزوجتي ، التي تعرف بالضبط مدى صدق هذا التفاني. لكن بمعنى ما ، وهذا لا يمكن تجاوزه في صمت في المقدمة ، هذا الكتاب ينتمي إلى برنارد ريمان ، الذي حياة قصيرة، التي تخيم عليها أحزان كثيرة ، تركت للناس الكثير من القيمة الدائمة - بما في ذلك المهمة التي لا تزال تغريهم بمائة وخمسين عامًا بعد أن ذكر ، بخجل نموذجي ، "محاولاته القصيرة الأمد غير المثمرة" لحلها.