Kako brzo riješiti logaritamske jednadžbe. Učenje rješavanja jednostavnih logaritamskih jednadžbi

Logaritamske jednačine. Nastavljamo sa razmatranjem zadataka iz dijela B Jedinstvenog državnog ispita iz matematike. Već smo razmatrali rješenja nekih jednadžbi u člancima "", "". U ovom članku ćemo razmotriti logaritamske jednadžbe. Odmah da vam kažem da ih nema složene transformacije pri rješavanju takvih jednačina na ispitu neće. One su jednostavne.

Dovoljno je znati i razumjeti osnovno logaritamski identitet, poznaju svojstva logaritma. Obratite pažnju na činjenicu da je nakon odluke OBAVEZNO izvršiti provjeru - zamijenite rezultirajuću vrijednost u originalnu jednačinu i izračunajte, kao rezultat treba dobiti ispravnu jednakost.

Definicija:

Logaritam broja a prema bazi b je eksponent,na koji se mora podići b da bi se dobilo a.

Na primjer:

Dnevnik 3 9 = 2 jer je 3 2 = 9

Svojstva logaritama:

Posebni slučajevi logaritama:

Mi rješavamo probleme. U prvom primjeru izvršit ćemo provjeru. Uradite sljedeću provjeru sami.

Pronađite korijen jednačine: log 3 (4–x) = 4

Pošto je log b a = x b x = a, onda

3 4 \u003d 4 - x

x = 4 - 81

x = -77

pregled:

log 3 (4–(–77)) = 4

log 3 81 = 4

3 4 = 81 Tačno.

Odgovor: - 77

Odlučite sami:

Pronađite korijen jednačine: log 2 (4 - x) = 7

Pronađite korijen log 5 jednadžbe(4 + x) = 2

Koristimo osnovni logaritamski identitet.

Pošto log a b = x b x = a, onda

5 2 = 4 + x

x =5 2 – 4

x=21

pregled:

log 5 (4 + 21) = 2

log 5 25 = 2

5 2 = 25 Tačno.

Odgovor: 21

Pronađite korijen jednačine log 3 (14 - x) = log 3 5.

Javlja se slijedeća nekretnina, njegovo značenje je sljedeće: ako u lijevom i desnom dijelu jednačine imamo logaritme sa istu bazu, onda možemo izjednačiti izraze pod predznacima logaritma.

14 - x = 5

x=9

Provjeri.

Odgovor: 9

Odlučite sami:

Pronađite korijen jednačine log 5 (5 - x) = log 5 3.

Pronađite korijen jednačine: log 4 (x + 3) = log 4 (4x - 15).

Ako je log c a = log c b, onda je a = b

x + 3 = 4x - 15

3x = 18

x=6

Provjeri.

Odgovor: 6

Pronađite korijen jednačine log 1/8 (13 - x) = - 2.

(1/8) -2 = 13 - x

8 2 \u003d 13 - x

x = 13 - 64

x = -51

Provjeri.

Mali dodatak - ovdje se koristi nekretnina

stepen().

Odgovor: - 51

Odlučite sami:

Pronađite korijen jednačine: log 1/7 (7 - x) = - 2

Pronađite korijen jednačine log 2 (4 - x) = 2 log 2 5.

Hajde da se transformišemo desna strana. koristiti nekretninu:

log a b m = m∙ log a b

log 2 (4 - x) = log 2 5 2

Ako je log c a = log c b, onda je a = b

4 – x = 5 2

4 - x = 25

x = -21

Provjeri.

Odgovor: - 21

Odlučite sami:

Pronađite korijen jednačine: log 5 (5 - x) = 2 log 5 3

Riješite jednačinu log 5 (x 2 + 4x) = log 5 (x 2 + 11)

Ako je log c a = log c b, onda je a = b

x2 + 4x = x2 + 11

4x = 11

x=2,75

Provjeri.

Odgovor: 2,75

Odlučite sami:

Pronađite korijen jednačine log 5 (x 2 + x) = log 5 (x 2 + 10).

Riješite jednačinu log 2 (2 - x) = log 2 (2 - 3x) +1.

Na desnoj strani jednačine trebate dobiti izraz oblika:

dnevnik 2 (......)

Predstavljanje 1 kao logaritma osnove 2:

1 = log 2 2

log c (ab) = log c a + log c b

log 2 (2 - x) = log 2 (2 - 3x) + log 2 2

Dobijamo:

log 2 (2 - x) = log 2 2 (2 - 3x)

Ako je log c a = log c b, onda je a = b, onda

2 – x = 4 – 6x

5x = 2

x=0,4

Provjeri.

Odgovor: 0.4

Odlučite sami: Dalje, morate odlučiti kvadratna jednačina. Između ostalog,

korijeni su 6 i -4.

Root"-4" nije rješenje jer baza logaritma mora biti Iznad nule, i kada "– 4" je jednako " – 5". Rješenje je korijen 6.Provjeri.

Odgovor: 6.

R jedite sami:

Riješite log x –5 49 = 2. Ako jednačina ima više od jednog korijena, odgovorite na manji.

Kao što vidite, nema složenih transformacija sa logaritamskim jednačinamabr. Dovoljno je poznavati svojstva logaritma i znati ih primijeniti. AT USE zadatke povezane s transformacijom logaritamskih izraza, izvode se ozbiljnije transformacije i potrebne su dublje vještine rješavanja. Razmotrit ćemo takve primjere, nemojte ih propustiti!Želim ti uspjeh!!!

S poštovanjem, Alexander Krutitskikh.

P.S: Bio bih vam zahvalan ako kažete o stranici na društvenim mrežama.

Svi smo upoznati sa jednačinama. osnovna škola. Čak i tamo smo naučili rješavati najjednostavnije primjere, a mora se priznati da i u njima nalaze svoju primjenu višu matematiku. Sve je jednostavno sa jednadžbama, uključujući i kvadratne. Ako imate problema s ovom temom, toplo preporučujemo da je pokušate ponovo.

I logaritmi koje ste vjerovatno već položili. Ipak, smatramo važnim reći šta je to za one koji još ne znaju. Logaritam je jednak stepenu na koji se baza mora podići da bi se dobio broj desno od predznaka logaritma. Dajemo primjer na osnovu kojeg će vam sve postati jasno.

Ako povisite 3 na četvrti stepen, dobićete 81. Sada zamijenite brojeve po analogiji i konačno ćete shvatiti kako se logaritmi rješavaju. Sada ostaje samo kombinirati dva razmatrana koncepta. U početku se situacija čini izuzetno teškom, ali nakon detaljnijeg razmatranja, težina dolazi na svoje mjesto. Sigurni smo da nakon ovog kratkog članka nećete imati problema u ovom dijelu ispita.

Danas postoji mnogo načina za rješavanje takvih struktura. Govorit ćemo o najjednostavnijim, najefikasnijim i najprimjenjivijim u slučaju USE zadataka. Rješavanje logaritamskih jednadžbi mora početi od samog početka. jednostavan primjer. Najjednostavnije logaritamske jednadžbe se sastoje od funkcije i jedne varijable u njoj.

Važno je napomenuti da je x unutar argumenta. A i b moraju biti brojevi. U ovom slučaju, možete jednostavno izraziti funkciju u smislu broja u stepenu. To izgleda ovako.

Naravno, rješavanje logaritamske jednadžbe na ovaj način će vas dovesti do tačnog odgovora. Ali problem velike većine studenata u ovom slučaju je što ne razumiju šta i odakle dolazi. Kao rezultat toga, morate podnijeti greške i ne dobiti željene bodove. Najuvredljivija greška bit će ako pomiješate slova na mjestima. Da biste na ovaj način riješili jednačinu, morate zapamtiti ovu standardnu ​​školsku formulu, jer ju je teško razumjeti.

Da biste to olakšali, možete pribjeći drugoj metodi - kanonskom obliku. Ideja je krajnje jednostavna. Ponovo obratite pažnju na zadatak. Zapamtite da je slovo a broj, a ne funkcija ili varijabla. A nije jednako jedan i veće je od nule. Nema ograničenja za b. Sada od svih formula, prisjećamo se jedne. B se može izraziti na sljedeći način.

Iz ovoga slijedi da se sve originalne jednadžbe sa logaritmima mogu predstaviti kao:

Sada možemo odbaciti logaritme. Rezultat je jednostavna konstrukcija, koju smo već ranije vidjeli.

Pogodnost ove formule leži u činjenici da se može najviše koristiti različitim prilikama i to ne samo za najjednostavniji dizajn.

Ne brinite za OOF!

Mnogi iskusni matematičari će primijetiti da nismo obratili pažnju na domen definicije. Pravilo se svodi na činjenicu da je F(x) nužno veći od 0. Ne, nismo propustili ovaj trenutak. Sada govorimo o još jednoj ozbiljnoj prednosti kanonskog oblika.

Ovdje neće biti dodatnih korijena. Ako će se varijabla pojaviti samo na jednom mjestu, tada opseg nije neophodan. Pokreće se automatski. Da biste potvrdili ovu prosudbu, razmotrite rješavanje nekoliko jednostavnih primjera.

Kako riješiti logaritamske jednadžbe sa različitim bazama

To su već složene logaritamske jednadžbe, a pristup njihovom rješavanju trebao bi biti poseban. Ovdje je rijetko moguće ograničiti se na ozloglašeni kanonski oblik. Počnimo sa našim detaljna priča. Imamo sledeću konstrukciju.

Obratite pažnju na razlomak. Sadrži logaritam. Ako to vidite u zadatku, vrijedi zapamtiti jedan zanimljiv trik.

Šta to znači? Svaki logaritam se može izraziti kao količnik dva logaritma sa pogodnom bazom. I ova formula ima poseban slučaj, što je primjenjivo u ovom primjeru (što znači ako je c=b).

Upravo to vidimo u našem primjeru. Na ovaj način.

U stvari, okrenuli su razlomak i dobili zgodniji izraz. Zapamtite ovaj algoritam!

Sada nam je potrebno da logaritamska jednadžba ne sadrži različite baze. Predstavimo bazu kao razlomak.

U matematici postoji pravilo na osnovu kojeg se stepen može izvući iz baze. Ispada sljedeća konstrukcija.

Čini se da sada ono što nas sprečava da svoj izraz pretvorimo u kanonski oblik i elementarno da se to riješi? Nije tako jednostavno. Prije logaritma ne bi trebalo biti razlomaka. Popravimo ovu situaciju! Razlomak je dozvoljeno uzeti kao stepen.

Odnosno.

Ako su baze iste, možemo ukloniti logaritme i izjednačiti same izraze. Tako će situacija postati mnogo puta lakša nego što je bila. ostaće elementarna jednačina, koje je svako od nas znao riješiti još u 8. ili čak 7. razredu. Možete sami da izvršite proračune.

Dobili smo jedini pravi korijen ove logaritamske jednadžbe. Primjeri rješavanja logaritamske jednadžbe su prilično jednostavni, zar ne? Sada ćete moći samostalno da se nosite i sa većinom izazovni zadaci za pripremu i polaganje ispita.

Šta je rezultat?

U slučaju bilo koje logaritamske jednadžbe, polazimo od jedne vrlo važno pravilo. Potrebno je djelovati tako da se ekspresija dovede do maksimuma običan prizor. U tom slučaju ćete imati više šansi ne samo da ispravno riješite problem, već i da to učinite na najjednostavniji i najlogičniji način. Tako matematičari uvijek rade.

Toplo preporučujemo da ne pretražujete komplikovane načine, posebno u ovom slučaju. Zapamtite nekoliko jednostavna pravila, što će vam omogućiti da transformišete bilo koji izraz. Na primjer, dovedite dva ili tri logaritma na istu bazu, ili uzmite potenciju iz baze i pobijedite na njoj.

Također je vrijedno zapamtiti da u rješavanju logaritamskih jednadžbi morate stalno trenirati. Postepeno ćete prelaziti na sve složenije strukture, a to će vas dovesti do samouvjerenog rješavanja svih opcija za probleme na ispitu. Pripremite se za ispite unaprijed i sretno!

Na ovu lekciju ponovićemo osnovne teorijske činjenice o logaritmima i razmotriti rešenje najjednostavnijih logaritamskih jednačina.

Prisjetimo se središnje definicije - definicije logaritma. To je povezano sa odlukom eksponencijalna jednačina. Ova jednadžba ima jedan korijen, naziva se logaritam od b prema bazi a:

definicija:

Logaritam broja b prema osnovici a je eksponent na koji se baza a mora podići da bi se dobio broj b.

Podsjetimo osnovni logaritamski identitet.

Izraz (izraz 1) je korijen jednadžbe (izraz 2). Zamjenjujemo vrijednost x iz izraza 1 umjesto x u izrazu 2 i dobijamo osnovni logaritamski identitet:

Dakle, vidimo da je svakoj vrijednosti dodijeljena vrijednost. Označavamo b za x (), c za y i tako dobijamo logaritamsku funkciju:

Na primjer:

Podsjetimo se osnovna svojstva logaritamska funkcija.

Obratimo pažnju još jednom, ovdje, jer ispod logaritma može biti striktno pozitivan izraz, kao osnova logaritma.

Rice. 1. Grafikon logaritamske funkcije za različite baze

Grafikon funkcije at je prikazan crnom bojom. Rice. 1. Ako se argument povećava od nule do beskonačnosti, funkcija raste od minus do plus beskonačno.

Grafikon funkcije at je prikazan crvenom bojom. Rice. jedan.

Svojstva ove funkcije:

Domena: ;

Raspon vrijednosti: ;

Funkcija je monotona u cijelom svom domenu definicije. Za monotono (strogo) povećanje, veća vrijednost argument odgovara većoj vrijednosti funkcije. Kada se monotono (strogo) smanjuje, veća vrijednost argumenta odgovara manjoj vrijednosti funkcije.

Svojstva logaritamske funkcije su ključ za rješavanje različitih logaritamskih jednadžbi.

Razmotrimo najjednostavniju logaritamsku jednadžbu; sve ostale logaritamske jednadžbe se po pravilu svode na ovaj oblik.

Kako su osnove logaritma i sami logaritmi jednaki, jednake su i funkcije pod logaritmom, ali ne smijemo izgubiti domen definicije. Pod logaritmom može samo stajati pozitivan broj, imamo:

Saznali smo da su funkcije f i g jednake, pa je dovoljno odabrati bilo koju nejednakost da bi se ispunio ODZ.

Dakle, dobili smo mješoviti sistem, u kojem postoje jednadžba i nejednakost:

Nejednakost, po pravilu, nije potrebno rješavati, dovoljno je riješiti jednadžbu i u nejednakost zamijeniti pronađene korijene, čime se vrši provjera.

Formulirajmo metodu za rješavanje najjednostavnijih logaritamskih jednadžbi:

Izjednačiti osnove logaritama;

Izjednačiti sublogaritamske funkcije;

Provjeri.

Razmotrimo konkretne primjere.

Primjer 1 - riješiti jednačinu:

Osnove logaritama su u početku jednake;

Primjer 2 - riješiti jednačinu:

Ova se jednadžba razlikuje od prethodne po tome što su baze logaritama manje od jedan, ali to ni na koji način ne utječe na rješenje:

Nađimo korijen i zamijenimo ga u nejednakosti:

Dobili smo netačnu nejednakost, što znači da pronađeni korijen ne zadovoljava ODZ.

Primjer 3 - riješiti jednačinu:

Osnove logaritama su u početku jednake;

Nađimo korijen i zamijenimo ga u nejednakosti:

Očigledno, samo prvi korijen zadovoljava ODZ.

Priprema za završni ispit iz matematike uključuje važan dio - "Logaritmi". Zadaci iz ove teme su obavezno sadržani u ispitu. Iskustvo proteklih godina pokazuje da su logaritamske jednačine mnogim školarcima izazivale poteškoće. Stoga bi učenici s različitim nivoima obuke trebali razumjeti kako pronaći tačan odgovor i brzo se nositi s njima.

Uspješno položite sertifikacijski test uz pomoć obrazovnog portala "Shkolkovo"!

U pripremi za ujedinjenje državni ispit maturanti zahtijevaju pouzdan izvor koji pruža najpotpunije i tačne informacije za uspješno rješenje test zadataka. Međutim, udžbenik nije uvijek pri ruci, a traženje potrebnih pravila i formula na internetu često traje.

Edukativni portal "Shkolkovo" vam omogućava da se pripremite za ispit bilo gdje u bilo koje vrijeme. Naša stranica nudi najpogodniji pristup ponavljanju i savladavanju velike količine informacija o logaritmima, kao io jednoj i nekoliko nepoznatih. Počnite s jednostavnim jednadžbama. Ako ste se s njima nosili bez poteškoća, prijeđite na teže. Ako imate problema s rješavanjem određene nejednakosti, možete je dodati u svoje favorite kako biste joj se kasnije mogli vratiti.

Nađi potrebne formule da biste dovršili zadatak, možete ponoviti posebne slučajeve i metode za izračunavanje korijena standardne logaritamske jednadžbe gledajući odjeljak "Teorijska referenca". Nastavnici "Školkova" prikupili su, sistematizovali i izneli sve što je potrebno za uspješna isporuka materijala na najjednostavniji i razumljiviji način.

Kako biste se lakše nosili sa zadacima bilo koje složenosti, na našem portalu možete se upoznati s rješenjem nekih tipičnih logaritamskih jednadžbi. Da biste to učinili, idite na odjeljak "Katalozi". Predstavili smo veliki broj primjere, uključujući jednadžbe nivo profila UPOTREBA u matematici.

Učenici iz škola širom Rusije mogu koristiti naš portal. Za početak, samo se registrirajte u sistemu i počnite rješavati jednačine. Da biste konsolidirali rezultate, savjetujemo vam da se svakodnevno vraćate na web stranicu Shkolkovo.

Uputstvo

Zapišite dato logaritamski izraz. Ako izraz koristi logaritam od 10, tada se njegova notacija skraćuje i izgleda ovako: lg b je decimalni logaritam. Ako logaritam ima broj e kao bazu, onda se izraz piše: ln b - prirodni logaritam. Podrazumijeva se da je rezultat bilo kojeg stepena na koji se osnovni broj mora podići da bi se dobio broj b.

Prilikom pronalaženja zbroja dvije funkcije, samo ih trebate razlikovati jednu po jednu i dodati rezultate: (u+v)" = u"+v";

Prilikom pronalaženja derivacije umnoška dviju funkcija potrebno je derivaciju prve funkcije pomnožiti s drugom i dodati izvod druge funkcije, pomnoženu s prvom funkcijom: (u*v)" = u"* v+v"*u;

Da bi se pronašao izvod količnika dvije funkcije, potrebno je, od umnožaka izvoda dividende pomnoženog sa funkcijom djelitelja, oduzeti umnožak izvoda djelitelja pomnoženog s funkcijom djelitelja i podijeliti sve to pomoću funkcije djelitelja na kvadrat. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

Ako se da složena funkcija, tada je potrebno pomnožiti izvod unutrašnje funkcije i izvod vanjske. Neka je y=u(v(x)), zatim y"(x)=y"(u)*v"(x).

Koristeći gore dobiveno, možete razlikovati gotovo svaku funkciju. Pa pogledajmo nekoliko primjera:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2) *x));
Postoje i zadaci za izračunavanje derivacije u tački. Neka je data funkcija y=e^(x^2+6x+5), potrebno je pronaći vrijednost funkcije u tački x=1.
1) Pronađite izvod funkcije: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) Izračunajte vrijednost funkcije u dati poen y"(1)=8*e^0=8

Povezani video zapisi

Korisni savjeti

Naučite tablicu elementarnih derivata. Ovo će uštedjeti mnogo vremena.

Izvori:

• konstantni derivat

Pa šta je drugačije ir racionalna jednačina od racionalnog? Ako je nepoznata varijabla ispod znaka kvadratni korijen, tada se jednačina smatra iracionalnom.

Uputstvo

Glavna metoda za rješavanje ovakvih jednačina je metoda podizanja oba dijela jednačine u kvadrat. Kako god. ovo je prirodno, prvi korak je da se riješite znaka. Tehnički, ova metoda nije teška, ali ponekad može dovesti do problema. Na primjer, jednadžba v(2x-5)=v(4x-7). Kvadriranjem obe strane dobijate 2x-5=4x-7. Takvu jednačinu nije teško riješiti; x=1. Ali broj 1 neće biti dat jednačine. Zašto? Zamijenite jedinicu u jednačini umjesto vrijednosti x. A desna i lijeva strana će sadržavati izraze koji nemaju smisla, tj. Takva vrijednost nije važeća za kvadratni korijen. Stoga je 1 vanjski korijen, i stoga zadata jednačina nema korena.

Dakle, iracionalna jednačina se rješava metodom kvadriranja oba njena dijela. I nakon rješavanja jednadžbe, potrebno je nužno odrezati strani koreni. Da biste to učinili, zamijenite pronađene korijene u izvornoj jednadžbi.

Razmotrite još jednu.
2x+vx-3=0
Naravno, ova jednačina se može riješiti korištenjem iste jednadžbe kao i prethodna. Transfer Compounds jednačine, koji nemaju kvadratni korijen, na desnu stranu i zatim koristite metodu kvadrature. riješiti rezultirajuću racionalnu jednadžbu i korijene. Ali još jedan, elegantniji. Unesite novu varijablu; vx=y. Shodno tome, dobićete jednačinu kao što je 2y2+y-3=0. To je uobičajena kvadratna jednačina. Pronađite njegove korijene; y1=1 i y2=-3/2. Zatim riješite dva jednačine vx=1; vx \u003d -3/2. Druga jednadžba nema korijen, iz prve nalazimo da je x=1. Ne zaboravite na potrebu provjere korijena.

Rješavanje identiteta je prilično jednostavno. Ovo zahteva da se uradi identične transformacije dok se cilj ne postigne. Dakle, uz pomoć jednostavnih aritmetičke operacije zadatak će biti riješen.

Trebaće ti

• - papir;
• - olovku.

Uputstvo

Najjednostavnije takve transformacije su algebarska skraćena množenja (kao što je kvadrat zbira (razlika), razlika kvadrata, zbir (razlika), kocka zbira (razlika)). Osim toga, ima ih mnogo trigonometrijske formule, koji su u suštini isti identiteti.

Zaista, kvadrat zbira dva člana jednak je kvadratu prvog plusa dvostruki proizvod prvi na drugi i plus kvadrat drugog, tj. (a+b)^2= (a+b)(a+b)=a^2+ab +ba+b^2=a^2+2ab +b^2 .

Pojednostavite oboje

Opšti principi rješenja

Ponovite udžbenik matematička analiza ili višu matematiku, što je definitivni integral. Kao što znate, rešenje definitivni integral postoji funkcija čiji će izvod dati integrand. Ova funkcija naziva se primitivnim. Po ovom principu konstruišu se osnovni integrali.
Odredite oblikom integranda koji od tabličnih integrala pripada ovaj slučaj. Nije uvijek moguće to odmah utvrditi. Često, tabelarni oblik postaje uočljiv tek nakon nekoliko transformacija kako bi se integrand pojednostavio.

Metoda zamjene varijable

Ako je integrand trigonometrijska funkcija, čiji je argument neki polinom, a zatim pokušajte koristiti metodu zamjene varijable. Da biste to učinili, zamijenite polinom u argumentu integranda nekom novom varijablom. Na osnovu omjera između nove i stare varijable odredite nove granice integracije. Razlikovanjem ovog izraza pronađite novi diferencijal u . Tako ćete dobiti nova vrsta prethodni integral, blizak ili čak korespondirajući sa bilo kojim tabelarnim.

Rješenje integrala druge vrste

Ako je integral integral druge vrste, vektorski oblik integranda, tada ćete morati koristiti pravila za prelazak sa ovih integrala na skalarne. Jedno takvo pravilo je Ostrogradsky-Gaussov omjer. Ovaj zakon omogućava vam da pređete sa toka rotora na neki vektorska funkcija na trostruki integral nad divergencijom datog vektorskog polja.

Zamjena granica integracije

Nakon pronalaženja antiderivata, potrebno je zamijeniti granice integracije. Prvo uključite vrijednost gornja granica u izraz za antiderivat. Dobićete neki broj. Zatim od rezultujućeg broja oduzmite drugi broj, rezultirajuću donju granicu antiderivata. Ako je jedna od granica integracije beskonačnost, onda je zamijenite u antiderivativna funkcija potrebno je ići do granice i pronaći čemu izraz teži.
Ako je integral dvodimenzionalan ili trodimenzionalan, tada ćete morati predstaviti geometrijske granice integracije da biste razumjeli kako izračunati integral. Zaista, u slučaju, recimo, trodimenzionalnog integrala, granice integracije mogu biti cijele ravni koje ograničavaju volumen koji treba integrirati.