Algebra - OGE. Zadaci sa rješenjem

Sadržaj lekcije

Sabiranje razlomaka sa istim nazivnicima

Sabiranje razlomaka je dvije vrste:

1. Zbrajanje razlomaka sa isti imenioci
2. Sabiranje razlomaka sa različitim nazivnicima

Počnimo sa sabiranjem razlomaka sa istim nazivnicima. Ovdje je sve jednostavno. Da biste sabrali razlomke sa istim nazivnicima, potrebno je sabrati njihove brojioce, a nazivnik ostaviti nepromijenjen. Na primjer, dodajmo razlomke i . Sabiramo brojioce, a imenilac ostavljamo nepromijenjen:

Ovaj primjer se može lako razumjeti ako pomislimo na pizzu koja je podijeljena na četiri dijela. Ako pizzi dodate pizzu, dobijate picu:

Primjer 2 Dodajte razlomke i .

Odgovor je nepravilan razlomak. Ako dođe kraj zadatka, uobičajeno je da se riješite nepravilnih razlomaka. Riješiti se nepravilan razlomak, morate odabrati cijeli dio u njemu. U našem slučaju cijeli dio lako se izdvaja - dva podeljena sa dva jednako je jedan:

Ovaj primjer se može lako razumjeti ako pomislimo na pizzu koja je podijeljena na dva dijela. Ako pizzi dodate više pizza, dobijate jednu cijelu pizzu:

Primjer 3. Dodajte razlomke i .

Opet, zbrojite brojioce, a nazivnik ostavite nepromijenjen:

Ovaj primjer se može lako razumjeti ako pomislimo na pizzu koja je podijeljena na tri dijela. Ako pizzi dodate još pizza, dobijate pizze:

Primjer 4 Pronađite vrijednost izraza

Ovaj primjer je riješen na potpuno isti način kao i prethodni. Brojioci se moraju dodati, a nazivnik ostaviti nepromijenjen:

Pokušajmo dočarati naše rješenje pomoću slike. Ako pizzi dodate pizze i dodate još pizza, dobit ćete 1 cijelu pizzu i više pizza.

Kao što vidite, sabiranje razlomaka sa istim nazivnicima nije teško. Dovoljno je razumjeti sljedeća pravila:

1. Da biste sabrali razlomke sa istim nazivnikom, morate sabrati njihove brojioce, a imenilac ostaviti nepromenjen;

Sabiranje razlomaka sa različitim nazivnicima

Sada ćemo naučiti kako sabirati razlomke s različitim nazivnicima. Prilikom sabiranja razlomaka, nazivnici tih razlomaka moraju biti isti. Ali oni nisu uvijek isti.

Na primjer, razlomci se mogu sabirati jer imaju iste nazivnike.

Ali razlomci se ne mogu odmah zbrajati, jer ti razlomci imaju različiti imenioci. U takvim slučajevima, razlomci se moraju svesti na isti (zajednički) nazivnik.

Postoji nekoliko načina da se razlomci svedu na isti nazivnik. Danas ćemo razmotriti samo jednu od njih, jer se ostale metode za početnika mogu činiti kompliciranima.

Suština ove metode leži u činjenici da se traži prvi (LCM) od nazivnika oba razlomka. Tada se LCM podijeli sa nazivnikom prvog razlomka i dobije se prvi dodatni faktor. Isto rade i sa drugim razlomkom - LCM se podijeli sa nazivnikom drugog razlomka i dobije se drugi dodatni faktor.

Tada se brojnici i imenioci razlomaka množe sa njihovim dodatnim faktorima. Kao rezultat ovih radnji, razlomci koji su imali različite nazivnike pretvaraju se u razlomke koji imaju iste nazivnike. I mi već znamo kako sabirati takve razlomke.

Primjer 1. Dodajte razlomke i

Prije svega, nalazimo najmanji zajednički višekratnik nazivnika oba razlomka. Imenilac prvog razlomka je broj 3, a imenilac drugog razlomka je broj 2. Najmanji zajednički višekratnik ovih brojeva je 6

LCM (2 i 3) = 6

Sada se vratimo na razlomke i . Prvo, LCM podijelimo sa nazivnikom prvog razlomka i dobijemo prvi dodatni faktor. LCM je broj 6, a nazivnik prvog razlomka je broj 3. Podijelimo 6 sa 3, dobićemo 2.

Rezultirajući broj 2 je prvi dodatni faktor. Zapisujemo ga na prvi razlomak. Da bismo to učinili, napravimo malu kosu liniju iznad razlomka i zapišemo pronađeni dodatni faktor iznad nje:

Isto radimo sa drugim razlomkom. LCM podijelimo sa nazivnikom drugog razlomka i dobijemo drugi dodatni faktor. LCM je broj 6, a nazivnik drugog razlomka je broj 2. Podijelimo 6 sa 2, dobićemo 3.

Rezultirajući broj 3 je drugi dodatni faktor. Zapisujemo ga u drugi razlomak. Opet, napravimo malu kosu liniju iznad drugog razlomka i iznad njega upišemo pronađeni dodatni faktor:

Sada smo spremni za dodavanje. Ostaje pomnožiti brojioce i nazivnike razlomaka njihovim dodatnim faktorima:

Pogledajte dobro do čega smo došli. Došli smo do zaključka da su se razlomci koji su imali različite nazivnike pretvorili u razlomke koji imaju iste nazivnike. I mi već znamo kako sabirati takve razlomke. Završimo ovaj primjer do kraja:

Tako se primjer završava. Za dodavanje ispada.

Pokušajmo dočarati naše rješenje pomoću slike. Ako pizzi dodate pizzu, dobijate jednu celu picu i drugu šestinu pice:

Svođenje razlomaka na isti (zajednički) imenilac može se prikazati i pomoću slike. Dovodeći razlomke i na zajednički nazivnik, dobivamo razlomke i . Ove dvije frakcije će biti predstavljene istim kriškama pice. Jedina razlika će biti u tome što će se ovoga puta podijeliti na jednake dijelove (svedene na isti imenilac).

Prvi crtež prikazuje razlomak (četiri komada od šest), a druga slika prikazuje razlomak (tri komada od šest). Spajanjem ovih delova dobijamo (sedam komada od šest). Ovaj razlomak je netačan, pa smo u njemu istakli cijeli broj. Rezultat je bio (jedna cijela pica i još jedna šesta pica).

Imajte na umu da smo ovaj primjer oslikali previše detalja. IN obrazovne institucije nije uobičajeno pisati na tako detaljan način. Morate biti u mogućnosti da brzo pronađete LCM za oba nazivnika i dodatne faktore za njih, kao i brzo pomnožite dodatne faktore koje pronađu vaši brojnici i imenioci. Dok smo bili u školi, morali bismo ovaj primjer napisati na sljedeći način:

Ali postoji i stražnja strana medalje. Ako se na prvim fazama izučavanja matematike ne prave detaljne bilješke, onda pitanja te vrste “Odakle taj broj?”, “Zašto se razlomci odjednom pretvaraju u potpuno različite razlomke? «.

Da biste olakšali sabiranje razlomaka s različitim nazivnicima, možete koristiti sljedeće upute korak po korak:

1. Naći LCM nazivnika razlomaka;
2. Podijelite LCM sa nazivnikom svakog razlomka i dobijete dodatni množitelj za svaki razlomak;
3. Pomnožite brojioce i nazivnike razlomaka njihovim dodatnim faktorima;
4. Dodajte razlomke koji imaju iste nazivnike;
5. Ako se ispostavi da je odgovor nepravilan razlomak, odaberite cijeli njegov dio;

Primjer 2 Pronađite vrijednost izraza .

Koristimo gornje upute.

Korak 1. Pronađite LCM nazivnika razlomaka

Naći LCM nazivnika oba razlomka. Imenioci razlomaka su brojevi 2, 3 i 4

Korak 2. Podijelite LCM sa nazivnikom svakog razlomka i dobijete dodatni množitelj za svaki razlomak

LCM podijelite sa nazivnikom prvog razlomka. LCM je broj 12, a nazivnik prvog razlomka je broj 2. Podijelimo 12 sa 2, dobićemo 6. Dobili smo prvi dodatni faktor 6. Zapisujemo ga preko prvog razlomka:

Sada dijelimo LCM sa nazivnikom drugog razlomka. LCM je broj 12, a nazivnik drugog razlomka je broj 3. Podijelimo 12 sa 3, dobićemo 4. Dobili smo drugi dodatni faktor 4. Zapisujemo ga preko drugog razlomka:

Sada dijelimo LCM sa nazivnikom trećeg razlomka. LCM je broj 12, a nazivnik trećeg razlomka je broj 4. Podijelimo 12 sa 4, dobićemo 3. Dobili smo treći dodatni faktor 3. Zapisujemo ga preko trećeg razlomka:

Korak 3. Pomnožite brojioce i nazivnike razlomaka vašim dodatnim faktorima

Množimo brojioce i nazivnike našim dodatnim faktorima:

Korak 4. Dodajte razlomke koji imaju iste nazivnike

Došli smo do zaključka da su se razlomci koji su imali različite nazivnike pretvorili u razlomke koji imaju iste (zajedničke) nazivnike. Ostaje dodati ove razlomke. Dodaj:

Dodatak nije stao u jedan red, pa smo preostali izraz premjestili u sljedeći red. Ovo je dozvoljeno u matematici. Kada izraz ne stane u jedan red, on se prenosi u sljedeći red, a potrebno je staviti znak jednakosti (=) na kraj prvog reda i na početak novog reda. Znak jednakosti u drugom redu označava da je ovo nastavak izraza koji je bio u prvom redu.

Korak 5. Ako se ispostavi da je odgovor nepravilan razlomak, odaberite cijeli dio u njemu

Naš odgovor je nepravilan razlomak. Moramo izdvojiti cijeli dio toga. Ističemo:

Imam odgovor

Oduzimanje razlomaka sa istim nazivnicima

Postoje dvije vrste oduzimanja razlomaka:

1. Oduzimanje razlomaka sa istim nazivnicima
2. Oduzimanje razlomaka sa različitim nazivnicima

Prvo, naučimo kako oduzimati razlomke s istim nazivnicima. Ovdje je sve jednostavno. Da biste oduzeli drugi od jednog razlomka, potrebno je da oduzmete brojilac drugog razlomka od brojnika prvog razlomka, a nazivnik ostane isti.

Na primjer, pronađimo vrijednost izraza . Da biste riješili ovaj primjer, potrebno je od brojnika prvog razlomka oduzeti brojilac drugog razlomka, a nazivnik ostaviti nepromijenjen. Uradimo ovo:

Ovaj primjer se može lako razumjeti ako pomislimo na pizzu koja je podijeljena na četiri dijela. Ako od pizze izrežete pice, dobijate pizze:

Primjer 2 Pronađite vrijednost izraza .

Ponovo, od brojila prvog razlomka, oduzmite brojilac drugog razlomka i ostavite imenilac nepromijenjen:

Ovaj primjer se može lako razumjeti ako pomislimo na pizzu koja je podijeljena na tri dijela. Ako od pizze izrežete pice, dobijate pizze:

Primjer 3 Pronađite vrijednost izraza

Ovaj primjer je riješen na potpuno isti način kao i prethodni. Od brojila prvog razlomka potrebno je oduzeti brojioce preostalih razlomaka:

Kao što vidite, nema ništa komplikovano u oduzimanju razlomaka sa istim nazivnicima. Dovoljno je razumjeti sljedeća pravila:

1. Da biste oduzeli drugi od jednog razlomka, potrebno je da oduzmete brojilac drugog razlomka od brojnika prvog razlomka, a imenilac ostane nepromijenjen;
2. Ako se ispostavi da je odgovor nepravilan razlomak, tada morate odabrati cijeli dio u njemu.

Oduzimanje razlomaka sa različitim nazivnicima

Na primjer, razlomak se može oduzeti od razlomka, jer ti razlomci imaju iste nazivnike. Ali razlomak se ne može oduzeti od razlomka, jer ti razlomci imaju različite nazivnike. U takvim slučajevima, razlomci se moraju svesti na isti (zajednički) nazivnik.

Zajednički imenilac se nalazi po istom principu koji smo koristili pri sabiranju razlomaka sa različitim nazivnicima. Prije svega, pronađite LCM nazivnika oba razlomka. Zatim se LCM podijeli sa nazivnikom prvog razlomka i dobije se prvi dodatni faktor koji se zapisuje preko prvog razlomka. Slično, LCM se dijeli sa nazivnikom drugog razlomka i dobije se drugi dodatni faktor, koji se zapisuje preko drugog razlomka.

Razlomci se zatim množe sa njihovim dodatnim faktorima. Kao rezultat ovih operacija, razlomci koji imaju različite nazivnike pretvaraju se u razlomke koji imaju iste nazivnike. I već znamo kako da oduzmemo takve razlomke.

Primjer 1 Pronađite vrijednost izraza:

Ovi razlomci imaju različite nazivnike, tako da ih morate dovesti u isti (zajednički) imenilac.

Prvo, nalazimo LCM nazivnika oba razlomka. Imenilac prvog razlomka je broj 3, a imenilac drugog razlomka je broj 4. Najmanji zajednički višekratnik ovih brojeva je 12

LCM (3 i 4) = 12

Sada se vratimo na razlomke i

Nađimo dodatni faktor za prvi razlomak. Da bismo to učinili, LCM podijelimo sa nazivnikom prvog razlomka. LCM je broj 12, a nazivnik prvog razlomka je broj 3. Podijelimo 12 sa 3, dobićemo 4. Zapisujemo četiri preko prvog razlomka:

Isto radimo i sa drugim razlomkom. LCM dijelimo sa nazivnikom drugog razlomka. LCM je broj 12, a nazivnik drugog razlomka je broj 4. Podijelimo 12 sa 4, dobićemo 3. Napiši trojku preko drugog razlomka:

Sada smo spremni za oduzimanje. Ostaje pomnožiti razlomke njihovim dodatnim faktorima:

Došli smo do zaključka da su se razlomci koji su imali različite nazivnike pretvorili u razlomke koji imaju iste nazivnike. I već znamo kako da oduzmemo takve razlomke. Završimo ovaj primjer do kraja:

Imam odgovor

Pokušajmo dočarati naše rješenje pomoću slike. Ako od pice izrežete pice, dobijate pice.

Ovo je detaljna verzija rješenja. Dok smo u školi, morali bismo ovaj primjer riješiti na kraći način. Takvo rješenje bi izgledalo ovako:

Smanjenje razlomaka i na zajednički nazivnik također se može prikazati pomoću slike. Dovodeći ove razlomke na zajednički nazivnik, dobivamo razlomke i . Ovi razlomci će biti predstavljeni istim kriškama pice, ali ovaj put će biti podijeljeni na iste razlomke (svedene na isti nazivnik):

Prvi crtež prikazuje razlomak (osam komada od dvanaest), a druga slika prikazuje razlomak (tri komada od dvanaest). Odsijecanjem tri komada od osam komada, dobijamo pet komada od dvanaest. Razlomak opisuje ovih pet komada.

Primjer 2 Pronađite vrijednost izraza

Ovi razlomci imaju različite nazivnike, tako da ih prvo morate dovesti do istog (zajedničkog) nazivnika.

Naći LCM nazivnika ovih razlomaka.

Imenioci razlomaka su brojevi 10, 3 i 5. Najmanji zajednički višekratnik ovih brojeva je 30

LCM(10, 3, 5) = 30

Sada nalazimo dodatne faktore za svaki razlomak. Da bismo to učinili, LCM podijelimo sa nazivnikom svakog razlomka.

Nađimo dodatni faktor za prvi razlomak. LCM je broj 30, a nazivnik prvog razlomka je broj 10. Podijelimo 30 sa 10, dobićemo prvi dodatni faktor 3. Zapisujemo ga preko prvog razlomka:

Sada nalazimo dodatni faktor za drugi razlomak. LCM podijelite sa nazivnikom drugog razlomka. LCM je broj 30, a nazivnik drugog razlomka je broj 3. Podijelimo 30 sa 3, dobićemo drugi dodatni faktor 10. Zapisujemo ga preko drugog razlomka:

Sada nalazimo dodatni faktor za treći razlomak. LCM podijelite sa nazivnikom trećeg razlomka. LCM je broj 30, a nazivnik trećeg razlomka je broj 5. Podijelimo 30 sa 5, dobićemo treći dodatni faktor 6. Zapisujemo ga preko trećeg razlomka:

Sada je sve spremno za oduzimanje. Ostaje pomnožiti razlomke njihovim dodatnim faktorima:

Došli smo do zaključka da su se razlomci koji su imali različite nazivnike pretvorili u razlomke koji imaju iste (zajedničke) nazivnike. I već znamo kako da oduzmemo takve razlomke. Završimo ovaj primjer.

Nastavak primjera neće stati u jedan red, pa ćemo nastavak premjestiti na sljedeći red. Ne zaboravite na znak jednakosti (=) na novom redu:

Ispostavilo se da je odgovor tačan razlomak, i čini se da nam sve odgovara, ali je preglomazno i ​​ružno. Trebali bismo olakšati. Šta se može učiniti? Možete smanjiti ovu frakciju.

Da biste smanjili razlomak, trebate podijeliti njegov brojilac i nazivnik sa (gcd) brojevima 20 i 30.

Dakle, nalazimo GCD brojeva 20 i 30:

Sada se vraćamo na naš primjer i dijelimo brojnik i nazivnik razlomka sa pronađenim GCD, odnosno sa 10

Imam odgovor

Množenje razlomka brojem

Da biste pomnožili razlomak brojem, potrebno je pomnožiti brojilac datog razlomka sa ovim brojem, a imenilac ostaviti isti.

Primjer 1. Pomnožite razlomak brojem 1.

Pomnožite brojilac razlomka brojem 1

Unos se može shvatiti kao da je potrebno pola puta. Na primjer, ako uzmete pizzu 1 put, dobićete pizzu

Iz zakona množenja znamo da ako se množilac i množilac zamijene, onda se proizvod neće promijeniti. Ako je izraz napisan kao , tada će proizvod i dalje biti jednak . Opet radi pravilo za množenje cijelog broja i razlomka:

Ovaj unos se može shvatiti kao uzimanje polovine jedinice. Na primjer, ako postoji 1 cijela pizza i uzmemo polovinu, onda ćemo imati pizzu:

Primjer 2. Pronađite vrijednost izraza

Pomnožite brojilac razlomka sa 4

Odgovor je nepravilan razlomak. Uzmimo cijeli dio toga:

Izraz se može shvatiti kao uzimanje dvije četvrtine 4 puta. Na primjer, ako uzmete pizze 4 puta, dobićete dvije cijele pizze.

A ako zamijenimo množitelj i množilac na mjestima, dobićemo izraz. Također će biti jednako 2. Ovaj izraz se može shvatiti kao uzimanje dvije pice od četiri cijele pice:

Množenje razlomaka

Da biste pomnožili razlomke, morate pomnožiti njihove brojioce i nazivnike. Ako je odgovor nepravilan razlomak, u njemu morate odabrati cijeli dio.

Primjer 1 Pronađite vrijednost izraza .

Imam odgovor. Poželjno je smanjiti dati razlomak. Razlomak se može smanjiti za 2. Tada konačna odlukaće poprimiti sljedeći oblik:

Izraz se može shvatiti kao uzimanje pice od pola pice. Recimo da imamo pola pice:

Kako uzeti dvije trećine od ove polovine? Prvo morate ovu polovinu podijeliti na tri jednaka dijela:

I uzmi dva od ova tri komada:

Idemo po pizzu. Zapamtite kako izgleda pica podijeljena na tri dijela:

Jedna kriška ove pizze i dvije kriške koje smo uzeli imat će iste dimenzije:

Drugim riječima, mi pričamo pizza otprilike iste veličine. Dakle, vrijednost izraza je

Primjer 2. Pronađite vrijednost izraza

Pomnoži brojilac prvog razlomka brojinikom drugog razlomka, a nazivnik prvog razlomka imeniocem drugog razlomka:

Odgovor je nepravilan razlomak. Uzmimo cijeli dio toga:

Primjer 3 Pronađite vrijednost izraza

Pomnoži brojilac prvog razlomka brojinikom drugog razlomka, a nazivnik prvog razlomka imeniocem drugog razlomka:

Ispostavilo se da je odgovor tačan razlomak, ali će biti dobro ako se smanji. Da biste smanjili ovaj razlomak, trebate podijeliti brojilac i nazivnik ovog razlomka najvećim zajedničkim djeliteljem (GCD) brojeva 105 i 450.

Dakle, pronađimo GCD brojeva 105 i 450:

Sada dijelimo brojnik i nazivnik našeg odgovora na GCD koji smo sada pronašli, to jest, sa 15

Predstavljanje cijelog broja kao razlomak

Bilo koji cijeli broj može se predstaviti kao razlomak. Na primjer, broj 5 može biti predstavljen kao . Iz ovoga, pet neće promijeniti svoje značenje, jer izraz znači "broj pet podijeljen s jednim", a ovo je, kao što znate, jednako pet:

Obrnuti brojevi

Sada ćemo se upoznati sa zanimljiva tema u matematici. To se zove "obrnuti brojevi".

Definicija. Obrnuto na broja je broj koji, kada se pomnoži saa daje jedinicu.

Zamijenimo u ovoj definiciji umjesto varijable a broj 5 i pokušajte pročitati definiciju:

Obrnuto na broj 5 je broj koji, kada se pomnoži sa 5 daje jedinicu.

Da li je moguće pronaći broj koji, kada se pomnoži sa 5, daje jedan? Ispostavilo se da možeš. Hajde da predstavimo pet kao razlomak:

Zatim pomnožite ovaj razlomak sam po sebi, samo zamijenite brojilac i imenilac. Drugim riječima, pomnožimo razlomak sam po sebi, samo obrnuto:

Šta će biti rezultat ovoga? Ako nastavimo rješavati ovaj primjer, dobićemo jedan:

To znači da je inverz od broja 5 broj, jer kada se 5 pomnoži sa jedan, dobije se jedan.

Recipročna vrijednost se također može naći za bilo koji drugi cijeli broj.

Također možete pronaći recipročnu vrijednost za bilo koji drugi razlomak. Da biste to učinili, dovoljno ga je okrenuti.

Podjela razlomka brojem

Recimo da imamo pola pice:

Podijelimo ga podjednako na dvoje. Koliko će pica dobiti svaki?

Vidi se da su nakon cijepanja polovine pizze dobijena dva jednaka komada od kojih svaki čini pizzu. Tako da svi dobiju pizzu.

Podjela razlomaka se vrši korištenjem recipročnih vrijednosti. Recipročne vrijednosti vam omogućavaju da zamijenite dijeljenje množenjem.

Da biste razlomak podijelili brojem, trebate ovaj razlomak pomnožiti recipročnom vrijednosti djelitelja.

Koristeći ovo pravilo, zapisaćemo podjelu naše polovice pizze na dva dijela.

Dakle, trebate podijeliti razlomak brojem 2. Ovdje je dividenda razlomak, a djelitelj je 2.

Da biste razlomak podijelili brojem 2, trebate ovaj razlomak pomnožiti recipročnom vrijednosti djelitelja 2. Recipročna vrijednost djelitelja 2 je razlomak. Dakle, morate pomnožiti sa

1. Pravilo za sabiranje razlomaka sa istim nazivnicima:

Primjer 1:

Primjer 2:

Pravilo za sabiranje razlomaka sa različitim nazivnicima:

Primjer 1:

Primjer 2:

Ovdje nazivnici nisu množeni, već je uzet najmanji zajednički faktor a2.
(Imenilac je najveći stepen 2.)
Dodatni množitelj za prvi razlomak 1, za drugi a.

2. Pravilo za oduzimanje razlomaka sa istim nazivnicima:

Pravilo za oduzimanje razlomaka sa različitim nazivnicima:

3. Pravilo za množenje običnih razlomaka:

4. Pravilo za dijeljenje razlomaka:

primjer:

Obični (prosti) razlomak. Brojilac i imenilac razlomka.
Pravilan i nepravilan razlomak. Mješoviti broj.
Nepotpuni količnik. Cjelobrojni i razlomački dio. Obrnuti razlomci. Dio jedinice ili nekoliko njenih dijelova naziva se običan ili prosti razlomak. Količina jednaki dijelovi, na koji je jedinica podijeljena, naziva se nazivnik, a broj uzetih dijelova naziva se brojnik. Razlomak se piše kao:

Ovdje je 3 brojnik, 7 je imenilac.

Ako je brojilac manje od imenioca, tada se naziva razlomak manji od 1 pravilan razlomak . Ako je brojilac jednak nazivniku, tada je razlomak 1. Ako je brojilac veći od nazivnika, tada je razlomak veći od 1. U oba nedavni slučajevi razlomak se naziva nepravilnim. Ako je brojilac djeljiv sa nazivnikom, onda je ovaj razlomak jednak količniku: 63 / 7 = 9. Ako se dijeljenje izvrši s ostatkom, onda se ovaj nepravilan razlomak može predstaviti mješoviti broj:

Evo 9 - nepotpuni količnik(celobrojni deo mešovitog broja), 2 je ostatak (brojilac razlomka), 7 je imenilac.
Često je potrebno odlučiti inverzni problem – obrnuti mješoviti broj u djelić. Da biste to učinili, pomnožite cijeli dio mješovitog broja sa nazivnikom i dodajte brojnik razlomka. Ovo će biti brojnik običnog razlomka, a imenilac ostaje isti.

Recipročne vrijednosti su dva razlomka čiji je proizvod 1. Na primjer, 3/7 i 7/3; 15/1 i 1/15 itd.

Ekspanzija frakcija. Smanjenje frakcije. Poređenje frakcija.
Svođenje na zajednički imenilac. Sabiranje i oduzimanje razlomci.
Množenje razlomaka. Podjela razlomaka
Ekspanzija frakcija.Vrijednost razlomka se ne mijenja ako se njegov brojnik i nazivnik pomnože sa istim brojem koji nije nula tako što se razlomak proširi. Na primjer,

Smanjenje frakcije. Vrijednost razlomka se ne mijenja ako se njegov brojnik i imenilac podijele istim brojem koji nije nula.. Ova transformacija se zovesmanjenje frakcije. Na primjer,

Poređenje frakcija.Od dva razlomka sa istim brojiocem, veći je onaj sa manjim nazivnikom:

Od dva razlomka sa istim nazivnicima, veći je onaj sa većim brojnikom:

Da biste uporedili razlomke koji imaju različite brojioce i nazivnike, morate ih proširiti kako biste ih doveli do zajedničkog nazivnika.
PRIMJER Uporedite dva razlomka:

Transformacija koja se ovdje koristi se zove svođenje razlomaka na zajednički nazivnik.
Sabiranje i oduzimanje razlomaka.Ako su nazivnici razlomaka isti, onda da biste zbrali razlomke, morate sabrati njihove brojioce, a da biste oduzeli razlomke, potrebno je oduzeti njihove brojioce (istim redoslijedom). Rezultirajući zbir ili razlika bit će brojnik rezultata; imenilac će ostati isti. Ako su nazivnici razlomaka različiti, prvo morate svesti razlomke na zajednički nazivnik. Kada se doda mešoviti brojevi njihovi cjelobrojni i razlomci se zbrajaju zasebno. Prilikom oduzimanja mješovitih brojeva, preporučujemo da ih prvo pretvorite u oblik nepravilnih razlomaka, zatim oduzmete jedan od drugog, a zatim opet svedete rezultat, ako je potrebno, u oblik mješovitog broja.
PRIMJER

Množenje razlomaka.Pomnožiti broj razlomkom znači pomnožiti ga brojilom i podijeliti proizvod sa nazivnikom. Dakle, imamo opšte pravilo množenje razlomaka:da biste pomnožili razlomke, morate posebno pomnožiti njihove brojnike i nazivnike i prvi proizvod podijeliti drugim.
PRIMJER
Podjela razlomaka. Da bi se određeni broj podijelio razlomkom, potrebno je ovaj broj pomnožiti recipročnim, ovo pravilo proizilazi iz definicije dijeljenja (vidi odjeljak „Aritmetičke operacije“).
PRIMJER

Decimala. Cijeli dio. Decimala.
Decimale. Svojstva decimalnih razlomaka.
Periodična decimala. Period
Decimalaje rezultat dijeljenja jedan sa deset, sto, hiljadu, itd. dijelovi. Ovi razlomci su vrlo zgodni za proračune, jer su zasnovani na istom pozicionom sistemu na kojem se gradi računanje i zapis cijelih brojeva. Zbog toga su notacija i pravila za decimale zapravo ista kao i za cijele brojeve. Prilikom pisanja decimalnih razlomaka nije potrebno označavati imenilac, to je određeno mjestom koje odgovarajuća figura zauzima. Prvo spelovano cijeli dio brojeve, a zatim stavite na desnu stranudecimalni zarez. Prva cifra iza decimalnog zareza označava broj desetinki, druga - broj stotinki, treća - broj hiljaditih, itd. Pozivaju se brojevi iza decimalnog zarezadecimalna mjesta.
PRIMJER
Jedna od prednosti decimalnih razlomaka je ta što se lako pretvaraju u obične razlomke: broj iza decimalnog zareza (u našem slučaju 5047) je brojilac; imenilac je jednak n -. stepen 10, gdje n - broj decimalnih mjesta (u našem slučaju n = 4):
Ako decimalni razlomak ne sadrži cijeli broj, tada se nula stavlja ispred decimalnog zareza:

Svojstva decimalnih razlomaka.

1. Decimala se ne mijenja ako se nule dodaju desno:

2. Decimalni razlomak se ne mijenja ako uklonite nule koje se nalaze
na kraju decimalni razlomak :

0.00123000 = 0.00123 .

Pažnja!Ne možete izbrisati nule koje se nalaze ne na kraju decimalni!br />

Ova svojstva vam omogućavaju da brzo množite i dijelite decimale sa 10, 100, 1000 itd.

Periodična decimala sadrži beskonačno ponavljajuću grupu cifara koja se naziva tačka. Period se piše u zagradama. Na primjer, 0,12345123451234512345… = 0.(12345).

PRIMJER Ako podijelimo 47 sa 11, dobićemo 4,27272727… = 4.(27).

Množenje decimala.
Podjela decimala.

Zbrajanje i oduzimanje decimalnih razlomaka. Ove operacije se izvode na isti način kao sabiranje i oduzimanje cijelih brojeva. Potrebno je samo napisati odgovarajuće decimale jedno ispod drugog.
PRIMJER

Množenje decimala. U prvom koraku množimo decimalne razlomke kao cijele brojeve, ne uzimajući u obzir decimalni zarez. Zatim se primjenjuje sljedeće pravilo: broj decimalnih mjesta u proizvodu jednak je zbiru decimalnih mjesta u svim faktorima.
Napomena: prije nego što unesete decimalni zarezNe možete ispustiti nule na kraju proizvoda!
PRIMJER

Zbir brojeva decimalnih mjesta u faktorima je: 3 + 4 = 7. Zbir cifara u proizvodu je 6. Dakle, trebate dodati jednu nulu lijevo: 0197056 i staviti decimalni zarez ispred od toga: 0,0197056.
Decimalna podjela
Podijelite decimalu cijelim brojem
Ako dividenda manji djelitelj , upisujemo nulu u cijeli broj količnika i stavljamo decimalni zarez nakon nje. Zatim, ne uzimajući u obzir decimalni zarez dividende, dodajemo sljedeću cifru razlomka na njegov cijeli broj i ponovo uspoređujemo rezultirajući cijeli broj dividende sa djeliteljem. Ako je novi broj opet manji od djelitelja, stavite još jednu nulu iza decimalnog zareza u količnik i sljedeću cifru njegovog razlomka dodajte cijelom dijelu dividende. Ovaj proces se ponavlja sve dok rezultujuća dividenda ne postane veća od djelitelja. Nakon toga se vrši dijeljenje kao za cijele brojeve. Ako dividenda je veća ili jednaka djelitelju, prvo podijelimo njegov cijeli broj, upišemo rezultat dijeljenja privatno i stavimo decimalni zarez. Nakon toga, dijeljenje se nastavlja, kao u slučaju cijelih brojeva.
PRIMJER Podijelite 1,328 sa 64.
Rješenje:
Podjela jednog decimalnog razlomka drugim.
Prvo prenosimo decimalne točke u dividendi i djelitelju na broj decimalnih mjesta u djelitelju, odnosno činimo djelitelj cijelim brojem. Sada vršimo podjelu, kao u prethodnom slučaju.
PRIMJER Podijelite 0,04569 sa 0,0006.
Rješenje: Pomaknite decimalne zareze 4 mjesta udesno i podijelite 456,9 sa 6:

Da biste decimalni razlomak pretvorili u običan razlomak, trebate uzeti broj iza decimalne zapete kao brojilac, a kao imenilac uzeti n-ti stepen desetice (ovdje je n broj decimalnih mjesta). Cijeli dio različit od nule je sačuvan u običnom razlomku; nulti cijeli broj je izostavljen. Na primjer:
Da biste običan razlomak pretvorili u decimalu, podijelite brojilac sa nazivnikom prema pravilima dijeljenja..
PRIMJER Pretvorite 5/8 u decimalu.
Rešenje: Deljenjem 5 sa 8 dobija se 0,625. (Provjerite, molim!).
U većini slučajeva, ovaj proces se može nastaviti neograničeno. Tada je nemoguće precizno pretvoriti običan razlomak u decimalu. Ali u praksi to nikada nije potrebno. Podjela se prekida ako su decimalna mjesta od interesa već primljena.
PRIMJER Pretvorite 1/3 u decimalu.
Rešenje: Deljenje 1 sa 3 biće beskonačno: 1:3 = 0,3333… .
Molim vas pogledajte!

Množenje i dijeljenje razlomaka.

Pažnja!
Postoje dodatni
materijal u Posebnom dijelu 555.
Za one koji snažno "ne baš..."
I za one koji "jako...")

Ova operacija je mnogo ljepša od sabiranja-oduzimanja! Jer je lakše. Podsjećam vas: da biste pomnožili razlomak razlomkom, morate pomnožiti brojioce (ovo će biti brojnik rezultata) i nazivnike (ovo će biti imenilac). To je:

Na primjer:

Sve je krajnje jednostavno. I molim te ne gledaj zajednički imenilac! Ne treba ovde...

Da biste podijelili razlomak s razlomkom, trebate preokrenuti sekunda(ovo je važno!) razlomite i pomnožite ih, tj.:

Na primjer:

Ako se množenje ili dijeljenje s cijelim brojevima i razlomcima uhvati, u redu je. Kao i kod sabiranja, pravimo razlomak od cijelog broja s jedinicom u nazivniku - i idemo! Na primjer:

U srednjoj školi često morate da imate posla sa trospratnim (ili čak četvorospratnim!) razlomcima. Na primjer:

Kako dovesti ovaj razlomak u pristojan oblik? Da, vrlo lako! Koristite podjelu na dvije tačke:

Ali ne zaboravite na red podjele! Za razliku od množenja, ovo je ovdje vrlo važno! Naravno, nećemo brkati 4:2 ili 2:4. Ali u trospratnom razlomku lako je pogriješiti. Imajte na umu, na primjer:

U prvom slučaju (izraz s lijeve strane):

U drugom (izraz desno):

Osjetite razliku? 4 i 1/9!

Koji je redoslijed podjele? Ili zagrade, ili (kao ovdje) dužina horizontalnih crtica. Razvijte oko. A ako nema zagrada ili crtica, kao:

onda podijeli-množi redom, s lijeva na desno!

I još jedan vrlo jednostavan i važan trik. U akcijama sa diplomama dobro će vam doći! Podijelimo jedinicu bilo kojim razlomkom, na primjer, sa 13/15:

Šut se preokrenuo! I to se uvijek desi. Kada se 1 dijeli bilo kojim razlomkom, rezultat je isti razlomak, samo obrnut.

To su sve akcije sa razlomcima. Stvar je prilično jednostavna, ali daje više nego dovoljno grešaka. Bilješka praktični saveti, i one (greške) će biti manje!

Praktični savjeti:

1. Najvažnija stvar pri radu sa frakcijskim izrazima je tačnost i pažnja! Nije uobičajene riječi, ne dobre želje! Ovo je ozbiljna potreba! Uradite sve proračune na ispitu kao potpuni zadatak, koncentrisano i jasno. Bolje je napisati dva dodatna reda u nacrtu nego da zabrljate pri računanju u svojoj glavi.

2. U primjerima sa različite vrste razlomci - idite na obične razlomke.

3. Smanjujemo sve razlomke do kraja.

4. Višespratnica frakcioni izrazi svodimo na obične koristeći dijeljenje kroz dvije točke (pratimo redoslijed dijeljenja!).

5. Jedinicu dijelimo na razlomak u svom umu, jednostavnim okretanjem razlomka.

Evo zadataka koje trebate obaviti. Odgovori se daju nakon svih zadataka. Koristite materijale ove teme i praktične savjete. Procijenite koliko primjera biste mogli točno riješiti. Prvi put! Bez kalkulatora! I izvući prave zaključke...

Zapamtite tačan odgovor dobijeno iz drugog (naročito trećeg) puta - ne računa se! Takav je surov život.

dakle, rješavati u ispitnom načinu ! Ovo je, inače, priprema za ispit. Rješavamo primjer, provjeravamo, rješavamo sljedeće. Odlučili smo sve - ponovo smo provjerili od prvog do posljednjeg. Ali samo Onda pogledajte odgovore.

Izračunati:

Jeste li odlučili?

Tražite odgovore koji odgovaraju vašim. Ja sam ih konkretno zapisao u neredu, daleko od iskušenja, da tako kažem... Evo ih, odgovora, zapisanih sa tačkom i zarezom.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

I sada donosimo zaključke. Ako je sve uspjelo - sretno za vas! Elementarni proračuni sa razlomcima nisu vaš problem! Može više ozbiljne stvari. Ako ne...

Dakle, imate jedan od dva problema. Ili oboje odjednom.) Nedostatak znanja i (ili) nepažnja. Ali ovo rješivo Problemi.

Ako vam se sviđa ovaj sajt...

Inače, imam još par zanimljivih stranica za vas.)

Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoj nivo. Testiranje sa trenutnom verifikacijom. Učenje - sa interesovanjem!)

možete se upoznati sa funkcijama i izvedenicama.

Radnje sa razlomcima. U ovom članku ćemo analizirati primjere, sve je detaljno s objašnjenjima. Mi ćemo razmotriti obični razlomci. U budućnosti ćemo analizirati decimale. Preporučujem da gledate u celini i da proučavate uzastopno.

1. Zbir razlomaka, razlika razlomaka.

Pravilo: kada se zbrajaju razlomci s jednakim nazivnicima, rezultat je razlomak - čiji nazivnik ostaje isti, a brojilac će biti jednak je zbiru brojači razlomaka.

Pravilo: pri izračunavanju razlike razlomaka sa istim nazivnicima dobijamo razlomak - imenilac ostaje isti, a brojnik drugog se oduzima od brojnika prvog razlomka.

Formalni zapis zbira i razlike razlomaka sa jednakim nazivnicima:

Primjeri (1):

Jasno je da kada se daju obični razlomci, onda je sve jednostavno, ali ako su pomiješani? Ništa komplikovano...

Opcija 1- možete ih pretvoriti u obične i onda ih izračunati.

Opcija 2- možete odvojeno "raditi" sa cijelim i razlomkom.

Primjeri (2):

Više:

I ako je razlika dva miješane frakcije a brojilac prvog razlomka bit će manji od brojnika drugog? Takođe se može uraditi na dva načina.

Primjeri (3):

* Prevedeno u obične razlomke, izračunalo razliku, pretvorilo rezultirajući nepravilni razlomak u mješoviti.

* Podijeljen na cjelobrojne i razlomke, dobio tri, zatim predstavio 3 kao zbir 2 i 1, sa jedinicom predstavljenom kao 11/11, zatim pronašao razliku između 11/11 i 7/11 i izračunao rezultat. Smisao gornjih transformacija je uzeti (odabrati) jedinicu i prikazati je kao razlomak sa nazivnikom koji nam je potreban, a onda od ovog razlomka već možemo oduzeti drugi.

Drugi primjer:

Zaključak: postoji univerzalni pristup - da bi se izračunao zbir (razlika) mješovitih razlomaka s jednakim nazivnicima, oni se uvijek mogu pretvoriti u nepravilne, a zatim izvršiti potrebnu radnju. Nakon toga, ako kao rezultat dobijemo nepravilan razlomak, prevodimo ga u mješoviti.

Iznad smo pogledali primjere sa razlomcima koji imaju jednake nazivnike. Šta ako se imenioci razlikuju? U ovom slučaju, razlomci se svode na isti nazivnik i izvodi se navedena radnja. Za promjenu (transformaciju) razlomka koristi se glavno svojstvo razlomka.

Razmotrite jednostavne primjere:

U ovim primjerima odmah vidimo kako se jedan od razlomaka može pretvoriti da dobijemo jednake nazivnike.

Ako odredimo načine za smanjenje razlomaka na jedan nazivnik, onda će se ovaj zvati METODA PRVA.

Odnosno, odmah kada "procjenjujete" razlomak, morate shvatiti da li će takav pristup funkcionirati - provjeravamo da li je veći imenilac djeljiv manjim. A ako se podijeli, onda izvršimo transformaciju - množimo brojnik i nazivnik tako da imenioci oba razlomka postanu jednaki.

Sada pogledajte ove primjere:

Ovaj pristup se ne odnosi na njih. Postoje i drugi načini za smanjenje razlomaka na zajednički nazivnik, razmotrite ih.

Metoda DRUGA.

Pomnožite brojilac i imenilac prvog razlomka sa imeniocem drugog, a brojnik i imenilac drugog razlomka sa imeniocem prvog:

*U stvari, razlomke dovodimo u oblik kada imenioci postanu jednaki. Zatim koristimo pravilo sabiranja plašljivih s jednakim nazivnicima.

primjer:

*Ova metoda se može nazvati univerzalnom i uvijek radi. Jedina negativna stvar je da se nakon izračunavanja može ispostaviti razlomak koji će se morati dodatno smanjiti.

Razmotrimo primjer:

Vidi se da su brojilac i imenilac djeljivi sa 5:

Metoda TREĆA.

Naći najmanji zajednički višekratnik (LCM) nazivnika. Ovo će biti zajednički imenitelj. Koji je ovo broj? Ovo je najmanji prirodan broj koji je djeljiv sa svakim od brojeva.

Gledajte, evo dva broja: 3 i 4, ima mnogo brojeva koji su djeljivi sa njima - ovo su 12, 24, 36, ... Najmanji od njih je 12. Ili 6 i 15, 30, 60, 90 su djeljivo sa njima.... Najmanje 30. Pitanje - kako odrediti ovaj najmanji zajednički višekratnik?

Postoji jasan algoritam, ali često se to može učiniti odmah bez kalkulacija. Na primjer, prema gornjim primjerima (3 i 4, 6 i 15) nije potreban algoritam, uzeli smo velike brojeve (4 i 15), udvostručili ih i vidjeli da su djeljivi sa drugim brojem, ali parovi brojeva mogu biti i drugi, kao što su 51 i 119.

Algoritam. Da biste odredili najmanji zajednički višekratnik nekoliko brojeva, morate:

- proširi svaki od brojeva u JEDNOSTAVNI množitelji

- napišite dekompoziciju VEĆEG od njih

- pomnožite ga sa faktorima koji nedostaju drugih brojeva

Razmotrimo primjere:

50 i 60 50 = 2∙5∙5 60 = 2∙2∙3∙5

u raspadanju više nedostaje jedna petica

=> LCM(50,60) = 2∙2∙3∙5∙5 = 300

48 i 72 48 = 2∙2∙2∙2∙3 72 = 2∙2∙2∙3∙3

u proširenju većeg broja nedostaju dva i tri

=> LCM(48,72) = 2∙2∙2∙2∙3∙3 = 144

* Najmanji zajednički višekratnik dva primarni brojevi jednak njihovom proizvodu

Pitanje! I zašto je korisno pronaći najmanji zajednički višekratnik, jer možete koristiti drugu metodu i jednostavno smanjiti rezultujući razlomak? Da, možete, ali nije uvijek zgodno. Pogledajte koliki će biti imenilac za brojeve 48 i 72 ako ih jednostavno pomnožite 48∙72 = 3456. Složite se da je ugodnije raditi s manjim brojevima.

Razmotrimo primjere:

*51 = 3∙17 119 = 7∙17

u proširenju većeg broja nedostaje trojka

=> LCM(51,119) = 3∙7∙17

I sada primjenjujemo prvu metodu:

* Pogledajte razliku u izračunima, u prvom slučaju ih ima minimum, a u drugom morate posebno raditi na komadu papira, pa čak i razlomak koji ste dobili treba smanjiti. Pronalaženje LCM-a znatno pojednostavljuje rad.

Više primjera:

* U drugom primjeru je jasno da najmanji broj, koji je podijeljen sa 40 i 60 je jednako 120.

TOTAL! OPŠTI ALGORITAM PRORAČUNA!

- razlomke dovodimo do običnih, ako postoji cijeli broj.

- dovodimo razlomke u zajednički nazivnik (prvo gledamo da li je jedan imenilac djeljiv drugim, da li je djeljiv, zatim množimo brojnik i imenilac ovog drugog razlomka; ako nije djeljiv, djelujemo kroz drugi gore navedene metode).

- nakon što smo dobili razlomke sa jednakim nazivnicima, vršimo radnje (sabiranje, oduzimanje).

- ako je potrebno, smanjujemo rezultat.

- ako je potrebno, odaberite cijeli dio.

2. Proizvod frakcija.

Pravilo je jednostavno. Kada se množe razlomci, množe se njihovi brojnici i imenioci:

primjeri:

Analiza zadatka br. 1 na temu: "Radnje s razlomcima: množenje i oduzimanje, odabir cijelog dijela iz nepravilnog razlomka, inverzne operacije"

Dodatni materijali
Dragi korisnici, ne zaboravite ostaviti svoje komentare, povratne informacije, sugestije! Svi materijali su provjereni antivirusnim programom.

Nastavna sredstva i simulatori u internet prodavnici "Integral" za 9. razred
Kombinatorika i teorija vjerovatnoće Jednačine i nejednačine

Ljudi, zadatak broj 1 pokriva teme koje se uglavnom obrađuju u razredima 5-6.

Za ispravna odluka dati zadatak potrebna vještina:

• rad sa prostim i decimalnim razlomcima,
• transfer prosti razlomci na decimale i obrnuto
• podići brojeve na cijeli broj
• kao i razumijevanje pojmova racionalnih i realnih brojeva.

Lekcije koje će vam pomoći da se pripremite za ovaj zadatak:

1. Zbrajanje decimalnih razlomaka, primjeri.
2. Sabiranje prirodnih brojeva, primjeri.
3. Svojstva oduzimanja brojeva, primjeri.
4. Oduzimanje decimalnih razlomaka: pravila i primjeri.
5. Sabiranje i oduzimanje negativnih brojeva, pravila i primjeri.
6. Proporcije i odnosi.
7. Množenje decimalnih razlomaka, primjeri.
8. Sabiranje i oduzimanje razlomaka, primjeri.
9. Množenje i dijeljenje razlomaka, primjeri.
10. Podizanje na cijeli broj, primjeri - uskoro.

Pogledajmo pobliže primjere zadataka na koje možete naići.

Primjer 1
IN ovaj primjer trebat će vam sposobnost množenja i oduzimanja razlomaka, odabira cijelog dijela iz nepravilnog razlomka, kao i obavljanja inverzne operacije.
Pronađite vrijednost sledeći izraz: $1\frac(2)(5)*2\frac(2)(3)-1\frac(2)(3)*3\frac(1)(2)$.

Rješenje.
Ljudi, podijelimo rješenje na nekoliko radnji. Prvo što znamo je da ne možemo množiti razlomke cijelim dijelom. Dakle, trebamo svaki razlomak pretvoriti u nepravilan razlomak.
1. Prisjetite se pravila za pretvaranje u nepravilan razlomak: da biste dobili brojilac, cijeli dio se mora pomnožiti sa imeniocem, a brojnik originalnog razlomka mora se dodati rezultirajućem broju. Imenilac ostaje isti, brojilac je uvek veći od imenioca:
$1\frac(2)(5)=\frac(1*5+2)(5)=\frac(7)(5)$.
Izvršimo slične operacije za preostale razlomke:
$\frac(7)(5)*\frac(2*3+2)(3)-\frac(1*3+2)(3)*\frac(3*2+1)(2)=\ frac(7)(5)*\frac(8)(3)-\frac(5)(3)*\frac(7)(2)$.

2. Svi se dobro sjećaju da se množenje vrši prije sabiranja i oduzimanja. Zatim, moramo zapamtiti pravilo za množenje dva razlomka, množimo brojilac s brojicom, nazivnik s nazivnikom:
$\frac(7)(5)*\frac(8)(3)-\frac(5)(3)*\frac(7)(2)=\frac(56)(15)-\frac(35 )(6)$.

3. Moramo oduzeti dva razlomka. Podsjetimo da pri sabiranju i oduzimanju prvo morate pronaći zajednički nazivnik dvaju razlomaka, odnosno najmanji zajednički višekratnik. Imamo dva nazivnika - brojeve 15 i 6. Za ova dva broja najmanji zajednički višekratnik će biti broj 30.
Ako pomnožite brojilac i nazivnik istim brojem, tada se vrijednost razlomka neće promijeniti.
$\frac(56)(15)-\frac(35)(6)=\frac(56*2)(15*2)-\frac(35*5)(6*5)=\frac(112) (30)-\frac(175)(30)=-\frac(63)(30)$.

4. Moramo prevoditi frakcija na decimalni, jer u OGE listu za odgovore možemo pisati brojeve u decimalnom obliku.
Odaberemo cijeli broj, a zatim smanjimo razlomak.
$-\frac(63)(30)=-2\frac(3)(30)=-2\frac(1)(10)=-2.1$.

Prepišimo rješenje:
$1\frac(2)(5)*2\frac(2)(3)-1\frac(2)(3)*3\frac(1)(2)=\frac(1*5+2)( 5)*\frac(2*3+2)(3)-\frac(1*3+2)(3)*\frac(3*2+1)(2)=\frac(7)(5) *\frac(8)(3)-\frac(5)(3)*\frac(7)(2)=$ $=\frac(56)(15)-\frac(35)(6)=\ frac(56*2)(15*2)-\frac(35*5)(6*5)=\frac(112)(30)-\frac(175)(30)=-\frac(63)( 30)=-2\frac(3)(30)=-2\frac(1)(10)=-2.1$.
Odgovor: $-2,1$.

Primjer 2
Izračunajte vrijednost izraza $0,007*0,00007*700$.

Rješenje.
U ovom primjeru možemo djelovati na dva načina: 1) pomnožiti sve brojeve "direktno"; 2) koristiti znanje o temi podizanja na cjelobrojni stepen.

1. Prva stvar na koju treba obratiti pažnju je da se u svakom broju pojavljuje broj 7. Ovo je učinjeno s razlogom. Pokušajmo pojednostaviti predstavljene razlomke. Kako možete predstaviti broj 0,007 kao proizvod? $0,007=0,001*$7.

Nemojte se bojati pojednostaviti razlomke. Ako na početku razlomak broj sve nule su prisutne, a ovaj razlomak završava određenim brojem, onda se uvijek može predstaviti kao proizvod.
Na primjer: $0,0256=0,0001*256$; $0,00008=0,00001*8$; $0,3562=0,0001*3562$.
Glavna stvar je zadržati broj znamenki u rezultirajućem razlomku.
$0,007*0,00007*700=0,001*7*0,00001*7*7*100$.

2. Zatim, potrebno nam je znanje i sposobnost podizanja brojeva na cijeli broj.
Ako nam je dat razlomak u kojem su sve nule i završava se s jedinicom, onda se uvijek može predstaviti kao broj 10 u negativan stepen. Štaviše, broj nula ispred jedinice će biti stepen desetice. Pogledajmo bliže brojeve u našem primjeru. $0.001=10^(-3)$, postoje tri nule ispred jedinice, tako da će tri biti stepen desetice, samo ne zaboravite staviti minus.
$0.00001=10^(-5)$, ima pet nula ispred jedinice, tako da će pet biti stepen desetice.

Nakon transformacija, dobijamo: $0,001*7*0,00001*7*7*100=10^(-3)*7*10^(-5)*7*7*100$.

3. Trebamo samo broj 100 pretvoriti kao broj u stepen. Ako broj ima jedinicu na prvom mjestu, a sve ostale cifre su nula, tada se svaki takav broj može predstaviti kao stepen 10, a stepen desetice će se poklopiti s brojem nula.
Na primjer: $10000=10^4$; $1000000=10^6$.
Dobijamo: $10^(-3)*7*10^(-5)*7*7*10^2=7*7*7*10^(-3)*10^(-5)*10^2 $ .
Nije bitno kojim ćemo redoslijedom množiti rezultirajuće brojeve. Prilikom množenja brojeva sa cjelobrojnim eksponentom i istu bazu- osnova stepena ostaje ista, a eksponenti se sabiraju.
$7*7*7*10^{-3}*10^{-5}*10^2=243*{10}^{-3-5+2}=243*10^{-6}$.

4. Ostaje izvršiti operaciju, obrnuto od tačke dva. U stepenu desetice imamo -6, što znači da će broj biti razlomak, budući da će minus - u našem broju biti šest nula.
$243*10^{-6}=243*0,000001=0,000243$.

Zapišimo ponovo rješenje: $0,007*0,00007*700=0,001*7*0,00001*7*7*100=10^(-3)*7*10^(-5)*7*7*10^2 =$ $ =7*7*7*10^(-3)*10^(-5)*10^2=243*10^(-3-5+2)=243*10^(-6)= 243*0,000001 =$0,000243.
Odgovor: $0,000243.

Primjer 3
Pronađite vrijednost izraza: $6,3*1,8-3,6*2,1$.

Rješenje.
Ovaj primjer se može riješiti "na čelo" ako ste dobri u množenju razlomaka u koloni. Ovaj primjer nećemo razmatrati "na čelu", ali ćemo dati još dva rješenja.

Metoda 1. Ako niste baš dobri u množenju razlomaka u koloni, onda možete pomnožiti originalni izraz sa sto, ali što je najvažnije, ne zaboravite ponovo podijeliti sa sto.
$\frac((6,3*1,8-3,6*2,1)*100)(100)=\frac(63*18-36*21)(100)=\frac(1134-756) (100)=\frac(378 )(100)$.
Podijelimo rezultirajući broj sa 100, što je prilično lako, budući da imamo dvije nule, onda će decimalna točka razlomka broja pomaknuti 2 znamenke s desna na lijevo.
$\frac(378)(100)=$3,78.

Metoda 2. Možete vidjeti da originalni brojevi imaju iste faktore, odnosno svaki od prikazanih brojeva mora biti predstavljen kao proizvod cijelog broja i razlomka.
$6,3=7*0,9$.
$1,8=6*0,3$.
$3,6=6*0,6$.
$2,1=7*0,3$.
$6,3*1,8-3,6*2,1=7*0,9*6*0,3-6*0,6*7*0,3=42*0,27-42*0, 18=$ $=4*(0,27-0,18)=42*0,09=\ frac(42*9)(100)=\frac(378)(100)=3,78$.
Izbor rješenja ovisi samo o vašim željama.

Primjer 4
Zapišite brojeve pravih jednakosti:
1) $2*\frac(1)(3)-\frac(1)(4)=\frac(1)(6)$.
2) $\frac( \frac(11)(14))(3\frac(1)(7))=0,25$.
3) $1,75-2\frac(1)(3)=-\frac(7)(12)$.
4) $\frac(1,6)(\frac(\frac(2)(3))(\frac(5)(6)))=4$.

Rješenje.
Nemamo izbora osim da provjerimo svaki izraz.

1) U ovom primjeru, moramo zapamtiti da množenje cijelog broja razlomkom nije isto što i razlomak u kojem je cijeli broj istaknut. Hajde da riješimo ovaj primjer.
$2*\frac(1)(3)-\frac(1)(4)=\frac(2)(1)*\frac(1)(3)-\frac(1)(4)=\frac( 2)(3)-\frac(1)(4)=\frac(2*4)(3*4)-\frac(1*3)(4*3)=\frac(8)(12)- \frac(3)(12)=\frac(5)(12)$.
Utvrdili smo da predstavljena jednakost nije tačna.

2) Prije svega, trebate se riješiti cijelog broja, a zatim koristiti pravilo za dijeljenje razlomaka. $\frac(\frac(11)(14))(3\frac(1)(7))=\frac(\frac(11)(14))(\frac(3*7+1)(7) )=\frac(\frac(11)(14))(\frac(22)(7))=\frac(11)(14)*\frac(7)(22)$.
Sada možemo koristiti pravilo redukcije razlomaka.
$\frac(11)(14)*\frac(7)(22)=\frac(1)(2)*\frac(1)(2)=\frac(1)(4)$.
Ostaje samo pretvoriti rezultirajući razlomak u decimalu.
$\frac(1)(4)=0,25$.
Imamo tačan balans.

3) U ovom primjeru, za početak, trebamo pretvoriti decimalni razlomak u uobičajeni. $1.75=1 \frac(75)(100)=1\frac(3)(4)$.
Sada se riješimo cijelog broja i dobijemo nepravilan razlomak: $1\frac(3)(4)-2\frac(1)(3)=\frac(7)(4)-\frac(7)(3 )$.
Oduzmi dva razlomka: $\frac(7)(4)-\frac(7)(3)=\frac(21)(12)-\frac(28)(12)=-\frac(7)(12 ) $.
Imamo tačan balans.

Prepišimo rješenje:
$1,75-2\frac(1)(3)=1\frac(3)(4)-2\frac(1)(3)=\frac(7)(4)-\frac(7)(3)= \frac(21)(12)-\frac(28)(12)=-\frac(7)(12)$.

4) Opet, prijeđimo s decimale na obične.
$1,6=1\frac(6)(10)=\frac(16)(10)$.
Dobro se sjećamo da se prva radnja izvodi u zagradama.
$\frac(\frac(2)(3))(\frac(5)(6))=\frac(2)(3)*\frac(6)(5)=\frac(2)(1) *\frac(2)(5)=\frac(4)(5)$.
Podijelimo izvan zagrada: $\frac(\frac(16)(10))(\frac(4)(5))=\frac(16)(10)*\frac(5)(4)=\frac ( 4)(2)*\frac(1)(1)=2$.
Otkrili smo da je izvorna jednakost pogrešna.
Odgovor: 23.

Primjer 5
Pronađite značenje izraza. U odgovoru navedite najveću od pronađenih vrijednosti.
1) $1,8-\frac(3)(5)$.
2) $\frac(1\frac(1)(3))(\frac(1)(6))$.
3) $\frac(0.8+0.3)(1.2)$.
Rješenje.

1) Pređimo na decimalni razlomak.
$1.8-\frac(3)(5)=1.8-0.6=1.2$.

2) Pređimo na nepravilan razlomak i izvršimo dijeljenje razlomaka. $\frac(1\frac(1)(3))(\frac(1)(6))=\frac(\frac(4)(3))(\frac(1)(6))=\frac (4)(3)*\frac(6)(1)=\frac(4)(1)*2=8$.

3) Izvršite sabiranje brojilaca razlomka. $\frac(0.8+0.3)(1.2)=\frac(1.1)(1.2)=\frac(1.1*10)(1.2*0)=\frac (11)(12)$.
Ostaje odabrati najveće rješenje, očigledno će to biti 8.
Odgovor: 8.

Alexander Shabalin