a na osi ili nekom drugom vektoru nalaze se pojmovi njegove geometrijske projekcije i numeričke (ili algebarske) projekcije. Rezultat geometrijske projekcije bit će vektor, a rezultat algebarske projekcije nenegativan pravi broj. Ali prije nego što pređemo na ove koncepte, podsjetimo se potrebne informacije.

Preliminarne informacije

Glavni koncept je koncept samog vektora. Da uvedem definiciju geometrijski vektor Prisjetimo se šta je segment. Hajde da uvedemo sljedeću definiciju.

Definicija 1

Segment je dio prave linije koji ima dvije granice u obliku tačaka.

Segment može imati 2 smjera. Da bismo označili pravac, nazvat ćemo jednu od granica segmenta njegovim početkom, a drugu granicu njegovim krajem. Smjer je označen od njegovog početka do kraja segmenta.

Definicija 2

Vektor ili usmjereni segment je segment za koji se zna koja se od granica segmenta smatra početkom, a koja krajem.

Oznaka: Sa dva slova: $\overline(AB)$ – (gdje je $A$ njegov početak, a $B$ njegov kraj).

Jednom malom slovom: $\overline(a)$ (slika 1).

Hajde da uvedemo još nekoliko koncepata vezanih za koncept vektora.

Definicija 3

Dva vektora različita od nule nazivaćemo kolinearnima ako leže na istoj liniji ili na pravima paralelnim jedna s drugom (slika 2).

Definicija 4

Dva vektora različita od nule nazvaćemo kosmjernim ako zadovoljavaju dva uslova:

1. Ovi vektori su kolinearni.
2. Ako su usmjereni u jednom smjeru (slika 3).

Notacija: $\overline(a)\overline(b)$

Definicija 5

Dva vektora različita od nule nazvat ćemo suprotno usmjerena ako zadovoljavaju dva uvjeta:

1. Ovi vektori su kolinearni.
2. Ako su upućeni na različite strane(Sl. 4).

Notacija: $\overline(a)↓\overline(d)$

Definicija 6

Dužina vektora $\overline(a)$ bit će dužina segmenta $a$.

Notacija: $|\overline(a)|$

Pređimo na određivanje jednakosti dva vektora

Definicija 7

Dva vektora ćemo nazvati jednakima ako zadovoljavaju dva uslova:

1. Oni su kosmjerni;
2. Njihove dužine su jednake (slika 5).

Geometrijska projekcija

Kao što smo ranije rekli, rezultat geometrijske projekcije će biti vektor.

Definicija 8

Geometrijska projekcija vektora $\overline(AB)$ na osu je vektor koji se dobija na sledeći način: Početna tačka vektora $A$ se projektuje na ovu osu. Dobijamo tačku $A"$ - početak željenog vektora. Krajnja tačka vektora $B$ se projektuje na ovu osu. Dobijamo tačku $B"$ - kraj željenog vektora. Vektor $\overline(A"B")$ će biti željeni vektor.

Hajde da razmotrimo problem:

Primjer 1

Konstruirajte geometrijsku projekciju $\overline(AB)$ na osu $l$ prikazanu na slici 6.

Nacrtajmo okomicu iz tačke $A$ na osu $l$, dobićemo na njoj tačku $A"$. Zatim, nacrtamo okomicu iz tačke $B$ na osu $l$, dobićemo tačku $B "$ na njemu (sl. 7).

Tačka u prostoru je definirana bilo koje dvije njene projekcije. Ako je potrebno konstruisati treću projekciju na osnovu dve zadate, potrebno je koristiti korespondenciju segmenata projekcijskih komunikacionih linija dobijenih pri određivanju udaljenosti od tačke do ravni projekcije (vidi sl. 2.27 i sl. 2.28) .

Primjeri rješavanja zadataka u prvom oktantu

S obzirom na A 1; A 2	Izgradite A 3
S obzirom na A 2; A 3	Izgradnja A 1
S obzirom na A 1; A 3	Izgradite A 2

Razmotrimo algoritam za konstruisanje tačke A (tabela 2.5)

Tabela 2.5

Algoritam za konstruisanje tačke A
By date koordinate A ( x = 5, y = 20, z = -9)

IN naredna poglavlja slike: prave linije i ravni razmatraćemo samo u prvoj četvrtini. Iako se sve razmatrane metode mogu primijeniti u bilo kojem kvartalu.

zaključci

Dakle, na osnovu teorije G. Mongea, moguće je transformisati prostornu sliku slike (tačke) u planarnu.

Ova teorija se zasniva na sljedećim odredbama:

1. Cijeli prostor je podijeljen na 4 četvrti koristeći dvije zajedničke okomite ravni p 1 i p 2, ili za 8 oktanata kada se doda treća međusobno okomita ravan p 3.

2. Slika prostorne slike na ovim ravnima dobija se pomoću pravokutne (ortogonalne) projekcije.

3. Za pretvaranje prostorne slike u planarnu, pretpostavlja se da je ravan p 2 stacionarna, a ravan p 1 rotira oko ose x tako da se pozitivna poluravnina p1 kombinuje sa negativnom poluravninom p2, negativni deo p1 - sa pozitivnim delom p2.

4. Ravan p 3 rotira oko ose z(linija preseka ravnina) dok se ne poravna sa ravninom p 2 (vidi sliku 2.31).

Slike dobijene na ravni p 1, p 2 i p 3 pravokutnom projekcijom slika nazivaju se projekcije.

Ravnine p 1, p 2 i p 3, zajedno sa projekcijama prikazanim na njima, čine planarni složeni crtež ili dijagram.

Linije koje povezuju projekcije slike sa osovinama x, y, z, nazivaju se projekcijske komunikacijske linije.

Za više precizna definicija slike u prostoru, može se koristiti sistem od tri međusobno okomite ravni p 1, p 2, p 3.

U zavisnosti od uslova problema, možete odabrati sistem p 1, p 2 ili p 1, p 2, p 3 za sliku.

Sistem ravni p 1, p 2, p 3 se može povezati sa sistemom Kartezijanske koordinate, što omogućava definiranje objekata ne samo grafički ili (verbalno), već i analitički (pomoću brojeva).

Ova metoda prikazivanja slika, posebno tačaka, omogućava rješavanje takvih pozicionih problema kao što su:

• lokacija tačke u odnosu na ravni projekcije ( opšti položaj, pripada ravni, osi);
• položaj tačke u četvrtima (u kojoj četvrti se tačka nalazi);
• položaj tačaka jedna u odnosu na drugu (više, niže, bliže, dalje u odnosu na ravni projekcije i posmatrača);
• položaj projekcija tačke u odnosu na ravni projekcije (jednaka udaljenost, bliže, dalje).

Metrički zadaci:

• jednaka udaljenost projekcije od ravni projekcije;
• odnos udaljenosti projekcije od ravni projekcije (2–3 puta, više, manje);
• određivanje udaljenosti tačke od ravni projekcije (prilikom uvođenja koordinatnog sistema).

Pitanja za samorefleksiju

1. Linija preseka čije ravni je osa z?

2. Linija preseka čije ravni je osa y?

3. Kako je linija projekcije komunikacije između frontalnog i projekcija profila bodova? Pokaži.

4. Koje koordinate određuju položaj projekcije tačke: horizontalne, frontalne, profilne?

5. U kojoj četvrti se nalazi tačka F (10; –40; –20)? Od koje ravni projekcije je najudaljenija tačka F?

6. Udaljenost od koje projekcije do koje ose određuje udaljenost tačke od ravni p 1? Koja koordinata tačke je ovo rastojanje?

1. Na osnovu dvije vrste dijelova, napravite treći pogled. Primijenite dimenzije.

2. Konstruirajte pravokutnu izometrijsku projekciju.

Uzmite podatke za izvršenje iz tabele. 1.

Primjer izvršavanja zadatka prikazan je na sl. 3.

1.2 Smjernice

1. Proučite GOST 2.305–68, GOST 2.317–68, preporučenu literaturu i upoznajte se sa smjernicama za temu koja se proučava.

2. Pažljivo se upoznajte sa datim slikama dijela i odredite glavna geometrijska tijela od kojih se sastoji. Zamislite oblik dijela u prostoru, za koji se dio mora mentalno podijeliti na njegove sastavne geometrijske elemente. Stoga, da biste naučili kako brzo i pravilno čitati složene crteže dijelova, morate znati kako se različiti geometrijski elementi projiciraju na projekcijske ravnine: ravne linije, linije, ravnine površine. Treba uzeti u obzir da je svaki detalj u zadatku kombinacija raznih geometrijska tijela, a većina njih zauzima određeni položaj u odnosu na ravni projekcije. Osim toga, prilikom izvršavanja ovog zadatka, potrebno je znati rješavati zadatke o konstruiranju linija presjeka površine sa ravninom i linija međusobnog presjeka površina. U slučaju poteškoća, možete koristiti plastelin i oblikovati dio. Također možete izrezati dio od bilo kojeg materijala i skicirati ga.

3. Nakon što je dizajn dijela u potpunosti shvaćen, treba napraviti preliminarni izgled crteža na listu, naglašavajući odgovarajuće područje za svaku sliku na listu papira.

4. Utvrđena su pravila za konstruisanje slika na crtežima

GOST 2.305–68. Konstrukcija slika se vrši pravokutnom (ortogonalnom) projekcijom dijelova na 6 strana kocke, a pretpostavlja se da se dio nalazi između posmatrača i odgovarajuće strane kocke. Za glavne ravni projekcije uzimaju se lica kocke, koja se zajedno sa slikama dobijenim na njima spajaju u jednu ravan.

Konstruišite sve slike na crtežu u skladu sa zadatkom.

Da biste to učinili, napravite:

specificirane vrste: ispred (glavnog) i iznad; Koristeći dvije vrste dijelova, konstruirajte njegov treći tip (lijevo).

pravokutna izometrijska projekcija dijela. GOST 2.317–69 utvrđuje 5 tipova projekcija. Prilikom dovršavanja zadatka, trebali biste odabrati aksonometrijska projekcija, koji ima najveću jasnoću (pravokutna izometrijska projekcija).

5. Nanesite sve potrebne dimenzije i produžne linije, dimenzionalne brojeve i znakove.

postaviti kotne linije i brojeve izvan konture slike dijela;

ne dozvoliti da se produžne linije sijeku s dimenzionalnim linijama;

crtati produžne linije od vidljivih konturnih linija;

ne dopuštaju upotrebu konturnih linija, aksijalnih, središnjih i produžetaka kao dimenzionalnih linija.

navesti dimenzije svih površina od kojih se ovaj dio sastoji.

naznačiti relativni položaj površina;

unesite ukupne dimenzije.

Ukupan broj dimenzija na crtežu treba biti minimalan i dovoljan za proizvodnju dijela. Preporučuje se štampanje dimenzionalnih brojeva fontom od 3,5 ili 5 mm.

6. Popunite naslovnicu i formatirajte zadatak u skladu sa primjerom na sl. 3. Provjerite ispravnost konstrukcija.

Izrada treće projekcije dijela pomoću dva podatka

Prvo morate saznati oblik pojedinih dijelova objekta; Da biste to učinili, morate uzeti u obzir oba istovremeno navedene slike. Korisno je imati na umu koje površine odgovaraju najčešćim slikama: krug, trokut, šesterokut, itd. U obliku trokuta u pogledu odozgo (sl. 41) može se prikazati sljedeće: trouglasta prizma 1, trouglaste 2 i četvorougaone 3 piramide, konus rotacije 4, skraćena prizma 5.

Oblik četvorougla (kvadrata) se može videti u pogledu odozgo (slika 41): cilindar 6, trouglasta prizma 8, četvorougaona prizma 7 i 10, kao i drugi objekti ograničeni ravnima ili cilindričnim površinama 9.

Oblik kruga se može vidjeti odozgo: lopta, konus, cilindar i druge rotacijske površine. Pogled odozgo pravilnog šesterokutnog oblika je pravilna šesterokutna prizma.

Odredivši oblik pojedinih dijelova površine objekta, morate mentalno zamisliti njihovu sliku s lijeve strane i cijeli objekt u cjelini.

Za konstruiranje trećeg tipa iz dva podatka, koristite razne načine: konstrukcija prema općim dimenzijama; korištenje pomoćne linije; korištenjem kompasa; koristeći prave linije povučene pod uglom od 45°, itd.

Pogledajmo neke od njih.

Izgradnja pomoću pomoćne linije(Sl. 42). Da biste prenijeli dimenziju širine dijela sa pogleda odozgo na pogled slijeva, prikladno je koristiti pomoćnu ravnu liniju. Pogodnije je nacrtati ovu ravnu liniju desno od gornjeg pogleda pod uglom od 45° u odnosu na horizontalni smjer.



Za izgradnju treće projekcije A 3 vrha A, prođimo kroz to frontalna projekcija A 2 horizontalna linija 1. Na njoj će se nalaziti željena projekcija A 3. Posle toga, posle horizontalna projekcija A 1 nacrtajte vodoravnu liniju 2 dok se ne siječe s pomoćnom linijom u tački A 0 . Kroz tačku A 0 nacrtajte vertikalnu liniju 3 dok ne presiječe liniju 1 in željenu tačku A 3 .

Slično se konstruišu i profilne projekcije preostalih vrhova objekta.

Nakon što je pomoćna prava linija nacrtana pod uglom od 45°, pogodno je konstruisati i treću projekciju pomoću prečke i trokuta (Sl. 80b). Prvo kroz frontalnu projekciju A 2 nacrtajte vodoravnu liniju. Nacrtajte vodoravnu liniju kroz projekciju A 1 nema potrebe, dovoljno je primijeniti prečku i napraviti horizontalni zarez na točki A 0 na pomoćnoj liniji. Nakon toga, lagano pomaknuvši štap prema dolje, nanosimo kvadrat jednom nogom na štap tako da druga noga prolazi kroz tačku A 0 i označite položaj projekcije profila A 3 .

Izgradnja koristeći osnovne linije. Za konstruisanje trećeg tipa potrebno je odrediti koje linije crteža treba uzeti kao osnovne za mjerenje dimenzija slike predmeta. Takve linije se obično uzimaju kao aksijalne linije (projekcije ravnina simetrije objekta) i projekcije ravni osnova objekta.

Uzmimo primjer (slika 43) da konstruiramo pogled s lijeve strane koristeći dvije date projekcije objekta.

Upoređivanjem obe slike utvrđujemo da površina objekta uključuje površine: pravilne šestougaone 1 i četvorougaone 2 prizme, dva cilindra 3 i 4 i krnjeg konusa 5. Predmet ima frontalnu ravan simetrije. F, što je zgodno uzeti kao osnovu za mjerenje širine pojedinih dijelova objekta kada se konstruira njegov pogled na lijevoj strani. Visine pojedinih dijelova objekta mjere se od donje osnove objekta i kontroliraju horizontalnim komunikacijskim linijama.

Oblik mnogih objekata je kompliciran raznim rezovima, rezovima i sjecištima komponentnih površina. Zatim prvo trebate odrediti oblik linija presjeka, konstruirati ih na pojedinim tačkama, unoseći oznake projekcija tačaka, koje se nakon završetka konstrukcija mogu ukloniti sa crteža.

Na sl. 44 prikazan je lijevi pogled na objekt čiju površinu čini površina vertikalnog cilindra rotacije sa T-izrez u obliku oblika u gornjem dijelu i cilindrična rupa koja zauzima prednji istureni položaj. Ravan donje osnove i frontalna ravan simetrije F su uzete kao osnovne ravni T-izrez u obliku lijevo u pogledu je konstruiran pomoću tačaka A,IN,WITH,D I E kontura izreza i linija raskrsnice cilindrične površine– pomoću tačaka TO,L,M i simetrično prema njima. Prilikom konstruisanja trećeg tipa uzima se u obzir simetrija objekta u odnosu na ravan F.

2.6. Kontrolna pitanja

1. Koja slika je uzeta kao glavna na crtežu?

2. Kako je predmet pozicioniran u odnosu na frontalnu ravan projekcije?

3. Kako su slike podijeljene na crtežu u zavisnosti od njihovog sadržaja?

4. Koji su razlozi za odabir broja slika?

5. Koja slika se zove pogled?

6. Kako se nalaze glavni pogledi u odnosu projekcije na crtežu i kako se zovu?

7. Koje vrste su označene i kako su označene?

8. Koja je veličina slova koja se koristi za označavanje vrste?

9. Koji su omjeri veličina strelica koje pokazuju smjer gledanja?

10.Koje vrste se nazivaju dodatnim, a koje lokalnim?

11. Kada dodatni pogled ne naznačiti?

12. Koja slika se naziva presjek?

13. Kako označavate položaj sečne ravni kada pravite rezove?

14. Koji natpis označava rez?

15. Koja je veličina slova duž linije presjeka i na natpisu koji označava dio?

16. Kako se dijele rezovi u zavisnosti od položaja rezne ravni?

17. Kada se vertikalni presjek naziva frontalnim, a kada profilnim?

18. Gdje se mogu nalaziti horizontalni, frontalni i profilni rezovi i kada nisu naznačeni?

19. Kako se razvrstavaju rezovi u zavisnosti od broja reznih ravnina?

20. Kako nacrtati liniju presjeka u složenom presjeku?

21. Koji se rezovi nazivaju stepenastim rezovima? Kako se crtaju i označavaju?

22. Koji se posjekotine nazivaju slomljenim? Kako se crtaju i označavaju?

23. Koji dio se zove lokalni i kako se ističe u pogledu?

24. Šta služi kao linija razdvajanja kada se povezuje polovina vizure i preseka?

25. Šta služi kao linija razdvajanja ako se pri povezivanju polovine vizure i presjeka osa simetrije poklapa konturna linija?

26. Kako je prikazano ukrućenje u presjeku ako je rezna ravan usmjerena duž njegove dugačke strane?

27. Kako se identificira kontura grupne rupe u kružnoj prirubnici ako ne pada u ravan datog presjeka?

28. Koja slika se naziva presjek?

29. Kako se klasifikuju sekcije koje nisu deo sekcije?

30. Koji odjeljci su poželjni?

31. Koja linija predstavlja konturu proširenog presjeka, a koja konturu nadređenog presjeka?

32. Koji dijelovi nisu označeni ili označeni?

33. Kada pravite presek, kako označavate poziciju sečne ravni?

34. Koji natpis prati odjeljak?

35. Kako se renderovani presek postavlja na polje za crtanje?

36. Šta je prihvaćeno simbol prikazati presjek duž osi površine okretanja koji ograničava rupu ili udubljenje?

38. Kako su različiti dijelovi zasjenjeni na crtežu dijela?

39. Navedite metode za konstruisanje trećeg tipa dijela koristeći dva podatka.

„Konstrukcijski problemi“ - Svi problemi koji se mogu riješiti šestarom i ravnalom mogu se riješiti origamijem. Proces rješavanja građevinskog problema korištenjem šestara i ravnala podijeljen je u 4 faze: Analiza Konstrukcija Probno istraživanje. Rezultati kontrolnih sekcija. Metode za identifikaciju nivoa logičko razmišljanje studenti.

“Dva kapetana Kaverin” - V.A. Kaverin. Slika kapetana Ivana Lvoviča Tatarinova podsjeća na nekoliko povijesnih analogija. Apsurdnom nesrećom, Sanjin otac je optužen za ubistvo i uhapšen. A vrativši se u Poljarni, Sanja zatiče i Katju kod dr Pavlova. Ekspedicija se nije vratila. Momci hodaju do Moskve.

“Izgradnja grafova” - Ključ rješenja: Konstruirajte skup tačaka na ravni dato jednačinom: Lako možemo pročitati odgovor sa slike. Paralelno prevođenje duž x-ose. Simetričan prikaz u odnosu na ordinatnu osu. Pronađite sve vrijednosti parametra a za svaku od kojih je sistem. Ciljevi izbornog predmeta. Nacrtajmo grafove funkcije isprekidanom linijom u jednom koordinatnom sistemu.

“Konstruiranje grafova funkcija” - Tema: Izrada grafova funkcija. Grafikon funkcije y = sinx. Nacrtajte graf funkcije y=sin(x) +cos(x). Završila: Filippova Natalya Vasilievna nastavnik matematike Beloyarsk srednje sveobuhvatne škole br. 1. Tangentna linija. Iscrtavanje grafika funkcije y = sinx. Algebra.

“Linearna jednačina u dvije varijable” – Definicija: Algoritam za dokazivanje da je dati par brojeva rješenje jednačine: Jednakost koja sadrži dvije varijable naziva se jednačina u dvije varijable. Navedite primjere. -Koja se jednačina sa dvije varijable naziva linearnom? -Kako se zove jednačina sa dvije varijable? Linearna jednadžba sa dvije varijable.

“Dva mraza” - Pa, kako ste se nosili sa drvosječem? A kad smo stigli tamo, osjećao sam se još gore. Drugi odgovara: - Zašto se ne zabavite! Pa, mislim da ćemo stići tamo, a onda ću te zgrabiti. Živi koliko i ja i znaćeš da te sjekira grije od bunde. Kako se možemo zabaviti - smrzavajući ljude? Dva mraza. Stariji brat, Frost - Plavi Nos, cereće se i tapša rukavicom o rukavicu.