آكانيوز ،
(الرياضيات في الاقتصاد)

تحلل المتجهات

تحلل المتجهات أفي مكونات - عملية استبدال المتجه أعدة متجهات أخرى ab ، a2 ، a3 ، إلخ ، والتي ، عند إضافتها معًا ، تشكل المتجه الأولي أ؛في هذه الحالة تسمى المتجهات db a2 و a3 وما إلى ذلك مكونات المتجه أ.بمعنى آخر ، تحلل أي ...
(الفيزياء)

أساس ورتبة نظام النواقل

ضع في اعتبارك نظام النواقل (1.18) أقصى نظام فرعي مستقل لنظام النواقل(1.I8) عبارة عن مجموعة جزئية من نواقل هذا النظام التي تفي بشرطين: 1) نواقل هذه المجموعة مستقلة خطيًا ؛ 2) يتم التعبير عن أي متجه للنظام (1.18) خطيًا من حيث متجهات هذه المجموعة ...
(الرياضيات في الاقتصاد)

تمثيل المتجهات في أنظمة مختلفةإحداثيات.

ضع في اعتبارك نظامي إحداثيات مستقيمين متعامدين مع مجموعات من orts (i، j، k) و (i j "، k") وتمثل المتجه a بداخلهما. دعونا نفترض بشكل مشروط أن نواقل معدة تتوافق مع أنظمة جديدةإحداثيات البريد ، وبدون ضربات - القديم. دعنا نمثل المتجه كتوسيع على طول محاور كل من النظامين القديم والجديد ...

تحلل المتجه على أساس متعامد

ضع في اعتبارك أساس الفضاء آكانيوز ،حيث يكون كل متجه متعامدًا مع بقية المتجهات الأساسية: القواعد المتعامدة معروفة وممثلة جيدًا على المستوى وفي الفضاء (الشكل 1.6). تعتبر القواعد من هذا النوع ملائمة ، أولاً وقبل كل شيء ، لأن إحداثيات التمدد ناقل تعسفيتحدد...
(الرياضيات في الاقتصاد)

المتجهات وتمثيلاتها في أنظمة الإحداثيات

يرتبط مفهوم المتجه ببعض كميات فيزيائية، والتي تتميز بكثافتها (حجمها) واتجاهها في الفضاء. هذه الكميات ، على سبيل المثال ، القوة المؤثرة على جسم مادي ، السرعة نقطة محددةلهذا الجسم ، تسارع الجسيم المادي ...
(ميكانيكا الوسائط المستمرة: نظرية الضغط والنماذج الأساسية)

أبسط التمثيلات التحليلية لوظيفة إهليلجية عشوائية

تمثيل الدالة الإهليلجية كمجموع للعناصر الأولية.يترك / (ض)هي دالة إهليلجية للأمر مع أعمدة بسيطة jjt ، $ s ،الكذب في متوازي الأضلاع من الفترات. دلالة من خلال bkبقايا الوظيفة فيما يتعلق بالقطب ، لدينا 2؟ l = 0 (§ 1 »p.3 ، نظرية ...
(مقدمة لنظرية وظائف متغير معقد)

ل. 2-1 المفاهيم الأساسية للجبر المتجه. العمليات الخطية على النواقل.

تحلل المتجه من حيث الأساس.

المفاهيم الأساسية للجبر المتجه

المتجه هو مجموعة كل المقاطع الموجهة التي لها نفس الطولوالاتجاه
.

الخصائص:

العمليات الخطية على النواقل

1.

قاعدة متوازي الأضلاع:

من أمةنواقل اثنين و يسمى المتجه ، تخرج من أصلها المشترك وكونها قطريًا لمتوازي أضلاع مبني على ناقلات و على الجانبين.

قاعدة المضلع:

لإنشاء مجموع أي عدد من المتجهات ، تحتاج إلى وضع بداية المتجه الثاني في نهاية المصطلح الأول ، وبداية المصطلح الثالث في نهاية المصطلح الثاني ، وهكذا. المتجه الذي يغلق الناتج خط متقطعهو المجموع. بدايته تتزامن مع بداية الأول ، والنهاية بنهاية الأخير.

الخصائص:

2.

المنتج المتجه لكل رقم ، يسمى ناقل يستوفي الشروط:
.

الخصائص:

3.

فرقثلاثة أبعاد و ناقلات الاتصال يساوي مجموع المتجه والمتجه المعاكس للناقل ، بمعنى آخر.
.

- قانون العنصر المعاكس (ناقل).

تحلل المتجه من حيث الأساس

يتم تحديد مجموع المتجهات بطريقة فريدة
(فقط ). العملية العكسية ، تحلل المتجه إلى عدة مكونات ، غامضة: لجعله واضحًا ، من الضروري الإشارة إلى الاتجاهات التي يحدث فيها تمدد المتجه المدروس ، أو ، كما يقولون ، من الضروري الإشارة إلى أساس.

عند تحديد الأساس ، فإن شرط عدم التماثل الخطي وعدم وجود علاقة خطية متداخلة للمتجهات أمر ضروري. لفهم معنى هذا المطلب ، من الضروري النظر في مفهوم الاعتماد الخطي والاستقلال الخطي للناقلات.

تعبير تعسفي عن النموذج: ، يسمى تركيبة خطيةثلاثة أبعاد
.

يتم استدعاء مجموعة خطية من عدة نواقل تافهإذا كانت جميع معاملاتها تساوي صفرًا.

ثلاثة أبعاد
مسمي تعتمد خطيا، إذا كان هناك تركيبة خطية غير تافهة من هذه المتجهات تساوي الصفر:
(1) ، بشرط
. إذا كانت المساواة (1) تنطبق فقط على الجميع
في نفس الوقت يساوي الصفر ، ثم نواقل غير صفرية
إرادة مستقل خطيا.

من السهل إثبات: أي متجهين خطيين يعتمدان خطيًا ، ويكون متجهان غير خطيين مستقلين خطيًا.

نبدأ الإثبات مع التأكيد الأول.

دع النواقل و علاقة خطية متداخلة. دعونا نظهر أنها تعتمد خطيًا. في الواقع ، إذا كانت متداخلة ، فإنها تختلف عن بعضها البعض فقط بعامل عددي ، أي
، بالتالي
. بما أن التركيبة الخطية الناتجة هي بوضوح غير تافهة وتساوي "0" ، فإن المتجهات و تعتمد خطيا.

ضع في اعتبارك الآن متجهين غير متصلين و . دعونا نثبت أنهم مستقلون خطيًا. نحن نبني الدليل بالتناقض.

نحن نفترض أنها تعتمد خطيًا. ثم يجب أن يكون هناك تركيبة خطية غير تافهة
. دعونا نتظاهر بذلك
، ومن بعد
. المساواة الناتجة تعني أن النواقل و متداخلة ، خلافًا لافتراضنا الأولي.

وبالمثل ، يمكن للمرء أن يثبت: أي ثلاثة نواقل متحدة المستوى تعتمد خطيًا ، ويكون متجهان غير متحد المستوى مستقلين خطيًا.

بالعودة إلى مفهوم الأساس وإلى مشكلة توسيع المتجه في أساس معين ، يمكننا أن نقول ذلك يتكون الأساس على المستوى وفي الفضاء من مجموعة من النواقل المستقلة خطيًا.مثل هذا المفهوم للأساس عام ، منذ ذلك الحين إنه قابل للتطبيق على مساحة من أي عدد من الأبعاد.

تعبير مثل:
، يسمى تحلل المتجه بواسطة النواقل ,…,.

إذا أخذنا في الاعتبار أساسًا في الفضاء ثلاثي الأبعاد ، فعندئذٍ تحلل المتجه أساس
سوف يكون
، أين
-إحداثيات ناقلات.

في مشكلة توسيع المتجه التعسفي في بعض الأسس ، يكون البيان التالي مهمًا للغاية: أي ناقلاتيمكن أن تتحلل بطريقة فريدة على أساس معين
. بمعنى آخر ، الإحداثيات
لأي ناقل نسبة إلى الأساس
يتم تعريفه بشكل لا لبس فيه.

إن إدخال الأساس في الفضاء وعلى المستوى يجعل من الممكن تخصيصه لكل متجه أمر ثلاثي (زوج) من الأرقام - إحداثياته. هذه النتيجة المهمة للغاية ، والتي تجعل من الممكن إنشاء اتصال بين الأشياء والأرقام الهندسية ، تجعل من الممكن وصف ودراسة موضع وحركة الأشياء المادية بشكل تحليلي.

الجمع بين نقطة والأساس يسمى نظام الإحداثيات.

إذا كانت النواقل التي تشكل الأساس وحدة وزوجية متعامدة ، فسيتم استدعاء نظام الإحداثيات مستطيلي،والأساس متعامد.

2-2 ناتج النواقل

تحلل المتجه من حيث الأساس

ضع في اعتبارك المتجه
حسب إحداثياتها:
.

- مركبات المتجه في اتجاهات نواقل الأساس
.

التعبير عن النموذج
يسمى تحلل المتجه أساس
.

بطريقة مماثلة ، يمكن للمرء أن يتحلل أساس
المتجه
:

.

جيب التمام للزوايا التي شكلها المتجه المدروس مع نواقل الأساس
مسمي جيب التمام الاتجاه

;
;
.

الناتج العددي من النواقل.

حاصل الضرب القياسي لمتجهين و يسمى العدد الذي يساوي حاصل ضرب وحدات هذه المتجهات بواسطة جيب التمام للزاوية بينهما

يمكن اعتبار الناتج القياسي لمتجهين على أنه ناتج معامل أحد هذه المتجهات والإسقاط المتعامد للمتجه الآخر على اتجاه الأول
.

الخصائص:

إذا كانت إحداثيات المتجهات معروفة
و
، بعد ذلك ، بعد توسيع المتجهات من حيث الأساس
:
و
، تجد

، لان
,
، ومن بعد

.

.

حالة عمودية النواقل:
.

شرط العلاقة الخطية المتداخلة للجماهير:
.

عبر المنتج من النواقل

أو

ناقلات الفن لكل متجه يسمى هذا المتجه
والتي تستوفي الشروط:

الخصائص:

تجعل الخصائص الجبرية المدروسة من الممكن العثور على تعبير تحليلي للحاصل الضرب التبادلي من حيث إحداثيات المتجهات المكونة في أساس متعامد.

معطى:
و
.

لان و
,
,
,
,
,
، ومن بعد

. يمكن كتابة هذه الصيغة بشكل أقصر ، في شكل محدد من الدرجة الثالثة:

.

منتج مختلط من النواقل

منتج مختلط من ثلاثة نواقل ,و يسمى رقمًا يساوي منتج المتجه
، مضروبة بشكل عددي في المتجه .

المساواة التالية صحيحة:
، لذلك يتم كتابة المنتج المختلط
.

على النحو التالي من التعريف ، نتيجة لمنتج مختلط ثلاثة نواقلهو رقم. هذا الرقم له معنى هندسي واضح:

وحدة المنتج المختلط
يساوي حجم خط الموازي المبني على المستوى المختزل إلى بداية مشتركةثلاثة أبعاد ,و .

خصائص المنتج المختلط:

إذا كانت النواقل ,,يتم تقديمها في الأساس المتعامد
إحداثياتها ، يتم حساب المنتج المختلط وفقًا للصيغة

.

في الواقع ، إذا
، ومن بعد

;
;
، ومن بعد
.

إذا كانت النواقل ,,متحد المستوى ، ثم المنتج المتجه
عمودي على المتجه . والعكس صحيح إذا
، فإن حجم خط الموازي يساوي صفرًا ، وهذا ممكن فقط إذا كانت المتجهات متحدة المستوى (تعتمد خطيًا).

وبالتالي ، تكون ثلاثة نواقل متحدة المستوى إذا وفقط إذا كان ناتجها المختلط صفرًا.

أساس الفضاءاستدعاء مثل هذا النظام من النواقل حيث يمكن تمثيل جميع ناقلات الفضاء الأخرى كمجموعة خطية من النواقل المدرجة في الأساس.
من الناحية العملية ، كل هذا بسيط للغاية. الأساس ، كقاعدة عامة ، يتم التحقق منه على مستوى أو في الفضاء ، ولهذا تحتاج إلى إيجاد محدد مصفوفة من الدرجة الثانية ، الدرجة الثالثة ، تتكون من إحداثيات المتجهات. خطي مكتوب أدناه الظروف التي بموجبها تشكل النواقل أساسًا

ل قم بتوسيع المتجه ب من حيث نواقل الأساس
e ، e ... ، e [n] من الضروري إيجاد المعامِلات x ، ... ، x [n] التي لها تركيبة خطية من المتجهات e ، e ... ، e [n] تساوي المتجه ب:
x1 * e + ... + x [n] * e [n] = ب.
للقيام بذلك ، يجب تحويل معادلة المتجه إلى نظام من المعادلات الخطية وإيجاد الحلول. كما أنه سهل التنفيذ إلى حد ما.
يتم استدعاء المعاملات التي تم العثور عليها x ، ... ، x [n] إحداثيات المتجه ب في الأساسهـ ، هـ ... ، هـ [ن].
دعنا ننتقل إلى الجانب العملي للموضوع.

تحلل المتجه في نواقل الأساس

مهمة 1. تحقق مما إذا كان المتجهان a1 و a2 يشكلان أساسًا على المستوى

1) أ 1 (3 ؛ 5) ، أ 2 (4 ؛ 2)
الحل: يؤلف المحدد من إحداثيات المتجهات ويحسبه

المحدد لا يساوي الصفر، بالتالي المتجهات مستقلة خطيًا ، مما يعني أنها تشكل أساسًا.

2) أ 1 (2 ؛ -3) ، أ 2 (5 ؛ -1)
الحل: نحسب المحدد المكون من المتجهات

المحدد يساوي 13 (لا يساوي صفرًا) - من هذا يترتب على المتجهين a1 ، a2 أساس المستوي.

---=================---

انصح أمثلة نموذجيةمن برنامج IAPM في تخصص "الرياضيات العليا".

المهمة 2. أظهر أن المتجهات a1 ، a2 ، a3 تشكل أساسًا لمساحة متجهية ثلاثية الأبعاد ، وقم بتوسيع المتجه b في هذا الأساس (عند حل نظام خطي المعادلات الجبريةاستخدم طريقة كرامر).
1) أ 1 (3 ؛ 1 ؛ 5) ، أ 2 (3 ؛ 2 ؛ 8) ، أ 3 (0 ؛ 1 ؛ 2) ، ب (−3 ؛ 1 ؛ 2).
الحل: أولاً ، ضع في اعتبارك نظام المتجهات a1 و a2 و a3 وتحقق من محدد المصفوفة A

مبني على ناقلات غير الصفر. تحتوي المصفوفة على عنصر صفري واحد ، لذلك من الأنسب حساب المحدد كجدول للعمود الأول أو الصف الثالث.

ونتيجةً للحسابات ، وجدنا أن المحدد يختلف عن الصفر المتجهات a1 ، a2 ، a3 مستقلة خطيًا.
بحكم التعريف ، تشكل النواقل أساسًا في R3. دعونا نكتب جدول المتجه ب من حيث الأساس

المتجهات تكون متساوية عندما تكون إحداثياتها متساوية.
لذلك ، من معادلة المتجه نحصل على نظام من المعادلات الخطية

حل SLAE طريقة كرامر. للقيام بذلك ، نكتب نظام المعادلات في الصورة

المحدد الرئيسي لـ SLAE يساوي دائمًا المحدد المكون من ناقلات الأساس

لذلك ، في الممارسة العملية لا يتم حسابها مرتين. للعثور على المحددات المساعدة ، نضع عمودًا من المصطلحات المجانية بدلاً من كل عمود من المحددات الرئيسية. يتم حساب المحددات وفقًا لقاعدة المثلثات



استبدل المحددات التي تم العثور عليها في صيغة كرامر



لذلك ، فإن توسيع المتجه b من حيث الأساس له الشكل b = -4a1 + 3a2-a3. إحداثيات المتجه b في الأساس a1، a2، a3 ستكون (-4،3، 1).

2)a1 (1 ؛ -5 ؛ 2) ، a2 (2 ؛ 3 ؛ 0) ، a3 (1 ؛ -1 ؛ 1) ، ب (3 ؛ 5 ؛ 1).
الحل: نتحقق من المتجهات للأساس - نؤلف المحدد من إحداثيات المتجهات ونحسبها

لذلك فإن المحدد لا يساوي صفرًا نواقل تشكل الأساس في الفضاء. يبقى العثور على جدول المتجه ب من حيث الأساس المحدد. للقيام بذلك ، نكتب معادلة المتجه

وتحول إلى نظام المعادلات الخطية

نكتب معادلة المصفوفة

بعد ذلك ، بالنسبة لصيغ كرامر ، نجد المحددات المساعدة



تطبيق صيغ كرامر



لذا ناقلات معينةيحتوي b على جدول من خلال متجهين أساسيين b = -2a1 + 5a3 ، وإحداثياته ​​في الأساس هي b (-2،0، 5).

الاعتماد الخطي و الاستقلال الخطيثلاثة أبعاد.
أساس النواقل. نظام الإحداثيات Affine

هناك عربة بها شوكولاتة في الجمهور ، واليوم سيحصل كل زائر على زوج جميل - هندسة تحليلية مع الجبر الخطي. ستغطي هذه المقالة قسمين في وقت واحد. رياضيات أعلى، وسنرى كيف تتوافق في غلاف واحد. خذ قسطا من الراحة ، كل تويكس! ... اللعنة ، حسنا ، مجادلة هراء. على الرغم من أنني بخير ، لن أسجل ، في النهاية ، يجب أن يكون هناك موقف إيجابي للدراسة.

الاعتماد الخطي على النواقل, الاستقلال الخطي للناقلات, أساس النواقلوالمصطلحات الأخرى ليس لها تفسير هندسي فقط ، ولكن قبل كل شيء ، المعنى الجبري. إن مفهوم "المتجه" من وجهة نظر الجبر الخطي بعيد كل البعد عن المتجه "العادي" الذي يمكننا تصويره على مستوى أو في الفضاء. لا تحتاج إلى البحث بعيدًا عن البرهان ، حاول رسم متجه لفضاء خماسي الأبعاد . أو ناقل الطقس الذي ذهبت إليه لتوي Gismeteo من أجل: - درجة الحرارة و الضغط الجويعلى التوالى. المثال ، بالطبع ، غير صحيح من وجهة نظر خصائص فضاء المتجه ، ولكن ، مع ذلك ، لا أحد يحظر صياغة هذه المعلمات كمتجه. أنفاس الخريف ...

لا ، لن أقوم بتحميل نظرية خطية مساحات ناقلات، المهمة هي تفهمالتعاريف والنظريات. تنطبق المصطلحات الجديدة (التبعية الخطية ، والاستقلالية ، والجمع الخطي ، والأساس ، وما إلى ذلك) على الجميع ناقلات من وجهة نظر جبريةولكن سيتم إعطاء أمثلة هندسية. وبالتالي ، كل شيء بسيط ، سهل الوصول إليه ومرئي. بالإضافة إلى مشاكل الهندسة التحليلية ، سننظر أيضًا في بعضها مهام نموذجية الجبر. لإتقان المادة ، يُنصح بالتعرف على الدروس ناقلات للدمى و كيف تحسب المحدد؟

الاعتماد الخطي واستقلالية المتجهات المستوية.
أساس الطائرة ونظام إحداثيات أفيني

ضع في اعتبارك مستوى سطح مكتب الكمبيوتر الخاص بك (مجرد طاولة ، طاولة بجانب السرير ، أرضية ، سقف ، أي شيء تريده). ستتألف المهمة من الإجراءات التالية:

1) حدد أساس الطائرة. بشكل تقريبي ، سطح الطاولة له طول وعرض ، لذلك من الواضح بشكل بديهي أن هناك حاجة إلى متجهين لبناء الأساس. من الواضح أن أحد النواقل لا يكفي ، وثلاثة نواقل أكثر من اللازم.

2) بناء على الأساس المختار ضبط نظام الإحداثيات(تنسيق الشبكة) لتعيين إحداثيات لجميع العناصر الموجودة على الجدول.

لا تتفاجأ ، في البداية ستكون التفسيرات على الأصابع. علاوة على ذلك ، عليك. من فضلك ضع السبابة لليد اليسرىعلى حافة سطح الطاولة بحيث ينظر إلى الشاشة. سيكون هذا ناقل. الآن ضع الاصبع الصغير اليد اليمنى على حافة الطاولة بنفس الطريقة - بحيث يتم توجيهها إلى شاشة العرض. سيكون هذا ناقل. ابتسم ، تبدو رائعًا! ماذا يمكن أن يقال عن النواقل؟ ناقلات البيانات علاقة خطية متداخلةمما يعني خطيامعبر عنها من خلال بعضها البعض:
، حسنًا ، أو العكس: أين هو رقم غير صفري.

يمكنك رؤية صورة لهذا الإجراء في الدرس. ناقلات للدمى ، حيث شرحت قاعدة ضرب متجه برقم.

هل ستضع أصابعك الأساس على مستوى سطح طاولة الكمبيوتر؟ من الواضح أنه لا. نواقل خطية تنتقل ذهابًا وإيابًا في وحدهالاتجاه ، بينما الطائرة لها طول وعرض.

تسمى هذه النواقل تعتمد خطيا.

المرجعي: تشير الكلمات "خطي" ، "خطي" إلى حقيقة أنه في معادلات رياضية، لا تحتوي التعبيرات على مربعات ، أو مكعبات ، أو قوى أخرى ، أو لوغاريتمات ، أو جيب ، إلخ. لا يوجد سوى تعبيرات وتبعيات خطية (من الدرجة الأولى).

متجهان مستويان تعتمد خطيا بعد ذلك وبعد ذلك فقطعندما تكون على علاقة خطية واحدة.

ضع أصابعك على الطاولة بحيث يكون هناك أي زاوية بينهما باستثناء 0 أو 180 درجة. متجهان مستويانخطيا ليستعتمد إذا وفقط إذا لم تكن على علاقة خطية واحدة. لذلك ، يتم استلام الأساس. لا داعي للحرج من أن الأساس اتضح أنه "مائل" مع نواقل غير متعامدة بأطوال مختلفة. قريبًا جدًا سنرى أنه ليس فقط زاوية 90 درجة مناسبة لبناءها ، وليس فقط متجهات الوحدة ذات الطول المتساوي

أيناقلات الطائرة الطريقة الوحيدةتوسع من حيث الأساس:
، أين - أرقام حقيقية. يتم استدعاء الأرقام إحداثيات ناقلاتعلى هذا الأساس.

يقولون ذلك أيضًا المتجهالمقدمة في النموذج تركيبة خطيةناقلات الأساس. وهذا يعني أن التعبير يسمى ناقلات التحللأساسأو تركيبة خطيةناقلات الأساس.

على سبيل المثال ، يمكن للمرء أن يقول إن المتجه يتم توسيعه على أساس متعامد للطائرة ، أو يمكن القول إنه يتم تمثيله كمجموعة خطية من المتجهات.

دعونا نصيغ تعريف الأساسرسميا: أساس الطائرةهو زوج من المتجهات المستقلة خطيًا (غير خطية) ، ، حيث أيمتجه المستوى هو مزيج خطي من نواقل الأساس.

النقطة الأساسية في التعريف هي حقيقة أن النواقل مأخوذة بترتيب معين. القواعد - إنها اثنان تمامًا أساس مختلف! كما يقولون ، لا يمكن تحريك الإصبع الصغير لليد اليسرى إلى مكان الإصبع الصغير لليد اليمنى.

لقد توصلنا إلى الأساس ، ولكن لا يكفي تعيين شبكة الإحداثيات وتعيين إحداثيات لكل عنصر على مكتب الكمبيوتر الخاص بك. لماذا لا يكفي؟ المتجهات مجانية وتتجول فوق الطائرة بأكملها. إذن كيف يمكنك تعيين إحداثيات لنقاط الجدول الصغيرة المتسخة المتبقية من عطلة نهاية أسبوع جامحة؟ هناك حاجة إلى نقطة انطلاق. وهذه النقطة المرجعية هي نقطة مألوفة لدى الجميع - أصل الإحداثيات. فهم نظام الإحداثيات:

سأبدأ بنظام "المدرسة". بالفعل في الدرس التمهيدي ناقلات للدمى لقد أبرزت بعض الاختلافات بين نظام الإحداثيات المستطيل والأساس المتعامد. هذه هي الصورة القياسية:

عندما نتحدث عن نظام إحداثيات مستطيل، فغالبًا ما تعني أصل الإحداثيات ، تنسيق المحاوروالقياس على طول المحاور. حاول كتابة "نظام إحداثيات مستطيل" في محرك البحث ، وسترى أن العديد من المصادر ستخبرك عن محاور الإحداثيات المألوفة من الصف الخامس إلى السادس وكيفية رسم النقاط على مستوى.

من ناحية أخرى ، يبدو أن نظام مستطيليمكن تحديد الإحداثيات من حيث الأساس المتعامد. وكاد يكون. الصياغة تسير على النحو التالي:

الأصل، و متعامدمجموعة الأساس نظام الإحداثيات الديكارتية للطائرة . هذا هو ، نظام إحداثيات مستطيل بالتااكيديتم تعريفه بنقطة واحدة ومتجهات متعامدة من وحدتين. لهذا السبب ، ترى الرسم الذي قدمته أعلاه - في مشاكل هندسيةفي كثير من الأحيان (ولكن ليس دائمًا) رسم كل من المتجهات وتنسيق المحاور.

أعتقد أن الجميع يفهم ذلك بمساعدة نقطة (أصل) وأساس متعامد أي نقطة من الطائرة وأي متجه للطائرةيمكن تعيين الإحداثيات. من الناحية المجازية ، "يمكن ترقيم كل شيء على متن الطائرة".

هل يجب أن تكون نواقل الإحداثيات وحدة؟ لا ، يمكن أن يكون لها طول تعسفي غير صفري. ضع في اعتبارك نقطة ومتجهين متعامدين بطول تعسفي غير صفري:

يسمى هذا الأساس متعامد. يحدد أصل الإحداثيات مع المتجهات شبكة الإحداثيات ، وأي نقطة على المستوى ، أي متجه لها إحداثياتها الخاصة في الأساس المحدد. على سبيل المثال ، أو. الإزعاج الواضح هو أن نواقل الإحداثيات في الحالة العامة لها أطوال مختلفة غير الوحدة. إذا كانت الأطوال تساوي واحدًا ، فسيتم الحصول على الأساس المتعامد المعتاد.

! ملحوظة : في الأساس المتعامد ، وكذلك أدناه في قواعد أفينييتم النظر في الوحدات المستوية والفضائية على طول المحاور الشرط. على سبيل المثال ، تحتوي وحدة واحدة على الإحداثي على 4 سم ، ووحدة واحدة على الإحداثي تحتوي على 2 سم ، وهذه المعلومات كافية لتحويل الإحداثيات "غير القياسية" إلى "السنتيمترات المعتادة" إذا لزم الأمر.

والسؤال الثاني ، الذي تمت الإجابة عليه بالفعل - هل الزاوية بين متجهات الأساس تساوي بالضرورة 90 درجة؟ لا! كما يقول التعريف ، يجب أن تكون نواقل الأساس فقط غير متداخلة. وفقًا لذلك ، يمكن أن تكون الزاوية أي شيء باستثناء 0 و 180 درجة.

نقطة على متن الطائرة تسمى الأصل، و غير متداخلةثلاثة أبعاد ، ، جلس نظام إحداثيات أفيني للطائرة :

في بعض الأحيان يسمى نظام الإحداثيات هذا منحرف - مائلالنظام. يتم عرض النقاط والمتجهات كأمثلة في الرسم:

كما تفهم ، فإن نظام الإحداثيات الأفيني أقل ملاءمة ، والصيغ الخاصة بأطوال المتجهات والمقاطع ، التي اعتبرناها في الجزء الثاني من الدرس ، لا تعمل فيه. ناقلات للدمى ، العديد من الصيغ اللذيذة المتعلقة بـ منتج عددي من النواقل . لكن قواعد جمع المتجهات وضرب المتجه برقم صحيحة ، صيغ قسمة في هذا الصدد، بالإضافة إلى بعض أنواع المهام الأخرى التي سنلقي نظرة عليها قريبًا.

والاستنتاج هو أن الحالة الخاصة الأكثر ملاءمة نظام أفينيالإحداثيات هو نظام مستطيل ديكارتي. لذلك ، يجب رؤيتها ، هي نفسها ، في أغلب الأحيان. ... ومع ذلك ، كل شيء في هذه الحياة نسبي - هناك العديد من المواقف التي يكون فيها من المناسب أن يكون لديك منحرف (أو بعض الحالات الأخرى ، على سبيل المثال ، قطبي) نظام الإحداثيات. نعم ، وقد تتذوق مثل هذه الأنظمة البشرية =)

دعنا ننتقل إلى الجزء العملي. كل المهام هذا الدرسصالحة لكل من نظام إحداثيات مستطيل ولحالة أفيني العامة. لا يوجد شيء معقد هنا ، كل المواد متاحة حتى لتلميذ المدرسة.

كيفية تحديد العلاقة الخطية المتداخلة للمتجهات المستوية؟

شيء نموذجي. من أجل متجهين مستويين متداخلة ، من الضروري والكافي أن تكون إحداثيات كل منهما متناسبةبشكل أساسي ، هذا هو تنقيح تنسيق تلو الآخر للعلاقة الواضحة.

مثال 1

أ) تحقق مما إذا كانت المتجهات على خط واحد .
ب) هل النواقل تشكل الأساس؟ ?

قرار:
أ) اكتشف ما إذا كان هناك نواقل معامل التناسب ، بحيث تتحقق المساواة:

سأخبرك بالتأكيد عن النسخة "foppish" من تطبيق هذه القاعدة ، والتي تعمل جيدًا في الممارسة العملية. الفكرة هي رسم نسبة على الفور ومعرفة ما إذا كانت صحيحة:

دعونا نحسب نسبة من نسب الإحداثيات المقابلة للمتجهات:

نحن نقصر:
، وبالتالي فإن الإحداثيات المقابلة متناسبة ،

يمكن إجراء العلاقة والعكس صحيح ، وهذا خيار مكافئ:

للاختبار الذاتي ، يمكن للمرء أن يستخدم حقيقة ذلك ناقلات خطيةيتم التعبير عنها خطيًا من خلال بعضها البعض. في هذه القضيةهناك مساواة . يمكن التحقق من صحتها بسهولة من خلال العمليات الأولية باستخدام المتجهات:

ب) متجهان مستويان يشكلان أساسًا إذا لم يكونا على علاقة خطية واحدة (مستقلان خطيًا). ندرس المتجهات من أجل العلاقة الخطية المتداخلة . لنقم بإنشاء نظام:

من المعادلة الأولى ، يتبع ذلك ، من المعادلة الثانية ، مما يعني ، النظام غير متسق (لا توجد حلول). وبالتالي ، فإن إحداثيات المتجهات المقابلة ليست متناسبة.

استنتاج: النواقل مستقلة خطيًا وتشكل أساسًا.

تبدو نسخة مبسطة من الحل كما يلي:

يؤلف النسبة من إحداثيات المتجهات المقابلة :
، وبالتالي ، فإن هذه النواقل مستقلة خطيًا وتشكل أساسًا.

عادة لا يرفض المراجعون هذا الخيار ، ولكن تظهر مشكلة في الحالات التي تكون فيها بعض الإحداثيات مساوية للصفر. مثله: . او مثل هذا: . او مثل هذا: . كيف تعمل النسبة هنا؟ (حقًا ، لا يمكنك القسمة على صفر). ولهذا السبب أطلقت على الحل المبسط اسم "foppish".

إجابه:أ) ، ب) النموذج.

صغير مثال إبداعيل حل مستقل:

مثال 2

ما قيمة متجهات المعلمة سيكون على علاقة خطية متداخلة؟

في حل العينة ، تم العثور على المعلمة من خلال النسبة.

هناك طريقة جبرية أنيقة للتحقق من المتجهات من أجل العلاقة الخطية المتداخلة. فلننظم معرفتنا ونضيفها فقط كنقطة خامسة:

بالنسبة لمتجهين مستويين ، تكون العبارات التالية متكافئة:

2) النواقل تشكل الأساس ؛
3) النواقل ليست متداخلة ؛

+ 5) المحدد ، المكون من إحداثيات هذه المتجهات ، غير صفري.

على التوالى، العبارات المعاكسة التالية متكافئة:
1) النواقل تعتمد خطيا ؛
2) لا تشكل النواقل أساسًا ؛
3) النواقل متداخلة ؛
4) يمكن التعبير عن النواقل خطيًا من خلال بعضها البعض ؛
+ 5) المحدد ، المكون من إحداثيات هذه المتجهات ، يساوي صفرًا.

أتمنى أن تكون قد فهمت في الوقت الحالي جميع المصطلحات والبيانات الواردة.

دعنا نلقي نظرة فاحصة على النقطة الخامسة الجديدة: اثنين من ناقلات الطائرة تكون خطية متداخلة إذا وفقط إذا كان المحدد المكون من إحداثيات المتجهات المعطاة يساوي صفرًا:. لاستخدام هذه الميزة ، بالطبع ، يجب أن تكون قادرًا على ذلك إيجاد المحددات .

سنقررالمثال الأول بالطريقة الثانية:

أ) احسب المحدد المكون من إحداثيات المتجهات :
، لذلك هذه النواقل على خط واحد.

ب) متجهان مستويان يشكلان أساسًا إذا لم يكونا على علاقة خطية واحدة (مستقلان خطيًا). دعونا نحسب المحدد المكون من إحداثيات المتجهات :
، ومن ثم تكون المتجهات مستقلة خطيًا وتشكل أساسًا.

إجابه:أ) ، ب) النموذج.

يبدو أكثر إحكاما وأجمل من الحل بالنسب.

بمساعدة المادة المدروسة ، من الممكن ليس فقط إنشاء علاقة خطية متداخلة للمتجهات ، ولكن أيضًا لإثبات التوازي بين المقاطع والخطوط المستقيمة. ضع في اعتبارك مشكلتين تتعلقان بأشكال هندسية محددة.

مثال 3

يتم إعطاء رؤوس شكل رباعي. إثبات أن الشكل الرباعي متوازي أضلاع.

دليل - إثبات: لا داعي لبناء رسم في المشكلة لأن الحل سيكون تحليلي بحت. تذكر تعريف متوازي الأضلاع:
متوازي الاضلاع يسمى الشكل الرباعي ، حيث تكون الأضلاع المتقابلة متوازية.

وبالتالي ، من الضروري إثبات:
1) التوازي من الجانبين المتقابلين و ؛
2) توازي الضلعين المتقابلين و.

نثبت:

1) ابحث عن المتجهات:

2) ابحث عن المتجهات:

والنتيجة هي نفس المتجه ("حسب المدرسة" - نواقل متساوية). العلاقة الخطية المتداخلة واضحة تمامًا ، ولكن من الأفضل اتخاذ القرار بشكل صحيح ، مع الترتيب. احسب المحدد المكون من إحداثيات المتجهات:
، لذلك تكون هذه المتجهات متداخلة ، و.

استنتاج: الأطراف المقابلةالأشكال الرباعية متوازية الزوج ، لذا فهي متوازي أضلاع بالتعريف. Q.E.D.

المزيد من الشخصيات الجيدة والمختلفة:

مثال 4

يتم إعطاء رؤوس شكل رباعي. إثبات أن الشكل الرباعي هو شبه منحرف.

من أجل صياغة أكثر صرامة للإثبات ، من الأفضل ، بالطبع ، الحصول على تعريف شبه منحرف ، لكن يكفي فقط تذكر شكله.

هذه مهمة لاتخاذ قرار مستقل. الحل الكاملفي نهاية الدرس.

والآن حان الوقت للانتقال ببطء من الطائرة إلى الفضاء:

كيفية تحديد العلاقة الخطية المتداخلة لمتجهات الفضاء؟

القاعدة متشابهة جدا. لكي يكون متجهي الفضاء متصلين ، ضرورية وكافيةبحيث تكون إحداثيات كل منهما متناسبة.

مثال 5

اكتشف ما إذا كانت متجهات الفضاء التالية على علاقة خطية أم لا:

أ) ؛
ب)
في)

قرار:
أ) تحقق مما إذا كان هناك معامل تناسب للإحداثيات المقابلة للمتجهات:

لا يحتوي النظام على حل ، مما يعني أن المتجهات ليست على علاقة خطية واحدة.

يتم إجراء "المبسطة" عن طريق التحقق من النسبة. في هذه الحالة:
- الإحداثيات المقابلة ليست متناسبة ، مما يعني أن المتجهات ليست على خط واحد.

إجابه:النواقل ليست على علاقة خطية متداخلة.

ب-ج) هذه نقاط لاتخاذ قرار مستقل. جربه بطريقتين.

هناك طريقة للتحقق من متجهات الفضاء من أجل العلاقة الخطية المتداخلة ومن خلال محدد من الدرجة الثالثة ، من هناتمت تغطيتها في المقال عبر المنتج من النواقل .

على غرار الحالة المستوية ، يمكن استخدام الأدوات المدروسة لدراسة التوازي بين المقاطع والخطوط المكانية.

مرحبا بكم في القسم الثاني:

الاعتماد الخطي واستقلالية نواقل الفضاء ثلاثية الأبعاد.
الأساس المكاني ونظام الإحداثيات الأفيني

العديد من الإجراءات المنتظمة التي أخذناها في الاعتبار على متن الطائرة ستكون صالحة أيضًا للمساحة. حاولت تقليل ملخص النظرية إلى الحد الأدنى ، لأن نصيب الأسد من المعلومات قد تم مضغه بالفعل. ومع ذلك ، أوصيك بقراءة الجزء التمهيدي بعناية ، حيث ستظهر مصطلحات ومفاهيم جديدة.

الآن ، بدلاً من مستوى طاولة الكمبيوتر ، دعنا نفحص الفضاء ثلاثي الأبعاد. أولاً ، دعنا ننشئ أساسه. شخص ما الآن في الداخل ، وهناك شخص ما في الهواء الطلق ، ولكن على أي حال ، لا يمكننا الابتعاد عن الأبعاد الثلاثة: العرض والطول والارتفاع. لذلك ، يلزم وجود ثلاثة نواقل مكانية لبناء الأساس. لا يكفي واحد أو اثنين من النواقل ، والرابع غير ضروري.

ومرة أخرى نقوم بالتسخين على الأصابع. من فضلك ارفع يدك وانشرها للداخل جوانب مختلفة الإبهام والسبابة والإصبع الأوسط. ستكون هذه متجهات ، فهي تنظر في اتجاهات مختلفة ، ولها أطوال مختلفة وزوايا مختلفة فيما بينها. مبروك اساس الفضاء ثلاثي الابعاد جاهز! بالمناسبة ، لست بحاجة إلى توضيح ذلك للمعلمين ، بغض النظر عن كيفية تحريك أصابعك ، ولكن لا يمكنك الابتعاد عن التعريفات =)

بعد ذلك ، دعنا نسأل امر هام, ما إذا كان أي ثلاثة نواقل تشكل أساسًا مساحة ثلاثية الأبعاد ؟ يرجى الضغط بثلاثة أصابع على سطح طاولة الكمبيوتر. ماذا حدث؟ توجد ثلاثة متجهات في نفس المستوى ، وبشكل تقريبي ، فقدنا أحد القياسات - الارتفاع. هذه النواقل متحد المستوىومن الواضح تمامًا أن أساس الفضاء ثلاثي الأبعاد لم يتم إنشاؤه.

تجدر الإشارة إلى أن المتجهات متحد المستوى لا يجب أن تقع في نفس المستوى ، بل يمكن أن تكون فيها طائرات موازية(فقط لا تفعل ذلك بأصابعك ، فقط سلفادور دالي خرج هكذا =)).

تعريف: نواقل تسمى متحد المستوىإذا كان هناك مستوى متوازيين. هنا من المنطقي أن نضيف أنه في حالة عدم وجود مثل هذا المستوى ، فلن تكون المتجهات مستوية.

ثلاثة نواقل متحدة المستوى تعتمد دائمًا بشكل خطي، أي يتم التعبير عنها خطيًا من خلال بعضها البعض. من أجل التبسيط ، تخيل مرة أخرى أنهم يقعون في نفس المستوى. أولاً ، المتجهات ليست فقط متحد المستوى ، بل يمكن أن تكون خطية متداخلة أيضًا ، ومن ثم يمكن التعبير عن أي متجه من خلال أي متجه. في الحالة الثانية ، إذا لم تكن المتجهات ، على سبيل المثال ، خطية متداخلة ، فسيتم التعبير عن المتجه الثالث من خلالها بطريقة فريدة: (ولماذا يسهل تخمينه من خامات القسم السابق).

والعكس صحيح أيضا: ثلاثة نواقل غير متحد المستوى تكون دائمًا مستقلة خطيًا، أي أنه لا يتم التعبير عنها بأي شكل من الأشكال من خلال بعضها البعض. ومن الواضح أن هذه النواقل فقط هي التي يمكن أن تشكل أساس فضاء ثلاثي الأبعاد.

تعريف: أساس الفضاء ثلاثي الأبعاديسمى ثلاثي النواقل المستقلة خطيًا (غير متحد المستوى) ، مأخوذة بترتيب معين، بينما أي متجه للفضاء الطريقة الوحيدةيتوسع في الأساس المحدد ، حيث توجد إحداثيات المتجه في الأساس المحدد

للتذكير ، يمكنك أيضًا أن تقول أن المتجه يتم تمثيله كـ تركيبة خطيةناقلات الأساس.

يتم تقديم مفهوم نظام الإحداثيات بنفس الطريقة تمامًا كما هو الحال بالنسبة لـ حالة مسطحة، نقطة واحدة وأية ثلاثة خطية نواقل مستقلة:

الأصل، و غير متحد المستوىثلاثة أبعاد ، مأخوذة بترتيب معين، جلس نظام إحداثيات أفيني للفضاء ثلاثي الأبعاد :

بالطبع ، شبكة الإحداثيات "مائلة" وغير ملائمة ، ولكن ، مع ذلك ، يتيح لنا نظام الإحداثيات المُنشأ بالتااكيدتحديد إحداثيات أي متجه وإحداثيات أي نقطة في الفضاء. على غرار الطائرة ، في نظام الإحداثيات الأفيني للفضاء ، لن تعمل بعض الصيغ التي ذكرتها بالفعل.

الحالة الخاصة الأكثر شيوعًا وملاءمة لنظام الإحداثيات الأفيني ، كما يمكن للجميع تخمينها ، هي نظام إحداثيات مساحة مستطيلة:

نقطة في الفضاء تسمى الأصل، و متعامدمجموعة الأساس نظام الإحداثيات الديكارتية للفضاء . صورة مألوفة:

قبل الشروع في المهام العملية ، نقوم بترتيب المعلومات مرة أخرى:

بالنسبة لثلاثة متجهات فضائية ، تكون العبارات التالية متكافئة:
1) النواقل مستقلة خطيًا ؛
2) النواقل تشكل الأساس ؛
3) النواقل ليست متحد المستوى ؛
4) لا يمكن التعبير عن النواقل خطيًا من خلال بعضها البعض ؛
5) المحدد ، المكون من إحداثيات هذه المتجهات ، يختلف عن الصفر.

التصريحات المعاكسة ، في اعتقادي ، مفهومة.

عادة ما يتم التحقق من الاعتماد الخطي / استقلالية نواقل الفضاء باستخدام المحدد (البند 5). متبقي مهام عمليةسيكون له طابع جبري واضح. حان الوقت لتعليق عصا هندسية على مسمار واستخدام مضرب بيسبول الجبر الخطي:

ثلاثة نواقل فضائيةمتحد المستوى إذا وفقط إذا كان المحدد المكون من إحداثيات المتجهات المعطاة يساوي صفرًا: .

ألفت انتباهك إلى فارق بسيط تقني: يمكن كتابة إحداثيات المتجهات ليس فقط في الأعمدة ، ولكن أيضًا في الصفوف (لن تتغير قيمة المحدد من هذا - انظر أدناه). خصائص المحددات). لكنه أفضل بكثير في الأعمدة ، لأنه أكثر فائدة في حل بعض المشاكل العملية.

بالنسبة لأولئك القراء الذين نسوا طرق حساب المحددات قليلاً ، أو ربما يكونون ضعيفي التوجيه على الإطلاق ، أوصي بأحد دروسي القديمة: كيف تحسب المحدد؟

مثال 6

تحقق مما إذا كانت المتجهات التالية تشكل أساسًا لمساحة ثلاثية الأبعاد:

قرار: في الحقيقة ، الحل كله يعتمد على حساب المحدد.

أ) احسب المحدد ، المكون من إحداثيات المتجهات (يتم توسيع المحدد في السطر الأول):

، مما يعني أن المتجهات مستقلة خطيًا (وليست مستوية) وتشكل أساس الفضاء ثلاثي الأبعاد.

إجابه: هذه النواقل تشكل الأساس

ب) هذه نقطة لاتخاذ قرار مستقل. الحل الكامل والإجابة في نهاية الدرس.

قابل و المهام الإبداعية:

مثال 7

في أي قيمة للمعلمة ستكون المتجهات متحد المستوى؟

قرار: المتجهات تكون متحد المستوى إذا وفقط إذا كان المحدد المكون من إحداثيات المتجهات المعطاة يساوي صفرًا:

بشكل أساسي ، مطلوب حل معادلة ذات محدد. نطير إلى الأصفار مثل الطائرات الورقية في الجربوع - من الأكثر ربحية فتح المحدد في السطر الثاني والتخلص فورًا من السلبيات:

نقوم بإجراء المزيد من التبسيط وتقليل الأمر إلى أبسط معادلة خط مستقيم:

إجابه: في

من السهل التحقق هنا ، لذلك تحتاج إلى استبدال القيمة الناتجة بالمحدد الأصلي والتأكد من ذلك من خلال إعادة فتحه.

أخيرًا ، فكر في واحدة أخرى مهمة نموذجية، وهو أكثر جبرية بطبيعته ويتم تضمينه تقليديًا في سياق الجبر الخطي. من الشائع جدًا أنه يستحق موضوعًا منفصلاً:

إثبات أن 3 نواقل تشكل أساسًا لمساحة ثلاثية الأبعاد
وابحث عن إحداثيات المتجه الرابع في الأساس المحدد

المثال 8

يتم إعطاء النواقل. بيّن أن المتجهات تشكل أساسًا للفضاء ثلاثي الأبعاد واعثر على إحداثيات المتجه في هذا الأساس.

قرار: دعونا نتعامل مع الشرط أولاً. حسب الشرط ، يتم إعطاء أربعة متجهات ، وكما ترى ، لديهم بالفعل إحداثيات في بعض الأساس. ما هو الأساس - لسنا مهتمين. والشيء التالي مهم: قد تتشكل ثلاثة نواقل بشكل جيد أساس جديد. والخطوة الأولى هي نفسها تمامًا مثل حل المثال 6 ، من الضروري التحقق مما إذا كانت المتجهات مستقلة خطيًا بالفعل:

احسب المحدد المكون من إحداثيات المتجهات:

، ومن ثم تكون المتجهات مستقلة خطيًا وتشكل أساسًا لمساحة ثلاثية الأبعاد.

! مهم : إحداثيات متجه بالضرورةاكتب في الأعمدةمحدد وليس سلاسل. خلاف ذلك ، سيكون هناك ارتباك في خوارزمية الحل الإضافي.