Jedna od glavnih karakteristika u algebri, ai u cijeloj matematici, je diploma. Naravno, u 21. vijeku svi proračuni se mogu izvršiti na online kalkulatoru, ali bolje je naučiti kako to učiniti sami za razvoj mozga.

U ovom članku ćemo pogledati najviše važna pitanja u vezi sa ovom definicijom. Naime, shvatićemo šta je to uopšte i koje su njegove glavne funkcije, koja svojstva postoje u matematici.

Pogledajmo primjere kako izgleda proračun, koje su osnovne formule. Analizirat ćemo glavne vrste veličina i po čemu se razlikuju od drugih funkcija.

Razumjet ćemo kako riješiti različite probleme koristeći ovu vrijednost. Na primjerima ćemo pokazati kako se podići na nulti stepen, iracionalan, negativan itd.

Online kalkulator eksponencije

Koliki je stepen broja

Šta znači izraz "podići broj na stepen"?

Stepen n broja a je proizvod faktora veličine a n puta za redom.

Matematički to izgleda ovako:

a n = a * a * a * …a n .

Na primjer:

• 2 3 = 2 u trećem koraku. = 2 * 2 * 2 = 8;
• 4 2 = 4 u koraku. dva = 4 * 4 = 16;
• 5 4 = 5 u koraku. četiri = 5 * 5 * 5 * 5 = 625;
• 10 5 = 10 u 5 koraka. = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100000;
• 10 4 \u003d 10 u 4 koraka. = 10 * 10 * 10 * 10 = 10000.

Ispod je tabela kvadrata i kocke od 1 do 10.

Tabela stepeni od 1 do 10

Ispod su rezultati podizanja prirodnih brojeva na pozitivne stepene - "od 1 do 100".

Ch-lo	2. razred	3. razred
1	1	1
2	4	8
3	9	27
4	16	64
5	25	125
6	36	216
7	49	343
8	64	512
9	81	279
10	100	1000

Svojstva diploma

Šta je tipično za takve matematička funkcija? Pogledajmo osnovna svojstva.

Naučnici su ustanovili sledeće znakovi karakteristični za sve stepene:

• a n * a m = (a) (n+m) ;
• a n: a m = (a) (n-m) ;
• (a b) m =(a) (b*m) .

Provjerimo na primjerima:

2 3 * 2 2 = 8 * 4 = 32. S druge strane 2 5 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32.

Slično: 2 3: 2 2 = 8 / 4 = 2. Inače 2 3-2 = 2 1 =2.

(2 3) 2 = 8 2 = 64. Šta ako je drugačije? 2 6 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64.

Kao što vidite, pravila funkcionišu.

Ali kako biti sa sabiranjem i oduzimanjem? Sve je jednostavno. Prvo se vrši eksponencijacija, pa tek onda sabiranje i oduzimanje.

Pogledajmo primjere:

• 3 3 + 2 4 = 27 + 16 = 43;
• 5 2 - 3 2 = 25 - 9 = 16

Ali u ovom slučaju, prvo morate izračunati zbrajanje, jer postoje akcije u zagradama: (5 + 3) 3 = 8 3 = 512.

Kako proizvoditi računanje u više teški slučajevi ? Redoslijed je isti:

• ako postoje zagrade, morate početi s njima;
• zatim eksponencijalnost;
• zatim izvršiti operacije množenja, dijeljenja;
• nakon sabiranja, oduzimanja.

Postoje specifična svojstva koja nisu karakteristična za sve stepene:

1. Koren n-tog stepena od broja a do stepena m biće zapisan kao: a m / n .
2. Kada se razlomak podiže na stepen: i brojnik i njegov imenilac podliježu ovom postupku.
3. Prilikom izgradnje djela različiti brojevi na stepen, izraz će odgovarati proizvodu ovih brojeva na dati stepen. To jest: (a * b) n = a n * b n .
4. Kada podižete broj na negativan stepen, trebate podijeliti 1 brojem u istom koraku, ali sa znakom “+”.
5. Ako je nazivnik razlomka u negativnom stepenu, onda će ovaj izraz biti jednak proizvodu brojnika i nazivnika u pozitivnom stepenu.
6. Bilo koji broj na stepen 0 = 1 i na korak. 1 = sebi.

Ova pravila su važna u pojedinačni slučajevi, u nastavku ćemo ih detaljnije razmotriti.

Stepen s negativnim eksponentom

Šta učiniti sa negativnim stepenom, odnosno kada je indikator negativan?

Na osnovu svojstava 4 i 5(vidi tačku iznad) ispostavilo se:

A (- n) = 1 / A n, 5 (-2) = 1/5 2 \u003d 1/25.

I obrnuto:

1 / A (- n) \u003d A n, 1 / 2 (-3) \u003d 2 3 \u003d 8.

Šta ako je razlomak?

(A / B) (- n) = (B / A) n , (3 / 5) (-2) = (5 / 3) 2 = 25 / 9.

Stepen sa prirodnim pokazateljem

Podrazumijeva se kao stepen sa eksponentima jednakim cijelim brojevima.

Stvari koje treba zapamtiti:

A 0 = 1, 1 0 = 1; 2 0 = 1; 3,15 0 = 1; (-4) 0 = 1…itd.

A 1 = A, 1 1 = 1; 2 1 = 2; 3 1 = 3…itd.

Također, ako je (-a) 2 n +2 , n=0, 1, 2…onda će rezultat biti sa znakom “+”. Ako se negativan broj podigne na ne čak stepen, zatim obrnuto.

Opća svojstva, kao i sve gore opisane specifične karakteristike, također su karakteristične za njih.

Razlomak stepena

Ovaj pogled se može napisati kao šema: A m / n. Čita se kao: korijen n-tog stepena broja A na stepen m.

S frakcijskim indikatorom možete učiniti bilo što: smanjiti, razložiti na dijelove, podići na drugi stupanj itd.

Stepen sa iracionalnim eksponentom

Neka je α iracionalan broj i A ˃ 0.

Da biste razumjeli suštinu diplome sa takvim indikatorom, Pogledajmo različite moguće slučajeve:

• A \u003d 1. Rezultat će biti jednak 1. Budući da postoji aksiom - 1 je jednako jedan u svim potencijama;

A r 1 ˂ A α ˂ A r 2 , r 1 ˂ r 2 – racionalni brojevi;

• 0˂A˂1.

U ovom slučaju, obrnuto: A r 2 ˂ A α ˂ A r 1 pod istim uslovima kao u drugom paragrafu.

Na primjer, eksponent je broj π. To je racionalno.

r 1 - u ovom slučaju je jednako 3;

r 2 - biće jednako 4.

Tada je za A = 1 1 π = 1.

A = 2, zatim 2 3 ˂ 2 π ˂ 2 4 , 8 ˂ 2 π ˂ 16.

A = 1/2, tada (½) 4 ˂ (½) π ˂ (½) 3 , 1/16 ˂ (½) π ˂ 1/8.

Takve stupnjeve karakteriziraju sve gore opisane matematičke operacije i specifična svojstva.

Zaključak

Hajde da rezimiramo - čemu služe ove vrijednosti, koje su prednosti takvih funkcija? Naravno, prije svega, pojednostavljuju život matematičara i programera prilikom rješavanja primjera, jer omogućavaju minimiziranje proračuna, reduciranje algoritama, sistematizaciju podataka i još mnogo toga.

Gdje još ovo znanje može biti korisno? U bilo kojoj radnoj specijalnosti: medicina, farmakologija, stomatologija, građevinarstvo, tehnologija, inženjering, dizajn itd.

U okviru ovog materijala analiziraćemo šta je stepen broja. Pored osnovnih definicija, formulisaćemo šta su stepeni sa prirodnim, celobrojnim, racionalnim i iracionalnim eksponentima. Kao i uvijek, svi koncepti će biti ilustrovani primjerima zadataka.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Prvo formulišemo osnovna definicija stepen sa prirodnim pokazateljem. Da bismo to učinili, moramo zapamtiti osnovna pravila množenja. Unaprijed razjasnimo to ćemo za sada uzeti kao osnovu pravi broj(označeno slovom a), a kao indikator - prirodno (označeno slovom n).

Definicija 1

Potencija a sa prirodnim eksponentom n je proizvod n-tog broja faktora, od kojih je svaki jednak broju a. Stepen se piše ovako: a n, a u obliku formule, njegov sastav se može predstaviti na sljedeći način:

Na primjer, ako je eksponent 1, a baza je a, tada se prvi stepen a zapisuje kao a 1. S obzirom da je a vrijednost faktora, a 1 broj faktora, možemo zaključiti da a 1 = a.

Općenito, možemo reći da je stepen zgodna notacija veliki broj jednaki množitelji. Dakle, zapis obrasca 8 8 8 8 može se svesti na 8 4 . Na isti način, rad nam pomaže da izbjegnemo pisanje veliki broj pojmovi (8 + 8 + 8 + 8 = 8 4) ; to smo već analizirali u članku posvećenom množenju prirodnih brojeva.

Kako pravilno pročitati zapisnik o diplomi? Općenito prihvaćena opcija je "a na stepen n". Ili možete reći "n-ti stepen a" ili "n-ti stepen". Ako, recimo, u primjeru postoji unos 8 12 , možemo čitati "8 na 12. stepen", "8 na stepen od 12" ili "12. stepen od 8".

Drugi i treći stepen broja imaju svoja ustaljena imena: kvadrat i kocka. Ako vidimo drugi stepen, na primjer, broja 7 (7 2), onda možemo reći "7 na kvadrat" ili "kvadrat broja 7". Slično, treći stepen se čita ovako: 5 3 je "kocka broja 5" ili "5 kockica". Međutim, moguće je koristiti i standardnu ​​formulaciju „u drugom/trećem stepenu“, to neće biti greška.

Primjer 1

Pogledajmo primjer diplome s prirodnim pokazateljem: for 5 7 pet će biti osnova, a sedam će biti indikator.

Baza ne mora biti cijeli broj: za stepen (4 , 32) 9 baza će biti razlomak 4, 32, a eksponent će biti devet. Obratite pažnju na zagrade: takav zapis je napravljen za sve stupnjeve čije se baze razlikuju od prirodnih brojeva.

Na primjer: 1 2 3 , (- 3) 12 , - 2 3 5 2 , 2 , 4 35 5 , 7 3 .

Čemu služe zagrade? Oni pomažu da se izbjegnu greške u proračunima. Recimo da imamo dva unosa: (− 2) 3 i − 2 3 . Prvi od njih znači negativan broj minus dva, podignut na stepen sa prirodnim eksponentom tri; drugi je broj koji odgovara suprotno značenje stepen 2 3 .

Ponekad u knjigama možete pronaći malo drugačiji način pisanja stepena broja - a^n(gdje je a baza, a n eksponent). Dakle, 4^9 je isto kao 4 9 . U slučaju da je n višecifreni broj, uzima se u zagradi. Na primjer, 15 ^ (21) , (− 3 , 1) ^ (156) . Ali mi ćemo koristiti notaciju a n kao češći.

Kako izračunati vrijednost stepena sa prirodnim eksponentom lako je pogoditi iz njegove definicije: samo trebate pomnožiti n-ti broj puta. Više o tome pisali smo u drugom članku.

Koncept stepena je suprotan drugom matematički koncept- korijen broja. Ako znamo vrijednost eksponenta i eksponenta, možemo izračunati njegovu bazu. Stepen ima neka specifična svojstva koja su korisna za rješavanje problema koje smo analizirali u posebnom materijalu.

Eksponenti mogu sadržavati ne samo prirodne brojeve, već i bilo koje cjelobrojne vrijednosti općenito, uključujući negativne i nule, jer također pripadaju skupu cijelih brojeva.

Definicija 2

Stepen broja sa pozitivnim cijelim eksponentom može se prikazati kao formula: .

Štaviše, n je bilo koji pozitivan cijeli broj.

Hajde da se pozabavimo konceptom nultog stepena. Da bismo to učinili, koristimo pristup koji uzima u obzir svojstvo količnika za potencije sa jednake osnove. Formulisan je ovako:

Definicija 3

Jednakost a m: a n = a m − n bit će istinit pod sljedećim uslovima: m i n su prirodni brojevi, m< n , a ≠ 0 .

Posljednji uvjet je važan jer izbjegava dijeljenje sa nulom. Ako su vrijednosti m i n jednake, onda ćemo dobiti sljedeći rezultat: a n: a n = a n − n = a 0

Ali u isto vrijeme a n: a n = 1 - količnik jednakih brojeva a n i a. Ispada da je nulti stepen bilo kog broja različitog od nule jednak jedan.

Međutim, takav dokaz nije prikladan za nulu do nulte snage. Da bismo to učinili, potrebno nam je još jedno svojstvo moći - svojstvo proizvoda snaga jednakih baza. izgleda ovako: a m a n = a m + n .

Ako je n 0, onda a m a 0 = a m(ova jednakost nam takođe dokazuje da a 0 = 1). Ali ako je i jednako nuli, naša jednakost poprima oblik 0 m 0 0 = 0 m, To će vrijediti za bilo koju prirodnu vrijednost n, i nije važno koja je tačno vrijednost stepena 0 0 , odnosno može biti jednako bilo kojem broju, a to neće utjecati na valjanost jednakosti. Dakle, zapis obrasca 0 0 nema nikakvo posebno značenje i nećemo mu ga pripisivati.

Po želji, to je lako provjeriti a 0 = 1 konvergira sa svojstvom stepena (a m) n = a m n pod uslovom da osnova stepena nije jednaka nuli. Dakle, stepen bilo kog broja različitog od nule sa eksponentom nula jednak je jedan.

Primjer 2

Uzmimo primjer sa konkretni brojevi: Dakle, 5 0 - jedinica, (33 , 3) 0 = 1 , - 4 5 9 0 = 1 i vrijednost 0 0 nedefinisano.

Nakon nultog stepena, ostaje nam da shvatimo šta je negativan stepen. Da bismo to učinili, potrebno nam je isto svojstvo umnoška potencija sa jednakim bazama, koje smo već koristili gore: a m · a n = a m + n.

Uvodimo uslov: m = − n , tada a ne smije biti jednako nuli. Iz toga slijedi a − n a n = a − n + n = a 0 = 1. Ispada da je n i a-n imamo uzajamno recipročne brojeve.

Kao rezultat, a na negativan cijeli broj nije ništa drugo nego razlomak 1 a n .

Ova formulacija to potvrđuje za stepen sa celim brojem negativan indikator sva ista svojstva koja ima stepen sa prirodnim eksponentom (pod uslovom da baza nije jednaka nuli) važe.

Primjer 3

Potencija a sa negativnim cijelim brojem n može se predstaviti kao razlomak 1 a n . Dakle, a - n = 1 a n pod uslovom a ≠ 0 i n je bilo koji prirodni broj.

Ilustrirajmo našu ideju konkretnim primjerima:

Primjer 4

3 - 2 = 1 3 2 , (- 4 . 2) - 5 = 1 (- 4 . 2) 5 , 11 37 - 1 = 1 11 37 1

U poslednjem delu pasusa pokušaćemo da sve što je rečeno jasno opišemo u jednoj formuli:

Definicija 4

Potencija a sa prirodnim eksponentom z je: a z = a z , e c i z je pozitivan cijeli broj 1 , z = 0 i a ≠ 0 , (ako je z = 0 i a = 0 dobijamo 0 0 , vrijednosti izraz 0 0 nisu određen)   1 a z , ako je z negativan cijeli broj i a ≠ 0 (ako je z negativan cijeli broj i a = 0 dobijamo 0 z , to je a n d e n t i o n )

Šta su stepeni sa racionalnim eksponentom

Analizirali smo slučajeve kada je eksponent cijeli broj. Međutim, također možete podići broj na stepen kada je njegov eksponent razlomak. Ovo se zove stepen racionalni indikator. U ovom pododjeljku ćemo dokazati da ima ista svojstva kao i drugi potenci.

Šta su racionalni brojevi? Njihov skup uključuje i cijele brojeve i razlomci brojeva, dok se razlomci mogu predstaviti kao obični razlomci (i pozitivni i negativni). Formulišemo definiciju stepena broja a sa razlomkom eksponenta m / n, gde je n prirodan broj, a m ceo broj.

Imamo neki stepen sa razlomanim eksponentom a m n . Da bi svojstvo snage bilo u nekom stepenu, jednakost a m n n = a m n · n = a m mora biti tačna.

S obzirom na definiciju n-tog korijena i da je a m n n = a m, možemo prihvatiti uvjet a m n = a m n ako a m n ima smisla za date vrijednosti m, n i a.

Gornja svojstva stepena sa celobrojnim eksponentom biće tačna pod uslovom a m n = a m n .

Glavni zaključak iz našeg rasuđivanja je sljedeći: stepen nekog broja a sa razlomačnim eksponentom m / n je korijen n-tog stepena od broja a do stepena m. Ovo je tačno ako, za date vrednosti m, n i a, izraz a m n ima smisla.

1. Možemo ograničiti vrijednost baze stepena: uzmimo a, koja će za pozitivne vrijednosti m biti veća ili jednaka 0, a za negativne vrijednosti će biti striktno manja (jer za m ≤ 0 dobijamo 0 m, ali ovaj stepen nije definisan). U ovom slučaju, definicija stepena sa razlomnim eksponentom će izgledati ovako:

Razlomak eksponenta m/n za neki pozitivan broj a je n-ti korijen a podignutog na m stepen. U obliku formule, to se može predstaviti na sljedeći način:

Za stepen sa nultom bazom, ova odredba je takođe prikladna, ali samo ako je njegov eksponent pozitivan broj.

Potencija sa nultom bazom i pozitivnim frakcijskim eksponentom m/n može se izraziti kao

0 m n = 0 m n = 0 pod uslovom pozitivnog cijelog broja m i prirodnog n .

Sa negativnim omjerom m n< 0 степень не определяется, т.е. такая запись смысла не имеет.

Zapazimo jednu tačku. Pošto smo uveli uslov da je a veće ili jednako nuli, odbacili smo neke slučajeve.

Izraz a m n ponekad još uvijek ima smisla za neke negativne vrijednosti a i neke negativne vrijednosti m. Dakle, unosi su tačni (- 5) 2 3 , (- 1 , 2) 5 7 , - 1 2 - 8 4 , u kojima je baza negativna.

2. Drugi pristup je razmatranje odvojeno korijena a m n s parnim i neparnim eksponentima. Zatim treba da uvedemo još jedan uslov: stepen a, u čijem eksponentu se nalazi svodivi obični razlomak, smatra se stepenom a u čijem eksponentu se nalazi odgovarajući nesvodljivi razlomak. Kasnije ćemo objasniti zašto nam je ovo stanje potrebno i zašto je toliko važno. Dakle, ako imamo zapis a m · k n · k , onda ga možemo svesti na a m n i pojednostaviti proračune.

Ako je n neparan broj i m je pozitivan, a a bilo koji nenegativan broj, onda m n ima smisla. Uslov za nenegativno a je neophodan, jer se korijen parnog stepena ne izdvaja iz negativnog broja. Ako je vrijednost m pozitivna, tada a može biti i negativna i nula, jer Neparan korijen se može uzeti iz bilo kojeg realnog broja.

Kombinirajmo sve podatke iznad definicije u jedan unos:

Ovdje m/n znači nesvodljivi razlomak, m je bilo koji cijeli broj, a n je bilo koji prirodan broj.

Definicija 5

Za bilo koji obični redukovani razlomak m · k n · k, stepen se može zamijeniti sa m n .

Potencija a sa nesmanjivim frakcijskim eksponentom m / n - može se izraziti kao m n u sledećim slučajevima:- za bilo koji realni a, cijeli broj pozitivne vrijednosti m i neparni pozitivni cijeli brojevi n . Primjer: 2 5 3 = 2 5 3 , (- 5 , 1) 2 7 = (- 5 , 1) - 2 7 , 0 5 19 = 0 5 19 .

Za bilo koju realnu a različitu od nule, negativne cjelobrojne vrijednosti m i neparne vrijednosti n, na primjer, 2 - 5 3 = 2 - 5 3 , (- 5 , 1) - 2 7 = (- 5 , 1) - 2 7

Za bilo koje nenegativne a , pozitivne cjelobrojne vrijednosti m pa čak i n , na primjer, 2 1 4 = 2 1 4 , (5 , 1) 3 2 = (5 , 1) 3 , 0 7 18 = 0 7 18 .

Za bilo koji pozitivan a , negativan cijeli broj m i paran n , na primjer, 2 - 1 4 = 2 - 1 4 , (5 , 1) - 3 2 = (5 , 1) - 3 , .

U slučaju drugih vrijednosti, stepen sa razlomačnim eksponentom nije određen. Primjeri takvih moći: - 2 11 6 , - 2 1 2 3 2 , 0 - 2 5 .

Objasnimo sada važnost gore navedenog uvjeta: zašto zamijeniti razlomak reducibilnim eksponentom za razlomak nesvodljivim. Da to ne bismo uradili, onda bi takve situacije ispale, recimo, 6 / 10 = 3 / 5. Tada bi (- 1) 6 10 = - 1 3 5 trebalo biti tačno, ali - 1 6 10 = (- 1) 6 10 = 1 10 = 1 10 10 = 1 , i (- 1) 3 5 = (- 1) 3 5 = - 1 5 = - 1 5 5 = - 1 .

Definicija stepena sa razlomačnim eksponentom, koju smo dali prvi, pogodnija je za primjenu u praksi od druge, pa ćemo je nastaviti koristiti.

Definicija 6

Dakle, snaga pozitivnog broja a sa frakcijskim eksponentom m / n je definirana kao 0 m n = 0 m n = 0 . U slučaju negativnog a notacija a m n nema smisla. Stupanj nule za pozitivne frakcione eksponente m/n je definisan kao 0 m n = 0 m n = 0 , za negativne frakcione eksponente ne definišemo stepen nule.

U zaključcima napominjemo da se bilo koji frakcijski indikator može napisati kao u obrascu mješoviti broj, a u obliku decimalnog razlomka: 5 1 , 7 , 3 2 5 - 2 3 7 .

Prilikom izračunavanja, bolje je zamijeniti eksponent običan razlomak a zatim koristite definiciju stepena sa razlomkom eksponenta. Za gornje primjere dobijamo:

5 1 , 7 = 5 17 10 = 5 7 10 3 2 5 - 2 3 7 = 3 2 5 - 17 7 = 3 2 5 - 17 7

Šta su stepeni sa iracionalnim i realnim eksponentom

Šta su realni brojevi? Oni uključuju i racionalne i iracionalni brojevi. Stoga, da bi se shvatilo sa čime diploma stvarni indikator, moramo definisati stepene sa racionalnim i iracionalnim eksponentima. O racionalnosti smo već spomenuli gore. Hajde da se pozabavimo iracionalnim indikatorima korak po korak.

Primjer 5

Pretpostavimo da imamo iracionalan broj a i niz njegovih decimalnih aproksimacija a 0 , a 1 , a 2 , . . . . Na primjer, uzmimo vrijednost a = 1 , 67175331 . . . , onda

a 0 = 1 , 6 , a 1 = 1 , 67 , a 2 = 1 , 671 , . . . , a 0 = 1 , 67 , a 1 = 1 , 6717 , a 2 = 1 , 671753 , . . .

Nizove aproksimacija možemo povezati sa nizom potencija a a 0 , a a 1 , a a 2 , . . . . Ako se prisjetimo o čemu smo ranije govorili o podizanju brojeva na racionalni stepen, tada možemo sami izračunati vrijednosti ovih snaga.

Uzmi za primjer a = 3, tada a a 0 = 3 1 , 67 , a a 1 = 3 1 , 6717 , a a 2 = 3 1 , 671753 , . . . itd.

Niz stepeni se može svesti na broj, koji će biti vrednost stepena sa bazom a i iracionalnim eksponentom a. Kao rezultat: stepen sa iracionalnim eksponentom oblika 3 1 , 67175331 . . može se svesti na broj 6, 27.

Definicija 7

Potencija pozitivnog broja a sa iracionalnim eksponentom a zapisuje se kao a . Njegova vrijednost je granica niza a a 0 , a a 1 , a a 2 , . . . , gdje je a 0 , a 1 , a 2 , . . . su uzastopne decimalne aproksimacije iracionalnog broja a. Stupanj s nultom bazom također se može definirati za pozitivne iracionalne eksponente, dok je 0 a = 0 Dakle, 0 6 = 0, 0 21 3 3 = 0. A za negativne, to se ne može učiniti, jer, na primjer, vrijednost 0 - 5, 0 - 2 π nije definirana. Jedinica podignuta na bilo koju iracionalni stepen, ostaje jedan, na primjer, a 1 2 , 1 5 u 2 i 1 - 5 će biti jednako 1 .

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Formule snage koristi se u procesu redukcije i pojednostavljenja složeni izrazi, u rješavanju jednačina i nejednačina.

Broj c je n-ti stepen broja a kada:

Operacije sa stepenom.

1. Množeći stepene sa istom bazom, njihovi indikatori se sabiraju:

a ma n = a m + n .

2. U podjeli stupnjeva sa istom osnovom, oduzimaju se njihovi pokazatelji:

3. Stepen proizvoda od 2 ili više faktori jednak je proizvodu snaga ovih faktora:

(abc…) n = a n b n c n …

4. Stepen razlomka jednak je omjeru stupnjeva dividende i djelitelja:

(a/b) n = a n / b n .

5. Podižući stepen na stepen, eksponenti se množe:

(am) n = a m n .

Svaka gornja formula je ispravna u smjerovima s lijeva na desno i obrnuto.

Na primjer. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Operacije s korijenima.

1. Korijen proizvoda nekoliko faktora jednak je proizvodu korijena ovih faktora:

2. Korijen omjera jednak je omjeru dividende i djelitelja korijena:

3. Prilikom podizanja korijena na stepen, dovoljno je podići korijenski broj na ovaj stepen:

4. Ako povećamo stepen korijena u n jednom i istovremeno podići na n th stepen je korijenski broj, tada se vrijednost korijena neće promijeniti:

5. Ako smanjimo stepen korijena u n root u isto vrijeme n stepena od radikalnog broja, tada se vrijednost korijena neće promijeniti:

Stepen s negativnim eksponentom. Stepen nekog broja sa nepozitivnim (celobrojnim) eksponentom je definisan kao stepen podeljen stepenom istog broja sa eksponentom jednakim apsolutna vrijednost nepozitivan indikator:

Formula a m:a n = a m - n može se koristiti ne samo za m> n, ali i na m< n.

Na primjer. a4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Za formulu a m:a n = a m - n postao pošten na m=n, potrebno je prisustvo nultog stepena.

Stepen sa nultim eksponentom. Potencija svakog broja različitog od nule sa eksponentom nula jednaka je jedan.

Na primjer. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Stepen sa razlomkom eksponenta. Da podignem pravi broj a do stepena m/n, morate izdvojiti korijen n th stepen of m stepena ovog broja a.

Kao što znate, u matematici ne postoje samo pozitivni brojevi, već i negativni. Ako upoznavanje s pozitivnim stupnjevima počinje određivanjem površine kvadrata, onda je s negativnim sve nešto složenije.

Ovo treba znati:

1. Podizanje broja do prirodni stepen množenje broja naziva se (pojam broja i cifre u članku će se smatrati ekvivalentnim) samo po sebi u količini kao što je eksponent (u nastavku ćemo paralelno koristiti riječ indikator). 6^3 = 6*6*6 = 36*6 =216. AT opšti pogled izgleda ovako: m^n = m*m*m*…*m (n puta).
2. Treba imati na umu da kada se negativan broj podigne na prirodni stepen, on će postati pozitivan ako je eksponent paran.
3. Podizanjem broja na eksponent 0 daje se jedinica, pod uslovom da nije jednaka nuli. Nula na stepen nule smatra se nedefiniranom. 17^0 = 1.
4. Izdvajanje korijena određenog stepena iz broja naziva se pronalaženje broja koji će, kada se podigne na odgovarajući indikator, dati željenu vrijednost. Dakle, kubni korijen od 125 je 5 jer je 5^3 = 125.
5. Ako želite podići broj na razlomak pozitivan stepen, tada je potrebno podići broj na nazivnik i iz njega izdvojiti korijen brojila. 6^5/7 = 7. korijen od 6*6*6*6*6.
6. Ako želite podići broj na negativan eksponent, onda morate pronaći recipročnu vrijednost ovog. x^-3 = 1/x^3. 8^-4 = 1/8^4 = 1/8*8*8*8 = 1/4096.

Podizanje broja na negativnu potenciju po modulu od nule do jedan

Prvo, moramo zapamtiti šta je modul. Ovo je udaljenost na koordinatnoj liniji od vrijednosti koju smo odabrali do ishodišta (nula koordinatne linije). Po definiciji, nikada ne može biti negativan.

Vrijednost veća od nule

Sa vrijednošću znamenke u rasponu od nula do jedan, negativan indikator daje povećanje same znamenke. To se događa zato što se imenilac smanjuje, a ostaje pozitivan.

Pogledajmo primjere:

• 1/7^-3 = 1/(1/7^3) = 1/(1/343) = 343;
• 0,2^-5 = 1/0,2^5 = 1/0,2*0,2*0,2*0,2*0,2 = 1/0,00032 = 3125.

Štoviše, što je veći modul indikatora, broj aktivnije raste. Kako imenilac teži nuli, sam razlomak teži plus beskonačnosti.

Vrijednost manja od nule

Pogledajmo sada kako da se ugradi negativan stepen ako je broj manji od nule. Princip je isti kao u prethodnom dijelu, ali ovdje je važan znak eksponenta.

Pogledajmo još jednom primjere:

• -19 / 21^-4 = 1/(-19/21)^4 = 1/(-19)^4/21^4 = 21^4/(-19)^4 = 21*21*21*21/(-19)*(-19)*(-19)*(-19) = 194481/130321 = 1,4923228;
• -29/40^-5 = 1/(-29/40)^5 = 1/(-29)^5/40^5 = 40^5/(-29)^5 = 40*40*40*40*40/(-29)*(-29)*(-29)*(-29)*(-29) = 102400000/(-20511149) = -4,9924.

AT ovaj slučaj, vidimo to modul nastavlja da raste, ali predznak ovisi o tome da li je eksponent paran ili neparan.

Treba napomenuti da ako izgradimo jedinicu, ona će uvijek ostati sama. Ako trebate podići broj minus jedan, kada čak i eksponent stepena, pretvoriće se u jedan, sa neparnim će ostati minus jedan.

Povećanje na negativan cijeli broj ako je modul veći od jedan

Za cifre čiji je modul veći od jedan, imaju svoje karakteristike delovanja. Prije svega, trebate pretvoriti cijeli dio razlomka u brojilac, odnosno pretvoriti u nepravilan razlomak. Ako imamo decimalni, onda se mora pretvoriti u normalu. To se radi na sljedeći način:

• 6 cijelih brojeva 7/17 = 109/17;
• 2,54 = 254/100.

Sada razmislite kako podići broj na negativan stepen pod ovim uslovima. Već iz navedenog možemo pretpostaviti šta možemo očekivati ​​od rezultata proračuna. Budući da je dvostruki razlomak obrnut tokom pojednostavljenja, modul znamenke će se smanjivati ​​brže, što je veći modul indikatora.

Prvo razmotrite situaciju u kojoj dati broj je pozitivan.

Prije svega, postaje jasno da će krajnji rezultat biti Iznad nule, jer dijeljenje dva pozitiva uvijek daje pozitivu. Opet, pogledajmo primjere kako se to radi:

• 6 cijeli broj 1/20 na minus peti stepen = 121/20^-5 = 1/(121/20)^5 = 1/121^5/20^5 = 20^5/121^5 = 3200000/25937424601 = 0 .0001234;
• 2,25^-6 = (225/100)^-6 = 1/(225/100)^6 = 1/225^6/100^6 = 100^6/225^6 = 100*100*100*100*100*100/225*225*225*225*225*225 = 0,007413.

Kao što vidite, radnje ne izazivaju nikakve posebne poteškoće, a sve naše početne pretpostavke su se pokazale istinitima.

Sada prelazimo na slučaj negativne znamenke.

Za početak, možemo pretpostaviti da ako je indikator paran, onda će rezultat biti pozitivan, ako je indikator neparan, onda će rezultat biti negativan. Svi naši prethodni proračuni u ovom dijelu sada će se smatrati važećim. Pogledajmo još jednom primjere:

• -3 cijeli broj 1/2 na minus šesti stepen = (-7/2)^-6 = 1/(-7/2)^6 = 1/(-7)^6/2^6 = 2*2* 2 *2*2*2/(-7)*(-7)*(-7)*(-7)*(-7)*(-7) = 64/117649 = 0,000544;
• -1,25^-5 = (-125/100)^-5 = 1/(-125/100)^5 = 1/(-125)^5/100^5 = 100^5/(-125)^5 = 100*100*100*100*100/(-125)*(-125)*(-125)*(-125)*(-125) = 10000000000/(-30517578125) = -0.32768.

Tako se pokazalo da su sva naša razmišljanja tačna.

Povećanje u slučaju negativnog razlomka eksponenta

Ovdje morate zapamtiti da takva erekcija postoji izdvajanje korena stepena nazivnika iz broja u stepenu brojioca. Sva naša prethodna razmišljanja ostaju tačna i ovoga puta. Objasnimo naše postupke na primjeru:

• 4^-3/2 = 1/4^3/2 = 1/rad(4^3) = 1/rad64 = 1/8.

U ovom slučaju, morate imati na umu da vađenje korijena visoki nivo moguće je samo u posebno odabranom obliku i, najvjerovatnije, da se riješi predznaka radikala (kvadratni korijen, kubni korijen i tako dalje) kada tacne kalkulacije nećeš uspjeti.

Ipak, nakon što smo detaljno proučili prethodna poglavlja, ne treba očekivati ​​poteškoće u školskim proračunima.

Treba napomenuti da opis ovog poglavlja takođe uključuje erekcija sa namjerno iracionalnim eksponentom, na primjer, ako je indikator minus PI. Morate se ponašati prema gore opisanim principima. Međutim, proračuni u takvim slučajevima postaju toliko složeni da to mogu učiniti samo moćni elektronski računari.

Zaključak

Akcija koju smo proučavali je jedan od naj najteže zadatke u matematici(posebno u slučaju frakciono racionalne ili iracionalne vrijednosti). Međutim, nakon što ste detaljno i korak po korak proučili ovu instrukciju, možete naučiti kako to učiniti potpuno automatski bez ikakvih problema.

Prvi nivo

Stepen i njegova svojstva. Sveobuhvatan vodič (2019)

Zašto su potrebne diplome? Gdje ti trebaju? Zašto trebate trošiti vrijeme na njihovo proučavanje?

Da naučite sve o diplomama, čemu služe, kako iskoristiti svoje znanje Svakodnevni život pročitajte ovaj članak.

I, naravno, poznavanje diploma će vas približiti uspjehu prolazeći OGE ili Jedinstveni državni ispit i da upišete univerzitet svojih snova.

Idemo... (Idemo!)

Važna napomena! Ako umjesto formula vidite besmislice, obrišite keš memoriju. Da biste to učinili, pritisnite CTRL+F5 (na Windowsima) ili Cmd+R (na Macu).

PRVI NIVO

Eksponencijacija je ista matematička operacija poput sabiranja, oduzimanja, množenja ili dijeljenja.

Sad ću sve objasniti ljudski jezik vrlo jednostavni primjeri. Budi pazljiv. Primjeri su elementarni, ali objašnjavaju važne stvari.

Počnimo sa sabiranjem.

Nema tu šta da se objašnjava. Sve već znate: ima nas osam. Svaka ima po dvije boce kole. Koliko kole? Tako je - 16 boca.

Sada množenje.

Isti primjer sa colom može se napisati na drugačiji način: . Matematičari su lukavi i lijeni ljudi. Prvo primjećuju neke obrasce, a onda smišljaju način da ih brže "prebroje". U našem slučaju, primijetili su da svaki od osam ljudi ima isti broj boca kole i smislili tehniku ​​zvanu množenje. Slažem se, smatra se lakšim i bržim od.

Dakle, da biste brojali brže, lakše i bez grešaka, samo trebate zapamtiti tablica množenja. Naravno, sve možete raditi sporije, teže i sa greškama! Ali…

Evo tablice množenja. Ponovi.

I još jedna, ljepša:

I koje su još lukave trikove brojanja smislili lijeni matematičari? Ispravno - podizanje broja na stepen.

Podizanje broja na stepen

Ako trebate pomnožiti broj sam po sebi pet puta, onda matematičari kažu da ovaj broj trebate podići na peti stepen. Na primjer, . Matematičari se sjećaju da je dva na peti stepen. I takve probleme rješavaju u mislima - brže, lakše i bez grešaka.

Da biste to učinili, trebate samo zapamtite šta je istaknuto bojom u tabeli stepena brojeva. Vjerujte, to će vam mnogo olakšati život.

Uzgred, zašto se zove drugi stepen kvadrat brojevi, a treći kocka? Šta to znači? Visoko dobro pitanje. Sada ćete imati i kvadrate i kocke.

Primjer iz stvarnog života #1

Počnimo s kvadratom ili drugim stepenom broja.

Zamislite kvadratni bazen dimenzija metar po metar. Bazen je u vašem dvorištu. Vruće je i stvarno želim plivati. Ali ... bazen bez dna! Potrebno je obložiti dno bazena pločicama. Koliko pločica vam treba? Da biste to odredili, morate znati površinu dna bazena.

Možete jednostavno izbrojati bockanjem prsta da se dno bazena sastoji od kocki metar po metar. Ako su vaše pločice metar po metar, trebat će vam komadi. Lako je... Ali gdje ste vidjeli takvu pločicu? Pločica će radije biti cm po cm, a onda će vas mučiti "brojanje prstom". Onda morate množiti. Dakle, na jednu stranu dna bazena postavljamo pločice (komade), a na drugu takođe pločice. Množenjem sa, dobijate pločice ().

Jeste li primijetili da smo isti broj pomnožili sam po sebi da bismo odredili površinu dna bazena? Šta to znači? Budući da se isti broj množi, možemo koristiti tehniku ​​eksponencijalnosti. (Naravno, kada imate samo dva broja, i dalje ih trebate pomnožiti ili podići na stepen. Ali ako ih imate puno, onda je podizanje na stepen puno lakše i također je manje grešaka u proračunima Za ispit, ovo je veoma važno).
Dakle, trideset do drugog stepena će biti (). Ili možete reći da će biti trideset na kvadrat. Drugim riječima, drugi stepen broja uvijek se može predstaviti kao kvadrat. I obrnuto, ako vidite kvadrat, to je UVIJEK drugi stepen nekog broja. Kvadrat je slika drugog stepena broja.

Primjer iz stvarnog života #2

Evo vam zadatak, prebrojite koliko je polja na šahovskoj tabli koristeći kvadrat broja... Na jednoj strani ćelije i na drugoj također. Da biste prebrojali njihov broj, trebate pomnožiti osam sa osam, ili ... ako primijetite da je šahovska ploča kvadrat sa stranicom, onda možete kvadratirati osam. Uzmi ćelije. () Pa?

Primjer iz stvarnog života #3

Sada kocka ili treći stepen broja. Isti bazen. Ali sada morate saznati koliko vode treba uliti u ovaj bazen. Morate izračunati zapreminu. (Usput, zapremine i tečnosti se mere u kubnih metara. Neočekivano, zar ne?) Nacrtajte bazen: dno veličine jedan metar i duboko metar i pokušajte izračunati koliko će kocki metar po metar ukupno ući u vaš bazen.

Samo uperite prstom i brojite! Jedan, dva, tri, četiri… dvadeset dva, dvadeset tri… Koliko je ispalo? Niste se izgubili? Da li je teško brojati prstom? Tako da! Uzmite primjer od matematičara. Oni su lijeni, pa su primijetili da za izračunavanje volumena bazena morate pomnožiti njegovu dužinu, širinu i visinu jedno s drugim. U našem slučaju, zapremina bazena će biti jednaka kockama... Lakše, zar ne?

Zamislite sada koliko su matematičari lijeni i lukavi ako to čine previše lakim. Sveo sve na jednu akciju. Primetili su da su dužina, širina i visina jednake i da se isti broj množi sam sa sobom... A šta to znači? To znači da možete koristiti diplomu. Dakle, ono što ste jednom brojali prstom, oni rade u jednoj radnji: tri u kocki je jednako. Napisano je ovako:

Ostaje samo zapamtite tabelu stepeni. Osim ako, naravno, niste lijeni i lukavi kao matematičari. Ako volite naporno raditi i griješiti, možete nastaviti da brojite prstom.

Pa, da bi vas konačno uvjerili da su diplome izmislili lutalice i lukavi ljudi da riješe svoje životni problemi, a da vam ne stvaram probleme, evo još par primjera iz života.

Primjer iz stvarnog života #4

Imate milion rubalja. Na početku svake godine zaradite još milion za svaki milion. Odnosno, svaki vaš milion na početku svake godine se udvostruči. Koliko ćete novca imati za godine? Ako sada sjedite i "brojite prstom", onda ste vrlo vrijedna osoba i.. glupa. Ali najvjerovatnije ćete dati odgovor za par sekundi, jer ste pametni! Dakle, prve godine - dva puta dva ... druge godine - šta je bilo, još dvije, treće godine ... Stanite! Primijetili ste da se broj jednom množi sam sa sobom. Dakle, dva na peti stepen je milion! Zamislite sad da imate konkurenciju i onaj ko brže računa dobiće ove milione... Da li je vredno pamtiti stepene brojeva, šta mislite?

Primjer iz stvarnog života #5

Imaš milion. Na početku svake godine zaradite dva više za svaki milion. Odlično je zar ne? Svaki milion je utrostručen. Koliko novca ćete imati za godinu dana? Hajde da brojimo. Prvu godinu - pomnoži sa, pa rezultat sa drugom... Već je dosadno, jer si već sve shvatio: tri se množi sam sa sobom puta. Dakle, četvrti stepen je milion. Samo trebate zapamtiti da je tri na četvrti stepen ili.

Sada znate da ćete podizanjem broja na stepen učiniti svoj život mnogo lakšim. Pogledajmo dalje šta možete učiniti sa diplomama i šta trebate znati o njima.

Termini i pojmovi... da se ne zbunite

Dakle, prvo, hajde da definišemo koncepte. Šta ti misliš, šta je eksponent? Vrlo je jednostavno - ovo je broj koji je "na vrhu" snage broja. Nije naučno, ali jasno i lako za pamćenje...

Pa, u isto vreme, šta takvu osnovu stepena? Još jednostavniji je broj koji je na dnu, u osnovi.

Evo jedne slike da budete sigurni.

Pa, generalno, da bi se generalizovao i bolje zapamtio... Stepen sa osnovom "" i indikatorom "" čita se kao "u stepenu" i piše se na sledeći način:

Potencija broja s prirodnim eksponentom

Verovatno ste već pogodili: jer je eksponent prirodan broj. Da, ali šta jeste prirodni broj? Osnovno! Prirodni brojevi su oni koji se koriste u brojanju prilikom nabrajanja predmeta: jedan, dva, tri... Kada brojimo predmete, ne kažemo: „minus pet“, „minus šest“, „minus sedam“. Ne kažemo ni "jedna trećina" ni "nula zapeta pet desetina". Ovo nisu prirodni brojevi. Šta mislite koji su to brojevi?

Brojevi poput "minus pet", "minus šest", "minus sedam" se odnose na cijeli brojevi. Općenito, cijeli brojevi uključuju sve prirodne brojeve, brojeve suprotne prirodnim brojevima (to jest, uzeti sa predznakom minus) i broj. Nulu je lako razumjeti - ovo je kada nema ničega. A šta znače negativni ("minus") brojevi? Ali oni su izmišljeni prvenstveno za označavanje dugova: ako imate stanje na telefonu u rubljama, to znači da dugujete operateru rublje.

Svi razlomci su racionalni brojevi. Šta mislite kako su nastali? Veoma jednostavno. Prije nekoliko hiljada godina naši preci su otkrili da nemaju dovoljno prirodnih brojeva za mjerenje dužine, težine, površine itd. I oni su smislili racionalni brojevi… Zanimljivo, zar ne?

Postoje i iracionalni brojevi. Koji su to brojevi? Ukratko, beskonačan decimalni razlomak. Na primjer, ako podijelite obim kruga njegovim prečnikom, onda ćete dobiti iracionalan broj.

Sažetak:

Definirajmo pojam stepena, čiji je eksponent prirodan broj (tj. cijeli i pozitivan).

1. Bilo koji broj na prvi stepen jednak je samom sebi:
2. Kvadratirati broj znači pomnožiti ga sam sa sobom:
3. Kockati broj znači pomnožiti ga sam sa sobom tri puta:

Definicija. Povećati broj na prirodni stepen znači pomnožiti broj sam sa sobom puta:
.

Svojstva diploma

Odakle su ove nekretnine? Sada ću ti pokazati.

Hajde da vidimo šta je i ?

Po definiciji:

Koliko množitelja ima ukupno?

Vrlo je jednostavno: faktorima smo dodali faktore, a rezultat su faktori.

Ali po definiciji, ovo je stepen broja sa eksponentom, to jest: , koji je trebalo dokazati.

Primjer: Pojednostavite izraz.

Rješenje:

primjer: Pojednostavite izraz.

Rješenje: Važno je napomenuti da u našem pravilu obavezno mora biti iste osnove!
Stoga kombiniramo stupnjeve s bazom, ali ostajemo poseban faktor:

samo za proizvode moći!

Ni u kom slučaju to ne smijete pisati.

2. odnosno -ti stepen broja

Kao i kod prethodnog svojstva, okrenimo se definiciji stepena:

Ispada da se izraz množi sam sa sobom jednom, odnosno, prema definiciji, ovo je th stepen broja:

Zapravo, ovo se može nazvati "zagradama indikatora". Ali ovo nikada ne možete učiniti ukupno:

Prisjetimo se formule za skraćeno množenje: koliko puta smo htjeli napisati?

Ali to zapravo nije istina.

Stepen sa negativnom bazom

Do sada smo samo raspravljali o tome kakav bi eksponent trebao biti.

Ali šta bi trebalo da bude osnova?

U stepenima od prirodni pokazatelj osnova može biti bilo koji broj. Zaista, možemo pomnožiti bilo koji broj jedan s drugim, bilo da je pozitivan, negativan ili paran.

Razmislimo o tome koji će znakovi (" " ili "") imati stupnjeve pozitivnih i negativnih brojeva?

Na primjer, hoće li broj biti pozitivan ili negativan? ALI? ? S prvim je sve jasno: bez obzira koliko pozitivnih brojeva međusobno pomnožimo, rezultat će biti pozitivan.

Ali oni negativni su malo zanimljiviji. Uostalom, sjećamo se jednostavnog pravila iz 6. razreda: „minus puta minus daje plus“. To je, ili. Ali ako pomnožimo sa, ispada.

Odredite sami koji znak će imati sljedeći izrazi:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Jeste li uspjeli?

Evo odgovora: U prva četiri primjera, nadam se da je sve jasno? Jednostavno gledamo bazu i eksponent i primjenjujemo odgovarajuće pravilo.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

U primjeru 5) sve također nije tako strašno kao što se čini: nije važno čemu je baza jednaka - stepen je paran, što znači da će rezultat uvijek biti pozitivan.

Pa, osim kada je baza nula. Baza nije ista, zar ne? Očigledno nije, jer (jer).

Primjer 6) više nije tako jednostavan!

6 primjera iz prakse

Analiza rješenja 6 primjera

Ako ne obratimo pažnju na osmi stepen, šta vidimo ovde? Pogledajmo program za 7. razred. Pa, sećaš se? Ovo je skraćena formula za množenje, odnosno razlika kvadrata! Dobijamo:

Pažljivo gledamo imenilac. Mnogo liči na jedan od faktora brojila, ali šta nije u redu? Pogrešan redosled termina. Ako bi se zamijenili, moglo bi se primijeniti pravilo.

Ali kako to učiniti? Ispostavilo se da je to vrlo lako: tu nam pomaže paran stepen nazivnika.

Termini su magično promijenili mjesta. Ovaj „fenomen“ se odnosi na bilo koji izraz u jednakoj meri: možemo slobodno menjati znakove u zagradama.

Ali važno je zapamtiti: svi znakovi se mijenjaju u isto vrijeme!

Vratimo se na primjer:

I opet formula:

cijeli imenujemo prirodne brojeve, njihove suprotnosti (tj. uzete sa znakom "") i broj.

pozitivan cijeli broj, i ne razlikuje se od prirodnog, onda sve izgleda baš kao u prethodnom odeljku.

Pogledajmo sada nove slučajeve. Počnimo s indikatorom jednakim.

Bilo koji broj na nulti stepen jednak je jedan:

Kao i uvijek, pitamo se: zašto je to tako?

Uzmite u obzir neku snagu sa bazom. Uzmite, na primjer, i pomnožite sa:

Dakle, pomnožili smo broj sa, i dobili smo isti kao što je bio -. Sa kojim se brojem treba pomnožiti da se ništa ne promijeni? Tako je, na. Sredstva.

Isto možemo učiniti i sa proizvoljnim brojem:

Ponovimo pravilo:

Bilo koji broj na nulti stepen jednak je jedan.

Ali postoje izuzeci od mnogih pravila. I ovdje je također tu - ovo je broj (kao osnova).

S jedne strane, ona mora biti jednaka bilo kom stepenu - koliko god da pomnožite nulu sa sobom, i dalje ćete dobiti nulu, ovo je jasno. Ali s druge strane, kao i svaki broj na nultom stepenu, on mora biti jednak. Pa šta je istina u ovome? Matematičari su odlučili da se ne miješaju i odbili su podići nulu na stepen nule. Odnosno, sada ne samo da možemo podijeliti sa nulom, već i podići na nultu potenciju.

Idemo dalje. Pored prirodnih brojeva i brojeva, cijeli brojevi uključuju negativne brojeve. Da bismo razumjeli šta je negativni eksponent, uradimo kao u zadnji put: pomnožiti neki normalan broj sa istim u negativnom stepenu:

Odavde je već lako izraziti željeno:

Sada proširujemo rezultirajuće pravilo na proizvoljan stepen:

Dakle, formulirajmo pravilo:

Broj na negativan stepen je obrnut od istog broja na pozitivan stepen. Ali istovremeno baza ne može biti null:(jer je nemoguće podijeliti).

Hajde da rezimiramo:

I. Izraz nije definiran u slučaju. Ako onda.

II. Bilo koji broj na nulti stepen jednak je jedan: .

III. Broj koji nije jednak nuli na negativan stepen je obrnut od istog broja pozitivnom stepenu: .

Zadaci za samostalno rješavanje:

Pa, kao i obično, primjeri za nezavisno rješenje:

Analiza zadataka za samostalno rješavanje:

Znam, znam, brojke su strašne, ali na ispitu moraš biti spreman na sve! Riješite ove primjere ili analizirajte njihovo rješenje ako ga niste mogli riješiti i naučit ćete kako se lako nositi s njima na ispitu!

Nastavimo širiti raspon brojeva "prikladnih" kao eksponent.

Sada razmislite racionalni brojevi. Koji se brojevi nazivaju racionalnim?

Odgovor: sve što se može predstaviti kao razlomak, gdje su i cijeli brojevi, štoviše.

Da razumem šta je "razlomni stepen" Razmotrimo razlomak:

Podignimo obje strane jednadžbe na stepen:

Sada zapamtite pravilo "stepen do stepena":

Koji broj se mora podići na stepen da se dobije?

Ova formulacija je definicija korena th stepena.

Da vas podsjetim: korijen th stepena broja () je broj koji je, kada se podigne na stepen, jednak.

To jest, korijen th stepena je inverzna operacija eksponencijacije: .

Ispostavilo se da. Očigledno ovo poseban slučaj može se produžiti: .

Sada dodajte brojilac: šta je to? Odgovor je lako dobiti s pravilom snage na snagu:

Ali može li baza biti bilo koji broj? Na kraju krajeva, korijen se ne može izdvojiti iz svih brojeva.

Nijedan!

Zapamtite pravilo: svaki broj podignut na paran stepen je pozitivan broj. Odnosno, nemoguće je izdvojiti korijene parnog stepena iz negativnih brojeva!

A to znači da se takvi brojevi ne mogu povećati razlomni stepen sa parnim nazivnikom, odnosno izraz nema smisla.

Šta je sa izražavanjem?

Ali ovdje nastaje problem.

Broj se može predstaviti kao drugi, smanjeni razlomci, na primjer, ili.

I ispostavilo se da postoji, ali ne postoji, a to su samo dva različita zapisa istog broja.

Ili drugi primjer: jednom, onda možete to zapisati. Ali čim napišemo indikator na drugačiji način, opet imamo problem: (odnosno, dobili smo potpuno drugačiji rezultat!).

Da biste izbjegli takve paradokse, razmislite samo pozitivan osnovni eksponent sa razlomanim eksponentom.

Sta ako:

• - prirodni broj;
• je cijeli broj;

primjeri:

Potencije s racionalnim eksponentom su vrlo korisne za transformaciju izraza s korijenima, na primjer:

5 primjera iz prakse

Analiza 5 primjera za obuku

E, sad - najteže. Sada ćemo analizirati stepen sa iracionalnim eksponentom.

Sva pravila i svojstva stupnjeva ovdje su potpuno ista kao za stupnjeve s racionalnim eksponentom, s izuzetkom

Zaista, po definiciji, iracionalni brojevi su brojevi koji se ne mogu predstaviti kao razlomak, gdje su i cijeli brojevi (to jest, iracionalni brojevi su svi realni brojevi osim racionalnih).

Prilikom proučavanja stepena sa prirodnim, celobrojnim i racionalnim indikatorom, svaki put smo pravili određenu „sliku“, „analogiju“ ili opis u poznatijim terminima.

Na primjer, prirodni eksponent je broj pomnožen sam sa sobom nekoliko puta;

...nulta snaga- ovo je, takoreći, broj pomnožen sam sa sobom jednom, odnosno još se nije počeo množiti, što znači da se sam broj još nije ni pojavio - stoga je rezultat samo određeni "prazni broj" , odnosno broj;

...negativan cjelobrojni eksponent- kao da se dogodio određeni „obrnuti proces“, odnosno broj nije pomnožen sam po sebi, već podijeljen.

Inače, nauka često koristi stepen sa kompleksnim eksponentom, odnosno eksponent nije čak ni realan broj.

Ali u školi ne razmišljamo o takvim poteškoćama; imaćete priliku da shvatite ove nove koncepte na institutu.

GDJE SMO SIGURNI DA ĆETE ITI! (ako naučiš rješavati takve primjere :))

Na primjer:

Odlučite sami:

Analiza rješenja:

1. Počnimo sa već uobičajenim pravilom za podizanje stepena na stepen:

Sada pogledajte rezultat. Podsjeća li vas na nešto? Prisjećamo se formule za skraćeno množenje razlike kvadrata:

U ovom slučaju,

Ispada da:

odgovor: .

2. Dajemo razlomke u eksponentima k iste vrste: Ili obje decimale ili obje normalne. Dobijamo, na primjer:

Odgovor: 16

3. Ništa posebno, primjenjujemo uobičajena svojstva stupnjeva:

NAPREDNI NIVO

Definicija stepena

Stepen je izraz oblika: , gdje je:

• — osnova stepena;
• - eksponent.

Stepen sa prirodnim eksponentom (n = 1, 2, 3,...)

Podići broj na prirodni stepen n znači množenje broja sam po sebi puta:

Potencija sa cjelobrojnim eksponentom (0, ±1, ±2,...)

Ako je eksponent pozitivan cijeli broj broj:

erekcija na nultu snagu:

Izraz je neodređen, jer, s jedne strane, u bilo kojem stepenu je ovo, a s druge strane, bilo koji broj do th stepena je ovo.

Ako je eksponent cijeli broj negativan broj:

(jer je nemoguće podijeliti).

Još jednom o nullovima: izraz nije definiran u slučaju. Ako onda.

primjeri:

Stepen sa racionalnim eksponentom

• - prirodni broj;
• je cijeli broj;

primjeri:

Svojstva diploma

Da bismo olakšali rješavanje problema, pokušajmo razumjeti: odakle su ova svojstva došla? Dokažimo ih.

Da vidimo: šta je i?

Po definiciji:

Dakle, na desnoj strani ovog izraza dobija se sljedeći proizvod:

Ali po definiciji, ovo je stepen broja sa eksponentom, to jest:

Q.E.D.

Primjer : Pojednostavite izraz.

Rješenje : .

Primjer : Pojednostavite izraz.

Rješenje : Važno je napomenuti da u našem pravilu obavezno moraju imati istu osnovu. Stoga kombiniramo stupnjeve s bazom, ali ostajemo poseban faktor:

Drugi važna napomena: ovo pravilo je - samo za proizvode moći!

Ni u kom slučaju to ne smijem pisati.

Kao i kod prethodnog svojstva, okrenimo se definiciji stepena:

Hajde da to preuredimo ovako:

Ispada da se izraz množi sam sa sobom jednom, odnosno, prema definiciji, ovo je --ti stepen broja:

Zapravo, ovo se može nazvati "zagradama indikatora". Ali ovo nikada ne možete učiniti u potpunosti!

Prisjetimo se formule za skraćeno množenje: koliko puta smo htjeli napisati? Ali to zapravo nije istina.

Snaga s negativnom bazom.

Do sada smo razgovarali samo o onome što bi trebalo da bude index stepen. Ali šta bi trebalo da bude osnova? U stepenima od prirodno indikator osnova može biti bilo koji broj .

Zaista, možemo pomnožiti bilo koji broj jedan s drugim, bilo da je pozitivan, negativan ili paran. Razmislimo o tome koji će znakovi (" " ili "") imati stupnjeve pozitivnih i negativnih brojeva?

Na primjer, hoće li broj biti pozitivan ili negativan? ALI? ?

S prvim je sve jasno: bez obzira koliko pozitivnih brojeva međusobno pomnožimo, rezultat će biti pozitivan.

Ali oni negativni su malo zanimljiviji. Uostalom, sjećamo se jednostavnog pravila iz 6. razreda: „minus puta minus daje plus“. To je, ili. Ali ako pomnožimo sa (), dobićemo -.

I tako u nedogled: svakim sljedećim množenjem predznak će se mijenjati. Moguće je formulisati takve jednostavna pravila:

1. čak stepen, - broj pozitivno.
2. Negativan broj podignut na odd stepen, - broj negativan.
3. pozitivan broj na bilo koji stepen je pozitivan broj.
4. Nula na bilo koji stepen jednaka je nuli.

Odredite sami koji znak će imati sljedeći izrazi:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Jeste li uspjeli? Evo odgovora:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

U prva četiri primjera, nadam se da je sve jasno? Jednostavno gledamo bazu i eksponent i primjenjujemo odgovarajuće pravilo.

U primjeru 5) sve također nije tako strašno kao što se čini: nije važno čemu je baza jednaka - stepen je paran, što znači da će rezultat uvijek biti pozitivan. Pa, osim kada je baza nula. Baza nije ista, zar ne? Očigledno nije, jer (jer).

Primjer 6) više nije tako jednostavan. Ovdje trebate saznati šta je manje: ili? Ako se toga setite, postaje jasno da je baza manja od nule. Odnosno, primjenjujemo pravilo 2: rezultat će biti negativan.

I opet koristimo definiciju stepena:

Sve je kao i obično - zapišemo definiciju stupnjeva i podijelimo ih jedan na drugi, podijelimo ih u parove i dobijemo:

Prije rastavljanja poslednje pravilo Pogledajmo nekoliko primjera.

Izračunajte vrijednosti izraza:

Rješenja :

Ako ne obratimo pažnju na osmi stepen, šta vidimo ovde? Pogledajmo program za 7. razred. Pa, sećaš se? Ovo je skraćena formula za množenje, odnosno razlika kvadrata!

Dobijamo:

Pažljivo gledamo imenilac. Mnogo liči na jedan od faktora brojila, ali šta nije u redu? Pogrešan redosled termina. Ako bi se oni obrnuli, moglo bi se primijeniti pravilo 3. Ali kako to učiniti? Ispostavilo se da je to vrlo lako: tu nam pomaže paran stepen nazivnika.

Ako to pomnožite sa, ništa se ne mijenja, zar ne? Ali sada to izgleda ovako:

Termini su magično promijenili mjesta. Ovaj „fenomen“ se odnosi na bilo koji izraz u jednakoj meri: možemo slobodno menjati znakove u zagradama. Ali važno je zapamtiti: svi znakovi se mijenjaju u isto vrijeme! Ne može se zamijeniti mijenjanjem samo jednog nama nepoželjnog minusa!

Vratimo se na primjer:

I opet formula:

Dakle, sada poslednje pravilo:

Kako ćemo to dokazati? Naravno, kao i obično: proširimo pojam stepena i pojednostavimo:

Pa, otvorimo zagrade. Koliko će slova biti? puta po množiteljima - kako to izgleda? Ovo nije ništa drugo nego definicija operacije množenje: ukupno ispostavilo se da postoje množitelji. To jest, to je, po definiciji, stepen broja s eksponentom:

primjer:

Stepen sa iracionalnim eksponentom

Pored informacija o stepenu za prosječni nivo, analiziraćemo stepen sa iracionalnim indikatorom. Sva pravila i svojstva stupnjeva ovdje su potpuno ista kao i za stepen sa racionalnim eksponentom, s izuzetkom - na kraju krajeva, po definiciji, iracionalni brojevi su brojevi koji se ne mogu predstaviti kao razlomak, gdje su i cijeli brojevi (tj. , iracionalni brojevi su svi realni brojevi osim racionalnih).

Prilikom proučavanja stepena sa prirodnim, celobrojnim i racionalnim indikatorom, svaki put smo pravili određenu „sliku“, „analogiju“ ili opis u poznatijim terminima. Na primjer, prirodni eksponent je broj pomnožen sam sa sobom nekoliko puta; broj na nulti stepen je takoreći broj pomnožen sam sa sobom jednom, odnosno još nije počeo da se množi, što znači da se sam broj još nije ni pojavio - dakle, rezultat je samo određena „priprema broja“, odnosno broj; stepen sa cjelobrojnim negativnim indikatorom - kao da se dogodio određeni "obrnuti proces", odnosno broj nije pomnožen sam sa sobom, već podijeljen.

Izuzetno je teško zamisliti stepen sa iracionalnim eksponentom (baš kao što je teško zamisliti 4-dimenzionalni prostor). Umjesto toga, to je čisto matematički objekt koji su matematičari stvorili kako bi proširili koncept stepena na cijeli prostor brojeva.

Inače, nauka često koristi stepen sa kompleksnim eksponentom, odnosno eksponent nije čak ni realan broj. Ali u školi ne razmišljamo o takvim poteškoćama; imaćete priliku da shvatite ove nove koncepte na institutu.

Pa šta da radimo ako vidimo iracionalni indikator stepeni? Dajemo sve od sebe da ga se riješimo! :)

Na primjer:

Odlučite sami:

1)

2)

3)

odgovori:

1. Zapamtite formulu razlike kvadrata. Odgovor: .
2. Razlomke dovodimo u isti oblik: ili obje decimale, ili obje obične. Dobijamo, na primjer: .
3. Ništa posebno, primjenjujemo uobičajena svojstva stupnjeva:

SAŽETAK ODJELJAKA I OSNOVNA FORMULA

Stepen naziva se izraz oblika: , gdje je:

Stepen sa cjelobrojnim eksponentom

stepen, čiji je eksponent prirodan broj (tj. cijeli i pozitivan).

Stepen sa racionalnim eksponentom

stepen, čiji su indikator negativni i razlomci.

Stepen sa iracionalnim eksponentom

eksponent čiji je eksponent beskonačan decimalni razlomak ili korijen.

Svojstva diploma

Karakteristike stepena.

• Negativan broj podignut na čak stepen, - broj pozitivno.
• Negativan broj podignut na odd stepen, - broj negativan.
• Pozitivan broj na bilo koji stepen je pozitivan broj.
• Nula je jednaka bilo kojoj potenciji.
• Bilo koji broj na nulti stepen je jednak.

SADA IMATE RIJEČ...

Kako vam se sviđa članak? Javite mi u komentarima ispod da li vam se sviđa ili ne.

Recite nam nešto o svom iskustvu sa energetskim svojstvima.

Možda imate pitanja. Ili sugestije.

Pišite u komentarima.

I sretno na ispitima!