مشتق الدرس من رقم الدالة الأسية e. "رقم e

الرسم البياني للدالة الأسية عبارة عن خط منحني ناعم بدون مكامن الخلل ، ويمكن رسم الظل عند كل نقطة يمر من خلالها. من المنطقي أن نفترض أنه إذا كان من الممكن رسم ظل ، فإن الوظيفة ستكون قابلة للتفاضل في كل نقطة من مجال تعريفها.

دعونا نعرض في نفس محاور الإحداثيات عدة رسوم بيانية للوظيفة y \ u003d x a ، من أجل a \ u003d 2 ؛ أ = 2.3 ؛ أ = 3 ؛ أ = 3.4.

عند النقطة ذات الإحداثيات (0 ؛ 1). ستكون زوايا انحدار هذه المماسات حوالي 35 و 40 و 48 و 51 درجة على التوالي. من المنطقي أن نفترض أنه في الفترة من 2 إلى 3 يوجد رقم تكون فيه زاوية ميل الظل 45 درجة.

دعونا نعطي الصيغة الدقيقة لهذه العبارة: يوجد عدد أكبر من 2 وأقل من 3 ، يُشار إليه بالحرف e ، بحيث أن الدالة الأسية y = e x عند النقطة 0 لها مشتق يساوي 1. أي: (e ∆x -1) / ∆x تميل إلى 1 لأن ∆x تميل إلى الصفر.

عدد معين هغير منطقي ومكتوب على هيئة كسر عشري غير دوري لانهائي:

ه = 2.7182818284 ...

نظرًا لأن الرقم e موجب وغير صفري ، فهناك لوغاريتم للقاعدة e. يسمى هذا اللوغاريتم اللوغاريتم الطبيعي. يشار إليها ln (x) = log e (x).

مشتق من الدالة الأسية

النظرية: الوظيفة e x قابلة للاشتقاق في كل نقطة من مجالها ، و (e x) '= e x.

الوظيفة الأسية a x قابلة للتفاضل في كل نقطة من مجال تعريفها ، وعلاوة على ذلك (أ س) '= (أ س) * ln (أ).
نتيجة لهذه النظرية هي حقيقة أن الوظيفة الأسية مستمرة في أي نقطة في مجال تعريفها.

مثال: أوجد مشتق الدالة y = 2 x.

وفقًا لصيغة مشتق الدالة الأسية ، نحصل على:

(2x) '= (2x) * ln (2).

الجواب: (2x) * ln (2).

مشتق عكسي للدالة الأسية

بالنسبة للدالة الأسية a x المعطاة على مجموعة الأعداد الحقيقية ، ستكون المشتقة العكسية هي الوظيفة (a x) / (ln (a)).
ln (a) ثابت ، ثم (a x / ln (a)) '= (1 / ln (a)) * (a x) * ln (a) = a x لأي x. لقد أثبتنا هذه النظرية.

ضع في اعتبارك مثالًا لإيجاد دالة أسية عكسية.

مثال: أوجد المشتق العكسي للدالة f (x) = 5 x. دعنا نستخدم الصيغة أعلاه والقواعد لإيجاد المشتقات العكسية. نحصل على: F (x) = (5 x) / (ln (5)) + C.

عند اشتقاق الصيغة الأولى للجدول ، سننتقل من تعريف مشتق دالة عند نقطة ما. لنأخذ أين x- أي رقم حقيقي ، x- أي رقم من منطقة تعريف الوظيفة. دعونا نكتب حد نسبة زيادة الدالة إلى زيادة الوسيطة في:

وتجدر الإشارة إلى أنه في ظل علامة الحد ، يتم الحصول على تعبير ، وهو ليس ارتيابًا للصفر مقسومًا على صفر ، لأن البسط لا يحتوي على قيمة متناهية الصغر ، ولكن على وجه التحديد صفر. بعبارة أخرى ، فإن زيادة دالة ثابتة تساوي دائمًا صفرًا.

في هذا الطريق، مشتق دالة ثابتةتساوي الصفر في مجال التعريف بأكمله.

مشتق من دالة القدرة.

صيغة مشتق دالة القوة لها الشكل حيث الأس صهو أي رقم حقيقي.

دعونا أولاً نثبت صيغة الأس الطبيعي ، أي لـ ع = 1 ، 2 ، 3 ، ...

سنستخدم تعريف المشتق. دعونا نكتب حد نسبة زيادة دالة القوة إلى زيادة الوسيطة:

لتبسيط التعبير في البسط ، ننتقل إلى صيغة نيوتن ذات الحدين:

بالتالي،

هذا يثبت صيغة مشتق دالة القوة لأس طبيعي.

مشتق من الدالة الأسية.

نشتق الصيغة المشتقة بناءً على التعريف:

جاء إلى عدم اليقين. لتوسيعه ، نقدم متغيرًا جديدًا ، و. ثم . في الانتقال الأخير ، استخدمنا معادلة الانتقال إلى قاعدة جديدة للوغاريتم.

لنقم باستبدال الحد الأصلي:

إذا تذكرنا الحد الثاني الرائع ، فسنصل إلى صيغة مشتق الدالة الأسية:

مشتق دالة لوغاريتمية.

دعونا نثبت صيغة مشتق الدالة اللوغاريتمية للجميع xمن النطاق وجميع القيم الأساسية الصالحة أاللوغاريتم. حسب تعريف المشتق ، لدينا:

كما لاحظت ، في الإثبات ، تم إجراء التحويلات باستخدام خصائص اللوغاريتم. المساواة صالح بسبب الحد الملحوظ الثاني.

مشتقات التوابع المثلثية.

لاشتقاق صيغ لمشتقات الدوال المثلثية ، علينا أن نتذكر بعض صيغ علم المثلثات ، وكذلك الحد الملحوظ الأول.

من خلال تعريف مشتق دالة الجيب ، لدينا .

نستخدم صيغة فرق الجيب:

يبقى أن ننتقل إلى الحد الملحوظ الأول:

إذن مشتق الدالة الخطيئة xيأكل كوس x.

تم إثبات صيغة مشتق جيب التمام بنفس الطريقة تمامًا.

لذلك ، مشتق الوظيفة كوس xيأكل - الخطيئة x.

سيتم تنفيذ اشتقاق الصيغ لجدول مشتقات الظل والظل باستخدام قواعد التفاضل المثبتة (مشتق الكسر).

مشتقات الدوال الزائدية.

تسمح لنا قواعد التفاضل وصيغة مشتق الدالة الأسية من جدول المشتقات باشتقاق صيغ لمشتقات الجيب الزائدي وجيب التمام والظل والظل.

مشتق التابع العكسي.

حتى لا يكون هناك التباس في العرض التقديمي ، دعنا نشير في الفهرس السفلي إلى حجة الوظيفة التي يتم من خلالها أداء التفاضل ، أي أنها مشتقة من الوظيفة و (خ)على x.

الآن نصيغ قاعدة لإيجاد مشتقة الدالة العكسية.

دع الوظائف ص = و (س)و س = ز (ص)مقلوب بشكل متبادل ، محدد على فترات وعلى التوالي. إذا كان هناك عند نقطة ما مشتق محدود غير صفري للدالة و (خ)، ثم عند هذه النقطة يوجد مشتق محدود للدالة العكسية ز (ص)، و . في إدخال آخر .

يمكن إعادة صياغة هذه القاعدة لأي xمن الفاصل الزمني ، ثم نحصل على .

دعنا نتحقق من صحة هذه الصيغ.

لنجد الدالة العكسية للوغاريتم الطبيعي (هنا ذهي وظيفة و x- جدال). حل هذه المعادلة ل x، نحصل على (هنا xهي وظيفة و ذحجتها). إنه، والدوال المعكوسة بشكل متبادل.

من جدول المشتقات ، نرى ذلك و .

لنتأكد من أن الصيغ الخاصة بإيجاد مشتقات الدالة العكسية تقودنا إلى نفس النتائج:

أهداف الدرس:تكوين فكرة عن رقم ه؛ إثبات تفاضل دالة في أي وقت X؛ النظر في إثبات نظرية التفاضل للوظيفة ؛ التحقق من تكوين المهارات والقدرات عند حل الأمثلة لتطبيقها.

أهداف الدرس.

التعليمية: كرر تعريف المشتق ، وقواعد التمايز ، ومشتق الوظائف الأولية ، وتذكر الرسم البياني وخصائص الدالة الأسية ، وتشكيل القدرة على إيجاد مشتق من الدالة الأسية ، والتحكم في المعرفة باستخدام مهمة اختبار و a امتحان.

التطوير: لتعزيز تنمية الانتباه ، وتطوير التفكير المنطقي ، والحدس الرياضي ، والقدرة على التحليل ، وتطبيق المعرفة في المواقف غير القياسية.

التربوية: لتثقيف ثقافة المعلومات وتنمية مهارات العمل الجماعي والفردي.

طرق التدريس: لفظية ، بصرية ، نشطة.

أشكال التدريب: جماعي ، فردي ، جماعي.

معدات : الكتاب المدرسي "الجبر وبدايات التحليل" (حرره كولموغوروف) ، وجميع مهام المجموعة ب "الجزء المغلق" الذي حرره أ. Semenov ، IV Yashchenko ، جهاز عرض الوسائط المتعددة.

خطوات الدرس:

1. الإبلاغ عن موضوع الدرس وأهدافه وأهدافه (دقيقتان).
2. التحضير لدراسة المادة الجديدة من خلال تكرار مادة سبق دراستها (15 دقيقة).
3. مقدمة عن مادة جديدة (10 دقائق)
4. الفهم الأساسي وترسيخ المعرفة الجديدة (15 دقيقة).
5. الواجب المنزلي (1 دقيقة).
6. تلخيص (دقيقتان).

خلال الفصول

1. لحظة تنظيمية.

يتم الإعلان عن موضوع الدرس: مشتق التابع الأسي. عدد البريد "، الأهداف ، المهام. شريحة 1. عرض

2. تفعيل المعرفة الأساسية.

للقيام بذلك ، في المرحلة الأولى من الدرس ، سنجيب على الأسئلة ونحل المهام للتكرار. شريحة 2.

في السبورة ، يعمل طالبان على بطاقات ، لإكمال مهام مثل B8 USE.

مهمة الطالب الأول:

مهمة الطالب الثاني:

يكمل باقي الطلاب العمل المستقل وفقًا للخيارات:

الخيار 1		الخيار 2
1.		1.
2.		2.
3.		3.
4.		4.
5.		5.

يتبادل الأزواج الحلول ويتحققون من عمل بعضهم البعض ، بالإشارة إلى الإجابات الواردة في الشريحة 3.

يتم النظر في حلول وإجابات الطلاب العاملين على السبورة.

تدقيق الواجب البيتي رقم 1904. اعرض الشريحة 4.

3. تحديث موضوع الدرس خلق مشكلة الوضع.

يطلب المعلم تقديم تعريف للدالة الأسية وسرد خصائص الدالة y \ u003d 2 x. تظهر الرسوم البيانية للوظائف الأسية كخطوط ناعمة ، يمكن رسم المماس لها عند كل نقطة. لكن وجود دالة مماس للرسم البياني عند نقطة لها حدود x 0 يكافئ اشتقاقها عند x 0.

بالنسبة للرسومات البيانية للوظيفة y \ u003d 2 x و y \ u003d 3 x ، نرسم الظلال لهم عند النقطة التي لها حدود الإحداثية 0. زوايا ميل هذه الظلال على محور الإحداثي تساوي تقريبًا 35 درجة و 48 درجة ، على التوالى. شريحة 5.

الخلاصة: إذا كانت قاعدة الدالة الأسية أيزيد من 2 إلى ، على سبيل المثال ، 10 ، ثم الزاوية بين الظل للرسم البياني للوظيفة عند النقطة x = 0 والمحور x تزداد تدريجياً من 35 درجة إلى 66.5 درجة. من المنطقي أن نفترض أن هناك سببًا أ، حيث تكون الزاوية المقابلة لها 45

ثبت أن هناك عددًا أكبر من 2 وأقل من 3. ومن المعتاد الإشارة إليه بالحرف ه. ثبت أن الرقم في الرياضيات ه- غير عقلاني ، أي هو كسر عشري لانهائي غير دوري.

ه = 2.7182818284590 ...

ملحوظة (ليست خطيرة جدا). الشريحة 6.

في الشريحة 7 التالية توجد صور لعلماء رياضيات عظماء - جون نابير وليونارد أويلر وملاحظة موجزة عنهم.

• ضع في اعتبارك خصائص الدالة y = e x
• إثبات النظرية 1. الشريحة 8.
• إثبات النظرية 2. الشريحة 9.

4. التوقف أو التفريغ الديناميكي للعيون.

(وضعية البداية - الجلوس ، كل تمرين يتكرر 3-4 مرات):

1. الانحناء للخلف ، وخذ نفسًا عميقًا ، ثم انحني للأمام ، وازفر.

2. انحن للخلف على كرسي ، وأغلق جفونك ، وأغلق عينيك بإحكام دون فتح جفونك.

3. اليدين على طول الجسم ، وحركات الكتفين دائرية ذهابا وإيابا.

5. توحيد المواد المدروسة.

5.1 حل التمارين رقم 538 ، رقم 540 ، رقم 544 ج.

5.2 التطبيق المستقل للمعرفة والمهارات والقدرات. عمل التحقق في شكل اختبار. الوقت لإكمال المهمة - 5 دقائق.

معايير التقييم:

"5" - 3 نقاط

"4" - 2 نقطة

"3" - 1 نقطة

6. تلخيص نتائج ونتائج العمل في الدرس.

1. انعكاس.
2. وضع العلامات.
3. تقديم مهام الاختبار.

7. الواجب المنزلي: ص 41 (1 ، 2) ؛ رقم 539 (أ ، ب ، د) ؛ 540 (ج ، د) ، 544 (أ ، ب).

"الجزء المغلق" رقم 1950 ، 2142.

لاستخدام معاينة العروض التقديمية ، قم بإنشاء حساب Google (حساب) وقم بتسجيل الدخول: https://accounts.google.com

شرح الشرائح:

مشتق من الدالة الأسية رقم هـ الدرجة 11

التكرار هي أم التعلم!

تعريف الوظيفة الأسية تسمى الوظيفة المعطاة بالصيغة y \ u003d a x (حيث a> 0 ، a ≠ 1) بالدالة الأسية مع القاعدة a.

خصائص الدالة الأسية y \ u003d a x a> 1 0

تحديد مشتق الدالة عند النقطة x 0. كـ Δ → 0. مشتق الدالة f عند النقطة x 0 هو الرقم الذي تميل إليه علاقة الفرق كـ Δx → 0.

المعنى الهندسي للمشتق x ₀ α A y \ u003d f (x) 0 x y k \ u003d tg α \ u003d f "(x ₀) الميل إلى الظل إلى الرسم البياني للوظيفة f (x) عند النقطة ( x 0 ؛ f (x 0) تساوي الوظائف المشتقة f "(x ₀). f (x 0)

لعبة: "Find pairs" (u + v) "cos x e (u v)" n xⁿ ⁻ "p (u / v)" - 1 / (sin² x) a (x ⁿ) "- sin x n C" u "v + u v "to (C u)" 1 / (cos ² x) t (sin x) "(u" v - u v ") / v² c (cos x)" 0 o (tg x) "u" + v " u (ctg x) "C u" n

اختبر نفسك! (u + v) "u" + v "e (u v)" u "v + u v" to (u / v) "(u 'v –u v") / v² c (x ⁿ) "n x ⁿ ⁻¹ p C "0 o (Cu)" C u "n (sin x)" Cos x e (cos x) "- sin x n (tg x)" 1 / (cos² x) t (ctg x) "- 1 / (sin² x ) أ

الأس هو دالة قوة. الأس هو دالة حيث e هو أساس اللوغاريتمات الطبيعية.

1 y \ u003d e x 45 ° تسمى الوظيفة y \ u003d e x "الأس" x ₀ \ u003d 0 ؛ tg 45 ° = 1 عند النقطة (0 ؛ 1) ميل المماس للرسم البياني للدالة k = tg 45 ° = 1 - المعنى الهندسي لمشتق الأس y = e x

النظرية 1. الوظيفة y \ u003d e قابلة للتفاضل في كل نقطة من مجال التعريف ، و (e) "\ u003d e x x x اللوغاريتم الطبيعي (ln) هو لوغاريتم القاعدة e: ln x \ u003d log x e ​​and ( أ) "= a ∙ ln a x x Theorem 2.

صيغ للتمييز بين الوظيفة الأسية (هـ) "= هـ ؛ (هـ)" = ك هـ ؛ (أ) "= a ∙ ln a ؛ (أ)" = k a ∙ ln a. x kx + b x x x kx + b kx + b kx + b F (a x) = + C ؛ و (ه س) = ه س + ج.

"التمرين يخلق الإتقان." تاسيتوس بوبليوس كورنيليوس - مؤرخ روماني قديم

أمثلة: أوجد مشتقات الدوال: 1. = 3 e. 2. (e) "= (5x)" e = 5 e. 3. (4) "= 4 ln 4. 4. (2)" = (-7 x) "2 ∙ ln 2 = -7 ∙ 2 ∙ ln 2. 5 x 5 x x (3 e)" 5 x - 7 س س س -7 س -7 س س

مثيرة للاهتمام في مكان قريب

ليونارد أويلر 1707-1783 عالم روسي - عالم رياضيات ، فيزيائي ، ميكانيكي ، عالم فلك ... قدم تسمية الرقم e. أثبت أن الرقم e ≈ 2 ، 718281 ... غير منطقي. جون نابير 1550 - 1617 عالم رياضيات اسكتلندي ، مخترع اللوغاريتمات. تكريمًا له ، يُطلق على الرقم e اسم "الرقم غير النظير".

يسمى نمو وانحلال دالة بمعدل الأس الأسي