Какво е функция? Това е зависимостта на една величина от друга. В една математическа функция най-често има две неизвестни: независими и зависими или съответно x и y.

Какво означава? Това означава, че x може да приеме абсолютно всяка стойност, а y ще се адаптира към него, променяйки се в съответствие с коефициентите на функцията.

Има ситуации, при които една функция има множество променливи. Зависимата винаги е 1, но може да има няколко фактора, които влияят върху нея. Не винаги е възможно да се покаже такава функция на графика. В най-добрия случай можете графично да покажете зависимостта на y от 2 променливи.

Кой е най-лесният начин за представяне на зависимостта y(x)?

Да, много просто. Представете си разглезено дете и богата, любяща майка. Идват заедно в магазина и започват да просят бонбони. Кой знае колко бонбони ще поиска момчето днес?

Никой, но в зависимост от броя на бонбоните ще се увеличава сумата, която мама ще плати на касата. В този случай зависимата променлива е сумата в чека, а независимата променлива е броят сладкиши, които момчето иска днес.

Много е важно да разберете, че една стойност на функцията y винаги съответства на 1 стойност на аргумента x. Но, както при корените на квадратно уравнение, тези стойности могат да съвпадат.

Уравнение на права линия

Защо се нуждаем от уравнението на права линия, ако говорим за уравнението на дължините на страните на триъгълник?

Да, защото всяка страна на триъгълника е сегмент. Отсечката е ограничена част от права линия. Тоест можем да зададем уравнения на прави линии. И в точките на тяхното пресичане ограничете линиите, като по този начин отрежете правите линии и ги превърнете в сегменти.

Уравнението на линията изглежда така:

$$y_1=a_1x+b_1$$

$$y_2=a_2x+b_2$$

$$y_3=a_3x+b_3$$

Уравнение на страните на триъгълник

Необходимо е да се намери уравнението за дължините на страните на триъгълник с върхове в точки A(3,7); B(5,3); C(12;9)

Всички координати са положителни, което означава, че триъгълникът ще бъде разположен в 1 координатен квадрант.

Нека начертаем уравнения за всяка от линиите на триъгълника едно по едно.

• Първият ред ще бъде AB. Заместваме координатите на точките в уравнението на правата линия на мястото на x и y. Така получаваме система от две линейни уравнения. След като го решите, можете да намерите стойността на коефициентите за функцията:

A(3,7) ; B(5,3):

От първото уравнение изразяваме b и го заместваме във второто.

Нека заместим стойността на a и да намерим b.

b=7-3a=7-3*(-2)=7+6=13

Нека създадем уравнение за права линия.

• Нека създадем останалите две уравнения по същия начин.

B(5,3); C(12;9)

9=12a+b=12a+3-5a

$$b=3-5*(6\над7)=-(9\над7)$$

$$y=(6\над7)x-(9\над7)$$

• A(3,7) ; C(12;9)

9=12a+b=12a+7-3a=9a+7

$$b=7-(6\over9)=(57\over9)$$

$$y=(2\над9)x+(57\над9)$$

• Нека напишем уравнението за дължините на страните на триъгълник:

$$y=(6\над7)x-(9\над7)$$

$$y=(2\над9)x+(57\над9)$$

Какво научихме?

Научихме какво е функция, говорихме за функцията на права линия и се научихме да извеждаме уравненията на страните на триъгълник от координатите на върховете му.

Тест по темата

Рейтинг на статията

Среден рейтинг: 4.8. Общо получени оценки: 45.

Пример. Дадени са върховете на триъгълник ABC.
Намерете: 1) дължината на страната AB; 2) уравнения на страни AB и AC и техните ъглови коефициенти; 3) Вътрешен ъгъл А в радиани с точност 0,01; 4) уравнение за височината на CD и нейната дължина; 5) уравнението на окръжност, за която височината CD е диаметърът; 6) система от линейни неравенства, определящи триъгълник ABC.

Дължина на страните на триъгълника:
|AB| = 15
|AC| = 11,18
|пр.н.е.| = 14,14
Разстояние d от точка M: d = 10
Дадени са координатите на върховете на триъгълника: A(-5,2), B(7,-7), C(5,7).
2) Дължина на страните на триъгълника
Разстоянието d между точките M 1 (x 1 ; y 1) и M 2 (x 2 ; y 2) се определя по формулата:

8) Уравнение на права
Права линия, минаваща през точки A 1 (x 1 ; y 1) и A 2 (x 2 ; y 2), се представя от уравненията:

Уравнение на права AB
или
или y = -3 / 4 x -7 / 4 или 4y + 3x +7 = 0
Уравнение на права AC
Канонично уравнение на правата: или
или y = 1/2 x + 9/2 или 2y -x - 9 = 0
Уравнение на права BC
Канонично уравнение на правата: или
или y = -7x + 42 или y + 7x - 42 = 0
3) Ъгъл между прави
Уравнение на права линия AB:y = -3 / 4 x -7 / 4
Уравнение на правата AC:y = 1/2 x + 9/2
Ъгълът φ между две прави линии, даден от уравнения с ъглови коефициенти y = k 1 x + b 1 и y 2 = k 2 x + b 2, се изчислява по формулата:

Наклоните на тези линии са -3/4 и 1/2. Нека използваме формулата и вземем нейната дясна страна по модул:

tg φ = 2
φ = arctan(2) = 63,44 0 или 1,107 rad.
9) Уравнение на височина през връх C
Правата линия, минаваща през точката N 0 (x 0 ; y 0) и перпендикулярна на правата линия Ax + By + C = 0, има насочващ вектор (A; B) и следователно се представя от уравненията:



Това уравнение може да се намери по друг начин. За да направите това, нека намерим наклона k 1 на правата линия AB.
Уравнение AB: y = -3 / 4 x -7 / 4, т.е. k 1 = -3 / 4
Нека намерим ъгловия коефициент k на перпендикуляра от условието за перпендикулярност на две прави линии: k 1 *k = -1.
Замествайки наклона на тази линия вместо k 1, получаваме:
-3/4 k = -1, откъдето k = 4/3
Тъй като перпендикулярът минава през точката C(5,7) и има k = 4 / 3, ще търсим уравнението му във формата: y-y 0 = k(x-x 0).
Замествайки x 0 = 5, k = 4/3, y 0 = 7, получаваме:
y-7 = 4/3 (x-5)
или
y = 4 / 3 x + 1 / 3 или 3y -4x - 1 = 0
Нека намерим пресечната точка с правата AB:
Имаме система от две уравнения:
4y + 3x +7 = 0
3y -4x - 1 = 0
От първото уравнение изразяваме y и го заместваме във второто уравнение.
Получаваме: x = -1; y=-1
D(-1;-1)
9) Дължина на надморската височина на триъгълника, начертан от върха C
Разстоянието d от точката M 1 (x 1 ;y 1) до правата Ax + By + C = 0 е равно на абсолютната стойност на величината:

Намерете разстоянието между точка C(5;7) и правата AB (4y + 3x +7 = 0)


Дължината на височината може да се изчисли по друга формула, като разстоянието между точка C(5;7) и точка D(-1;-1).
Разстоянието между две точки се изразява в координати по формулата:

5) уравнението на окръжност, за която височината CD е диаметърът;
Уравнението на окръжност с радиус R с център в точка E(a;b) има формата:
(x-a) 2 + (y-b) 2 = R 2
Тъй като CD е диаметърът на желаната окръжност, нейният център E е средата на сегмента CD. Използвайки формулите за разделяне на сегмент наполовина, получаваме:


Следователно E(2;3) и R = CD / 2 = 5. Използвайки формулата, получаваме уравнението на желаната окръжност: (x-2) 2 + (y-3) 2 = 25

6) система от линейни неравенства, определящи триъгълник ABC.
Уравнение на права AB: y = -3 / 4 x -7 / 4
Уравнение на правата AC: y = 1 / 2 x + 9 / 2
Уравнение на права BC: y = -7x + 42

Как да се научим да решаваме задачи по аналитична геометрия?
Типична задача с триъгълник на равнина

Този урок е създаден върху подхода към екватора между геометрията на равнината и геометрията на пространството. В момента има нужда от систематизиране на натрупаната информация и отговор на един много важен въпрос: как да се научите да решавате задачи в аналитичната геометрия?Трудността е, че можете да измислите безкраен брой задачи по геометрия и нито един учебник няма да съдържа цялото множество и разнообразие от примери. Не е производна на функцияс пет правила за разграничаване, таблица и няколко техники...

Има решение! Няма да говоря на висок глас за факта, че съм разработил някаква грандиозна техника, но според мен има ефективен подход към разглеждания проблем, който позволява дори на пълен манекен да постигне добри и отлични резултати. Поне общият алгоритъм за решаване на геометрични задачи се оформи много ясно в главата ми.

КАКВО ТРЯБВА ДА ЗНАЕТЕ И МОЖЕТЕ
за успешно решаване на геометрични задачи?

От това няма спасение - за да не бъркате безразборно в бутоните с носа си, трябва да овладеете основите на аналитичната геометрия. Ето защо, ако току-що сте започнали да изучавате геометрия или напълно сте я забравили, моля, започнете с урока Вектори за манекени. В допълнение към векторите и действията с тях, трябва да знаете основните понятия на равнинната геометрия, по-специално, уравнение на права в равнинаИ . Геометрията на пространството е представена в статии Уравнение на равнината, Уравнения на права в пространството, Основни задачи за права и равнина и някои други уроци. Извитите линии и пространствените повърхности от втори ред стоят малко отделно и няма толкова много специфични проблеми с тях.

Да приемем, че студентът вече има основни знания и умения за решаване на най-простите задачи на аналитичната геометрия. Но това се случва така: четете формулировката на проблема и... искате да затворите цялото нещо, да го хвърлите в далечния ъгъл и да го забравите, като лош сън. Освен това това принципно не зависи от нивото на вашата квалификация; от време на време самият аз се натъквам на задачи, чието решение не е очевидно. Какво да правим в такива случаи? Няма нужда да се страхувате от задача, която не разбирате!

Първо, трябва да се инсталира - Това „плосък“ или пространствен проблем ли е?Например, ако условието включва вектори с две координати, тогава, разбира се, това е геометрията на равнина. И ако учителят зареди благодарния слушател с пирамида, тогава очевидно има геометрия на пространството. Резултатите от първата стъпка вече са доста добри, защото успяхме да отсечем огромно количество ненужна за тази задача информация!

Второ. Състоянието обикновено ще ви занимава с някаква геометрична фигура. Наистина, разходете се по коридорите на родния си университет и ще видите много угрижени лица.

В „плоските“ задачи, да не говорим за очевидните точки и линии, най-популярната фигура е триъгълник. Ще го анализираме много подробно. Следва успоредникът, а много по-рядко се срещат правоъгълник, квадрат, ромб, кръг и други форми.

В пространствени задачи могат да летят едни и същи плоски фигури + самите самолети и обикновени триъгълни пирамиди с паралелепипеди.

Въпрос втори - Знаете ли всичко за тази фигура?Да предположим, че условието говори за равнобедрен триъгълник и вие много смътно си спомняте какъв вид триъгълник е това. Отваряме учебник и четем за равнобедрен триъгълник. Какво да правя... докторът каза ромб, значи ромб. Аналитичната геометрия си е аналитична геометрия, но проблемът ще се реши от геометричните свойства на самите фигури, познати ни от училищната програма. Ако не знаете каква е сумата от ъглите на триъгълник, можете да страдате дълго време.

трето. ВИНАГИ се опитвайте да следвате чертежа(на чернова/финално копие/мислено), дори ако това не се изисква от условието. В „плоските“ проблеми самият Евклид нареди да вземе линийка и молив - и не само за да разбере условието, но и за целите на самопроверката. В този случай най-удобният мащаб е 1 единица = 1 см (2 клетки от тетрадка). Да не говорим за невнимателни студенти и математици, които се въртят в гробовете си - в такива задачи е почти невъзможно да се сгреши. За пространствени задачи изпълняваме схематичен чертеж, който също ще помогне за анализ на състоянието.

Чертеж или схематичен чертеж често ви позволяват незабавно да видите начина за решаване на проблем. Разбира се, за това трябва да знаете основите на геометрията и да разбирате свойствата на геометричните фигури (вижте предишния параграф).

Четвърто. Разработване на алгоритъм за решение. Много геометрични задачи са многоетапни, така че решението и неговият дизайн са много удобни за разбиване на точки. Често алгоритъмът веднага идва на ум, след като прочетете условието или завършите чертежа. При затруднения започваме с ВЪПРОСА на задачата. Например, според условието „трябва да построите права линия...“. Тук най-логичният въпрос е: „Какво е достатъчно да знаете, за да построите тази права линия?“ Да предположим, че „знаем точката, трябва да знаем вектора на посоката.“ Задаваме следния въпрос: „Как да намерим този вектор на посоката? Където?" и т.н.

Понякога има „бъг“ - проблемът не е решен и това е всичко. Причините за спирането могат да бъдат следните:

– Сериозен пропуск в основните познания. С други думи, вие не знаете и/или не виждате някакво много просто нещо.

– Непознаване на свойствата на геометричните фигури.

- Задачата беше трудна. Да, случва се. Няма смисъл да париш с часове и да събираш сълзи в носна кърпа. Потърсете съвет от вашия учител, състуденти или задайте въпрос във форума. Освен това е по-добре да направите изявлението си конкретно - за тази част от решението, която не разбирате. Вик под формата на "Как да реша проблема?" не изглежда много добре... и преди всичко за собствената ви репутация.

Етап пети. Решаваме-проверяваме, решаваме-проверяваме, решаваме-проверяваме-даваме отговор. Полезно е да проверите всяка точка от задачата веднага след завършването му. Това ще ви помогне незабавно да забележите грешката. Естествено, никой не забранява бързото решаване на целия проблем, но съществува риск от пренаписване на всичко отново (често няколко страници).

Това са може би всички основни съображения, които трябва да се следват при решаването на проблеми.

Практическата част на урока е представена в равнинна геометрия. Ще има само два примера, но няма да изглежда достатъчно =)

Нека да преминем през нишката на алгоритъма, който току-що разгледах в моята малка научна работа:

Пример 1

Дадени са три върха на успоредник. Намерете върха.

Нека започнем да разбираме:

Първа стъпка: Очевидно е, че говорим за „плосък“ проблем.

Стъпка втора: Задачата се занимава с успоредник. Всички ли си спомнят тази фигура успоредник? Няма нужда да се усмихвате, много хора получават образованието си на 30-40-50 и повече години, така че дори простите факти могат да бъдат изтрити от паметта. Дефиницията на успоредник се намира в пример № 3 от урока Линейна (не)зависимост на векторите. Основа на векторите.

Стъпка трета: Нека направим чертеж, на който маркираме три известни върха. Странно е, че не е трудно веднага да се изгради желаната точка:

Конструирането му, разбира се, е добро, но решението трябва да бъде формулирано аналитично.

Стъпка четвърта: Разработване на алгоритъм за решение. Първото нещо, което идва на ум е, че точка може да се намери като пресечна точка на прави. Ние не знаем техните уравнения, така че ще трябва да се справим с този проблем:

1) Противоположните страни са успоредни. По точки Нека намерим насочващия вектор на тези страни. Това е най-простият проблем, който беше обсъждан в клас. Вектори за манекени.

Забележка: по-правилно е да се каже „уравнението на права, съдържаща страна“, но тук и по-нататък за краткост ще използвам изразите „уравнение на страна“, „насочващ вектор на страна“ и т.н.

3) Противоположните страни са успоредни. Използвайки точките, намираме вектора на посоката на тези страни.

4) Нека създадем уравнение на права линия с помощта на точка и насочващ вектор

В параграфи 1-2 и 3-4 всъщност решихме една и съща задача два пъти; между другото, тя беше обсъдена в пример № 3 от урока Най-прости задачи с права на равнина. Възможно е да се поеме по-дълъг маршрут - първо да се намерят уравненията на линиите и едва след това да се „извадят“ векторите на посоката от тях.

5) Сега уравненията на линиите са известни. Остава само да се състави и реши съответната система от линейни уравнения (виж примери № 4, 5 от същия урок Най-прости задачи с права на равнина).

Точката е намерена.

Задачата е съвсем проста и решението й е очевидно, но има по-кратък път!

Второ решение:

Диагоналите на успоредник се делят на две от пресечната си точка. Отбелязах точката, но за да не претрупам чертежа, не начертах самите диагонали.

Нека създадем уравнение за страната точка по точка:

За да проверите, трябва мислено или на чернова да замените координатите на всяка точка в полученото уравнение. Сега нека намерим наклона. За да направим това, пренаписваме общото уравнение под формата на уравнение с коефициент на наклон:

Така наклонът е:

По същия начин намираме уравненията на страните. Не виждам много смисъл да описвам едно и също нещо, така че веднага ще дам крайния резултат:

2) Намерете дължината на страната. Това е най-простият проблем, разгледан в класа. Вектори за манекени. За точки използваме формулата:

С помощта на същата формула е лесно да се намерят дължините на другите страни. Проверката може да се направи много бързо с обикновена линийка.

Използваме формулата .

Нека намерим векторите:

По този начин:

Между другото, по пътя намерихме дължините на страните.

Като резултат:

Е, изглежда е вярно, за да сте убедителни, можете да прикрепите транспортир към ъгъла.

внимание! Не бъркайте ъгъла на триъгълник с ъгъла между прави линии. Ъгълът на триъгълника може да бъде тъп, но ъгълът между прави линии не може (вижте последния параграф на статията Най-прости задачи с права на равнина). Въпреки това, за да намерите ъгъла на триъгълник, можете също да използвате формулите от горния урок, но грубостта е, че тези формули винаги дават остър ъгъл. С тяхна помощ реших този проблем в чернова и получих резултата. И на окончателното копие ще трябва да напиша допълнителни извинения, че .

4) Напишете уравнение за права, минаваща през точка, успоредна на правата.

Типова задача, разгледана подробно в пример No2 от урока Най-прости задачи с права на равнина. От общото уравнение на правата Нека извадим водещия вектор. Нека създадем уравнение на права линия, използвайки точка и вектор на посоката:

Как да намерим височината на триъгълник?

5) Нека съставим уравнение за височината и да намерим нейната дължина.

Няма бягство от строгите дефиниции, така че ще трябва да крадете от училищен учебник:

Височина на триъгълник се нарича перпендикулярът, прекаран от върха на триъгълника към правата, съдържаща срещуположната страна.

Тоест, необходимо е да се създаде уравнение за перпендикуляр, изтеглен от върха към страната. Тази задача е разгледана в примери № 6, 7 от урока Най-прости задачи с права на равнина. От ур. премахнете нормалния вектор. Нека съставим уравнението на височината, като използваме точка и вектор на посоката:

Моля, обърнете внимание, че не знаем координатите на точката.

Понякога уравнението на височината се намира от съотношението на ъгловите коефициенти на перпендикулярни линии: . В този случай тогава: . Нека съставим уравнението на височината с помощта на точка и ъглов коефициент (вижте началото на урока Уравнение на права на равнина):

Дължината на височината може да се намери по два начина.

Има заобиколен път:

а) намери – пресечната точка на височина и страна;
б) намерете дължината на отсечката, като използвате две известни точки.

Но в час Най-прости задачи с права на равнинабеше разгледана удобна формула за разстоянието от точка до права. Точката е известна: , уравнението на правата също е известно: , По този начин:

6) Изчислете площта на триъгълника. В космоса площта на триъгълника традиционно се изчислява с помощта векторно произведение на вектори, но тук ни е даден триъгълник на равнина. Използваме училищната формула:
– Площта на триъгълник е равна на половината от произведението на неговата основа и неговата височина.

В такъв случай:

Как да намерим медианата на триъгълник?

7) Нека създадем уравнение за медианата.

Медиана на триъгълник нарича сегмент, свързващ върха на триъгълник със средата на противоположната страна.

а) Намерете точката – средата на страната. Ние използваме формули за координатите на средата на отсечка. Координатите на краищата на сегмента са известни: , след това координатите на средата:

По този начин:

Нека съставим уравнението на медианата точка по точка :

За да проверите уравнението, трябва да замените координатите на точките в него.

8) Намерете пресечната точка на височината и медианата. Мисля, че всички вече са се научили как да изпълняват този елемент от фигурното пързаляне, без да падат: