Šta je monom u standardnom obliku. Definicija monoma, povezani pojmovi, primjeri

U ovoj lekciji daćemo rigoroznu definiciju monoma, razmotrite razni primjeri iz udžbenika. Prisjetite se pravila za množenje potencija sa istih osnova. Dajemo definiciju standardnog oblika monoma, koeficijenta monoma i njegovog literalnog dijela. Razmotrimo dvije osnovne tipične operacije nad monomima, odnosno svođenje na standardni oblik i izračunavanje specifične numeričke vrijednosti monoma za setpoints njegove doslovne varijable. Formulirajmo pravilo za svođenje monoma na standardni oblik. Naučimo da odlučujemo tipični zadaci sa bilo kojim monomom.

Tema:monomi. Aritmetičke operacije nad monomima

lekcija:Koncept monoma. Standardni oblik monoma

Razmotrite neke primjere:

3. ;

Hajde da nađemo zajedničke karakteristike za date izraze. U sva tri slučaja, izraz je proizvod brojeva i varijabli podignutih na stepen. Na osnovu ovoga dajemo definicija monoma : monom se zove takav algebarski izraz, koji se sastoji od proizvoda stepena i brojeva.

Sada dajemo primjere izraza koji nisu monomi:

Nađimo razliku između ovih izraza i prethodnih. Sastoji se u tome da u primjerima 4-7 postoje operacije sabiranja, oduzimanja ili dijeljenja, dok u primjerima 1-3, koji su monomi, ove operacije nisu.

Evo još nekoliko primjera:

Izraz broj 8 je monom, jer je proizvod stepena i broja, dok primjer 9 nije monom.

Sad hajde da saznamo akcije na monome .

1. Pojednostavljenje. Razmotrite primjer #3 ;i primjer #2 /

U drugom primjeru vidimo samo jedan koeficijent - , svaka varijabla se javlja samo jednom, odnosno varijabla " a” je predstavljen u jednoj instanci, kao “”, slično tome, varijable “” i “” se pojavljuju samo jednom.

U primjeru br. 3, naprotiv, postoje dva različita koeficijenta - i , vidimo varijablu "" dva puta - kao "" i kao "", shodno tome, varijabla "" se pojavljuje dva puta. Odnosno, ovaj izraz treba pojednostaviti, tako da dolazimo do toga prva radnja koja se izvodi na monomima je dovođenje monoma u standardni oblik . Da bismo to učinili, dovodimo izraz iz primjera 3 u standardni oblik, zatim definiramo ovu operaciju i učimo kako dovesti bilo koji monom u standardni oblik.

Zato razmotrite primjer:

Prvi korak u operaciji standardizacije je uvijek množenje svih numeričkih faktora:

;

Rezultat ovu akcijuće biti pozvan monomski koeficijent .

Zatim morate pomnožiti stepene. Množimo stepene varijable " X”prema pravilu za množenje stepena sa istom osnovom, koje kaže da se eksponenti kada se množe sabiraju:

Sada pomnožimo moći at»:

;

Dakle, evo pojednostavljenog izraza:

;

Svaki monom se može svesti na standardni oblik. Hajde da formulišemo pravilo standardizacije :

Pomnožite sve numeričke faktore;

Stavite rezultirajući koeficijent na prvo mjesto;

Pomnožite sve stepene, odnosno dobijete dio slova;

To jest, svaki monom karakterizira koeficijent i dio slova. Gledajući unaprijed, primjećujemo da se monomi koji imaju isti dio slova nazivaju sličnima.

Sada treba da zaradite tehnika svođenja monoma na standardni oblik . Razmotrimo primjere iz udžbenika:

Zadatak: dovesti monom u standardni oblik, imenovati koeficijent i slovni dio.

Da bismo izvršili zadatak, koristimo pravilo dovođenja monoma u standardni oblik i svojstva stupnjeva.

1. ;

3. ;

Komentari na prvi primjer: Za početak, utvrdimo da li je ovaj izraz zaista monom, za to provjeravamo da li sadrži operacije množenja brojeva i stepena i da li sadrži operacije sabiranja, oduzimanja ili dijeljenja. Možemo reći da je ovaj izraz monom, jer je gornji uslov zadovoljen. Nadalje, prema pravilu dovođenja monoma u standardni oblik, množimo numeričke faktore:

- našli smo koeficijent datog monoma;

; ; ; odnosno prima se doslovni dio izraza:;

zapišite odgovor: ;

Komentari na drugi primjer: Prateći pravilo, izvršavamo:

1) pomnožiti numeričke faktore:

2) pomnožiti potencije:

Varijable i predstavljene su u jednom primjerku, odnosno ne mogu se množiti ni sa čim, prepisuju se bez promjena, stepen se množi:

napiši odgovor:

;

AT ovaj primjer monomski koeficijent jednako jedan, i doslovni dio .

Komentari na treći primjer: a slično prethodnim primjerima, izvodimo sljedeće radnje:

1) pomnožiti numeričke faktore:

;

2) pomnožiti potencije:

;

napišite odgovor: ;

AT ovaj slučaj koeficijent monoma je "", a literalni dio .

Sada razmislite druga standardna operacija na monomima . Budući da je monom algebarski izraz koji se sastoji od literalnih varijabli koje mogu poprimiti specifične numeričke vrijednosti, onda imamo aritmetiku numerički izraz, koje treba izračunati. To jest, sljedeća operacija nad polinomima je izračunavanje njihove specifične numeričke vrijednosti .

Razmotrimo primjer. Monom je dat:

ovaj monom je već sveden na standardni oblik, njegov koeficijent je jednak jedan, a literalni dio

Ranije smo rekli da se algebarski izraz ne može uvijek izračunati, odnosno da varijable koje ga unose ne smiju imati nikakvu vrijednost. U slučaju monoma, varijable uključene u njega mogu biti bilo koje, to je karakteristika monoma.

Dakle unutra dati primjer potrebno je izračunati vrijednost monoma na , , , .

Monomi su jedan od glavnih tipova izraza koji se proučavaju školski kurs algebra. U ovom materijalu ćemo vam reći šta su ovi izrazi, definisati njihov standardni oblik i pokazati primere, kao i baviti se srodnim pojmovima, kao što su stepen monoma i njegov koeficijent.

Šta je monom

Školski udžbenici obično daju sljedeću definiciju ovog pojma:

Definicija 1

Monomeri uključuju brojevi, varijable, kao i njihovi stepeni sa prirodni pokazatelj i različite vrste djela napravljena od njih.

Na osnovu ove definicije možemo dati primjere takvih izraza. Dakle, svi brojevi 2 , 8 , 3004 , 0 , - 4 , - 6 , 0 , 78 , 1 4 , - 4 3 7 će se odnositi na monome. Sve varijable, na primjer, x , a , b , p , q , t , y , z će također biti monomi po definiciji. Ovo također uključuje potencije varijabli i brojeva, na primjer, 6 3 , (− 7 , 41) 7 , x 2 i t 15, kao i izrazi poput 65 x , 9 (− 7) x y 3 6 , x x y 3 x y 2 z itd. Imajte na umu da monom može uključivati ili jedan broj ili promjenljivu, ili nekoliko, a mogu se spominjati nekoliko puta kao dio jednog polinoma.

Takvi tipovi brojeva kao što su celi brojevi, racionalni, prirodni takođe pripadaju monomima. Takođe može uključivati stvarne i kompleksni brojevi. Dakle, izrazi poput 2 + 3 i x z 4 , 2 x , 2 π x 3 će takođe biti monomi.

Šta je standardni oblik monoma i kako pretvoriti izraz u njega

Radi praktičnosti rada, svi monomi se prvo svode na poseban oblik, nazvan standardni. Hajde da budemo konkretni šta ovo znači.

Definicija 2

Standardni oblik monoma nazovite ga takvim oblikom u kojem je proizvod brojčanog faktora i prirodni stepeni različite varijable. Numerički faktor, koji se naziva i monomski koeficijent, obično se piše prvi s lijeve strane.

Radi jasnoće biramo nekoliko monoma standardnog oblika: 6 (ovo je monom bez varijabli), 4 · a , − 9 · x 2 · y 3 , 2 3 5 · x 7 . Ovo takođe uključuje izraz x y(ovdje će koeficijent biti jednak 1), − x 3(ovdje je koeficijent - 1).

Sada dajemo primjere monoma koje treba dovesti u standardni oblik: 4 a a 2 a 3(ovdje trebate kombinirati iste varijable), 5 x (− 1) 3 y 2(ovdje trebate kombinirati numeričke faktore na lijevoj strani).

Obično, u slučaju kada monom ima nekoliko varijabli napisanih slovima, faktori slova se pišu abecednim redom. Na primjer, željeni unos 6 a b 4 c z 2, kako b 4 6 a z 2 c. Međutim, redoslijed može biti drugačiji ako to zahtijeva svrha izračunavanja.

Svaki monom se može svesti na standardni oblik. Da biste to učinili, morate izvršiti sve potrebne identične transformacije.

Koncept stepena monoma

Prateći pojam stepena monoma je veoma važan. Zapišimo definiciju ovog pojma.

Definicija 3

Stepen monoma snimljeno u standardni obrazac, je zbir eksponenata svih varijabli koje su uključene u njegov unos. Ako u njemu nema nijedne varijable, a sam monom je različit od 0, tada će njegov stepen biti nula.

Navedimo primjere stupnjeva monoma.

Primjer 1

Dakle, monom a ima stepen 1 jer je a = a 1 . Ako imamo monom 7, onda će on imati nulti stepen, jer nema varijabli i različit je od 0. A evo i unosa 7 a 2 x y 3 a 2 bit će monom 8. stepena, jer će zbir eksponenata svih stupnjeva varijabli uključenih u njega biti jednak 8: 2 + 1 + 3 + 2 = 8 .

Standardizovani monom i originalni polinom imaće isti stepen.

Primjer 2

Hajde da pokažemo kako izračunati stepen monoma 3 x 2 y 3 x (− 2) x 5 y. U standardnom obliku može se napisati kao − 6 x 8 y 4. Izračunavamo stepen: 8 + 4 = 12 . Dakle, stepen originalnog polinoma je takođe jednak 12.

Koncept monomskog koeficijenta

Ako imamo standardizirani monom koji uključuje barem jednu varijablu, onda o njemu govorimo kao o proizvodu s jednim numeričkim faktorom. Ovaj faktor se naziva numerički koeficijent ili monomski koeficijent. Hajde da zapišemo definiciju.

Definicija 4

Koeficijent monoma je numerički faktor monoma svedenog na standardni oblik.

Uzmimo, na primjer, koeficijente raznih monoma.

Primjer 3

Dakle, u izrazu 8 a 3 koeficijent će biti broj 8, i in (− 2 , 3) x y z oni ce − 2 , 3 .

Posebnu pažnju treba obratiti na omjere jednako jedan i minus jedan. Oni po pravilu nisu eksplicitno naznačeni. Vjeruje se da je u monomu standardnog oblika, u kojem nema numeričkog faktora, koeficijent 1, na primjer, u izrazima a, x z 3, a t x, jer se mogu smatrati 1 a, x z 3 - kako 1 x z 3 itd.

Slično, u monomima koji nemaju numerički faktor i koji počinju sa predznakom minus, možemo uzeti u obzir koeficijent - 1.

Primjer 4

Na primjer, izrazi − x, − x 3 y z 3 će imati takav koeficijent, jer se mogu predstaviti kao − x = (− 1) x, − x 3 y z 3 = (− 1) x 3 y z 3 itd.

Ako monom uopće nema ni jedan literalni množitelj, onda se i u ovom slučaju može govoriti o koeficijentu. Koeficijenti takvih monoma-brojeva bit će sami ovi brojevi. Tako će, na primjer, koeficijent monoma 9 biti jednak 9.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Stepen monoma

Za monom postoji koncept njegovog stepena. Hajde da shvatimo šta je to.

Definicija.

Stepen monoma standardni oblik je zbir eksponenata svih varijabli uključenih u njegov zapis; ako u monomskom unosu nema varijabli, a on je različit od nule, tada se smatra da je njegov stepen nula; broj nula se smatra monomom, čiji stepen nije definisan.

Definicija stepena monoma omogućava nam da damo primjere. Stepen monoma a je jednak jedan, jer je a 1. Stepen monoma 5 je nula, jer nije nula i njegova notacija ne sadrži varijable. A proizvod 7·a 2 ·x·y 3 ·a 2 je monom osmog stepena, pošto je zbir eksponenata svih varijabli a, x i y 2+1+3+2=8.

Inače, stepen monoma koji nije napisan u standardnom obliku jednak je stepenu odgovarajućeg monoma standardnog oblika. Da bismo ilustrovali ono što je rečeno, izračunavamo stepen monoma 3 x 2 y 3 x (−2) x 5 y. Ovaj monom u standardnom obliku ima oblik −6·x 8 ·y 4, njegov stepen je 8+4=12. Dakle, stepen originalnog monoma je 12 .

Monomski koeficijent

Monom u standardnom obliku, koji ima barem jednu varijablu u svojoj notaciji, je proizvod s jednim numeričkim faktorom - numeričkim koeficijentom. Ovaj koeficijent se naziva monomski koeficijent. Formalizirajmo gornje rezonovanje u obliku definicije.

Definicija.

Monomski koeficijent je numerički faktor monoma napisanog u standardnom obliku.

Sada možemo dati primjere koeficijenata različitih monoma. Broj 5 je koeficijent monoma 5 a 3 po definiciji, slično tome i monom (−2.3) x y z ima koeficijent −2.3.

Posebnu pažnju zaslužuju koeficijenti monoma jednaki 1 i −1. Poenta je da oni obično nisu eksplicitno prisutni u zapisu. Smatra se da je koeficijent monoma standardnog oblika, koji nemaju numerički faktor u svojoj notaciji, jednak jedinici. Na primjer, monomi a , x z 3 , a t x , itd. imaju koeficijent 1, jer se a može smatrati 1 a, x z 3 kao 1 x z 3, itd.

Slično, koeficijent monoma, čiji unosi u standardnom obliku nemaju numerički faktor i počinju sa predznakom minus, smatra se minus jedan. Na primjer, monomi −x , −x 3 y z 3, itd. imaju koeficijent −1 , budući da −x=(−1) x , −x 3 y z 3 =(−1) x 3 y z 3 itd.

Inače, koncept koeficijenta monoma često se naziva monomima standardnog oblika, a to su brojevi bez faktora slova. Koeficijenti takvih monoma-brojeva smatraju se ovim brojevima. Tako se, na primjer, koeficijent monoma 7 smatra jednakim 7.

Bibliografija.

algebra: udžbenik za 7 ćelija. opšte obrazovanje institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Telyakovsky. - 17. izd. - M. : Education, 2008. - 240 str. : ill. - ISBN 978-5-09-019315-3.
Mordkovich A. G. Algebra. 7. razred. U 14 sati Prvi dio. Udžbenik za učenike obrazovne institucije/ A. G. Mordkovich. - 17. izd., dop. - M.: Mnemozina, 2013. - 175 str.: ilustr. ISBN 978-5-346-02432-3.
Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (priručnik za polaznike tehničkih škola): Proc. dodatak.- M.; Više škola, 1984.-351 str., ilustr.

U ovoj lekciji ćemo dati striktnu definiciju monoma, razmotriti različite primjere iz udžbenika. Prisjetite se pravila za množenje potencija sa istom osnovom. Dajemo definiciju standardnog oblika monoma, koeficijenta monoma i njegovog literalnog dijela. Razmotrimo dvije osnovne tipične operacije nad monomima, a to su svođenje na standardni oblik i izračunavanje specifične numeričke vrijednosti monoma za date vrijednosti literalnih varijabli uključenih u njega. Formulirajmo pravilo za svođenje monoma na standardni oblik. Naučimo kako riješiti tipične probleme s bilo kojim monomom.

Tema:monomi. Aritmetičke operacije nad monomima

lekcija:Koncept monoma. Standardni oblik monoma

Razmotrite neke primjere:

3. ;

Nađimo zajedničke karakteristike za date izraze. U sva tri slučaja, izraz je proizvod brojeva i varijabli podignutih na stepen. Na osnovu ovoga dajemo definicija monoma : monom je algebarski izraz koji se sastoji od proizvoda stepena i brojeva.

Sada dajemo primjere izraza koji nisu monomi:

Evo još nekoliko primjera:

Izraz broj 8 je monom, jer je proizvod stepena i broja, dok primjer 9 nije monom.

Sad hajde da saznamo akcije na monome .

1. Pojednostavljenje. Razmotrite primjer #3 ;i primjer #2 /

Zato razmotrite primjer:

Prvi korak u operaciji standardizacije je uvijek množenje svih numeričkih faktora:

;

Rezultat ove akcije će biti pozvan monomski koeficijent .

Zatim morate pomnožiti stepene. Množimo stepene varijable " X”prema pravilu za množenje stepena sa istom osnovom, koje kaže da se eksponenti kada se množe sabiraju:

Sada pomnožimo moći at»:

;

Dakle, evo pojednostavljenog izraza:

;

Svaki monom se može svesti na standardni oblik. Hajde da formulišemo pravilo standardizacije :

Pomnožite sve numeričke faktore;

Stavite rezultirajući koeficijent na prvo mjesto;

Pomnožite sve stepene, odnosno dobijete dio slova;

To jest, svaki monom karakterizira koeficijent i dio slova. Gledajući unaprijed, primjećujemo da se monomi koji imaju isti dio slova nazivaju sličnima.

Sada treba da zaradite tehnika svođenja monoma na standardni oblik . Razmotrimo primjere iz udžbenika:

Zadatak: dovesti monom u standardni oblik, imenovati koeficijent i slovni dio.

Da bismo izvršili zadatak, koristimo pravilo dovođenja monoma u standardni oblik i svojstva stupnjeva.

1. ;

3. ;

- našli smo koeficijent datog monoma;

; ; ; odnosno prima se doslovni dio izraza:;

zapišite odgovor: ;

Komentari na drugi primjer: Prateći pravilo, izvršavamo:

1) pomnožiti numeričke faktore:

2) pomnožiti potencije:

Varijable i predstavljene su u jednom primjerku, odnosno ne mogu se množiti ni sa čim, prepisuju se bez promjena, stepen se množi:

napiši odgovor:

;

U ovom primjeru, monomski koeficijent je jednak jedan, a literalni dio je .

Komentari na treći primjer: a slično prethodnim primjerima, izvodimo sljedeće radnje:

1) pomnožiti numeričke faktore:

;

2) pomnožiti potencije:

;

napišite odgovor: ;

U ovom slučaju, koeficijent monoma je jednak "", i literalni dio .

Sada razmislite druga standardna operacija na monomima . Pošto je monom algebarski izraz koji se sastoji od literalnih varijabli koje mogu poprimiti određene numeričke vrijednosti, imamo aritmetički numerički izraz koji treba izračunati. To jest, sljedeća operacija nad polinomima je izračunavanje njihove specifične numeričke vrijednosti .

Razmotrimo primjer. Monom je dat:

ovaj monom je već sveden na standardni oblik, njegov koeficijent je jednak jedan, a literalni dio

Dakle, u datom primjeru, potrebno je izračunati vrijednost monoma za , , , .

Koncept monoma

Definicija monoma: monom je algebarski izraz koji koristi samo množenje.

Standardni oblik monoma

Koji je standardni oblik monoma? Monom se piše u standardnom obliku, ako ima na prvom mjestu numerički faktor i taj faktor, zove se koeficijent monoma, u monomu je samo jedan, slova monoma su raspoređena po abecednom redu i svako slovo se pojavljuje samo jednom.

Primjer monoma u standardnom obliku:

ovdje je na prvom mjestu broj, koeficijent monoma, a ovaj broj je samo jedan u našem monomu, svako slovo se pojavljuje samo jednom i slova su raspoređena po abecednom redu, u ovom slučaju to je latinica.

Još jedan primjer monoma u standardnom obliku:

svako slovo se javlja samo jednom, poređano je latiničnim abecednim redom, ali gdje je koeficijent monoma, tj. faktor broja koji bi trebao biti prvi? Ovdje je jednako jedan: 1adm.

Može li monomski koeficijent biti negativan? Da, možda, primjer: -5a.

Može li monomski koeficijent biti razlomak? Da, možda, primjer: 5.2a.

Ako se monom sastoji samo od broja, tj. nema slova, kako to dovesti u standardni obrazac? Svaki monom koji je broj već je u standardnom obliku, na primjer: broj 5 je monom standardnog oblika.

Redukcija monoma na standardni oblik

Kako dovesti monom u standardni oblik? Razmotrite primjere.

Neka je zadan monom 2a4b, moramo ga dovesti u standardni oblik. Pomnožimo dva njegova brojčana faktora i dobijemo 8ab. Sada je monom zapisan u standardnom obliku, tj. ima samo jedan numerički faktor, napisan na prvom mjestu, svako slovo u monomu se pojavljuje samo jednom, a ova slova su raspoređena po abecednom redu. Dakle 2a4b = 8ab.

Dato je: monom 2a4a, dovesti monom u standardni oblik. Množimo brojeve 2 i 4, proizvod aa zamjenjujemo drugim stepenom a 2 . Dobijamo: 8a 2 . Ovo je standardni oblik ovog monoma. Dakle, 2a4a = 8a 2 .

Slični monomi

Šta su slični monomi? Ako se monomi razlikuju samo po koeficijentima ili su jednaki, onda se nazivaju sličnima.

Primjer sličnih monoma: 5a i 2a. Ovi monomi se razlikuju samo po koeficijentima, što znači da su slični.

Jesu li monomi 5abc i 10cba slični? Drugi monom dovodimo u standardni oblik, dobijamo 10abc. Sada je jasno da se monomi 5abc i 10abc razlikuju samo po svojim koeficijentima, što znači da su slični.

Sabiranje monoma

Koliki je zbir monoma? Možemo samo sabrati slične monome. Razmotrimo primjer sabiranja monoma. Koliki je zbir monoma 5a i 2a? Zbir ovih monoma će biti monom sličan njima, čiji koeficijent jednak je zbiru koeficijenti pojmova. Dakle, zbir monoma je 5a + 2a = 7a.

Još primjera sabiranja monoma:

2a 2 + 3a 2 = 5a 2
2a 2 b 3 c 4 + 3a 2 b 3 c 4 = 5a 2 b 3 c 4

Opet. Možete dodati samo slične monome; sabiranje se svodi na sabiranje njihovih koeficijenata.

Oduzimanje monoma

Koja je razlika između monoma? Slične monome možemo samo oduzeti. Razmotrimo primjer oduzimanja monoma. Koja je razlika između monoma 5a i 2a? Razlika ovih monoma će biti njima sličan monom, čiji je koeficijent jednak razlici koeficijenata ovih monoma. Dakle, razlika monoma je jednaka 5a - 2a = 3a.

Još primjera oduzimanja monoma:

10a2 - 3a2 = 7a2
5a 2 b 3 c 4 - 3a 2 b 3 c 4 = 2a 2 b 3 c 4

Množenje monoma

Šta je proizvod monoma? Razmotrimo primjer:

one. proizvod monoma je jednak monomu čiji su faktori sastavljeni od faktora originalnih monoma.

Drugi primjer:

2a 2 b 3 * a 5 b 9 = 2a 7 b 12 .

Kako je došlo do ovog rezultata? Svaki faktor ima "a" u stepenu: u prvom - "a" u stepenu 2, a u drugom - "a" u stepenu 5. To znači da će proizvod imati "a" u stepenu 7, jer se pri množenju istih slova njihovi eksponenti sabiraju:

A 2 * a 5 = a 7 .

Isto važi i za faktor "b".

Koeficijent prvog faktora je jednak dva, a drugog - jedan, pa kao rezultat dobijamo 2 * 1 = 2.

Ovako je izračunat rezultat 2a 7 b 12.

Iz ovih primjera se može vidjeti da se koeficijenti monoma množe, a ista slova zamjenjuju zbirom njihovih stupnjeva u proizvodu.